（基础数学专业论文）欧氏空间中直纹面的伴随曲面.pdf

l ， ：? l 1一耍；一 ；，一q-1_-1 -jji， at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s | l i | | | i | i | l y 1 a d j o i n ts u r f a c e so fr u l e ds u r f a c e si n e u c l i d e a n 3 - s p a c e b yz h a n gn a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 警。i，-1 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 = 也 恧 学位论文作者签名：传桶 日 期：沙啼、7 |。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半i z !两年口 学位论文作者签名：仁棉 签字日期：、沁氟7 导师签名： 签字日期： 诊芝 ， 一 一 ： 东北大学硕士学位论文摘要 三维欧氏空间中直纹面的伴随曲面 摘要 微分几何是一门历史悠久的学科甚至可以这样说，在微积分诞生的同时就诞生了 微分几何，不过这门学科的生命力至今仍很旺盛近年来它对其他分支的影响也越来越 深刻，对于自然学科中其他学科的影响范围也越来越广与此同时这门学科本身从内容 到方法也在不断更新曲线论与曲面论是微分几何中两大重要内容，其中直纹面由于具 有很好的性质在曲面论中占据十分重要的地位，受到曲线论中伴随曲线对( 如b e r t r a n d 曲线对，m a n n h e i m 曲线对) 思想的启发，联想到研究曲面论中直纹面及其伴随曲面的对 应关系问题 三维欧氏空间中的直纹面可以是可展曲面，也可以是极小曲面，单叶双曲面和双曲 抛物面本文用微分几何的方法，从三维欧氏空间中的直纹面出发，分别讨论以上四类 直纹面的伴随曲面的性质第一章介绍本文的研究背景及相关的基础知识，如欧氏空 间、直纹面、可展曲面、极小曲面、单叶双曲面、双曲抛物面的定义和性质等第二章 对一般形式的直纹面及其伴随曲面的各个基本量，高斯曲率及平均曲率进行对比和分 析第三章研究三类可展曲面的伴随曲面第四章讨论两类极小直纹面的伴随曲面第 五章分别讨论单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面最后一章对本文工作进行总结与 展望 关键词：欧氏空间；直纹面；平均曲率；高斯曲率 l l - 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t a d j o i n ts u r f a c e so fr u l e ds u r f a c e si ne u c l i d e a n3 - s p a c e a bs t r a c t d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yh a sal o n gh i s t o r y c a l c u l u sa n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yw e r eb o r n a l m o s ta tt h es a m et i m e r e c e n ty e a r s ，t h ee f f e c to fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo no t h e rb r a n c h e si s m o r ea n dm o r ep r o f o u n d t h es c o p ei th a si n f l u e n c e do no t h e rs u b j e c t si nn a t u r a ls u b j e c ti s a l s oi n c r e a s i n g l ye x p a n d i n g a tt h es a m et i m et h i ss u b j e c ti t s e l fi su p d a t e dc o n s t a n t l y c u r v e t h e o r ya n ds u r f a c et h e o r ya r et w oi m p o r t a n te l e m e n t si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y r u l e ds u r f a c e w h i c hh a sg o o dc h a r a c t e r so c c u p i e sv e r yi m p o r t a n tp o s i t i o ni ns u r f a c et h e o r y a s s o c i a t i n g w i t ht h ea d j o i n tp a i ro fc u r v e s ，s u c ha sb e r t r a n dp a i ro fc u r v e sa n dm a n n h e i mp a i ro fc u r v e s ， i ti sn a t u r a lt os t u d yt h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o nb e t w e e nr u l e ds u r f a c ea n di t sa d j o i n ts u r f a c e i ns u r f a c et h e o r y r u l e ds u r f a c ei n3 - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c ec a nb ed e v e l o p a b l es u r f a c e ，m i n i m u m s u r f a c e ，u n p a r t e dh y p e r b o l o i da n dh y p e r b o l i cp a r a b o l o i d u s i n gt h em e t h o do fd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y ，t h ea d j o i n ts u r f a c e so ff o u rk i n d so fr u l e ds u r f a c e st h a th a v eb e e nm e n t i o n e da b o v e a r ed i s c u s s e di n t h i sp a p e r i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n da n dt h eb a s i ck n o w l e d g er e l a t e d a r ei n t r o d u c e d ，s u c ha st h ed e f i n i t i o na n dc h a r a c t e ro fe u c l i d e a ns p a c e ，r u l e ds u r f a c e ， d e v e l o p a b l es u r f a c ea n dm i n i m u ms u r f a c e i nc h a p t e rt w o ，t h eg e n e r a lf o r mo fr u l e ds u r f a c e a n di t s a d j o i n t s u r f a c ea r ec o m p a r e dw i t ht h ev a r i o u sf u n d a m e n t a lq u a n t i t y ，g a u s s i a n i c u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r e i nc h a p t e rt h r e e ，t h r e et y p e so fa d j o i n ts u r f a c eo fd e v e l o p a b l e s u r f a c ea r es t u d i e d i nc h a p t e rf o u r ，t w ot y p e so fa d j o i n ts u r f a c eo fm i n i m u mr u l e ds u r f a c e a r ed i s c u s s e d i nc h a p t e rf i v e ，t h ea d j o i n ts u r f a c eo fu n p a r t e dh y p e r b o l o i da n dh y p e r b o l i c p a r a b o l o i da r ea l s od i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y t h el a s tc h a p t e r i st h es u m m a r ya n de x p e c to ft h e p a p e r k e yw o r d s ：e u c l i d e a ns p a c e ；r u l e ds u r f a c e ；g a u s s i a nc u r v a t u r e ；m e a nc u r v a t u r e i i i q?i 1 彳 一 ；：lv j j 东北大学硕士学位论文 目录 目录 声明i 中文摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章引言与预备知识1 1 1 弓i 言2 1 2 三维欧氏空间。2 1 2 1 三维欧氏空间的定义2 1 2 2 三维欧氏空间中的标架。2 1 3 三维欧氏空间中向量的运算及f r e n e t 公式3 1 3 1 三维欧氏空间中向量的内积，外积，混合积。3 1 3 2 三维欧氏空间中曲线的f r c n e t 公式：4 1 4 曲面的基本量5 1 4 1 曲面的第一基本量。5 1 4 2 曲面的第二基本量5 1 4 3 曲面的平均曲率和高斯曲率6 1 5 三维欧氏空间中的直纹面6 1 5 1 直纹面的定义6 1 5 2 直纹面的性质7 1 5 3 直纹面伴随曲面的定义。1 2 第2 章直纹面的伴随曲面1 3 2 1 直纹面的基本量1 3 2 2 伴随曲面的基本量1 4 第3 章可展曲面的伴随曲面1 7 3 1 柱面的伴随曲面1 8 3 2 锥面的伴随曲面1 8 3 3 切线曲面的伴随曲面1 9 3 3 1 切线曲面的基本量1 9 3 3 2 切线曲面的伴随曲面基本量2 0 第4 章极小曲面的伴随曲面2 5 i v 东北大学硕士学位论文 ：! ：； ：! ! ； 2 1 ； ：1 6 面的伴随曲面。2 9 ：1 9 ：1 9 ：；( ) ：；：! ：；：z 3 ：； 3 1 ； 3 1 ； 3 9 v 东北大学硕士学位论文 第1 章引言与预备知识 第1 章引言与预备知识 本章介绍本文的研究背景及涉及到的数学概念和公式首先回顾三维欧氏空间的 基本概念，如欧氏空间中向量的运算、曲面的基本量等，然后介绍直纹面的定义和性质 等 1 1 引言 几何学是一门具有悠久历史的科学，一直居于数学发展的主流地位从e u c l i d 几何 学、解析几何学到微分几何、罗氏几何，再到黎曼几何，都显示着几何的重要性及发展 潜力微分几何是几何学的重要组成部分伴随着微积分在数学各个分支中的应用以及 解析几何的确立，微分几何在1 8 世纪得到广泛发展1 9 世纪，它已经成为数学的一个非 常重要的分支进入2 0 世纪，由于黎曼几何成为爱因斯坦广义相对论的数学基础，微分 几何更是引起了研究的热潮纵观微分几何的发展，它不仅深刻地影响了2 0 世纪数学的 发展，而且深刻地影响了2 0 世纪物理学的发展，成为2 0 世纪数学研究的一个主流方向 微分几何是以一般曲线和一般曲面为研究对象的，是由曲线的弧线长、曲线上一点 的切线等概念展开的，因此曲线论与曲面论是微分几何中两大重要内容曲线论中，常 见的一类问题是关于两条曲线之间可建立某种对应关系的问题例如，空间中一条曲线 的切线如果是另一条曲线的主法线，则它们就是渐伸线和渐缩线的关系；由空间中的一 条曲线在对应点上的主法线与另一条曲线的副法线重合而得到的m a n n h e i m 曲线对：两 条曲线在对应点有共同的主法线的b e r t r a n d 曲线对等以往对于这些曲线对的研究已经 取得了一系列理想的成果受到以上思想的启发，联想到研究曲面的对应关系问题 直纹面由于具有很好的性质在曲面论中占据十分重要的地位，因此，无论是在欧氏 空间还是m i n k o w s k i 空间直纹面都是人们研究的焦点到目前为止，对直纹面性质的研 究已经取得了很多理想且有价值的成果，但涉及到直纹面伴随曲面的研究及结论却甚少。 因此研究直纹面的伴随曲面的性质是很有价值的本文用微分几何的方法，从三维欧氏 空间的直纹面出发，分别讨论了极小曲面、可展曲面、单叶双曲面和双曲抛物面四类直 纹面的伴随曲面的性质 第1 章引言与预备知识东北大学硕士学位论文 1 2 三维欧氏空间 1 2 1 三维欧氏空间的定义 定义1 1 假设y 是n 维向量空间，且在y 上具有一个对称正定的双线性函数 即它满足下列条件 ( ，) ：v x v r ， ( 1 ) ( h + ，：，y ) 一( h ， ，) + ( 屹，) ， ( 2 ) ( a v l ， ，2 ) = a ( h ，p 2 ) ， ( 3 ) ( u ，屹) ；( v ：，h ) ， ( 4 ) ( ，v ) 苫0 ，当且仅当 ，一0 时取”一， 其中a r ，h ，p 2 ，v y ，则称( ，) 为欧氏内积，通常记为 1 , 1 ，2 = ( h ，吃) ， 此时称y 为n 维欧氏空间，记为e 4 ；特别地，当n = 3 时称它为三维欧氏空间，记为e 3 1 2 2 三维欧氏空间中的标架 定义1 2 【1 1 若选取一组基底佗) a - 1 , 2 ，3 ) ，使得 则向量y 和w 的内积为 其中 驴( e i , e i ) 2 忙 1 。“，；1 , 2 ，3 ) ， l 一， ( 1 ，2y ， 3 v = 罗a 乞， 留 此时称标架k ) o = 1 , 2 ，3 ) 为正交标架 2 一乞 j 1 东北大学硕士学位论丈第1 章引言与预备知识 1 3 三维欧氏空间中向量的运算及f r e n e t 公式 1 3 1 三维欧氏空间中向量的内积、外积、混合积 任取向量口，卢，y e e 3 ，设口- “，x 2 ，为) ，- y l ，y 2 ，y 3 ，) ，一【z 1 ，z 2 ，z 3 ) ，其中薯，y i ，z i r o 一1 ，2 ，3 ) 定义1 3 在e 3 中的正交标架下，向量的内积定义如下 ( 口，卢) 一y l + x 2 y 2 + 毛y 3 ， 若向量a ，卢的内积为零，则称向量o t ，卢正交 口一 l 芰羔f ，l 芰要l ，皮芰i ， c 口，一c 口卢，y i 茎蒌萎i ， 若向量口，卢，y 的混合积为零，则向量口，1 3 ，) ，共面 定理1 1 设口，是e 3 中任意三个向量，则有 ( 口，) ，) 一( f l r ，口) 一( ) ，口，) 一- ( f lx a ，) 一一( ) ，卢，口) 一一( 口xg ，) 定理1 2 设口，卢，y 是e 3 中任意三个向量，则有 ( 口卢) y 一( 口，) 卢一( ，) 口 定理1 3 设口，p ，6 是e 3 中任意四个向量，则有 ( 口，y 6 ) 一f ；：； ；：耋；j ， 3 第1 章引言与预备知识东北大学硕士学位论文 特别地，当口= ) ，卢；6 时，有 ( 口卢，口卢) - 0 ，6 。，c 。， 表示的曲面称为单叶双曲面 定理1 8 单叶双曲面是直纹面 证明设单叶双曲面s 的方程为 妥+ 芸一乏。1 ， 一 7 + 争一7 置1 ， ， 点m 。( x o ，y 。，z 。) 在单叶双曲面s 上的充分必要条件是 移项并分解因式得 即 ( 詈+ 詈) ( 詈一z o ) 。( 1 + 誓) ( 一鲁) ， x1。一+尝z。ac 鲁1 + 一鲁詈i l = 。或 甜 1 一丛鱼一鱼l 6口ci 因为1 + 鲁与1 一誓不全为零，所以下述方程 东北大学硕士学位论文 ( 1 1 ) x _ o o + z o1 一y o 口c6 l ；o ，( 1 2 ) 1 + 丛鱼一鱼i b口ci ( 1 3 ) 是x ，y 的一次齐次方程组由( 1 2 ) 式知，( 1 3 ) 式有非零解，即有不全为零的实数a o ， ，。 使得 这表明点m 。在直线 8 ( 1 4 ) 1 = 右一， 一 砖一矿 + 一矿 q o 暑 i y y 、l、l 一6 一c + 一 一口 x “ h r x 鱼c 0 而一口 卜 仇 仉 = = 一6鱼c + 一 ，、而一口 。，6 。，c 。， 的腰曲线是其腰椭圆 9 1 r z 1 0 ，即( y ，a ) = 0 ，不妨设 a一九1口+刀2卢，(37) 其中，l l = ( 口，口) ，以：= ( 卢，a ) 对( 3 7 ) 边关于“求导数，得 2 2 ， 东北大学硕士学位论文第3 章可展曲面的伴随曲面 又口一西，代x ( 3 8 ) 式有 由( 3 9 ) 式知 五= ( ，i 1 一，1 2 k 净+ ( i l k + _ ，i 2 ) 。：t - ，1 2 可， 口一( 庙1 - n 2 r ) a + ( ，l l k + 矗2 ) + ，1 2 可， ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 由( 3 ) 式知，咒：；0 或z = 0 ， 当以：- 0 时，代入( 1 ) 式可知，i 。一1 ，解得玎。一h + c ( c 为常数) 此时 解微分方程得 a ， + c ) 口， 当fz o 时，a 是一条密切曲线，由定义1 8 ，不妨设 a m l 口+ 所2 ， ( 3 8 ) ( 3 9 ) 其中m 。，m 2 均为常数 解微分方程得 ：当：匦。- - m l + 瓜u ( i ) 当研1 2 + 4 m 2 0 时，a ( u ) 一c l e 2 ”2 + c 2 e 2 ”2 ， 尚。2 + 4 m 2 o 且( 口，口) o ，即( ) ，口) 一0 ，分别代人 ( 5 ) ，( 6 ) 式知f - 0 此时，a 是一条密切曲线，由定理1 8 ，不妨设 a - m l a + m 2 p ， l 仉仉 l i l ? 叩 r 开 h 第3 章可展曲面的伴随曲面东北大学硕士学位论文 其中m ，m ：均为常数 解微分方程得 二竺 盈互。二曼! 显互。 ( i ) 当加1 2 + 4 m 22 0 时，a ( “) = c l e 2 + c 2 e 2 “ ， 吲砌刘卜暑卜譬扣n 譬“) 此时，为平面 2 4 证毕 东北大学硕士学位论文第4 章极小曲面的伴随曲面 第4 章极小曲面的伴随曲面 由定理1 7 知，如果。是极小曲面，则它或是平面或是正螺面本章在直纹面z ，是 极小曲面的条件下，研究它的伴随曲面：所具有的性质 4 i 平面的伴随曲面 定理4 1 平面的伴随曲面是平面( 显然) 4 2 正螺面的伴随曲面 4 2 1 正螺面的基本量 当。是正螺面时，不妨设。为 ( h ， ，) 一( v c o s u ，v s i n u ，a u + 6 ) i ( 0 ，0 ，a u + 6 ) + v ( c o s u ，s i n u ，o ) 对( 4 1 ) 式关于u 和v 求一阶偏导数，得 ，：一( - v s i n u ，v c o s u ，口) ， 一( c o s u ，s i n u ，o ) ， 曲面。的第一基本量及法向量傀为 巨一( 乞，：) 一 ，2 + 口2 ，互t ( ，= ，) t0 ， g l - ( ，) 一1 ， 于是 巨g l 一只2 一 ，2 + 口2 ， 又 吒l ( - a s i n u ，a c o s u ，一y ) ， 则 ”意专。南c - a s i n u , ac o s u , - v ， 对( 4 1 ) 式关于“和v 求二阶偏导数，得 2 5 ( 4 1 ) 第4 章极小曲面的伴随曲面东北大学硕士学位论文 曲面。的第二基本量为 r 。= ( - v c o s u ，- v s i n u ，o ) ， 一( - s i n u ，c o s u ，0 ) ， 厂w = 0 ， 厶= ( ，：i 。，开。) = 0 ， 曲面，的高斯曲率为 曲面，的平均曲率为 m 1 - - r w ) 。赤， 厶1 一m 。2 巨g 1 一墨2 一a 2 2 再可 h ，。型l 堡掣：0 1 2 ( 量g l e 2 ) 4 2 2 正螺面的伴随曲面的基本量 设正螺面。伴随曲面：为 厂2 ，v ) = ( c o s u ，s i n u ，0 ) + v ( o ，o , a u + 6 ) 一( c o s u ，s i n u ，v ( a u + 6 ) ) 对( 4 3 ) 式关于和v 求一阶偏导数，得 ，：l 一( - s i n u ，c o s u ，a v ) ， l = ( 0 ，0 ，a u + 6 ) ， 伴随曲面：的第一基本量及法向量月：为 于是 又 则 易一( ，= i ) 一1 + 口2 ，2 ，e = ( 乞，) = a v ( a u + 6 ) ， e 2 g 2 一e 2 = ( a u + 6 ) 2 ， ，：- x rt ( ( 口h + b ) c o s u ，( a n + b ) s i n u ，o ) ， 2 6 1 = ( ，w ，咒。) 一0 g ：! = ( ，) = ( a n + 6 ) 2 ， ( 4 2 ) ( 4 3 ) ， r 东北大学硕士学位论 对( 4 3 ) 式关于u 和 伴随曲面：的第二基本量为 l 2 一( 气。，咒2 ) 一一1 ， ，2 一( r u v , 咒2 ) - 0 ， 乞一( ，w ，n 2 ) = 0 伴随曲面：的高斯曲率为 k；。2 l 2 n 2 - m 2 2 0 e 、g ，一f ? 伴随曲面：的平均曲率为 即笼掰一i 1 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 定理4 2 正螺面的伴随曲面是切线曲面，且该切线曲面腰曲线的曲率与挠率满足 关系式三：e v ( e 。1 ) k 证明由( 4 4 ) 式及定理1 5 知，正螺面。的伴随曲面：是可展曲面而由( 4 2 ) 式知， 正螺面，是不可展的，即其伴随曲面：不能是柱面、锥面，则伴随曲面：只能是切线 曲面不妨设：为 ，2 0 ，v ) a ( u ) + v a ( u ) 其中u 为弧长参数，a ( u ) 是口 ) 的单位切向量 对( 4 6 ) 式关于“和 ，求偏导数，得 乞- 五+ v 6 t - 口+ v k , o ， 。口， 曲面：的第一基本量及法向量以：为 e 2 - ( 吒，：) 一( g i ，g t ) + 2 v k ( a ，p ) 口+ v 2 k2 ( ，卢) - l + v 2 k 2 ， 2 7 ( 4 6 ) 第4 章极小曲面的伴随曲面东北大学硕士学位论文 于是 又 则 e ；( ，：，) = ( 口，口) + 诙( 口，卢) = 1 ， g ：= ( o ，o ) = ( 口，口) = 1 ， e 2 g 2 一疋2 ；v k ， 屹= ( 口+ l ，印) 口= v x ( ；口) = 一v x t ， 以2 。 l 对( 4 6 ) 式关于“和y 求二阶偏导数，得 曲面：的第二基本量为 。_ - v k y 一) ，( 。1 ) i _ 一i f y f i - v i c e ，：。- & + v 筇+ 让声 一七+ y 面8 + 诹( 一七口+ 可) 一一v k 2 口+ ( 七+ v t ) 卢+ v k w ， 一d = 七卢， ，wl0 ， 2 - ( 乞。，以2 ) 一- v k z e ， 曲面：的平均曲率为 m 2 一( ，n 2 ) = 0 ， h ，。e 2 n 2 - 2 f 2 m 2 + _ g 一2 l 2 。一旦 。 2 ( e 2 g 2 一e 2 ) 2 v k 岍5 ) 式知，一旦2 v k 一一i 1 ，即 f 一= y k 乞一( o ，万：) 一0 ， 证毕 ， ，jh ， 东北大学硕士学位论文 第5 章单叶双 种类型直纹面伴随曲面所具 5 1 1 单叶双曲面的基本量 当。是单叶双曲面时，取导线a ( u ) 为腰椭圆，即 口( “) = ( 口c o s “，b s i n u ，o ) ， 由【1 6 】知，若m 。瓴，y 。，z 。) 为单叶双曲面腰椭圆上的任意点，则通过m 。的两条直线为 则 于是，。为 x x 1 口 一i y - 。旦丛；三和尘土。 i 一目一斤u 一 b c 。a 1 a 1 i y ld y y l 6 一一石l 口 z 一， c 6 ( “) 。( 一a ，b s i n “，鱼口c o s “，c ) 。( - as i n “，6 c o s “，c ) da ， ，) 一a ( u ) + v b ) 一( 口c o s “- a v s i n u ，b s i n u + b v c o s u ，c v ) ， 对( 5 1 ) 式关于“和y 求一阶偏导数，得 l ( - as i n u - a v c o s u ，b c o s u - b v s i n u ，0 ) ， l1 ( - as i n u ，b c o s u ，c ) ， 曲面。的第一基本量及法向量行。为 于是 置一( ，：l ，：1 ) - 口2 ( s i n u + v c o s u ) 2 + 6 2 ( c o s u v s i n u ) 2 ， e 一( ，：l ，) - 口2s i n u ( s i n u + r c o s u ) + 6 2c o s u ( c o s u v s i n u ) ， g l - ( 气，) 一a 2 s i n 2 u + 6 2c o s 2 “+ c 2 ， 2 9 ( 5 1 ) 第5 章单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面 东北大学硕士学位论文 又 令 则 e g l 一e 2 = a 2 b 2 v 2 + 口2 c 2 ( s i n u + v c o s u ) 2 + 6 c ( c o s u v s i n u ) 2 ， 乞= ( b c ( c o s u v s i n u ) ，a c ( s i n u + v c o s u ) ，- a b v ) ， = a 2 b 2 ，2 + 口2 c 2 ( s i n u + v c o s u ) 2 + 6 2 c 2 ( c o s u v s i n u ) 2 ， ，1 1 。持2 l ( b c ( c 。s “一 ，s i n “) ，口c ( s i n “+ v c o s “) ，一口6 ，) 对( 5 1 ) 式关于u 和y 求二阶偏导数，得 一( 口( v s i n u c o s u ) ，- b ( s i n u + v c o s u ) ，0 ) ， o 一( - ac o s u ，- b s i n u ，0 ) ， ，w 一0 ， 曲面。的第二基本量为 厶- ( ，：，咒。) 一 曲面。高斯曲率为 曲面。平均曲率为 一a b c ( 1 + v 2 ) 酬。一m ? 巨g l e 2 m 。一( ，n 。) 一口2 b 2 c 2 。万一。4 ：- a - b c ， 1 ：( ，w ，刀。) 。o 2 t 州12 、r w ，刀l ，刈。 h；刍丝二三墨丝!：g刍1 2 ( e 。g a 一2 ) = 虿a b c 【( a 2 v 2 _ 彬) s i n “c o s u - a 2 v 2 s i n 2u - 6 2 v 2c o s 2u - - 0 2 + 1 诃 5 1 2 单叶双曲面的伴随曲面基本量 设单叶双曲面，的伴随曲面：为 ，2 ( “，v ) = - a s i n u ，b c o s u ，c ) + y 口c o s u ，b s i n u ，0 ) = ( 口( v c o s u - s i n u ) ，b ( c o s u + v s i n u ) ，c ) 定理5 1 单叶双曲面的伴随曲面是平面 ( 5 2 ) i l 、 ，- 于是 又 则 e 一( 屹，) 一( a 2 一b 2 ) s i n 2 u + p 2 一a 2 ) v s i n u c a ) s u a 2 ， g 2 一( ，) 一a 2 c o s 2 u + 6 2s i n 2 u ， e 2 g 2 一e 2 一a 2 b 2 ，2 ， ，= l - ( 0 ，0 ，- a b v ) ， 力：- ：畿( o ，o ，一1 ) 心e 2 一f ： 对( 5 2 ) 式关于u 和 ，求二阶偏导数，得 厂埘一( a ( s i n u - - v c o s u ) ，- b ( c o s u + v s i n u ) ，0 ) ， r w ( - as i n u ，b c o s u ，o ) ， ，w 一0 ， 伴随曲面：的第二基本量为 2 - ( ，n 2 ) - 0 ， 显然，：为平面 m 2 一( ，：，甩2 ) 一0 ，n 2 一( ，w ，n 2 ) z 0 ， 证毕 第5 章单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面东北大学硕士学位论文 5 2 双曲抛物面的伴随曲面 5 2 1 双曲抛物面的基本量 取双曲抛物面7 x 2 一矿y 2 ；2 z 的一族直母线方程 ( 1 ) + “( 2 ) 得 “( 言一石y ) 协o ， 兰+ 兰+ 一；0 2 u 0 ， 一+ 二_ + = ab 。 x + “口z 一口2 l l 一= 一 ( 5 3 ) ( 1 ) - u ( 2 ) 得 坐竺。三， ( 5 4 ) 一一 j - b 2 u 。 、 由( 5 3 ) 式和( 5 4 ) 式知，该直母线可表示为 x + u a y + u b z 一= l 一口 b2 u 显然，该直母线过点( 一u a ，一u b ，0 ) ，且该点的方向向量为( 一a , b ，2 u ) 不妨取 于是，。为 口 ) 一( - u a ，- u b ，0 ) ， b ( u ) 一( - a ，b ，2 u ) ， ，v ) 一( - u a ，- u b ，0 ) + v ( - a ，b ，2 u ) = ( - a + ，) ，- b - v ) ，2 u v ) 对( 5 5 ) 式关于“和 ，求一阶偏导数，得 乞= ( - a ，- b ，2 1 ，) ，一( 一a , b ，2 “) ， 曲面。的第一基本量及法向量，l l 为 巨= ( ，= l ，r ) = 口2 + 6 2 + 4 v 2 ， e = ( r ，r ) = a 2 一b 2 + 4 u v ， 3 2 ( 5 5 ) t 东北大学硕士学位论文 第5 章单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面 于是 令 又 则 g i 一( ，) 一a 2 + b 2 + 4 “2 ， e l g l 一e 2 4 a 2 b 2 + 4 a2 一v ) 2 + 4 b 2 + ，) 2 ， 吒( - 2 b ( u + l ，) ，2 a - v ) ，- 2 a b ) ， - 产丝坠一2 ( - b ( u + v ) , a ( u - v ) , - a b ) 1 心e p 。一f ： a 对( 5 5 ) 式关于“和y 求二阶偏导数，得 i l l0 ，o 一( 0 o ，2 ) ，o o 曲面。的第二基本量为 厶l l ( r 。，以) 一0 ， 曲面。的高斯曲率为 曲面。的平均曲率为 肘。一( ，w ，刀) 一_ - 2 r a b ， 1 一( 厂w ，甩) = o k - 丽l , n , - m , 2 一丁4 a 2 b 2 1 巨g l 一巧2 4 h ，。e , n , - 2 f , m , j + 一g , l , 2 a b ( a2 - 了b 2 + 一4 u v ) 1 2 ( e i g i 一互2 ) a 3 5 1 2 双曲抛物面的伴随曲面基本量 设双曲抛物面。的伴随曲面：为 r d u ， ，) 一( - a ，b ，2 u ) + v ( - u a ，- u b ，0 ) l ( - a ( 1 + “ ，) ，b ( 1 - u v ) ，2 1 1 ) 3 3 ( 5 6 ) 第5 章单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面东北大学硕士学位论文 定理5 2 双曲抛物面的伴随曲面是平面 证明对( 5 6 ) 式关于u 和 ，求一阶偏导数，得 ，：= ( - a v ，- b v ，0 ) ，r 一( - a u ，- 6 “，0 ) ， 伴随曲面：的第一基本量及法向量n ：为 e 2 一( 吒，= i ) 一( 口2 + 6 2 少2 + 4 ， e = ( 屹，o ) = ( 口2 + 6 2 ) “ ， g 2 一( ，) 一( 口2 + 6 2 ) “2 ， 于是 易g 2 一e 2 = 4 ( a 2 + 6 2 ) 1 1 2 ， 又 ，：i 一( 2 b u ，一2 口“，o ) ， 令 ，厮， 则 1 1 2 - ：畿= 云( 6 ，一口，o ) ( = 土1 ) e 2 g 2 一e 2 对( 5 6 ) 式关于“和v 求二阶偏导数，得 = 0 ，o = ( - a ，- b ，0 ) ， ，w 一0 ， 伴随曲面：的第二基本量为 2 = ( ，- 删，刀) = o ，m 2 = ( ，0 ，r t ) = 0 ，n 2 一( ，w ，刀) ；0 ， 显然，：为平面 3 4 证毕 东北大学硕士学位论文 第6 章总结 第6 章总结 本文用微分几何的方法研究了三维欧氏空间中直纹面的伴随曲面首先对一般形 式的直纹面及其伴随曲面的各个基本量及高斯曲率和平均曲率进行了对比和分析随 后研究了三类可展直纹面的伴随曲面，得到的结论是：柱面的伴随曲面是锥面；锥面的 伴随曲面是柱面；并且还讨论了切线曲面的伴随曲面分别在可展和极小两种情况下满 足的条件，并给出了相应的证明接下来讨论了两类极小直纹面的伴随曲面，并得到结 论：平面的伴随曲面是平面；正螺面的伴随曲面是切线曲面，并证明出该切线曲面的腰 曲线满足一定的关系式最后对单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面进行了讨论，并得 到结论：单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面都是平面 在三维欧氏空间中，对该类型直纹面的伴随曲面的讨论，我们得到了预期的结果， 这些结果为今后讨论直纹面伴随曲面的问题具有十分重要的意义针对本文的课题，我 们还可以考虑进一步的工作，如本文的工作是在三维的欧氏空间中开展的，能否推广到 三维m i n k o w s k i 空间、一维e u c l i d e a n 空间、以维m i n k o w s k i 空间中，有待于进一步的讨 3 5 -ri、ilj； 11、il 东北大学硕士学位论文参考文献 参考文献 1 陈维桓，李兴校黎曼几何引论【m 】，北京：北京大学出版社，2 0 0 2 ，1 5 - 3 1 2 苏步青，华宣积，忻元龙实用微分几何引论【m 】，北京：科学出版社，1 9 9 8 ，4 4 - 4 6 ， 8 2 9 5 3 佐木重夫微分几何学【m 】，上海：上海科学技术出版社，1 9 8 1 ，