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初二北师大版数学期末复习第六章 证明知识要点（一）关于命题、定理及公理1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 2. 判断一件事情的句子，叫做命题。 3. 每个命题都由条件和结论两部分组成。 4. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 5. 公认的真命题称为公理（书P197 6条公理）（等量代换） 6. 推理的过程称为证明。 7. 经过证明的真命题称为定理。例题 1. 把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”形式为_。 答案：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 2. 请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”的一个反例：_。 答案： 3. 下列语句不是命题的是（ ） A. 2008年奥运会的举办城是北京 B. 如果一个三角形三边a，b，c满足a2b2c2，则这个三角形是直角三角形 C. 同角的补角相等 D. 过点P作直线l的垂线 答案：D 4. 如图，线段a与b的大小关系是（ ） A. abB. abC. abD. 无法确定 答案：A 5. 下列命题是真命题的是（ ） C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 有一角为80的等腰三角形的另两个角为50与50 答案：C（二）平行线的性质及判定 判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）同旁内角互补，两直线平行。 （3）内错角相等，两直线平行。 性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，同旁内角互补。 （3）两直线平行，内错角相等。（三）三角形的内角和外角的定理1. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2. 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。 3. 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。 例题 1. 如图，若直线ab，且分别交直线c于点A、B，170，则2（ ） A. 70B. 20C. 110D. 40 答案：A 提示：23170 2. 如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ） A. 23180 B. 15180 C. 47 D. 18 答案：A 3. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ） A. 同位角相等两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 内错角相等两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 答案：C 4. 我们知道，平行四边形的对角相等，其证明过程如下，请在每一步括号内填写理由。 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。 求证：AC，BD 证明：四边形ABCD是平行四边形（ ） ADBC，ABCD（ ） AB180，BC180（ ） A180B，C180B（ ） AC（ ） 同理，可证BD 答案依次为：已知；平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；等式性质；同角的补角相等 5. 尺规作图：如图，已知直线BC及其外一点P，利用尺规过点P作直线BC的平行线。（用两种方法，不要求写作法，但要保留作图痕迹） 方法一：作同位角相等 作法：（1）过B点作直线BP； （2）以B、P为圆心，任意长为半径作弧交BP于A、E，交BC于D； （3）以E为圆心，AD长为半径作弧交上弧于Q； （4）连结PQ。 方法二：基本步骤同作法一，作内错角相等即可。 4. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180 5. 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 6. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例题 1. 如图，直线ABMN，分别交直线EF于点C、D，BCD、CDN的角平分线交于点G，求CGD的度数。 解：ABMN（已知） BCDCDN180（两直线平行，同旁内角互补） CG、DG是角平分线 1290 12CGD180（三角形内角和等于180） CGD90 2. 如图，在RtABC中，CD是斜边AB的高，求证：BCDA 证明：RtABC（已知） AB90（直角三角形两锐角互余） CDAB（已知） CDB90 BCDB90（直角三角形两锐角互余） ABCD（同角的余角相等） 3. 如图，在ABC中，B、C的平分线相交于点P，BPC130，求A。 解：12BPC180（三角形内角和等于180） BPC130 1250 BP、CP是角平分线 ABC21，ACB22 ABCACB100 ABCACBA180 A80【模拟试题】一. 填空题 1. 如图所示，已知AB/CD，AD和BC相交于点O，若，则_。 2. 如图所示，_。 3. 如图所示，_。 4. 如图所示，AB/CD，_。 5. 一个三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是_三角形。 6. 一个三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则与此对应的三个内角的比为_。 7. 如图所示，在ABC中，BF平分，CF平分，则_。 8. “同角的余角相等”的题设是_，结论是_。 9. 如图所示，AB/CD，_。 10. 如图所示，AB/EF/CD，且，则BED的度数为_。 11. 如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_。 12. 过ABC的顶点C作AB的垂线，如果这垂线将分为40和20的两个角，那么中较大的角的度数是_。 13. 三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边边长是8cm，则最小边长是_。二. 选择题 14. 下列语句中，是命题的为（ ） A. 延长线段AB到C B. 垂线段最短 C. 过点O作直线a/b D. 锐角都相等吗 15. 下列命题中是真命题的为（ ） A. 两锐角之和为钝角 B. 两锐角之和为锐角 C. 钝角大于它的补角 D. 锐角大于它的余角 16. “两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（ ） A. 两条直线 B. 交点 C. 两条直线相交 D. 只有一个交点 17. 如果的两边分别平行，那么A和B的关系是（ ） A. 相等 B. 互余或互补 C. 互补 D. 相等或互补 18. 三角形三边长分别为3，8，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 19. 三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（ ） A. 45，45，90 B. 30，60，90 C. 25，25，130 D. 36，72，72 20. 如图所示，那么与相等的角有（ ） A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个 21. 下列四个命题中，真命题有（ ） （1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。 （2）如果是对顶角，那么1=2。 （3）一个角的余角一定小于这个角的补角。 （4）如果1和3互余，2与3的余角互补，那么1和2互补。 A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个 22. 如图所示，B=C，则ADC与AEB的大小关系是（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 23. 如图所示，AD平分CAE，B=30，CAD=65，ACD=（ ） A. 50B. 65 C. 80D. 95三. 解答题 24. 如图所示，1=2，AE/BC，求证：ABC是等腰三角形。 25. 如图所示，BF/DE，1=2，求证：GF/BC。 26. 如图所示，已知AB/CD，FH平分EFD，求GFC的度数。 27. 已知，如图所示，直线AB/CD，。求证：EPM=FQM。 28. 求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行（作图，写出已知，求证，证明）。 29. ABC中，BE平分ABC，AD为BC上的高，且ABC=60，BEC=75，求DAC的度数。 30. 探索题 如图所示，XOY=90，点A、B分别在射线OX，OY上移动，BE是ABY的平分线，BE的反向延长线与OAB的平分线相交于点C，试问ACB的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A、B的移动变化，请给出变化范围。【试题答案】一. 填空题 1. 802. 803. 4. 755. 直角6. 5：3：1 7. 122.5 8. 两个角是同一个角的余角，这两个角相等。 9. 6010. 9011. 90 12. 7013. 4cm二. 选择题 14. B15. C16. C17. D18. B19. B20. B21. C22. B23. C三. 解答题 24. 解：AE/BC（已知） 2=C（两直线平行，内错角相等） 1=B（两直线平行，同位角相等） 1=2（已知） B=C（等量代换） AB=AC，ABC是等腰三角形（等角对等边） 25. 解：BF/DE（已知） 2=FBC（两直线平行，同位角相等） 2=1（已知） FBC=1（等量代换） GF/BC（内错角相等，两直线平行） 26. GFC=59 27. 证明：AB/CD（已知） AEF=CFM（两直线平行，同位角相等） 又PEA=QFC（已知） AEF+PEA=CFM+QFC（等式性质） 即PEF=QFM PE/QF（同位角相等，两直线平行） EPM=FQM（两直线平行，同位角相等） 28. 证明：已知，AB/