（基础数学专业论文）奇异积分和分数次积分与光滑函数生成的多线性交换子.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究奇异积分算子和分数次积分算子与光滑函数生成的多线性交换子的 有界性问题全文分四章： 第1 章简要介绍了奇异积分算子和分数次积分算子的多线性交换子有界性问 题的背景及其发展状况 第2 章讨论奇异积分算子和分数次积分算子与b e s o v 函数生成的交换子在 l “( 舯) 上的映射性质，本章我们证明了【b ，t ”和【b ，五1 是从p ( 磷) 到l ( r n ) 的有界算子 第3 章讨论奇异积分算子和分数次积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性 交换子在h a r d y 型空间上的有界性本章我们得到了【b ，刀和p ，五 在护( 黔) ， h a r d y 型空间h f ( e “) 和h e r z 型h a r d y 空间日k ? 宇( r “) 上的有界性结果 第4 章研究奇异积分算子和分数次积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交 换子的在空间上的映射性质本章我们证明了【b ，t 】是从口( r ”) 到霹m ( 础) 的有界算子，同时还得到【b ，l 】是从p ( r “) 到霹m ( 渺) 的有界算子 关键词：交换子；奇异积分算子；分数次积分算子；b e s o v 空间；h a r d y 空 间；l i p s c h i t z 空间；t r i e b e l - l i z o r k i n 空间；原子 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m n _ i n t a t o r so fs i n g u l a r i n t e g r a lo d e r a t o r sa n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hs m o o t hf u n c t i o n s t h i s p a p e ri so r g a n i z e d3 - 6f o l l o w i n g i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n t i nt h es t u d yo ft h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s a n df r a c t i o n 8 l i n t e g r a lo p e r a t o r s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fs i n g u l a ri n t e g r a l o d e r a t o r sa n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sr e l a t e dt ob e s o v f u n c t i o n sf r o m ( 甜) t o 。酽( p 1 i nt h i sc h a p t e r ，w ep r o v et h a tt h eo p e r a t o r s 【b ，t i 。a n d b ，厶1 ”a r e b o u n d e df r o ml “( 鼢) t ol ( r “) i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s o f s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hl i p s c h i t z f u n c t i o n so nt h eh a r d y t y p es p a c e s i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i n t h em a p p i n gp r o p e r t i e s o f 匠邳a n d 匠 】o nt h e 口( 瞅) ，h a r d yt y p es p a c e s 磁) a n d h e r z h a r d y y p 8 s p a c e s 日程；) i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ft h em u l t i l i n e a r c o m m u t a t o r sg e n e r a t e db ys i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hl i p s c h l t zf u n c t i o n s i nt h i sc h a p t e r ，w es h o wt h a tt h ec o m m u t a t o r s 【6 ，t 1a r eb o u n d e d f r o ml 9 ( p ) t o 瑚，。( 豫n ) ，a sw e l la s 匠l f r o m 2 ( r ”) t o 霹o 。( 瓞“) k e yw o r d s ： c o m m u t a t o r ；s i n g u l a r t e g r a lo p e r a t o r ；b e s o vs p a c e ；h a r d y l i z o r k i ns p a c e ；a t o m i n t e g r a lo p e r a t o r ；f r a c t i o n a li n 。 s p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e ；t r i e b e l - 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文足本人存导师的指导下独立进行研究所驭 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本沦文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人 lj 集体，均已在文t 1 以叫确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名 俅确 j 1 日期：嘶年牛月旷h 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 沦文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以h 十hj , 2 方框内打“”) i i 一名签名： 导师签名： 懒 野阶一一 ， 日期：寥竹年钟月心，白 期：2 0 口笋l ：川夕同 硕士学位论文 第1 章绪论 自从2 0 世纪5 0 年代c a l d e r d n 和z y g m u n d 创立奇异积分算子理论以来，有 关c a l d e r s n z y g m u n d 算子的研究取得了许多重要进展1 9 5 2 年，c a l d e r d n 与 z y g m u n d 1 】为研究椭圆型偏微分方程而首次引入了奇异积分的概念，并证明了其 存在性1 9 5 5 年，c a l d e r d n 与z y g m u n d 2 研究了一类卷积型奇异积分算子，并 在一定条件下证明了其( 瞅) 有界性此后，奇异积分理论的发展对偏微分方程 及其相关领域的研究起到了巨大的推动作用，这反过来促使奇异积分理论越发受 到人们的重视而得到长是的发展 奇异积分与b m o 函数生成的交换子是研究变系数偏微分方程的重要工具 1 9 6 5 年，c a l d e r d n n 研究了一类交换子，它出现于沿l i p 曲线的c a u c h y 积分问 题中作为奇异积分理论与c a l d e r d n 型交换予的推广，c a l d e r 6 n 4 j 研究了一类多 线性奇异积分算子，其后许多学者开展了关于多线性奇异积分算子的研究，工作 主要有：c a l d e r d n ，b a j s a n k i c o i f m a n ，c o h e n g o s s e l i n 6 , ”，h o f m a n n n 和谌稳 固【9 】 c o i f m a n ，r o c h b e r ga n dw e i s s 证明了降，邳是扩( p ) 有界的， b b m o ( n “) ，1 p 。o 关于b m o ( r ”) 详情请见【1 1 ，1 2 ，1 3 】一般说来，奇 异积分交换子是矿( r n ) ( 1 p 。) 有界的，但对p = 1 ，奇异积分交换子不是强 有界的，甚至不是弱有界的h a r b o u r e ，s e q o v i a ，t o r r e a 1 4 1 指出奇异积分算子的 交换子不是标准h a r d y 空间h 1 ( 瞅) 到l 1 ( 舯) 中的有界算子1 9 9 5 年，p 6 r e z 在f 1 5 1 进一步指出它是与6 有关的h a r d y 型空间珥( 即) 到l 1 ( p ) 中的有界算 子j a n s o n 1 6 】证明了【b ，t 】是从( r “) 到l q ( n “) 的有界算子，1 p 署，其 中b a 口( p ) ，o 声1 ，卢= 诈( ：一) 1 9 9 5 年，p a l u s z y f i s k i 1 证明了【矗，司 是从口( r “) 到霹，o 。( l 一) 有界的，其中1 p o 。，0 卢 1 ，b ( 黔) ，这 里( r “) 是齐次l i p s c h i t z 空间( 见【1 8 ) ，霹m ( p ) 是齐次t r i e b e l l i z o r k i n 空 间( 见f 1 9 1 ) 2 0 0 2 年，陆善镇，吴强，杨大春【2 0 】证明了 b ，t 】是从h p ( r ) 到 l q ( r “) 的有界算子，如果6 a b ( r “) ，0 卢墨1 ，南 p 1 ，i 1 = ；1 一；，以及 b ，t 】是从日j 镪，( 融) 到j 锯( r n ) 的有界算子，如果0 p o o ，1 q l ，啦 ， b a p ( r “) ，0 p 曼1 ，击= 击一；，钆( 1 一击) d n ( z 一击) + 卢 b e s o v 空间a 暑4 ( p ) ( 见【1 8 1 ) 是l i p s c h i t z 空间的推广，函数b a 台4 ( r ? ) 与 奇异积分算子生成的交换子的映射性质还没有作过任何研究，本文第一部分将研 究这一问题定义r f l 阶交换子( 见【2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 】) ( z ) = 似z ) _ b ( 枷”k ( x - y ) m ) 由， ( 1 1 ) 奇异积分和分数次积分与光滑函数生成的多线性交换子 其中k 是一个c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分核，m n ，b a 铲( 黔) 。我们将讨论此类交换子在三“( 础) ( 1 d o o ) 上的映射性质 本文要研究的另一个问题是多线性交换子的映射性质2 0 0 2 年 t r u j i l l o _ g o n z a l e z 在 2 1 中引入了一类奇异积分算子的多线性交换子 p 6 r e z 和 翮( 州z ) 2 厶黔( z ) “k ( z y ) f ( y ) d y ， ( 1 2 ) 其中k 是c a l d e r d n z y g m u n d 奇异积分核若6 b m o ( 戳) ，i = 1 ，2 ，m ，他 们证明了匠丁 是口( r “) ( 1 p 划纠厶掣1 。矿( e + 掣d x ( 1 3 ) j r “ 、 我们将讨论这类多线性交换子( 见式( 1 2 ) ) 在p ( 础) ，h a r d y 型空间群( ) 和 h e r z h a r d y 型空间日嫒；( 础) 上的有界性，其中b i a 风( 时) ，1 茎i m ， 0 屈sj 日，0 卢1 原子分解是我们利用的一个重要工具 在偏微分方程中，为了研究p o i s s o n 方程 a u = l 的解，引入了标准的分数次积分算子( 又称r i e s z 位势算子) 训扣上。浩吲。 q 咄 ( 1 。) 对标准分数次积分算子l 的研究已有几十年的历史，其中一个经典的结果是s o b o l e v 在1 9 3 8 年证明了它2 ( r ) 到l q ( r n ) 的有界性及z y g m u n d 在1 9 5 6 年证明了其 弱( 1 ，芒i ) 型估计( 见【1 8 1 ) 七十年代，h a r d y 空间实变理论的发展，促进了在 h a r d y 空间上的算子有界性的研究1 9 8 0 年，t a i b l e s o n 和w e i s s 2 5 l 运用了h a r d y 空间的分子分解方法，证明了l 为( 日，( p ) ，口( r n ) ) 和( 王p ( p ) ，日。( r 竹) ) 型算 子1 9 9 7 年到1 9 9 8 年，丁勇研究了具有粗糙核的分数次积分算子( 见【2 6 ，2 7 1 ) 1 9 8 2 年，c h a n i l l o 2 8 中引入了标准分数次积分算子的交换于【b ，纠，并证明 了其( 驴，l 4 ) 有界性1 9 9 5 年，p a l u s z y f i s k i i ”】证明了【b ，厶】是从2 ( r ) 到 四1 0 0 ( ) 的有界算子，如果1 p q 。，0 卢 1 ，；1 一i 1 = 罟，b ( ) 2 0 0 2 年，陆善镇，吴强，杨大春 2 0 1 证明了【b ，厶】在h a r d y 型空间上的映射性质 f b ，l 的一个自然推广便是m 阶交换子 广，r ，、 【b ，i o “，( z ) = ( 6 ( z ) 一6 ( g ) ) “意等品d y ， ( 1 - 5 ) 玉 一2 硕士学位论文 其中m n ，bea ；4 ( r “) ，1 p ，q 。我们将讨论此类交换子在l d ( 础) ( 1 d 。) 上的映射性质 在本文中，作者还将讨论分数次积分算子的多线性交换子 ，兀( 6 。( z ) 一玩( ) ) ，( 可) 6 ，l ) 2 兰l 下习而咖 ( 1 6 ) 在妒( p ) ，h a r d y 型空间磁( 瓞“) 和h e r z 型h a r d ys ! l ；q 日瑶f ( u ) 上的有界 性，其中b ，a 风( p ) ，1 曼ism ，0 觑卢，0 卢s 1 一3 奇异积分和分数次积分与光滑函数生成的多线性交换子 第2 章与b e s o v 函数生成的交换子 2 1 引言及引理 丁是c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子， t m ) = 舢厂k ( z 即 y ) f ( y ) d y ，( 2 1 ) 其中k ( z ) = 鬻，q 为零次齐次函数且满足f 。q ( 。) 出= 0 ，f 2 g 2 ( 伊一1 ) ，其中 s ”1 为舯的单位球面 由函数b 和算子t 生成的交换子定义为 b ，t l f ( x ) = b ( x ) t f ( x ) t ( 6 ，) ( 。) ( 2 2 ) 1 9 7 6 年，c o i f m a n ，k o c h b e r g 和w e i s s 在【1 0 中给出了交换子的一个重要结果， 即 b ，t 】在护( 舯) ( 1 p 。) 上是有界的，当且仅当b b m d ( p ) 1 9 7 8 年， j a n s o n 1 6 l 证明了下面的结果：【b ，t 】：2 ( r ) _ l q ( r “) 是有界的，1 p i n 当且仅当b a z ( r ”) ，0 卢1 ，卢= n ( ：一：) ，其中是齐次l i p s c h i t z 空间 交换子 b ，t 1 的一个自然推广就是m 阶交换子 b ，t l “( 见式( 1 1 ) ) 1 9 8 2 年，c h a n i l l o 2 8 】引入了分数次积分算子的交换子【b ，川： b ，五】( ，) = 五( b f ) 一6 五( ，)( 2 3 ) 并证明了【b ，i i ：驴( 豫“) - - + l q ( p ) 是有界的，1 p t n ，；一i 1 = ：当且仅当 b b m o ( r ) 交换子【b ，蚓的一个自然推广就是m 阶交换子【b ，五1 ”( 见式( 1 5 ) ) l i p s c h i t z 函数与奇异积分算子生成的交换子p ( r ”) 有界性问题的解决引起 了我们对b e s o v 函数一般情况的有界性问题的研究兴趣，在本章中我们讨论了一 般情况的有界性问题 对0 卢 1 ，1 1 ，：+ i 1 = 1 ，如果，( z ) 驴( 时) ，g ( x ) l q ( r “) ，则f ( x ) g ( x ) l 1 ( 黔) ，且 0 ，g 墨9 忆 引理2 1 2 【3 1 推广的m i n k o w s k i 不等式 设1 p o 。，( 赁，y ) 在舻扣= 妒舻上l e b e s g u e 可测，( m ，n 为自然 数) ，则 ( ( ，( z ，州由) 9 出) ；( l ，( z ，洲，如) ；咖 2 2 主要结果及其证明 定理2 2 1 设【b ，t 由公式( 1 1 ) 定义的交换子，b 伪4 ( 舯) ，0 卢 1 ， l m q p o o ，令a = ( z m + 等一n ) 孑蔫+ n ，若0 q 礼，孑 d 币n 一可，则当r 满足；= 一虹竽+ 詈且1 r 上p q - m p + m q 时，那么【6 ，t 】”是 从l 4 ( 黔) 到口( 黔) 的有界算子 证明： b , t l m 圳= 1 ( ) 6 ( 州”k ( z 一彬( 洲圳 g 1 6 ( 。) 一6 ( ) l ”i k ( z 一) 1 i ，( g ) 1 d 墨g l b ( z ) 一6 一t ) i “i g ( t ) i l l ( 茁一t ) 1 d t 由推广的m i n k o w s k i 不等式，我们得 b ，t “f l l ，s c ( r ( i 陋( 茁) 一6 ( z 一) i ”i g ( t ) l l f ( z t ) id t ) 7d 。) g ( f 0 6 ( 。) 一6 ( 茁一t ) l “i g ( t ) l l f ( z t ) i ) d z ) d t g ( 1 6 ( z ) 一6 ( z t ) i ”7 i g ( t ) 1 i f ( 。一t ) 1 7 d z ) d t = s 1 5 奇异积分和分数次积分与光滑函数生成的多线性交换子 内部积分利用h s l d e r 不等式，我们有 s t c ( 小叫。叫p 岳( f i k ( 蚶( z 叫| r 南如) 平 c ( 小“( 川妒詈( m 叫1 靠平t c 厂r i b ( 矿叫l f 罗( 厂吲w ( z 叫 盎如) 等班 曼g 半舻( 酬 m 圳泸卅”) 南删皆出 = s ， 积分对t 变量利用h s l d e r 不等式，我们有 s 2 c 0c 晰0 0 c 糕向泸一 s e 0 警蚴詈0 0 c 糌，一甲 兰刚嗨0 0 c 紧张，品如，等志出，罕南皆 = 再一次利用推广的m i n k o w s k i 不等式，我们得 岛c 怕峰( ( r ( 等锣) 盎皆南a t ) 学南d z ) 皆 s 洲f 磅。( r ( ( 筹) 志d t ) 罕南出) 皆 s g 怕峰( ( 熙a t ) 学尚d z ) 皆 纠嗨r a 。( r ( r 高氅a t ) 竿盎a z ) 皆 蚓州r ( 譬d t ) 竿南如) 皆 c l l b i l 奄，al i ，l 【焉 硕士学位论文 ，= ( 譬a t ) 罕= 一 令9 = ，志，那么 j = ( r + ) 钭虻讲尬 k 1 = 0 “( t ) 1 9 一t ) l d t ， 品 妒( ) = ”x b ( o 1 ) ( t ) 删= 旷妒( ；) ， 因为妒( t ) 是非负递减且可积的向径函数，所以k 1 曼c o o m ( 9 ) ( 。) 对于k 2 ，注意到1 ! ( ! 二q 盟 _ o 茎c o 。一醇= 1 2 j = k 1 十k 2 墨g p 。m b ) ( 。) + g 臼。一可产可i | 9 l i 掣 肚( 瓦商) ”， 川9 | l 必、必 ! 纽= 里2 1 、1 - - 坐卫二! 唑 j c t l g l t 啦当( m ( g ) ( z ) ) ” ，= t ，罕s g l l g l 彗出一 m ( 烈z ) ) q 一虫学1 竿 我们得 当生! 坐卫= = 里i = 卫一旦里= ! ! 坦旦= = 卫 圳品s 刚9 l i 虫i i m ( g ) i l ! 凶” 。 s c l l g l l 五逊 。i s g l l ，南i | 盛型 c l f 忆 奇异积分和分数次积分与光、滑函数生成的多线性交换子 那么 l l i b ，t p f l l ，驯6 峨，a i i l l , t 证明完毕 定理2 2 2 设 b ，明“由公式( 1 j ) 定义的交换子，b a 孕4 ( p ) ，0 卢 1 ， 1 sm q p 0 0 ，令o = ( p 仃l 4 - f 十等一n ) 孑- i - 扎，若0 n 礼， q - l m d 0 ( 1 n 一詈) ，则当r 满足= i 1 一垃+ 詈且1 r 墨上p q - - m p t m q 时，那么 【b ，五 ”是从( r n ) 到口( 黔) 的有界算子 证明： ：1 。 i j 瓞“ 曼e 儿( j 舭 sc 1 b ( j r “ ，p 耘a 圳 叫洲”拦格咖 叫胛掣出 利用推j 的m i n k o w s k l 小等式，我1 | j 得 ( 1 i b , t ”f l t ，c ( ( f 6 ( z ) 一6 ( z t ) “锋；三；! l 出) 7 出) g f ( f ( i 。( 。) 一a ( z 一。) ”上笔看；掣) d x ) d t g f ( f t a ( 。) 一。( z t ) ”r 1 ；籍泛三；竽d 。) d t = s 1 内邵枳分利用h s l d e r 小寺式，戴1 有 s 。s g 叭小叫r ( - 厂( 铲) 墙如) 掣班 s g 叭矿删蚴詈( ( 斜) 喃掣出 c f l l b ( 圹圳；t ( ( 掣) 南皆出 g 等嵩芈c c 芒器，盎管出 = 。吼 硕士学位论文 积分对t 变量利用h s l d e r 不等式，我们有 s 2 烈 r “ g i r “ ( 掌胁垆缈器器向扩托泸 学等缈格器崩泸，警 g 怕峰0 0 c 掣，焉如，等尚出，宁品皆 = 岛 再一次利用推广的m i n k o w s k i 不等式，我们得 s 。墨刚i 砖，。( ( ( 掣) 羔皆志d t ) 字南d 。) 管 剑州( r ( 拦鞋) 南a t ) - ”d x ) 等 州畎( j f 襻掣嘉d t ) 竿羔a 。) 等 剑h 以r ( 烈磐喾高d t ) 平南a z ) 等 纠州r ( i 哑i t l , 。- o d t q p - 7 = ”d x ) 铲 c l i b h x ；，。焉+ 这里 ，= ( 譬出) 竿 根据定理2 2 1 同样的证明方法，我们可得 l l 南硎向i 辜 e l l 川d 那么 l l 6 ，五】”，i | r 曼g l i b ，。t 1 l l a 证明完毕 9 奇异积分和分数次积分与光滑函数生成的多线性交换子 第3 章h a r d y 型空间上的多线性交换子 3 1 引言 奇异积分算子的交换子在偏微分方程中有着重要的应用，对于该类算子的研 究是调和分析中的一个重要问题1 9 7 6 年，c o i f l n a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 1 0 中 一个著名的结果是： 如果b b m o ( r n ) ，则对1 p 。， b ，t 】( 见式( 2 2 ) ) 口是c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子) 在p ( 础) 上有界反之，对某个1 p 。o ， b ，t 在 矿( 碾“) 上有界，则b b m o ( r “) c o i f m a n ，r o c h e b e r g 和w e i s s 他们的结果引出来对于奇异积分算子的交换子 的研究兴趣 1 9 7 8 年，j a n s o n ( ”】证明了 b ，t 是2 ( r “) 到l q ( r “) 有界的，当且仅当 1 p ，b a b ( r “) ，0 0 ，l i p s c h i t z 空间 i s a 口( r “) 是由满足下列条件的函数，组成： 川a ，稿s u p 。警铲 o o ( 3 ) 2 0 0 2 年，陆善镇，吴强和杨大春口o 讨论了 b ，t 在h a r d y 型空间上的有界性，其 中b a s ( 渺) ，0 卢1 2 0 0 2 年，p d r e z 等人在 2 1 】中引入了一类多线性交换子 ( 见式( 1 2 ) ) ，并且证明这类多线性交换子当b i b m o ( r “) 时的驴的有界问题 2 0 0 3 年，周伟军【3 2 】证明了当b i b m o ( r n ) 时多线性交换子h t 在h a r d y 型 空间磁( p ) ，h i 。( 妒) 和h e r z 型h a r d y 空间h 霹 ( p ) 上的有界性问题 当b i a s ，( 时) ，0 岛卢，0 卢墨1 时，多线性交换子【6 ，t 】在h a r d y 型 空间上的有界性还没得到研究在本章我们将证明这类多线性交换子是从护( 舯) 到l q ( r “) ，h a r d y 型空间珲( p ) 到l 4 ( r “) ，h e r z 型h a r d y 空间h 霹鼍( p ) 到 h e r z 型k 。c , , p ( 一l i “) 上的有界算子此类多线性交换子的研究不仅仅是【2 0 】的推广， 在证明过程中，证明方法有所改变在整个的证明过程中有的地方我们必须使用 原子消失矩条件有关日p 空问我们可见 2 0 ，3 3 】 为了表达的方便，我们引如下面的记号对任意正整数m ，当1sj m ，我 们记g p = 盯：盯= o ( 1 ) ，盯( j ) ) 为 1 ，m ) 中含j 个不同元素的集合) 对任意盯g ，记口= 1 ，2 ，m ) 盯对任意1 冬j m ，记b = ( b t ，b m ) ， 以及对任意口= 口( 1 ) ，口( m ) ) g ，我们记b = ( k ( - ) ，6 。( 。) ) 和积b ，= b 。( 1 ) b ，当岛( 1 ) + 岛( 2 ) + + 岛( 7 ) = 岛时，记 1 0 硕士学位论文 i i 爵l l x ，。= = l i b 一( - ) i l a 。，| | 6 a ( j ) | | s 。( ，) 当岛= 卢日寸，记 j = l 嗍b = l - i i l 6 j i k ，= 1 任意1 7 叼，我们记 瓦，7 _ 】，( z ) = ( 6 ，( 1 ) ( z ) 一6 ，( 1 ) ( ) ) ( 6 。( j ) ( 。) 一b 。) 国) ) k ( z 一) ，国) d y 丢 爵，厶 ， ) = ( b ( 。) ( z ) 一b ( 。) ( ) ) ( 虬( ) ( z ) - b o ( j ) ( ) 再 号每i 由 特别，当a = 1 ，m ，我们简单的记【瓦，t 为匠t 】，【瓦，厶】为【t l 3 2 b 。( i r n l 上的有界性 定理3 2 1 设【嚣t 由公式( 1 2 ) 定义的交换子，5 = ( 6 1 ，b m ) ，b i 凡风( i a n ) ，1 i m ，0 岛，登屈= 卢墨1 ，若1 p 号且；= ；一! ，那么匠t 1 是从l p ( n ) 到l q ( r ) 的有界算子 证明：由公式( 1 2 ) ，我们有 l i b , t f ( x ) n1 ( z ) 一b ( 可) 愀。一y ) 1 f ( y ) l d y 晶j 3 1 s c r 垂詈峄拶卜卯隆训l m 舭” s g n 1 i b l | ，i j z 一户i k ( z y ) l l f ( y ) l d y ，2 1 玉 s g 悟队，拶粘咖 c l l b l l a 。如( 州z ) 由分数次积分算子如的( ， ) 有界性，我们得 i i b , t f l l 口c i i b l l a 。i i i 口( f ) l l 。 c i i b l l x 。i l f l l 一- 奇异积分和分数次积分与光滑函数生成的多线性交换子 证明完毕 推论3 2 2 设 6 ，t 由公式( 1 2 ) 定义的交换子，b = ( b l ，6 。) ，6 ( 础) ，1 ism ，0 卢1 ，若1 p i n 且i l = i 1 一：，那么匠t 是从l p ( r ”) 到l 9 ( p ) 的有界算子 证明：当b 。a 日( ) ，1si m ，0 卢1 ，由包含关系0 臃 o ( i = 1 ，2 ，m ) 使得觑= 卢由已证明的结果 得推论 3 3h a r d y 型空间上的有界性 为讨论h a r d y 型空间上交换子的映射性质，我们引出如下定义： 定义3 3 1 1 2 0 , 3 2 】对0 p 墨1 ，i = ( 6 l ，b m ) ，非负整数s 【n ( ： b 。a 肺1 ism ，称函数n 为( p ，2 ，两原子满足 s u p p acb ( x 。，r ) = z p ：l z 一蛳i o ) l 。i b ( z 。，r ) p i 1 山，y 口d y = 山炉驴洲炉。 对任意盯f 垮，1s jsm ，0 l 卢i s 定义3 3 2 1 2 0 , 3 2 , 3 4 1 对0 p 1 ， 娣( 戳) = ，：，= a j a j ，为( p ，2 ，两原子且l r 。o 1 = 一= 一 而且 日，一讥球时) 蛩 j = - - o o 其中下确界取遍所有的表示 定理3 3 3 设 t t 由公式( 1 2 ) 定义的交换子，i = ( 6 - ， a 风( 豫”) ，1 is 竹t ，o 成，i = l 屈= 卢1 ，如果看万p 1 且百1 = 匠t 是从碍( 渺) 到 ( p ) 的有界算子 ( 3 2 ) ，b 。) ，b i ；1 一：，那么 证明：通过定义3 3 2 ，我们只要证明对任意( p ，2 ，两原子o ，i 匮t n i i 。曼c 且 一1 2 硕士学位论文 常数c 与n 无关假定s u p p a c b = b ( x o ，r ) ，我们有 玩t 】n i j ，( ) 瓦t 。( z ) j 。d 。) ；+ ( l i o 一。o l _ 2 r = i i4 - 如 设1 p r a i n ( 2 ，；) 且g t 满足击= 击一：，通过h 5 1 d e r 不等式，【e t 的 ( l m ，l q ，) 有界性以及a 原子的尺度条件，我们有 ( ( i ( 瓦r “( 。) l 。) d z ) 暑( d 。) 1 一；1 ) ； i z z o l 2 r l x - - x o l 2 r g ( 厂晒t 。) 音r n ( h 一x o i 2 r c i f , t a 1 q l ”q 1 一者 c l l g l l x 。i i n r “；一者 e 俩川n 协“( ；一 硎弧。 然后考虑i z 一2 ：0 i 2 r ，取九= 乩( z o ) ，1 i m ，工= ( a ，a 。) ，用本章第一节 中引入的记号，我们有 匠t 。( 。) = n ( 幻( z ) 一b ( 们) ( 。一w a ( y ) d y 刍j = l ，饥 = n ( b ( z ) 一+ 一b j ( y ) ) k ( x 一) n ( ) d y 台j = t m = ( 一1 ) 一( 耻) 一两。似( ) 一吼k ( 石y ) a ( y ) d y j = o 口6 尹刍 = ( 6 1 ( z ) 一a 1 ) ，( 6 。( 。) a 。) k ( z 一可) n ( ) d y 刍 m 4 + ( 一1 ) 一，( 一两，( 取可) 一玑k 一g ) 。( 口) d y j 2 1 口哼 备 = k 1 + k ， 一1 3 一 一 一 = 一 一 ， 童墨翌坌塑坌塾姿望坌兰垡篁垦里鍪竺堡些窒辇塞篁奎望童二：= ： 由“原子的消失矩条件( 见式( 3 2 ) ) ，我们得 l k ，i s c n1 6 ；( 茁) 一九1 l k ( z 一) 一a ，! d 1 k ( z 一。) 扛。一y ) 1 l l ( 9 ) 1 咖 曼g 亟s 啦u p 。訾裂i x - - x o i b 黪洲由 c l - l1 1 6 。1 l a 乩l z z 。1 4 一4 卜1 ”1 z 。一g 馏1 + 1 l 。( y ) ld v c i i g l l a 。i x - - x o l 4 一沁卜i 一“r 垆】+ 1f l 。( f ) ld 9 cl 1 司i 。i x 一正0 1 4 一 口】一1 一”r 4 1 + 1 + “1 ； 我们现在估计1 j 已i _ 利用原子的消失矩条件( 见式( 3 2 ) ) ，我们得 i 配l 曼c 壹i ( 酞。) 一天) 。i i k ( 。- y ) 一k ( z 咱) i f ( 取芎) 一蹦i 。扫) l d y c 萎a e c pi e a 搿s u p 削卜蚓品g ，蠢雠 r 筹”) l d y s g 妻y i i l b d l 咄1 i i b i l l 如i x , - - x o p “。l y - x o l 艮件1 k ( y ) i d y j = 1 口凹讵。 1 4 b 曼e i l g l l 训训 i x - - x o r ”妙“胁 由i 1 = ；i 一：，我们有 如冬g l i 两1 p r 旧】+ l + n ( 1 - - ；( i z z 。i ( # - b - l - n ) q d 石) 4 i 。一z o i 2 7 + c l l b l l 。，妻州叶( 厂i x - - x o i 恤一m d 口) ； j 2 i 口叮旧一。0 1 2 2 曼g 陬。+ c l l i i l 如妻 m 州1 书少士岬一；m j = l 口6 q ” sg a 。 “ + 岛阢 z z 啷 。皿 一川叫 c 一 硕二仁学位论文 证明完毕 注：在同时存在( b j ( y ) 一) 和( 吗( z ) 一) 的情况下须使用原子消失矩条件中 的第二部分，即，a ( y ) y 4 兀吼( ) d y = 0 这个条件，但在【2 0 中仅含有( b ( y ) 一a ) 这一部分，因此没有假设原子的第二部分消失矩条件这是多线性交换子与一阶 交换子的差别 推论3 3 4 设【6 ，t 由公式( 1 2 ) 定义的交换子，i = ( b 1 ，) ，b 。 ( 舯) ，1 i m ，0 卢s1 ，如果专p 1 且i 1 = i 1 一；，那么 b , t 是从 璎( 础) 到l q ( r “) 的有界算子 证明类似于推论3 2 2 ，此处略去 3 4h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 定义3 4 1 【3 5 】设b k = z 即：蚓 2 ) ，e k = b k b k 一1 以及x k = x b ， 对女z ，0 p ，qs 。，定义齐次h e r z 空间娣9 ( 础) 为 砖( 科) = ，：，l l q o c ( r n o ) ) 且蔚“。) ， 其中 簖一( 2 脚i l f x m 咿 定义3 4 2 3 2 ，3 6 】令n r n 且1 q 0 ， 恻i 。i b ( o ，r ) i 等， o ( 可) 可4 d f = n ( g ) 4 b l ( y ) d y = o ， ( 3 3 ) 而而 c o 对任意口哆，1sj m ，0 吲s ，s b + 札( ：一1 ) 】，其中 y 1 为y 的取 整函数 定义3 4 3 1 3 2 , z 6 1 设0 p o o ，1 q o o 以及a 礼( 1 一j ) ， 日磅 = f ：，= a k a k , a k 为( 。西原子且i h l 9 0 ，风= 卢l ，如果0 p 。o ，1 q l ，q 2 1 = - cok = j 一1 k + 1 川9 2 沪呦p 1 k = o 。j = 一。 妻( 妻i p 2 ，n ) ( 妻z c 一，a ) 争p j = 一o ok = j 一1 = j l ，il-jl_li【，l-_-j、il【 硕士学位论文 c i i 现在让我们来估计l 。取a ；= 魄( 0 ) ，1 is7 7 1 ，天= ( a 1 ，a 。) ，如果j k4 - 2 ， 我们有 瓦t m z ) = ( 6 f ( 茁) “z ( ) ) k ( z g ) ( ) d y 赢1 = 1 m = ( 6 f ( z ) 一a f + 九“f ( ) ) k ( z 一可) o k ( g ) d