（岩土工程专业论文）预应力圆弧梁设计方法及其应用研究.pdf

摘要 摘要 本文结合无锡灵山工程中的预应力弧梁结构，推导出了弧梁的单元刚度矩阵 和利用约束次内力法计算弧梁预应力效应的计算公式，对预应力弧梁的设计方 法及在地下工程中的应用进行了分析和研究。 首先，运用力法推导出了直角坐标系下水平弧梁的单元刚度矩阵和坐标转 换矩阵，从而可利用杆系有限元法求解弧梁的内力。 其次，根据建筑结构中预应力弧梁的特点，对摩擦损失和有效预应力进行 了线性化处理，从而在计算中考虑了有效预应力的沿程变化，提高了计算精度， 另外本文还搜集了空间曲线摩擦系数的测试结果，对空问曲线摩擦系数的取值 展开讨论。 再次，求出了预应力弧梁中的主内力并结合弧梁的单元刚度矩阵，利用约 束次内力法，求出了预应力次内力，从而得出了预应力综合内力。然后利用所 得结果对无锡灵山梵宫工程中的预应力弧梁进行了分析。 最后，结合一工程中的预应力弧梁，对弧梁在地下结构中的应用进行了讨 论。 关键词：预应力弧梁，单元刚度矩阵，约束次内力法，地下结构预应力弧梁 ab s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rc o m b i n e sw i t ht h ep r e s t r e s s e dc u r v eb e a ms t r u c t u r eo fw u x i l i n g s h a ns h e n g t a np r o j e c tt od e d u c et h es t i f f n e s sm a t r i xo fc u r v eb e a me l e m e n ta n d u s e st h ec a l c u l a t i n gf o r m u l a t i o nt oc a l c u l a t ep r e s t r e s s i n ge f f e c to fc u r v eb e a mb a s e d o nt h em e t h o do fs e c o n d a r yi n t e r i o rf o r c eu n d e rr e s t r a i n t a tt h es a m et i m e ，t h ed e s i g n m e t h o do fp r e s t r e s s e dc u r v eb e a ma n dt h ea p p l i c a t i o ni nu n d e r g r o u n de n g i n e e r i n gh a s b e e na n a l y z e d f i r s t l y , t h i sp a p e rd e d u c e se l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xa n dc o o r d i n a t et r a n s f o r m i n g m a t r i xo fh o r i z o n t a lc u r v eb e a mi nt h er e c t a n g u l a rc o o r d i n a t es y s t e mb yf o r c em e t h o d ， a n dt h e nm a k e su s eo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oc a l c u l a t ec u r v eb e a mi n t e r n a lf o r c e s s e c o n d l y , a c c o r d i n g t o p r e s t r e s s e d c u r v eb e a mc h a r a c t e r i s t i c so fb u i l d i n g s t r u c t u r e t h ef r i c t i o nl o s sa n de f f e c t i v ep r i e s t e s si sl i n e a r i z e d ，t h e nt h ee f f e c t i v e p r i e s t e s sc h a n g e de f f e c ta l o n gp r o c e s si sc o n s i d e r e di nc a l c u l a t i o n ，t h a ti m p r o v et h e c a l c u l a t i o na c c u r a c y ，i na d d i t i o nt h i sp a p e ra l s oh a sc o l l e c t e dt h et e s tr e s u l t so fs p a c e c u r v ef r i c t i o nc o e f f i c i e n t ，a n dm a k e sd i s c u s s i o no ft h ev a l u e so fs p a c ec u r v ef r i c t i o n c o e f f i c i e n t t h i r d l y , t h em a i ni n t e r n a lf o r c eo fp r e s t r e s s e dc u r v eb e a mi so b t a i n e d c o m b i n e d w i t he l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xo fc u r v eb e a m ，t h em e t h o do fs e c o n d a r yi n t e r i o rf o r c e u n d e rr e s t r a i n ti su s e dt oo b t a i nt h ep r e s t r e s s e ds e c o n d a r yi n t e r i o rf o r c e ，a n dt h e nt h e p r e s t r e s s e di n t e g r a t i v ei n t e r i o rf o r c ei so b t a i n e d a n dt h er e s u l t sa r eu s e dt oa n a l y z e t h ep r e s t r e s s e dc u r v eb e a mo fw u x il i n g s h a ns h e n g t a ne n g ! n e e r i n g f i n a l l y , t h ea p p l i c a t i o no f c u r v eb e a mi nt h eu n d e r g r o u n ds t r u c t u r e si sd i s c u s s e d ， c o m b i n e dw i t hp r e s t r e s s e dc u r v eb e a mi np r a c t i c a le n g i n e e r i n g k e yw o r d s ：p r e s t r e s s e dc u r v eb e a m ，e l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i x ，r e s t r a i n i n gs e c o n d a r y i n t e r i o rf o r c em e t h o d ，p r e s t r e s s e dc u r v eb e a mi nu n d e r g r o u n d e n g m e e n n g 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下 各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学 位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存 论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务； 学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在 不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制沦文的部分或全部内容用于学术 活动。 学位论文作者签名：白砸戈导 d ( 7 年f 月c 歹r 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者躲石理挥 可年f 月l 铀 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题背景 随着我国经济的迅速发展和城市化进程的加快，城市人口数量和密度不断增 加，开发地下空间已经成为时代要求，在我国各大城市已经建成了相当数量的地 铁、地下车库、地下广场、地下街道等地下建筑，目前仍以较快速度增长。 预应力混凝土从本质上改善了钢筋混凝土构件的性能，提高了构件的抗裂 度、抗渗性、耐久性、抗剪能力、耐疲劳强度和刚度，使钢筋混凝土能够得到更 广泛的应用。正是由于预应力混凝土结构具有这些特殊优势，可以解决地下工 程中很多难题，因此，预应力技术在地下建筑工程有着广阔的应用前景1 2j 。 预应力弧梁是近年来建筑结构中常遇到的一种构件，在建筑造型和功能有特 殊要求的大型公共建筑中具有广阔的应用空间，如火车站站房、体育馆和剧院等。 与直梁相比，弧梁存在着扭矩和平面外弯矩，其分析较为复杂，而预应力效应的 加入，则使问题变的更为复杂。之前，国内外对预应力弧梁已进行了较多的研究， 但这些研究大多偏重于桥梁结构【3 】【4 】1 5 】【6 】【7 1 ，相比桥梁弧梁，建筑结构弧梁有其特 殊性【8 】，桥梁结构中预应力弧梁的研究结果并不能全盘的照搬到建筑结构中来。 由于预应力弧梁计算十分复杂，如何根据现有规范在整体结构中对弧梁进行 计算和设计仍是一个比较棘手的问题。目前应用较广泛的建筑结构预应力设计软 件p r e c 是用直梁来代替弧梁的，但在弧梁圆心角较大时，弧梁中可能会产生较 大的扭矩，采用这种方法是有误差的【8 j ，而且弧梁中还存在着平面外弯矩，现有 软件并不能进行考虑。而大型的通用分析软件如a n s y s 或s a p 等由于非专业设 计软件，预应力效应往往无法直接加入，存在着建模困难、操作繁复等问题，因 此有必要分析并改进建筑结构中的预应力弧梁的计算分析程序。 1 2 预应力弧梁的研究现状 弧梁的内力求解是弧梁设计中的一个关键问题，由于曲线梁桥是现代桥梁结 构中一种重要桥型，所以桥梁领域中的学者对其进行了较深入的研究，李国豪和 石洞建立了圆弧曲杆挠曲扭转变形的单元刚度矩阵【9 】。之后孙广华【引、姚玲森【引、 邵荣光【5 j 等学者均对弧梁进行了分析。相比直梁，弧梁的内力计算比较复杂，因 为在荷载作用下，弧梁截面内产生弯矩的同时产生耦合扭矩，同样，在产生扭矩 的同时也产生相应的耦合弯矩。弧梁内力的方法主要有以下三种p j ，第一种是基 于伏拉索夫建立的开口截面弹性薄壁圆弧平衡微分方程，乌曼斯基将其推广到闭 口截面薄壁杆，而c p 汉斯则利用消元法把方程中的挠曲扭转微分方程总和为一 第1 章绪论 个六阶常微分方程，这样可以求出某些特殊情况下的闭合解。第二类解法是基于 结构力学中的超静定结构分析法，但在求解过程中略去了截面的翘曲作用。第三 种方法是利用有限单元法，相比前两种解析方法，这种方法有着显著的优点，它 简单，适用范围广，而且特别适用于程序设计，因此已经成为弧梁分析的主要手 段。 和桥梁弧梁相比，建筑结构中的弧梁有其特殊性【8 j ，首先，桥梁弧梁一般采 用简支支座，可以单独考虑，而建筑结构一般为空间杆系，需要对其进行整体分 析。其次，桥梁弧梁较多采用箱形截面，截面较宽，而在建筑结构中，弧梁一般 均采用矩形截面，截面高宽比较大，截面尺寸远小于其跨度，因此在房屋结构可 以忽略截面的翘曲作用，这样可以简化分析。最后，桥梁弧梁所受的荷载与房屋 结构有较大区别，在房屋结构中除考虑弧梁的竖向荷载外，还要考虑其在水平作 用( 地震、风) 下对整体结构的影响，而在地下结构中，弧梁可能还承受着来自 水平方向的水、土压力。因此，桥梁结构中预应力弧梁的研究结果并不能全盘的 照搬到建筑结构中来。文献【1 0 结合实际工程对建筑结构中的预应力转换弧梁进 行了分析，在分析时对结合建筑结构的特点，对建筑结构中的弧梁做出了四点假 定，由此可推出弧梁的单元刚度矩阵并利用有限单元法编程求解弧梁内力。 如何分析弧梁中的预应力效应是另一个关键的问题，其又可分为以下两个问 题。 首先，如何考虑弧梁中的预应力损失对内力计算的影响，由于预应力损失的 存在，有效预应力是沿程变化的，因此为确保精确性，在设计时应考虑有效预应 力的沿程变化。另外弧梁中预应力筋一般为空间曲线，研究表明空间曲线的摩擦 损失计算公式可用平面曲线的计算公式，惟孔道长度取空间曲线的弧长，夹角取 曲线的空间包角j ，但对于空间曲线的摩擦系数取值，各规范和文献中的建议取 值有较大的差别，本文将对文献中的实验结果做出总结，并提出空间曲线摩擦系 数取值建议。 其次，如何求出弧梁中预应力产生的内力。预应力在结构中产生的内力可分 为主内力和次内力，对于静定结构，预应力在截面上产生的内力即为主内力，而 对于超静定结构，其受到预应力之后，结构有变形的趋势，这些变形受到多余约 束的限制而产生的内力称为次内力【l 引。在直梁中，次内力一般有平面内涣弯矩、 次轴力和次剪力，而在弧梁中还可能存在次扭矩和平面外次弯矩。由于预应力主 内力可以根据预应力筋线形直接求出，而次内力却和多个因素相关，因此求解次 内力是预应力结构计算中的一个难点，如何利用程序求出弧梁的次内力将是本课 题研究的重点，求解预应力次内力的方法主要有以下几种【l3 j ： l 弯矩面积法i l 引，本方法利用力法原理，将超静定结构的多余约束去掉得到 第1 章绪论 原结构的基本体系，根据“基本体系在次反力及主弯矩作用下沿次反力方向的位 移与原结构相同”，来建立力法基本方程，计算次反力，进而计算次弯矩和次剪 力。这种方法虽然原理简单，但当主弯矩图形较为复杂时计算将会非常繁复，而 且无法利用它来编制程序。 2 等效荷载法【l 引，等效荷载的概念是r b b m o o r m a n 于5 0 年代提出的，所 谓等效荷载是将预应力对结构的作用变换为等效的外荷载加于结构上计算预应 力作用下的结构综合内力，然后根据“次内力= 综合内力。主内力”计算出次内力， 等效荷载由两部分组成，其一是通过预应力筋的锚具作用于结构端部产生的结点 荷载，一般称其为结点等效荷载；其二是由于预应力筋线形的改变在构件上产生 的竖向、水平及轴向的集中和分布荷载，一般称其为线形等效荷载或等效线荷载。 e a b s a l s e 在1 9 6 9 年就导出了弧梁预应力等效荷载的近似公式【1 6 】，姚玲森【1 、 邵荣光【5 1 和王伟生【1 8 】等对其精度进行了改进，国内有一些学者将预应力效应转化 为等效荷载后，求出等效荷载产生的固端力( 即杆端力矩阵) ，进而利用矩阵位 移法对弧梁进行了分析。 3 共轭梁法1 1 9 1 ，本方法首先根据实梁确定虚梁，其次将实梁的综合弯矩的正 负号改变作为虚梁的虚荷载，由两端固定实梁的两端挠度和转角均为零，可知虚 梁两端的虚弯矩和虚剪力均为零，从而可求出梁的固端次弯矩，进而求出结构的 次弯矩。 4 约束次内力法【2 0 1 ，本方法由约束次弯矩法发展而来，利用力法原理直接将 预应力作用转化为约束次内力矩阵( 即杆端力矩阵) ，进而利用矩阵位移法等结 构力学方法直接求解次内力。 根据以上分析可见求解次内力的方法较多，但相比之下，约束次内力法最为 简捷，它具有以下优点i i3 j ： ( 1 ) 直接体现了次内力的产生是由于预应力对结构的作用( 即主内力的作 用) 引起的结构变形受到多余约束所导致，物理概念明确。 ( 2 ) 不需计算复杂的等效荷载，比较适用于对结构进行整体分析。 ( 3 ) 比较容易与现有的杆系计算程序连接。 ( 4 ) 在利用程序计算约束次内力时，可以很方便的考虑有效预应力沿预应 力筋全长的变化分布情况。 因此本文拟采用约束次内力法来编制程序求解次内力。 目前，地下工程中预应力技术的应用主要集中在以下几个方面：预应力基础 【2 1 、地下连续墙【1 9 1 、预应力锚杆【2 0 】、预应力桩、盾构中的预应力管片等。预应 力钢筋混凝土优越的使用阶段性能和其承受重载( 特另u 是恒载大、活载小) 的能 力，非常符合地下工程的特点，在地下工程中有着广阔的发展前途，本文将结合 第1 章绪论 工程实例分析地下工程中弧梁的应用。 1 3 本文主要研究内容 本文推出了弧梁的单元刚度矩阵和预应力产生的主内力和次内力的计算公 式，并利用公式对实际工程中的预应力弧梁进行计算，将计算结果与实测数据进 行对比，最后，结合地下结构的特点，将预应力弧梁应用于地下工程。 本文主要工作如下： l 运用力法推导出了直角坐标系下水平弧梁的单元刚度矩阵和坐标转换矩 阵，从而可利用杆系有限元法求解弧梁的内力。 2 根据建筑结构中预应力弧梁的特点，对摩擦损失和有效预应力进行了线性 化，本文还搜集了空i 白j 曲线摩擦系数的测试结果，对空间曲线摩擦系数的取值展 开讨论。 3 求出了预应力弧梁中的主内力并结合弧梁的单元刚度矩阵，利用约束次内 力法，求出了预应力次内力，从而得出了预应力综合内力。 4 利用所得结果对无锡灵山梵宫工程中的预应力弧梁进行了分析。 5 结合工程实例，对弧梁在地下结构中的应用进行了讨论。 本文推导出的弧梁预应力效应计算公式精度较高，而且便于编程计算，将其 嵌入p r e c 等现有预应力设计软件将会大大提高预应力弧梁的设计效率和计算 精度。而将预应力弧梁应用于地下结构，不仅拓宽了预应力混凝土的应用范围， 也为地下结构设计提供了一个新的思路。 4 第2 章弧梁单元刚度 第2 章弧梁单元刚度 弧梁单元刚度矩阵是利用有限单元法( 杆系有限元) 计算普通弧梁内力的前 提，利用约束次内力法计算预应力弧粱的次内力也需要利用弧梁的单元刚度矩 阵，文献【2 1 】利用力法原理，取局部坐标系为直角坐标，推出了的单元刚度矩阵， 本文仍沿用此方法进行推导，并对文献 2 1 】中部分系数进行调整，同时还导出了 坐标转换矩阵，从而得到了弧梁在总体坐标下的单元刚度矩阵。最后本文利用所 得结论进行了算例的计算，并将结果与a n s y s 所计算结果相比较，从而验证了 本文所导出的单元刚度矩阵的正确性。 2 1 弧梁单元刚度矩阵推导 2 1 1 局部坐标下单元刚度矩阵 1 单元杆端力和杆端位移的表示 图2 1 所示弧梁单元，i 端到j 端为顺时针方向，局部坐标系x 轴为两端点的 连线，方向由i 指向j ，在圆弧平面内，将x 轴逆时针转9 0 。得y 轴，z 轴与x 、 y 轴垂直，并依照右手螺旋法则确定其正向。 z 1 t 图2 1 局部坐标下弧梁单元杆端力与位移 则杆端力向量 f ) 8 和杆端位移向量 d ) 8 分别为： ，) 。= x ，y i ，zz ，m x i ，m y l ，m 如x j ，y j ，z ，m 习，m 凹，m 刁) d 。= ，y ，彩，0 ，0 y , ，0 “，j ，y j ，国j ，口掣，臼朋，秒掣 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 第2 章弧梁单元刚度 f 。与 d 。的有式( 2 3 ) 所示关系： 毋。= x l 。 d ) 8 ( 2 3 ) 由文献 2 2 1 可知圆弧平面内作用荷载时的结构效应与垂直圆弧平面作用荷载 时的效应是相互独立的。因此，局部坐标中单元刚度矩阵【k 】2 中的各系数可按照 圆弧平面内和垂直于圆弧平面两种情况分别计算。而且可知尼。= 0 ，其中 i l ，2 ，6 ，7 ，8 ，1 2 ) 且j 3 ，4 ，5 ，9 ，1 0 ，1 1 ) ，所以 k 】8 可写为以下形式： q 。= k i l k 2 lk 2 2 00 岛3 00 k 4 ，3k 4 ，4 00 k 5 ，3k 5 ，4k 5 ，5 对 ，lk 6 ，2 0 0 0 k 6 ，6 称 2 圆弧平面内刚度系数的计算 如图2 2 所示，圆弧平面内曲梁的杆端力和杆端位移分别为： md ez l 图2 2 弧梁单元平面内杆端力与位移 【，v = x ，y - ，m “，x ，y ，m 可】 d i 胁。= 阻，y ，0 a ，y ，臼掣】 6 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 脚 2 七 u o 岛 0 霸岛 9 ， ， 玩伽饥o $ o 0 o 眨 见 7 伽如o o o 够 岛缸0 o o k 0 o j 够 ， ， 缸伽饥o 4 一 一 o o o 3 3 3 d o岛伽加0 岛版0 o 0 h k o o o 第2 章弧梁单元刚度 利用力法基本原理，假定单元一端作用单位力，求出此时结构两端的位移， 即可求出此单元的柔度矩阵，进而可推出刚度矩阵。为简化计算，可先求出i 端 单位杆端力相对应的i 端杆端位移，然后根据刚度系数和柔度系数的关系，求出 部分刚度系数，再利用静力平衡条件和结构的对称性，求出弧梁的单元刚度矩阵。 因此取图2 3 所示的基本结构。由以上分析可知，图2 3 中i 端单位杆端力在i 端产生的杆端位移为： i4 ， 磊： 4 。l i 疋。 岛： 最。i l 皖瓯z 氏j ( 2 6 ) 根据结构力学知识可知此矩阵为对称矩阵。 xi ji 一 v 矗= 1厂 卅一 厂 。 ：1u 兮；一 yf = 1 弋 靠 r ” o 图2 3 求解平面内刚度时所选基本结构 以上矩阵中各元素如式( 2 7 ) 所示： 耻去( + 挚) + 筹( 一半) + 瓦9 3 ( 耐一) 耻刍( 一挚) + 筹( + 挚) + 瓦r 3 。一丁s i n 2 f a o ) 氏= 爰 4 2 = 瓦e 3 ( s i n 2 一2 s i n 2 ) 耻等( s i 咐舭s 吼) 耻等删n ( 2 7 ) 第2 章弧梁单元刚度 根据单元刚度矩阵和柔度矩阵互逆，平面内单元刚度和柔度关系有式( 2 8 ) ： k l 。毛：毛。 f 点。4 ：点。 叫 k ：，k ：k 2 。i = l 疋哎：岛。l ( 2 8 ) 【_ 丸。k 6 ：k 6 。jl 瓯。瓯：瓯。j 可知刚度矩阵也为对称矩阵。 求出以上部分刚度系数后，可根据单元平衡条件，取图2 4 所示结构： 一j i ) | _ 尼仁一一 k ，采 、 哆吼 ；一y 、彳7 l 。 乞1 弋 p 图2 4 平面内1 ，= 1 引起杆端力 由单元平衡，= 1 时所引起的平面内刚度系数有式( 2 9 ) 关系： 岛，2 一毛 1 ，恕，z2 一包， k 1 2 ，l = 一心，l + 也，1 2 rs i n ( d o 、7 同理可得： k 7 ，2 。一k l ，2 ，k s ，2 = 一k 2 ，2 = - k 6 ，一+ ，k 2 , 2x 2 ，胁 ( 2 1 0 ) k 7 ，6 = 一k l 6 ，6 = 一如，6 、7 白2 ，6 = 一丸。6 + 如，6x 2 r s i n 以上刚度系数与i 端杆端位移相对应。 再由单元的结构对称性，可求得j 端杆端位移相对应的刚度系数，如式( 2 11 ) 所示： k7：,7广=kl,1klk 6 ，兰k l 毒k 6 ：k l 轰。 亿 2 。7 2 ，l ，2 ，82 一，2 ，2 1 22 吒，6 、 至此，平面内所有刚度系数求解完毕。 3 圆弧平面外刚度系数的计算 第2 章弧梁单元刚度 一一一 如图2 5 所示，圆弧平面外曲梁的杆端力和杆端位移分别为： 乙鳓 图2 5 弧梁单元平面外杆端力与位移 i f 叫8 = 【z ，m x ，m y ，z j ，m 可，m w 】 ( 2 1 2 ) 【d 】。m p = 【_ ，一0 m 一0 ”，石，一0 掣，否“】 ( 2 1 3 ) 同平面内取相似的基本结构，仍可先求出i 端为单位杆端力时相对应的i 端 杆端位移如式i 2 1 4 ) 所示： 耻等+ 若( 3 + l s i n 4 q o o - 2 s i n 2 c p o ) + 苦( - _ s 1 矾) 耻刍c 纯+ 挚，告c 一挚， 耻啬( 一挚) 告( + 挚) ( 2 1 4 ) 耻瓦9 2c o s 一丁s i n 2 够o ) 一面9 2 幽- n 。s 咖+ 挚) 】 耻面r 2s i n 讹一挚) + 瓦9 2s i n 砒+ 挚) - 也， 屯。 屯， f 以， 岛。岛st lk 4 ，匕缸，| - - l 反，反。瓯，l ( 2 1 5 ) l k ，。k ，。k ，jl 色，喀瓯s j 9 第2 章弧梁单元刚度 岛，3 = 一乞 3 ，k 1 0 ，3 = 一k 4 ，3 毛l ，3 = 一也3 一k 3 3 2 rs i n 譬1,4=-bk54,4-k3kk 3 魏2 rs i n 。o o 峋 墨4 、7 岛，5 = 一岛k a o ，5 = 一屯，5 k 1 1 ，5 = 一也，5 一屯。5 2 r s i n 以上刚度系数与i 端杆端位移相对应。 再由单元的结构对称性，可求得j 端杆端位移相对应的刚度系数： k 麓l 兰k 4 篇笺z j 笺 仁 o l o =4 ，白o = 一屯 4 ，毛l ，l l = 屯，5 、7 至此，平面外所有刚度系数求解完毕。 4 局部坐标系下弧梁单元刚度 将以上所计算的平面内和平面外单元的相应刚度系数代入【k 卜即可得到局 部坐标系下弧梁的单元刚度矩阵【k 2 。 2 1 2 整体坐标下单元刚度矩阵 求出 k 】。后，由局部坐标系和整体坐标系的关系，可求坐标转换矩阵为： 其中有： t = ，0 0f o 0 o o 0 0 o o t0 0f ll l x x x y x z l l l 一 ”y yy z l z z az v墨 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 式中乞、x y 和乞是局部坐标系x 轴对总体坐标系x 、y 和z 轴的三个方向余 弦【2 3 】，即： - ，。= c o s ( x ，x ) x x - 。= c o s ( x ，y ) ( 2 2 0 ) x v 、 乞= c o s ( x ，z )，【z 。7 其余，- y x ，一乞分别为局部坐标y 、z 对总体坐标的方向余弦。 则整体坐标系下的单元刚度矩阵为： 【k 】8 = t 1 k 】8 t( 2 2 1 ) 由于t 为正交矩阵，所以还可以写为： k 】。= t 。1 q 8 t( 2 2 2 ) 1 0 第2 章弧梁单元刚度 求出整体坐标下的弧梁单元刚度矩阵后，即可根据结构的组成情况拼装总体 刚度矩阵。 2 2 算例 如图2 6 所示四跨弧梁，半径r = 1 0 m ，在1 3 跨作用e = 一l o k n ，f = 一l o k n 。 3 5 跨作用c = 2 0 k n ，c = 2 0 k n ，e = 2 0 k n ，5 7 跨作用e = - 2 0 k n ，e = - 2 0 k n 力作用点位置和梁支撑情况如图2 6 所示( 3 点和7 点为y 、z 方向的铰支座，5 点为z 方向的链杆支座) 。梁截面1 0 0 0 x 1 0 0 0 m m ，各跨截面相同，e = 2 0 0 g p a ， “= o 2 5 。计算各跨杆端内力。不计梁白重。 幽2 6 算例详图 2 2 1 用本文方法计算 首先，按支座与集中荷载的位置把此梁划分为8 个结点和7 个单元，对其进 行编号如图2 6 所示。 其次，计算整体坐标系中的各单元刚度及坐标转换矩阵。在本例中局部坐标 系的x 、y 轴与整体坐标系中的x 、y 位于同一平面内，而z 轴与z 轴方向相反， 可求得坐标转换矩阵中t 为： 第2 章弧粱单元刚度 t = t0 0t 00 0 o oo 0 0 f0 0t 其中： r c o s 口s i n 。t0 t = is i a c r c 。s 口0 |( 22 4 ) 00 1 【 其中d 为局部坐标系z 轴与整体坐标系x 的夹角，以x 轴顺时针转向z 轴时 为正角。 再次，拼装原始总刚，并求解结点位移。按照对号入座的方法，把上一步所 求出的整体坐标系中的单刚填入总刚。总刚拼装完毕后，采用“主对角元置大数 法”1 2 4 1 ，将原始总剐中与已知位移对应的各行主对角元置为大数。而后利用公 式 f r = 世r d r ，求解结点位移。 最后，求解杆端力，利用已求得的结点位移和单元刚度，即可求得各杆端力。 以上计算借助于m a t l a b 编程实现。 2 22 用a n s y s 计算 采用b e a m 4 单元，定义材料属性，建模，划分网格，施加位移约束和荷载如 图27 所示，然后求解并读取计算结果。 图27 a n s y s 模型图 第2 章弧梁单元刚度 2 2 3 结果对比 以下结果中各值均是相对于整体坐标系。 表2 1 两种方法所求的杆端平面内内力对比 本文方法 a n s y s 截面 平面内内力平面内内力 位置 ( 刷)f , c k n )m ，( k n m )f x ( 州) e ( 刷) m ，( k n 肌) 单元左 7 9 2 0 30 0 7 6 6 8 41 7 6 8 87 9 2 0 40 0 7 6 5 1 21 7 6 8 8 单元右7 9 2 0 30 0 7 6 6 8 41 7 6 8 87 9 2 0 40 0 7 6 5 1 21 7 6 8 8 单元左 一1 7 9 2 00 0 7 6 6 8 47 6 8 7 91 7 9 2 00 0 7 6 5 1 27 6 8 7 9 单元右1 7 9 2 00 0 7 6 6 8 47 6 8 7 81 7 9 2 00 0 7 6 5 1 27 6 8 7 9 单元左1 7 9 2 0 1 6 7 2 9 1 3 2 6 6 1 7 9 2 0 1 6 7 2 71 3 2 6 6 单元右 1 7 9 2 01 6 7 2 91 3 2 6 61 7 9 2 01 6 7 2 71 3 2 6 6 单元左2 0 7 9 71 8 3 2 76 7 3 4 12 0 7 9 61 8 3 2 76 7 3 4 2 单元右2 0 7 9 7 1 8 3 2 76 7 3 4 1 2 0 7 9 61 8 3 2 76 7 3 4 2 单元左2 0 7 9 71 8 3 2 76 4 2 5 52 0 7 9 61 8 3 2 76 4 2 5 6 单元右 一2 0 7 9 7一1 8 3 2 76 4 2 5 52 0 7 9 61 8 3 2 7 6 4 2 5 6 单元左2 0 7 9 71 6 7 2 91 3 5 7 42 0 7 9 61 6 7 2 71 3 5 7 4 单元右2 0 7 9 71 6 7 2 91 3 5 7 42 0 7 9 61 6 7 2 71 3 5 7 4 单元左 2 0 7 9 70 4 l8 0 6 1 1 3 0 42 0 7 9 6 0 4 1 8 0 51 1 3 0 4 单元右 一2 0 7 9 70 4 1 8 0 61 1 3 0 42 0 7 9 60 4 1 8 0 51 1 3 0 4 表2 2 两种方法所求的杆端平面外内力对比 本文方法a n s y s 截面 平面外内力平面外内力 位置 f ( k n ) m 。( k n m ) m 。( k n m ) t ( k n )m 。( 州朋) m 。( k n 坍) 单元左 3 6 3 8 83 0 9 2 51 2 2 7 03 6 3 8 8 3 0 9 2 6 1 2 2 6 8 单元右1 9 5 4 32 6 4 5 84 6 5 0 51 9 5 5 02 6 4 5 74 6 5 2 8 单元左一1 9 5 4 32 6 4 5 84 6 5 0 51 9 5 5 02 6 4 5 74 6 5 2 8 1 3 第2 章弧梁单元刚度 续农2 2 单元右7 8 0 6 45 5 8 7 81 7 9 9 87 8 0 7 15 5 8 7 81 8 0 0 l 单元左7 8 0 6 45 5 8 7 81 7 9 9 87 8 0 7 l5 5 8 7 81 8 0 0 1 单元右4 6 6 6 13 7 9 2 64 6 3 1 8 4 6 6 6 23 7 9 2 6 4 6 3 1 5 单元左4 6 6 6 1 3 7 9 2 64 6 3 1 84 6 6 6 2 3 7 9 2 6 4 6 3 1 5 单元右0 9 5 5 8 31 8 2 0 22 2 0 6 60 9 5 5 8 31 8 2 0 22 2 0 7 0 单元左0 9 5 5 8 31 8 2 0 22 2 0 6 60 9 5 5 8 31 8 2 0 22 2 0 7 0 单元右4 6 3 9 13 7 0 2 2一1 6 9 0 74 6 3 9 23 7 0 2 21 6 9 0 5 单元左 4 6 3 9 13 7 0 2 21 6 9 0 74 6 3 9 23 7 0 2 21 6 9 0 5 单元右 一6 6 3 2 65 8 9 6 41 0 1 3 8- 6 6 3 3 1 5 8 9 6 3 1 0 1 4 1 单元左 6 6 3 2 65 8 9 6 41 0 1 3 86 6 3 3 l5 8 9 6 31 0 1 4 1 单元右2 6 4 7 72 0 9 6 9 ，2 1 2 1 4 2 6 4 7 62 0 9 7 02 1 2 0 8 根据表2 1 和2 2 可以看出，两种方法所求出的内力值非常接近，两者差值 在o 0 5 0 o 以内。由此证明了本文所推出的刚度矩阵是正确的。 1 4 第3 章弧梁中的预应力损失 第3 章弧梁中的预应力损失 预应力损失的计算是预应力弧梁设计的前提，在后张预应力结构中，预应力 损失主要有【2 5 】：张拉端锚具变形和钢筋内缩引起的损失( 锚固损失) o - t 、预应 力钢筋的摩擦引起的损失( 摩擦损失) o - t ，、预应力钢筋的松弛损失。和混凝土 收缩徐变引起的损失q ，。由于预应力损失并非为定值，从而造成了有效预应力 仃。是沿预应力筋变化的，在设计中为了考虑这种变化，可将预应力筋分段，文 献【2 6 】通过分析说明可近似的认为在各段内各预应力损失( 或有效预应力) 的分 布是线性的，这种线性化的近似满足工程计算的精度要求，既方便手算也便于编 程计算。 3 1 张拉摩擦损失线性化分析 3 1 1 空间曲线摩擦损失计算 l 摩擦损失计算基本公式 孔道摩擦损失是预应力损失的一个重要组成部分，一般可占总损失的7 5 以上，直梁中预应力筋一般为平面曲线，而弧梁中的预应力筋则多为空i n j 曲线， 对于平面曲线预应力筋的摩擦损失，规范g b 5 0 0 1 0 2 0 0 2 2 7 1 建议的公式为： q 2 ( x ) = o - c 。 1 一e 一胛) 】 ( 3 1 ) 式( 3 1 ) 中。为张拉控制应力；x 为张拉端至计算截面的孔道长度( m ) ；0 为张拉端至计算截面曲线孔道部分切线的夹角( r a d ) ；茁为考虑孔道每米长度局部 偏差的摩擦系数；为预应力筋与孔道壁之间的摩擦系数。式( 3 1 ) 是根据微 分几何学的基本原理建立起来的，对于空间曲线预应力筋的摩擦损失的计算公式 亦可根据该原理来推导建立，而且文献【l l j 已清楚说明，空间曲线预应力筋的摩擦 损失仍可按式( 3 1 ) 计算，只是公式中的角0 应取张拉段至验算点的空i 可包角， 而相应的x 取空l 日j 曲线弧长s ，即有式( 3 2 ) ： o - t 2 = o e o 。 1 一e 一槲朋) 】 ( 3 2 ) 对于任意一段空间曲线，= r ( u ) = x ( “) ，y ( “) ，z ) ，其中u o u u ，其弧长 s 和空间包角可分别按式3 3 和式3 4 计算： s = l1 叭“) l d u ( 3 3 ) = i k ( s ) d s ( 3 4 ) 哪0 其中k ( s ) 为空间曲线在s 点的曲率，曲率是曲线的几何不变量，与曲线参数 和空间直角坐标系的选取无关，即有： 第3 章弧梁中的预应力损火 七c s ，= 七c “，= 上二! i ；三；竺丑 因此有： = e 啭铲d 甜 而弧梁中，预应力筋一般位于半径r 的圆柱面上， 为圆弧【2 9 1 ，如图3 1 所示。 眨l | | 。： 0 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 即曲线在水平面的投影 ( b ) 水平面投影( c ) 圆柱面展开 图3 1 圆柱面上的曲线 因此第f 段曲线的参数方程可表示为： 厂= r ( o ) = r c o s 0 ，r s i n o ，z ) ( 9 0 9 + 1 ) ( 3 7 ) 其中曰为预应力筋水平投影的圆心角，在建筑工程中预应力筋的竖向柱面展 开曲线一般采用抛物线组合曲线，假设展开平面的抛物线方程为： z = 啊2 + 魄+ c ( 3 8 ) 其中五= r o ，则有： z = a r 2 0 2 + b r o + c ( 3 9 ) 将式( 3 7 ) 和( 3 9 ) 代入式( 3 3 ) 和( 3 6 ) 中，整理后可得： s ：尺r “4 a 2 0 2 + 4 a b o + b 2 + 1d o ( 3 1 0 ) = f 4 a 气2 r 2 万( 1 + i 0 2 ) 历+ 4 a 万b r o r + b 2 + 1 d p( 3 1 1 ) 当a = 0 且b 0 ，c 0 时，展开线为斜线，即空间曲线为螺旋线；当a = 0 ， b = 0 且c 0 时，展开线为水平直线。 2 空间曲线的摩擦系数 摩擦系数k 和的取值是计算摩擦损失的一个重要问题，规范 g b 5 0 0 1 0 2 0 0 2 2 7 1 的摩擦系数取值来源于对直线梁的统计，而直线梁中预应力筋 一般为平面曲线，因此规范中的数值是否可直接适用于弧梁中的空间曲线预应力 筋是值得商榷的，对于钢绞线金属波纹管成孔的空间曲线预应力筋，已有较多文 1 6 第3 章弧粱中的预应力损失 献对其进行了讨论。 文献f 3 0 对广州南洲立交匝道桥半径为4 0 8 0 m 曲梁进行了测试，测试的1 l 束钢绞线长度5 0 l o o m ，测试后取部分数据，用最小二乘法计算出k = o 0 0 9 8 5 ， = o 3 1 0 5 8 。文献 3 】提出，对于空间曲线，值可按直梁选取，但由于空间曲线 的施工难度增大，更宜造成曲线的局部不平顺，所以k 值宜取直梁的1 2 倍，同 时还提供了北京三座立交桥的测试结果，其中施工质量较高的东便门立交由最小 二乘法求出= 0 3 2 ，k = - o 0 0 2 7 。另外两座桥( 玉蜻蜒、安惠) 则由于施工中一些 问题，摩阻损失较大，在假定k = o 0 0 3 时= o 4 9 ，k = - o 0 0 6 时肛= 0 4 3 。文献 3 1 】 首先对直线预应力筋进行测试，得出k = - o 0 0 4 5 ，然后对平面曲线预应力筋进行了 测试，利用k = - o 0 0 4 5 计算出= 0 5 3 ，最后又实测了两束空问预应力束，并证实 用以上两参数计算出的摩阻损失和实测值基本吻合。文献【3 2 共测试了6 束预应 力筋，用最i j , - 乘法计算k = - o 0 0 5 5 ，f l = o 1 0 。除以上文献外，尚有一些文献对空 间曲线预应力摩阻系数取值进行了测试并提出了建议，如文献【3 3 】用最d - - - - 乘法 计算出某匝道桥肛0 0 0 6 ，= 0 3 1 ；文献 3 4 】用最t j , - 乘法得出首都国际机场4 号桥k = - o 0 0 2 2 ，g = o 2 0 2 ，南昌市福山一坛子口立交桥婷0 0 0 1 ，g = o 2 0 。 从以上研究结果中可以看出，不同工程中空间曲线预应力束的r 和值离散 性较大，表3 1 中搜集了以往实验中的一些测试数据。表3 2 中列出了一些现行 规范中的摩擦系