（应用数学专业论文）几类投资连结保险产品的定价分析.pdf

摘要 k 4 6 7 2 9 7 ，、f 对f 依赖于随机因黍的投资连结保单的定价，传统的精算学方法已难以胜任， 币湛金融经济学中，对此类随机因素的问题已有了一套较完整的方法。本文在前 人总结出的投连保单定价的模型基础上，进步分析了几类投连产品的定价问 题：7 ， 全文一共分为三部分，第一部分主要讨论了一类存在退保情况下投连险产品 的退保问题。在前人所建模型上，以自l b 边界的形式来对应保单的提前退保，得 到了存在自由边界的偏微分方程模型。在此模型的分析中，由于自由边界的出现 对偏微分方程的求解带来了困难，本文着重对保单期末时的情况进行了局部分 析，讨论了保单在临近有效期末时的退保情况。 第二部分着重分析了一类假设保单生存受益中以预定的保障利率增长的资产 在期初的价格与保单期初价格( 即保费) 相关的无退保投连产品定价，由于保单 价洛依赖生存受益，而假设中的生存受益又依赖于投资帐户初始值，相应于模型 的数学形式表现为：模型中偏微分方程的终值条件与方程解的初值有关。对于此 类特殊的偏微分方程的求解问题，很难求出方程的解析解，因此，我们运用有限 差分法及超松弛迭代法来求解此方程的数值解，并对模型中假设的参数进行了分 析。 本文的第三部分继续了第二部分的内容，我们在模型中加入了可退保的情况， 使模型更贴近于实际产品，而模型的数学形式在第二部分的基础上再增加了偏微 分方程的自由边界条件，求解的方法则在第二部分方法的基础上进行改进，运用 线性互补问题及改进后的超松弛迭代法类似的求出了模型的数值解并对存在自 由退保和无自由退保的情况的模型的数值解进行了比较。 关键词：提前退保，自由边界，局部分析，相似解问题，线性互补瓶有限差 分方法，超松弛迭代法。 中图分类号：0 1 7 5 2 3 ，干昏蚁f 岔毕z 、乒 a b s t r a c t f o rt h ep r o b l e mo fp r i c i n gu n i t - l i n k e di n s u r a n c ep o l i c yi nw h i c hs o m es t o c h a s t i c f a c t o r si n f l u e n c ei t ，t r a d i t i o n a la c t u a r i a lp r i c i n gm e t h o dh a r d l ys o l v e si t b u tt h e r e h a v eb e e nad e v e l o p e dm e t h o df o rt h i sk i n do fp r i c i n gp r o b l e mw i t hr a n d o mf a c t o r si n f i n a n c i a le c o n o m i c s b a s e do nt h eb u i l tm o d e lb yo t h e r s ，p r i c i n go ft h r e ed i f f e r e n t u n i t l i n k e dp r o d u c t si sa n a l y z e di nt h i sp a p e r t h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef o c u si nt h ef i r s tp a r ti st od i s c u s st h e p o l i c yw i t hs u r r e n d e rn a t u r e c o r r e s p o n d i n g t os u r r e n d e rn a t u r e ，t h ef l e eb o u n d a r yi s i n t r o d u c e di nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l i ti sd i f f i c u l tt og e tt h ea n a l y t i c a l s o l u t i o no ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb e c a u s eo ft h ef r e eb o u n d a r y b ya n a l y z i n g t h e s ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h em o d e l ，s u r r e n d e rc o n d i t i o ni ss o l v e dn e a r t h ee n do fp o l i c yc o v e rt e r m t h ef o c u si nt h es e c o n dp a r ti st op r i c eas p e c i a lu n i t l i n k e dp r o d u c tw h o s e u n i t - l i n k e da c c o u n tr e l i e so nt h ep r i c eo ft h ep o l i c ya tt h eb e g i n n i n go fc o v e rt e r m b e c a u s eo ft h i ss p e c i ma s s u m p t i o na n dt h ea s s u m p t i o n st h a tt h ep r i c eo fp o l i c yi s b a s e do nm a t u r i t yb e n e f i ta n dt h em a t u r i t yb e n e f i ti sr e l a t e dw i 出u n i t - l i n k e da c c o u n t t h eb o u n d a r yc o n d i t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb e c o m er e l a t e dw i t ht h e s o l u t i o no ft h i sp d ea tt h eb e g i n n i n go fc o v e rt e r m f o rt h i sc o m p l i c a t e db o u n d a r y c o n d i t i o n ，w ec a no n l yg e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h i sm o d e lb yf i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o di n s t e a do fg e t t i n gt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n a n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h i s m o d e la r ea n a l y z e di na c t u a r i a lv i s i o n t h ec o n t e n to ft h es e c o n dp a r ti sc o n t i n u e di nt h et h i r dp a r ta n dt h es u r r e n d e r n a t u r ei sa d d e di nt h em o d e l a n dt h es u r r e n d e rn a t u r ea s s u m p t i o na p p e a r saa d d e d f r e eb o u n d a r yc o n d i t i o ni nt h ep d e s t h es o t v i n gm e t h o di si m p r o v e db yu s i n g l i n e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e ma n dp r o j e c t e ds o rm e t h o dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n s i sd i s c u s s e da n dc o m p a r e dw i t ht h es o l u t i o n si nt h es e c o n dp a r t k e y w o r d s ：s u r r e n d e ri na d v a n c e ；f r e eb o u n d a r y ；l o c a la n a l y s i s ；s i m i l a r i t ys o l u t i o n so f p d e s ；l i n e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m ；f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ；s o rm e t h o d ； 第一章引言 1 1投资连结保险的介绍及定价问题的回顾 确：现今的寿险市场上，投资连结型产品( 以下简称为投连险) 作为最年轻的 一类寿险产品，以其独有的特点己成为寿险市场中的主流产品。在一些发达的欧 荚国家中，投连险早已成为销售最多的寿险险种，而在2 0 0 1 年的中国寿险市场 中，投连险的销售情况也已超过其他传统寿险产品。投连险在保险市场中如此受 顾客青睐，主要原因在于二快速增长的经济使得投资理财成为个人经济增长的最具 潜力因素，而顾客需求则从以往单一的保障型保险提升为兼具保障理财双重功能 的投连产品。 从精算学的角度来：葺，投连险相对于传统寿险产品的最大不同在于风险的承 担和保单定价的不确定性。传统的寿险产品都拥有固定的受益，且对于此受益有 相应圊定的预定利率及较稳定的风险；而投连险产品为每一份保单设立一个独立 的投资帐户，并且被保险人的受益均依赖于帐户的资产价值；即对每一份保单， 其持有人完全承担投资风险。由于市场上的众多不确定因素，其投资帐户价值为 随机值，当保单价值低于退保受益时，投保人则有可能选择退保。在这些复杂因 素的影响下，投连产品的定价已超出了传统精算学保单定价的范畴，而更类似于 金融经济学中的期权定价。 对1 f 这些随机因素的影响，在金融经济学的期权定价中已有了一套比较完整 的理论，并且早在1 9 7 6 年，b o y l e 和s c h w a r z 就将期权定价的方法运用于保单定 价这一领域，而对于投资连结保单的定价问题，在无退保情况下运用期权定价方 法也已有了较成熟的模型( 见参考资料 3 8 1 1 9 1 0 】) 。在本文中，我们将在此模 型基础上，进一步运用金融经济学中的期权定价方法和数学工具来讨论投连产品 的定价问题。 1 2 内容简介 本文以前人已建立的投资连结产品定价模型为基础模型，进一步讨论几种近 似实际中的投连险定价模型的情况及对定价模型的分析及求解。 本文的第一部分首先分析了一类存在退保情况下投连险产品，在已有模型基 础上以偏微分方程的自由边界的形式来肘应f 呆单的提前退保，由于自由边界的存 在给求解方程的解析解带来了困难，本文则着重对保单划末时的情况进行了局部 分昕，讨论了保荦在临近有效期未时的退保情况。 本文第二部分假设了一类更贴近_ f 时务中的投连产品模型，由于保险市场中 的投连产品的独立投资帐户的初始值一般部依赖于投保人所缴的保费，因此在第 二部分中，我们假设保单生存受益中以预定的保障利率增长的资产在期初的值与 保单期初的价格( 即保费) 有关，相应于模型的数学形式表现为：模型中偏微分 方程的终值条件与方程解的仞值有关。对于此类特殊的偏微分方程的求解问题， 很难求出方程的解析解，因此，我们运用有限差分法及超松弛迭代法来求解此方 程的数值解，并对模型中假设的参数进行了分析。 本文的第三部分继续了第二部分的内容，在第二部分的基础上加入了退保的 情形，使模型更贴近于实际产品，而模型的数学形式在第二部分的基础上再增加 了偏微分方程的自由边界条件，求解的方法则在第二部分方法的基础上进行改 进，运用线性互补问题及改进后的超松弛迭代法类似的求出了模型的数值解并对 存在自由退保和无自由退保的情况的模型的数值解进行了比较。 庄此，先介绍一下前人己建立的基础模型。 1 3 基础模型的建立 本节将先给出运用金融经济学中欧式期权定价方法得到的投连产品定价模 型。在建立模型之前，首先给出以下符号与假设： ( 1 )记r 为保单期限，i 为被保险人参加保单计划时的年龄，为从被保险人 参加保单计划开始的时间，显然有f 0 ，t 。 ( 2 ) 对于每一份投资连结保单，都拥有一个独立的投资帐户，假定t 时刻投资 帐户资产的市场价值为随机过程爿，若投资帐户的投资资产为可交易资 产，且资产交易市场为无套利市场，由参考资料 1 ， 2 知此时a ，满足以 下的随机微分方程：d a ，= r a d t + 倒咖，其中r 为无风险利率，仃为随机 波动率( 本文中，盯为常数) ，为风险中性概率测度下的标准布朗运动。 ( 3 ) 本文中讨论的投连产品均有最低保障利率，其生存受益与死亡受益均依赖 于此保障利率；即此类保单的受益有一个最低保障。假定在保单合同的责 任有效期内，保单的保险责任为： 生存保险金：若被保险人于保单生效期满时仍生存，则可以得到一次性支 付的生存保险金s ( t ，a ，) ，其中a 表示在r 时刻相应的4 的值。 身故保险金：若破保险人在保单生效期内的某个时刻t 身故，则叮以得到 次性支付的身故保险金6 “，4 ) ，保单立即终i l 。 ( 4 )存本文中记。i 、f ) 为x 岁参加保险的人存x “岁时的死亡效力，并假定 。( f ) = 为常数。 下面再以上假设的基础上建立模型： 记，时刻的保单价格为v 仉爿) ，由参考资料 3 1 1 4 s 】，可知此基础模型的偏微 分方程为： 3 t 删尘o a + z2 筹可州”脚，耻。， 。， i f - t ：v ( t ，爿) = s ( t ，4 ) 下面，我们将在此模型的基础上，分析几类投连产品的定价和退保情况。 第二章存在自由退保情况下的保单退保分析 本章所讨论的是一类存在自由退保情况下的投资连结保单的定价问题的局部 分析。首先建立可退保情况下的偏微分方程模型，并以自由边界的形式来对应保 单的提前退保，进而分析模型中参数的选取对自由边界存在亦即提前退保的影 响，由于自由边界的出现对偏微分方程的求解带来了困难，本文着重对保单期术 时的情况进行了局部分沂，讨论了保单在临近有效期末时的退保情况。 2 1 模型的建立 本章讨论一类存在可自由退保的投资连结保单 如下假定： ( 1 ) 被保险人在f o ，t 1 的死亡收益为： 6 ( f ，a ) = k a ， 在原模型的基础下，我们做 ( 2 1 1 ) 比例系数k 满足：0 k ，一一亿的条件下保单临近期末时的退保情况。根据金融经济学中的市场 无套利原则和决定退保的因素的唯一性当且仅当提前退保的收益大于等 于) 保单当时的价格的情况下，被保险人退保方程( 2 1 5 ) 可改写为：( 见参考 文献 4 ) ) ) n l r 、 r 南- - 西- + r a 谢o v v + ；! 筹州”肌。 h f ，j ) h ( t 爿j 对于任伺时刻的，我们都可以将a 轴分为两个互不相交的区域 不退保区域在退保区域中，满足： 【塑+ 朋旦+ 三盯z 万0 2 v ( r + ) 。+ 卢朗 ( ，爿) 退保区域和 ( 221 ) ( 2 2 3 ) 在本章中，我们只考虑在区域 ( f ，a ) i g e ” a ) 中的保单退保情况。右仕此匹 域中退保存在，则必然存在退保区域，此时： v c i ，舻蛳，护g e “【l - 黠 ， ! 4 其中( ，瓯t d ，代入( 2 2 2 ) 中微分不等式，整理可得： 而3 ( t - t ) e + 等叫叫删一器， ( 22 由l2 2 5 ) ，退保区域内必成立：爿 4 ) 中，方程( 2 1 5 ) 化为： 翌o t 州塑0 , 4 + 爿2 筹川州v + 脚扎。叩“g ， 仁7 ：帆爿) = g ， r 。) 7 、 ，拟卅脚旷一器， 心。“ 翌) ：0 剀 为了在保单临近到期日时对提前退保情况作进一步分析，引入如下变量代 换： f = 一 盯一 a ：g p p 1 ( 2 2 8 ) 降器+ 寨c 专一等州亿n 删，o f 当( x , x f ( f ) ) = ( ) 羚呲u ，：等+ 亡1o - 2c 骞七一瞄”蒜m 由( 2 2 1 ) 知，相应于u r ，x ) 的约束条件为：u ( r ，x ) 20 特别，考虑f = 0 附近的情形，对于一o c x 0 ，“随着r 由零增大而迅速变为正值，对应于原方程中的 器 ) ) 9 o【 2 2 2 ( 2 v ( ，爿) 一a ( ，一) 0 即保单价值大于退保受益，被保险人将会选择继续持有保单 而当r r 。 0 时h ( o ，r ) 瓦o u ，篆芋 “，( 2 2 9 ) 中的微分方程可近似为： 霎：喜十2 生盟( x - - x 0 ) ， a f o x 2 。 ! 口： 2 且自由边界为x = x j ( f ) 瞄= 罢= o ，x ，( o ) = 嘞 其中h ( r z ) 为u ( r ，x ) 得近似解。 由于方程( 2 2 1 6 ) 及其边界条件的特殊性，我们运用偏微分方程的相似解 ( 见 4 ) 的方法将其化为只有一维变量的常微分方程，从而使此时的自由边界 问题简单化。 作变量代换，令喜= 掣，玉= f j “+ ( 亏) ， f 并殴代换后的自由边界形如x 7 ( f ) = x 。+ 彘f 等 ) ) 8 9 0 2 其中品为一待定常数； 此时方程( 2 2 1 6 ) 可改写为 “二“l d u 一，一一 d e ! i2 1d 二 ! 竺竺立! f ：0 l、 7 2 盯一 而原自由边界条件( 2 2 1 7 ) 转化为方程( 2 2 2 0 ) 的边界条件，为： i a ( 彘) = 答( 彘) = 0 。 c2 2 2 1 ) d 亡 于( 2 2 2 0 ) ，( 2 2 2 1 ) 中彘为待定，为得其解尚需讨论善- 一。时解的 性质，而由金融经济学知，当善斗一。，即x 斗一0 0 时，可推出爿_ 0 ，即投资账 户资产趋为零，则此账户对保单价值的影响非常小，即i 几乎不依赖r ，此时 型寸0 ，由( 2 2 1 0 ) ，知： 再由变量代换( 2 2 1 8 ) ，可得 g 十吗。+ ( g ) 尘掣g 。 = 盯 解由( 2 2 2 0 ) ，( 2 2 2 1 ) ，( 2 2 2 2 ) 组成的常微分方程，可得 。“( 孝) ：! 二二掣善十c 。“。+ ( 善) + c 。“：( 孝) ， 盯。 ， 其中“，+ ( 善) = 孝3 + 6 善， 。! + ( 告) ：( 亏：十4 ) e - 4 ) e f + 去( 舌3 + 6 毒) f e ；2 d 毒 “! + ( 告) = ( 亏2 十4 + 去( 舌3 + 6 毒) 4 d 毒 由( 2 2 2 2 ) 可推出c ，= 0 。 一 ) ) 纵 鲇 2 2 2 2 ( ( o 17 坐二! 立：n ! ， 2 整理得：氏之；( 氏) ：。：( 氢) ，即为超越方程 “i 爵 赢为超越方程( 2 曼2 7 ) 的解， 而( 222 6 ) 中的c ! = 二鼍警 方程( 222 7 ) 可通过牛顿迭代法得到其数值解： 赢= o9 0 3 4 由式( 2 2 1 7 ) 及变量代换( 2 28 ) 可知原方程中的自由边界在r _ t 时近 似为： a 1 ( f ) ，、( j p ，g 再，r ：g g c r 9 6 v ；“2 。+ “ = g e 。【1 + 氦j 吉盯2 ( 7 _ 一，) + ) 即为投资连结保单临近到期时的退保情况的近似描述。且当。丁时，由( 3 2 ) _ 1 得： 一( 卟渺。“出口等笪 ( 22 2 此即( 2 2 1 4 ) 。 关f 其他形式的退傈受益下的提前退保情况，在参考资料 1 1 中已有较详细 的讨论。 第三章一类具有特殊生存受益的无退保保单定价 划十投资连结保单的定f a 问题，从上章的分析中我们可以知道，对于模型 中较复杂的偏微分方程，我们狠难求出其解析解，但我们可以借助偏微分方程的 数值求解方法来解决这一问题。在本章中，我们将模型假设为与实际更接近的情 况，即保单生存受益中以保障利率r 、增长的资产在t = 0 的值与保单期初的价洛 ( 即保费) 有关的情况，相应于模型中即为偏微分方程的终值条件与方程解的初 值有关。对于此类特殊的偏微分方程求解问题，我们将运用有限差分方法来求得 方程的数值解，并根据解的情况对模型中的参数进行分析。 3 1 模型的建立 在本章中我们主要处理无自由退保情况下的保单定价。为使模型更贴近实 际情况，保单两全受益的假定与第二章有所不同。其主要区别在于本章中讨论的 生存受益以保障利率增氏的资产在，= 0 时的价值与保单期初价格( 即保费) 有关，具体假设如下： ( 1 ) 被保险人在t 0 ，t 的死亡收益为： b ( 1 爿1 = k a 。 ( 3 1 1 ) ( 2 j 保险人在t 时刻的生存收益为： s ( t ，a ) = m a x ( k l v ( 0 ，a o ) + g ) e “，a ) ( 3 1 2 ) 其中v ( 0 ，a 。) 为在初始时刻时的保单价格，a 。为初始时刻的投资账户价值。 ( 3 ) 被保险人没有退保的权力。 由于( 2 ) 中假设保单期末的价格( 即为生存受益) 与保单期初的价格有关， 结合基础模型( l 3 1 ) ，式( 3 1 2 ) 变为方程的终止值条件，但此条件相当特 殊：终止值v ( t ，a ) 依赖于初始值v ( 0 ，a o ) ，相应的偏微分方程为： 害+ 叫翥+ 圭a 笔；一c r + ，v + 肚a = 。， ，= t ：v ( t ，爿) = m a x ( k l v ( o ，a o ) + c o ) p ”7 ，4 ， ( 3 1 3 ) ，o v 4 一引剧针瓯 3 2 特殊情况的解析解分析及方程模型的简化 为r 分析方程( ： l3 ) ，我们首先来讨论当a = 0 时的保单价洛， 由a 服从儿何布朗运动可知，若a 。 0 ，则对任意的， 0 ，均有a ， o 。因 此若伍保单某一任意时刻的资产价值a ，= 0 ，那么必有：a ，= 0 ，v t 0 ( 见15 1 ) 。 因此此时的方程化为一阶常微分方程： _ d v ( r t , o ) 叶+ 咖【f ，0 ) - o ， ( 3 2 1 ) 出 lo lj i f ：7 1 ：v = ( 七l v ( o ，o ) + c o ) 已引 求解此方程，可得：v ( ，o ) = 了忐叫) f ( ：j 2 2 ) 但对于方程( 3 1 3 ) 的一般情况，由于其边界条件及初始条件较复杂，我们 很难求出方程的解析解。因此，我们考虑用数值求解的方法来求解此方程。首先 先对方程( 3 l 3 ) 的复杂形式进行简化。 作变量代换： = r p “， 彳：j i 6 2 卅“ t = 三盯2 ( 了1 一f ) ， 方程变为： 堡：j 璺+ j ：窑十丝孥。7 十等， a f础剖2盯2 r ：o ：虿( o ，夏) = m a x k ，e 一训7 亨( 去万2 r ，五) + c o e r o t ，夏j 再作变量代换：j = e y ，方程变为： 其中，巾，y ) ：娑。+ 等 仃一 ( 3 2 3 ) f 3 2 4 ) ( 3 2 6 ) 蜥 矿 g + 盯 1 2 勺 一 b 婶 n l | l 州 堕矿即 = o 翌丹 p 且f o - _ 10 - 2 r ，方程中符号j ，j 。歹。歹中的下标表示相应时刻时止，的值c 2 为了求解方程( 3 2 j ) 的数值解，我们必须先假设合理的边界条件， 自结果 ( ： 22 ) 可知： y 一。c 日a 寸0 ，矿( r ，) ，) = v ( t ，o ) p “7 r，( 3 2 7 ) 当y _ + 。o 即a - 一o 。，因为保单投资账户价值非常大，此时保单的其他受益 卡廿对_ 此价值几乎可以忽略不计，因此，我们假没v ( f ，4 ) a ，由变量代换 ( 3 2 3 ) ，即为： 1 ，2 r y 寸，o 。，矿hy ) g + “+ 7 ( 3 2 8 ) 我们把( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 作为方程( 3 2 5 ) 求解数值解的边界条件。 3 3 有限差分法求方程的数值解 有限差分法( p i n i t e d i f f e r e n t i a tm e t h o d ) 是用于求解偏微分方程数值解 的一种强有力的技巧，如果运用得当，可以得到非常精确的结果。本节将利用有 限差分法来求解方程( 3 2 5 ) 的数值解。 首先，为了将偏微分方程化为有限差分格式，我们将y 轴和r 轴等距离划分， 间距分别为旁和所。这就将( f ，j ，) 平面划分为的距离的网格，网格点为 ( m s r ，n 咖) 见图( 1 ) 。 l 十夏冬】i 11 年l f 丰i r 轴砂! 茌茁l 狮_ l i 两足：- 函少巧， 0 z - 0 时，c r a n k n i c o l s o n 差分法都是稳定的 ( 砂) 4 ( 见参考资料【4 ) ) 。 方程( 325 ) 中的孛刀始条件近似为： 筇= m a x k l p h 。刊7 碟+ g 8 ，p 1 旁 ( 3 3 6 ) 而对边界条件( 3 27 ) 和( 32 8 ) ，可近似为： 矿：。例”等， + z 2 ：节? + ； ：一翁：+ i ：j 、十6 r - f ：。 眭j ( 3 3 5 ) ，即：可? “一妻口( 醒j 1 2 v + 磲j 1 ) = z j 以矿”和b 表示在m s c 时刻的近似值的向量，即： ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 33 1 0 ) 并地 、量 fi + “一上口 j 土时l 十口 = |o一土口 ；0 o 差分形式( 33 5 ) m r ”1 = 6 0( ) 一土口o ! |0 l 一一口l o一土硝】+ 甜j 可简单记为如下形式 1 3 3 此时，原方程及其边界条件全部化为线性差分格式，我们将运用此线性差分 格式束对模型进行数值求解。首先，我们将假定一个在i = 0 时保单的初始价格， 利用超松弛迭代法及方程的边值条件，可逐步得到，- t 时的保单价值，再由模 型中的特殊初值条件( 3 3 1 ) 重新的到一个保单的仞始价格，如此迭代，最终 r 口以斛刮一列收敛的保单舟初始时刻的价值，当达到一定的收敛要求时我们取 最后一次迭代所得的保单价格为，= 0 时的保单价格的数值解。整个运算主要由一 个双蕈迭代组成，超松弛迭代法将作为其中的子迭代。在下文中，我们将具体介 绍算法步骤。 3 4s o r 算法及算法步骤 在本节中，我们将介绍超松弛迭代法，即s ( ) k 方法，及此算法的具体步骤。 s o r 方法在本文中主要解决矩阵问题，蛳“= ，即作为整个算法的一个子算 法。 首先，根据s o r 算法，将矩阵问题 疖”“i = 圹写为迭代形式，迭代公式如下： 其- 1 ，口为趟按弛参数，满足：0 口 ： 可以证明，用迭代公式。3 4 1 ) 求解矩阵( 3 3 1 4 ) 是收敛和稳定的。( 见 参考资料 6 j ， 7 ) 我们将用r 方法，依赖边界条件( 33 7 ) 和( 、j 38 ) 实现步骤i 。_ i ”， 此j 骤为我仃j 罄个算法的一个子算法，具体如下： p “1 1 一，一卜“i ， l l l _ 1 ) 给定i ，由( 3 39 ) 和( 33 ) 得到圹。 量令p + i 的剖始猜测值i “为矿。 。随着下标 的逐渐增火，由边界条件( 3 3 7 ) 和( 3 3 8 ) 通过式： 川= 上l + a + 圭弧爿”1 - 1 ”) 构 造 片“ ， 然 后取 f ”“j = f ? “7 十河( j ：h 卜一f ? 卜。7 ) ， 童、检验忙“川一1 是否成立，若成立，则转到：台则，回到 继续进行迭代。 蔓、自i 一”达到收敛要求时，取矿“= “川 我们可以通过重复以上的_ 步骤实观_ 寸”。 3 5 数值求解步骤 r 血j 博介口此类投连险的数值求节的步骤，34 节中的s o r 算法将作为其中 的个了算法。 从( 3 3 j ) 一( 3 3 8 ) 中，我们盯j 以注意到初始条件( 3 3 6 ) 中方程的初 始值与终止值有关，将其记为迭代形式： ，1 ”：n o x ，掣+ o 。、j ， l 、 k f _ 。 一 ? “ “ ，-? 、 引 十 上 其中，矿? 为蹭的第i 次迭代。即我们从初始值。瓦? 出发 v 。且一 。 v ，由此迭代平 jh 一节中的s o r 迭代，依次求出，矿。当i m 由h - 节的子步骤，可实现：。硭寸。瓦”，得到。“v n o 。 检验0 碟。碟0 s 是否成立，其中为足够小的正整数，若成立，继续 至0 ，否贝4 ，回至4 。 当。碟达到收敛要求时，取皖7 。碟 v n n ，此时碟经过变量代换( 3 2 3 ) ，相应为保单的期初价值，这 样，我们得到了保单定价的数值解。 3 6 数值结果及参数分析 根据以上的算法及步骤，我们可以得到保单期初定价的数值解。由于在模型 的假设中，我们假设了许多参数，在本节中我们将通过部分数值解，来分析这些 参数的变化对保单价格的影响。 我们将主要分析七，和两个参数。 ( 1 ) 我们首先分析参数“对保单定价的影响。 假设参数仃= 0 4 ，= 0 1 5 ，r o = o 1 ，曩= 0 6 ，k = 0 6 ，t = 3 0 ，g = 5 0 0 ，c o = 5 0 ，固定 不变而参数3 分别取3 = 0 1 9 ，3 = o 3 ，= 0 4 依次变大，求得的数值结果( 即 期初保单价格) 如表( 3 1 ) ： 4 0 v ( = 0 1 9 )v ( = o 3 )v ( 口= 0 4 ) 1 48 7 9 7 386 5 2 3 884 4 9 9 l8 3 1 5 9 6 2 00 8 5 5 41 1 6 6 6 9 l1 1 4 0 5 7 31 1 2 2 5 3 4 2 71 1 2 6 41 5 7 3 6 2 71 5 3 9 5 6 71 5 1 5 2 6 ：3 65 9 8 2 32 12 2 9 5 22 07 8 1 5 32 04 5 3 8 6 4 94 0 2 4 52 86 4 4 92 80 5 1 6 92 7 6 0 9 7 9 6 66 8 6 3 33 8 6 5 4 9 l 3 78 6 5 i 3 72 6 9 3 9 00 1 7 l ：j5 2 1 6 7 3 7 j 1l l2 j ：3 5 03 0 8 2 8 11 15 1 0 4 27 0 如7 76 89 9 4 ：j6 79 0 9 0 5 1 6 10 2 l9 19 5 f 3 0 0 69 3 1 ：2 1 99 l6 6 7 6 l 1 2 1 【j 6 ，1 212 82 6 7 31 2 5i l t l 9 51 2 ：37 3 8 3 2 2 9 8 8 6 7417 313 3 4 71 6 96 9 7 11 6 7 0 2 9 2 4 t 0 ： 1 2 8 7 92 3 36 9 7 1 12 2 9 0 6 6 8 22 2 54 6 5 8 8 5 4 。l5 7 1 9 l0 】54 5 0 】43 0 92 0 7 5 83 0 43 4 7 0 9 7 3 50 9 j 1 94 2 58 0 5 8 94 l7 3 8 6 3 24 1 08 2 5 5 9 9 9 2 2 7 4 7 25 7 4 7 7 1 35 6 34 1 2 ：j 75 5 4 5 5 6 5 3 表( 3 1 ) 其中的符号分别为： a 。一期初时投资账户的资产价值： 矿此模型的保单价值。 从表中可以看到，当逐渐变大，而其他的参数不变时，保单价格将会减小。 从一般精算的角度来考虑，j 在模型中代表死亡效力，当“变大时，根据此类保 单的假设，保障期限将会变短，且被保险人更有可能拿到身故受益金，而非生存 受益金，由于投联产品的主要功能在于投资，死亡赔付一般比生存赔付要低，且 投资账户的投资时间也会变短，所以保单的价值也会相应变低。 ( 2 ) 同样，我们来分析保障利率 假设参数叮= 0 4 ，r = o 1 5 ，l = o 6 ，= 0 6 ，t = 3 0 ，g = 5 0 0 ，c o = 5 0 ，= o 1 9 固定 不变，而参数分别取七= 0 0 6 ，r c = 0 0 8 ，r c = 0 1 0 依次变大，数值结果如表 ( 32 ) ： a 。矿( = o0 6 )矿( = o 0 8 )矿( ，g = 0 1 0 ) 1 48 7 9 7 386 2 4 9 58 6 3 3 0 28 6 5 2 3 8 2 00 8 5 5 41 1 6 3 9 7 61 1 6 4 7 4 71 1 6 6 6 9 1 2 71 1 2 6 41 57 0 9 5 3 1 5 7 1 6 8 31 5 7 3 6 2 7 ：6 5 9 8 2 32 1 2 0 3 3 52 1 2 1 0 22 12 2 9 5 2 4 94 0 2 4 52 86 1 9 4 4 2 86 2 5 82 8 6 4 4 9 6 66 8 6 3 33 86 3 0 3 43 8 6 3 6 1 8 3 8 6 5 4 9 l 9 0 0 17 1 3j 21 4 3 8 55 2 1 4 9 1 5 5 2 1 6 7 3 7 1 2 l5 1 0 4 2 7 03 8 5 3 97 0 3 9 0 1 47 04 0 7 7 i b 40 2 1 9 l9 j 0 0 9 0 99 50 1 3 2 9 i9 50 3 0 0 6 2 1 1 0 6 4 2 l ：1 82 i 1 7 812 82 5 1 i1 2 82 6 7 3 1 9 8 8 6 7 4 l ”：j1 l j 51 i 31 1 8 7 l7 3 13 3 5 ( ) i 2 8 7 92 36 8 ( ) 82 3 36 8 ：3 j 2 ：3 _ 6 9 7 l j i4j 7 l9 l3 ：54 3 5 53 1 5 3 7 7 3 1 5 4 5 0 l 7 1 j0 9 5 1 94 ：1 57 9 2 94 2 5 7 9 4 7 4 2 j 8 0 5 9 9 9 22 7 4 7 25 i 4 7 5 9 95 7 4 7 6 1 4 5 7 47 7 l ：3 从表中可以看到，当参数亿逐渐变大， 变大。原因是由于保单的保障利率变大时 格就会变大。 而其他的参数不变时，保单价格也会 保单的保障功能也相应增加，保单价 同样，可用模型的数值解来分析模型中的其他参数。 本章运用了数学中有限差分格式来求解偏微分方程的数值解的方法，完成了 对一类无退保情况下的投资连结产品的数值求解，并对模型中参数的变化对保单 价格的影响进行了分析。在下一章中，我们将继续讨论在此特殊生存受益情况下 存在退保的傈单定价。 第四章一类具有特殊生存受益的可退保保单定价 在当今的保险市场中，大部分的投资连结产品都存在可退保的条款，即在一 定的时间范围内，投保人可选择退保，在本文的第二章中，我们已详细讨论过一 类存在自由退保的投连产品解析解分析。而在第三章中，我们又得到了受益依赖 于保单期初价格的无退保投连保单的数值解，在本章中，我们将在第三章的模型 及求解的基础上，加入可退保情况，进一步使模型贴近保险市场，并对模型进行 求解。 4 1 模型的建立与简化 本章着重处理的是存在可退保假设时的保单定价。在第三章的基础上，我们 进一步作如下假定： ( 1 )保险人在时刻f 0 ，t 退保受益为 肌 ) = m a x 篙删f ( o ，剐“i 归，n 叭 h 1 l 及保单只允许在一定的时间范围 瓦7 1 中退保。 ( 2 )被保险人当且仅当退保受益大于等于当时的保单价值时选择退保。 我们把最优退保时刻的条件作为偏微分方程的自由边界条件，即： 一，： 鬻篇， ，z ， 其中a + 代表自由边界。于是相应的偏微分方程为： 肛删嘉+ 爿2 筹却训v + 蒯一o ， ，= 7 1 ：v ( 7 1 ，a ) = m a x ( k 矿( o ，a o ) + g ) p 刨，爿) ， 爿= 爿，：v ( f ，4 ) = h ( t ，4 1 ， ( 4 ，1 3 ) v ( ，a ) = h 。( f ，爿) ， i 加 爿 ：f 一 g ( r ，y ) 此时，保单价格大于退保受益，被保险人将继续持有保单。 为了进一步对方程进行数值求解，我们先对方程的边界条件进行分析： 当。叶一。，即a 斗0 ，此时投资帐户的价值为零，被保险人不会选择退保， 情况与第三节中无退保情况( 3 2 7 ) 相同，为： y 斗一，矿( f ，_ y ) = v ( t o ) e 脚1 一一鱼 。( 4 1 1 3 ；jv 寸十。，a 一十m 此时投资帐户价值相当大 因此，我们假设投保人回选择退保，得到以下近似 y + c 。，矿( r ，j ，) = g ( f ，) 退保受益会超过保单价格 我们将( 4 1 13 ) 和( 41 1 作为( 41 6 ) 的边界条件 可以化为如下的“线性互补问题”( 见参考资料：4 ) ： ( 当一尝一厂( f ，y ) ) ( ；( f ，j ，) g ( r ，瑚= o cz - 哕 兰一当一厂( w ) o 矿( 叫) g ( w ) ， uz c y 7 ( 0 ，y ) = g ( 0 ，y ) ， p l i r a 。f ( ，力= p l i r a 。烈，力，一l i m 。g ( t 力= 一e ( r 缶 。 4 2 有限差分法求方程的数值解 ( 4 1 1 4 ) 方程( 4 i 6 ) 类似于第三章中