考研数学微分方程.pdf

第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中 遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数 及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念 定义 1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如： 1 2 =+ xyyy 二阶方程；0 2 =+xyy一阶方程；xy = 三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，xy = ，方程两边三次积分，得方程的解 32 2 1 4 2 1 24 1 CxCxCxy+=（ 321 ,CCC为任意常数） 。当 4 24 1 xy =时，也满足方程。可见 32 2 1 4 2 1 24 1 CxCxCxy+=包括了所有的解的形式。则称它为通解。 定义 2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则 称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注 1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注 2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),(= y yxF，从这个方程种有可能解出 y ，也有可能解不出来；一阶显 式方程：),(yxfy =；对称形式： ),( ),( yxQ yxP dx dy =或0=+QdyPdx 注 3：在一阶方程种，x和y的关系是等价的.因此，有时可将x看成函数，y看做变量。 第二节 可分离变量方程 定义 1：称能改写为形式：dxxgdyyf)()(=的一阶方程为可分离变量方程。 注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理 1：若)()(yfyF=，)()(xgxG=，则dxxgdyyf)()(=的通解为CxGyF+=)()( 证： （1）先证CxGyF+=)()(是方程的解。 两边对x求导，得)()(xg dx dy yf=，即dxxgdyyf)()(= 故CxGyF+=)()(是方程的解 （2）设)(xy=是方程的任一解，则dxxgdxxxf)()()(= 两边关于x积分，得 =dxxgdxxxf)()()( 又 )(xF是)(xf的一个原函数，)(xG是)(xg的一个原函数 则CxGxF+=)()(，即)(xy=在CxGyF+=)()(中 所以， CxGyF+=)()(为dxxgdyyf)()(=的通解。 注 1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。 注 2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。 【例1】 求0sincoscossin=ydyxydxx的通解，并求满足初始条件 4 )0( =y的特解。 解：方程可变为dy y y dx x x cos sin cos sin =，两边积分，得Cyxlncoslncosln= 即 xCycoscos=为方程的通解。 又 4 )0( =y，代入，得 0cos 4 cosC= 2 2 =C 即满足初始条件的特解为 xycos 2 2 cos= 【例2】 求 yx ey + =的通解。 解：由 yxyx eeey= + ，分离变量，得dxe e dy x y =，两边积分，得 cee xy += ，即为方程的隐式通解。 二、可化为齐次方程的方程 经 += += kYy hXx 变换将行如 111 cybxa cbyax dx dy + + =方程化为齐次方程。 【例3】 求 1 1 + = yx yx dx dy 的通解。 解：令 += += kYy hXx ，则 ) 1( ) 1( + + = khYX khYX dX dY 令 =+ = 01 01 kh kh = = 1 0 k h 即 = = 1Yy Xx 方程变为： YX YX dX dY + = ，令 X Y u = 代入，得 X dX du uu u = + 2 21 1 ，积分，得 22 21CXuu=，由 X Y u =代回，得 通解为： 2 2 11 21Cx x y x y = + + （其中C为任意常数） 第三节 齐次方程 一、齐次方程 定义 1：称能改写成形式： = x y f dx dy 的微分方程为一阶齐次方程。 我们下面来看看齐次方程解的情形： 令 x y u =，即uxy =，代入方程，得 )(uf dx du xu=+，分离变量，得 x dx ufu du = )( 两边积分，解出u，再将 x y u =回代，即得通解。 【例1】 求 0)( 22 =+xdydxyxy 的通解。 解：原方程可化为 2 1 += x y x y dx dy ，令 x y u =，即uxy =，代入方程，得 2 1 uu dx du xu+=+，化简 x dx u du = + 2 1 积分，得 x c uu=+ 2 1，将 x y u =回代，得通解为cyxy=+ 22 二、可化为齐次方程的方程 经 += += kYy hXx 变换将行如 111 cybxa cbyax dx dy + + =方程化为齐次方程。 【例4】 求 1 1 + = yx yx dx dy 的通解。 解：令 += += kYy hXx ，则 ) 1( ) 1( + + = khYX khYX dX dY 令 =+ = 01 01 kh kh = = 1 0 k h 即 = = 1Yy Xx 方程变为： YX YX dX dY + = ，令 X Y u = 代入，得 X dX du uu u = + 2 21 1 ，积分，得 22 21CXuu=，由 X Y u =代回，得 通解为： 2 2 11 21Cx x y x y = + + （其中C为任意常数） 第四节、一阶线性方程 一、 一阶线性微分方程 定义 1：称可转化为形式：)()(xQyxP dx dy =+ (1)的方程为一阶线性方程；若0)(=xQ，则（1）式称为一阶线性 齐次方程；0)(xQ， （1）式称为一阶线性非齐次方程。 下面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程：0)(=+yxP dx dy （2） 显然是可分离变量方程。 得dxxP y dy )(=，两边积分，得 = dxxP cey )( （3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。 下面我们求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来求 （1）的解：假设 = dxxP excy )( )(为非齐次方程(1)的解，代入方程，得 dxxP exc )( )( dxxP excxP )( )()()()()( )( xQexcxP dxxP = + 则)()( )( xQexc dxxP = ， )()( )( xQexc dxxP = 积分，得 CdxexQxc dxxP + = )( )()( 则 + = dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( （4）即为方程（1）的通解。 【例 1】求xytgxysec=的通解。 解：由于xytgxysec=为一阶线性非齐次方程，且xxQtgxxPsec)(,)(=，代入（4） ，得其通解为 + = tgxdxtgxdx eCdxxeysecxCxsec)( + 例 2 求 2 2yx y dx dy =的通解。 解： 若将y看成函数，x作为变量，此方程不是一阶线性方程。故将x看成函数，y作为变量，则原方程化为： y yx dy dx 2 2 = 进一步化简，yx ydy dx =+ 2 ，为一阶线性方程，yyQ y yP=)(, 2 )( 代入（4） ，得方程的通解为 )ln(yCyx=。 二、 贝努力方程可化为一阶线性方程的方程 定义 2：称形如： n yxQyxP dx dy )()(=+的方程为一阶贝努力方程。 下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为 )()( 1 xQyxP dx dy y nn =+ ，令 n yz = 1 ，则方程化为 )()1 ()()1 (xQnzxPn dx dz =+，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，最后将 n yz = 1 代回，即得通解。 【例 3】求0ln 2 =+xyyyx的通解。 解：将方程变形，得 x x y x yy ln1 12 =+ ，为贝努力方程。令 1 = yz，代入 x x z xdx dzln1 =，利用（4） ，得 Cxxz+=1ln，又 1 = yz， 所以 1ln 1 + = cxx y为原方程的通解。 第五节 全微分方程 定义 1：如果存在可微函数),(yxu，使dyyxQdxyxPdu),(),(+=，则称0),(),(=+dyyxQdxyxP 微全微分方程。 命题： （1）0=+QdyPdx为全微分方程 y P x Q = （2）0=+QdyPdx的通解为 Cyxu=),(，其中 += y y x x dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0 。 【例 1】求0) 1 2 ( 2 =+dy y x xydx的通解。 解：令 y x QxyP 1 2 , 2 +=，由于 y P x Q = ，故方程为全微分方程 所以 += y y x x dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0 = + yx dy y x xdx 1 2 0 ) 1 2 ( Cy yx =+=ln 2 2 二、可化为全微分方程的方程积分因子 定义 2：设0=+QdyPdx不是全微分方程，如果存在可微函数),(yxu使0=+uQdyuPdx为全微分方程，则 称),(yxu为原方程的积分因子。 注：积分因子不唯一，而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子，故只有多积累才能有效的解题。 【例 2】 （1）0= ydxxdy ； （2）0)( 222 =+dxxyxydyxdx 解： （1）0 1 )( 2 = x ydxxdy0 1 2 =dx x y dy x 0= x y dc x y = （2） 0 1 )( 22 222 = + + yx dxxyxydyxdx0 2 22 =+ + + dxx yx ydyxdx 0) 3 1 ()ln( 2 1 322 =+xdyxdcxyx=+ 322 3 1 )ln( 2 1 第六节 可降阶的高阶微分方程 定义 1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。 一、)( )( xfy n =连续积分 n 次即得其通解。 【例 1】 x ey = 连续积分两次，得， 21 cxcey x += 二、),(yxfy= 跟标准形式相比，缺少y。 令yp=，则yp =，则),(pxfp =，设其通解为),(cxp= 则 ),(cxy=，两边积分即得通解。 【例 2】求 2 xyy=+ 的通解。 解：令令yp=，则yp =，则 2 xpp=+ （一阶线性方程） 利用（4） ，得通解： x ecxxp += 1 2 22 又yp=，所以通解 21 23 2 3 1 cecxxxy x += 三、),(yyfy= 缺少x 令yp=，则 dy dp p dx dy dy yd y= = ，代入，得),(pyf dy dp p= 设其通解为),(cyp=，则),(cyy=，即dx cy dy = ),( ，积分即得。 【例 3】 3 2yy = ，1)0()0(= yy 求特解。 解：令yp=，则 dy dp py = ，从而 3 2y dy dp p=，dyypdp 3 2= 积分，得 22 1 2 1 1 42 c yp+= 由1)0()0(= yy，得0 1= c 所以 2 yp= 由1)0(= y 知 dx dy yp= 2 所以 2 1 cx y += 由1)0(=y知1 2 =c x y = 1 1 【例5】 求 2 )(1yy+= 的通解。 解：此题既缺少x，又缺少y。从理论上，按以上两种方法都能算出结果，但可能难度有差别。 此题课堂上当场做，检查学生的能力。 第七节 二阶线性微分方程解的结构 一、 函数的线性相关与线性无关 定义 1：设)(,),(),( 21 xyxyxy n 是定义在区间 I 上的函数，如果存在不全为零的数 n kkk, 21 ，使得 0 2211 + nny kykyk则 称)(,),(),( 21 xyxyxy n 在 区 间I上 线 性 相 关 。 否 则 ， 称 )(,),(),( 21 xyxyxy n 在区间 I 上线性无关。 命题 1：设)(),( 21 xyxy是定义在 I 上的函数，则)(),( 21 xyxy线性无关 )( )( 2 1 xy xy 不恒为常数。 注 1:若)(),( 21 xyxy线性无关，则)()( 2211 xykxyk+无法合并成)(xky，但当)(),( 21 xyxy线性相关可以合 并。 二、 二阶线性微分方程及其解的结构 定义 2：称形如：)()()(xfyxQyxPy=+ 的方程为二阶线性非齐次方程。若0)(=xf，则方程为齐次的， 若0)(xf，则称方程为非齐次的。 定理 1：设)(),( 21 xyxy是0)()(=+ yxQyxPy的两个线性无关的解，则)()( 2211 xycxyc+为方程的 通解。 定理 2：设y是)()()(xfyxQyxPy=+ 的特解。)()( 2211 xycxyc+是对应的齐次方程的通解，则 =yy)()( 2211 xycxyc+是)()()(xfyxQyxPy=+ 的通解。 定理 3： 设 1 y， 2 y分别是)()()( 1 xfyxQyxPy=+ 与)()()( 2 xfyxQyxPy=+ ， 则 1 y 2 y 是 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy+=+ 的解。 【例 1】设 xxxxxxx eexeyexeyexey +=+=+= 2 32 2 1 ,是某二阶线性非齐次方程的解，求该方程的通 解。 解： 211 yyY=， 312 yyY=，又 xx xx ee ee Y Y + = 2 2 2 1 不恒为常数 所以， 21,Y Y线性无关。故通解为 xxxxx exeeececy 22 21 )(+= 第八节 二阶常系数齐次微分方程的解法 一、 二阶常系数线性齐次方程的解 二、 定义:称形如0=+ qyypy (1),其中qp,为常数的方程为二阶常系数线性齐次方程. 下面我们来讨论其解的结构. 命题 1: rx e是0=+ qyypy的解r是0 2 =+qprr的解,并称0 2 =+qprr(2)是(1)的特征 方程. (i) 当特征方程(2)有两个不同的实根 21,r r时,则 xr ey 1 1= , xr ey 2 2 =时方程(1)的两个解,且 2 1 y y 不恒为常数,从 而方程(1)的通解为 xrxr ececy 21 21 +=. (ii) 当rrr= 21 时,则 xr ey 1 1= 是(1)的一个解.现在求另一个线性无关的解 2 y.设)( 2 xu e y rx =,代入(1)得 0)()2( 2 =+ qprrupruerx ,0, 02 2 =+=+qprrpr所以0= u 则xccxu 21 )(+= 取xxu=)(,则 rx xey = 2 通解为: rxrx xececy 21 += (iii) 当ir= 2, 1 ,则 xr ey 1 1= , xr ey 2 2 =,应用欧拉公式,得 )sin(cos 1 xixey x +=, )sin(cos 2 xixey x = 构造 xeyyY x cos)( 2 1 211 =+= xeyy i Y x cos)( 2 1 212 = 显然 21,Y Y线性无关,故通解为: )sincos( 21 xcxcey x += 例 1 求通解 (1) 02=+ yyy (2) 032=+ yy (3) 0=+ yy 解: (1) 特征方程为 012 2 =+ rr 则1 21 = rr 从而通解为 xx xececy += 21 (2) 特征方程为032 2 =+ rr 则1, 3 21 =rr 从而通解为 xx ececy 2 3 1 += (3) 特征方程为01 2 =+r 则ir= 2, 1 从而通解为 xcxcysincos 21 += 二.n 阶常系数线性齐次方程 0 1 )1( 1 )( =+ yayayay nn nn (1) 特征方程为0 1 1 1 =+ nn nn ararar (2) (i) 当(2)中有单根时,(1)的通解中含: rx ce; (ii) 当(2)中有k重根时,(1)的通解中含: rxk k excxcc)( 1 21 + (iii) 当(2)中有一对单复根时, ir= 2, 1 ,(1)的通解中含: )sincos( 21 xcxce x + (iv) 当(2)中有k重单复根时,(1)中的通解含有: xexcxcc rxk k cos)( 1 21 +xexcxcc rxk k sin)( 1 21 + 例 2 求022 )4( = + yyy通解. 解: 特征方程为022 234 =+rrr 则0 21 = rr,i