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2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 摘要 最近所提出的自适应反馈思想给出了一个系统地研究混 沌系统控制和同步的方法。然而该方法要求对系统的所有状态 变量进行自适应控制，且仅仅对连续混沌系统有效。基于这样 的思想本论文做了以下工作： 首先，我们证明了在一定的条件下通过控制或耦合单个状 态变量能实现混沌系统的自适应稳定和同步，改进了以前的自 适应控制同步方法。由于只要求知道一个状态变量的时间序列 且不需计算任何附加参数，故此法更为简单实用。具体地应用 到l o r e n z 系统族给出了一个一致有效的、简洁的控制同步方 法，并且发现了该系统族吸引子中的一个分叉性质。 其次，基于上面的自适应同步思想我们给出了几种通过单 个变量的时间序列估计混沌系统多个参数的方法。这些技巧克 服了以往相关方法的局限性，增强了基于同步参数估计方法的 实用性。一些具体的例子被用来证实了这些方法的有效性，并 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i 且发现了一些有意义的结果例如，l o r e n z 系统中的三个典 型参数能通过第二个状态变量被同时估计出来。特别地，根据 这样的思想我们设计了一个新的混沌通讯方案，即通过调节多 个参数而实现的多频数字通讯，不仅提高了通讯过程中的安全 性而且降低了实旖成本。 最后，我们尝试将这样的自适应控制思想推广到离散混沌 系统，提出一个控制离散混沌系统到其不稳定周期轨道的自适 应方法。具体应用到l o g i s t i c 和h e n o n 混沌映射，成功地控制 这些系统到其不同的周期轨道。 关键词：混沌控制与同步，自适应反馈，l o r e n z 系统族， 多参数估计，混沌通讯 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i i a bs t r a c t t h er e c e n t l yp r o p o s e da d a p t i v e - f e e d b a c ki d e ag i v e sa s y s - t e m a t i cm e t h o df o rc h a o t i cc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n h o w - e v e r ，t h i sm e t h o dr e q u i r e sa d a p t i v ec o n t r o l l i n gt oa l ls t a t ev a r i a b l e so ft h e s y s t e m ，a n di ti so n l ye f f e c t i v et oc o n t i n u o u sc h a o t i c s y s t e m s b a s e do ns u c hi d e a ，i nt h i st h e s i st h ef o l l o w i n gp r o b l e m sa r ei n v e s t i g a t e da n ds o m e i n t e r e s t i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d f i r s t l y , w ep r o v et h a tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n st h ea d a p - t i v es t a b i l i z a t i o na n ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m sc a nb e a c h i e v e db yc o n t r o l l i n go rc o u p l i n go n l yo n es t a t ev a r i a b l e i t i m p r o v e st h ep r e v i o u sa d a p t i v em e t h o df o rc h a o t i cc o n t r o la n d s y n c h r o n i z a t i o n t h i sm e t h o di ss i m p l ea n dm u c hm o r ep r a c - t i c a b l eb e c a u s ei tr e q u i r e sk n o w l e d g eo fo n l yo n es t a t ev a r i a b l e a n dd o e sn o tn e e dt oc a l c u l a t ea n ya d d i t i v ep a r a m e t e r s b y a p p l y i n gt h i sm e t h o dt ol o r e n zs y s t e mf a m i l y , w eg i v eas y s t e m a t i ea n ds i m p l ec o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e a n d 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i v f i n da ni n t e r e s t i n gb i f u r c a t i o nb e h a v i o ri nt h ec h a o t i ca t t r a c t o r o ft h i ss y s t e mf a m i l y s e c o n d l y ，b a s e do nt h ea b o v ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o n i d e a ，w ep r o p o s es e v e r a lm e t h o d sf o rm u l t i p a r a m e t e re s t i m a - t i o no fc h a o t i cs y s t e mu s i n gt i m es e r i e so fo n l yo n es t a t ev a r i a b l e t h e s et e c h n i q u e si m p r o v et h el i m i t a t i o n so ft h ep r e v i o u s r e l a t e dm e t h o d s ，a n de n h a n c et h ea p p l i c a t i o no fp a r a m e t e re s - t i m a t i o nb a s e do i ls y n c h r o n i z a t i o n s o m ee x a m p l e sa r eu s e d t od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h e s em e t h o d s ，a n ds o l n e i n t e r e s t i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d f o re x a m p l e ，t h et h r e et y p - i c a lp a r a m e t e r so fl o r e n zs y s t e mc a nb es i m u l t a n e o u s l ye s t i m a t e db yt h es e c o n ds t a t ev a r i a b l e i np a r t i c u l a r ，b a s e do n s u c hi d e aw ed e s i g nan e wc h a o t i cc o m m u n i c a t i o ns c h e m e ，i e ， m u l t i - c h a n n e ld i g i t a lc o m m u n i c a t i o nb ym u l t i - p a r a m e t e rm o d - u l a t i o n ，w h i c hi n c r e a s e st h es e c u r i t yi nt h ec o m m u n i c a t i o na n d d e c r e a s e st h ei m p l e m e n t a t i o nc o s t f i n a l l y ，w et r yt oe x t e n dt h i sa d a p t i v ec o n t r o li d e at o d i s c r e t ec h a o t i cs y s t e m s ，a n dp r o p o s ea na d a p t i v em e t h o dh ) r 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 v s t a b i l i z i n gd i s c r e t ec h a o t i cs y s t e m st ot h e i ru n s t a b l ep e r i o d i c o r b i t s ( u p o s ) a p p l y i n gt h i sm e t h o dt ol o g i s t i cm a pa n d h e n o nm a p ，w e s u c c e s s f u l l ys t a b i l i z et h e s es y s t e m st od i f f e r e n t p e r i o d i co r b i t s k e y w o r d s ：c h a o t i cc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n ，a d a p t i v e - f e e d b a c k ，l o r e n zs y s t e mf a m i l y , m u l t i p a r a m e t e re s t i m a t i o n c h a o t i cc o m m u n i c a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名s 砰匿轵毁日期：工口，7 孝r r ；。日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：异1 蓟玛b 师签名妄 日期。幻7 争n 弓。日 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 第一章前言 1 1系统科学与非线性科学简介 随着科学的发展和技术的进步，系统科学从2 0 世纪3 0 年代开始兴起人们逐 渐认识到系统大于其组成部分之和，系统具有层次结构和功能结构，系统处于不 断地发展变化之中，系统经常与其环境有物质、能量和信息的交换，系统在远离 平衡的状态下也可以稳定( 自组织) ，确定性的系统有其内在的随机性混沌) ， 而随机性的系统却又具有其内在的确定性( 突现) 这些新的发现不断地冲击着经 典科学的传统观念系统科学虽然是一门新兴学科，却越来越受到人们的重视， 其涵盖的领域也越来越广如今，系统科学涌现出了很多交叉学科，正在潜移默 化地拓展着人类的视野和改变着人类对世界的认识越来越多的科学研究成果和 学科领域表明，系统科学必将在二十一世纪的科学中起到更重要的作用，重新整 合一个全新的世界观 系统思想是关于事物的整体性观念，相互联系的观念和演化发展的观念，是 在人类千百年来的生产实践过程中逐步形成的随着科学技术的不断发展，系统 已成为一个科学概念系统是指由相互联系又相互作用的元素组成的具有一定结 构和功能的有机整体任何系统都存在3 个方面需要研究，实体( 组成系统的具 体对象元素) 、属性( 实体的特征、状态和参数) 、活动( 对象随时间推移而发生 的状态变化) 由于组成系统的实体之问相互作用而引起实体属性的变化，通常用 “状态”的概念来描述研究系统就是研究系统状态的变化，即系统的演化除 了研究系统的实体、属性活动外，还应研究系统的环境系统是一切事物存在 方式之一，可以说是包罗万象，按照不同的标准有不同的分类方法；按照系统的 规模可以分为小系统、大系统和巨系统；按照系统内的子系统之间的关联程度可 以分为简单系统和复杂系统；按照系统与外界环境的联系情况可以分为孤立系统 和开放系统( 自组织系统) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 系统科学，顾名思义，即以系统为研究对象的科学系统科学是强调系统思 想的一门交叉性学科，其主要目的之一就是研究系统结构、功能行为等特征的 一般演化规律，即系统动力学行为但由于研究角度的不同，它又分为三个方面 的内容 系统论主要研究的对象是系统的本质、特征、变化规律以及系统方法等同 题主要分支学科包括z 普通系统论( 一般系统论) ，系统工程学，系统动力学， 自组织系统理论，复杂系统理论等系统论是系统科学的核心 信息论注意以传递于系统内部和系统之问的信息的本质、构成、传递、发生 规律及信息方法为研究对象包括狭义信息理论与广义信息论两部分内容 控制论主要研究的对象是系统控制过程的实质、机制及控制方法等同题 目前已形成工程控翩论生物控制论、社会控制论、人工智能四大分支学科 系统科学发展到今天，已经不是一个单纯的学科，而是一个以系统论为核心， 以信息论和控制论为支柱，具有不同层次内容的复杂科学体系了其发展大致经 过了以下三个阶段 1 4 0 年代到6 0 年代的形成和发展 科学家明确地指出把系统作为研究对象，一般公认为是以贝塔朗菲( v o nb e r t a - l a n f l y ) 提出的“一般系统论”( g e n e r n a ls y s t e mt h e o r y ) 概念为标志4 0 年代出 现的系统论运筹学，控制论、信息论是早期的系统科学理论，而同时期出现的系 统工程、系统分析、管理科学则是系统科学的工程应用 贝塔朗菲是理论生物学家，1 9 3 7 年在芝加哥大学莫利斯( c m o r r i s ) 主持的 哲学讨论会上第一次提出了一般系统论的概念1 9 4 5 年贝塔朗菲的关于一般系 统论于德国哲学周刊第1 8 期上发表，明确提出一般系统论的任务“乃是确 立适用于系统的一般原则”，并对系统的共性作了一定的概括，如系统的整体性， 关联性、动态性、有序性等运筹学的贡献是把一个共性概括成了一种数学模式： 联立约束条件方程和目标函数方程并求解控制论( c y b e r n e t i c s ) 的刨始人是美国 的维纳( n w i e n e r ) 由于控制论提炼出了包括生物系统和人工系统极为广泛的 一大类系统的共性和规律，这一大类系统实质上也是系统科学研究的主要对象， 因此从系统科学的发展来说，控制论的诞生和发展有特别重要的意义信息学是 关于系统的传递和处理的科学理论，不仅是香农( c e s h a n n o n ) 的信息论，还 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 包括电子计算机理论香农信息论和电子计算机酌诞生和发展，是对系统的信息 传递和处理过程规律的研究取得根本性突破的里程碑 2 7 0 年代到8 0 年代的发展 这一时期的发展主要是系统自组织理论的建立比利时物理化学家普和高津 ( i p r i g o g i n e ) 于1 9 6 9 年提出了耗散结构理论同时，德国物理学家哈肯( h h a k e n ) 提出了协同学。耗散结构理论和协同学从宏观，微观以及两者的联系上回 答了系统自组织已走向有序结构的基本问题，两者都被称为自组织理论 3 9 0 年代以来向复杂系统的分析和综合方向的发展 国外有关复杂系统的研究早在2 0 世纪3 0 年代就开始了，美国学者考恩( g e o r g e a c o w a n ) 认为，系统科学的历史本身就是复杂系统研究的发展史，因为系统本 身就具有复杂性复杂系统的研究是1 9 9 9 年4 月2 日由美国科学( s c i e n c e ) 杂志出版的。复杂系统专辑而兴起的两位编者在。超越还原论”的导言中， 对所谓“复杂系统”作了描述t 通过对一个系统的分量部分( 子系统) 性能的了 解，不能对系统的性能做出完全的解释，这样的系统称为。复杂系统”“复杂系 统”专辑的出现与复杂性问题研究有密切关系复杂性问题的提出起源于奥地利， 1 9 2 8 年贝塔朗菲在他写的生物有机体系统论文中首次提出复杂性的问题。在 此之前的若干年，怀特海( a l f r e dn o r t hw h i t e h e a d ) 在他的有机体的哲学论 文中，也曾提出类似的观点此后的2 0 年，在这方面做出较大贡献的有：麦卡洛 克( m c c u l l o c h ) 和皮茨( p i t t s ) 的神经网络，冯诺伊曼的元胞自动机和复杂 性，维纳的控制论1 9 8 4 年，美国新墨西哥州洛斯阿拉莫斯国家实验室( 这个实 验室在第二次世界大战中汇聚了一批著名物理学家，以研制原子弹而闻名于世) 汇聚了一批著名的科学家，在距它约5 5k m 的圣菲建立了圣菲研究所( s e n t af e i n s t i t u t e ，简称s f i ) ，开展跨学科、跨领域的研究，他们称作复杂性研究这里既 有自然界的复杂性，也有人类社会以及人自身的复杂性后来又提炼出复杂系统 和复杂适应系统的概念，如生命系统、免疫系统、演化经济系统，生态系统等目 前以复杂系统和生命科学为背景的系统生物学已成为多学科相互协作的一个重要 而活跃的新兴研究领域，其重要的标志就是2 0 0 2 年3 月美国科学( s c i e n c e ) 杂志出版了“系统生物学”专辑。 复杂系统的特点是系统具有涌现性在客观世界的各个领域，特别是生命、社 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 会、思维领域，普遍存在这样一类现象t 诸多部分一旦按照某种方式形成系统，就 会产生出系统整体具有而部分或部分总和所不具有的属性、特征、行为、功能等， 一旦把整体还原成互不相干的各部分，这些属性、特征，行为，功能便不复存在系 统科学把这种整体具有而部分不具有的东西，称为涌现性( e m e r g e n tp r o p e r t y ) 。 涌现是一种整体的现象和特性，整体的现象和特性不一定都是涌现的贝塔朗菲 区分了累加性与构成性( 非加和性) 两种整体特征，把整体分为非系统总和与系 统总和两种整体的那些只需把部分特性累加起来即可得到的特性不是涌现性， 只有那些依赖于部分之间特定关系的特征，即所谓构成性特征，才是涌现性通 俗一点讲，就是。1 + 1 2 ”、“整体大于部分之和”“多来自少“，“复杂来 自简单”“有生于无”等 一个系统不仅是其部分的总和，这意味着叠加原理的失败，在数学上说就是 非线性非线性是数学概念，是相互作用的数学表达非线性科学研究各门科学 中有关非线性的共性问题科学世界的一切事物，从根本上说都是相互作用体和 相互作用过程一切事物作为系统，无论是系统内部结构和外显的系统功能，以 及系统演化过程都是相互作用的显示。因而也都是非线性的特殊地说，系统科 学( 尤其是基础理论层次) 特别关心一个系统的性能怎样随着时间变化，有没有 稳定的终态；这在非线性动力学中就是有没有稳定的定常状态和分叉问题其实 系统大都有稳态，非线往动力学中讨论的稳定大体有平衡( 不动点) ，振荡 极限 环) ，和混沌，这其中很多性质都是非线性系统所特有的，比过去讨论平衡有了根 本的拓展，这就为研究系统的复杂形态提供了科学依据和方法8 0 年代以来，非 线性( n o n l i n e a r i t y ) 和复杂性( c o m p l e x i t y ) 的兴起对系统科学的发展起了很大 的积极推动作用，非线性科学的成果极大地丰富和深化了系统科学和系统工程定 量化的发展例如，耗散结构和协同学正是在8 0 年代吸收了非线性科学的成果， 从而在理论上提高到一个新的高度因此，可以说系统科学正是以非线性科学作 为其基本研究工具的 1 2 混沌科学简介 混沌问题是非线性科学的核心问题之一英文中的c h a o s 一词源于古希腊的 。x o a s ”，意思就是指万物出现之前就存在一个虚无广大的空间，而英文中的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 5 “c h a o s4 是指“杂乱无章、混乱无序。之意，中文翻译成4 浑沌。，演绎成。混 沌。在现代的物质世界中，混沌现象无处不有，大至宇宙，小至基本粒子，无不 受混沌理论的支配它是自然界中的一大类现象，它比有序更为普遍因为在现 实的世界中，绝大部分现象不是有序的、稳定的和乎衡的，而是处于无序的，变化 的和涨落起伏之中的如气候变化会出现混沌，数学、物理、化学生物、哲学、 经济学，社会学，音乐、体育中也存在混沌现象现实的世界是一个有序与无序相 伴、确定性和随机性统一，简单与复杂一致的世界显然，已往那种只追求有序、 精确、简单的观点是不全面的因为牛顿所描述的世界是一个简单的机械的量的 世界，而人们真正面临的却是一个复杂纷纭的质的世界因此，只有抓住复杂性 并对它进行深入研究，才能为人们描绘出一个客观的世界图景混沌是有序和无 序的对立统一，既有复杂性的一面，又有规律性的一面因此，科学家认为，在现 代的科学中普遍存在着混沌现象，它打破了不同学科之间的界限，是涉及系统总 体本质的一门新兴科学，并将会对自然科学的发展带来新的突破 从2 0 世纪6 0 年代初，科学家就开始探索自然界的一些捉摸不定的现象1 9 6 3 年麻省理工学院著名的气象学家洛伦兹( l o r e n z ) 在著名论文4 决定论非周期流” 中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，给出了一个自治方程组，即著名的洛 伦兹方程t 艇y = r 哟x - - 叫y - - x 毛 在这个确定的含有3 个变量的自治方程组中，小小误差就可引起灾难性的后果， 即初值十分接近的两条曲线的最终结果相差可能会惊人的大，说明天气从原则上 讲不可能作出精确的预报它表明确定论的系统表现出类似随机的行为这一论 点打破了拉普拉斯决定论的经典理论，从此拉开了对混沌研究的序幕，有人认为 这是继相对论、量子论之后的又一重大科学发现后来洛伦兹又首先提出了。蝴 蝶效应”的理论，即一种对初始条件的极其敏感依赖性，人们风趣地把它比喻为 亚马逊森林里一只蝴蝶拍拍翅膀，可能在半年后引起太甲洋上的一个热带风暴 洛伦兹本人也因之被誉为。 昆沌之父”与此同时，1 9 5 4 年前苏联概率论大师柯尔 莫哥洛夫( k o l m o g o r o va n 。) 也从保守系统中一种近可积哈密顿( h a m i n l t o n ) 系统 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 6 解的性质中得出混沌解，后来在2 0 世纪6 0 年代初分别由阿诺尔德( a r n o l dv i ) 和莫赛尔( m o s ej ) 分别证明，这便是k a m 定理这样两者从不同角度不同类型的 动态系统的长期演化中都得出了混沌后来法国天文学家伊农( h e n o nm ) 给出了 h e n o n 映射t iz ”+ l = l + 6 一n z 丢， i + 。：， 得到了一种最简单的吸引子，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问 题1 9 7 1 年法国物理学家茹厄勒( r u e l ld ) 和荷兰数学家塔肯斯( t a k e n sf ) 为耗散 系统引入了。奇怪吸引子”，提出了新的湍流的本质1 9 7 5 年，美籍华人学者李天 岩和美国数学家约克( y o r kj ) 发表了“周期3 解意味着混沌”的著名文章，深刻 揭示了从非混沌到混沌的演化过程，。混沌”一词也正式成为科学术语1 9 7 6 年 美国数学家梅( m a yr ) 提出人口( 或虫口) 方程即著名的逻辑斯谛克( l o g i s t i c ) 模 型： a k + 1 = i i 卫n ( 1 一z n ) ， 当p 在一定范围内变化时，它具有极为复杂的动力学行为，其中包含了分岔和混 沌1 9 7 8 和1 9 7 9 年费根包姆( f e i g e n b a u m ) 等人在梅的基础上独立发现了倍周期 分岔现象中的标度性和普适常数，揭示了混沌形成的一些本质现象另外，斯梅 尔( s m a l e ) 在6 0 年代对马蹄映射( h o r s e s h o em a p ) 的研究，为在数学上理解混 沌动力系统提供了理论依据这些成果的出现标志着混沌动力学的建立 混沌具有内在的随机性、分形，标度不变性、对初始条件的敏感依赖性的本 质特征基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖性，或对小 扰动的极端敏感性精确地放在一个小山顶上的球是不稳定状态的一个例子，任 何方向的随机偏离都会使它永远脱离这个状态对于不稳定周期轨道，如果系统 严格地处于其上。则它会永远地留在这条轨道上但由于相对这条轨道的极小偏 差是随时问指数地增长的，系统将会很快离开此轨道对初值的极端敏感性曾被 认为是一种“麻烦”的性质，在过去的许多年中，人们一般相信混沌运动既是不 可预报的，又是不可控制的因此，在实践中总是希望避免混沌这个。有害”的现 象，亦即在几乎所有的工程设计中都把目标放在消除系统中的任何混沌行为但 研究表明，系统所具有的混沌状态，其中存在着微妙的结构蝴蝶效应允许使用 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 7 很小的反馈扰动来控制系统的轨道，这种能力是非混沌系统所不具有的因此， 它可以使人们不是避开混沌，而是有可能对混沌加以控制和利用对给定的一个 混沌吸引子，只对系统作小的扰动就可以得到某个需要的周期行为，这就是混沌 控制的基本含意 混沌控制从实现的目标划分，可以归纳为两大类第一类控制是基于在混沌奇 怪吸引子闭包内存在无穷多不稳定的周期轨道，控制的目标是根据人们的意愿在 这些轨道中选择一条满足要求的周期轨道并进行有效的稳定控制，该控制的特点 是并不产生新的周期轨道而只是将轨道固定控制方法源于混沌轨道的遍历性， 一旦系统运动到目标轨道附近就对某个易于测得和调整的参数进行微扰反馈，通 过若干次反复调整就可实现对目标轨道的稳定控制这类控制的优点是可以把系 统从混沌状态控翩在任意选定的周期轨道上，而且不改变系统的结构，具有良好 的轨道跟踪能力和稳定性缺点是要有一个目标函数或选定轨道，实现起来比较 困难第二类控制则没有具体的控制目标，也不关心被控系统的终态是否为周期 运动，只是通过合适的策略，方法及途径，有效抑制混沌行为，使l y a p u n o v 指数 下降进而消除混沌它是通过系统的控制获得人们所需的新的动力学行为，包括 各种周期态及其他状态等这类控制的优点是设计简单，不需选定轨道，易于实 现缺点是无法确保控制过程的稳定性混沌控制从实现的原理上可分为反馈控 制和无反馈控制反馈控制分为，参数微扰o g y 法及o g y 的各种改进法；偶然 正比技术法；跟踪法；连续变量反馈法；正比变量脉冲反馈法；线性和非线性反 馈法；直接反馈法；变量反馈法等等无反馈控制分为：自适应控制法；参数共振 法；外加强迫法；混沌信号同步法等等 在提出混沌行为可控的同时也发现混沌行为可以同步在科学史上，最早观 察到的同步现象是在1 6 6 5 年，荷兰物理学家、钟摆的发明者惠更斯在一次实验中 偶然看到两个并排钟摆的振荡居然达到了完全同步但是发现混沌同步现象，却 是2 0 世纪9 0 年代初的事情1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 首次观察到了混沌同步的 现象，他们发现一个混沌系统的某些相同的子系统在特定的条件下可以做到相互 同步，尽管这似乎与混沌行为的初值敏感依赖性矛盾这里的两个系统同步，是 指随着时间的演化，两个系统的轨道行为将保持步调一致，并且这种同步是结构 稳定的混沌同步是两个或多个相等或不等的混沌系统由于一个耦合或驱动( 周 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文8 期或噪声) 从而调整其运动的某个性质达到一个共同的行为包括完全同步、相 同步、延时同步、广义同步、间歇延迟同步、不完美相同步和几乎同步有如下几 种实现方法：驱动一响应同步法耦合同步法，连续变量微扰反馈法、自适应控制 法实现混沌行为的同步化其实是对混沌过程的完整控制，从这个角度来看混沌 行为的控制和同步化两者是等价的，因此混沌同步本质上属于混沌控制的范畴 目前其在保密通讯、神经网络、天气预报、经济学等诸多领域都有了广泛的应用 对混沌控制和同步的研究及其应用是非线性科学领域中的一个重要课题，目 前已提出了多种不同的混沌控制和同步方法，但大多数都是针对具体的系统从而 缺乏普适性最近提出了一种能够严格证明的系统的自适应反馈控制同步方法， 它对常微分方程组形式的一般混沌系统的控制同步是简单且有效的但该方法要 求对系统的所有状态变量进行自适应控制，且仅对连续混淹系统有效因此，如 何针对这些局限性对自适应法进行改进使之更利于具体的应用是一项十分有意义 的工作，这也正是本论文的出发点 1 3 本文所做的工作 在第一章中，我们在第一节介绍了系统科学，指出系统科学是强调系统思想 的一门交叉性学科，其主要目的之一就是研究系统的结构、功能、行为等特征的 一般演化规律，即系统动力学行为近几十年来非线性科学的发展特别是非线性 动力系统方面所取得的进展( 如分叉、混沌、耗散结构的吸引子等) 极大地促进了 系统科学领域的研究在第二节简单地介绍了混沌的起源、特征，发展及其主要 的研究方向，即对混沌系统控制与同步及其应用的研究，它已成为非线性科学领 域中的一个重要研究课题 在第二章第一节中，我们介绍了一个最近提出的基于自适应反馈思想，它能 够系统地研究混沌系统的稳定和同步化问题不过该方法要求对系统的所有状态 变量进行自适应控制，且仅仅对连续混沌系统有效，从而限制了该自适应反馈思 想的具体应用第二节中，针对这样的局限性我们证明了在一定的条件下对具某 些特性的混沌系统通过控制或耦合单个状态变量就可以实现混沌系统的自适应控 制和同步，这样的改进使方法更为简单实用。在第三节将这种基于一个状态变量 的自适应混沌控制同步方法具体地应用到l o r e n z 系统族，数值结果表明了这种方 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 法的有效性特别地，通过实施这样的自适应同步控制，我们发现了该系统族吸 引子中的一个有意义的分叉性质，即随着系统参数的变化主导该系统混沌吸引子 的双曲动力学性质出现分叉现象 第三章中，根据自适应同步思想我们给出了几种通过单个变量的时问序列估 计混沌系统多个参数的方法这些技巧克服了以往相关方法的局限性，增强了基 于同步的参数估计方法的实用性。一些具体的例子被用来证实了这些方法的有效 性，并且发现了一些有意义的结果，例如，l o r e n z 系统中的三个典型参数能通过 第二个状态变量被同时估计出来特别地，第三节中根据这样的思想我们设计了 新的混沌通讯方案，即通过调节多个参数而实现的多频数字通讯，此方案不仅提 高了通讯过程中的安全性而且降低了实施成本 前面给出的自适应混沌控翻方法对连续混沌系统是可严格证魄其有效性的， 若将其直接应用于离散混沌系统，则并不能解析地严格证明方法的有效性，且对某 些具体的系统不能实现有效的控制据我们所知，目前还没有提出一个能够对所 有的离散混沌系统的稳定都严格有效的解析方法在第四章中，我们尝试应用自 适应控制思想，提出了一个能够稳定离散混沌系统到其不稳定周期轨道的自适应 方法这种方法可以实现稳定离散混沌系统到具有较高周期的不稳定周期轨道， 且可以在很大的参数取值范围内实现混沌控制，因而它是离散混沌系统控制的一 种较为有效的方法具体应用到l o g i s t i c 和h e n o n 混沌映射，成功地稳定这些系统 到其不同的周期轨道 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 0 第二章一个状态变量的自适应控制同步及其在l o r e n z 系 统族中的应用 2 1 引言 自从o t t ，g r e b o g i ，y o r k e ( o g y ) 1 1 和p e c o r a ，c a r r o l l 【2 】给出了有关混沌系统 控制和同步的先驱性工作以来，该问题的研究及其应用已成为非线性科学领域中 韵一个重要课题1 3 , 4 1 ，各种不同的混沌控制和同步方法相继先后被提出然丽， 大多数方法都是针对具体的系统而缺乏普适性，因而如何构造一个物理上切实可 行的、数学上严格的，系统的混沌控制及同步方法成为该领域的一个有意义的问 题文献1 5 - 8 1 中给出了一个简单的自适应反馈控制法来实现混沌动力系统的控制 和同步，这个方法对常微分方程组形式的一般混沌系统的控制同步是数学上可严 格证明的和有效的下面我们就来介绍一下这种方法 这种方法的提出基于著名的l a s a n e 不变原理： 定理1 ：考虑n 维向量微分方程 = x ( z ) ( 2 1 1 ) 令y ( z ) 为一个对所有z 酽具有连续一阶偏导数的数量函数设 1 ) 对所有的z 胛有y ( z ) 0 2 ) 对所有的z 舻有矿( z ) v v x 0 令e 为满足矿( z ) = 0 的所有点集，m 为包含于f 的方程( 2 1 1 ) 的最大不变集 ( 一个集合m 被称为不变集如果从m 出发的每个解对所有的时间t 都仍然留在 肘中) 则( 21 1 ) 的对t 0 有界的每个解当t o o 时趋于m 文献【5 中提出了一种自适应反馈控制法，它可以稳定近非双曲系统( 这种系 统的控制是用o g y 法所不能实现的) 考虑一个由常微分方程组( o d e ) 士= ，( z )( 2 1 2 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 给出的n 维系统，其中z = ( z l ，z ”，。) 形，( z ) = ( y l ( x ) ，2 ( 。) ，厶【z ) ) ： 舻一彤是个非线性向量函数不失一般性，令nc 舻是( 2 1 2 ) 的一个全局吸 引的有界混沌集，假设矿= ( 。：，z ；，z ：) n 是( 2 1 2 ) 的一个不动点，并且向量 函数，( 。) 在n 内满足一致李普希兹条件为了稳定系统到矿，对系统( 2 1 2 ) 设 计下面的自适应反馈控制 = i ( z ) + e ( o z ) ，( 2 1 3 a ) t = 一1 ( z 一$ 。) 2 ，( 2 1 3 b ) 其中髓= ( 6 1 x l ，f 2 2 2 ，e 。) ，7 x 2 = ( 1 l 茁；，他z ，z ：) ， y = ( 7 1 ，7 2 ，h ) 是一个任意正常数向量应用l a s a l l e 不变原理，得到下面的结论： 定理2 ：系统( 2 1 3 ) 的从任意初值出发的有界轨( 。( t ) ，e ( t ) ) 当t o o 时收敛 到( 矿e o ) ，其中e o 是一个依赖于初值的常数向量也就是说，自适应反馈控制将 轨道稳定到了不动点x 混沌同步的一个中心问题是任给两个相同的混沌系统，如何设计一个物理上 切实可行的且毹够严格保证产生稳定的相同同步运动的耦合系统目前已提出了 各种各样的混沌同步方案，例如基于对条件李雅普诺夫指数的计算已经提出了许 多数值上可行的同步方法然而这些方法一般都不具有系统性，需要针对具体的 系统计算相关控制参数最近基于上面的自适应思想文献【6 1 中给出了一种更为合 理的自适应反馈同步方法 令形如( 2 1 2 ) 的系统作为驱动系统，构造下面的单向耦合的驱动一响应系统： 童= ，( $ ) ， 口= y ( u ) + e ( y z ) = 一z ( u z ) 2 ， ( 2 1 ，4 a ) 2 1 4 b ) ( 2 1 ，4 c ) 其中e ；= ( 觚一瓤) ，i = 1 ，2 ，n 表示同步误差，e 妇一z ) = ( e l e l ，e 2 e 2 ，e r i e 。) 为所 加的自适应反馈项，1 = ( 1 ，他， t n ) 是一个任意正常数向量只要能证明( 2 1 ，4 ) 中的同步不变流形z = y 是吸引( 或稳定) 的，就说明了同步的存在应用l a s a l l e 不变原理，得到下面的结论t 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 2 定理3 ：系统( 2 1 4 ) 的从任意初值出发的有界解当t 一时有渐进行为一 y z 一0 和e e o ，其中e 0 是一个依赖于初值的常数向量 注意到以上给出的自适应反馈法能够很好地实现混沌控制与同步，无需计算 任何参数因而有较强的系统性但是注意到只有当所有的状态变量都被用作控铡 信号时此法才能被严格地证明有效，但在实际中要获得系统所有状态变量的信息 并不是一件容易的事，有时是不可能的基于上面的自适应思想，下面我们将探 讨如何用尽可能少的状态变量作为控制信号来稳定和同步混沌系统 2 2 一个状态变量的自适应控制同步 考虑由方程( 2 1 2 ) 给出的n 维系统 圣= ，( ) ， 其中z = ( x l ，2 7 2 ，z 。) 舻，( z ) = ( ，1 ( z ) ，2 ( z ) ，厶( z ) ) ：r ”一j p 是一个非 线性向量函数且满足下面的条件： n f ( 。) 一五( ) l s l 。 ( 巧一蜥) 2 】 ，y x ，y 舻， = 1 ，2 ，一，n ， ( 2 2 ，1 ) j = l 其中k o 事实上，上面的条件只需在其有界的混沌吸引集n 内满足即可，这 主要是基于所有的轨道均收敛到该吸引子进一步假设在系统( 2 1 2 ) 的混沌吸引 子中在第一个变量z l 方向上的双曲动力学特征起着主导作用，即存在t o r ，使 当t t o 时，成立 h ( t ) 一g l ( 圳5l m 0 是一个任意常数应用l a s a l l e 不变原理。得到下面的结论： 定理4 ：系统( 2 , 2 3 ) 的从任意初值出发的有界轨( z ( t ) ，q ( t ) ) 当t o 。时收敛 到( 矿，e ) ，其中e 是一个依赖于初值的常数也就是说，自适应反馈控制将轨道稳 定到了不动点矿。 证明：对n + 1 维系统( 2 2 3 ) ，构造下面的函数t y = ；耋( q 一扩+ 净- 僦 ( 2 z 4 ) 其中工是大于n ；思黑f i 的一个常数。显然，对所有的( z ，q ) r ”+ 1 有y o 沿 系统( 2 2 3 ) 的轨道葑苗数y 求导，得到当 t o 时， i 瓤一z 川 ( z ) i - l ( x l z ：) 2 t = 1 nn k h z ：l 匹( 巧一巧) 2 一一l ( z - 一z i ) 2 i = l j = l s j 五l i ( x l z ：) 2 一l ( x l z ；) 2 t = 1 ( n ；1 m 。f a 。x 。l i l ) ( z 1 一。；) 2 t o 时， v = ( p l z 1 ) ( 可) 一 ( z ) 4 - e l ( l 一王1 ) 】一( q + l ) ( 掣l x 1 ) 2 + ( 挑一鼢) 【 ( f ) 一 ( z ) 一 n i = 2 = ( 鼽一戤) 【，l ( ) ， ( z ) 】l ( y l x 1 ) 2 i ( 鳙一) i o ) 一五( 。) 】l l ( l z 1 ) 2 iy i 一戤| i 扫) 一五( z ) l l ( y 1 一。1 ) 2 l nn 妄岛一墨f 匹一x j ) 2 捧一l ( y l x 1 ) z = 1 j = l n v l 元l i ( y l z 1 ) 2 一l ( 9 l z 1 ) 2 4 = l b ；1 m 。m a xi i l ) ( l 一。1 ) 2 n ozo 0 9 5 时此 控制最终失效n 分别为0 ，o