（基础数学专业论文）混沌同步理论及在密码学中的应用.pdf

摘要 从上世纪9 0 年代开始，混沌在保密通信中的应用受到了越来越 多的关注，这是因为混沌与保密通信有着天然的联系，混沌动力系统 的某些特性对应于保密通信中的安全特性，反之，保密通信中的安全 特性又要求保密系统有相应的混沌特性。关于混沌在保密通信中的应 用，一般而言，目前存在两种不同形式的模式：一种是基于模拟信号 的混沌保密通信系统( 主要是基于混沌同步的概念) ；另一种是基于 计算机数字通信的混沌加密系统。 混沌系统有很好的保密通信特性，例如内在随机性、对初值和参 数的极端敏感性等等。同时，混沌系统也是可以控制的，即混沌同步。 本文共分四个章节，主要内容是：研究了一种新的混沌同步方法， 并将该方法应用于混沌掩模保密通信，验证了其有效性和可行性。 首先，介绍了混沌学的发展过程和意义，阐述了通信系统的一般 要求和混沌在保密通信中的应用潜力，综述了国内外现有的混沌同步 保密通信方法，其中包括：混沌掩盖、混沌切换，混沌调制等等。 接着，对实现混沌同步的各种方法进行了深入的研究，p e c o r a c a r r o l l 同步，因为该方法对有些系统是失效的，所以提出了实现混沌 同步的另外一种驱动一响应同步，实现了p e c o r a - - - c a r r o l l 方法所不能 实现的混沌同步；自适应同步，给出了自适应同步的定义，讨论了吕 系统的自适应同步，并进一步讨论了未知参数的自适应同步；反馈同 步，对l o r e n z 系统实现反馈同步须满足的条件进行了研究：耦合同 步，讨论了单变量的耦合同步；并对各种同步方法进行了比较，给出 了混沌同步的研究方向和发展前景。 然后，在分析了现有混沌同步方法的特点后，提出了一种新的混 沌同步方法，该方法具有以下优点：既可以实现同构混沌系统的同步， 也可以实现异构混沌系统的同步，既可以应用于连续系统也可以应用 于离散系统，同步时不需要考虑初始条件，也不需要计算条件 l y a p u n o v 指数。大量的仿真结果表明了该方法的有效性。 最后，将这种新的混沌同步方法应用于混沌掩模保密通信系统 中，进行了保密通信的仿真研究，大量仿真结果表明了该方法的有效 性和可行性。 关键词：混沌，保密通信，混沌同步，混沌掩模通信 a b s t r a c t s i n c et h e1 9 9 0 so f2 0 mc e n t u r y , t h ei d e ao fu s i n gc h a o ss y s t e m st o t h es e c u r ec o m m u n i c a t i o nh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n t h eu s e o fc h a o si nt h es e c u r ec o m m u n i c a t i o nd e p e n d so nt h en a t u r a lc o n n e c t i o n b e t w e e nt h et w or e s e a r c ha r e a s s o m ec h a r a c t e r i s t i co fc h a o ss a t i s f i e st h a t o ft h es e c u r ec o m m u n i c a t i o n w h e r e a s ，t h es e c u r ec h a r a c t e r i s t i co ft h e c o m m u n i c a t i o nr e q u i r e st h es e c u r es y s t e mp o s s e s s e st h ec h a o t i cc h a r a c t e r a sf o rt h ea p p l i c a t i o no fc h a o si ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n ，t h e r ea r et w o d i f f e r e n tk i n d s o n ei st h ec h a o t i cs e c u r ec o m m u n i c a t i o nb a s e do nt h e a n a l o gs y s t e m ( m a i n l yb a s e do nt h ei d e ao ft h ec h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ) t h eo t h e ri st h ec h a o t i cc r y p t o l o g yb a s e do nt h ed i g i t a ls y s t e m t h ec h a o t i cs y s t e mh a sn i c ec h a r a c t e r i s t i co fs e c u r ec o m m u n i c a t i o n ， s u c ha sr a n d o n m e s s ，t h ee x t r e m es e n s i t i v i t yt ot h ep a r a m e t e ra n dt h e i n i t i a lv a l u e m e a n w h i l e ，c h a o t i cs y s t e mc a nb ec o n t r o l l e d ，c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n t h ea r t i c l ec o n t a i n s4p a r t s t h em a i nc o n t e n ti st h a tw ea n a l y z e da n e wm e t h o do fs y n c h r o n i z a t i o n ，a n dt h i sm e t h o di s a p p l i e dt oc h a o s m a s k i n gs e c u r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m f i r s t l yt h ed e v e l o p m e n ta n ds i g n i f i c a n c eo fc h a o sa r ei n t r o d u c e d t h eg e n e r a lr e q u i r e m e n to fc o m m u n i c a t i o ns y s t e ma n dt h ea p p l i c a t i o n p o t e n t i a l i ns e c u r ec o m m u n i c a t i o na r e e x p a t i a t e d t h e c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o ns e c u r ec o m m u n i c a t i o nm e t h o d sh o m ea n da b r o a da r e a l s os u m m a r i z e d ，i n c l u d i n g ：c h a o t i cm a s k i n g ，c h a o t i cs w i t c h i n g ，c h a o t i c m o d u l a t i o n ，a n ds oo n s e c o n d l y , w ed e e p l y d i s c u s s e dv a r i o u sc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n m e t h o d s t h em a i nr e s u l t sa r e ( 1 ) t h em e t h o d st oo b t a i ns y n c h r o n i z m i o n ： p e c o r a - c a r r o l l s y n c h r o n i z a t i o n ，d r i v i n g r e s p o n s e s y n c h r o n i z a t i o n ， f e e d b a c k s y n c h r o n i z a t i o n ，s e l f - a d e p ts y n c h r o n i z a t i o n a n d c o u p l e s y n c h r o n i z a t i o n w ea l s oi n t r o d u c et h ew a y t h a tc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni s p u ti n t ou s ea n dp o i n to u ts o m ep r o b l e m ss h o u l db es o l v e d t h e nt h ef e a t u r e so fe x i s t i n gc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d sa r e a n a l y z e d a n o v e lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d si sp r e s e n t e d ，w h i c hh a s t h ef e l l o wa d v a n t a g e s ：s y n c h r o n i z a t i o nc a nb er e a l i z e df o rn o to n l y a l i k e - s t r u c t u r ec h a o ss y s t e mb u ta l s od i f f e r e n t - s t r u c t u r ec h a o ss y s t e m ， n o to n l ya p p l y i n gt oc o n t i n u o u ss y s t e mb u ta l s ot od i s c r e t es y s t e m ，i ti s n o tn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ei n i t i a lc o n d i t i o n si ns y n c h r o n i z a t i o n ，a n dn o n e c e s s a r y t oc a l c u l a t e c o n d i t i o n a l l yl y a p u n o ve x p o n e n t al o t o f s i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o d f i n a l l yt h en o v e lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nm e t h o di s t h e na p p l i e dt o c h a o s m a s k i n g s e c u r ec o m m u n i c a t i o n s y s t e m a n ds i m u l a t i o ni s p e r f o r m e d m a n ys i m u l a t i o n si n d i c a t et h ev a l i d i t yo f t h em e t h o d k e yw o r d s ： c h a o s ， s e c u r e c o m m u n i c a t i o n ，c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n ，c h a o t i cm a s k i n g c o m m u n i c a t i o n 第一章绪论 第一节课题研究的目的和意义 所谓混沌，就是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的、随机的现象。 从2 0 世纪6 0 年代开始迅速发展，并在7 0 年代得到了基本确立。混沌理论和密 码学之间存在着天然的联系，许多混沌的基本特征( 如遍历性( e r g o d i c i t y ) 、混 合性( m i x i n g ) 、确定性及对初值和参数的极度敏感性) 都与s h a n n o n 关于密码 学的混淆( c o n f u s i o n ) 和散布( d i f f u s i o n ) 的特性相联系。因此，利用混沌系 统研究密码学问题就成为必然。 混沌系统在密码学中的应用，一般有两种途径，一是应用于模拟信号的加密 中，主要是利用混沌系统同步的特性；二是应用于数字信号的加密，主要是利用 混沌系统的遍历性及对初值、参数的极度敏感性，以及混沌系统的一些其它良好 的密码学特性。 对混沌同步的研究，一般是与控制理论相联系的。在2 0 世纪9 0 年代，特别 是o t t , g r e h o g l 和y o r k e 等l l 】关于混沌控制理论的提出，以及由于p e c o r a 和 c a r r o f l 关于混沌自同步现象的发现1 2 ，使得非线性动力学系统及其混沌的研究 进入了一个新的发展阶段，人们开始运用传统的控制工具对混沌动力系统进行控 制与同步，比如涉及控制器对混沌系统进行稳定控制、对某个混沌系统进行跟踪 等等。 对于混沌在数字通信中的应用，一般是对应于计算机上实现数字化混沌密码 系统，在以前的研究中，该内容与混沌同步技术无关，但是，文【4 】研究了一类 可以将混沌同步应用到数字通信中的密码算法，因此，将混沌同步应用到数字通 信也是一个有益的尝试。 第二节非线性动力学系统及混沌 一、非线性动力学系统 按照不严格的数学语言来说，动力系统是研究系统解的性质的科学，这是因 为许多系统的解是无法求出的，在这种情况下，只能借助于别的手段来讨论解的 性质。如果系统状态按照某一确定的非线性规则随时间变化，且系统中不含任何 随机因素，则称该系统为非线性动力系统。描述系统所需的状态变量的个数称之 为系统的相空间维数，而相空间即为状态变量在其中随时间演化的空间，又称之 为状态空间。按照系统状态的变化关于时间是否连续，可以将系统分为连续系统 和离散系统。 连续的非线性动力学系统常用非线性微分方程表示： 膏= 厂( 工) ( 1 1 ) 其中x = x ( ，) = h ( o ，而( ，) ，毛( f ) 】7 r ”为盯维向量，且关于时间f 是连续的， f ：m 寸是定义在一个d ( d 丹) 维流形上的光滑函数，称之为矢量场。给定初 始条件x ( o ) = x o ，可得方程( 卜1 ) 的唯一解，记为o ，( 而) = o ( x o ，) ，其中 m ：m 寸掣称为由矢量场厂产生的流将连续点集 中，( x o ，f ) ，一 0 ，使得对于v 七n ，而+ r = 屯，则称 坼) k 。- 。为( 卜2 ) 的一个周 期解。 拟周期解( q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n ) 拟周期解可用可数个周期解之和表示， 且这些周期解的频率可以表示为有限多个基频的线性组合。拟周期解的极限集是 状态空问中的环面。 混沌( c h a o s ) 目前尚无统一的定义，一般情况下认为，将不是由随机性 外因引起的，而是由确定方程直接得到的具有随机性的运动状态称之为混沌。 二、混沌系统的特性 混沌是发现于2 0 世纪7 0 8 0 年代的一种重要的动力学现象，至今尚未有统 2 一的定义，现在常用的有：l i - y o r k e 意义下的混沌、d e v a n e y 意义下的混沌、 m a r o t t o 意义下的混沌1 9 j ，但是，不管是哪种对于混沌的定义，均描述了混沌系 统的如下动力学特性： 初值、参数微小变化的极端敏感依赖性：混沌系统初值、参数有微小的差别， 其长期运动轨迹将有很大的不同； 不可预测性：混沌函数的行为长期不可预测； 确定性：混沌系统是一个确定的非线性系统，它的行为是由非线性系统本身 的特性确定的； 遍历性：混沌系统的状态在理论上可以达到状态闭包中的任何一点。 三、混沌动力系统的度量 在具体的工作中，常常需要判断一个函数是否表现出混沌的特性，即判断一 个函数是否为混沌函数，常用的工具有计算函数的l y a p u n o v 指数、k o l m o g o r o v 熵、分数维、进行谱分析脚以及运用现有结论等等。下面我们只对上y a p u n o v 指 数( 一维情形) 及常用的结论作个简单的介绍。 ( 一) l y a p u n o v 指数 定义1 1 9 1 ：称 a ( 粕) ：l i m l l o g n “疗 ( 1 - 3 ) 为映射，：p ，明_ r 的l y a p u n o v 指数，其中，e c 【口，】，为初值。 由复合函数求导的链式法则，可得： 五( 而) = 炮击l n 叭薯) i ( 1 4 ) n 胛磊。 其中x i = ( ) ，t = 厂( - ) 。 判据1 t s ：如果函数，的l y a p u n o v 指数a ( ) o ，则，为混沌函数。 ( 二) 混沌信号的周期特性嗍 由d e v a n e y 混沌定义可知，混沌系统应有稠密的周期点，在维迭代混沌系 统中，s a r k o v s k i i 定理给出了更为深刻的结论，在阐述之前，我们给出一个次序 关系： 3 j 5 7 9 j 2 x 3 j 2 x 5 j 2 x 7 j 2 x 9 j 2 2 x 3 ；2 2 x 5 j 2 2 7 j 2 2 x 9 j 2 4j 2 3 j 2 2j 2 等1 定理1 1 旧( s a r k o v s k i i 定理) 假设，：r r 连续，f 有以t 为周期的周期 点，如上面次序中的k j ，则f 也有以，为周期的周期点。 以上定理可以推出著名的结论：“周期3 导致混沌”，即若有一个连续的迭代 系统具有以3 为周期的周期点，它就具有一切自然数周期点。 第三节混沌同步及在保密通信中的应用现状 一、混沌同步定义及研究现状 本文采用文献【8 】中混沌同步( s y n c h r o n i z a t l o n ) 的定义： 定义1 2 【8 1 ：考虑两个动力系统膏= f ( t ，功和r = f ( t ，力，其中t r + 为时间， x ，一掣为系统状态，两个系统的解分别表示为x ( t ，t o ，x o ) 和善( f ，t o ，) ，也就 是两个系统的运动轨迹。称y c = f ( t ，曲和，= f ( t ，一) 同步，如果存在d ( t o ) g r 4 ， x o ，d ( t o ) ，使得当f 斗佃时，有 0 x ( t ，f o ，x o ) - - x ( ，t o ，膏；) 0 斗0 ( 卜5 ) 如果d ( t 。) = r “，则称为全局同步；如果d ( t o ) c - r ”，则称为局部同步，d ( t 。) 称 为同步区域。 以上同步定义不仅适用于混沌同步，而且也适于非混沌同步，既适用于自 治系统的同步，也适用于非自治系统的同步，甚至可以适当拓广到超混沌的同步。 上述定义告诉我们：对于响应系统初始条件的选择是很重要的，必须落入 同步区域内，才能达到与驱动系统同步。 混沌控制方法和混沌同步原理是在1 9 9 0 年先后提出，前者由美国马里兰大 学的物理学家o t t , g r e b o g i 和y o r k e 提出，称为o g y 方法，后者是由美国的海军 实验室的学者p e c o r a 和c a r r o l l 提出【2 ”，即用一个混沌系统( 驱动系统) 中的 某一个信号驱动另一个系统( 相应系统) ，如果系统中含有l y a p u n o v 指数皆为负 的子系统，则两个系统将会达到同步。利用这一思想，他们在电子电路上首先实 现了混沌同步。随后，国际上混沌控制方法及其实现的研究迅速发展，混沌同步 也获得了进一步拓广。 随着混沌控制的发展，与传统的混沌控制相结合研究混沌的稳定性、鲁棒 性、自适应性等问题也随之兴起，同时，与控制理论相关联的两个系统的同步问 题也得到了进一步的发展。其实，总体来说，混沌同步是属于混沌控制的范畴。 现在，混沌同步在理论研究的广度和深度方面都有了进一步的提高。首先，混沌 同步的对象由低维混沌扩展到一定条件下的高维混沌，混沌同步的形式由单级发 展到级联的形式，同步的概念本身也发生了很大的变化，由最初“完全相等”的 概念发展到发、收系统之间具有一定函数关系的广义同步，同步的方法也已经超 越了p e e o r a 和c a r r o w 提出的驱动响应方案，同步和控制越来越密不可分；主 从分解、自适应等许多新方法应运而生。同步驱动信号由最初的连续时间信号发 展到离散脉冲序列。 4 二、混沌在保密通信中的应用现状 随着混沌同步理论的深入研究，其在保密通信中的应用成为一个重要的研究 方向。从目前混沌在保密通信中的应用可以看出，混沌理论的应用范围主要有两 个方面的内容：( 一) 基于同步的保密通信理论；( - - ) 基于数字加密形式的应用。 下面我们将在这两个方面对混沌的应用现状作一个简要的介绍： ( 一) 基于混沌同步的保密通信应用 由于混沌信号有较宽的频谱和近似噪声性，使得同步混沌信号被用于产生通 信中的密码，一些模拟或数字的信号可以被隐藏在混沌信号中，在另一个接收端， 混沌系统的一个同步者产生密钥来解密信号。这样，在同步系统中，驱动系统是 传送者，响应系统是接收者，密钥是系统的参数。在通常的通信中传送宽波段的 混沌信号，可以防止信号衰减以及其它被截获的可能。 混沌同步技术在保密通信中的应用1 4 9 - 2 6 1 ，主要有如下的三个主题：混沌掩 盖( c h a o t i cm a s k i n g ) 、混沌切换( c h a o t i cs w i t c h i n g ) 、混沌调制( c h a o t i c m o d u l a t i o n ) 。 1 混沌掩盖( 混沌掩模) 混沌掩盖是最早利用混沌实现保密通信的方法，该方法的基本思想是：利用 混沌信号的光谱、似噪声的特性，将混沌信号作为载波，传送信号直接加入到混 沌信号中。如果加入的信号很小，那么信号将完全“掩盖”在混沌噪声中，无法 用常规的频谱分析方法进行解密。在接收端，接收者有一个相同的混沌系统同步 于传输混沌系统，这样可以恢复出传输的原始信号。如图1 - 1 所示： 图卜1 混沌掩盖：基于混沌的直接的信息处理方法 在上述混沌掩盖的通信方法中，如果当t - - 9 , o o 时，接收端的混沌系统同步与 发送端的混沌系统，即y ( f ) 一y ( t ) 一0 ，则此时有： m ( f ) = ( y ( f ) + m ( t ) ) - y 7 ( ，) 埘( r ) ( 1 6 ) 因此，可以恢复出原始信号。 2 混沌切换 混沌切换键控是针对二进制信号而提出的一种基于同步的保密通信方式，调 制的二进制信号相当于一个切换开关，其流程如图1 2 所示。设传输信号m ( t ) 是 二进制的，在传送端，一个切换键用于监控，它改变混沌驱动系统的参数值，依 赖给定的肌( r ) 的值，当m ( ，) = o 时对应的参数为兀，相应的混沌吸引子为p 。；当 m ( t ) = 1 时，对应的参数为z ，相应的混沌吸引子为p l 。在二进制信号的作用下， 5 发送端的混沌系统在两个混沌吸引子p 。和a 之间来回切换，这样，混沌系统的 输出信号是二进制输出信号m ( t ) 调制后的信号。此时，混沌化了的信号传送到了 接收端的两个与发送端分别完全一致的混沌系统，这两个混沌系统与分别对应参 数值 和石，相应的两个接收端的混沌系统叫做矗子系统和z 子系统。 耳筐寻 ：一垡燮一j 图1 - 2 混沌切换键控 当驱动系统的键控位于五值处时，接收端拥有相同的厶值子系统与之同步， 而另一个石子系统却与之不同步，因此，当t m 时，对应于五子系统的同步误 e o ( 0 斗0 ，而对应于z 子系统的同步误差q ( f ) 却明显放大；反之，当键控位 于另一个位置时，相反的情况会发生。因此，信m ( t ) 可以从两个误差信号p 。( r ) 和岛( ，) 中捕捉到。 通常的混沌键控方法比混沌掩盖技术有更好的鲁棒性，但是，由于传送的 是二进制信号，同时需要键控的时间，因此，混沌键控方法的信号传输率很低。 3 混沌调制 在混沌掩盖加密方案中，传输信号直接加入到混沌载波信号中，不影响驱动 系统的动力学行为，而在混沌调制加密方案中，传输信号作为驱动混沌系统的输 入，将改变驱动系统的动力学行为。 在混沌调制中，比较有名的是混沌逆系统的同步方法，混沌系统作为发送方， 而它的逆系统作为接收方，其框图如下所示： 发送端接收端 图卜3 混沌逆系统调制 在发送端，信息m ( t ) 作为控制信号对混沌系统进行调制，调制后的驱动信号 ) ，( ，) 作为接收端的输入，接收端的混沌系统与在发送端的混沌系统达到同步后， 就可以恢复出信息信号m ( t ) 。在该体制中，由原系统和e 。共同实现的传输系 统满足： j ，( ，) = ( m ( f ) ，) ( 1 7 ) 加( f ) = ( y ( ，) ，磊) ( 1 8 ) 其中将输入信号州砂转换为驱动信号y ( o ，而逆系统“则通过逆变换由 y ( t ) 得到恢复信号m ( r ) 。 ( 二) 基于数字加密的混沌的应用 混沌在数字加密中的应用起始于2 0 世纪8 0 年代末1 2 7 ，在该文献中，m a t t e w s 用一个推广的工昭缸廊映射 矗“2 9 ( x d = ( 户+ 1 ) ( 1 + 4 ( 1 一矗) 4 ( 卜9 ) 作为迭代映射，其中1 s 卢4 ，迭代的初值0 x o 0 ，则驱动系统和响应系统是同步的。 二、基于p c 的同步设计 以l o r e n z 系统的某状态变量的输出来控制与其具有相同系统参数的二维 响应系统，考察驱动系统与响应系统问的同步f 川。 首先给定l o r e n z 系统： f 毫= 盯( m x o 巍= 西毛+ ，而一乃 【南= 五儿 响应系统由置驱动 在x i 驱动下，相应的响应系统可表述为 胁2 - x 1 9 2 + 7 x i 一乃 【z 2 2 x i y 2 一b z 2 用微分方程组( 2 5 ) 减去方程组( 2 - 6 ) 后，两式的误差系统为 f 矽= 一而圪一砂 【堙= 五哆一b v z 选取l y a p u n o v 函数v ( z x ，矽) = 【( 啪2 + ( 圪) 2 2 ，其对时间的导数为 t = 眇( 一毛v z - v y ) + v z ( x l v y - b v z ) = - ( 矽) 2 6 ( 圪) 2 o ) ，其对时间的导数 t = a t ( 一a v x ) + p 2 ( p 勾1 一b v z ) = 一五仃( 啪2 + y , v x v z - b ( v z ) 2 - o 的区域内 帝乏一五盯( p ”2 + ( a 盯+ r z 1 ) v x v y 一( 哆) 2 1 0 假定a v x v y b v x ( a , b 0 ) 在该范围内有 t 一, t a ( v x ) 2 + ( 2 口r + r ) v x a v x k y x b v y b 2 ( 玩) 2 = ( a 盯+ r ) 口一a 盯一6 t 一6 2 ( 乃c ) 2 若a ( 矿+ 抛一甜) ，【仃0 1 ) 】且选取a , b 的值a - 1 o ，b o 及b 2 + b k z o r o 或者口 o a - ! o 及b 2 + 魄一a r o 在区域a v x _ 哆 0 ， 根据切达耶夫不稳定定理可知，系统是不稳定的。 三、数值模拟 下图是混沌一响应系统由而驱动时，响应系统和驱动系统达到同步的哆，圪 随时间的变化图。 图3 1 响应系统由而驱动达到同步，v y ，v z 随时间变化图 利用p - c 同步原理，我们知道当响应系统由而，m 驱动时，响应系统和驱 动系统达到同步，但是，当由五驱动时，响应系统和驱动系统不能达到同步。 第三节驱动一响应同步 一、驱动一响应同步原理 同步是自然界中的普遍现象，混沌系统、超混沌系统的同步问题已得到广 泛研究，取得了丰富的研究结果。许多同步方法已经得到深入研究，其中开创性 的工作是p e c o r a 和c a r r o l l 提出的驱动响应同步方法i l ”，在此方法中响应系统 是直接复制驱动系统的稳定子系统。但是响应系统可以不必复制驱动系统的稳定 子系统，即响应系统可以来源于驱动系统中的不稳定子系统。更普遍的是任意选 取驱动系统中的多个变量组合为响应系统。下面的驱动一响应同步方法比p e c o r a 和c a r r o l l 的驱动一响应同步方法更具有普遍性。研究结果显示，这里的驱动一 响应同步方法优于p e c o r a 和c a r r o l l 的驱动一响应同步方法，能实现p e c o r a 和 c a r r o f l 方法所不能实现的混沌同步。对下面( 2 - 1 2 ) 式的动力系统 戈= f ( x 、 ( 2 1 2 ) 其中x = o 。，屯，矗) 掣，f = ( f l ，正，z ) 都是连续的。设童代表系统( 2 1 2 ) 的任意n - m 个分量，为书写方便，记为j = ( x 。，x 2 ，k ，) r “一，j 代表除开j 的剩下的m 个分量，记为 x = ( 。l ，毛) r ” f = ( _ ，0 ，“，z ) l 肼稽 户是j 对应的m 个表达式( 2 - 1 2 ) 中的m 个方程。该系统( 2 - 1 2 ) 的m 维 子系统是 x = f ( x ( f ) ，) ( 2 1 3 ) 构造m 维新系统如下式 l ，= g ( d ( x ) ，y ) ( 2 1 4 ) 此处，y r 4 ，d ( x ) 是标量或矢量函数，称为驱动函数。此函数的自变量 是系统( 1 - 1 2 ) 的状态变量，系统( 2 - 1 4 ) 是响应系统。 设x ( t ) 是系统( 2 1 2 ) 的解，】，( ，) 是系统( 2 1 4 ) 的解则 骢l f o n o l l = o ( 2 一1 5 ) 则称系统( 2 1 3 ) 与系统( 2 1 4 ) 达到了同步，此时可为混沌同步、周期 同步等。实际上，系统( 2 - 1 3 ) 的解地) 是系统( 2 - 1 2 ) 解的一部分，故系统( 2 1 3 ) 与系统( 2 1 4 ) 达到了同步。 特殊的取d ( ) = 岩，g ( d ( x ) ，y ) = ，( j ，y ) ，此处j 不包含系统( 2 1 2 ) 的稳定子系统的变量，即此时子系统( 2 - 1 3 ) 是系统( 2 1 2 ) 的稳定子系统，则 上面的同步就是p e c o r a 和c a r r o l l 的驱动一响应同步，所以这里的驱动一响应同 步更具有普遍性。 二、驱动一响应同步设计 1 2 l o r e n z 系统 i 毫= c r ( y i 一而) 免= 一z i + y x i h ( 2 1 6 ) 【毛= x l y i 一6 z l 前面我们讨论过，当驱动系统由z 。驱动时，响应系统和驱动系统不能达到同步。 但足我们构造驱动系统如下 j 南钉( y 2 一x 2 ) ( 2 - 1 7 ) 【见= 一y 2 一o x 2 + ( r + 盯) 一而z l 这里( o ，( r + a ) x x z ) 的转置是响应系统( 2 1 6 ) 的驱动函数。 ( 2 - 1 6 ) 一( 2 1 7 ) 式得到 j 瞻2 盯( 矽一嘲( 2 一1 8 ) 【矽= c r v x v x y 这里取l y a p u n o v 函数y ( v y ，玩) = 【( 政) 2 + ( 砂) 2 2 ，容易得到f ( v y ，玢) 0 ，利用 l y a p u n o v 渐进稳定性定理易得响应系统( 2 1 6 ) 和驱动系统( 2 1 7 ) 可以达到 混沌同步。 以r o s s l 盯系统【1 0 1 为例 f 南= 一m z l 免= 五+ 明 ( 2 1 9 ) 【毛= b + z l ( x i 一力 当a = b = 0 2 时，系统处于混沌状态。而且我们知道，当五作为驱动变量， 不稳定子系统作为响应变量系统时，响应系统不能同原系统( 2 1 9 ) 达到混沌同 步。这里的驱动响应同步则可以实现子系统( y ，z ) 与系统( 2 1 9 ) 的混沌同步， 此时构造响应系统如下： j 兜2 而十a y 2 + 2 口( y l y 2 ) ( 2 - 2 0 ) 【三2 = b + z 2 ( 而一c ) + ( 毛一乞) 驱动函数为d = ( x + 2 a y i ，毛( 西一f + 1 ) ) 7 ，令q = 一一兄，e 2 = z i - z 2 。构造能量函数 e = ( 砰+ 4 ) 2 易得应= q 岛+ e 2 e 2 s o ，根据l y a p u n o v 渐进稳定性定理可知，系统( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 可以达到混沌同步。 三、数值模拟 上面的响应系统不是直接复制原系统的子系统，所以构造驱动函数和响应 系统的形式是相当灵活和丰富的，其驱动一响应方法能够实现p e c o r a 和c a r r o l l 的驱动一响应同步方法不能实现的混沌同步，同时对于超混沌系统，也能方便地 实现驱动系统和其响应系统的混沌同步。 第四节自适应同步 一、自适应同步定义 图3 2 驱动一响应同步 自适应控制理论【1 4 】是一种经典的控制理论，适用于多维，多参数、强非线 性系统的控制。当受控混沌系统的参数已知且针对实际系统所建立的数学模型准 确时，采用常规的控制方法能够取得较好的控制效果。但是，工程实际中系统的 参数常常是未知的，与此同时，系统的建模过程也会不可避免的存在未建模的动 态不确定性，这种情况下，常规的控制器就不能取得优化的控制性能指标。传统 的控制方法一自适应控制被引入到混沌系统的控制当中后，有效地解决了这个 问题。自适应要求目标系统具有可控参数，参数的控制量是两个系统变量值查获 它们的函数，其控制形式决定了同步效果。自适应控制混沌同步有很多控制方法， 可以根据具体的混沌系统采用不同的控制策略和方法u ”。 考虑如下两个混沌系统 j2 a x + 船( x ，) + “( 7 ) ( 2 2 1 ) x ( o ) = x 0 r ” 夕= a y + b g ( y ，) r ( 0 1 = r o r ” 1 4 ( 2 - 2 2 ) 其中g ：r “r r m , x r ”，y e r ”，甜( ，) r ”，a r ”，b r ，( _ ，研可控。 记e ( t ) = x ( t ) - y ( t ) ，控制的响应系统( 2 2 1 ) 与驱动系统( 2 2 2 ) 同步的问题就 是要求寻找一个适当的控制 u ( o = h ( x ，j ，r ) 使得 鳃睁( f ) 一v 0 ) l l = l i ml e ( f ) i l - o 成立。 混沌系统( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 的同步问题可以转化为对误差系统进行分析， 误差系统为 a = 彳p ( f ) + b ( g ( x ，t ) - g ( y ，f ) ) + “( f ) 假设1设混沌系统( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的非线性部分g ：r 4 x r 专胪，满 足l i p s e h i t z 条件，即 慨x ，f ) 一g y , t ) l l - r u x - y l i ( 2 2 3 ) 其中，x q i c 肜，j ，q 2 c r ”，q l ，q 2 分别为( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的状态 空间，为l i p s c h i t z 常数。 系统( 2 2 1 ) 具有广泛的应用前景，许多实际的混沌系统均由线性部分和 非线性部分组成，如著名的c h a u 电路、r o s s l e r 混沌系统、l o r e n z 混淹系统等均 如此。并且，在混沌控制和同步化问题中，外加控制的形式在某种情况可人为选 取，这也是混沌控制和同步化问题所具有的特殊性，这和以往一般意义下的控制 问题有所不同，故我们可通过人为的选择b ( 外加控制形式) 来满足( 2 - 2 1 ) 式。 假设l 看起来不容易做到，其实由于混沌系统的吸引子具有有界性，故几 乎所有混沌系统中的非线性都可以被看作满足l i p s e h i t z 条件，至少局部满足 l i p s e h i t z 条件。如c h u a 电路中的非线性部分满足全局l i p s c h i t z 条件，r o s s l e r 和l o r e n z 混沌系统中的非线性部分满足局部l i p s c h i t z 条件。 二、自适应同步设计 吕系统的自适应同步0 5 1 吕系统描述 ( 2 2 4 ) 当o i = 3 6 ，吒= 3 ，1 2 7 如 1 7 0 ，1 8 0 c r 2 2 2 0 ，2 3 0 0 - 2 2 9 0 ， 2 9 2 3 3 4 o 时。 证明令e l = 而一而，e 2 = 乃一咒，巳= 毛一乃，因为系统( 2 - 2 4 ) 是混沌吸 引于，则x , y ，z 碉界，1 殳它们的上界分别为 t ，帆， t 。 i 岛= a r i ( e 2 一e 1 ) 岛= 一毛4 - x z + o 2 e 2 一屯吃 ( 2 2 6 ) l 岛2 五m - x y - 乃e 3 构造l y a p u n o v 函数 燃，= 三篇州睁扣彬 这里是常数，( 2 2 6 ) 对时闻的导数为 讹轳芸种咖纷吉( t 瑚t = 夏g 去2 q q ( 吃一巳) + p 2 ( 一毛+ 膨+ c r 2 岛+ 屯吃) + 吃( 而m 一砂一码岛) + ( t 一鬈) 蠢 一等“吲弓刊嘲 等巳屹 s 一筹“训卅+ 售圳i 啪i i k i i e i 1 6 这里e = 川圳巳n p = 筹2 ( 筹删2 哆2 吼、2 以 “ 7 一圭c 筹圳c e 训 。 一兰 o 为了保证( 2 2 6 ) 是渐进稳定的，只需要对称矩阵p 是正定的，即p 必须 满足下面的条件： ( a ) 丝 o 2 吧 筹c “，一丢c 筹堋2 。 一等假- a 2 ) + c t 3 。i 孝m - 篁 2 _ 1c 丝2 0 3 删2 。 如果 怠差+ m ：) 2 + 吒，p 是正定的，也就是说，t 是负定二次型 即当，一o d 时，q o ，e 2 一o ，吩呻0 。 第五节反馈同步 一、反馈同步原理 利用混沌系统的同步化已渐进稳定性的关系，对一个完整的混沌系统的复 制系统引入合适的非线性反馈项( 反馈增益与复制系统或原始系统的状态有关) ， 使复制系统的演化一致的趋向原始系统的演化状态，而且在这一过程中没有非同 步化的趋势出现，从而实现这两个混沌系统的同步化。其中附加的非线性反馈项 的形式与系统本身的非线性性质有关，可以用渐进稳定性理论事先确定。一般存 在多种反馈形式，可根据实际需要选择其中容易实现的合适形式。由于这种同步 方法可以在复制系统上实现原始系统的所有状态变量的演化，因而可以使同步化 在混沌通讯等领域中的应用更为方便，同时通过选择合适的反馈参数还可以使同 步化收敛得更快。 考虑一个n 维动力系统 x = f ( j ) ( 2 3 0 ) 其中x 为n 维矢量。 在方程( 1 ) 的基础上建立一个带反馈项的新系统 1 7 墨= f ( x ) + ，( x ，五) ( 2 - 3 1 ) 通过选择合适的f ( x ，五) ，使得当t o d ，f ( x ，x i ) 时0 ，且x ( ，) = x ( f ) ， 也就是说是方程( 2 - 3 0 ) 的解渐进稳定的趋