（机械工程专业论文）时空耦合系统降维新方法及其在铝合金板带轧制过程建模中的应用.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：扯 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：挺导师签名作者签名：搬导师签名日期：丝! 三年月犁日 摘要 许多制造过程具有时间和空间耦合的特征，属于时空耦合系统， 典型的例子有轧制过程、半导体制造过程、柔性操作手的高精度定位 等。这些过程在数学上由偏微分方程描述，在控制领域称为分布参数 系统。由于这类过程的时空耦合特点，所以本质上是无穷维的，且存 在非线性、不确定性和多场耦合，很难获得其解析解，因此对于这类 时空耦合过程的系统进行快速仿真分析和控制器设计是非常困难的。 工程上，一般对无穷维非线性时空耦合系统进行降维处理，即利 用有穷维系统来近似原系统。传统时空离散方法如差分法和有限元法 均只能得到阶数非常高的近似模型，不适用于时空耦合系统的快速仿 真和控制器设计。谱方法能得到比传统时空离散方法维数低得多的近 似模型，然而只适用于一类能进行快慢分离的系统，且在通常情况下， 得到的近似模型的维数不是最低的。因此，针对一大类非线性时空耦 合过程，通过有效的计算方法，建立既保证建模精度，维数又最低， 适用于系统快速仿真和控制器设计的低维近似模型，不但是工程上亟 待解决的难题，也是一个科学上的挑战。 针对这一难题，本文主要研究非线性时空耦合系统降维新方法及 其在铝合金板带轧制过程建模中的应用。通过由谱方法导出的空间正 交基函数进行线性变换得到个数较少的新基函数。基于获得的新基函 数，直接投影或者结合智能技术获得原系统的一个非常低维的近似。 提出的降维新方法能得到比基于传统降维方法更低维的动态模型，而 且能保持较好的精度。 本文主要研究工作包括以下方面： 针对模型已知的非线性时空耦合系统，对谱方法导出的空间正交 基函数进行线性组合得到一组新的正交基函数，空间基函数组合矩阵 由时空耦合系统线性部分的平衡截断方法得到，严格地证明了基于新 空间基函数的建模误差比基于同阶谱方法建模的误差小。基于获得的 新空间基函数，利用混合智能建模方法来近似时空耦合系统，对典型 时空耦合系统的降维结果说明了理论结果的正确性，而且表明基于新 基函数的低维模型的精度优于更高维基于传统谱方法的降维模型的 精度。 针对模型未知的非线性时空耦合系统，利用正交分解技术获得该 1 本研究得到国家自然科学基金( 编号：5 1 0 7 5 4 0 4 ) 资助。 i 系统的实验特征函数和对应的时间系数后，建立原非线性系统的一个 线性近似。对上述线性系统利用平衡截断方法得到基函数转换矩阵， 从而将实验特征函数转换得到一组个数较少的改进实验特征函数，严 格地证明了基于改进实验特征函数的建模误差比基于同阶实验特征 函数的建模误差小。基于新的实验特征函数进行时空分离后，利用传 统智能方法对系统的动态进行低维建模，仿真结果说明了理论结果的 正确性，且表明基于改进实验特征函数的低维模型能达到基于初始实 验特征函数的更高维模型的精度。 针对模型已知的时空耦合系统，通过对谱方法导出的空间正交基 函数进行转换得到一组新的个数较少的空间正交基函数，其中空间基 函数转换矩阵由最优化方法获得。经过严格地推导得到简明且易于优 化计算的的误差函数，提出了求解优化算法计算正交的转换矩阵。得 到最优的转换矩阵后，利用空间基函数转换可以得到最优空间基函 数。基于获得的最优空间基函数，利用时空分离结合非线性g a l e r k i n 方法，可以获得到在一定精度要求下的最低维近似动态模型。 针对铝合金热轧四辊轧机，建立了工作辊的热力耦合变形模型， 然后采用平衡截断降维方法分别对轧辊的热变形和弹性变形进行了 低维建模。基于实际生产数据并综合轧辊的热变形和弹性变形，建立 了板带横向厚度分布的低维智能模型。对铝合金板带的横向厚度分布 的预测表明建立的低维近似模型与实际测量数据吻合较好，能满足工 程应用的要求。 关键词时空耦合系统，谱方法，平衡截断方法，最优化方法，板带 轧制过程 a b s t r a c t m a n ya d v a n c e dm a n u f a c t u r i n gp r o c e s s e s ，s u c ha sr o l l i n gp r o c e s s e s ， s e m i c o n d u c t o rm a n u f a c t u r i n ga n dh i g f la c c u r a c yp o s i t i o n i n go tt l e x t a b l e 一一一 a r mb e l o n gt oc o m p l e xs p a t i o - t e m p o r a ls y s t e m st h a tt h e i rs t a t e s ，c o n t r o l s ， o u t p u ta n dp r o c e s sp a r a m e t e r sm a yv a r yt e m p o r a l l ya n ds p a t i a l l y 1 1 1 e m e c h a n i s t i cd y n a m i c a lm o d e l i n go fs p a t i o - t e m p o r a ls y s t e m st y p i c a l l y l e a d st ov a r i o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) t h e s ep d e sa r e i n f m i t e d i m e n s i o n li nn a t u r e ，a n di ti sd i f f c u l tf o rp r e d i c t i o n ，c o n t r o la n d o p t i m i z a t i o no ft h es p a t i o t e m p o r a ls y s t e m sb e c a u s eo ft h e i ru n a v a i l a b l e a n a l y t i c a ls o l u t i o n ，t h en o n l i n e a r i t i e s ，u n c e r t a i n t i e sa n de n e r g y f i e l d c o u p l i n g i np r a c t i c a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，t h em o d e lr e d u c t i o no fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls y s t e m st of i n i t e d i m e n s i o n a ls y s t e m si sn e e d e db e c a u s eo f f i n i t ea c t u a t o r s s e n s o r sa n dl i m i t e dc o m p u t i n gp o w e r s c o n v e n t i o n a l t i m e s p a c ed i s c r e t i z a t i o na p p r o a c h e s ，s u c ha sf i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，o f t e nl e a dt oh i g h - o r d e rm o d e l s ， w h i c ha r en o ts u i t a b l ef o rs i m u l a t i o n sa n dc o n t r o l d e s i g n o f s p a t i o - t e m p o r a ls y s t e m s m o d e l i n gb ys p e c t r a lm e t h o dc a r lo b t a i nm u c h l o w e rd i m e n s i o n a lm o d e l st h a nc o n v e n t i o n a lm e t h o d s h o w e v e r , i ti s o n l ya p p r o p r i a t et om o d e l i n gak i n do fp d es y s t e mt y p i c a l l yi n v o l v e s s p a t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t he i g e n s p e c t r at h a tc a n b ep a r t i t i o n e di n t o as l o wa n daf a s tc o m p l e m e n t sa n dt h ed i m e n s i o no f t h er e d u c e dm o d e l i s n o tt h el o w e s tf o rag i v e na c c u r a c y t h u s ，l o w e r - d i m e n s i o n a la p p r o x i m a t e m o d e l i n gw i t hl e s sc o m p u t a t i o nc o s tt or e v e a lt h ed y n a m i c so f d p s si sa v e r yd i f f i c u l ta n dc h a l l e n g i n gp r o b l e mi ne n g i n e e r i n ga n d s c i e n c e s o m es t u d i e sh a v eb e e nc a r r i e do u tf o rn e wm o d e lr e d u c t i o n a p p r o a c h e so fs p a t i o - t e m p o r a ls y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o ni na l u m i n u m a l l o yr o l l i n gp r o c e s s e s as m a l l e rc l a s so fn e ws p a t i a lb a s i sf u n c t i o n si s o b t a i n e db yt h et r a n s f o r mf r o ms p e c t r a lb a s i sf u n c t i o n s b a s e do nn e w b a s i sf u n c t i o n s ，l o w e r - d i m e n s i o n a lo d es y s t e m sw i t hs a t i s f i e da c c u r a c y a r ed e v e l o p e dt oa p p r o x i m a t et h ed y n a m i c so fs p a t i o - t e m p o r a ls y s t e m s t h es t u d i e so ft h i sn o t em a i n l yc o n t a i nt h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ： i i i w i t ht h ek n o w nd p s s 。n e ws p a t i a lo r t h o g o n a lb a s i sf u n c t i o n sa r e o b t a i n e db yl i n e a rc o m b i n a t i o n sf r o ms p e c t r a lb a s i sf u n c t i o n s ，w h e r et h e c o m b i n a t i o n sm a t r i xa r ed e v e l o p e db yb a l a n c e dt r u n c a t i o nf o rl i n e a r t e r m s t h a tt h em o d e le r r o rb a s e do nn e wb a s i sf u n c t i o ni ss m a l lt h a n s p e c t r a lb a s i sf u n c t i o n sw i t ht h es a m eo r d e ri sp r o v e dt h e o r e t i c a l l y b a s e d o nt h eo b t a i n e dn e wb a s i sf u n c t i o n s ah y b r i di n t e l l i g e n tm o d e li s d e v e l o p e dt oa p p r o x i m a t et h es p a t i o t e m p o r a ls y s t e m s s i m u l a t i o n sf o ra t y p i c a ls p a t i o - t e m p o r a ls y s t e ma r eu s e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s s o ft h ep r o p o s e da p p r o a c h f o ru n k n o w nd p s s ，t h ee e f sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gt e m p o r a l c o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e db yp o df r o ms p a t i o - t e m p o r a lm e a s u r e do u t p u t ， t h u sal i n e a r0 d es y s t e mi su s e dt oa p p r o x i m a t et h et e m p o r a ld y n a m i c s f o rn o n l i n e a rs y s t e m s i m p r o v e de e f sa r eo b t a i n e df r o ms p a t i a lb a s i s t r a n s f o r ma n dt r a n s f o r m a t i o nm a t r i xi so b t a i n e db yb a l a n c e dt r u n c a t i o n f o r t h el i n e a r0 d es y s t e m t h a tt h em o d e le r r o rb a s e do ni m p r o v e de e f s i ss m a l lt h a nt h es a m eo r d e re e f si sa l s op r o v e dt h e o r e t i c a l l ya f t e r t i m e s p a c es e p a r a t i o nb a s e do nt h ei m p r o v e d 脚s ，t r a d i t i o n a li n t e l l i g e n t m o d e l sa r eu s e dt oi d e n t i f yt h ed y n a m i c so ft h eu n k n o w ns p a t i o t e m p o r a l p r o c e s s e s f o rt h ek n o w nd p s s ，n e ws p a t i a lo r t h o g o n a lb a s i sf u n c t i o n sa r e o b t a i n e db yb a s i sf u n c t i o nt r a n s f o r m sf r o ms p e c t r a lb a s i sf u n c t i o n s ，a n d t r a n s f o r m a t i o nm a t r i xa r ed e v e l o p e db yo p t i m i z a t i o nm e t h o d as i m p l e e r r o rf u n c t i o n sr e l a t e dt ot r a n s f o r mm a t r i xa r ed e r i v e ds t r i c t l yf o r o p t i m i z a t i o n 1 1 1 ea l g o r i t h mb a s e do np s o i sp r o p o s e df o ro p t i m i z a t i o n o fa no r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o nm a t r i x l o w e r - d i m e n s i o n a lo p t i m a l s p a t i a lb a s i sf u n c t i o n sa r eo b t a i n e df r o ms p e c t r a lb a s i sf u n c t i o nb y t r a n s f o r m u s i n gt h eo p t i m a lb a s i sf u n c t i o n sf o re x p a n s i o n sa n dn o n l i n e a r g a l e r k i nm e t h o d 1 0 w e r - d i m e n s i o n a lo d e s y s t e m sc a nb ed e r i v e d f o rf o u r - h i g hm i l lo fa l u m i n u ma l l o yh o t r o l l i n g ，a t h e r m a l m e c h a n i c a l l yc o u p l e dm o d e li so b t a i n e df o rt h ed e f o r m a t i o no fw o r k i n g r o l l s t h en e wm o d e lr e d u c t i o na p p r o a c h e sb a s e do nb a l a n c e dt r u n c a t i o n a r eu s e df o rl o wd i m e n s i o n a lm o d e l i n go ft h et h e r m a ld e f o r m a t i o na n d e l a s t i cd e f o r m a t i o n b a s e do na c t u a lp r o d u c t i o nd a t a 1 0 wd i m e n s i o n a l i n t e l l i g e n tm o d e l so ft h et r a n s v e r s et h i c k n e s sd i s t r i b u t i o n so fa l u m i n u m i v a l l o yh o tr o l l e ds t r i pb ys y n t h s i s o ft h e r m a ld e f o r m a t i o na n de l a s t i c d e f o r m a t i o no fw o r kr o l l s t h ep r e d i c t i o n ss h o wt h a t i th a sag o o d a g r e e m e n tw i t ht h er e q u i r e m e n t so f t h ee n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s k e yw o r d s s p a t i o - t e m p o r a ls y s t e m s ，s p e c t r a lm e t h o d ，b a l a n c e d t r u n c a t i o nm e t h o d s ，o p t i m i z a t i o nm e t h o d s ，s t r i pr o l l i n gp r o c e s s e s v 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 时空耦合系统降维方法研究现状1 1 3 模型已知的时空耦合系统的降维方法2 1 3 1 特征函数方法2 1 3 2 格林函数方法3 1 3 3 有限差分法3 1 3 4 权重残差方法4 1 4 未知时空耦合系统的降维方法1 6 1 4 1 格林函数方法1 6 1 4 2 有限差分法。1 7 1 4 3 有限元方法18 1 4 4 谱方法1 9 1 4 5k l 方法2 0 1 5 本文的主要工作2 l 1 5 1 本文主要解决的问题：2 1 1 5 2 本文结构安排2 2 第二章基于谱方法的时空耦合系统降维原理：2 4 2 1 引言2 4 2 2 时空耦合系统的偏微分方程模型2 4 2 3 空间基函数的选取小2 6 2 4 时空变量分离2 7 2 5 无穷维系统的有限维截断2 8 2 6 时空变量综合2 9 2 7 谱方法的拓展3 0 2 8 小结3 2 第三章时空耦合系统平衡截断降维方法3 3 3 1 引言3 3 3 2 新空间基函数的快速获取方法3 3 3 2 1 新空间基函数3 4 3 2 2 基函数转换矩阵的平衡截断方法3 5 3 2 3 理论证明3 7 3 。2 。4 仿真研究3 9 3 3 基于新空间基函数的混合智能降维方法4 4 3 3 1 混合智能降维方法结构4 4 3 3 2 仿真研究4 6 3 4 小结。5 0 第四章未知时空耦合系统平衡截断降维方法5 1 4 1 引言5 1 4 2 正交分解技术：5 2 4 3 实验特征函数的改进5 4 4 3 1 基函数转换矩阵一5 4 4 3 2 改进的实验特征函数5 5 4 3 3 理论证明5 5 4 4 基于正交分解技术的降维策略5 8 4 5 仿真研究。5 9 4 6 小结6 3 第五章时空耦合系统最优化降维方法6 4 5 1 引言6 4 5 2 最优空间基函数的获取方法6 4 5 2 1 谱空间基函数6 4 5 2 2 空间基函数转换6 5 5 2 3 基函数转换矩阵的优化6 6 5 2 4 优化问题的求解6 8 5 2 4 仿真研究7 0 5 3 基于最优空间基函数的降维方法7 3 5 3 1 建模方法步骤7 3 5 3 2 仿真研究7 4 5 4 小结7 6 第六章降维新方法在铝合金板带轧制建模中的应用7 7 6 1 引言7 7 6 2 现有的研究进展7 8 6 3 铝合金热精轧热力耦合数学模型7 9 6 3 1 工作辊的弹性变形模型8 0 6 3 2 工作辊的热变形模型8 2 6 3 3 工作辊的热力耦合作用变形模型8 4 6 4 板带横向厚度分布混合智能建模8 6 6 4 1 工作辊热变形混合智能建模。8 6 6 4 2 工作辊弹性变形平衡截断降维9 2 6 4 3 热力耦合板带厚度分布混合智能建模9 5 6 5d 、结1 0 1 第七章总结与展望1 0 2 7 1 内容总结1 0 2 7 2 创新点1 0 2 7 3 未来展望1 0 3 参考文献1 0 4 致 射1 18 攻读博士学位期间的主要学术成果11 9 博士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 在板带轧制，半导体制造，柔性机械臂等先进制造过程的研究过程中，由于 其输入和输出既随着时间变化，又根据空间位置的不同而不同，因此这些复杂过 程称为时空耦合过程，在控制领域被称为分布参数系统( d p s ) 。随着传感器技术， 控制器和计算技术的飞速发展，科学上和工程上对于时空耦合系统的控制研究越 来越活跃，对控制性能的要求也越来越高。最近一些学者研究时空耦合控制系统 的成果纷纷面世，典型的例子可见参考文献【1 5 】。其中时空耦合系统的低维模型 是许多实际应用包括对时空耦合系统进行系统分析，控制和优化的基础，因此本 文将集中研究非线性时空耦合系统的降维方法及其应用。 1 2 时空耦合系统降维方法研究现状 本章对时空耦合系统降维方法的研究现状给出一个系统的综述，主要内容包 括模型已知时空耦合系统的降维方法和未知的时空耦合系统的降维方法。 当时空耦合系统的模型已知时，根据其物理和化学等原理经过某些简化和假 设能够得到系统的名义上的机理模型，数学上用偏微分方程( p d e s ) 描述。虽然这 种模型仍然存在一些不确定性，但是其能代表一个复杂真实系统的主要的动态特 性。由于数值方面的有限计算能力以及有限数目的控制执行器和测量传感器，这 种机理模型的无限维系统需要用有限维系统，例如常微分方程组( o d e s ) 和差分 方程组( d e s ) 来近似。这种思想就是时空耦合系统的降维理论。 在很多情形下，由于系统参数和系统结构不完全确定，要得到系统的精确的 机理模型是很困难的。这些不确定性使得对时空耦合系统的降维变得复杂且具有 挑战性。因此，需要研究模型未知时时空耦合系统的降维问题。 模型未知的时空耦合系统的降维方法主要包括两种，一种是灰箱( g r a y - b o x ) 建模方法，当系统的模型结构部分为已知，另外一部分为未知，或者当系统的 模型结构己知而仅仅只有一些参数未知时，这些未知的结构或者未知参数能够基 于输入输出数据通过近似或估计能够得到。另外一种是黑箱( b l a c k - b o x ) 降维方 法，当系统的偏微分方程的结构和参数都未知时，其结构和参数都需要从输入输 出数据经过时空分离和辨识而得到，这种情形也就是时空耦合系统的黑箱辨识。 在过去的几十年中，许多研究人员在数学和工程领域对时空耦合系统的模型 博士学位论文 第一章绪论 降维理论，灰箱建模方法和系统辨识技术等领域进行了广泛而深入的研究，发展 了各种各样的方法。本文的主要研究对象是非线性时空耦合系统的降维理论，因 此有必要对时空耦合系统现有的建模研究成果进行一个简单而条理清晰的综述。 另外，由于时空耦合系统建模研究的领域复杂而巨大，想要在综述中包含所有的 研究工作几乎是不可能的。基于本文的研究内容主要是针对实际制造过程，如铝 合金板带轧制，半导体制造和柔性机械臂的高精度定位等，因此本综述主要注重 于可工程实际应用的降维方法并且进行大概的分类。为了简单起见，一些复杂的 数学理论包括偏微分方程解的存在性和唯一性，降维误差分析，参数辨识，估计 算法的收敛性等有可能不会在本章中给出，详细的过程请参见本章的参考文献。 本章1 3 节是介绍模型已知时空耦合系统的降维方法，1 4 节主要介绍模型 未知的时空耦合系统的降维方法，其中灰箱建模方法和未知时空耦合系统的系统 辨识方法的研究现状分别介绍于其中。 1 3 模型已知的时空耦合系统的降维方法 当时空耦合系统的机理模型完全已知的情况下，为了实现时空耦合系统的模 拟与近似，往往将时空耦合系统的偏微分方程模型和其边界条件转化为有限维的 常微分方程组或者是差分方程组。主要的降维方法包括特征函数方法，格林函数 方法，有限差分方法和一系列权重残差方法( 例如g a l e r k i n 方法，配点( c o l l o c a t i o n ) 方法，有限元方法，谱方法和k u r h u n e n - l o e v e 方法) 等。下面将逐一介绍上述 方法。 1 3 1 特征函数方法 对于线性时空耦合系统，可以利用分离变量方法得到其解析解【6 1 。假设已经 给出变量分离形式如下： r ( x ，f ) = q ( f ) 办( x ) = 歹7 ( x ) 万( r ) ( 1 - 1 ) i = l 其中歹( x ) ，万( f ) 分别表示空间变量和时间变量韵向量。将( 1 1 ) 代入线性偏微分 方程可以求出特征函数和特征值。对于线性偏微分方程的空间线性算子4 ，存 在标准的特征值和特征函数问题如下： 以( x ) = 乃办( x ) ，= 1 ，2 ，0 0 ( 1 2 ) 其e pc j ( x ) 表示特征函数，乃表示对应的特征值。b u t l l o v s l ( i y 7 1 在其著作中针对很 多典型的空间线性算子a 和边界条件给出了其相应的特征值和特征函数。 博士学位论文 第一章绪论 由于( 1 1 ) 表示的特征函数解是一个无限维的解，必须通过截断才能得到有限 维的近似解。当线性偏微分方程是自反系统的时候，通过截断能得到低维的近似 模型，否则为了达到一定的精度，截断后的近似模型的维数会很高。而对于高维 的近似模型，由于缺乏有效的测量空间分布性质和控制执行的手段，综合控制器 设计将变得很困难和复杂。进一步来说，进行时空变量分离的条件是非常严格的。 能否应用时空变量分离来得到线性分布参数系统的解不但取决于线性偏微分方 程的本身，而且取决于空间域的形状和空间域上边界条件的形式。 需要特别指出的是，对于非线性的时空耦合系统，寻找基于特征函数的分离 变量的解析解是相当困难的。一种方法是将非线性系统在某个工作点利用泰勒展 开进行线性化，得到的系统是一个线性系统部分加上一个非线性项。因此线性系 统部分的特征函数能用来将偏微分方程转变成为常微分方程。严格的来说，这种 方法其实和真正的分离变量方法是不同的，实际上它属于权重残差方法，将在后 面的章节中进行详细介绍。 1 3 2 格林函数方法 格林函数( g r e e nf u n c t i o n s ) 又称为脉冲响应函数或者核函数，利用格林函数可 以完全的表示线性时空耦合系统的系统特征，表示如下： 丁( 蹦) = fr g ( z ，f ，卜f ) “( f ，f 矽f 如 ( 1 。) 如果能求出特征函数和特征值的解析表达式，则可以得到格林函数的无限维特征 函数展开的解析解。然后通过截断能得到格林函数的有限维近似解。同样， b u t k o s k i y 7 】在其著作中给出了许多典型的线性微分算子的对应的格林函数。上述 格林函数方法需要假定时空耦合系统是线性的。然而在实际的应用过程中，许多 时空耦合系统本质上是非线性的。更进一步来说，当且仅当时空耦合系统是自反 系统的时候，才能得到格林函数的低阶特征函数近似解，在非自反系统的时候无 法保证一定能得到低阶的近似解。因此，对于非自反系统，可以利用输入输出数 据估计得到奇异函数，然后用奇异函数展开后截断得到格林函数的低维近似解。 详细的过程请见小节1 4 1 。 1 3 3 有限差分法 有限差分法( f d m ) 是求偏微分方程数值解使用较为普遍的一种方法【8 】。将时 间和空间变量在需要求解的时空范围内进行离散如图1 - 1 所示。 将偏微分方程对时间和空间的偏导数在每个离散点附近的邻域内利用泰勒 展开的前向，后向或中心等差分进行离散。基于上述时空离散过程，偏微分方程 博士学位论文第一章绪论 被转化为一系列差分方程的集合，其阶数与空间离散点的个数成正比。虽然有限 差分法能处理许多种类的带有各种边界条件和空间域的偏微分方程，但是有限差 分法得到的偏微分方程的数值解普遍精度较低。如果要得到精度较高的数值解， 则需要利用高阶的差分方程来对原方程进行近似，这将带来巨大的计算负担和存 储需求。 有限差分法中一个特殊的例子是线差分( m 0 1 ) 拶j 其主要的思想是仅仅在空间 变量上对偏导数进行差分离散，得到一组常微分方程( o d e s ) 的近似系统。线差分 的优点和缺点同基本的有限差分法完全相同。其具体的离散方法见图1 2 。 o o 图1 - 1 有限差分方法的几何表示 图1 - 2 线差分的几何表示 1 - 3 4 权重残差方法 权重残差方法( w r m ) 【1o ，1 1 1 是一种使用最广泛和最有效的时空耦合系统降维 方法。其基本思想来源于傅里叶级数展开：任何一个连续函数都能被傅立叶 4 博士学位论文第一章绪论 ( f o 谢e r ) 级数序列近似表示【1 2 1 。基于上述原理，时空耦合系统的时空变量r ( x ，f ) 能 够在一组空间基函数( b f s ) 谚 ) 如上展开如下： t ( x ，f ) = q ( f ) 谚( x ) = 歹7 ( x ) 万o ) ( 1 - 4 ) i = 1 其中歹( x ) ，万( r ) 代表了对应的空间与时间函数向量。与傅立叶级数类似，上述空 间基函数在空间频率域按照从慢到快迸行排列。由于快变量对整个系统的长期变 化的影响很小，因此在实际应用过程中一般忽略快变量而利用t ( x ，f ) 在前聆个空 间基函数上的展开来近似原系统的时空变量【1 1 1 。具体过程表示如下： 乃( x ，t ) - - q ( f ) 谚( x ) = 刃( x ) 瓦( f ) ( 1 - 5 ) i - - - ! 其中无( x ) ，瓦( f ) 分别代表了对应的前胛个空间与时间函数的向量。 珐( x ) 图1 3 基于3 个空间基函数的时空分离几何表示 基于上述思想，时空耦合系统中的时空耦合变量被分离成了空间基函数集合 与时间变量，这个过程称为时空变量分离。图1 3 对上述过程进行了一个简单的 几何描述。 在时空变量分离的过程中，为了得到时空耦合系统的低阶近似系统，关键 在于选择一组合适的空间基函数和构建低维的时间变量模型。最后，通过时空变 量的综合，得到原时空耦合系统的时空耦合近似，具体的过程见图1 4 。 假设研究对象为一维空间域上的时空耦合系统，其机理模型用偏微分方程表 示如下： 博士学位论文第一章绪论 时空耦合系统 上 时空分离 。问变量空间j r 时间动态模型空间基函数 r 1r 时空变量综合 量 图1 4 权重残差法的建模框架 丁a t ( x , t ) = 朋小8 咐) + f ( l 争n 等) ( 1 - 6 ) 其中t ( x ，f ) ，u ( x ，f ) 分别表示时空耦合变量和时空耦合输入；f 表示包含时 空耦合变量和输入及其对空间的导数的非线性项。方程( 1 6 ) 加上边界条件和初始 条件，成为一个完整的时空耦合系统。 则在权重残差方法中，由于有限维截断( 1 5 ) 而产生的方程残差可以表示为： m 力= 宅一( 以( 彬) + b u ( 蹦) + f ( 瓦，鲁，n 警，) ) ( 1 - 7 ) 令娩( x ) ) ：表示已经选择的权重函数集合，则为了使得方程残差最小，有 ( r ，仍) = 0 ，i = l ，2 ，” ( 1 - 8 ) 方程( 1 8 ) 即为将残差( 1 7 ) 投影到预先选定的权重函数上，因此残差( 1 7 ) 的最 小化也就是投影到权重函数上后的时间变量最小化，因此由方程( 1 8 ) 得到关于时 间系数 a 。n 一，的r t 阶常微分方程组。具体的投影过程用图1 5 表示。 注意到权重残差法是特征函数法的一种推广，二者不同之处在于特征函数法 仅仅能采用线性算子的特征函数作为空间基函数，而权重残差法能采用任何空间 基函数。因此权重残差法对于线性和非线性的偏微分方程都适用。 由于的精度和效率非常依赖于空间基函数和权重函数的选取】。因此，根据 权重函数和空间基函数的不同可以将权重残差法进一步分为很多不同的方法，每 种方法由空间基函数的选取和时间变量相关模型构建两个方面组合而成。 6 博士学位论文 第一章绪论 图1 - 5 权重残差法的几何表示 ( 1 ) 根据权重函数的分类 权重残差法基于权重函数的选择的不同可以分为许多方法，其中使用最普遍 的两种方法是伽辽金( g a l e r k i n ) 方法和配点( c o l l o c a t i o n ) 法。 1 ) 伽辽金( g a l e r k i n ) 方法 如果权重函数 仍( x ) ) 篙和空间基函数 谚( 功) ：。的取法相同，那么这种方法称 为伽辽金方法【1 使1 。在伽辽金方法中，方程残差( 1 7 ) 与每一个预先选定的空间基 函数正交，因此满足方程残差( 1 7 ) 最小的最优解一定存在于由前个丹空间基函数 组成的线性空间内。其优点在于不用另外寻找多余的权重函数，因此相对简单， 容易计算，故经常被采用。 令前甩个有限时间系数变量瓦( f ) = q ( f ) ，a 2 ( t ) ，( f ) r 为慢变量，剩下的无