（基础数学专业论文）若干向量优化问题解的本质性.pdf

摘要 本文主要研究了两个方面的内容：一是在多目标优化评价函数方法下，解 的结构，解的拓扑性质和解的稳定性：二是在集值映射优化问题下，( 弱) 有 效解的稳定性及部分稳定性。这些解的稳定性都是用u s c o 的方法得到的通有稳 定性，并且在b a i r e 纲意义下，绝大多数优化问题的解是本质的或者至少有一 本质解，换句话说，绝大多数优化问题的解是下半连续的或者几乎下半连续的。 本文共分两章： 第一章，先考虑了多目标优化极小化模型v r a i n f ( x ) ，其中 f ：x e 为向量值函数，e 为向量空间，我们通过对多个目 标的“评价”，把多目标优化极小化问题归结为单目标极小化问 题m i r t h ( ，0 ) ) 其中h ：e 一只为实值函数。在此基础上， d 本章研究了评价函数解的通有稳定性，解的结构及拓扑性质。 第二章，利用集值映射优化问题的有关成果，本章首先在一致拓扑度量 及图像拓扑度量下，研究了集值映射优化问题弱有效解的通有 稳定性；其次在一致拓扑度量下，得到了有效解具有部分上半 连续的特性，并得到了在b a i r e 纲意义下的稳定性；最后，通过 对集值映射优化问题的一般形式研究，进一步讨论了理想解的 稳定性。 关键词：评价函数；评价函数解；通有稳定性 弱有效解；理想解；连通；道路连通 中文图书分类号：0 1 7 7 9 1 0 2 2 5 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yi n v e s t i g a t e st w oc o n t e n t s ：o n ei st h es t r u c t u r e ，t h et o p o l o g i c a l p r o p e r t i e sa n dt h es t a b i l i t yo ft h ea s s e s s m e n tf u n c t i o n a ls o l u t i o n si nt h er e a l mo ft h e m u l t i 一0 b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e ma n dt h eo t h e rt h es t a b i l i t ya n dt h ep a r ts t a b i l i t y o ft h e ( w e a k ) e f f i c i e n ts o l u t i o n si nt h er e a l mo fs e t v a l u e dm a p so p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h es t a b i l i t i e so ft h e s es o l u t i o n sa r ea l lt h eg e n e r i cs t a b i l i t i e so b t a i n e db y u s i n gt h em o t h o do fu s c o b a s e do ni t ，t h eg r e a tm a j o r i t yo ft h eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m sh a v em o r et h a no n ee s s e n t i a ls o l u t i o ni nt h es e n s eo fb a k ed i m e n s i o n i n o t h e rw o r d s ，t h es o l u t i o n so ft h eg r e a tm a j o r i t yo ft h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sa r el o w s e m i c o n t i n u o u so ra l m o s tl o ws e m i c o n t i n u o u s h e n c et h ep r e s e n ts t u d ys e t so u tt o e x p l o r et 1 1 e i s s u e sw i t h i nt h ef o l l o w i n g p r o p o s e df r a m e w o r k ： i tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，f i r s to fa l l ，t h ep r e s e n tr e s e a r c h e r r e v i e w st h em i n i m a lm o d e lo ft h e m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m ： v 一曾1 ，( x ) i nw h i c h ，：石- e r e f e r st oav e c t o r - v a l u e df u n c t i o na n de s t a n d sf o rav e c t o rs p a c e s e c o n d l y , b ya s s e s s i n gt h em u l t i o b j e c t s ，t h ep a p e rt u r n s t h em i n i m a lp r o b l e mo ft h em u l t i - o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o ni n t ot h em i n i m a lp r o b l e m o ft h eu n i q u eo h j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ：墨争 ( ，( z ) ) ，w h e r eh ：e - - - ，ri sar e a l f u n c t i o n b a s e do nt h en e wn o t i o n sa b o v e ，t h ep r e s e n tr e s e a r c h e rs u c c e e d si n o b t a i n i n gt h eg e n e r i cs t a b i l i t y , s t r u c t u r ea n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so ft h ea s s e s s m e n t f u n c t i o n a is o l u t i o n s i nc h a p t e rt w o ，b a s e do nt h er e l e v a n tt h e o r i e so ft h es e t v a l u e dm a p so p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ，f i r s t l y , t h ep a p e rr e s e a r c h e st h eg e n e r i cs t a b i l i t yo ft h ew e a ke f f i c i e n t s o l u t i o n si nt h ep r e m i s e so fc o n s i s t e n tt o p o l o g yc a s ea n dt h eg r a p ht o p o l o g yc a s e s e c o n d l y , t h ep a p e ra c h i e v e st h ep a r tu s c p r o p e r t yo fe f f i c i e n ts o l u t i o nb a s e do n t h ec o n s i s t e n tt o p o l o g yc a s e f i n a l l y , u s i n gs e t - v a l u em a p s ，t h ep a p e rc o n c l u d e so u r c o n s i d e r a t i o n so nt h ei d e a ls o l u t i o n s 2 k e yw o r d s ：a s s e s s m e n tf u n c t i o n ，s o l u t i o n so fa s s e s s m e n tf u n c t i o n ，g e n e t i c s t a l ? i l i t i t y , w e a k e f f i c i e n t s o l u t i o n s ，i d e a ls o l u t i o n s ，c o n n e c t e d n e s s ，p a t h c o n n e c t e d n e s s 3 第一章评价函数最优解集的通有稳定性与拓扑性质 第一节引言 在现实生活中，决策的目标往往有许多个，例如，对企业产品的生产管理， 既希望达到高利润，又希望优质和低消耗，还希望减少对环境的污染等，这就 是一个多目标决策问题，也叫多目标最优化问题。一般来说，多目标决策问题 有两类，一类是多目标规划问题，其对象是在管理决策过程中求解使多个目标 都达到最满意结果的最优方案，另一类是多目标优选问题，其对象是在管理决 策过程中根据多个目标或多个准则，衡量和得出各种备选方案的优秀等级和排 序。 多目标最优化的思想萌芽于1 7 7 6 年经济学中的效用理论，1 8 9 6 年，经济 学家vp a r e t o 首先在经济平衡的研究中提出了多目标最优化问题，引进了 p a r e t o 最优解的概念。1 9 4 7 年，数学家j v o nn e u m a n 和o m o r g e n s t e m 在对策 论的著作中提及了多目标决策问题，1 9 5 i 年，数理经济学家t _ c k o o p m a n s 2 3 1 从生产和分配的效率分析中考虑了多目标最优化问题，第一次引入了有效解的 定义，并做出了某些结果。二十世纪六十年代以来，人们运用多目标最优化问 题去解决各种实际问题，取得了显著的成果。 多目标决策由于考虑的目标多，有些目标之间又彼此有矛盾，这就使多目 标问题成为一个复杂而又困难的问题。但由于客观实际的需要，多目标决策问 题越来越受到重视，因而出现了许多解决此类问题的方法，如：线性加权法， 理想点法，极小极大法等。在多目标最优化问题的研究中，围绕最优解，涌现 了许多的成果，也产生了不少解的概念，如绝对最优解，有效解，弱有效解及 加权解等见 3 3 对于最优问题的解的稳定性，唯一性和通有性，在文献 7 儿1 6 1 7 ， 3 0 一3 2 做了具体的研究，而对于多目标最优化问题的解的稳定 性，y u 3 7 对弱有效解给出了一个通有稳定性的结果。一个给定的多目标极小 化模型( v m p ) 一般具有许多个有效解或弱有效解，因此，对于模型( v m p ) ， 人们不满足于求出它的随意一个有效解或弱有效解，而是要设法求得这样个 解，它既是问题的有效解或弱有效解，同时又是在某种意义下是决策者所满意 的解。这是多目标优化与单目标优化求解的一个重要不同点。求解多目标极小 化模型 v - 曾， ) ( v m p ) 其中，：丑一e 为向量值函数，e 为向量空间。 的一个重要基本途径，是根据问题的特点和决策者的意图，构造一个把多个目 标转化为一个数值目标的评价函数 ( ，) = ( 五，厶，五) ，通过对多个目标的“评 价”，把求解多目标极小化问题归结为求单目标( 数值) 极小化问题。 嘧6 ( ， ) ) ( e ) 其中h ：e 只为实值函数。 4 这是研究多目标最优化问题的一个基本途径，它把向量的多个目标进行标 量化处理。一般来说，采用不同的评价函数，可求得( v m p ) 的不同意义下的 解，同时也就对应了一种不同的求解方法。 另外向量优化问题的有效解集的拓扑结构，如：闭性，紧性，连通性，可 收缩性等问题，是向量优化理论和算法研究中的一个重要课题。 本章首先研究了在评价函数扰动下，评价函数解的稳定性；然后研究了评 价函数解的结构，以及评价函数解集的闭性，紧性，连通性，道路连通性等拓 扑性质。 第二节预各知识 设并为拓扑空间的紧子集，f ：x e 为向量值函数，e 为向量空间，c 为 e 中的闭凸尖锥。向量极小化问题为： f o p - c )r a i n ，o ) j f z x 当e = r ”时，c = r 8 ，可定义多目标优化问题为 f o p r + ”)m i n ， ) s t x e x 定义1 2 1 ：设z 为拓扑空间，：并一e 为向量值函数，e 为向量空间，c 为 e 中的闭凸尖锥： ( 1 ) x 为，在z 中的有效解，如果不存在_ ) ，e x ，使得，o ) 一，( y ) c ( 2 ) x 为，在x 中的弱有效解，如果不存在y e x ，使得 i ( x ) 一，( y ) i n t c ( 3 ) 石为，在z 中的绝对有效解，如果对任意的y e x ，有 f ( y ) 一，o ) c 定义1 2 2 1 4 ：设z = 0 1 ，x 。) 7 ，y = ( y l i - ，y 。) 7 ，是h 维欧氏空间r “中的两个 向量： ( 1 ) 若工；y ：( f ；1 ，n ) ，则称向量x 等于向量_ ) ，记作x = y ( 2 ) 若x isy j( i = 1 ，以) ，则称向量z 小于等于向量y ，记作x s y 或y x 5 ( 3 ) 若tsy ， ( i ；1 ，疗) ，并且其中至少有一个是严格不等式，则 称向量x 小于向量y ，记作z 乏y 或y x ( 4 ) 若t 0 ，v y e c ，y o ) 在r “上定义c ”的度量为： p ( n ，p ：) = 0 p 。- p ：i i - l p , ( ，o ) ) 一n ( ，g ) ) | ，v x x ，f ( x ) e r “ 显然，( c ”，p ) 完备。 很显然，c ”c h ，事实上设h ，y e x ，满足，o ) c ，( y ) ，即厂 ) 一f ( y ) e c 则p 驴0 ) 一厂( y ) c0 ，即p ( ， ) ) c p ( ，( ) ，) ) ，从而p 在彤上为单调增函数。 定义1 3 2 ：称x + 为函数，关于权p 的加权解，如果满足v x c x 有： p ( ( x ) ) sp ( ，( z ) ) 定义1 3 3 ：e 。：c ”一2 。；p e 。( 厂，p ) ，其中v p e c ”，e 。( ，p ) 表示为 p 关于，的加权解集，则e 。表示加权解映射。 定理1 3 3 ：e ：c ”一2 。茭b u s c o 映射 证明：由于以：日一2 。为u s c o 映射，则显然有e 。 u s c o 映射。 定理1 3 4 ：设x 为拓扑空间紧子集，则存在一稠密剩余集qcc “，使得对每 一p q ，p 所对应的加权解均是本质的，且这时的加权解为有效解。 证明：由定理1 3 3 和f o r t 定理可得结论 9 第四节评价函数解的结构 本节主要考虑目标函数变化下评价函数解的变化 首先来考虑评价函数极小化问题 嘧| i z ( ， ) ) ( 只) 其中五( y ) 关于y r ”是单调增函数，下面给出模型( 只) 与模型 ( v o p - r ”) 之间的联系。 定义1 4 1 ：称i l ( y ) 关于y e r “是严格增函数，若由y7 乏y ”( v y ，y ”r “1 ， 则有h ( y ，) th ( y 3 称i l ( ) ，) 关于y r ”是增函数，若由y y ( v y ，y ”e r “) ，则有 h ( y ) ch ( y ”) 定理1 4 1 ：设z 为拓扑空间，：z r “；h ：r ”一只： ( 1 ) 若 0 ) 关于y r “是严格增函数，i 是模型假) 的评价函数解，则 i e ( ，工) ( 2 ) 若 ( y ) 关于y r ”是增函数，i 是模型( 只) 的评价函数解，则 拒e w ( f ，z ) 证明：( 1 ) 反证法： 假设牙隹e ( ，z ) ，则由有效解的定义，可知存在z z 使厂0 ) 厂( 习。 由于 ( y ) 关于y r “是严格增函数，则有| i z ( ， ) ) c ( ，何) ) ，这表明i 不是模 型( 最) 的评价函数解，因而导致矛盾。 ( 2 ) 假设i 圣e 。( ，z ) ，则存在z z ，使f ( x ) c ，。由于i z ( ) ，) 关于 y r “是增函数，则有 ( 厂 ) ) c i z ( ，) ，于是i 不是模型( e ) 的评价函数解， 这与已知条件矛盾。 通过定理1 4 1 这一结论，我们就可以按照问题的需要来构造单调增的数 值函数 ( ) ，通过对 ( ，o ) ) 的极小化便可得到我们所期望的模型( v o p r ”) 1 0 的有效解或弱有效解。 下面我们来讨论当评价函数值经过单调变换后，对应的多目标极小化模 型的评价函数解与原模型的评价函数解之间的关系。 定义1 4 2 ： c “瞄) 表示从x r “上的连续函数的集合。 f = ( ，1 ，l ) c ”( z ) ，g = ( g 。，g 。) c “( z ) 定义1 4 3 ： 称z 为评价函数i z 日关于目标函数f = ( ，) 的评价函数 解，如果 ( ， ) ) ；m i n h ( f ( x ) ) s t x e x 评价函数 关于目标函数为，和g 所对应的评价函数解集分别为x a f ，| 1 1 ) 和 置( g ， ) 定理1 4 2 ：设x 为拓扑空间，v x e x， ，l ，( ) = ( ，0 ) l h g ( ) ； g o ) x 其中 ，( ) h 。( ) r ， b ) ) = 妒o ( ， ) ) ) ，并且妒关于 ，( ) 是 单调增函数，则有：以( g ，h ) ；五( f , h ) 证明：设i 盛以( ，h ) ，我们来导出i 岳邑0 ，h ) 。 由于i 圣五( ，h ) ，由评价函数解的定义，知存在x x ，使 ( ，0 ) ) c ( ， ) ) 。又由于9 关于_ l l ，是单调增函数， 所以有： 伊( ( ，o ) ) ) c 妒( ( ( ，仁) ) ) 即： i z ( g ) ) c _ l l ( g ) 从而得到：i 硭五( g , h )从而有也( g , h ) 邑( f , h ) 另一方面，设i 盛况( g ，h ) ，由评价函数解的定义，知存在z x ，使 h ( g ( x ) ) c ( g ( 刁) ，即： 妒( ( ， ) ) ) c 妒( ( _ i l ( ，回) ) 从而可得：h ( f ) ) c | i l ( ，( 习) ( 1 ) ( 2 ) 若否，则有 ( ， ) ) ( ，何”，由于妒关于 ，是单调增函数，所以有： 驴( ( ， ) ) ) z 妒( 0 ( ，( 习) ) ，与( 1 ) 式矛盾。 1 1 由( 2 ) 式可推出i 岳五( ，_ 1 ) ，从而有瓦( ，h ) c 邑( g , h ) 即有：玩( g , h ) = 瓦( f , h ) 推论：设z 为拓扑空间，p c “，v l z ，pr ( ) 一p ( ， ) ) ，p 。( ) t p ( g c x ) ) ， 其中 f ( ) ，h 。( ) e r ，p ( 9 0 ) j ；妒0 ( 厂 ) ) ) ，并且妒关于厅r ( ) 是单调增函数，则 有：e ( g ，p ) 一e ( f ，p ) 。 从定理1 4 2 可知：在对多目标极小化模型中的评价函数值进行单调递增变 换后，新模型的评价函数解与原模型的评价函数解相等。这一结果在多目标最 优化的理论研究和求解方法中都是相当有用的。 第五节评价函数最优解集的拓扑性质 记号和定义： 设z 为拓扑空间，y c r ”为拓扑向量空间，h 为评价函数空间， h = h l h 为连续、单调的拟凸增函数) ，则h 为凸集 记 y 阶 y + 卟( y 卜磐坳) ) 瓦( 舶) = p x ( ，) ；癣 ( ，o ) ) 】 定义1 5 1 ： 设y 1 ，y 2 e y ，若对任意的a ( 0 ，1 ) ， 有 防，+ ( 1 - z ) y ： 蔓m a x h ( y 。) ，h ( y ：h ，则称矗在y 上是拟凸的。 引理1 5 1 ：设，：e 。一e 2 ，c 为e ：中的一凸锥，e 1 ，e ：为线性拓扑空间， e 。，如果对f ( x 。) 的任一邻域矿，存在x 。在e ，中的邻域u ，使得 ，0 ) y + c ，u ，称，在z 。是c 一连续的。 引理1 5 2f 5 j ：假设下列条件成立： ( 1 ) f ：a 一2 7 为上半连续的集值映射 ( 2 ) a 为连通集 ( 3 ) d x a ，f 0 ) 为非空连通集 则彳的像集f o ) 为连通集。 引理1 5 3 【1 】：( 粘合引理) 设e ，易都是x 的闭( 开) 子空间，如果五：鼻一】，连 续( f = 1 ，2 ) 且 k n 五= 厂2k n 五，贝0 由： 删= 船盏 定义的映射，：x y 连续。 引理1 5 4 ：若l ，cr ”是非空紧凸集，则u y 职) 是连通集 证明：记集值映射y ：h 一2 7 ；h y ( h ) 现在来证明映射y 是上半连续的集值映射。 假设y 在h 上不是上半连续的，我们取 日，则有y 在h 处不是上半连 续，由此存在y ( h ) 的开集v 2 媳y d h 。) c h ，使h 。一h ，满足y 。y 。) ， 但是y 岳y 。 由于y 是非空紧集，从而存在y + l ，使d 。) 的某一子列收敛 n y ， 不妨设 y “一y + ，由y 盛y 得y 擘矿，进而得到y + 硭y q ) 。 从而存在y e y ，使h ( y ) 时，使 ( y ) 一h ( y ) t o 即 5 ( y ) 。( _ ) ，) 再由y 一y ，知存在i 使y 川d ( y + ) ，因此有矗m ( y ) c 川 札) 这与y 1 y 1 ) 矛盾。 现在证明对于矗日，r ( h 1 是连通集。 任取弘，y ：y ( h ) c y ，a ( o ，1 ) 有：h ( y 1 ) = h ( y z ) = 1 雪“( y ) 由于y 是凸集，从而a _ ) ，+ ( 1 一z ) y 2 y 由于 是拟凸的，则有： h a y t + ( 1 - a ) y ：】s m a x h ( y ，) ，h ( y ：) ) ；n 磐n h ( y ) 从而得a y 。+ ( 1 一z ) y ：y 职) ， 由此得r ( h ) 为凸集，g 口y ( h ) 为连通集。 又由于日为凸集，从而是连通集。根据引理1 5 2 ，知l ，旧) 是连通集，也 即u y ) = y ( 日) 是连通集。 知! 阿 定理1 5 1 ：设x 为h a u s d o r f f 拓扑空间的非空紧凸集，f ：z r ”是连续凸向 量函数，v h 日h ：r 4 一只 则u 五( ， ) 是连通集 h 证明：由f 在z 上连续且 h ，知矗( ，0 ) ) 在x 上连续的。又由z 是非空紧 集，则对任意 h ，瓦( ，h ) 是非空的。 任取_ ，屯况( ， ) ，a ( 0 ，1 ) ， 有： ( ，“) ) 一h ( f ( x ：) ) = 卿出o ) ) 因此： l 矿o 。) + ( 1 一z ) f ( x ：) 】sm a x h ( f ( x 。) x ( ，( x ：) ) ) = 卿 ( ，0 ) ) 又由x 是凸集知，弛+ ( 1 一z ) x ：x 同时，在丑上是凸向量函数， 从而有： ，陬。+ ( 1 一z ) x ： s 可瓴) + ( 1 - a ) ，o ：) 于是有： 卿矗( ，o ) ) s ，( a 五+ ( 1 一a ) 屯) s a ，“) + ( 1 一a ) f ( x e ) ；卿6 ( ，0 ) ) 于是杠+ ( 1 - a ) x z 以( ，h ) ，因此怕日，鼍( ，h ) 是凸集。 下面来证明点集映射邑：h 一2 。，h 一邑( ，h ) 是上半连续的。 假设邑在石日处不是上半连续的，则存在邑( ，乃的开集矿，及点列 协c h ，使h 一万满足矿x 。( ，h ) ，但z 圣矿 1 4 由z 为h a u s d o 虚拓扑空间的非空紧集，知肖是闭的，则存在i x ，使仁。j 的某一子列收敛到孑，不妨设x 。一i由矿譬y ，可得i 隹矿， 堪z - - ，譬z 。( ，d ，从而存在z z ， 使 石( ，0 ) ) ci ( ， ) ) 由于f 在z 上连续，h e h ，从而厅( ，o ) ) 是盖上的连续函数。 则有： h x ( ， 7 ) ) 一 ( ，0 ) ) ； ( ， 7 ) ) 一取f ( x ) ) + 万( 厂( x ) ) 一虱，( 习) + 虱，( 习) - h ( f ( x ) ) + 豇， ) ) 一h k ( ，0 ) ) s 耖一而虱，o ) ) 一取，( 劢+ 取，( 习) 一及，o ) ) + 忖一 8 = 2 1 1 h 一 1 | + i ( ， ) ) 一虱，( i ) ) + 虱，( 力) 一万( ，( x ) ) 由j i l 一万知肛一h l l - o ，及 ( ，( ) ) 在i 点连续，存在i 的邻域o ( 力，z 。， j ) 0 ，当k ) 时，使 ( ，o ) ) 一 。( ， ) ) co 即厅。( 厂0 ) ) 。 ( ， ) ) 。 再由z 。一孑，知存在1 ，n ，使d ( 力。因此有h m ( ，g ) ) c ”( ，o m ) ) 这与假设一五( ，h 1 ) 矛盾。 由以( ， ) 是非空凸集，从而也是连通集。又日是凸的，从而也是连通集。 因瓦在h 上是上半连续的，由引理1 5 2 知： u 邑( ， ) 是连通集。 m ! h 定理1 5 2 ：设z 为h a u s d o r f f 拓扑空间的非空子集，若j 为闭集，f ：j 一胄“ 是r + “一连续函数且，( ，z ) * ，则e 。( ，z ) 是闭集 证明：设扛。：口a c e 。( ，z ) 中的任一收敛网，不妨设 瓣k = x o 现在我们来证明e 。( ，石) 反证法：假设x 。盛e 。( ，x ) ，由x 的闭性知，z 因此j x z ， 使得f ( x ) o t 。，有f ( x 。) e f ( x ) + i n t r + “+ r ”，0 ) + i n t r “ 由此式可得 石。圣e 。( ，x ) ， 与假设矛盾。 因而e 。( ，z ) 是闭集a 定理1 s 3 ：设z 为h a u s d o r f f 拓扑空间的非空子集，若x 为闭集，f ：z r ” 是连续函数，v h e hh ：r ”一r h = h l h 为连续、单调增函数) 且 u 五( ，五) 妒，则u x x ；， ) 是闭集 证明：取堂况( ，6 ) 中任一收敛网仁a ：口a c x 不妨设姆2 ， 同样现在我们来证明u 五( ， ) 反证法：假设x 。萑u z o ( f ，_ 1 ) ，由x 的闭性，知x 因此存在石z ， 使得对于任意矗日，有： ( ， ) ) c ( ，0 。) ) 又由于，在z 上连续， 在r ”上连续，从而 ( 厂) 在x 上连续。所以 3 a 。a ，对所有口，o t 。，有：h ( f ) ) c h ( f ( x 。) ) 由此式可得圣u 邑( ，_ 1 1 ) ，与假设矛盾。 h 甜 因而ux x x ， ) 是闭集。 j 】r 定理1 5 4 ：设x 为h a u s d o r f f 拓扑空间的非空紧子集， f ：x r 4 是连续函 数，日h ：r ”一只h = h l h 为连续、单调增函数 且u 邑( ， ) ， m * 则ux o ( f ， ) 是紧集。 e h 证明：由x 为h a u s d o r f f 拓扑空间的非空紧子集，则x 是闭集。再利用定理1 5 3 的证明方法可得u x , ( f ， ) x 是闭集，从而u x , ( f ，1 1 ) 是紧集。 hh 定理1 5 5 ：设x 为h a u s d o r f f 拓扑空间的非空紧子集， ，：x r “是连续凸向量函数，h ：r ”一月是连续、单调拟凸增函数，则 邑( ，h ) 是道路连通的。 1 6 证明：由于前面己证到五( ，h ) 是凸的，显然五( ，h ) 是道路连通的。 定理1 5 6 ：设 五( ，_ 1 1 ) k 为x 的道路连通的子集族，v h ，g e h j 啊， 2 ，h n c h ，满足啊= ，吃；g ， 且v f = 1 ，2 ，n 一1 瓦( ，噍) n 瓦( ，噍+ 。) 庐， 证明邑= u 邑( ，_ 1 1 ) 是x 的道路连通子集。 崩甜 证明：任取x ，y 邑，假定x 瓦( ，h ) ，y e 五( ，g ) ，则配， 2 ，吃 c 日， 满足啊。| i z ，吃；g ，且；1 ，2 ，n 一1 ，邑( ，h , ) n x o ( f ，h i + 。) t 妒。我们取 薯瓦( ， j ) n 邑( ，趣+ ，) ，则存在： 五： 0 ，1 】一五( 厂，嚏) 连续，使五( 0 ) = 工，五( 1 ) = 五 又v f = 1 ，2 ，月一2 ，影+ 。： o ，1 】一孔( ，吩+ ，) 连续，使 五+ 。( 0 ) ；玉，五+ 。( 1 ) ；鼍+ 。 又存在l ：1 0 4 】一五( ，g ) 连续，使( o ) = 吒_ 1 ，l ( 1 ) = y v t e 0 ，1 】令 ，o ) = 0 f ) o s fs 三 n f 一1f f l ( n t f + 1 、一ns s n i = 2 ，3 ，l 由粘合引理可知如上定义的，： 0 ，1 一五连续且f ( o ) 一l ( o ) ；工 f 0 ) = ( 1 ) = y ，所以，是x o 中连接x ty 的一条道路， 故以= u 五( ， ) 是道路连通。 m 三 】r 定理1 5 7 ：设评价函数空间h 为凸集，集值映射瓦：日一2 。，h 一以( ，h ) 是连续的，则邑= u 五( ， ) 是道路连通的。 证明：由于日为凸集，所以h 是道路连通的，又映射以连续，故 邑= u 瓦( ， ) 是道路连通的。 第二章集值映射优化问题解的稳定性 第一节引言 在向量优化中，解的稳定性和良定性的结果具有十分重要的意义，这方面 涌现了不少的结果( 见文献 1 4 【2 0 】【3 6 】 3 7 】) ，这些结果都是建立在有限维的单 值映射中。 然而近年来，集值映射向量优化问题已成为研究热点之一，由于它在数理 经济、随机规划和模糊规划等领域的应用前景，已经成为最优化理论发展的一 个重要方向，并且获得了许多重要理论结果。 hw c o r l e y 在【8 】【9 】中讨论了集值映射向量优化问题解的存在性，优化条 件和l a g r a n g e 对偶问题。 yxl i 【2 4 和x h g o n g 1 8 】分别探讨了有限维空间和无限维空间中集 值映射向量优化问题( 弱) 有效解的连通性。 x h g o n g 1 9 给出了超有效解在目标函数为锥凸集值映射条件下的连通 性结果。 z f l i 2 5 将x h g o n g 的结果推广到锥类凸的情况。 1 1 1 1 1 3 1 1 2 9 1 研究了集值映射情形下有效点的收敛性。 陈光亚等【1 0 】探讨了集值映射的e k l e n d 变分原理。 以上所举的基本上都是关于集值映射优化问题( 弱) 有效解或超有效解的 拓扑性质的研究。关于通有性质的研究在非线性分析领域已有一些发展。光滑 分析中的横截定理及凸函数的通有可微性；最优化问题解的通有性质；2 一人零 和对策鞍点的通有唯一性；以及不动点理论中的通有性质等等都是通有性质的 研究。而对于向量优化问题的研究中，对其解的性质的研究具有非常重要的理 论价值和应用价值。近年来，许多学者运用“通有”的方法，研究了最优化问 题的稳定性及通有稳定性。 对于单目标最优化问题解的唯一性与稳定性，曾经有过一系列关于通有性 的研究成果( 见文献【6 】 2 2 】【3 5 】) ，而关于多目标优化问题解的稳定性，1 9 7 9 年，p h n a c c a c h e 2 8 得出了多目标优化问题的稳定性结果，1 9 8 8 年，s d o l e k i 和c m a i i v e n 【3 4 】证明了有效解集的稳定性，y u ”l 、x i a n g t 3 】 3 6 1 曾分别对弱有 效解和加权解在一致拓扑或图像拓扑度量下，给出了一些通有稳定性的结果。 彭定涛等e 2 j 在上图象拓扑下，给出了弱有效解的通有稳定性结果。 从已有的文献中看，我们发现关于集值映射优化( 弱) 有效解的稳定性问 题鲜有报道，本章正是针对这一点而做的。 本文基于上面的研究成果，主要分四部分进行讨论： ( 1 ) ：在集值映射向量优化问题下，研究弱有效解在一致拓扑度量下的通有稳 定性： ( 2 ) ：在集值映射向量优化问题下，研究弱有效解在图像拓扑度量下的通有稳 定性： ( 3 ) ：在集值映射向量优化问题下，研究有效解在一致拓扑度量下的部分稳定 性： ( 4 ) ：在集值映射向量优化问题下，研究理想解的稳定性。 第二节预备知识 在这里，我们介绍些集合空间上的拓