（机械制造及其自动化专业论文）基于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析.pdf

摘要 摘要 模糊随机结构的动力分析是现代工程结构研究领域中的重要课题。本文以桁 架结构为对象，提出结构分析的模糊因子方法，其中分别或同时考虑了结构材料 的物理参数e 和p 、构件的几何尺寸a 和l 作用荷载幅值等的随机性和模糊性。 根据模糊度和概率度可以度量的原理，即利用模糊熵和概率熵的概念，把结构的 随机性等效地转化为结构的模糊性，得到纯粹模糊性的动力结构。基于模糊因子 法，研究结构物理参数和几何参数为模糊随机变量时结构的动力特性和动力响应， 并获得了一些有意义的结论。本文作为对随机动力结构的研究的延续，对于进一 步探讨和完善模糊随机理论具有较大的参考价值。 【关键词】模糊因子法模糊熵概率熵动力分析 a b s t r a c t 啦血n 基蛳曼鲫曼! y s 疆_ o 囟墨；y 鲫d 鲫! 蔓n 靼皇随鼻y e p li 照凹咀i n t 蛆协晏! tm ! 地 l i l 照m 趟瓤曼d 画鹏阜d n g 5 l m 皇照聪靼鳇磐h ：垦曼卿o n 蛳5 h 蜘宴照旦f 5 t 舛墅s 琏”l 照 田曲硝i i l l i p m 艘鹊鼻蛆强f a 唾贿融曲q d 鲤啦m 蚺骂曼a n 魏吐出j 舢t h 二m 明n i m 宝，l 妊 p h y s 触p 瓤m 量照e 最县姒p 垣1 h 匹删t 峨辨撇n 越，也! 卿p q n n l | 窜艘啦i h j 譬羽 s i z eo f aa n dl ，t h el o a da p p l i e do nt h es t r u c t u r e s r a n d o m c i t ya n df u z z i n e s s e t ca r ea l l c o n s i d e r e d b a s e dt h et h e o r yt h a tt h ed e g r e eo ft h ef u z z i n e s sa n dp r o b a b i l i t yc a nb e m e a s u r e d ，i nt h eo t h e rw o r d ，b yu s i n gt h ec o n c e p to ff u z z ye n t r o p ya n de n t r o p y ，p u r e f u z z yd y n a m i cs t r u c t u r ei sg i v e nt h r o u g ht r a n s f o r m i n gt h ep r o b a b i l i t yt o f u z z i n e s sq n t 酞弧阍翩照照血蜊地s h a 辫t 蚺删嘲p 9 蚺照w k n 懒j 照蟛峨p 虹甄嘲鹏 g i q m g 血脚脾翰m 锫烈一r b 曼i n g h 曼地磐卫卿如m _ v 越造b l 宝ky l e n 艘q 嘶熙墨q 婵p m 宴蝉i 驻g 魁艘n 咄l s i q 骢鱼曼s 异d 鲫m 皇嬲h 州一q f 嚷剐盎吼q l b e i n g0 q m 地趣y q j e 熙d 卿m i 热蚰蚋啦坦嘲孵惑蚺觏照b r o s 哪照! 睡鹕陋y 4 l 姗地幽叫蹬触d i 删p 雌 h e 啦z y 鼎嘲蚋；h i q 班血地艇 k e yw o r d s f u z z yf a c t o rm e t h o d ；f u z z ye n t r o p y ；r a n d o me n t r o p y ； d y n a m i ca n a l y s i s ； 第一章绪论 第一章绪论 现实世界和工程领域中的许多事物，包括人的思维活动，都存在着种种模糊 的，界限不清的概念。不是由于人的主观认识达不到客观实际所造成的，而是事 物的一种客观属性，是事物的差异之间存在着中问过渡过程的结果。长期以来， 人们已经不自觉地用模糊的概念来交流信息和分析思考，然而在从事具体活动时， 特别是在从事工程的结构分析和设计这样的自觉活动时，却基本上忽略了这一事 实，即把许多本来是模糊的量，人为的当作是确定的量。随着科学技术的发展， 那种完全不考虑客观存在的模糊性的做法，已经越来越行不通了。 自从1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 提出了模糊集合的概念，诞生了模糊数学 以来，其触角已经伸向社会科学和自然科学的许多部门，实际应用遍及心理，语 言，医学，气象，生物，人工智能，甚至法律等部门，成为清晰数学的重要补充。 短短几十年来，模糊学界呈现了比较繁荣的景象，模糊理论也不断地趋于完善。 而更使人振奋的是一些专家和学者已经不仅仅停留在理论的表面上，他们已经成 功到将模糊集理论应用于实际产品的开发和研究上，生产出了众多的模糊家电产 品( 如海尔已经造出了模糊洗衣机，其他一些厂商也推出了一些模糊家电产品) 。 模糊集理论的应用已经成为日本先进家用电器的一个重要标志。德国，美国等的 一些科研机构也紧随其后，奔驰汽车公司已经开始研制模糊控制的汽车，还有我 国学者汪培庄的模糊推理机也引起了很大的影响，这是人们应用模糊逻辑，模糊 推理所做出的重要成就。当时我国的各大报纸都有相应的报道。同样，力学也和 模糊数学紧紧地结合起来了。一般来讲，力学重视精确性，有严格的数量化要求， 那么他们之中是否也存在有模糊性概念和模糊性现象呢? 由于自然科学传统的模 式及研究方法在人们头脑中根深蒂固，很难一下子改变非此即彼的二值逻辑概念， 再则也由于模糊数学本身还处于年轻的发展阶段，其理论体系尚未完全形成，所 以目前把模糊数学应用于力学还并没有被普遍接受。在此情况下，研究如何把模 糊集理论应用于工程结构力学中，就成了国内外诸多学者正在解决的问题。 同时，在各种工程结构中，存在着很多不确定因素，诸如结构的物理性质， 几何参数等结构本身的属性和结构所承受的某些载荷( 例如风载荷，波浪载荷以 及地震载荷等) 。由于人们认识的局限性和他们本身的不确定性，这些因素被描述 为空间或时间的随机场函数或随机过程。由于这些随机性因素的影响足可j 可忽略 的，致使结构的行为不再是确定性的，而是具有了偶然性，表现为随机的场函数 和时间函数。于是结构行为的分析就有了新的内容。经过结构分析之后，人们在 基十信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 了解对应于作随机变化的结构属性( 物理性质，几何参数等) 和结构载荷每一给 定值的结构的行为( 位移，应变和应力) 的同时，还必须知道结构的行为函数的 概率分布。问题变得更复杂了。以弹性力学问题为例，当结构的弹性系数有随机 扰动时，结构的位移，应变和应力的“增量”是这个扰动量的随机的，非线性的 函数。要确定这个函数关系是比较困难的。数学上，这个问题可以模型化为求解 类椭圆边值问题。对于随机问题，目前，它也同样起着重要的作用。一般地， 结构系统的随机分析可分为两类：一类是统计方法，就是通过样本实验收集原始 的数据资料，运用概率和统计理论进行分析和整理，然后作出科学的推断。这种 方法需要进行大量的样本实验和数据处理工作且计算的工作量很大。目前，由于 电子计算机的出现和大量使用使得模拟法成为最常用的统计逼近法，例如，蒙 特卡罗( m o n t ec a r l o ) 模拟就是一类典型的统计方法。另一类方法是非统计方法， 这种方法从本质上来说是利用分析的工具找出结构系统( 确定的或随机的) 输出的随机信号信息与输入随机信号信息之间的关系。这种方法不需要大量的样 本实验和数据分析，而是采用随机分析与求解系统控制方程相结合的方法得到输 出信号的各阶随机统计量的数字特征，如各阶原点矩( 或中心矩) 。这类方法的优 点是对输入的随机信号的了解并不很充分的条件下，例如只知道信号的某几阶数 字特征，运用解析的或数值的分析工具( 微分方程理论，变分理论，有限元理论， 边界元理论等) ，可以得到一定的精确程度的解。根据以上的分类，随机有限元同 样地也有统计逼近和非统计逼近两种类型。目前所说的随机有限元方法包括有摄 动随机有限元法，纽曼( n e u m a n n ) 随机有限元法和蒙特卡罗( m a n t ec a r l o ) 有 限元法( 统计有限元法) 。其中摄动随机有限元法用得最多。摄动随机有限元法 ( e s f e m ) ，顾名思义是指结合了摄动方法与有限元法的一种随机有限元法。此 法在假定随机变量的小参数摄动的前提下，将有限元基本方程中的刚度矩阵按这 些随机变量泰勒展开，从而得到关于这些随机变量的非线性方程。利用小参数的 摄动法，将这个随机的非线性方程转化为一组线性的确定的递归方程组便可得到 位移解的各阶摄动系数。在假定已知这些随机变量的均值和相关系数的前提下， 便可得到位移和应力解的均值和方差川。 1 1 国内外的研究现状 有限元法作为一种非常有效的数值方法，广泛应用于各工程领域。在结构工 程中发挥着尤为重要的作用，尤其是随着自适应f e m 的发展。从理论上讲，确定 性物理模型的有限元模型的有限元分析可达到任意所要求的精度。但在实际工程 中，众所周知，一方面，结构工程的各个方面存在着不确定性，如结构材料性能 参数及结构几何尺寸的随机性和尤为明显的载荷的随机性。另一方面，有限元法 第一章绪论 分析复杂结构己成为结构工程中广泛使用的一项数值计算方法，且随着高精度元 的引入，确定性有限元计算有越来越高的趋势。因此，人们很自然地想到在有限 元计算中考虑不确定的因素。结构参数的不确定性将导致结构力学特性的不确定 性往往对结构的临界性能和可靠性有较大的影响，尤其是在随机结构的动力分析 中，结构参数的变异，可能引起结构动态响应的大幅变化。这种影响甚至可能超 过外激励随机性对动响应的影晌。如何对参数变化的影响作出定量的评估也是结 构设计中人们极为关心的问题。因此，2 0 多年来，将常规的f e m 推广用于随机力 学问题的分析及f e m 和结构可靠性的结合受到了人们广泛的关注。因为数值方法 是复杂随机结构分析的唯一可行的求解方法。随机结构的数值分析始于7 0 年代初 期，但真_ f 的随机有限元方法( s f e m ) 则建立于7 0 年代末到8 0 年代仞。并逐步得 到完善和发展。s f e m 可有效地处理结构分析中所涉及的有关参量的随机性。通过 随机结构离散，借助常规的确定性f e m ，利用一些能考虑随机性的合理算法，可 较准确的确定结构的随机力学特性。进而较准确合理的估计结构的可靠性。与确 定性f e m 相比，s f e m 在物理建模上更符合客观实际，也更合理。尤其是当有关 参数的统计特性可知时，s f e m 可提供较精确的分析结果。随机结构动力分析方法 的研究，一般围绕两项主要内容展开，即：随机特征值和随机动力响应的概率分 析，随机结构动力分析涉及三方面的内容，包含随机场的离散和分离，空间场的 离散化和时间域的积分，从而增加了问题的难度。随机特征值的分析。 设随机结构系统经离散化后成为m 个自由度系统，其动力学方程描述为： m 】 歹) + c 岁) + 髟】 y ) = ，( ) ( 1 1 ) 其中： m 】) 【c ， k 分别为结构关于m 维随机变量的m x m 阶质量矩阵、阻尼矩阵， 和刚度矩阵； f ( ) 为m l 的随机动力荷载列阵； 姐， 萝) 和 y ) 为m x l 的随 机动力响应列阵。 式( 1 1 ) 对应的广义特征值问题为： ( q 一九【m 】) 矿 。= 0 )( 1 2 ) 式中：以和 矿) 。分别对应于结构的第k 阶特征值和特征向量； k 和或 m 】的随 机性导致了特征对( 以， 矿 。) ( k = l 2 ，i n ) 的随机性。 对随机结构特征值问题的研究，始于6 0 年代，已取得了一系列有价值的成果。 n a g p a l 等用m o n t e c a r l o 加权残值法，对加权残值法得到的固有频率的随机函数用 m o n t ec a r l o 模拟求其统计特征，得到了良好的效果。更多的研究工作都是采用摄 动法得到的特征对的递推方程完成对随机特征值的分析【8 。9 j ，即取 k 和 m 的二阶 t a y l o r 展开式： k = k + k + 去【k ? ， ( 1 3 ) 基于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 m i = 【m ( 0 】+ f f m 1 1 ，+ 去 m 屈， ( 1 4 ) 式中：【 0 ，【伊，【】予分别表示【】在随机变量 p ) 的均值点处的零阶，一阶和二阶变异 量。设特征对( 以， 妒 。) 也有类似的二阶展开式，即 = 掣+ 碟1 ，+ 去粥屈岛 ( 1 5 ) i = 1 i = 1 ，t l 。= 妒 ：+ 妒) ：) 屈+ 去砑卢，岛 ( 16 ) t = ll 一1 j - 1 于是有递推的特征值问题： ( 陋】( o ) 一雒 m ( o 】) 庐) ：o = 0 ( 1 7 ) ( 吲一雒) m o ) ) 2 ) = ，。、 一( k 1 ) 一硝 m 】 1 ) 一筏 m 】( 0 ) ) 髟) 妒( f _ 1 ，2 n ) ( k ( 0 ) 一雒【m 】( 0 ) ) ) 皆= 一( 【k 】 1 ) 一碟 m i ( i ”一碟【m 】( 0 ) ) 庐) 2 一( 团? 一雒 m i c ) 一雒1 【肼 ( 0 ) ) 以：) ( 19 ) 一( 隧】一j “k i 【m 妒一碍【m l 】一础【m 】( 0 ) 一雒) 【m 铲) 庐 1 0 ) ( f - 1 , 2 ”) ( 1 7 ) 式是确定性方程，不难求得均值条件下的特征对( 掣， ：0 ) 。对于式( 1 8 ) 和式( 1 9 ) 可采用其他的方法求解。 1 2 随机结构的动力响应 在动态响应分析中，对质量，阻尼，和刚度矩阵以及外激励的随机扰动效应 的考虑，大体上始于7 0 年代初期。经过2 0 多年的研究工作，形成了三类基本的 方法，即随机模拟方法，随机有限元法和正交展开法【1 。 一、随机模拟方法 随机模拟方法是最常用的统计逼近方法，尤以m o n t ec a r l o 模拟最为人们所钟 爱。s h i n o z y k a 等用m o n t ec a r l o 数值模拟技术完成了线形结构随机激励的时域分 析，得到了样本函数的时间历程，而这是标准的时域分析不可能得到的重要信息 。2 1 。文完成了非线形结构随机动力响应的数值分析，n a g p a l 等用这种方法研 究了汽轮机叶片的几何尺寸和材料特性的误差对固有频率和响应量的影响，取得 了有益的结论【l 。a s t i l l 等则用此法研究了随机结构在冲击载荷作用下的动力响应 ”。随机模拟方法的特点是应用范围广，但计算工作量很大，难以应用于复杂的 工程结构，因而只作为检验其他近似数值方法的可行性尺度而在随机结构动力分 析中使用。 二、随机有限元法 建立随机结构动力有限元法的理论基础是动力问题的随机变分原理。从1 9 6 2 塑二兰些堡 三 帕 年b e l l m a n 讨论随机变分原理以来1 6 】，人们在线蓐静力问题的随机变分原理方面 展开了研究，并取得了进展 1 7 - 1 9 】。在动力问题的随机变分原理方面，k l i b e r 和h i e n 提出了随机h a m i l t o n 原理。赵雷等利用瞬时最小势能原理，研究了线性和非线性 随机结构动力问题的随机变分列式。 三、摄动随机有限元法 在8 0 年代中期，l i u 等1 2 0 将摄动随机有限元引入随机结构动力分析中，计算 动力系统的瞬念响应。解决了刚度随机变异的弹簧质量系统的线性动力响应和 屈服应力随机变化的具有非线性刚度的珩架结构动力响应问题。在这之前，二阶 摄动技术就已经被应用于预测线性随机结构的动力响应问题。h o s h i y l a 分析了线 性随机结构对确定输入的动态响应【2 1 】，并考虑了剪切梁在随机输入下的响应【2 2 j 。 g h a f o r y a s h t i a n y 和s i n g h 则分别考虑了随机地震作用下随机结构的动力响应问题 1 2 3 - 2 4 1 。n a k a g i r i 研究了阻尼随机变化时结构的振动分析问题f 2 5 】。s u e s 等考虑用类 似的方法分析非线性体系【2 。k l i b e r 和h i e n 也用摄动格式研究随机结构的动力分 析问题【1 们。李贤兴用摄动随机有限元法研究了随机结构在随机载荷作用下的动态 预测问题。将随机动力响应问题的协方差矩阵关于标准正态随机变量作幂级数展 开，获取关于l y a p u n o v 矩阵方程的摄动格式。以方差矩阵的统计特征值形式给出 随机动力系统的解答。结果表明，这些方法都与m o n t ec a r l o 模拟解有很好的一 致性。 在摄动随机有限元法中，可以考虑结构系统的质量，阻尼，刚度以及激励， 响应量的不确定性，并可以模型化为随机变量。但这种随机扰动量通常被假定为 很小，这些随机函数通过摄动格式展开为在随机变量均值点处的级数，由此得到 随机结构动力方程的一组递推方程，进而得到动力响应的摄动解 i j 0 1 。在慕于摄动 技术而出现的随机结构动力响应分析研究中，对单自由度体系，w a l l 和b u c h e r 研 究了随机载荷作用下具有随机参数的结构响应【2 7 】，用小参数e 分离随机函数，得 到一组递推方程，按频晌函数得到响应的积分表达式，计算结构动力响应量，称 为随机摄动法，对于多自由度体系的瞬态动力响应，基于摄动原理，呵以分为随 机摄动法和随机有限元法。前者将随机矩阵【纠用小参数分离为： 妒】= 【妒 1 + s 妒】2( 1 1 0 ) 式中： 纠为确定性部分； 纠：是均值为零的随机扰动部分。 将其代入随机结构动力方程中，按摄动原理得到由零阶方程和一阶变异方程 组成的递推方程组。其中零阶方程是确定性的，可按常规方法求解；阶变异方 程是不确定参数的随机振动方程。广义载荷项由载荷的变异项及结构的随机参数 扰动部分所组成。在处理随机扰动项【纠，时，一般按小随机变异条件，用t a l o r 级 数将其在随机变量【1 3 】的均值点处作一阶展开，然后求出灵敏度响应并得到瞬态动 力响应统计量。 基于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 基于摄动展开的随机有限元法，则是将随机结构动力方程中的各种随机矩阵 和随机列阵用t a l o r 级数在随机变量【t 3 】的均值点处作一阶和或二阶展开。得到结 构动力响应的零阶，一阶和二阶变异方程。 ， o y ) o + c 】o 夕 0 1 + 【世 o y ) 0 1 = f o ( 1 1 1 ) 一阶方程 彳 夕) ( 1 + 【c o 户 1 ) + k o y ) 1 = r ) 1 1 一 m 1 1 j j ) ”一 c ( 】 夕) 一 k ；1 y ) o ( 1 12 ) ( f = 1 , 2 ，n ) 二阶方程 瞰】( 0 】 y ) 铲+ 【c 】( 0 ) 铆沪+ 豳劬铲= 毋沪 一m 职舻叫c 黜一旧细 ( 0 ) _ 【螂删 ( 1 1 3 ) 一妒 1 ) 叫c 妒协 i ) _ 劂? 1 ) ( f = 1 , 2 ) 对之进行求解即可得到结构动力响应的前两阶矩，如动力位移的具有二阶精 度的均值响应和一阶精度的方差响应分别为： e ( j ，) ) = 洲+ 去孑c o v ( 属，岛) ( 1 1 4 ) 厶i = 1j - l 哳( y ) ) = 洲1 j ，妒c o v ( 属，岛) ( 11 5 ) t = l i = i 实际上，对于随机结构动力分析而言，随机摄动法和摄动随机有限元法在本 质上是一致的，当基于摄动展开的随机有限元的t a l o r 展开式取为一阶近似时，两 者用于求解随机结构动力响应变异量的递推方程组是完全相同的，后者包含了前 者的求解思想。 四、t a l o r 展开随机有限元法 将随机结构动力方程中的随机函数在随机变量均值点处进行t a l o r 展开，并对 随机结构动力方程施加期望算子e ( ) 运算，结合动力灵敏度方程得到一组关于随机 结构动力响应变异量的递推方程组【2 8 2 9 】，在瞬态动力分析的t a l o r 展开随机有限元 法中，它的递推方程组本质上与摄动随机有限元法一致。因此，仍然伴随长期项 的围绕。 五、正交展开法 1 9 7 9 年s u n 针对具有随机参数的微分方程的求解，提出了一类基于对结构位 移量取h e r m i t 正交多项式展开的数值算i 去【3 0 1 。受其影响，j e n s e n 和1 w a n 在结构 地震响应分析中使用正交多项式展开方法 3 1 - 3 3 i ，g h a n e n 和s p a n o s 将这种方法引入 了结构可靠度分析q a 34 1 。耐人寻味的是，j e n s e n 的结果中的重要失误被算例中的 矩阵对称性所掩盖。李杰基于泛函空间中的次序正交分解概念，提出了概率测度 第一章绪论 空间中的次序正交分解原理，对场域随机变量实行次序j f 交分解，给出了随机结 构动力分析的扩阶系统方法【3 5 】，直接从随机结构动力方程中按次序分解原理得到 扩阶系统动力方程： 爿。 觉，) + 4 。 膏， + 彳。】 x ，) = e ( ，) )( 11 6 ) 式中： x 1 ) 为时域随机过程； a m 】， a c 】和 a k 】分别为扩阶系统中与式( 1 】) 中的 m ( b ) ) 】， c ( d ) ) ； k ( 0 ) ) 】有关的确定性的扩阶矩阵。 求解上式后便可以由正交多项式的级数式得到随机结构动力目应的统计特 征。对随机结构所进行的在确定性地震输入和随机性地震输入下的动态响应研究， 表明了扩阶系统方法的适用性1 3 6 3 ”。 基于正交多项式展开的随机结构动力分析方法不受参数变异量的大小的限 制，这是其优于摄动随机有限元法的特点之。但是，扩阶系统方程式的阶数远 高于原系统方程式( 1 1 ) 。当所考虑的随机因素较多或随机变异量较大时，正交展开 多项式的项数会显著增加，计算工作量会迅速增大以至达到不能承受的程度。文i ”1 提出递归聚缩算法，在不降低计算精度的前提下，较大幅度地提高计算速度。由 于此法不采用摄动格式，避开了长期项的干扰。如何进一步提高计t 算效率，解决 实际工程结构，成为工程界乐于接受的随机分析方法，是正交展丁隔 需要着力解 决的迫切问题。 六、关于摄动随机有限元法动力分析的几个问题 因为人们对确定性分析的摄动方法已研究得比较成熟【3 ，摄动技术的动力分 析的随机有限元法应用很普遍，这些方法可以方便地运用到随机结构动力分析 中。但是，这种动力分析的随机有限元法存在计算效率，精度和收敛性问题，当 求高阶响应或者变异量较大时，这些问题尤为突出 至于模糊有限元，国内关于模糊有限元的研究还不是太多，吕恩琳将区问数 方程组解的定义与结构有限元平衡方程的力学意义结合起来，针对由于材料性能 的模糊性，结构边界条件的模糊性和载荷的模糊性而得到的模糊平衡有限元平衡 方程组，提出了一种快速而准确的解法，其计算量与普通有限元法几乎相等1 4 0 1 。 郭书祥等根据模糊数的区间形式表达和区间运算的性质，给出了模糊数和模糊变 量的运算法贝, t j t 4 ”。并依据区间有限元理论，提出了结构模糊有限元静力控制方程 的求解方法。方法可根据输入模糊数的隶属函数，给出结构响应量的可能性分布。 且计算量小，易于实施。陈原等根据模糊集理论，将结构中的不确定参数转化为 模糊参数，从而建立起含模糊参数的有限元平衡方程，应用一般模糊线性方程解 的基本原理，对模糊有限元平衡方程解的概念及方法进行了讨论，并在此基础上 提出了一种改进解的概念以及以摄动法为基础的求解方法【4 2j 。浚方法假定当不确 定参数相对于其清晰值的分解度不很大时，可以将其在清晰值附近作摄动展开。 文中也讨论了改进解与现有的模糊有限元方程组各种解之间的关系。相对于其他 幕于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 现有解法，该方法更易于与常规的有限元软件相结合，用于处理工程实际问题。 郭书祥1 4 驯等研究了区间有限元静力控制方程的一种迭代解法，考虑当结构的习i 确 定性参量可用区间限界时，将区间分析和有限元分析方法相结合，可建立起区间 有限元方法。区问控制方程组的求解是其核心问题。根据所推导出的区问变量的 运算特性，提出了求解区间有限元静力控制方程的一种迭代解法。将区间方程组 的求解归结为一点值迭代过程。 1 3 课题研究的目的和内容 1 3 1 课题研究的目的 正如上述所言，传统的只是考虑结构的随机性或只考虑结构的模糊性已经不 能满足工程实际的需要，因为它不能正确全面的描述结构的力学性质，即计算的 结果会和实际情况存在一定的偏差。基于上述原因，本文将结构的随机性和模糊 性结合起来考虑，建立模糊随机理论，通过模糊随机有限元来分析结构的力学性 质。 1 3 2 课题研究的内容 自然科学和技术科学的很多领域正从决定论向选择论的方向发展，某些事物 之间因果关系的不确定性和某些信息的不确定性正在得到普遍承认，有限元作为 确定性结构分析强有力的工具与得到普遍承认的结构的随机性相结合而产t 的 s f e m 必然具有强大的生命力，具有远大的发展前景。 当然，利用s f e m 寻求结构失效模式的方法目前还存在着不少问题，还有待 于不断充实和完善。近几年来，在此基础上，陈建军等用随机因子的方法对随机 有限元问题进行了探讨，对随机有限元方法做了发展。在工程结构分析中的许多 参数，如材料的弹性模量和泊松比，结构的几何尺寸和边界条件以及作用的外载， 可能同时具有随机性和模糊性。随机有限元法处理随机性，模糊有限元法处理模 糊性。但要同时处理模糊性和随机性，则需要用模糊随机有限元，只有同时考虑 结构的模糊性和随机性，才能更精确的描述结构的振动及其他的性质。目前，虽 然对模糊性和随机性都做了比较多的研究，但都处于比较初始的阶段，而且不太 系统。所以，本文尝试在把模糊性和随机性的结合方面做一些尝试性的研究，由 于结构本身就同时具有模糊性和随机性，所以基于此的考虑是符合实际情况的， 会取得一定的成果的。 本文对模糊和随机的基本理论进行了阐述，阐述了它们各自的优缺点，从而 为后面具体的算法设计提供了理论上的保证。在此基础上，本文利用信息熵将模糊 随机理论结合起来，再利用随机因子法和模糊因子法，先对模糊随机桁架结构做了 静力分析，然后再对模糊随机桁架结构做了动力分析，以及模糊熵和概率熵的理论 在其中的应用。 第二章模糊数学与模糊理论 第二章模糊数学与模糊理论 2 1 关于事物的模糊性和模糊数学 在工程领域及实际生活中，存在着许多不确定的现象。这种一i 确定性通常表 现在两个方面：一方面是随机性；另一方面是模糊性。随机性是由于事物的因果关系 不确定造成的1 4 ，它通常由概率统计加以研究，是概率统计、分析、设计等所涉 及的范畴；而事物的模糊性是模糊分析、控制所涉及的范畴，通常采用模糊数学理 论进行研究。 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学理沦【4 ”。所谓 的“模糊性”，主要是指客观事物间性质的差异在过渡中表现出的“不分明性”【4 ”， 即用来判定事物属性的边界不清楚一既在质上没有确切的含义，也在量上没有明 确的界限。这种边界不清的模糊概念，不是由于人的主观认识达不到客观实际造 成的，而是事物的一种客观属性，是事物的差异之间存在差点问过渡过稗的必然 结果。可以说，世界上的现象，模糊性是绝对的，而清晰性或精确性是相对的。 模糊( f u z z y ) 现象或模糊概念，在日常生活中是经常会碰到的。人脑中所形成 的概念，几乎都是模糊的，由此形成的判断及推理也都是模糊的。例如，人们对 诸如“年青人”、“高个子”、“严重污染”、“大师级人物”、“革命性很强”、“无产 阶级的代表人物”等概念的理解及判断，都因难以明确地判定其性质的界限而形 成不同程度的认识。理解了事物模糊性的概念之后，还有必要对事物性的概念做 一番探讨。“精确性”在词意上是指人、事物所具有的“极准确、非常f 确的特性”。 结合工程实际，特别是高性能混凝土生产的工程实际，对事物“精确性”的概念 的理解表述如下： 一、精确性只是个相对概念。就上述关于“精确性”的定义而占，“极准确、 非常准确”廉洁本身就排斥了“绝对性”的含义。它所表达的仍然是“准确到某 种程度”的含义，其实质是对事物准确性的一种较大程度上的逼近，而不是完全 的，绝对意义上的准确。精确性这个概念本身就具有模糊性。 二、如第二章所述，在处理复杂问题时，精确性不完全意味着准确性。在工 程实践中，试验或验收标准往往存在精确地定量化的限定，这种限定通常具有较 多的人为的、主观的成分。将这种界定反映在指标值上，通常是一个明确的数字， 即以数字的精确度来限定概念的不同性质的分界。在这种数值的精确限定卜，在 概念性质的差异中，只存在两种截然对立的情况，即“是，不是”，“对，不对”， “行，不行”等性质区别。这种数值上的限定，与其叫做精确，不如叫做“明确”。 基于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 在某种程度上，它有可能忽视了此事物、概念或此过程有可能在质上没有确切的 含义，同时在量上也没有真正明确界限的客观事实。举例言之：泵送混凝土，要求 混凝士拌合物具有较大的滚动性以满足泵送要求。对满足泵送混凝土是否满足要 求的判定，只采用观察其是否满足某一明确的指标数值的规定，若满足，则判定 为合格，若不满足，则不合格。很显然，这样的判据( 数值规定) 仅形成一对互斥的 结果一要么合格，要么不合格。比如，泵送高度为3 0 6 0 m 的工程，规定混凝士拌 合物的坍落度要满足在1 4 0 1 6 0 m m 之间。若实测坍落度值在1 4 0 1 6 0 r a m 间，则判 定其为合格的，如在此区间外，则不合格。这样就会存在一个问题，拌合物坍落 度为1 3 5 n m l 或1 6 5 m m 时，可以作为合格品使用吗? 如果明确按上述的数值限制 ( 1 4 0 1 6 0 m m ) 来刻划，应当是属于不合格品，不可用。但在实际工程应用中，一般 是不会在乎这种微小的差异的。如果严格地按照上述数值进行限制，反而会造成 无谓的浪费。产生这种现象的原因，就是在判定混凝土拌合物质量的过程中，末 考虑到拌和物质量变化过程中的量变而只体现了质变。在验收标准上，拟定的界 限以数值的精确掩盖了新拌混凝土工作性方面质量的连续、渐变、存在过渡状态 这样的事实。由此看来，在对这类概念进行评定时，更具有现实意义的是在从合 格而完全接受，到不合格而全盘拒绝的判据间引中出具有过渡性内涵的评估术语， 并表达出这样的含意：即如果某种品质是合格的，那么它在多大程度上是合格的；如 果是不合格的，是在多大程度上不合格；在较大程度的合格与较大程度的不合格之 间存在着什么样的渐次性评估术语。由此，建立起一个符合客观实际的中介过渡 过程。仍依上例：若测得混凝土的坍落度值为1 2 0 m m ( - m ) f 冀一1 7 、 式中：m 为其主值；左右参照函数( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 中的a 、b 表示不确定性的火小， 可将其描述为( m ，a ，b ) ( 当a = b 时，称为对称正态型模糊变量，描述为( m ，a ， a ) ) 。 利用y 的左右参照函数，取尽量小的隶属度九，根据正态模糊数的隶属度反 函数近似求得y 的最小值y 和最大值歹，即： 一 y = y = m 一、一l n ( ；t ) 口2 = 晰一口一i n ( 丑) y = y 。= 肌+ 二丽= m + 6 厕 由此即可将y 记做l - r 型模糊数，描述为：y = ( m ，y 。，y n ) 。 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 现引入正态模糊数r ，令y = y m 作为模糊变量因子，且( ，) = ( y ) ，即 第三章摹于信息熵的模糊随机桁架结构静力分析 由r 来体现y 的模糊性。当y 值确定时，r 值亦确定，由( y ) = ( y ) 可确定r 的 隶属度函数为： ( y ) = e x p 一( ，一m ) 2 a “)( y 棚)( 3 2 0 ) ( y ) = e x p 一( y m ) 2 6 2 ( y _ m )( 32 1 ) 其中：m = 1 ；“a m ；b b m ，将这些参数值代入上述两式即可得模糊因 子r 的隶属度函数。 由l r 型模糊数运算规则可知r 亦可表为l r 型模糊数，且有： y = gy l m 坛删l r 如此以来即得：y = ，- m ，r 主值为l ，取值范围为 y 。m ，抓m 。 3 若y 为如下描述的模糊数：左参照函数和右参照函数分别为三( y ) 和r ( y ) ， 模糊数取值在m 附近，则y 可表示为：y = ( m ，( y ) ，r ( y ) ) ( 当t ( y ) = r ( y ) 时，可 知模糊数在1 1 1 附近呈对称型分布) 。y 的最小值和最大值可取尽量小的隶属度 ， 并由左右参照函数的反函数求得， ! = y - 2 l - 。( a ) ( 3 2 2 ) 歹= y 月= r 。( 五)( 3 - 2 3 ) 由此即可将y 记做l r 型模糊数，描述为：y = ( m ，y 。，y 。) 。引入模糊数r ， 令y = y m 作为模糊变量因子，且( y ) = l t ( y ) ，即：由r 来体现y 的模糊性r 的隶属度函数可设为l ( y ) 和r ( y ) ，根据具体情况具体求解得到。由l 。一r 型模糊 数运算规则可知r 亦为l r 型模糊数，且有： y = q ，y l f m ，y r i m ) 1 r 如此以来即得：y = y m ，r 主值为l ，取值范围为 y 。m ，y 。m 。 3 2 2 模糊结构位移响应分析 由于考虑桁架结构的物理参数、几何参数及作用荷载同时具有模糊性，即： 弹性模量& 桁架各杆件长度厶荷载p 为模糊变量，从而结构的位移响应和单元 的应力响应也将是模糊量。 由于桁架各杆件均由同种材料制得，因此各杆弹性模量均相等，令官= 豆e 。 其中e 。为模糊变量主值，豆为弹性模量的模糊因子，其主值为l ，取值范围为 l el f e m ，er f e m 、e 假设各杆件长度取值模糊分散性均相等，令：瓦= r ，。，其中f 。为模糊变量 基于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 主值，由于各杆长度主值不尽相同，因此分散性虽然相同，但针对主值的偏差却 不相同，所以各杆的模糊变量因子，亦不相同。此处计算时取最短杆的模糊因子为 长度模糊因子，即尽可能完整的考虑变量的模糊性。设：z 为最短杆长度的模糊变 量因子，其主值为1 ，取值范围为 1 。l 。，k 1 。】。显然，若某些参数为常量，则其 模糊因子恒为1 ，代入如下分析过程亦可得其响应分布。 设桁架结构共有仉个单元，所用材料相同，利用有限单元法，f 和的模糊性 将导致结构刚度矩阵 k 的模糊性，任意单元e 在局部坐标系下的刚度矩阵为： 俐= 哗i 二。- 。1 睁槲 伊z a ， 其中：乏，4 为p 单元的模糊杆长和截面积；ge ) j 4 为眩e 】中的确定量部分，即为 当e 为厶、且把弹性模量和长度的模糊因子提出后的p 单元刚度矩阵。进而可得 总体坐标系下单元刚度阵和总体刚度阵分别为： 医】：导p 扣，】7k 扣) 口忙，】_ 睾k 婶】”( 3 - 2 5 ) 降孝酬= 昝蝌= 笋。 k r ( 3 2 6 ) 其中：p 】为e 单元的坐标转换矩阵；陋】4 ，旧“分别为总体坐标系下当庐岛、且 把弹性模量和长度模糊因子提出后e 单元的刚度矩阵和总刚矩阵，即为常量矩阵。 这样，就将刚度阵表示为一个模糊变量与一常量矩阵的乘积形式。 模糊结构静力学有限元方程为： 眩 诊 = p ) ( 3 - 2 7 ) 其中：谬 为结构总体坐标系下的位移响应向量；伊 为结构外加模糊载荷向量。 本文中p 的幅值为模糊变量，且其中每个荷载向量p i 偏差比例都相同，令p ，。 为外加模糊载荷的主值，则：乒= 芦- ，即： 伊) ：歹以) ( 3 2 8 ) 其中芦为所有荷载向量模糊因子，主值为1 ，取值范围为 只只，b 己】o 将式( 2 - 2 6 ) 和式( 2 - 2 8 ) 代入式( 2 - 2 7 ) ，则有： 手”诊) 爷溉) z 。， 从中解得： p ) = 罾l - 芦- 咐卜溉) ( 3 3 0 ) 第三章基于信息熵的模糊随机桁架结构静力分析 令：扣r = 怔r ) _ 1 帆) ，每= i l 芦，则： 锣 _ 历p “ ( 3 _ 3 1 ) 其中：料4 为模糊位移响应锣 的各分量模糊主值向量，即：不考虑各参数及荷载 的模糊性时的位移响应值；耐为p ) 的模糊因子，其取值范围将决定位移响应的模 糊分散性大小，显然，响应各分量模糊分散性应相同，均由西决定。 由于f 态分布是工程中应用最“泛的分布形式，故此处假定丽为f 态型模糊 数。当f ，豆，p 均取其各自主值时，即得亩之主值，显然，面主值亦为1 ；但取 值范围却需重新计算。由于，e t l 。，。l 。 ，e e 。e 。，e 。e 。 ， p 圪巴，晶己】，设： ，= m a x ( l l 。，月l 。) ，! = m i n ( 1 ，。，月l 。，) e = m a x ( e e 。，e 曰e 。) ，垦= m i n ( e l e 。，e a e 。) 芦= m a x ( 兄巴，r 巳) ，p = m i n ( p 巴，p r l ) 则可得模糊因予的最大值和最小值为： 石= ，歹e ，c o = ! p e 设茁的正态左右参照函数为： k ( 丽) ；e x p ( 一掣) ( 3 - 3 2 ) 蹦耻e x p ( 一等竽) ( 3 _ 3 3 ) 其中：聊= 1 ，利用函的最小值万和最大值型，可取尽量小的隶属度，l ，根据正态 模糊数的隶属度反函数求得亩的分散性表征量a 和6 。即： a = j 纩1 ) | n ( 加( 1 倒历磊 ( 3 删) 6 = j 一孔1 ) l n ( 俨( 引) 厩荔 ( 3 哪) 由此即可得模糊位移响应的模糊因子的近似f 态模糊分布函数，再由 = 西p 4 将模糊因子的模糊性还原回位移响应的模糊性，显然位移响应各分量 亦为正态模糊数，设其隶属度函数为： 锚耻e x p ( - 宰) ( 3 _ 3 6 ) 基于信息熵的模糊随机桁架结构静动力分析 蹦耻e 砷( _ 堕专竽， 明 其中：m ，为侈) “中的各分量主值：且日：= 用， d ，圳= m 。 6 。代入r 式即n r 得 模糊位移响应各分量的隶属度函数。 3 23 模糊结构应力响应分析 同理，单元应力亦为模糊变量，由： 矗石) = 【d 渊 r lf ( 3 _ 3 8 ) 令：p = 【d 】【日1 吲，则： 砖) = i t 西p ) 8( 3 3 9 ) 其中： d 为弹性矩阵， b 为几何矩阵，两者均为定常矩阵。令： 缸y = m - p y ( 3 4 0 ) 则应力响应的模糊分布也体现在面上，即： 虿) = 西冬p y ( 3 - 4 d 其中k r 为将弹性模量、长度和荷载的模糊因子提出后的应力响应主值，其模糊 因子亦为厨，即应力响应亦近似为正态模糊变量，应力各分量模糊隶属度函数确 定方法与位移响心相同。 3 3 熵等价代换法 信息论的奠基人s h a n n o n 在他的经典著作中指出：“信息是能够用柬消除不确定 性的东西”，并按照这一基本概念，给出了信息量的度量公式。在当i t , 1 的情况下， s h a n n o n 认为信息本质上是随机的，提出了用信息熵对概率信息进行度量，可称之 为概率熵。对于连续随机变量z ，其概率熵定义如下【5 q ： r = 一上p o ) l n p ( x ) 出 ( 34 2 ) 其中p ( x ) 为x 的概率密度函数。 随着对信息理解的不断深入，人们发现信息并非必然具有概率的性质，模糊 信息就是一种重要的非概率信息。对模糊信息也可以用信息熵来度量，称之为模 糊熵。对于模糊变量1 , 若f ( y ) 为其隶属函数，则其模糊熵可定义为： f = - j ，( y ) l n f 。( y ) 咖 ( 34 3 ) 其中 第三章基于信息熵的模糊随机桁架结构静力分析 ( y ) = f ( y ) i _ f ( y ) d y v 在保证熵不变的前提下，可以将模糊变量转换为随机变量。 机变量的熵等于原来模糊变量的熵，即： ( 3 4 4 ) 转换的原则为随 r 。= f( 3 4 5 ) 正态分布是工程中最常见的随机变量分布形式，因此，将隶属函数为，( y ) 的模糊 变量y 转换为正态随机变量丘j 的均值肛。等于不考虑模糊变量模糊性时的值， 的均方差盯。为： 盯= 恚8 “。5 ( 3 4 6 ) 厂( y ) = e x p ( 一生坚笙) ( 3 - 4 7 ) ，。( 力= ，( y ) l ，( y ) 咖= e x p ( 一丁( y - m ) 2 ) j c e x p