（基础数学专业论文）紧致系统的混沌性.pdf

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a c ts y s t e m ，t o p o l o g i c a lm i x i n ga n dw e a k l ym i x i n ga r ei m p o r t a n t t ot oi n v e s t i g a t ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n dt o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h eo r b i t so fp o i n t s i fa d y n a m i c a ls y s t e mi st o p o l o g i c a lm i x i n go rw e a k l ym i x i n g ，i tm u s th a v em a n y c h a o t i c p r o p e r t i e su n d e rm a n y k i n d so fm e a n i n g s i nt h i sp a p e rw em a i n l yd i s c u s st h ec h a o t i c p r o p e r t i e so nt h eg e n e r a lc o m p a c ts p a c ea n ds y m b o l i cs p a c e ，t h e nr e a c hs o m ei m p o r t a n t r e s u l t sa sf o l l o w s ： l e txb eas e p a r a b l em e t r i cs p a c ea tl e a s tt w op o i n t s a n df ：xjxb ec o n t i n u o u s i n t h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rd y n a m i c a ls y s t e m so nx ，a n dp r o v e dt h a tw e a k l ym i x i n gi m p l i e s d i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e l e t ( x ，f ) a n d ( y ，g ) b et o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ，fa n dgb es e m i c o n ju g a t e ， w ed i s c u s st h ec h a o t i cp r o p e r t i e sa b o u ti t a sa na p p l i c a t i o n , w ep r o v et h a tfh a sap o s i t i v e l y t o p o l o g i c a le n t r o p yi fa n do n l yi fi th a sa nu n c o u n t a b l yc h a o t i cs e ti nw h i c he a c hp o i n ti s a l m o s tp e r i o d i c k e yw o r d s ：l i y o r k ec h a o s ；d i s t r i b u t i o n a lc h a o s i na s e q u e n c e ；t o p o l o g i c a ls m e i c o n j u g a c y ； a l m o s tp e r i o d i cp o i n t ；w e a k l ym i x i n g 1 1 1 辽。j 狮范人学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 弓i言l 1 基本概念4 1 1 动力系统简介一4 1 2 几种混沌的定义6 1 3 符号动力系统8 2 弱混合与按序列分布混沌9 2 1 相关概念与引理9 2 2 主要定理和证明ll 3 混沌与拓扑半共轭1 3 3 1 相关引理- 1 3 3 2 主要定理和证明_ 1 4 3 3 定理应用1 6 结论17 参考文献18 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 0 致谓 ：1 1 辽宁师范火学硕+ 学位论文 己i吉 jl目 混沌理论基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代，发展壮大于2 0 世纪 8 0 年代，被认为是继相对论、量子力学后，2 0 世纪人类认识世界和改造世界的最富有 创造性的科学领域的第三次大革命。 混沌来自于非线性动力系统。动力系统这一术语是大数学家g d b i r k h o f f 在t 8 2 7 年用“动力系统 为名发表专著时第一次提出的，它不仅是非线性科学的研究对象，而 且是研究非线性“复杂性”的有力工具。 1 9 5 4 年，前苏联数学家k o l m o g r o v 发表了哈密顿函数中微小变化时条件周期运 动的保持一文，该文章涉是灿定理的雏形。后来他的学生a r n o l da l 和瑞士数学 家m o s e rj 给出了严格的数学证明。 7 0 年代初，混沌学研究在多个学科领域同时展开，形成了世界性的研究热潮。1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 联合发表了论湍流的本质，第 一个提出用混沌来描述湍流机理的新观点。此后，判别是否存在吸引子和刻画吸引子的 特征成为耗散系统混沌研究的基本课题。 1 9 7 5 年，美国马里兰大学的李天岩和他的导师y o r k ej 在美国期刊数学月刊上 发表了题为“周期三意味着混沌”的著名文章，他们率先在动力学研究中引入混沌一词， 为这一新兴研究领域确立了一个中心概念。 1 9 7 6 年，美国数学生态学家m a y 发表了具有复杂动力学过程的简单数学模型 的综述文章，在生态学中发现了非常简单的确定性混沌模型即l o g i s t i c 模型。 1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学在国际科学界正式诞生。 1 9 7 8 到1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 在m a v 的基础上发现了倍周期分岔中过程中分岔间距 的几何收敛率，即f r e i g e n b a u m 常数。 2 0 世纪8 0 年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌状态及其混沌的 性质和特点，除此之外还借助于( 单) 多标度分形理论和符号动力学，进一步对混沌结构 进行了研究和理论总结。1 9 8 0 年，法国数学家m a n d e b r o t 用计算机绘出了第一章 m a n d e b r o t 集的混沌图像。p a c k a r d ，t a k e n s 和f a n n e r 等根据w h i t n e y 潜入定理提出了 重构动力学轨迹相空间的方法。g r a s s b e r g e ，p r o c a c c i a 和w o l f 在相空间重构的基础上， 提出了由时间序列计算奇异吸引子的统计特征量( 分形维数，l y a p u n o v 指数等) ，从而使 混沌理论进入实际应用阶段。 动力系统描述的是任意随时间发展变化的过程，这样的系统产生于生活的各个方 面，最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨 紧致系统的混沌性 量都是这个系统中随时间变化的量。混沌行为可以追溯到1 9 世纪法国数学家彭加勒， 他在研究保守系统天体学时发现一个确定的动力方程的某些解具有不可预见性。这实际 是所讲的“混沌现象 。现在人们普遍认为真正的混沌是从1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 对大气湍流模拟开始的。e n l o r e n z 教授于1 9 6 3 年在大气科学杂志上发表了“决 定性的非周期流一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必 然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系。而混沌是非线性系统中 存在的一种普遍现象，它是自然界广泛存在的一种不规则运动，是一种由确定的非线性 动力系统生成的复杂行为。洛仑兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时 候，偶然发现输入初始条件的极细微的差别可以引起模拟结果的巨大变化。 自1 9 7 5 年l i y o r k e 首次用严格的数学语言给出混沌定义以来，混沌的研究对现 代科学的影响，不仅局限于自然科学，而且涉及经济学、社会学、哲学及诸多人文科学， 可以说覆盖了一切学科领域。凡是涉及动力学课程的研究领域，大多都会发生混沌现象， 混沌理论使科学家们相信，简单的确定系统可以产生出复杂的性态，复杂系统也可能遵 循简单规律。而对于科学家来说，不论他们所研究的领域如何，其任务都是了解其学科 的复杂性，因此作为具有复杂的不规则动态行为的混沌现象自然成为各领域的科学家们 所共同关注的主要课题之一。然而不同领域的人，从不同的观点、不同的角度出发，揭 示出不同的混沌内涵，进而给出不同的混沌定义晗吲，例如：d e v a n e y 混沌、分布混沌、 r u e l l e t a k e n s 混沌、按序列分布混沌、m a r t e l l i 一混沌、b l o c k c o p p e l 混沌等等。同 时，进一步解释混沌的本质，统一混沌的定义，探讨各个混沌概念间的内在联系就是十 分有意义的事情了。 这里，我们感兴趣的是l i - y o r k e 混沌和分布混沌，前者是最早出现的混沌定义， 并且已经被广泛应用，而后者除了具有前者所具有的长期行为的不可预测性之外，还明 显带有统计规律。从这一意义上讲，分布混沌是概率方法在混沌研究中的一个新的应用。 从1 9 9 4 年s c h w e i z e r s m i t a l 提出分布混沌的概念以后，围绕分布混沌的研究就引起了 许多学者的注意。因此，研究l 卜y o r k e 混沌与分布混沌之间的关系是十分有意义的。 为了研究l i y o r k e 混沌与分布混沌的内在联系，文1 提出了按序列分布混沌的定义， 并指出了区间映射是l i - y o r k e 混沌的当且仅当它是按某序列分布混沌的。在文中熊 金城提出熊混沌，并讨论了熊混沌与拓扑弱混合的关系。而周作领在文啤1 提出了测度中 心的概念，并指出测度中心的极小集是它本身，说明在极小集上讨论问题具有重要意义。 拓扑混合与拓扑弱混合对于研究同态行为和点轨迹的拓扑结构有着重要作用。如果 一个动力系统是拓扑混合的那么它在不同意义下具有许多混沌性质。最近这几年许多学 者在这方面做了大量有意义的工作。杨润生在2 0 0 2 年研究了按序列分布混沌与拓扑混 一2 一 辽宁师范火学硕士学位论文 合之间的关系阻1 。在盯3 中证明了弱混合意味着l i - y o r k e 混沌。我们用了构造的方法证明 了弱混合意味着按序列分布混沌。 本文的具体安排如下： 第一章：介绍动力系统的一些基本概念及相关的混沌定义。 第二章：弱混合与按序列分布混沌 第三章：混沌与拓扑半共轭 紧致系统的混沌性 1 基本概念 1 1 动力系统简介 设j 为非空集合，f ：x 专x 为从彳到自身的连续映射，对任何x ，令 x 。= f ( x 。) ，x ：= f ( x 。) ，x 。= f ( x 州) ，。我们把这一过程称作映射厂的迭代。这里 我们涉及的是度量空间上生成动力系统的连续映射的迭代。 定义1 1 1设x 为紧致度量空间，f ：x 寸x 连续。令f o = i d ，即x 上的恒等映射。 厂1 = f ，f 2 = 厂。厂，一般地，对 2 ，令f ”= 厂”1 。厂，其中符号。表示映射的复合，那 么厂诱导x 上的一个离散拓扑半动力系统，简称作动力系统或紧致系统，记为( ，厂) 。 以下我们总假设厂为度量空间( x ，d ) 上的连续映射。 定义1 1 2 设( x ，厂) 为紧致系统，】，为x 的紧子集，若】，是的不变集，即f ( y ) cy ， 则fy ：y y 诱导紧系统( 】，卅，) ，称作( x ，厂) 或厂的子系统。 子系统在动力系统的研究中占有重要地位，那是因为对给定的紧系统( x ，) ，要想 知道它的某种动力性态，常常归结为对某个子系统的研究。 定义1 1 3 设( x ，) 为紧致系统，对于任意的x x ，我们称集合 x ，厂( x ) ，f ”( x ) ，) 为x 在厂作用下生成的轨道，记作o r b ( x ，f ) 或o r b ( x ) 。 显然，对任意的x x ，由于易见f ( o r b ( x ) ) o r b ( x ) ，故f ( o r b ( x ) ) co r b ( x ) ，于是 厂l ；而：o r b ( x ) jo r b ( x ) 为f 的一个子系统。 定义1 1 4 设( x ，厂) 为紧致系统，对x e x ，如果存在整数对胛 0 ，使得”( x ) = x ， 则把x 叫做厂的周期点，并把使厂”( x ) = x 成立的最小正整数以叫做它的周期。周期为1 的周期点叫做不动点。厂的全体周期点的集合，记作p ( f ) 。f 的全体不动点的集合， 记作f ( f ) 。 定义1 1 5称x 是几乎周期的，如果对任意的 0 ，存在整数n 0 ，使得对任何 q 0 ，存在整数，q ，其中称为厂的 敏感常数。 定义1 1 1o 设h ：x _ 】，是度量空间( x ，d ) 到度量空间( y ，d ) 中的映射，如果h 是一一映 射且为映上的，且h 和h - 1 都连续，映射h 被称为同胚特别地，如果h 是一一映射且为映 上的，且h 和h 。1 均为一致连续，映射h 被称为一致同胚。 定义1 1 10 设( x ，厂) ，( 】，g ) 都是动力系统，厂，g 都是满射。如果存在同胚h ：x y 使得对任何x x ，厅( 厂( x ) ) = g ( 厅( x ) ) ，则称与g 拓扑共扼，称h 为从厂到g 的拓扑共 轭。特别的，如果h 是一致同胚，且e 是g 共轭，那么e 和g 被称为一致共轭 定义1 1 11 设( x ，厂) ，( y ，g ) 都是动力系统，厂，g 都是连续映射。如果存在满射 h ：x y 使得对任何x x ，都有力( 厂( x ) ) = g ( 办( x ) ) ，则称厂与g 拓扑半共轭。 拓扑共轭的系统有着完全相同的动力性态，因此在研究一个未知系统的动力性态时 常常设法把该系统与已知的系统建立拓扑共扼关系。 定义1 1 12 称厂为拓扑传递的，如果对x 的任何非空开集u ，y ，存在刀 0 ，使得 厂”( u ) 厂、v 。称轨道在彳中稠密的点为厂的传递点。 定义1 1 13 设( x ，厂) 为紧致系统，x x ，如果j 0 ，使得对任意，7 0 ， f ”( y ( x ，) ) n 矿( x ，) = o ，则称x 为厂的游荡点。如果x 不是厂的游荡点，即对 v 0 ，3 n 0 ，使f ”( 矿( x ，a ) ) n v ( x ，) 囝，则称x 为厂的非游荡点。厂的全体非游荡 点的集合记为q ( 厂) 。 在引进混合概念之前先熟悉一下记号和规定：用厶表示m 个厂的c a r t e s i a n 乘积， 亦即 厶= f xf x xf。 对任何x = ( x l , x 2 ，x ，) x 肘 ，规定 厶( x ) = ( 厂( 而) ，f ( x ：) ，f ( x 。) ) 。 易见：x ”一x ”连续。 紧致系统的混沌性 定义1 1 1 4 称厂是拓扑弱混合的，如果五是传递的，亦即对x 中任意非空开集 u 1 ，u 2 ，k 和砭，存在正整数，z 使得厂”( u ，) n ，f = 1 , 2 。 定义1 1 1 5 称厂是拓扑混合的，如果对x 的任何非空开集u ，y ，存在正整数，使 得对厂”( u ) r 、矿0 对所有的，z n 都成立。 设u ，y 为x 的非空开集，令 k ( u ，v ) = ，2 n l f ”( u ) n v 显然拓扑混合意味着拓扑弱混合，而拓扑弱混合意味着拓扑传递。 定义1 1 1 6 设x 是任一非空集，对x 中任意两点x ，y 有一实数a ( x ，y ) 与之对应且满 足： 1 ) a ( x ，y ) 0 ；且a ( x ，y ) = 0 ，当且仅当x = y ； 2 ) d ( y ，x ) = d ( x ，y ) ( 对称性) ； 3 ) a ( x ，y ) a ( x ，z ) + d ( z ，y ) ( - - 角不等式) 。 称d ( x ，y ) 为x 中的一个距离，定义了距离d 的集x 称为一个距离空间，记为( x ，d ) 。 定义1 1 17设 x 。) 是距离空间x 中的点列，如果对任意的 0 ，存在自然数，当 m ，玎 n 时，a ( x 。，x 。) 0 ， 则称d 是映射厂的一个l i y o r k e 混沌集；如果存在映射厂的一个不可数的l i y o r k e 混 沌集，则称映射厂是l i - y o r k e 混沌的，简称混沌的。 定义1 2 2 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射f ：x x 是分布混沌的，如果存 在不可数集dcx ，使得对坛，y d ，x y ，有 ( 1 ) j 0 ，使得( ) = l i 罂擎吉善x m ) ( 厂( x ) ，厂7 ( y ) ) ) = 0 ； 一6 一 辽宁师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 对于v ， 0 ，f 叫( f ) = l i m s u p 。i 一 f o ，) p ( 厂( x ) ，f7 ( y ) ) ) = 1 。 其中) c f o ，f ) 表示【0 ，) 上的特征函数，即当j o ，) ，c f o f ) ( s ) = l 否则z o , o ( s ) = 0 。 而称d 为厂的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为分布混沌点对。 定义1 2 3 设( x ，d ) 是紧致度量空间， p ，) 为严格递增正整数无穷序列，称连续映射 f ：x _ x 是按序列分布混沌的，如果存在不可数集dcx ，使得对v x ，y d ，x y ，有 ( 1 ) j o ，使得鼬捌) “曲砖荟g l o e ) ( d ( 厂几( x ) ，厂n ( j ，) ) ) = 0 ； ( 2 ) x - , j 于v t 0 ，( f ， p ，) ) = 1 i m s u p 去孙。( d ( 厂m ( x ) ，f 凡( y ) ) ) = 1 ， 则称d 为厂按序列 p ， 的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为按序列分 布混沌点对。 由定义可知，分布混沌及按序列分布混沌是在l i - y o r k e 混沌基础上增加了对轨道 靠近或分开的频度的限制。分布混沌的映射是按自然序列分布混沌的，且按某序列分布 混沌的映射一定是l i - y o r k e 混沌的。 定义1 2 4 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射厂：x x 是d e v a n e y 混沌的， 如果 ( 1 ) 是拓扑传递的； ( 2 ) 厂的周期点在x 中稠密； ( 3 ) 厂具有对初值条件的敏感依赖性。 定义1 2 5 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射f ：x - - ) x 为m a r t e l i i 一混沌的， 如果存在点x ，使得 ( 1 ) c o ( x o ，f ) = x ； ( 2 ) o ( x 。) 相对于x 是不稳定的。 定义1 2 6 设( x ，厂) 为紧致系统，f ：x x 是连续映射，其中ycx ， p ，) 是给定 的正整数递增序列，如果对任意连续映射g ：y _ x ，存在序列 g ， c p ，) 使得 j 受吼( x ) 2 9 ( z ) ，坛y ，则称】，是厂相对于序列 p ，) 而言的一个熊混沌集，称厂为在y 上关于序列 p ， 熊混沌的。 定义1 2 7 称为w i g g i n s 混沌，如果：z _ x 是连续映射，且满足： ( 1 ) f 在x 上拓扑传递； 一7 一 紧致系统的混沌性 ( 2 ) f 在x 上具有初值敏感依赖性。 1 3 符号动力系统 通过由某些符号组成的无穷符号序列来刻画动力系统轨道结构的方法及与之有关 的理论称为符号动力学。1 9 2 1 年，m o r s e 首先注意到符号动力学方法在动力系统研究中 的重要性。1 9 2 7 - 1 9 3 5 年，b i r k h o f f 开始应用符号动力学方法研究动力系统n 。1 9 3 8 年，m o r s e 和他的学生h e d l u n d 首次正式将符号动力学作为一个独立的学科提出。此 后，符号动力学进入稳定的发展时期。由于混沌理论的兴起，符号动力学得到更加迅速 的发展。符号动力系统在混沌动力系统领域中占有极其重要的地位，这是因为它作为一 个简单的数学模型却包含着几乎所有典型的复杂动力性态，并因此成为动力系统复杂性 研究的重要工具。事实上，人们在研究一个映射的复杂性时总是设法使该映射与符号空 间上的移位映射建立拓扑共轭或拓扑半共轭关系。因此常常被人们用作刻画非平凡简单 系统的工具。显然，符号动力系统的移位映射研究是一个远未解决的课题，近几年来! 对于有限个符号的符号动力系统的有限型子移位的研究已有很大进展，如文献2 。1 们等， 但对于一般子移位( 包括非有限型子移位和一般符号动力系统) 的性质仍所知甚少。 定义1 3 1 设s = o ，1 ) ，= x = x o x l l 薯s ，汪o ，1 ，2 ，) 。定义：p ：e x z r ，对 v x ，y ，其中x = x o x l ，y = y o y l ， f0 耘= y ， p 卜1 丢耘奶其中七：m m l n l x , i 百右x y ， 只庀2 ， 不难验证p 是上的度量，( ，p ) 为紧致度量空间。称( ，p ) 为具有二个符号的单边符 号空间。 定义1 3 2 在( ，p ) 上定义一个特殊映射如下：对任意的x = x 2 ， o ：一，x = x o x l x 2 卜_ 6 ( x ) = x l x 2 ， 则。是上的连续映射，称为单边符号空间上的转移自映射，故( ，o ) 是一个紧致系 统。 定义1 3 3 如果彳是s 中符号的一个有限排列，则称么为( s = 0 ，1 ) 上的) 一个符号 段。如果a = a l a 2 a 。，其中a ，s ，1 f m ，则m 称为彳的长度，记作l a i = m 。 一8 一 辽宁师范大学硕士学位论文 2 弱混合与按序列分布混沌 1 9 9 4 年，s c h w e i z e rb 和s m i t a lj 在文【1 5 】中用两点对应轨道的距离的分布函数给出 了强混沌( 即分布混沌) 的概念，证明了对于线段上连续自映射，有分布混沌点偶与厂 有正拓扑熵等价。此后廖公夫等人对分布混沌进行了一系列研究，并中给出了按序列分 布混沌的概念，证明了线段上连续自映射是l i y o r k e 混沌的充要条件为它是按某序列分 布混沌的。在文四1 中对于紧致度量空间上的连续自映射，讨论了按序列分布混沌与拓 扑混合、拓扑遍历的关系。这说明拓扑混合与拓扑弱混合对于研究同态行为和点轨迹的 拓扑结构的重要作用是不可忽视的。 2 1 相关概念与引理 时间半群为g = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) ，( x ，d ) 为至少包含两个点的紧度量空间，称x 是关于 g 的动力系统即厂：x g 寸x 满足 1 ) f ( x ，0 ) = x ， v x x ， 2 ) f ( f ( x ，) ，s ) = f ( x ，f + s ) v x x ，f ，s g 我们称厂iy 。g 为f 的子系统，如果ycx 且厂ly 。g ：y xgj y 是动力系统。 令厂：x g x 是动力系统，v x x ，则集合d + ) = f ( x ，) = 厂7 ) l ，o ，g 称 作x 在厂下的正半轨迹，另外，对于v ( x ，y ) x x ，f g 我们定义厂xf ：x xx g x 为f x f ( x ，y ，r ) = ( f ( x ，r ) ，f ( y ，f ) ) ，那么f f 为x xx 上关于g 的动力系统。 令 p ，) 为严格递增正整数无穷的时间序列，满足l i m p ，= 4 - o o ，v t 0 。 ( 咖) ) _ l i m i n f ，2 1 荟 m 川( d ( 厂所( x ) ，厂见( y ) ) ) ； 巧( “只 ) 2 1 现s u p 吉善z l o t ( d ( 厂几( 珐厂肌( 少) ) ) 如果存在不可数集dcx ，使得对v ( x ，y ) d d ，x y ，有 ( 1 ) j 6 0 ，使得l ( 6 ， p f ) ) = 0 ； ( 2 ) 对于v t 0 ，( f ， p f ) = 1 。 则点对( x ，y ) 被称为按序列分布混沌点对。 一9 一 紧致系统的混沌性 定义2 1 1 令( x ，厂) 是关于g 的动力系统，厂被称为按序列分布混沌的，如果在x x 中存在剩余集d ( d 包含可数个稠密集合的交集) 满足d 中每个点是按序列分布混沌点 对。 定义2 1 2 设 p ，) 是正整数递增序列，分别称 p r ( f ， p ，) ) = ( x ，y ) x x i v o ，3 i n ，d ( 厂卢，( x ) ，只( y ) ) 0 ，于是对于v 0 ，存在n 0 。当i 时， d ( f 只( x ) ，f 只) ) 0 ，x c ： ：v i n ，d ( f 吼 ) ，f 吼( y ) ) 6 。 选取一正整数序列，使得啊= 1 ，仇+ l = 2 k n 及正整数序列阮= i 2 t i = 1 , 2 ) 取 m ，) 的无穷递增子序列 f ， ，使得对于 v f n ，州n 卜1 ，”t c p ，) ，nn k , 0 ，对于充分大的i ，当，一l 歹 甩屯时， 有d ( f ( x ) ，f7 ( y ) ) ，且 去知妒以少半小志小志， 辽宁师范人学硕十学位论文 即熙去b 拟广似广( 朋) - 1 。 当一l 0 ，我们记s ，( 丁) = f7 ( x ) l o r t ，g ) ，设u 为y 中的开集且给定 瓦 0 ，我们需证存在一个t 瓦满足厂7 ( x ) u 。 首先，设y3 s ，( t o ) ，并记v = y - s ，i ( 瓦) ，因此y 巾，由s x ( 丁) 是y 中的闭集， y 是y 中的开集和fy 。g 的传递性，知存在v v ，r ， 0 使得f ( v ，f ，) u 。如果1 ，0 + ( ) 则存在t o 瓦使得1 ，= f “( x ) 。令r = + r ，则， 瓦且 f ( x ，f ) = f ( x ，r o + r ，) = f ( f ( x ，f o ) ，f ，) = f ( v ，) u ， 如果v 0 + ( x ) ，则当r ，一佃时f ( x ) 一v ，即厂。( 厂( x ) ) _ 厂。( 1 ，) ，因此我们可知对 于某些f 瓦有f ( x ，f ) u 。 其次，假设ycs ，( t o ) ，令y u ，则y 0 + ( x ) ，即存在r ， 0 满足y = f ( x ，。) 。因 为f ：y xg y ，对于每个f 瓦有f ( y ，) y ，ycs ，( 兀) ，所以存在一个正半轨周期 p 使得f ( y ，r ) 尸，f 0 。我们记 紧致系统的混沌性 ；= m i i l p o f ( y ，f ) p ，r g ) ， 并定义q ( 詈) = 厂( y ，f ) i 兰，f g ) ， 令 k = 】，一s ，( 导+ f y ) ，= 】，一色( 詈) 。 如果， 0 则k ，为y 的非空集合，对于任意的g k ，存在r 。 i 1 使得g = 厂( 少，r g ) ， 则对任意的t 0 有 厂( g ) = 厂( g ，r ) = ( 厂( y ，f 。) ，) = 厂( y ，f 。+ t ) eb ，( 罢) ， 由f 。+ ， 去和的定义，可知厂7 ( g ) 萑，因此对每个r 0 ，f7 ( k ) n = 巾，这 与卅，。6 是传递的相矛盾。所以f = 0 ，f ( y ，0 ) = y p 。显然，存在t 瓦使得 f ( x ，f ) = y u 。 最后我们证明在x x 中存在一个剩余集d 使得dca r ( f ， r ，) ) n d r ( f ， f ，) ) 。 令d = ( x ，y ) x x i ( 厂7 ) ，f 。( y ) ) ：r o ，f g ，g 是稠密的) ) ， 因为x 是可分离的度量空间，因此x x 是可分离的度量空i n ，我们知道x x 有 可数基 u ，u ：) 。显然d = r q u ( i 叫f 卅) ( u 。) 。 对于每个玎 0 ，u ( i 叫xf 叫) ( u 。) 在x xx 中为开的，由fxf 传递性知 u ( i 叫x f 叫) ( u 。) 在x xx 中是稠密的。所以d 是中xxx 的一个剩余集，选择 x 0y o x _ rx o y o ，v ( x ，y ) d 。通过以上证明，在g 中有递增序列t ，一佃，一佃 使得 l i ma ( f ( x ) ，厂。( y ) ) = d ( x o ，) = 0 ， j i ma ( f7 ，( x ) ，f 。( y ) ) = d ( x o ，y o ) 0 。 ( x ，y ) a r ( f ，纯) ) r q d r ( f ，p ) ) ，由引理2 1 1 ，存在纯) c f ， u 口，) 使得 d c d c r ( f ，也) ) ，d 是关于序列瓴) 分布混沌集，即f 是按序列分布混沌的。 辽j 。师范大学硕+ 学位论文 3 混沌与拓扑半共轭 自从1 9 6 7 年s m a l e 构造了著名的马蹄模型以来，人们了解到了许多复杂的自映射 存在子系统与双边或单边符号动力系统拓扑共扼。此后，符号动力系统的研究引起了人 们的普遍关注，特别是符号空间上的转移自映射的混沌状态更是如此【1 6 - 引。李明军【1 9 】等 最近研究了单边的符号空间上的拟移位映射的动力性质，并用来描述一维的c a n t o r 集、 平面c a n t o r 集的混沌状态。 根据同一个拓扑共轭类的自映射迭代轨道有相同拓扑性质的思想，讨论紧致空间的 一类自映射。证明了若该映射拓扑半共轭于符号空间上的转移自映射，则其具有混沌性。 3 1 相关引理 引理3 1 1 瞳设厂：x x 和- g ：y y 是连续的，其中x 和y 是紧度量空间，如果存在 一个连续的满射h ：x y 使得g oh = h o 厂，则 ( 1 ) 乃( 形( 厂) ) = 形( g ) ； ( 2 ) 办( 彳( 厂) ) = 彳( g ) 。 证明： ( 1 ) 厅( 形( 厂) ) cw ( g ) 是显然的。令y w ( g ) ，由【l 】中定理1 ，对所有p m 。都 满足y s 。= c ，令人cx 是c ，的一个h 一极小覆盖，由【l 】中的定理3 推论4 ，可知存 在x r ( f a ) 满足h ( x ) = y 。由h ( c ，) = c 。，ec 人和人的极小性，知x 人= e 。令 研m ，通过3 1 中定理3 推论1 ) 与2 ) ，h ( s 。) = s i ( 册) = c ，由1 3 中命题5 ，知s 肘cc ，= 人， 因为人具有极小性，所以s 。= c 。= 人。 因此，对所有m m ，都有x s 。= e 。通过【1 中的定理1 可知x 矽( 厂) ，因此 乃( 形( 厂) ) 3w ( g ) 。 ( 2 ) 首先，我们证明乃( 彳( 厂) ) c 么( g ) 。设x x ， 0 ，因为h 是连续的，所以存 在6 o 使得v y x ，如果d ( x ，y ) 6 ，则d ( 庇( x ) ，矗( y ) ) 0 使得v q 0 ，存在整数，q ，g + n 满足a ( f 7 ( x ) ，x ) 0 乍f t ( ! e f t ( f ) 上是混沌的，见【2 2 】。 引理3 1 5 瞳钉设f ：i j 是连续映射且e n t ( f ) 0 ，则存在闭集xc ，m 0 满足 厂”( x ) = x 。且厂”i x 至多2 对1 的拓扑半共轭到单边移位映射o ，而且在中只有可 数多个点有两个原像，如果有一个原像是周期的，则其他的也是周期的。 3 2 主要定理和证明 定理3 2 1 令( x ，d 1 ) ，( 】，d 2 ) 为紧度量空间，( x ，厂) 与( 】，g ) 为拓扑动力系统。o ：x y 为厂与g 的拓扑半共轭，如果g 有极小混沌集r 且存在y o f 满足f 。1 ( y 。) = 1 ，则 ( x ，厂) 是混沌的。 证明：由定理中条件，存在连续满射：x y 使得对于任意x x ，g o m ) = 西。f ( x ) 。 令d = - 1 ( r ) ，下面只需证明d 是的混沌集。 对于v x l ，x 2 d ，存在y l , y 2 f 满足h ( x ，) = y ，f = 1 , 2 辽j 叫币范入学硕士学位论文 首先易得! + i m 。s u p d 2 ( g ”( m ) ，g ”( y 2 ) ) = 。l i m 。s u p d 2 ( 矽”( _ ) ，矽“( x 2 ) ) 0 。 从而 l i m s u p d l ( 厂”( x 1 ) ，f ”( x 2 ) ) 0 。 其次因为r 是g 的极小混沌集，y o f ，群o - 1 ( y 。) = 1 ，即存在唯一的d 使得 ( ) = y o 。由r 的极小性与混沌性，存在m ，一o o 满足l i r ag 啊( y 1 ) = l i r ag 帆( y 2 ) = y o ， ，+ p 即l i m 厂”( x 1 ) = l i mf ”( x 2 ) = x o ，因此l i m i n f d l ( f ”( x 1 ) ，f ”( x 2 ) ) = 0 。 综上，d 为厂的混沌集。 定理3 2 2 设( x ，厂) 为拓扑动力系统，：x 一：为厂与。的拓扑半共轭。如果存在 y o 2 满足拌- 1 ( y o ) = l 则厂有不可数混沌集fc 么( 厂) 。 证明：由引理3 1 2 ，存在一个极小集rca ( a ) 使得6 | r 是拓扑弱混合的。 由引理3 1 3 ，存在ccf 使得c 是。不可数熊混沌集。令只：c 寸f 为常数映射， 即对于任意的y c ，互( y ) = y 。由熊混沌集的定义可知【7 】，存在一个递增正整数集 p ，) cn ，使得对v y c ，l i m o n ( 少) = y o 。 令e ：c f 恒等映射，存在一个递增正整数序列 q ，) 使得对v y c ， l i m c r 吼( y ) = y 。 因为厂与。是拓扑半共轭的，从而有一连续映射h ：xj 使得h o f = o oh 。由引 理3 1 1 知对于每个y cc fc a ( c ) ，可选择一个x a ( f ) 满足h ( x ) = y ，由这样的x 点构成的集合记为d ，则h ：djc 为到上映射且d 是不可数集。 下面证明d 是厂的混沌集。 首先，对于v x l ，x 2 d ，3 y 1 ，y 2 c ，使得h ( x ，) = y ，f = 1 , 2 ，则 l i mon ( y 1 ) = l i m a 只( y 2 ) = y o ，最| l i m a n ( h ( x 1 ) ) = l i m6 只( h ( x 2 ) ) = y o ， i - - _ + 0 c 。 i - - t + ，- 啼+ ，