（机械制造及其自动化专业论文）区间参数结构静动力分析的区间因子法研究.pdf

摘要 摘要 在工程结构中，存在许多不确定性因素。当这些不确定性因素可以用区间参 数表示时，就可以用区间分析方法来研究。本文针对区间参数结构静动力分析问 题提出了区间因子法并进行了研究，区间因子法是把结构中的区间参数表示为区 间因子和确定性量的乘积，通过带有区间因子函数的方程对结构的问题进行分析 求解。对于结构的静力分析，主要研究的是结构的位移响应和应力响应，本文研 究了平面桁架结构和简支梁结构位移响应，同时分析了三维桁架结构各区间参数 的区间变化率不同程度上影响了结构的位移和应力响应。把区间因子方法应用到 了计算结构的固有频率和振型的动态特性分析中，研究了平面桁架和空间天线， 并分析了区间参数的变化率对结构固有频率和振型的区间变化率的影响。研究了 悬臂梁结构和无阻尼自由振动系统的动力分析问题，计算的固有频率和振型与确 定性参数计算值结果做了比较，并分析了结构各阶模态图。以上研究结果分析表 明，区间因子能够反映区间参数对结构静动力特性的影响程度。区间因子方法在 研究工程问题方面具有有效性和可行性。 关键词：不确定性区间参数结构静动力分析区间因子方法 区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 t h e r ea r em a n ya n c e n m nf a c t o r si ne a g i n e e t i n gs t r u c t u r e s a st h e s ef a c t o r sc 弛b e e x p r e s s e d a si n t e r v a lp a r a m e t e r s ，t h e yc a nb es t u d i e db yu s i n gi n t e r v a la n a l y s i sm e t h o d t h i sp a p e rp u tf o r w a r di n t e r v a lf a c t o rm e t h o dt os t u d ys t r u c t u r a ls t a t i c d y n a m i c a n a l y s i sw i t hi n t e r v a lp a r a m e t e r s t h es t r u c t u r a li n t e r v a lp a r a m e t e r sc a nb ee x p r e s s e d a st h ep r o d u c to ft w op a r t sc o r r e s p o n d i n gt ot h ei n t e r v a lf a c t o r sa n dt h ed e t e r m i n i s t i c v a l u e t h e n , s t u d ya n da n a l y z et h es t r u c t u r a lp r o b l e m sw i t ht h ef u n c t i o n s o ft h ei n t e r v a l f a c t o r s a sf o rs t r u c t u r a ls t a t i ca n a l y s i s ，t h es t r u c t u r a ld i s p l a c e m e n ta n ds t r e 蟠c a l lb e m a i n l ys t u d i e d t h i sp a p e rh a ss t u d i e dt h er e s p o n s eo fd i s p l a c e m e n to np l a n et r u s sa n d f r e e l ys u p p o r t e db e a ms t r u c t u r e a n a l y z ei n t e r v a lv a r i a n c er a t i o so f3 dt r u s ss t r u c t u r a l p a r a m e t e r s ，a n dr e s u l ts h o w s t h a ti n t e r v a lv a r i a n c er a t i oo fs t r u c t u r ea c c o r d i n g l ya f f e c t s t r u c t u r a ld i s p l a c e m e n ta n ds t r e s s i n t e r v a lf a c t o rc a nb eu s e di ns t r u c t u r a ld y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s h a v ec o m p u t e ds t r u c t u r a ln a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d eo fv i b r a t i o no f p l a n et r u s sa n d3 1 3a n t e n n aa n da n a l y z e dt h ee f f e c to fv a r i a n c er a t i o sw i t hi n t e r v a l p a r a m e t e r so no n e so fs t r u c t u r a ln a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d eo fv i b r a t i o n h a v e s t u d i e d d y n a m i ca n a l y s i so fs o c l eb e a ms t r u c t u r ea n du n d a m p e d - f r e ev i b r a t i o ns y s t e m n a t u r a l f r e q u e n c ya n dm o d eo fv i b r a t i o nc o m p u t e dh a v eac o m p a r i s o nb e t w e e ni n t e r v a la n d c e r t a i np a r a m e t e r so nd i a g r a ma b o u ts t r u c t u r a lm o d eo fv i b r a t i o n w h a th a v es t u d i e d i n d i c a t e st h a ti n t e r v a lf a c t o r so fs t r u c t u r a l p a r a m e t e r sh a v ea c c o r d i n g l ya f t e r - t e d s t r u c t u r a ls t a t i c d y n a m l cc h a r a c t e r i s t i c s i n t e r v a lf a c t o rm e t h o di se f f e c t i v ea n df e a s i b l e 0 nt h es t u d yo fe n g i n e e r i n gp r o b l e m s k e y w o r d ：u n c e r t a i n t y i n t e r v a lp a r a m e t e rs t r u c t u r a ls t a t l a d y u m i ca n a l y s i s i n t e r v a lf a c t o rm e t h o d 创新- 眭声明 秉承学校严谨的学风和优良的道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师 指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表的研究成果；也不包含 为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了 谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的相关责任。 本人签名：翟壅! 訇日期兰翌z ! ：! 窑 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权 保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分 内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业 后结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名 型壅固 。必硅 日期兰翌z ：金 日期兰塑z ：墨 第一章绪论 第一章绪论 1 1 工程研究背景 在传统的工程结构分析时，一般采用确定性的结构参数和数学模型。在所有 的模型中，涉及结构的参数一般都是确定性的数值。所谓的确定性就是在计算中， 忽略了结构不稳定性而导致结构系统发生的变化，最终导致结构出现完全的不稳 定性和计算误差。在以往的研究确定性的力学结构中，出得了不少的研究成果。 事实上，研究工程往往出现结构的不确定性，比如不同温度下各种材料性质的改 变、物体的几何形状和尺寸在测量过程中产生的误差，结构在随机载荷下致外力 在随时间而不断地变化，一些结构涉及计算的初始条件和边界条件等等。下面举 几个例子涉及工程结构中存在的误差和不确定性，来充分说明结构不确定性对结 构响应特性的影响 在研究高转速、高推重比的航空发动机叶片盘耦合振动特性时，工程上主要 依据叶片盘的轴对称结构特点来缩聚系统的运动自由度。但是，由于在同一基盘 上的众多叶片由制造误差、材料不均匀性、安装条件等因素造成的差别，一般说 来，真实叶片盘将不是轴对称结构。这种叶片的失调盘与对称性叶片盘( 盘上各 叶片完全相同) 的振动特性有本质区别。国内外学者认为叶片盘失调可能是造成 某个叶片提前振动疲劳折断的内在原因【1 1 。 对于复杂的机床结构系统，建立其在物理坐标下的整机动力学模型至今仍然 是十分困难的。主要原因是在建立准确机床结构结合面动力学模型时存在很大的 障碍。因为当机床运行时，各部件之间发生接触或保持间隙和相互附着或相对滑 动将显著改变了结构的刚度和阻尼特性。而外界的干扰也会影响甚至完全改变结 构联结处的接触和滑动情况，从而影响或改变结构的刚度和阻尼【2 】。 工业机器人是以高精度伺服技术为基础的，机器人臂的端部由关节伺服机构 定位。在实际应用中，没有基于臂端测量的位置反馈，其位置精度是由机械刚性 和优质的伺服机构共同保证的。由于机器人的各种运动间存在非线性机械耦合， 其惯性矩将在一定范围内变化，即具有不确定性【3 j 。 在地震危险区预测分析中，与结构模型有关的边界条件、初始条件、边界外 力和体积力等都是不确定的，而是在一定范围内变动1 4 1 齿轮的齿刚度经常被用于分析齿轮系统的振动、动载荷和载荷分配问题。然 而，由于齿轮的复杂性、轮齿变形、制造误差和安装误差等因素，使得齿轮的刚 度具有误差或不确定性。而且，齿轮系统运转时，在不同啮合位置，齿轮刚度也 !区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 不断地变化。所以，齿轮的刚度不可能用一确定的数值来表示嘲。 在研究实际问题时，人们都喜欢用理想模型来代替实际系统，总认为结构支 承完全对称。然而实际上总是因工艺、材料、支承或载荷等因素而不完全对称0 1 。 以上列举的主要都是与结构直接相关的不确定性因素，造成这些不确定性的 原因有很多，有的是参数具有制造、安装误差等；有的是参数具有计算或测量误 差；有的是系统在不同的工况下，参数具有不同的数值；有的是参数具有一定的 变化区域或无法精确测定。另外，还有与结构问接联系的一类不确定因素如工程 需求等模糊因素。总之，实际结构中的误差或不确定性是普遍存在的。虽然，在 很多情况下，这些误差和不确定性可能很小，但是由于累积就可能对结构造成很 大的影响，尤其在比较复杂的结构中就更为明显。传统分析设计中，通过采用较 大的安全系数来避免结构不确定性的影响，已经很难满足现代分析设计的要求。 因此研究工程中的不确定性的结构分析方法，具有重要的实际意义和理论价值。 1 2 不确定性的分类及主要研究方法 目前，就工程中不确定性的存在方式而言，大体上分为下列三类： 物理不确定性。当系统承受载荷而运行时，系统的各种固有特性和响应中的 误差部分地取决于控制其强度的有关材料性能和几何尺寸的实际值。因此，研究 人员必须要关心载荷、材料性能、几何尺寸等参数物理量的实际不确定性。一般 说来，物理量的不确定性是由制造误差、安装误差或工作条件变化所引起的。 统计的不确定性。目前，处理工程中的误差或不确定性问题，大都采用概率 统计方法。与概率相反，统计和推断有关。一方面，样本的大小受到实际情况和 经济上的限制，另一方面，背景噪声的存在必然使系统存在某些误差或不确定性。 这种不确定性只是由于缺乏统计信息而产生的【7 1 。 模型的不确定性。结构分析和设计所利用的是把输出量( 结构的位移、应力、 应变) 同输入量( 载荷、材料的几何尺寸、弹性模量) 联系起来的数学模型。典 型机构响应的不确定性除了由基本的物理不确定性引起之外，本身也含有不确定 性的成分。这种不确定性叫做模型的不确定性。它多是由理论简化或未知的边界 条件而产生的。 严格意义上说，结构参数和载荷都具有某种程度上的误差或不确定性。在有 些情况下，它们必须被当作不确定性来处理。一般来说，在对结构进行设计或分 析时，需要采取某些适当的方法使这些不确定性进行定量，并针对具体的结构来 研究这些不确定性之间的相对关系。 对于工程中的不确定性问题，目前研究的方法主要有以下三种：随机概率方 法、模糊方法和区间分析方法。 第一章绪论 随机概率方法。我们把工程中的不确定性看成随机性的，利用概率论的有关 理论和传统的计算统计方法l 3 l 进行计算。在研究的问题中，若不确定性参数是 随机性的，则结构的输出响应也是随机性。其特性可以根据概率论的相关理论进 行处理。比如：平均值、方差和相关性等。 模糊方法。用模糊变量或模糊函数来表示不确定性因素，利用模糊统计方法 来研究系统的不确定性现象【体切。 区间分析方法。就是以区间的形式来研究不确定性的问题的现象l l s - 2 2 j 。我们 把研究的对象看为区间变量，找到区间参数的变化范围。具体求解区间函数在第 二章有详细的介绍。 如何选择以上的方法来研究不确定的数学模型，完全取决于我们所知道的有 关工程结构的了解程度。 1 3 当前国内外不确定性区间分析研究现状 f 随着当前科学技术的发展，分析结构的基本理论和方法基本完善。尤其在当 前高科技领域计算机应用软件的普及，使人们研究复杂的工程结构进行动态分析 仿真和研究设计时提供了重要的保障。以前，人们很少研究不确定性问题。最近 人们开始大量研究带有不确定性参数结构问题。 1 3 1 区间分析方法概述 区间分析方法是自2 0 世纪5 0 年代末m o o r e 提出的区间算法概念。“之后发展 起来的区间分析方法是早期用来处理计算机内浮点算法1 2 4 l 的，然而它在实际工 程领域中却具有广泛的意义和存在背景。在地下工程中，工程单位提供的岩土体 力学参数如弹性模量、泊松比、黏聚力、内摩擦角等常在一定的范围内；在结构 设计中，某零件的长度要求为善，偏差为t a x ，则该零件按精度要求加工出来的 实际长度为：b 一缸，z + 缸l ：另外，在信息化施工中，经常要测量工程结构某些 部位的位移“( 或应力仃) ，由于仪器精度和测量人员的测试技术而产生的测量误 差6 ，则实际测量获得的位移可表示为：k 一6 ，h + 6 l 。目前关于区间分析方 法1 2 52 6 l 研究主要有3 个方面：区间数的运算方法、区间优化方法和区间方程组的 解法 由于区间数的运算不像实数运算那样，它仅满足交换律、结合律，面对另外 一些准则如分配律、抵消律等仅表现为弱的形式唧，第二章有详细的分析和说明； 另外，区间数之间的相关性而导致区间运算的扩张，这使得区间分析方法在工程 结构分析中的进一步应用受到一定的限制。区间优化方法的研究主要表现在求解 非线性方程组的解以及非线性约束优化问题上【堋，区间算法可以克服常规数学规 一4 区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 划方法中往往只能得到局部最优解的缺陷，从而能够得到所求问题的全部极值以 及全局极值，因此在工程结构优化分析中有着广泛的发展前景。 1 3 2 基于区间分析的有限元研究状况 区间分析与有限元方法相结合就形成了区间有限元方法。从求解工程结构 响应区间着眼点来看，区间有限元方法可分为两类：基于不确定性区间参数的区 间有限元分析方法和基于有限元区间控制方程的分析方法。从工程结构输入区间 参数与输出区间响应的关系可分为线性区间分析方法和非线性区间分析方法。根 据工程结构的工作性分为区间静力分析方法和区间动力分析方法。本段主要从求 解工程结构区间响应的着眼点来对区间有限元分析方法进行分类评述。 ( 1 ) 基于区间控制方程的区间有限元方法 在工程结构区间有限元求解过程中，通过区间控制方程的求解从而得出问题 的解区间。禹智涛等在进行模糊的有限元分析的过程中，基于区间分解定理提出 了求解有限元区间控制方程的解法，该方法可以将有限元区间控制方程转化为两 个普通的线性方程组来进行求解，大大简化了区间数之间的运算。但是该方法忽 略了以分配律代替区间数运算的亚分配律而引起的误差。r a o 等通过区间方程组 中所有区间元素上下边界的组合，研究了区间方程组的直接组合解法，但解法得 出的区间小于原问题的真实解区间，并且当自由度较多时，其计算量是非常庞大 的。吴晓等1 2 9 提出了基于泛灰数及其运算性质的不确定性区阿分析方法，该方法 将有限元区间控制方程转化为泛灰区间方程组，然后可以像求解线性方程组那样 直接对泛灰区间方程组进行求解。虽然该方法求解比较简单，但是由泛灰区间的 运算性质可知，泛灰区间的运算会导致区间的收缩，最终得出的解区间比实际问 题的区间范围要小。这几种方法将区问控制方程组进行特定的处理，然后由线性 或泛灰线性方程组的解法求解出原问题的解区间，从而简化了区间数的运算；但 是，简化的本身就带有一定的的近似，因此不可避免的产生一定的误差，并且有 时误差可能会很大。 m a r k o v l 3 0 提出了求解区问线性方程的j a c o b i 迭代方法，并对其收敛性进行了 研究，但该方法对区间劲度矩阵有特定的要求。d e s s o n m b z 提出了另外一种解决 有限元区间控制方程的迭代方法，但该方法偏于保守。国内，郭书祥等1 3 1 】提出了 基于区间运算特性的区间有限元的迭代算法，用该方法进行计算时只需满足迭代 的收敛条件即可。但对于不确定性参数离差较大时，该方法就无法收敛。区间数 运算会导致区间的扩张是区间迭代方法的致命弱点，尤其当区间变量个数较多以 及有限元控制方程比较复杂时，相应量的变化区间就会很大。为了限制区间运算 的扩张，r a o 等提出了区间截断的方法，该方法可以较好的处理区问运算中的扩 张。由于该方法在端点不能自动退化，吕震宙等【3 2 】提出了改进的区间截断方法。 第一章绪论 虽然截断方法可以较好地处理区间运算中的扩张，但是截断准则不容易确定，计 算结果受截断准则的影响较大。 陈怀海提出了基于区间线性方程组的直接优化求解方法，该优化问题将区间 线性方程组的所有区间数的变化区间取为边约束，然后基于m a u a b 语言及其优化 工具箱进行计算分析该方法对于所求问题自由度较小情况下计算比较方便且收 敛较快，其计算结果的可靠性比较高；但是对于比较复杂的岩土工程自由度较多 的情况，由于运算速度和优化方法的制约而较难付诸实施。 基于n e u m n n 展开与摄动理论相结合的线性方程组的解法，邱志平提出了基 于区间线性控制方程的区间摄动方法，由区间摄动法的收敛条件可知，当区间离 散程度较大时可能不收敛；因此又提出了子区间摄动方法，子区间摄动方法可以 保证在参数区间离散程度较大的情况下收敛，可以获得较好的结果。这在工程结 构区问有限元分析中就比较实用，基于此方法夏仕锋获得了一系列具体的区间有 限元计算成果。不管是摄动方法还是予区问摄动方法均用到了区间数学中的自然 区间扩张，因此计算结果一般都比真实解区间要稍大一些，得出的解区间偏于保 守。 综合上述各种方法，邱志平提出的子区间摄动方法可以通过子区间数目的增 大获得较为准确的结构响应，可视为基于区间控制方程的区间有限元计算方法中 较好的方法。 ( 2 ) 基于不确定区间参数的区间有限元分析方法 郭书祥等指出由有限元区间控制方程所求得的解区间与基于不确定性区间参 数的有限元解区间是不等价的，主要原因在于区间控制方程形成时没有考虑区间 数之间的相关性，使得由区间控制方程得出的解区间产生了扩张。由此，国内外 研究者也提出了基于不确定性区间参数的有限元分析方法 继r a o 等提出的基于区间控制方程的组合解法后，m c w f l l i a m 和郭书祥等提 出了基于参数考虑的组合解法，并且通过考虑响应结果关于不确定性参数的单调 性问题来减少需要组合的次数，因此该方法又称为单调性法；当所有不确定参数 的单调性确定时，仅需要两次有限元控制方程的求解就可以得出原问题的解区间。 因此该方法比较适合有具体工程背景的情况。刘世军提出了基于不确定区间参数 的优化方法，该优化方法除了考虑不确定参数的区间约束外，还考虑了有限元控 制方程约束。优化分析方法既可以用于弹性分析中，也可以用于弹塑性分析中。 但当计算范围的自由度和不确定性参数较多时，计算量是巨大的；优化计算得出 的区间范围理论上应该小于或等于问题真正的区间范围。当单调性得到满足时组 合方法往往可以得到问题的准确解区间，但是一般工程问题不确定性参数较多， 单调性难于满足；而优化方法当自由度较多时计算量较大，如果将两者结合，将 可以大大减少计算量，并且可以得到满意的解区间。 5 !区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 邱志平继提出区间控制方程组的摄动方法后，又提出基于不确定区间参数的 摄动方法，其核心思想是将劲度矩阵和载荷向量按照结构有限元和子结构理论进 行分解，然后用摄动方法进行求解；但这种方法忽略了劲度矩阵和载荷向量中不 确定性参数的相互作用。m c w i l l i a m 提出了改进的区问摄动方法，可以部分考虑 这种相互作用。刘世军将区间劲度矩阵和载荷向量在均值处进行t a y l o r 展开，然 后用摄动方法求解。由于区间参数摄动方法要求劲度矩阵的变化范围较小，而实 际工程中不确定参数的变化范围一般又比较大，这时采用考虑参数区间分区摄动 的方法来处理。该方法适合于岩土工程中区间数离散程度较大的情况，并且可以 得到较准确的解区间。陈塑寰，杨晓伟等从单元的角度出发，基于摄动的思想推 出了基于单元的区间有限元计算方法，该方法对划分单元比较多而含有不确定参 数的单元较少的不确定问题具有非常快的计算速度。 虽然单调性的方法可以得出结构响应的准确解，然而由于其特定的应用背景 而受到较大的限制；优化方法对于所求结构区间响应数目较多时计算速度就大为 降低；而基于单元的区间摄动方法可以针对含有不确定参数的单元进行分析，可 以联合区间有限元与常规有限元进行分析，当考虑参数区间的细分后，既可以达 到较好的精度，也具有较高的计算效率。 。 另外，k o y l o u g l u 等用三角不等式和线性规划方法来分析线弹性梁的响应区 问：郭书祥等基于区间数的运算特性提出了求解区间有限元控制方程的方法，将 组合方法与迭代方法相结合提出了组合迭代方法f 3 3 1 。邱志平对区间分析方法与凸 模型分析方法得出的结构静态响应进行了对比。近年来，具有区间参数结构的动 力响应问题研究颇多，邱志平等利用区间摄动方法分析结构的动力响应，吴杰等， 王登刚，m o e n s 等利用区间优化方法研究结构的动力响应。 1 3 3 区间结构的非概率可靠性分析 随机可靠性理论是目前用于求解不确定性问题的常用方法，但随机可靠性方 法对已知数据的依赖型较强，而实际工程中可得数据的有限性，在一定程度上限 制了随机可靠性方法在实际中的应用。b e n h a i m 于1 9 9 4 年基于区间分析思想首 次提出了非概率可靠性的概念。基于区间分析的非概率可靠性分析主要有以下几 种： b e n _ h a i m 3 4 的非概率可靠性模型是以结构系统能容许的不确定性干扰的最 大程度来确定的。该模型认为结构系统在失效前如果能承受较大数量的不确定性， 则系统是可靠的；相反，如果结构系统对于不确定性是脆弱的，则认为该系统是 不可靠的。 郭书祥等用概率可靠性方法类似的处理，由结构的失效准则确定出功能函数， 然后由区间运算得出功能函数的均值和离差，用均值和离差的比值作为可靠性与 第一章绪论 否的评价标准。该准则认为此比值比1 大的越多，说明结构越可靠。继而从几何 上说明，可靠性指标为标准化区间变量的扩展空间中从坐标原点到失效面的最短 距离。然而，该模型无法对可靠性指标在区间l 一1 , 1l 这个盲区进行分析，认为可 靠性指标在区间i 一1 1i 上均表示结构的不可靠。 吕震宙等基于模糊隶属函数以及概率可靠性思想，建立了另一种非概率可靠 性模型。将不确定参数看作其区间上的均匀分布函数，通过此函数与隶属函数乘 积在不确定域上的积分来确定结构系统的可靠性指标。 “ 郭书祥等建立了概率和非概率混合可靠性模型，该模型将功能函数定义为随 机变量和区间变量混合的函数。通过两级功能方程的逐次建立及可靠性分析，给 出结构可靠性的概率度量。 尽管提出了若干种基于区间分析的非概率可靠性模型，但是至今仍没有统一 的判别结构非概率可靠性的标准，无法像随机可靠性那样来判别结构的失效与否。 这是区间可靠性方法无法付诸于工程实际的原因。此外对于复杂的岩土工程问题 来说，其可靠性分析是非常复杂的，如何基于区间分析思想建立其失效模式以及 用功能函数来分析其区间可靠性，如何将区间可靠性模型与概率可靠性模型联合 应用有待于深入研究。 总之，非概率可靠性模型对已知的数据要求相对较低，当缺乏足够数据准确 定义概率模型时，非概率可靠性计算方法是传统可靠性计算的一种较好的选择。 1 3 4 区间模型的反演分析 在工程设计和施工方案中，用到的材料参数往往是通过现场或室内试验得出 或依据以往的经验得出，而现场或室内试验又往往受到经费和工作条件等客观因 素的限制，一般难以客观地反映整个工程地实际情况，所以有必要在工程方案的 具体实施过程中，通过系统响应的实时观测资料来反演得出材料参数，并对原设 计和施工方案进行实时监控和动态设计施i t 3 5 j ；另一方面，基于反分析结果对计 算模型或参数进行修正，对工程结构进行更准确的评价和实时安全监控预报，也 可以对已建结构进行实时的安全监控、可靠度评估和预报。 不确定性反演分析可采用区间分析方法，由于它只需要较少的数据信息( 上 下界) 就可以来描述参数或测量信息的不确定性，比较符合客观实际，减少了人 为假设的影响，提高了计算结果的可靠性，为工程实际提供了简单可行的方法 由此，国内外学者建立了基于区间分析方法的区间反演分析模型，日本学者 j u h a c h i 和s a t o r u 首先于1 9 8 0 年利用带有误差的位移来反演接触面的应力分布， 具有一定的区间反演思想。n a k a g h - i 和s u z u k i 于1 9 9 9 年比较详细地论述了区间 有限元反演分析的思想，文中在假设劲度矩阵是确定值的情况下，通过拉格朗日 乘子方法辨识了在不确定位移下方板平面结点载荷的分散程度；并通过载荷对不 7 !区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 确定位移的敏感性分析来评价反演载荷不确定性的影响。王登刚等建立了同时用 于反演巷道围岩的初始应力和弹性模量的反演模型以及混凝土坝振动参数的区间 逆分析模型，并用约束变尺度法求解了两种反演模型；但是此反演模型对初值比 较敏感，实际计算时经常需采用不同的初始点进行计算，然后取其最大最小值， 计算量比较大。刘世军等建立了基于参数的摄动方法的摄动反演模型，该模型先 经过一次确定性反分析获得不确定参数的均值，然后再由摄动公式依次反求出不 确定参数的离差，并利用该模型对岩石力学参数弹性模量和泊松比进行了反演分 析。但该方法需对参数求偏导，计算量也比较大。 虽然上述反演方法应用于工程实际，并取得了一定的成果。但由于实际工程 问题的复杂性，如何建立比较合理简单的区间反演模型，以及区间反演结果好坏 的评价标准仍需进一步的研究。对于反演计算效率问题，借助于大型有限元分析 软件计算速度快的特点进行也是一种趋势。 1 4 本文研究的目的、意义和主要内容 z 区间分析方法是研究工程不确定性的一种主要方法，主要研究具有区间特性 的工程结构。当统计信息不足以描叙不确定性参数的概率分布、隶属函数或工程 单位仅提供不确定参数的区间范围而想获得结构响应的时候，区间分析方法却发 挥了优点。区间因子法是在区间数学理论的基础上发展起来的，虽然是开始阶段， 但在研究区间分析问题方面却起到不可忽略的作用。区间因子法能把结构材料的 不确定性物理参数，几何区间变化尺寸等区间形式均表达为其区间因子和确定性 量的乘积，这样在结构分析计算中能够更好地发挥其优点，该法的提出为区问分 析的研究发展起到了试探性的作用。区间因子法能够运用到工程实践中，所以具 有实质性。区间因子方法在研究结构静动力分析方面起到很好的作用，结构的静 动力分析问题一直是工程结构研究的最广泛热点问题，所以有广阔的发展空间， 相信区间因子法还能够运用到其他研究领域中。 鉴于前述，我们将区间因子方法理论应用在结构的静动力分析中，由于其对 所研究的数据信息要求低，只需要知道结构中不确定性参数的上下界，就可以对 结构的各种响应进行分析和研究，为系统的稳定性起到分析判断的作用。区间因 子法的提出和引入相信为区间数学的发展起到推动的作用。 本文是在国内外学者研究相同领域的基础上，把基于区间分析方法的区间因 子方法理论运用在结构静动力分析的研究中。主要研究的内容如下： ( 1 ) 把区间因子解法应用在桁架结构静力分析问题上，研究了平面六秆桁架结 构。根据平面桁架结构的区间参数推导出其区间刚度和区间载荷向量，把各区间 参数表示为区间因子的函数，根据位移响应公式，计算得到了结构的位移响应值。 计算结果通过和其它几种方法进行比较，区间因子法所得的结果与其它方法求得 第一章绪论 的结果基本一致。 ( 2 ) 分析研究了三维桁架结构参数区间变化率对结构的位移以及应力的影响， 分析结果可以明显看出该结构的弹性模量、截面面积、杆的长度以及载荷应力的 不确定性参数对结构的位移和应力的变化影响是不相同的。当随着结构参数和载 荷应力的区间变化率的增加，结构的位移和应力响应的不确定性也随之增加。若 弹性模量、截面面积、杆的长度以及载荷应力不确定性被同时考虑，结构的响应 相对于它们的单一情况变化很大。 ( 3 ) 计算了在均匀载荷作用下简支梁中性轴各点的垂直位移，首先把简支梁结 构的区间参数用区间因子的形式表示出来，根据挠曲线方程，利用叠加法求得位 移响应结果。并与准确解做了比较，反映该法具有可行性。 ( 4 ) 把区间因子应用到了计算结构的固有频率和固有振型的动态特性分析中， 研究并计算了平面八杆桁架结构以及三维空间天线结构的区间参数结构动力分析 的固有频率和振型，分析了区间参数的变化率对固有频率和振型的区间变化率的 影响。 ( 5 ) 最后利用区间因子分析方法对悬臂梁结构以及无阻尼自由振动系统的动态 特性问题作了计算研究，对结构的固有频率和振型的结果做了分析，与确定性参 数计算值结果进行了参考，分析比较了振型( 模态) 图。 9 垫区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 第二章区间数学理论 区间数学起源于二十世纪六十年代，在此期间，r e m o o r e 著作了( i n t e r v a l a n a l y s i s ) 一书，此专著奠定了区间数学的基础。1 9 7 9 年，他又写了( m e t h o d s a n d a p p l i c a t i o n s o f i n t e r v a l a n a l y s i s ) - - 书，并将区间数学初步应用于一些实际领域 3 6 1 。 现在，区间数学作为一个数学工具活跃在数学领域中。在随后的章节中，由于用 到了区间因子分析方法对结构问题进行分析，在此，我们必须先了解区间数学的 有关理论以及区间数学运算方法。 2 1 区间数学的基本概念和运算法则 x ，。医，小 r r x s 工s ；j ( 2 - 1 ) 式中：毒为区间变量，盖，为区间变量z 所在的区间。易；分别称为z ，的下端点和上 端点。实数r 上所有有界闭区间的集合记为j ) ，满足兰o 和；so 的区间的集合 分别记为，( r ) + ，俾) 。 定义2 若区间z ，的上端点和下端点相等，则区间x ，：b ， 集于一点，我们称 此区间为点区间。 定义3 若区间z = b 列，满足兰一吖，我们则称此区间z 为对称区间。 定义4 假设区间z 。k ；j j ) ，则称 n 单和必。掣 z ， 分别为区间z 的均值和半径。 假设我们用“”表示实数间的“+ ，一，+ ”的四则运算符号之一且对任意 的x 7 ，y 7 ，( r ) ，有 z y 7 = 甚y l x x , y y 7 扣，( r ) ( 2 - 3 ) 则下列的运算规则成立： 第二章区间数学理论 x 7 + 1 1 1 ；k 剥+ k - j 。k + 璺；+ - j x x _ y ，：b - j k - j ：k 一_ ，；一z j ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) f = 蚓k i j = b 蹿羔y , x 莎_ ) ，m 诞丛y , x 莎圳( 。删 争翻捌恻 假设n n x i , y 1 , z 7e i ( r ) ， 一般说来， 则以下的变换规则都成立： 俘1 + l ，7 ) + z 7 - z 7 + ( y 7 + z )( 加法结合) x 7 ( y 7 z 1 ) t 伍7 y ) z 。( 乘法结合) x 。+ y 一y 7 + x ( 加法交换) x 7 y 7 一y x 7 ( 乘法交换) z 7 p z 7 ) x 】，7 x ，z ， x l x j t 0 但是当z 1 为点区间或者z ，y 1 , z 7 ，伍) 为实对称区间时 x 7 ( y z 7 ) 。x y 1 x ，z ， 若x 。，y 。j 僻) + ，容易证明并推出： x 7 r ；b ，面i 争阂y 。酬 一g i ”- r lvv - y l i i ”卜匕vj 对于区间的逻辑运算，有以下关系： n p b a 屯! l i i l i 南- ) j 旧= l m i 毛! l m a 氛- ) j 以下的几个准则是从实数计算准则的弱型准则： 分配法则x 1 ( y 。z 7 ) c x y 7 x 7 z ( 2 - 7 ) 1 1 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) 堡 区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 抵消法则 x 7 一l ，7 伍1 + z 1 ) 一( y 1 + z 。) ； x l x ix z i 一l 。一 y 1 一y ix z l 0 e n 砖t 2 2 区间向量和区间矩阵 定义5 假设向量掣= k ，i j ，伍x f ；1 , 2 , 3 ，以) ，则称 睡动 n 医- 】i 。 吲 x ： 别 ： x ： ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 定义6 假设z 7 k ，i j ，( r ”) ，则称 ，；x c 。半( 2 - 1 8 ) 和 解掣( 2 - 1 9 ) 分别表示为区间向量x 7 的区间中值和区间半径。其中 墨，b 。，x 2 ，) r x 。仨，一x 2 ，i ) r 定义7 如果一：个元素均为实区间数7 一【口f ，石j 伍) ，则由此以z 个元素组 第二章区间数学理论 么= ( 口；) ； 口矗口乏 口：。口乏 口三 口幺 口二l ：口二 称为区间矩阵。所有r 上的区闻矩阵所构成的集合记为恹j 定义8 假设4 一g ；) = 啦。，i j j r 伍”) ，则称 鱼望 z 和 鲋。垫型 分别为区间矩阵a 区间矩阵中值和区间矩阵半径。其中 4 a ( 垒) ； j 一( 石) = a na 1 2 口1 j l a 2 1a 2 2 。a 2 n a 月1a 2 口m a l la 1 2 口l j i a 2 1 口2 2 a 2 n 口 1a 2 区间矩阵和区间向量如同区间数一样也有中心区间表示法 假设工k ，i j 伍。) ，爿，。k ，j j 伍一”) 则有 x 7 - x 。+ a x 7 ( a x 一 - 必，麟】) 彳7 = 4 c + 鲋7 ( 鲋7 = 【一鲋，鲋 ) 对任意给定的实向量u = 帆，u ：，u 3 ，u ) r r “及任意的区间矩阵 彳：b 刭：防一m + 酬，( 胪) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 5 ) ( 2 2 6 ) ，则有下列表达式成立： 区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 a ut 4 。u + a a u l e 。 u 7 a 7 - u 7 a 。+ l v l 7 a a e a 其中l u l = 0 u ，i ，i v ：i ，i v 。i ) r 2 3 实函数的区间扩展定理 定理1 设，：掣一r ，若存在区间值映射 f ：i ( r 。- i ( r ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 它对于任意鼍五o - 1 , 2 , ，捍) ，成立 f ( e x 。，五 ， 屯，x 2 ， ， ) = ，( 五，z ：，吒) ( 2 2 9 ) 则称f 为函数，的区间扩展，显然f ( z 1 ) ，x e i ( r 4 ) 是一个以区间向量z 为变 量的而取值是区间的函数。一 由区间运算的性质可以看出，( 五，x 2 ，矗) 的区问扩展 f ( 五，五 ， 邑，艺 ，【毛， ) 不是唯一的，例如f 是，的某一个区间扩展， 则 e ( z 7 ) ；，( x 7 ) + x 7 一x 7 ( 2 - 3 0 ) 是它的另一个不同的区间扩展。研究，与其区间扩展，之间的关系，特别是，的 值域和f 的值域之间的关系，对于确定导出函数值域的计算方法有很重要的价 值。 定理2f ：i ( r “) 一，( r ) ，而x ，y ，( 科) 并且满足 x l 量y l 如果成立 f ( x 。) f ( y ) ( 2 - 3 1 ) 则称区间函数f 具有包含单调性。 由上面的定理还可以得到对于区间四则运算单调性同样成立，即： 若叫，掣，( 尺) ( f - 1 , 2 ) ， 则必成立 砟) ( f = 1 ，2 ) 砟) 磁) 一c 1 l i ) + i ：) ( 2 - 3 2 ) 第二章区间数学理论 堕 其中+ + ，一，0 。当一+ 时，要求。盛z ：，o 隹巧。由于有理区间函数总是 由有限个区间四则运算组合而成的，因此如果f 为有理区间函数，那么f 的包含 单调性同样成立。 如果区间值函数，是实函数，的具有包含单调性的区间扩展，则必有包含关 系： ，( 葺，屯，毛) h 掣，i 一1 , 2 , - - , n 】f ( 叫，叫，剜) ( 2 - 3 3 ) 实际上，由于f 为，的区间扩展，因此对于任意毛掣( i - 1 , 2 , ，厅) 成立 ，“，而，) = f “，j r 2 ，毛) ，又由包含单调性，可知对任意 鼍掣( i - 1 , 2 , ，弗) ，有 f ( 五，屯，毛) f ( x j ，x ：，掣) ( 2 3 4 ) 即包含关系成立。 定理3 设，( 五，恐，) 是而，屯，的实有理函数，如果在，( 五，而，毛) 的表达式中，用相应的区间变量代替实变量，用相应的区间运算代替实四则运算， 所得的有理区间函数f ( ，z ；，掣) 。显然具有包含单调性，称，为，的自 然区间扩张。 如果用，( 爿，z ；，叫) 表示，( 毛，恐，毛) 在z 7 的值域，即 ，( 别，z ，叫) - ，( 而，毛，) k z ，f 一1 ，2 ，厅) ( 2 - 3 5 ) 则有 ，( 叫，x ，掣) f ( 叫，x ，霹) ( 2 3 6 ) 由此可知具有包含关系的区问扩张f ( 叫，x ；，刊) 在( 耐，x ；，掣) 7 上 的区间值包含了实函数，( 五，恐，) 在( 叫，z ；，霹) 】上的值域，这就提 供了一种定义在n 维长方体上的实有理函数的上下界方法。 只要，的区问扩展f ( x ) 具有包含单调性，则，的值域上下界就可以通过计 算f ( z 7 ) 近似求得，但区间，( x 。) 与定义在x 上，的值域到底差别多少，也就 是误差问题就值得注意了一般说来，区间f ( x 1 ) 的宽度会大于或等于，值域的 宽度，有时甚至会大大超过。为了说明这点。举例如下： 堑 区间参数结构静动力分析的区间因子法研究 p ( 小等一缸+ 1 x 2 ，3 p b ) 的精确值域为 觚2 ，3 】) 。【- 学叫 显然它是不可能通过有限次区间四则运算得到的，但可以得到它的上下界。做 p o ) 的自然区间扩展