（基础数学专业论文）子群的c正规性对有限群结构的影响.pdf

子群的c + 一正规性对有限群结构的影响 摘要 摘要 本文研究子群的c + 一正规性与有限群的结构之间的关系主要结果如下。 ( 1 ) 利用s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群的c + 一正规性得到了有限群的p 一 幂零的充分条件，同时也得到了几个关于群系的结论 ( 2 ) 利用极小子群、4 阶循环子群和素数平方阶子群的矿一正规性得到了有限群 p 一幂零的充分条件，同时也得到了几个关于群系的结论 关键词：c 一正规子群超可解p 一幂零群系 作者，杜春英 指导老师：黎先华教授 t h ei n f l u e n c eo fc - n o r m a ls u b g r o u p s a b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo fc - n o r m a ls u b g r o u p s o nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sa n dt h e c * - - n o r m a l i t yo fs o m es u b g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa s et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) w e o b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so np - n i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p sb yt h ec * - - n o r m a l i t y o fs o m em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p sa n d2 - m a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b - g r o u p s m e a n w h i l e ，w eg e ts o m er e s u l t sa b o u tf o r m a t i o n ( 2 ) w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so np n i t p o t e n c yo f f i n i t eg r o u p sb yt h ec + - n o r m a l i t y o fs o m em i n i m a ls u b g r o u p s ，c y c l i cs u b g r o u p so fo r d e r4a n ds u b g r o u p so fo r d e rp 2 m e a n - w h i l e ，w eg e ts o m er e s u l t sa b o u tf o r m a t i o n k e y w o r d s ： c * - n o r m a ls u b g r o u p s ，s u p e r s o l v a b l e ，p - n i l p o t e n t ，f o r m a t i o n i i w r i t t e nb yd uc h u n y i n g s u p e r v i s e db yp r o f l ix i a n h u a 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：杜蠢一囊一日期：2 晦豫乡日 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：杜羞墓日期：砌& 孽垒日! ! l i 导师签名：震乃挚一哪兰! 丛扫目1 年& 子群的c + 一正规性对有限群结构的影响引言 引言 利用子群的不同性质来研究群的性质和结构是群论研究中常用的方法之一，而利 用一些特殊子群的性质来刻画有限群的结构在有限群的研究中占有重要的地位为了 寻找刻画或揭示群的结构的好方法，人们引入了一些概念，有力地推动了有限可解群 论的发展 g 的两个子群日和t 称为是可置换的，如果日t = t 日，这也等价于日t 是g 的 子群 g 的子群日称为g 的s 一拟正规( 或7 r 一拟正规) 子群，如果日与g 的每个 s y l o w 子群可置换这个概念在1 9 6 2 年由k e g e l ( 【5 】) 提出，并被d e s k i n s ( 6 】) 作进一步 的研究 1 9 9 8 年，b a u e s t e r - b o l i n c h e s 和p e d r a z a - a g u i l e r a ( 2 】) 介绍了一种子群的嵌入 性质 g 的子群日称为在g 中s 一拟正规嵌入，如果对每个整除1 日i 的素因子p ， 日的s y l o wp 一子群也是g 的某个s 一拟正规子群的s y l o wp 一子群s 一拟正规子群 都是s 一拟正规嵌入子群，但反之不然关于子群的s 一拟正规嵌入性，有很多有意 义的结果例如李样明，王燕鸣和韦华全( 【1 3 】) 利用子群的极大子群，2 一极大子群， 极小子群和2 一极小子群的s 一拟正规嵌入性质得到了有限群g 的p 一幂零性质 作为正规子群概念的一种推广，1 9 9 6 年，王燕鸣教授( 【8 】) 提出c 一正规子群的概 念，并且利用极大子群的c 一正规性研究群的结构，得到了一系列有意义的结果称 群g 的子群日在g 中c 一正规，如果存在g 的一个正规子群k 使得g = 日k 且 日n k 日i g ，其中豆g = c o r e a ( h ) = n 2 g h 霉是包含在日中的g 的极大正规子群 之后，又有很多学者利用子群的c 一正规性给出了有限群结构的一些刻画例如，郭秀 云和s h u mk p ( 1 1 1 ) 利用s y l o w 子群极大子群的c 一正规性研究了一个群的性质李 样明，王燕鸣和韦华全( 【1 2 】) 利用g 的某个正规子群的广义f i t t i n g 子群的极大和极小 子群的c 一正规性得到了有限群g 的p 一幂零性质 近来，韦华全和王燕鸣( 【3 】) 举例说明了s 一拟正规嵌入子群和c 一正规子群是没有 明显关联的两个概念因此，把这两个概念加以结合和推广是非常有意义的为此。 韦华全和王燕鸣( 【3 1 ) 提出了个新的子群嵌入性质一c 一正规称群g 的子群日在 g 中c 一正规，如果存在g 的个正规子群k 使得g = h k 且日n k 是g 的s 一拟 正规嵌入子群显然s 一拟正规嵌入子群和c 一正规子群都是c + 一正规子群，但反之 不成立( 见【3 】) 韦华全和王燕鸣( 【3 】) 通过研究极大子群的c 一正规性对群的p 一幂零 性，p 一超可解性和超可解性的影响得到了一些有意义的结果 本文在第二章和第三章继续讨论c 一正规性对有限群结构的影响第二章主要讨 论有限群g 的s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群对g 的p 一幂零性的影响，也得 子群的c 一正规性对有限群结构的影响 引言 到了关于具体群系的一些结论，一些结果推广了李样明，王燕鸣和韦华全( 【1 3 】) 的一些 结论第三章主要讨论有限群g 的极小子群、4 阶循环子群和素数平方阶子群的c + 一 正规性对g 的p 一幂零性，超可解性的影响，也得到了关于具体群系的一些结论 在本文中，所有的群都是有限群，g 表示有限群 用m g 表示m 是群g 的极大子群，h 2 ，则e x p ( p ) = p ； ( 4 ) 当p 是交换群时，西( p ) = 1 ；当p 是非交换群时，圣( p ) = z ( p ) = p ； ( 5 ) p 西( p ) 是非循环群 引理1 1 1 ( 【1 4 ，定理1 ，命题1 】) 设，是个饱和群系，gg ，但存在g 的极大 子群m ，使得m 歹且g = m f ( g ) ，则 ( 1 ) g ，( g 伊) 是g 的芦一离中心主因子； ( 2 ) 存在素数p ，使得g 芦是p 一群； ( 3 ) 若p 2 ，则e x p ( g ，) = p ；若p = 2 ，则e x p ( c 芦) 4 ； ( 4 ) 或者g 矿是初等a b e l 群，或者( g 矿) = z ( g 伊) = 西( g 伊) 是初等a b e l 群 引理1 1 2 ( 【1 5 ，引理5 1 ) 设歹是子群闭的局部群系，日g ，则毋( g ) n 日勿( 日) 引理1 1 3p 是g 的极小正规p 一子群，其中p 丌( g ) 如果p 的每个p 阶子群在 g 中c 一正规，则l pj = p 证明：令d 是g 的s y l o wp 一子群，则p nz ( d ) 1 取z p nz ( d ) 且= p ， 则( z ) 在g 中c 一正规于是存在g 的正规子群k 使得g = ( z ) k 且( z ) nk 是g 的 s 一拟正规嵌入子群因为p n k 璺g 且p 是g 的极小正规子群，故pn k = 1 或者 4 子群的c + 一正规性对有限群结构的影响一定义与主要引理 pnk = p 若p n k = 1 ，则( z ) n k = 1 因此i g i = i ( x ) l l k l = 俐i k i ，从而p = ( z ) 若p n k = p ，即p k ，则( z ) nk = ( z ) 是g 的s 一拟正规嵌入子群因为p 是p 一 群且p 璺g ，则p o p ( g ) ，于是z ) o p ( g ) 由引理1 2 ，( z ) 是g 的s 一拟正规子群 由引理1 3 ，o p ( g ) r g ( ( z ) ) 而( z ) 璺d ，所以( z ) 笪g 由p 的极小正规性得p = ( z ) 因此i p i = p 引理1 1 4 设p 是g 的极小正规p 一子群，其中p 7 r ( g ) 如果尸的每个p 2 阶子 群在g 中c + 一正规，则i p l p 2 证明：假设l p l p 3 令d 是g 的s y l o wp 一子群，则p nz ( d ) 1 设a p nz ( d ) 且i 口l = p 因为p 是极小正规子群，所以p 为初等a b e l p 一群由j p i p 3 ，可设b ，c p ， 使得( a ，b ，c ) = ( a ) x ( b ) x ( c ) 很显然( a ，6 ) ，( a m c ) 是p 2 阶子群由引理假设，( d ，b ) 和( a ，c ) 在g 中c 一正规对于子群( a 6 ) ，存在g 的正规子群k 使得g = ( a ，b ) k 且( a ，b ) nk 是g 的s 一拟正规嵌入子群因为n k ) 璺g ，由p 的极小正规性得p nk = l 或 者p n k = p 若尸n k = 1 ，则( a ，b ) nk = 1 ，从而i g i = i ( 口，b ) l l k i = p 2 ，但g = p k ， 由p n k = 1 ，i g i = f p | | k | 因此l p i = i ( 口，6 ) i = p 2 ，与i p i p 3 矛盾若p n k = p ，即 p k ，则a ，b ) nk = a ，b ) 是g 的s 一拟正规嵌入子群又( a m b ) p q ( g ) ，由引 理1 2 ，( a ，b ) 是g 的s 一拟正规子群同理可证( a ，c ) 是g 的s 一拟正规子群因此， 由引理1 3 ，o p ( g ) g g ( ( a ，6 ) ) ，o p ( a ) n c ( ( a ，c ) ) 从而( a ) = ( ( 口，6 ) ) n ( ( n ，c ) ) 被o p ( g ) 正规化另一方面，因为( 口) z ( d ) ，所以( a ) 司d 由g = d o p ( g ) ，我们得到( a ) 司g 由p 的极小正规性得p = ( 口) ，矛盾因此，i p i p 2 5 子群的c 一正规性对有限群结构的影响 二 s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群 第二章s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群的c 宰一正规性 2 1s y l o w 子群的极大子群的c + 一正规性对有限群结构的影响 在 3 】3 中，韦华全和王燕鸣得到了下面的结果： 定理2 1 1 ( 【3 ，推论3 2 】) 设p 是i g i 的个素因子，p 是g 的s y l o wp 一子群 如果( i g i ，p 一1 ) = 1 ，那么g 是p 一幂零群当且仅当p 的每个极大子群在g 中c 。一正 规 我们得到了下面的定理： 定理2 1 2 设p 是整除i g i 的一个素数，尸是g 的s y l o wp 一子群如果n c ( p ) 是p 一幂零群并且p 的每个极大子群在g 中c 一正规，则g 是p 一幂零群 证明：当p = 2 时，根据定理2 1 1 ，g 是p 一幂零群下面证明p 是奇素数的情况 假设定理不真，设g 为极小阶反例分以下几个步骤来证明 ( 1 ) d 口，( g ) = 1 实际上，如果h = ot ( g ) 1 ，我们考虑商群g h 由【1 9 ，定理9 ，第2 章】知 n g h ( p 驯h ) = n g ( p ) h h ，故n a h ( p h h ) 是p 一幂零群令p l 驯日是p h h 的 极大子群，则我们可以假定p 1 是p 的极大子群根据引理1 1 ( 3 ) ，p l v h 在g 中矿一 正规因此，g h 满足定理的假设条件，由g 的极小性得到g h 是p 一幂零群，从 而g 是p 一幂零群，矛盾 ( 2 ) p t g ，则t 是p 一幂零群 显然n t ( p ) n o ( p ) ，因此坼( p ) 是p 一幂零群根据引理1 1 ( 1 ) ，p 的每个极大 子群在t 中c 一正规因此，t 满足定理的假设条件，由g 的极小性，t 是p 一幂 零群 ( 3 ) g = p q ，其中q 是g 的s y l o wg 一子群且q p 因为g 不是p 一幂零群，其中p 是个奇素数，因此，根据g l a u b e r m a n - t h o m p o s o n 定理，6 ( z ( j ( p ) ) ) 不是p 一幂零群，其中j ( p ) 是p 的一个t h o m p o s o n 子群因 为z ( j ( p ) ) c h a rp ，所以n c ( p ) ( z ( ，( p ) ) ) 如果 r g ( z ( j ( p ) ) ) g ，由( 2 ) 知 g ( z ( 7 ( 尸) ) ) 是p 一幂零群，矛盾因此g ( z ( j ( 尸) ) ) = g ，则d p ( g ) 1 设是g 的 极小正规子群且n o p ( g ) 由( p n ) = l v c ( p ) n 和引理1 1 ( 2 ) ，g i n 满足定理 的假设条件，由g 的极小性知g i n 是p 一幂零群因为g d p ( g ) 垒( g n ) ( o p ( g ) ) ， 6 子群的c 一正规性对有限群结构的影响 二 s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群 故g d p ( g ) 是p 一幂零群，因此g 是p 一可解群由【4 ，定理6 3 5 】，对i gj 的任意素因 子q p ，存在g 的s y l o wq 一子群q 使得g a = p q 是g 的子群如果g 1 g ，则由 ( 2 ) 知g l 是p 一幂零群，故q 璺g 考虑子群o p ( g ) q ，易证d p ( g ) q = o p ( g ) q ，从而 q c a ( o p ( g ) ) 根据【9 ，定理9 3 1 1 ，c a ( o p ( g ) ) d p ( g ) ，于是q c a ( o p ( g ) ) o p ( g ) 矛盾，所以g = g l = p q ( 4 ) 最后的矛盾 由( 3 ) 知对g 的极小正规子群n o p ( g ) ，a l v 是p 一幂零群因为p 一幂零群系 是饱和群系，故是g 的包含在0 p ( g ) 中的唯一极小正规子群并且n 圣( g ) = 1 ， 则郇( g ) n 圣( g ) = 1 因此，由引理1 5 得到n = o p ( g ) 是个初等a b e lp 一群，并且 存在g 的极大子群m 使得g = m n ，mn = 1 令p + 是m 的s y l o wp 一子群，则 p = p + 另一方面，p + 1 否则，p = n ，从而n a ( p ) = n a ( n ) = g 是p 一幂零 群，矛盾因此，令p s1 1 ，其中只是尸的极大子群根据定理假设，p l 在g 中 c 一正规于是存在g 的正规子群甄使得g = p l 所且只n 甄是g 的s 一拟正规嵌 入子群令k 是g 的s 一拟正规子群使得p ln 虬是k 的s y l o wp 一子群 如果k a 1 令l 是g 的极小正规子群且l k a 因为g 是p 一可解群，故 由( 1 ) ，n x 是个p 一群，所以1 p 1n 所，从而l = n ，则p = n p + p 1 p 。= p l ， 矛盾因此k a = 1 由引理1 2 ，p ln k l 是g 的s 一拟正规子群从而由引理1 3 得 到o p ( a ) g ( p 1nk x ) 又p lnk 1 璺p ，所以只n 硒gg ，故p ln 凰d p ( g ) = n 由是g 的极小正规子群得到p ln k x = 1 或者只nk 1 = n 如果后者成立，则 p = n p p 1 p p l ，矛盾因此只n k l = 1 如果n 菇k x ，则虬硒是g 硷 的极小正规子群，而g 虬是一个p 一群，所以n 垒n k l 甄是p 阶循环群如果 n k x ，因为1 1a k l = 1 ，故i n i = p 如果p q ，由引理1 4 ( 2 ) 知n q 是p 一 幂零群，于是q c g ( ) = c b ( q ( g ) ) ，根据【9 ，定理9 3 1 】，c g ( d p ( g ) ) 0 p ( g ) ，故 q d p ( g ) ，矛盾另一方面，如果g p ，由( 1 ) 得到f ( g ) = d p ( g ) = n 因为g 是 可解群，故由【2 4 ，定理4 3 ( 3 ) 】得到( f ( g ) ) f ( a ) = n ，因此蚀( r ) = n 从而 m 掣g = u o ( r ) c a ( u ) s 以毗( ) ，因为a u t ( n ) 是阶为p 一1 的循环群，故m 特别 是q ，是循环群又q p ，根据引理1 4 ( 2 ) 得到g 是q 一幂零群，从而p 璺g 因此 b ( 尸) = g 是p 一幂零群，矛盾 综上，极小阶反例不存在，定理得证 因为c 一正规子群和s 一拟正规嵌入子群一定是c + 一正规子群，因此， 【1 1 】中的 7 子群的c 一正规性对有限群结构的影响 二 s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群 定理3 4 成为定理2 1 1 的直接推论 1 1 】中的定理3 1 和【1 3 】中的定理3 2 成为定理 2 1 2 的直接推论 推论2 1 1 ( 【1 1 ，定理3 4 】) 设p = m t 几丌( g ) ，p s y l p ( g ) 如果p 的每个极大子群 在g 中c 一正规，则g 是p 一幂零群 推论2 1 2 ( 【1 1 ，定理3 1 】) 设p 是整除i g i 的一个奇素数，p s 可知( g ) 如果 n a ( p ) 是p 一幂零群并且p 的每个极大子群在g 中c 一正规，则g 是p 一幂零群 推论2 1 3 ( 1 3 ，定理3 2 1 ) 设p 是个整除i g i 的素数，p s y z p ( a ) 如果n a ( p ) 是p 一幂零群并且p 的每个极大子群在g 中s 一拟正规嵌入，则g 是p 一幂零群 在定理2 1 2 中，条件“n a ( p ) 是p 一幂零群”是必需的例如g = a 5 ，p = 5 ，g 不 是5 一幂零群因为g 的s y l o w5 一子群的每个极大子群是1 ，因此g 的s y l o w5 一子群 的每个极大子群在g 中矿一正规，但n g ( p ) 岂d r 0 不是5 一幂零群 引理2 1 1 ( 3 ，定理4 3 】) 设，是个包含“的饱和群系h 里g 使得c h 歹， 如果p ( 日) 的任意s y l o w 子群的每个极大子群在g 中c 一正规，则g ， 定理2 1 3 设g 是有限群，如果f ( g ) 的任意奇阶s y l o w 子群p 的每个极大子 群在n c ( p ) 中c 一正规，并且f ( g ) 的s y l o w2 一子群的每个极大子群在g 中c 一正 规，则g 是超可解群 证明t 由引理1 1 ( 1 ) ，f ( g ) 的s y l o w2 一的每个极大子群在f ( g ) 中c + 一正规，根据 【3 ，推论3 2 j ，f ( g ) 是2 一幂零群因此f ( g ) 是可解群，由引理1 9 ( 2 ) ，f ( g ) = f ( g ) 因为pc h a rf ( c ) 璺g ，故p 里g 于是n g ( p ) = g ，所以p ( g ) 的s y l o w 子群的每个极 大子群在g 中c 一正规，根据引理2 1 1 证明中的情形l ，g 是超可解群 定理2 1 4 设歹是个包含“的饱和群系日gg 使得g h 厂，如果p ( 日) 的任意奇阶s y l o w 子群p 的每个极大子群在n g ( p ) 中c 一正规，并且p ( 日) 的s y l o w 2 一子群的每个极大子群在g 中c + 一正规，则g 厂 证明：由引理1 1 ( 1 ) ，f ( 日) 的奇阶s y l o w 子群p 的每个极大子群在n h ( p ) 中c 一 正规，并且f + ( 日) 的s y l o w2 一子群的每个极大子群在日中c 一正规由定理2 1 3 ， 日是超可解群由引理1 9 ( 2 ) ，f ( 日) = f ( 日) 因为pc 舰7 f ( 日) 璺g ，故p 里g ，于是 n g ( p ) = g 从而g 满足。h 鱼g 使得a h 厂，f ( 日) 的s y l o w 子群的每个极大子 群在g 中c 一正规，根据引理2 1 1 ，g ， 8 子群的c + 一正规性对有限群结构的影响 二 s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群 2 2 s y l o w 子群的2 一极大子群的c + 一正规性对有限群结构的影响 定理2 2 1 设p = m i n 7 r ( c ) ，p 是g 的一个s y l o wp 一子群如果p 的每个2 一极大子 群在g 中c + 一正规且g 是山无关的，则g 是p 一幂零群 证明：假设定理不真，设g 为极小阶反例根据引理1 6 ，i pj p 3 下面分几个步 骤来证明 ( 1 ) ( g ) = 1 如果0 p ，( g ) 1 ，则由引理1 1 ( 3 ) 容易得到p d p ，( c ) o p ，( g ) 的每个2 一极大子群在 g q ，( g ) 中c + 一正规由g 的极小性知g d p ，( g ) 是p 一幂零群，从而g 是p 一幂零 群，矛盾 ( 2 ) g 不是非a b e l 单群 如果g 是单群，由j p i p 3 可以设p l 是p 的2 一极大子群根据定理假设，只 在g 中矿一正规，于是存在g 的正规子群尬使得g = r 所且rn 硒是g 的s 一 拟正规嵌入子群因为g 是单群，故k 1 = g 从而马n k l = 只，即只是g 的s 一 拟正规子群k 的s y l o wp 一子群又g 是单群，则k o = 1 根据引理1 2 ，p 1 是g 的 s 一拟正规子群由引理1 3 得到n o ( p 1 ) o v ( g ) = g ，因此n g ( p 1 ) = g ，即p x 鱼g ，矛 盾，所以g 不是非a b e l 单群 ( 3 ) g 有唯一的极小正规子群n ，c n 是p 一幂零群并且n 垂西( g ) 设是g 的极小正规子群，则p 是g i n 的s y l o wp 一子群断言g i n 是p 一 幂零群如果i p i = p ，由引理1 4 ( 2 ) 知c n 是p 一幂零群因此设i p i p 2 设尬是p 川的2 一极大子群，则m x = 尬np n = ( m 1n p ) n 令p 1 = m 1np ， 由p 1n = p f i m , n 可以得到p 2 = i p n n ：m 1 n i = i p n ：( m 1n p ) i = i p ： f r lnp f = i p ：t 1 1 ，即p l 是p 的2 一极大子群由定理假设，p 1 在g 中c 一正规， 于是存在g 的正规子群所使得g = p 1 所且p 1n 鲍是g 的s 一拟正规嵌入子群 令7 r ( g ) = 伽l ，p a ，陬) ，k 1 似是研的s y l o w 鼽一子群，其中p l = p 且= 2 ，3 ，n 则k 1 m 也是g 的s y l o wp i - 子群，于是h n k t a 是的s y l o wp i - 子群，其中 i = 2 ，3 ，n 令l = ( nn k i m ，n 硒p ，i ) 贝9 三k 1 因为p ln = p n 是的s y l o wp 一子群，故n = ( p ln n ) l 又p l nk 1 n = ( p l n 甄) ，因此 p 1 n a k l n = ( p 1 l n k l ) n = ( 1 1n k i ) n 从而由 2 ，引理1 】知( 尸1 ) n ( k l w ) = ( p 1nk 1 ) 是c n 的s 一拟正规嵌入子群所以p i n n 在c n 中c i 一正规，即 9 子群的c 一正规性对有限群结构的影响 二 s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群 g 厂满足定理的假设由g 的极小性知g i n 是p 一幂零群因为p 一幂零群群系是 饱和群系，故是g 的唯一的极小正规子群且n 菇西( g ) ( 4 ) d p ( g ) = 1 如果d p ( g ) 1 ，则n q ( g ) 因为n 菇垂( g ) ，故存在m g ，使得g = n m ， nm = l 且对m 的s y l o wp 一子群p 有p = p + 如果p 4 p ，则i n i = p 由 引理1 4 ( 1 ) ，n z ( g ) 因为g n 是p 一幂零群，从而g 是p 一幂零群，矛盾因 此可以设p + 包含在p 的2 一极大子群p l 中根据定理假设，p 1 在g 中c + 一正 规于是存在g 的正规子群局使得g = 只虬且尸ln 匝是g 的s 一拟正规子群 k 的s y l o wp 一子群如果k a 1 ，则n k a k ，故n p 1n 凰p 1 于是 p = n p s1 i p 1 i ，矛盾如果k g = 1 由引理1 2 ，尸1n k l 是g 的s 一拟正规 子群根据引理1 3 ，n o p ( g ) g ( p ln 匝) ，于是g ( p 1nk x ) n p = p 从而 g = p o p ( g ) g ( 尸1n 虬) ，即只n 硒里g 如果p 1n k i 1 ，则n p l1 3 k l 只， 于是p = n p p l p 只，矛盾所以p ln 凰= 1 ，从而i k l i p = p 2 由引理1 6 ，k 1 是p 一幂零群，所以g 是p 一幂零群，矛盾 ( 5 ) 最后的矛盾 ( i ) 若o v ( g ) g ，则g = p o p ( g ) 考虑商群g o p ( g ) 设m o p ( g ) p o p ( g ) o v ( g ) ， 贝0m = m n p o p ( g ) = ( m n p ) o p ( a ) 令h = m n p 由尸n o v ( g ) = p n m n o v ( g ) 可以得到p = i p o p ( g ) o p ( g ) ：m o p ( g ) f = l p o p ( g ) ：( mnp ) o p ( g ) l = i p ：mnp i = i p ：h i ，故日是p 的极大子群且h o v ( g ) 是p o p ( g ) = g 的极大子群设p 1 日，则只 是p 的2 一极大子群根据定理假设，p l 在g 中c 一正规于是存在g 的正规子群凰 使得g = p l 所且只n 所是g 的s 一拟正规子群k 的s y l o wp 一子群如果k a = 1 - 由引理1 2 ，p ln k l 是g 的s 一拟正规子群从而由引理1 3 ，o p ( g ) g ( p ln k l ) ，又 p l n 硒璺h ，即h n g ( p x 9 1 k z ) ，所以h o v ( g ) g ( p l n 虬) 由h o p ( g ) 的极大性 得到g ( p l n 甄) = h o v ( g ) 或者g ( 只n 所) = g 如果后者成立，则只n 甄里g 如果只nk 1 1 ，则由( 4 ) 可以得到n p 1n 所q ( g ) = 1 ，矛盾如果只n 硒= l ， 则i 硒i p = p 2 根据引理1 6 ，k 1 是p 一幂零群，从而g 是p 一幂零群，矛盾因此 n g ( p 1n 甄) = h o p ( g ) ，故i g ：姚n 凰) l = p 由引理1 4 ( 3 ) 得到n g ( p , n k l ) 里g ， 所以n g ( p l n k d 因为 r g ( p l n k i ) 的s y l o wp 一子群的每个极大子群是g 的 s y l o wp 一子群的2 一极大子群，因此根据定理假设， r g ( 只ak a ) 的s y l o wp 一子群的 每个极大子群在g 中c 一正规，由引理1 1 ( 1 ) ，从而在y c ( p 1 n k l ) 中矿一正规由 1 0 子群的c + 一正规性对有限群结构的影响 二 s y l o w 子群的极大子群，2 一极大子群 【3 ，推论3 2 】， ，g ( 尸ln k x ) 是p 一幂零群又n g ( p 1n 虬) ，故是p 一幂零群，此 结论与( 1 ) 及( 4 ) 矛盾 现在假设n g l ，则n k c k 我们可以断言p = g 如果n p r 如果r 是整除l g i 的最大素因子，显然g 是超可解型s y l o w 塔群，矛盾于是设q 是整除i g i 的最大素因子，q 是g 的s y l o wg 一子群因为c r 是超可解型s y l o w 塔 群，故r q 旦g 由f r a t t i n i 论断，g = r n c ( q ) 如果冗q 2 根据引理1 8 ，e x p ( p ) = p 由定理假设，p z o o ( a ) 因为a p 是循环 群，则g i p = z ( g p ) 于是g = z ( g ) 是幂零群，矛盾因此p = 2 假设p 的某个4 阶循环子群( z ) 包含在z 啬( g ) 如果( z ) 垂( p ) ，则由引理1 8 ，( 茁) z ( g ) ，因此( z ) 在 g 中c 一正规如果( 茁) 菇圣( p ) ，则( z g ) 圣( 尸) 圣( p ) 是g 圣( p ) 的非平凡正规子群 因为p 圣( p ) 旦g 雪( 尸) ，所以( z g ) 西( p ) 圣( p ) sp 圣( p ) 由p 垂( p ) 是a 西( e ) 的极小 正规子群得到( ) 圣( p ) 圣( p ) = p 西( p ) ，p = 扛g ) 因为z ( g ) 璺g ，茁z 0 ( g ) ，所以 p = ( z g ) z o o ( g ) 于是我们可以得到g = z 矗( g ) 是幂零群，矛盾因此( z ) 菇z ( g ) 由定理假设，( z ) 在g 中c + 一正规 ( 3 ) 任意a p 圣( p ) ，l 口l = 4 假设存在口p o ( p ) 使得i a i = 2 记m = ( 口g ) p ，则m 圣( p ) 西( p ) 笪g 圣( 尸) 而由引理1 8 知p 圣( p ) 是a 圣( p ) 的极小正规子群，故尸= m 雪( p ) = m z k ( g ) 因为a p 是循环群，则g p = z ( g p ) 于是g = z 矗( g ) 是幂零群，矛盾因此，任 意a p 圣( p ) ，l o i = 4 ( 4 ) 最后的矛盾 任取z p 圣( p ) ，= 4 由( 2 ) ，( z ) 在g 中c 一正规于是存在g 的正规子群 1 4 子群的c + 一正规性对有限群结构的影响三极小子群、4 阶循环子群及素数平方阶子群 k 使得g = ( z ) k 且( z ) nk 是g 的s 一拟正规嵌入子群若k g ，由( 1 ) 知k 是 2 一幂零群，从而g 是2 一幂零群，矛盾故k = g 则z ) = ( z ) n 是g 的s 一 拟正规嵌入子群又( z ) p = d p c a ) ，由引理1 2 ，( z ) 是g 的s 一拟正规子群，则 ( z ) q = q ( z ) 如果( z ) q = g ，则俐= i p i ，p = ( z ) 是循环群因此g 是2 一幂零群 事实上，因为i a u t ( ( z ) ) l = 2 ， r g ( ( z ) ) c g ( ( z ) ) = g c 台( ( z ) ) 同构于a u t ( ( x ) ) 的子群， 因此 r g ( ( z ) ) = c b ( ( z ) ) ，从而g 是2 一幂零群，矛盾如果( z ) q = q ( x ) g ，由( 1 ) ， ( x ) q = ( z ) q ，故( z ) n o ( q ) 由z 的任意性得到q 璺q 矛盾 综上，极小阶反例不存在，定理得证 因为g 是幂零群当且仅当对丌( g ) 中任意素数p ，g 是p 一幂零群根据以上定理 得到： 推论3 1 1如果对任意p 丌( g ) ，g 的每个p 阶元素包含在z 矗( g ) 中，并且当 p = 2 时，g 的每个4 阶循环子群在g 中c 一正规或者包含在z 矗( g ) 中，则g 是幂 零群 定理3 1 2 设p 是i g l 的一个素因子，n 里g 使得a n 是p 一幂零群如果 的每个p 阶元素包含在z 矗( g ) 中，并且当p = 2 时，的每个4 阶循环子群在g 中 矿一正规或者包含在z 矗( g ) 中，则g 是p 一幂零群 证明：假设结论不真，设g 为极小阶反例分以下几个步骤来证明 ( 1 ) g 是内p 一幂零群 因为a n 是p 一幂零群，故h hn 垒日n 也是p 一幂零群由引理1 1 ( 1 ) ， h n n 的4 阶循环子群在g 中c 一正规，从而在日中c + 一正规又日n 的p 阶或 者4 阶元素包含在z 矗( g ) n 日z 岛( 日) 中因此日关于正规子群日n 也满足定理 的假设条件，由g 的极小性知日是p 一幂零群，从而g 是内p 一幂零群 由引理1 8 ，g = p q ，其中p 是g 的正规s y l o wp 一子群，q 是g 的非正规循环 s y l o wg 一子群，口p ( 2 ) p n 如果p 菇n ，则p nn p 因此