（基础数学专业论文）带有动力边界条件的两类偏微分方程解的长时间行为.pdf

摘要 在这篇博士学位论文中，我们主要考虑了如下两类带有动力边界条件的 偏微分方程 c，i夏u妄-掌au+zf蓦(u)，三。乏，兰三三：暑： m ) 溅曼攀 的解的全局吸引子的存在性。 对于第一类方程，可以把它看成是方程组。注意到矩阵方程主部算子的 特性，使用单位特征函数作为标准正交基底，采用了f a d e o - g a l e r k i n 过程证 明了非线性项是任意次多项式增长时，这类方程存在全局解。然后使用强弱 连续半群的概念，考虑了带有非线性动力边界条件的抛物方程的几类全局吸 引子的存在性，即，l 2 ( q ) l 2 ( f ) ，口( q ) l ( r ) ，口( q ) l q ( f ) ，( h i ( 1 2 ) n 妒( q ) ) l q ( r ) 中的全局吸引子的存在性。从理论框架上来说，我们把渐近 先验估计方法推广到了特殊的乘积空间。从应用角度来讲，我们成功地解决 了带有非线性动力边界方程的几类全局吸引子的存在性，结合解的正则性把 这种渐近先验估计方法运用到了这种模型的的全局吸引子存在性问题上，得 到了较为满意的结果。 对于第二类方程，我们主要考虑其强解的全局吸引子的存在性。对于仅 含边界阻尼的波方程，通过在空间构造标准正交基底，验证了相对应半群满 足条件( c ) ，从而得到了在星型域内得到了强解的全局吸引子的存在性。 作为对含有边界阻尼的双曲方程的研究的一点尝试，我们又考虑了同时含内 部弱阻尼和边界非线性阻尼的双曲方程的强解的全局吸引子问题，得到其非 线性项即使达到在弱解意义下临界指数增长时，同样有强解的全局吸引子是 存在的，并且对于光滑区域没有限制其它任何几何条件。 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ea r ec o n c e r n e dr e s p e c t i v e l yw i t ht h ee x i s t e n c eo fg l o b a l a t t r a c t o r sf o rt h ef o l l o w i n gt w oc l a s s e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h n o n l i n e a rd y n a m i cc o n d i t i o n s i 锄一t + ，( “) = 0 ，( 马t ) q 【0 ，o o ) ( i ) u t + 舞+ 9 ( u ) = 0 ，忙，t ) r 【0 ，o o ) 【u ( 0 ，z ) = t 幻( z ) ， z q a n d 1 一a u + ，( 让) = 0 ， ( z ，t ) q 【o ，c o ) ( i i ) 器+ 毗+ u = 0 ， ( z ，t ) r f 0 ，o 。) i 让( 。，o ) = u o ，u t ( x ，o ) = 1 1 1 ，z q f o rt h ef i r s te q u a t i o n ，w ec o n s i d e ri ta sas y s t e m n o t i n gt h ep r o p e r t i e s o ft h em a i np a r to ft h em a t r i xo p e r a t o r ，w ec o n s t 删af a m i l yo r t h o n o m a l b a s i sw h i c hi sr e l a t e dt oaf a m i l yo fe i g e n f u n c t i o n so ft h eo p e r a t o r a p p l y m g f a d e o - g a l e r k i np r o c e d u r ew eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n so ft h e e q u a t i o n s t h e nw es t u d yt h el o n g - t i m eb e h a v i o ro ft h ef i r s te q u a t i o n w e d e v e l o pa s y m p t o t i cap r i o r ie s t i m a t em e t h o di na up a r t i c u l a rp r o d u c ts p a c e f o rv e r i f y i n gt h en e c e s s a r ya s y m p t o t i ec o m p a c t n e s s w ea p p l ys u c c e s s f u n yt h e m e t h o dt op a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rd y n a m i cc o n d i t i o n s f i n a l l y , w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e o f g l o b a l a t t r a c t o r i n l 2 ( 1 2 ) x l 2 ( r ) ，l ”( q ) x 。矿( r ) ，l 9 ( q ) l q ( r ) ，( h 1 ( q ) n l 9 ( q ) ) xl 4 ( r ) w h e r ew eh a v eu s e dt h ed e f i n i t i o no fs t r o n g - w e a kc o n t i n u o u ss e m i g r o u p f o rt h es e c o n de q u a t i o n ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hg l o b a la t t r a c t o mo fs t r o n g s o l u t i o n so fi t t oo b t a i nt h ec o m p a c t n e s so fs e m i g t o u pg e n e r a t e db yh y p e r - b o l i ce q u a t i o n si ns t r o n gt o p o l o g ys p a c ew ea d o p tt h eo r t h o n o m mp r o j e c t o r i n t r o d u c e db yan e wb a s i so fh i l b e r ts p a c em e n t i o n e da b o v ea n dv e r i f yc o n - d i t i o nc w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r so fs t r o n gs o l u t i o nt o h y p e r b o l i ce q u a t i o n so n l yw i t hb o u n d a r yd a m p i n gw h e nt h ed o m a i ni ss t a r - s h a p e da n dt h en o n l i n e a rf u n c t i o n ( s ) i ss u b c f i t i c mg r o w i n g i na d d i t i o n ， a sa l la t t e m p to nh y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t hb o u n d a r yd a m p i n g w ec o n s i d e r g l o b a la t t r a c t o r so fs t r o n gs o l u t i o n so fh y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t hw e a kd a m p - i n ga n dn o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n g t h eg l o b a la t t r a c t o ro fs t r o n gs o l u t i o n s e x i s t se v e ni ft h en o n l i n e a rf u n c t i o n ( s ) i sl i k e 矿w h e nt h ed o m a i nqi si n r 3 1 v 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明山处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：遣坐塾日期：塑丑：尘：! 墅 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归j 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同： 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论： 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容； 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果i 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：整堑塞：导师签名： c h a p t e r1 综述 本文主要是从动力系统角度研究带有动力边界条件的偏微分方程解的长 时间行为，重点研究带动力边界条件的非线性抛物方程和带有边界阻尼的双 曲方程，即研究如下两类方程 ， iu t 一乱+ ，( 缸) = 0 ，( 。，t ) qx 【o ，o o ) ( i ) 毗+ 嚣+ 9 ( u ) = 0 ，( 。，t ) f 【o ，o o ) i “( o ，z ) = t 幻( z ) ， z q 和 ， i u u a u + f ( u ) = 0 ， ( 而t ) q 【o ，o 。) ( i i ) 券+ 撕+ “= 0 ， ( 而t ) fx 【o ，o 。) i ( z ，0 ) = u o ，t h ( z ，0 ) = h 1 ，z q 这两类方程的重要意义不需要多说，而具体的方程带有什么边界条件有其自 身的物理意义和实际背景，这些将在后面章节的开头说明，这里不再赘述。 首先从这两类问题的解的存在性入手，然后考虑解的长时间行为，这里的长 时间行为是指解的全局吸引子问题。 动力系统源于n e w t o n 研究物体运动力学过程和状态，广义地讲，它研 究自然和社会的一些具体问题的解随时间变化而变化的演变行为。从1 9 世纪末开始，p o i n c a r 6 等人从经典力学和微分方程定性的理论的研究中，提 出了动力系统这个概念，并对动力系统的轨道结构展开了研究。在2 0 世纪 初期b i r k h o f f 出版的名著 之后，动力系统开始作 为一门系统的学科出现。b i r k h o f f 对动力系统作了公理化的处理，然后这个 c h a p t e r1 学科便迅速发展起来。今天的动力系统研究范围已经远远超出了p o i n c a r 6 的原始的领域，大致可以分为微分动力系统、遍历论、h a l m i t i o n 动力系 统、无穷维动力系统、复动力系统等方向。动力系统与微分方程是密不可分 的，粗略地说，常微分方程及其差分方程可以分别看成是有限维连续和有限 维离散的动力系统，偏微分方程及其差分方程可以看成是无穷维连续的动力 系统和无穷维离散的动力系统。 2 0 世纪3 0 年代后期，从微分方程抽象出来了动力系统中的流和半 流的理论，此后在此理论框架基础上，动力系统逐渐开始发展。2 0 世纪 3 0 年代至2 0 世纪7 0 年代问在常微分方程的动力系统的许多方面得到了 很大的发展，2 0 世纪7 0 年代以后，偏微分方程的现代理论的建立和发 展、以及计算机科学技术的发展使得无穷维动力系统的理论开始形成并 得到了迅速发展。在无穷维动力系统的研究取得了重大发展中，国际著 名学者v i s h i k 、f o i a s 、h a l e 、l a d y z h e n s k a y a 、m o r s e 、t e m a m 等人的杰出 工作，使耗散系统有限维约化成为可能，并且奠定了无穷维动力系统的 理论基础。9 0 年代以后，f o i a s 、e d e n 、f e i r e i s l 、l a d y z h e n s k a y a 、m i c h e l c o i l r o s a 、s e l l 等人对耗散孤立波系统这一类典型的无穷维动力系统，解问题、 吸引子、谱隙下的惯性流形问题等理论问题又进行了研究，取得了很多成 果。2 0 0 0 年以后b a l l 、c a r v a l h o 、c o n t i 、p a t a 、s q u a s s i n a 、m a r i o n 等人开 始致力于无穷维动力系统的研究，对许多具体问题、具体难点的研究取得了 很多优秀的成果。 下面我们就如下一般的发展型方程 ，a t ， j 蔷2 f ( “( t ) ) 、 k ) = u o ”“ 来说明研究无穷维动力系统的全局吸引子问题的思想和方法。如果我们记 问题( 1 | 1 ) 的解为u ( t ，u o ) = s ( t ) u o ，t 0 ，并且取适当的相空间x ，使得当 u o x 时，有s ( t ) u o x ，则 s ( t ) ) t 2 0 满足如下的半群性质： ( i ) s ( o ) = ，( 恒等变换) ； ( i i ) s ( t + s ) = s ( t ) s ( 4 ，v t ，s o ； 如果进一步假定，s ( t ) ( ) 是关于( t ，) 强连续的， 则 s ( f ) t ! o 为x 上的连续半群。因此，初值问题( 1 1 ) 的解的全局吸日 子问题就自然地转化成半群 s ( ) ) 瑚在x 中的全局吸引子问题。全局吸； 2 c h a p t e r1 子就是满足如下性质的紧集acx ( x 为相空间) ： ( i ) 不变性：s ( t ) 4 = 4 ，v t o ； ( i i ) 吸引性：对x 中任意的有界集b ， 熙幽( 刚b ，4 ) 2 熙s 脚u p 础m fi i 可一z l l x 2 o 我们称玩为x 中的一个有界吸收集，如果对x 中的任何有界集b ，存 在依赖b 的时间t = t ( b ) 满足下述条件 s ( t ) b c 3 0 ， v t t ； 目前我们已知的连续半群的全局吸引子的存在性判定定理有 定理1 0 1 设 s ( t ) ) t 邳是完备度量空间x 上的连续半群，并且在x 中 存在有界吸收集那么全局吸引子存在，如果 ( i ) ( s ( f ) ) t o 在x 上是一致紧的，即，如果对空间x 中的任何有界集 b ，存在与b 在x 中的界有关的时间幻，使得当t t b 时，在x 中 s ( t ) b 是相对紧的( 见【1 5 ，8 5 ，9 3 】) ； ( i i ) s ( t ) ) t o 在x 上是渐近紧的，即，如果对空间x 中的任何有界点列 ) 器l 以及“一c o ，有 s ( k ) ) 巽l 在x 中是相对紧的( 见【6 2 ，8 9 ， 9 3 】) 还有一个判定定理和上面的稍有区别，但在本质上是互通的，首先如果 x 中的有界集马称为 s ( t ) t 0 的一个点吸收集，如果vz x ，存在与z 有关的时间五= 乃( z ) ，使得 s ( f 净b 1 ，v t 2 丑 那么我们有下述全局吸引子的存在性判定定理： 定理1 0 2 【5 1 】设 s ( t ) ) t ! o 是完备度量空间x 上的连续半群。则存在 全局吸引子的充分必要条件有 ( i ) s ( t ) t o 在x 中有有界的点吸收集，并且保持有界集的正轨道终归 有界，即对任意有界子集b ，有s ( t ) b ，t 0 是有界的； 3 ( i i ) s ( t ) t ! o 在x 上是渐近光滑的，即如果对空间x 中的任何非空， 闭有界的正不变子集b ，存在x 中的非空，不变、紧子集c ，使得 d 按照拓扑吸引b 。 在关于判定全局吸引子的存在性定理上，m a & w a n g & z h o n g 结合k u r a - t o w s k i 非紧性测度( 参见【8 9 ) 的概念提出了u 一极限紧的概念，并给出了一种 行之有效且简单易用的证明方法，即条件c ( 参见1 7 3 ) 满足就可以得到妒极 限紧性的满足，从而有了新的验证全局吸引子存在性的方法和判定定理： 定理1 o 3 【7 3 】设 s ( t ) ) 创是完备度量空间x 上的连续半群。若满足 下述条件则半群 s ( t ) ) t 0 存在全局吸引子： ( i ) 侈( t ) t 0 在x 中有有界的吸收集； ( i i ) p ( t ) ) t o 在x 中是u 一极限紧的，即如果对任意的g 0 和x 中的 任何有界集b ，存在t b 0 使得 7 ( u 冶s ( t ) b ) g ， 其中1 是如下面定义的k u r a t o w s k i 非紧性测度： 1 ( a ) = i n f 5 0 1 a 是空间x 的子集，存在直径小于6 的有限覆盖) ( i i i ) 在x 中p ( t ) t 0 满足条件( c ) ，即如果对任意的 0 和x 中的任 何有界集b ，存在t b2o 和x 的有限维子空间五，使得对任意的 t t 且，都有 e s ( t ) z l x b 有界，并且i l ( ，一p ) s ( t ) z l l x ，b 其中p ：x j ，l 是有界投影。 在2 0 0 5 年，z h o n g & y a n g & s u n 受带有超临界s o b o l e v 指数的非线性项的 反应扩散方程的全局吸引子问题的刺激而产生了想法，自然地提出了强弱连 续半群的概念，并且在这种弱的连续性条件下，证明了在我们前面提出的各 种紧性和有界吸收集存在的情况下，全局吸引子仍然是存在的，进一步发展 了全局吸引子的存在性理论，具体的理论在准备部分中我们会详细给出。 同时作者又给出了一种验证半群紧性的方法，渐近先验估计( a s y m p t o t i ca p r i o r ie s t i m a t e ) ( 参见【9 9 】) ，解决了一些具体问题，改善了发展型方程的非线 性项的处理情况，尤其使得经典的反应扩散方程的研究往前发展了一大步。 4 ! 二p i r i c h l e t 边界问壁盟塑塑查塞和双曲方程 c h a p t e r1 在前面阐述了全局吸引子的理论研究的结果以后，我们对应用问题也做 了一些研究。我们知道随着人们对实际应用问题的深入和完整，很多控制系 统建模成分布参数控制系统，而分布参数控制系统按其受控形式一般有两 类，即分布控制和边界控制。一般认为分布控制是内部的一种控制装置，而 边界控制是指控制项设置在边界上。下面我们就带有不同边界条件的偏微分 方程，特别是抛物型方程和双曲方程，这两类发展型方程，以解的存在性和 全局吸引子为主线，对相关的结果做了一些调查。 1 1 d i r i c h l e t 边界问题的抛物方程和双曲方程 对于带有零边界的，也就是d i r i c h l e t 第一边界问题的抛物型方程 lu t 一t + ，( u ) = g ，t ) ，扛，t ) f 2 r + “i 凇= 0 l u ( 曩o ) = t l o ( z ) 的解的全局吸引子问题的研究已有很多作者并取得了很多成果，如 b a b i n & v i s h i k 1 5 ，c h o l e w a 2 8 ，2 9 ，h a l e 5 1 ，r o b i n s o n 8 5 ，p 瞄a s 6 ，s e u 8 9 ， t e m 锄【9 3 】等等。在这类方程的研究中，当初值u o 驴( q ) 时，非线性项 ( u ) 多为有临界指数增长的多项式控制： m ) i 唧仆p ) ，p 嵩， 或者 一c b + a l s l f ( s ) s 岛+ c 2 1 8 1 p , p 2 ， 并且多为考虑l 2 ( q ) 一型吸引子。在前面这些文献的基础上，z h o n g & y a n g & s u n 提出了强弱连续半群以后对这类方程的全局吸引子的发展到了任 意上，( q ) 空间，并且在硪( q ) 中的双空间吸引子都得到了存在性结果( 参 见【3 ，9 9 】) 。 对于带有d i r i c h l e t 第一边值问题的双曲方程的研究工作也有很多，针对 带有弱阻尼的双曲方程 i “# + d 饥一“+ ，( u ) = 9 ( x ，t ) ，0 ，t ) q 巴+ u l 铀= 0 i 珏( z ，0 ) = u o ，u t ( x ，0 ) = “l ，z q 5 c h a p t e rl1 1 d i r i c h l e t 边界问题的抛物方程和双曲方程 的全局吸引子的问题研究结果可参见b a b i n & v i s h i k 1 5 1 ，b a l l 2 3 】，c h e n 4 2 ， c h u e s h o v 2 6 ，h a l e 5 1 1 ，h a r a u x 5 2 ，5 3 】，k h a n m a m e d o v 5 8 ，l a d y z h e n s k a y a 6 2 l a s i e c k a 6 s ，n a k a o 7 6 ，7 7 ，s e l l l 8 9 ，t m a m g a ，z e l i k g s ，9 7 】等等，非线性 项( u ) ，增长指数一般是临界或者次临界的，即 叭s ) i e ( 1 + h p - 1 ) ，p ( 或者 ) 当， 针对带有强阻尼的双曲方程 iu u + o ( 一) 9 u t 一+ ，( u ) = g ( x ，t ) ，( z ，t ) q r + 卜- o ， iu ( z ，0 ) = “o ，u t ( x ，0 ) = u l ，z q ， 的全局吸引子问题，也有许多研究工作，如c a r v a l h o 3 4 ，3 5 ，3 6 】，p a t a 2 0 ， 4 3 ，7 9 1 为代表的很多作者对此类方程的研究要多一些，在这种情况下非线性 项f ( u ) 增长情形一般为 i ，( s ) i e ( 1 + i s i , - 1 ) ，p ( 或者 ) 嵩 还有带有非线性阻尼的双曲方程 l t m + 9 ( t “) 一a u + ，( u ) = 9 ( z ，t ) ，( z ，t ) q r + “i 铀= 0 ， i “( z ，o ) = u o ，u t ( x ，0 ) = u l ，z q 对这类方程的全局吸引子的研究做出重要贡献的作者有c h u e s h o v 3 9 ， f e i r e i s l 4 4 ，4 5 1 ，h a r a u x 5 2 ，l a s i e c k a 6 8 ，s u n 9 1 等等。当然还有许多其他模 型的，比如拟线性双曲方程，又或者v o n - k a r m a m 方程 5 7 1 ，p l a t e 方程 5 6 1 ， k i r o c h i f f 方程 7 8 1 ，c a h n - h i l l a r d 方程【4 9 ，7 l 】等等，具体的问题可能指数就 不一样，我们不再一一列举。 前面所述各种双曲模型，他们多数考虑的是弱解及其正则性，对于 强解的全局吸引子研究并不多，我们知道的有l a d y z h e n s k a y a 【6 3 和m a & z h o n g 7 2 对此做了一些研究，他们的研究在于不管是对前述任何一类双曲方 程而言，在证明强解的全局吸引子的存在性时，关于非线性项，( 札) 的增长 一般都是次临界的，即 ，( s ) i c o + i s ，p 高 6 1 2 带有非零边界条件的抛物方程和双曲方程 c h a p t e r1 事实上当非线性项( u ) 的增长达到l 临界增长指数时，研究双曲方程的强解 的全局吸引子存在性，其难点就在于有界吸引集难以得到。在本文中我们针 对含有弱阻尼的双曲方程，当非线性项( u ) 达到临界指数增长时，解决了 其强解的全局吸引子的存在性问题。 1 2带有非零边界条件的抛物方程和双曲方程 有一些系统出于物理和技术上的考虑只能在区域的边界上做一些设置从 而达到对系统的状态进行观察和分析并进行控制。因此，考虑带有边界项的 系统就有了必然性和实效性。近几十年来，人们对含有边界非线性项的抛物 方程 啦一t + ，( = 0 ，0 ，t ) q r + 雾+ g ( u ) = 0 ，( 。，t ) 加x r + u ( o ，= 撕( 。) 的研究是十分广泛的，出现的结果、论文和专著是大量的，具体的有 a r r i e t a 1 3 ，1 4 ，a n i b a lr o d r i g u e z - b e m a l 1 6 ，1 7 ，l s ，李【2 】，c h i p o t 【4 1 】等等。 这些研究中对于内部非线性项和边界非线性项一般是有增长指数限制的，比 如在【2 ，1 7 h b 的内部非线性项和边界非线性项，当初值在驴( q ) 中时，增长 指数一般是临界或者次临界的，也就是 i f ( s ) i e ( 1 + 旷1 ) ，p ( 或者 ) 嵩 咖) i s e ( 1 + 旷i 1 ) ，g ( 或者 ) 尚 当解是全局解时，前述条件可能还要加强，这就是为什么我们说目前很多结 果都是渐近线性的原因。并且我们注意到：前面提到的这些在边界都不是发 展型的。 对于边界是发展型的方程，我们同样对已出现的成果做了一些调查：对 于带有发展型的边界的抛物方程 l u t a u + ，( t o = 0 ，( 茁，t ) q r + u t + 雾+ g ( 牡) = 0 ，( 墨t ) 鲫醒+ i “( o ，z ) = 铷( ) 7 c h a p t e r1 1 2 带有非零边界条件的抛物方程和双曲方程 的研究有【9 ，1 3 ，3 1 ，8 3 ，8 4 】等等，它们相对应的非线性项也多为前面类似所表 示出的有限制的多项式型增长。确切地讲，对于带有发展型的边界的抛物方 程，如果乱o l 2 ( q ) ，那么内部非线性项通常满足 a i ，( u ) i c ( i + i 1 1 + 9 ) ，p ( 或者 ) 1 + 三， 边界非线性项通常满足 舯i1 1 9 ( “) l c ( 1 + i 1 1 + 9 ) ，q ( 或者 ) ；二j 当上述非线性项条件满足时，多数作者研究解的存在性。和研究解的存在性 的工作相比，考虑带有动力边界条件的抛物方程的全局解的渐近性的工作就 很少了，在全局吸引子的主线下的文章就本人所知是没有的。在前人研究的 基础上，我们结合近年z h o n g & s u n & y a n g 提出的强弱连续半群的理论框架 和渐近先验估计方法，对前述带有动力边界的抛物方程的非线性项是任意多 项式型增长时，考虑了带有动力边界条件的抛物方程的全局解的存在性，并 对解的长时间行为，即几类全局吸引子的存在性做了研究，目前这种研究方 法和结果还是全新的，这一章中的部分结果，即对特殊的带动力边界抛物方 程的全局吸引子的研究结果已经发表于n o n l i n e a ra n a l y s i st ma 。 对于双曲方程 lu “一乱+ ，( ) = 0 ， ，t ) q r + u + 嚣+ g ( “t ) = 0 ， ，t ) a q r + i “( o ，z ) = t 1 0 ( z ) ，u d o ，z ) = u l ( x ) 而言，这种动态边界就是边界阻尼项，对于这类方程一直有很多人关注，比 如 8 ，1 9 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，3 8 ，s 4 等等。大多数结果都是边界阻尼项是有限区间外 的次线性增长，有些干脆就是全局线性的( 参见【6 0 ，6 1 等等) ，也就是说，目 前的结果至多做到内部非线性项和我们一般的双曲方程的内部非线性项一 致，而边界非线性项无穷远处是渐近线性的，数学方式明确表示出来就是在 内部非线性项“s ) 满足条件 i ，( 8 ) l c ( 1 + 1 8 p - 1 ) ，p ：i = j ， 同时边界阻尼项可以是非线性函数g ( u t ) 只需关于“。是单调递增的c 1 函数 并且满足条件 0 o 是x 上的半群，如果 ( i ) s ( o ) = i ( 恒等变换) ； ( i i ) s ( t + s ) = s 0 ) s ( s ) ，v t ，8 0 特别，如果映射s ( t ) z ：【0 ，o o ) x x x 关于( t ，z ) 是强连续的，则称p ( t ) ) t 0 是x 上的c o 一半群 定义2 2 2 设 s ( ) ) t o 是完备度量空间x 上的半群x 中的有界集风 称为p ( t ) ) t o 的一个有界吸收集，如果对x 中的任何有界集b ，存在依赖 b 的时间t = t ( b ) ，使得 s ( t ) s c b o ， v t t x 中的有界集b 1 称为 s ( t ) h o 的一个点吸收集，如果vx x ，存在与z 有关的时间乃= 乃( z ) ，使得 s ( t ) z b 1 ， v t 五 定义2 2 3 设 s ( t ) ) t 0 是完备度量空间x 上的半群x 中的集合 称为 s ( t ) t o 在x 中的全局吸引子，如果满足 ( 1 ) 在x 中紧； ( 2 ) 是不变的，即，对任意的t 0 ，有s ( t ) d = ； ( 3 ) 吸引x 中的任意有界集，即，对x 中的任何有界集b ，有 d i s t ( s ( t ) b ，) _ 0 ，当t o o ， 其中 d i s t ( s ( t ) b ，a ) = s u p d i s t ( s ( t ) y ，a ) = s u p i n f l i s ( t ) y x l l x y e by e b o 为h a u s d o r f f 半距离 】4 2 2 基本概念 c h a p t e r2 定义2 2 4 【7 3 1b a n a c h 空间x 上的半群 s ( t ) ) 。o 称为满足条件( c ) ， 如果对任意的e 0 和x 中的任何有界集b ，存在如0 和x 的有限维予 空间蜀，使得对任意的t 2 t b ，都有 p s ( t ) z k b ) 有界，并且| | ( ，一p ) s ( t ) z l x e ，比b ， 其中p ：x 一蜀是有界投影。 定义2 2 5 【7 3 b a n a c h 空问x 上的半群 s ( t ) t 2 0 称为满足u 一极限 紧，如果对任意的 0 和x 中的任何有界集b ，存在b 之o 使得 ，y ( u 2 幻s ( t ) s ) ， 其中，y 是如下面定义的k u r a t o w s k i 非紧性测度： 7 ( a ) = i n f 6 0 1 a 是空间x 的子集，存在直径小于6 的有限覆盖 定义2 2 6 【1 5 】b a n a c h # - nx 上的半群 s ( t ) ) 创称为满足渐近紧，如 果对空间x 中的任何有界点列 z 。) 墨1 以及k o o ，有 s ( t 。) z 。 器1 在 x 中是相对紧的 定义2 2 7 【8 5 ，9 3 b a n a e h 空f 1x 上的半群 s ( t ) ) t ! o 称为满足一致 紧，如果对空间x 中的任何有界集b ，存在与b 在x 中的界有关的时间 b ，使得当t t b 时，在x 中s ( t ) s 是相对紧的 定义2 2 8 5 1 】b a n a c h 空间x 上的半群 s ( t ) ) t o 称为满足渐近光滑， 如果对空间x 中的任何非空、闭，有界的正不变子集b ，存在x 中的非 空、不变、紧子集g ，使得d 按照拓扑吸引b 当半群是强连续半群时，我们把常用的全局吸引子的存在性判定定理罗 列如下： 定理2 2 9 设x 是b a n a c h 空间， s ( t ) f 0 是x 上的连续半群，并假设 s ( t ) t o 在x 上有有界吸收集则当下列条件之一满足时， s ( t ) 。0 在x 中有全局吸引子： ( i ) s ( t ) ) t o 满足条件( e