电大工程数学形成性考核册答案_带题目.pdf

1 【工程数学】形成性考核册答案 工程数学作业（一）答案（满分 100 分） 第 2 章矩阵 （一）单项选择题（每小题2 分，共 20 分） 设 aaa bbb ccc 123 123 123 2，则 aaa ababab ccc 123 112233 123 232323（D） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若 0001 000 0200 100 1 a a ，则a（A） A. 1 2 B. 1 C. 1 2 D. 1 乘积矩阵 11 24 103 521 中元素c23 （C） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设AB,均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B） A. ABAB 111 B. ()ABBA 1 1 C. ()ABAB 111 D. ()ABAB 111 设AB,均为n阶方阵，k0且k1，则下列等式正确的是（D） A. ABABB. ABn A B C. kAk AD. kAkA n () 下列结论正确的是（A） A. 若A是正交矩阵，则A 1也是正交矩阵 B. 若A B,均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C. 若A B,均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D. 若A B,均为n阶非零矩阵，则AB0 矩阵 13 25 的伴随矩阵为（C） A. 13 25 B. 13 25 C. 53 21 D. 53 21 方阵A可逆的充分必要条件是（B） A.A0B.A0C. A*0D. A*0 设A B C,均为n阶可逆矩阵，则()ACB 1 （D） A. ()BA C 111 B. B CA 11 2 C. A CB 111 ()D. ()BCA 111 设A B C,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A） A. ()ABAABB 222 2B. ()AB BBAB 2 C. ()22 1111 ABCCBAD. ()22ABCC B A （二）填空题（每小题2 分，共 20 分） 210 140 001 7 111 11 111 x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2 若A为3 4矩阵，B为25矩阵，切乘积 AC B有意义，则 C为 54 矩阵 二阶矩阵A 11 01 5 10 51 设AB 12 40 34 120 314 ,，则()AB 815 360 设AB,均为 3 阶矩阵，且AB3，则2AB72 设AB,均为 3 阶矩阵，且AB13,，则3 12 ()A B3 若A a1 01 为正交矩阵，则a0 矩阵 212 402 033 的秩为2 设AA 12 ,是两个可逆矩阵，则 AO OA 1 2 1 1 2 1 1 AO OA （三）解答题（每小题8 分，共 48 分） 设ABC 12 35 11 43 54 31 ,， 求AB； AC； 23AC； AB5； AB； ()ABC 答案： 81 30 BA 40 66 CA 73 1617 32CA 012 2226 5BA 1223 77 AB 80151 2156 )(CAB 设ABC 121 012 103 211 114 321 002 ,，求ACBC 3 解： 1022 1046 200 123 411 102 420 )(CBABCAC 已知AB 310 121 342 102 111 211 ,，求满足方程32AXB中的X 解：32AXB 2 5 2 11 2 7 1 2 5 1 1 2 3 4 5117 252 238 2 1 )3( 2 1 BAX 写出 4 阶行列式 1020 1436 0253 3110 中元素aa 4142 ,的代数余子式，并求其值 答案 ：0 352 634 020 )1( 14 41 a45 350 631 021 )1( 24 42 a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： 122 212 221 ； 1234 2312 1111 1026 ； 1000 1100 1110 1111 解：（ 1） 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 100 010 001 9 1 9 2 9 2 0 3 1 3 2 0 3 2 3 1 100 210 201 122 012 0 3 2 3 1 900 630 201 102 012 001 360 630 221 100 010 001 122 212 221 | 23 13 3 2 32 12 31 21 2 2 9 1 3 1 2 3 2 2 2 rr rr r r rr rr rr rr IA 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 1 A 4 （2） 3514 1201 1320517 1726622 1 A(过程略 ) (3) 1100 0110 0011 0001 1 A 求矩阵 1011011 1101100 1012101 2113201 的秩 解： 0000000 0111000 1110110 1101101 0111000 0111000 1110110 1101101 1221110 0111000 1110110 1101101 1023112 1012101 0011011 1101101 43 4241 31 21 2 rr rrrr rr rr 3)(AR （四）证明题（每小题4 分，共 12 分） 对任意方阵A，试证AA是对称矩阵 证明：) () (AAAAAAAA AA是对称矩阵 若A是n阶方阵，且AAI，试证A1或 1 证明 ：A是n阶方阵，且AAI 1 2 IAAAAA A1或1A 若A是正交矩阵，试证A也是正交矩阵 证明：A是正交矩阵 AA 1 )()()( 111 AAAA 即A是正交矩阵 工程数学作业（第二次）(满分 100 分) 第 3 章线性方程组 （一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分) 用消元法得 xxx xx x 123 23 3 241 0 2 的解 x x x 1 2 3 为（ C） A. ,1 02B. ,7 22 C. ,11 22D. ,1122 5 线性方程组 xxx xx xx 123 13 23 232 6 334 （B） A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解 向量组 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 4 ,的秩为（A） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为 1234 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ,，则（ B）是极大无关组 A. 12 ,B. 123 ,C. 124 ,D. 1 A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D） A. 秩()A秩()AB. 秩()A秩()A C. 秩()A秩()AD. 秩()A秩()A1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A） A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解 以下结论正确的是（D） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组 12 , s线性相关，则向量组内（ A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量D. 任何一个向量 9设 A，为n阶矩阵，既是又是的特征值，x既是又是的属于的特征向量，则结论（） 成立 是 AB 的特征值是 A+B 的特征值 是 A B 的特征值x是 A+B 的属于的特征向量 10设，为n阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 BAABABAB)(BPAP 1 BPPA （二）填空题(每小题 2 分，共 16 分) 当时，齐次线性方程组 xx xx 12 12 0 0 有非零解 向量组 12 0 0 01 1 1, ,线性相关 向量组1 2 31 2 01 0 00 0 0,的秩是 设齐次线性方程组 112233 0 xxx的系数行列式 123 0，则这个方程组有无穷多 解，且系数列向量 123 ,是线性相关的 6 向量组 123 1 00 10 0,的极大线性无关组是 21, 向量组 12 , s 的秩与矩阵 12 , s 的秩相同 设线性方程组AX0中有 5 个未知量，且秩()A3，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组AXb有解，X0是它的一个特解，且AX0的基础解系为 XX 12 ,，则AXb的通 解为 22110 XkXkX 9若是的特征值，则是方程0AI的根 10若矩阵满足AA 1 ，则称为正交矩阵 （三）解答题(第 1 小题 9 分，其余每小题11 分) 1用消元法解线性方程组 xxxx xxxx xxxx xxxx 1234 1234 1234 1234 326 3850 2412 432 解： 26121000 90392700 188710 48231901 84310 01850 188710 61231 23141 121412 05183 61231 41 32 12 41 31 21 5 3 2 3 rr rr rr rr rr rr A 3311000 41100 4615010 12442001 136500 41100 188710 48231901 136500 123300 188710 48231901 43 23 13 34 34 5 7 19 3 1 2 1 3 rr rr rr rr rr 31000 10100 10010 20001 31000 41100 4615010 12442001 34 24 14 4 15 42 11 1 rr rr rr r 方程组解为 3 1 1 2 4 3 2 1 x x x x 设有线性方程组 11 11 11 1 2 x y z 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解? 解： 2 2 32 2 22 2 )1)(1()1)(2(00 )1(110 11 1110 110 11 111 11 11 11 11 111 32 31 21 31 rr rr rr rr A 当 1且 2 时， 3)()(ARAR，方程组有唯一解 当1时，1)()(ARAR，方程组有无穷多解 7 判断向量能否由向量组 123 ,线性表出，若能，写出一种表出方式其中 8 3 7 10 2 7 1 3 3 5 0 2 5 6 3 1 123 , 解：向量能否由向量组 321 ,线性表出，当且仅当方程组 332211 xxx有解 这里 571000 1171000 41310 7301 10123 7301 3657 8532 , 321 A )()(ARAR 方程组无解 不能由向量 321 ,线性表出 计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 1234 1 1 2 3 4 3 7 8 9 13 1 3 0 3 3 1 9 6 3 6 , 解： 0000 0000 18000 2110 1131 63134 3393 6082 9371 1131 , 4321 该向量组线性相关 求齐次线性方程组 xxxx xxxx xxxx xxx 1234 1234 1234 124 320 5230 11250 3540 的一个基础解系 解： 3000 0000 73140 2 1 14 5 01 103140 73140 73140 2131 4053 52111 3215 2131 42 32 12 41 31 2114 3 3 5 rr rr rr rr rr rr A 8 0000 1000 0 14 3 10 0 14 5 01 0000 1000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 0000 3000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 23 13 3 43 2 2 1 2 1 3 1 14 1 rr rr r rr r 方程组的一般解为 0 14 3 14 5 4 32 31 x xx xx 令1 3 x，得基础解系 1 0 14 3 14 5 求下列线性方程组的全部解 xxxx xxxx xxx xxxx 1234 1234 124 1234 52311 3425 9417 5361 解： 00000 00000 2872140 1 2 1 7 9 01 56144280 2872140 2872140 113251 11635 174091 52413 113251 42 32 12 41 31 21 2 14 5 5 3 rr rr rr rr rr rr A 00000 00000 2 2 1 7 1 10 1 2 1 7 9 01 2 14 1 r 方程组一般解为 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 432 431 xxx xxx 令 13 kx， 24 kx，这里 1 k， 2 k为任意常数，得方程组通解 0 0 2 1 1 0 2 1 2 1 0 1 7 1 9 7 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 21 2 1 21 21 4 3 2 1 kk k k kk kk x x x x 试证：任一维向量 4321,aaaa 都可由向量组 0 0 0 1 1 ， 0 0 1 1 2 ， 0 1 1 1 3 ， 1 1 1 1 4 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式 证明： 0 0 0 1 1 0 0 1 0 12 0 1 0 0 23 1 0 0 0 34 9 任一维向量可唯一表示为 )()()( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 344233122114321 4 3 2 1 aaaaaaaa a a a a 44343232121 )()()(aaaaaaa 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解 证明： 设 BAX 为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即nARAR)()( 从而 BAX 有唯一解当且仅当nAR)( 而相应齐次线性方程组0AX只有零解的充分必要条件是nAR)( BAX有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0AX只有零解 9设 是可逆矩阵的特征值，且0 ，试证： 1 是矩阵 1 A的特征值 证明：是可逆矩阵的特征值 存在向量，使A 1111 )()()(AAAAAAI 11 A 即 1 是矩阵 1 A的特征值 10用配方法将二次型 43324221 2 4 2 3 2 2 2 1 2222xxxxxxxxxxxxf化为标准型 解： 42 2 4423 2 3 2 21433242 2 4 2 3 2 21 2)(2)(222)(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf 2 2 2 423 2 21 )()(xxxxxx 令 211 xxy， 4232 xxxy， 23 xy， 44 yx 即 44 4323 32 311 yx yyyx yx yyx 则将二次型化为标准型 2 3 2 2 2 1 yyyf 工程数学作业（第三次）(满分 100 分) 第 4 章随机事件与概率 （一）单项选择题 AB,为两个事件，则（B）成立 A. ()ABBAB. ()ABBA C. ()ABBAD. ()ABBA 如果（C）成立，则事件 A与B互为对立事件 A. ABB. ABU C. AB且ABUD. A与B互为对立事件 10 张奖券中含有3 张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（D） A. C10 32 0703.B. 03 .C. 0 70 3 2 .D. 30 70 3 2 . 4. 对于事件A B,，命题（ C）是正确的 10 A. 如果AB,互不相容，则A B,互不相容 B. 如果 AB，则AB C. 如果AB,对立，则A B,对立 D. 如果AB,相容，则A B,相容 某随机试验的成功率为)10(pp,则在 3 次重复试验中至少失败1 次的概率为（D） A. 3 )1(pB. 3 1pC. )1( 3pD. )1()1()1( 223 ppppp 6.设随机变量XB n p( ,)，且E XD X(). ,().480 96，则参数n与p分别是（ A） A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2 7.设fx( )为连续型随机变量 X的密度函数，则对任意的a b ab,()，E X() （A） A. xf xx( )dB. xf xx a b ( )d C. f xx a b ( )dD. f xx( )d 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） A. f x xx ( ) sin, , 2 3 2 0其它 B. f x xx ( ) sin, , 0 2 0 其它 C. f x xx ( ) sin, , 0 3 2 0 其它 D. fx xx ( ) sin, , 0 0 其它 9.设连续型随机变量X的密度函数为fx( )，分布函数为F x( )，则对任意的区间( , )a b，则)(bXaP （D） A. F aF b( )( )B. F xx a b ( )d C. f af b( )( )D. f xx a b ( )d 10.设X为随机变量，E XD X(),() 2，当（ C ）时，有E YD Y( ),( )01 A. YXB. YX C. Y X D. Y X 2 （二）填空题 从数字1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 5 2 2.已知P AP B(). ,().0 305，则当事件A B,互不相容时，P AB()0.8 ，P AB() 0.3 3.AB,为两个事件，且BA，则P AB()AP 4. 已知P ABP ABP Ap()(),()，则P B()P1 5. 若事件AB,相互独立，且P ApP Bq(),()，则P AB()pqqp 6. 已知P AP B(). ,().0 305，则当事件A B,相互独立时，P AB()0.65 ，P A B() 0.3 7.设随机变量XU( , )0 1，则 X的分布函数F x( ) 11 10 00 x xx x 8.若XB(, . )20 03，则E X()6 11 9.若XN(,) 2 ，则 P X()3)3(2 10.EXE XYE Y()( )称为二维随机变量(,)XY的 协方差 （三）解答题 1.设AB C,为三个事件，试用AB C,的运算分别表示下列事件： AB C,中至少有一个发生； AB C,中只有一个发生； AB C,中至多有一个发生； AB C,中至少有两个发生； AB C,中不多于两个发生； AB C,中只有C发生 解:(1)CBA(2)CBACBACBA(3) CBACBACBACBA (4)BCACAB(5)CBA(6)CBA 2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有1 红球 解:设A=“2 球恰好同色”，B=“2 球中至少有1 红球” 5 2 10 13 )( 2 5 2 2 2 3 C CC AP 10 9 10 36 )( 2 5 2 3 1 2 1 3 C CCC BP 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果 第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率 解： 设 i A“第 i 道工序出正品”（i=1,2 ） 9506.0)03.01)(02.01()|()()( 12121 AAPAPAAP 4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格 率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率 解： 设 1 产品由甲厂生产A 2 产品由乙厂生产A 3 产品由丙厂生产A 产品合格B )|()()|()()|()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 865.080.02.085.03.09.05.0 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是 p，求所需设计次数 X的概率分布 解：PXP) 1( PPXP)1()2( PPXP 2 )1() 3( , PPkXP k1 )1()( , 故 X 的概率分布是 ppppppp k k 12 )1()1()1( 321 6.设随机变量X的概率分布为 0123456 01015020301201003. 试求P XPXP X(),(),()4253 解： 87. 012. 03 .02. 015.01. 0)4()3()2()1()0() 4(XPXPXPXPXPXP 72. 01.012.03.02. 0)5()4()3()2()52(XPXPXPXPXP 7. 03.01)3(1)3(XPXP 12 7.设随机变量X具有概率密度 f x xx ( ) , , 201 0其它 试求P XPX(),() 1 2 1 4 2 解： 4 1 2)() 2 1 ( 2 1 0 2 2 1 0 2 1 xxdxdxxfXP 16 15 2)()2 4 1 ( 1 4 1 2 1 4 1 2 4 1 xxdxdxxfXP 8. 设Xfx xx ( ) , , 201 0其它 ，求E XD X() ,() 解： 3 2 3 2 2)()( 1 0 3 1 0 xxdxxdxxxfXE 2 1 4 2 2)()( 1 0 4 1 0 222 xxdxxdxxfxXE 18 1 ) 3 2 ( 2 1 )()()( 222 xEXEXD 9. 设)6. 0, 1( 2 NX，计算PX( . )0 218；P X()0 解： 8164.019082. 021)33. 1 (2)33. 1()33. 1()33. 1 2. 0 1 33. 1() 8. 12. 0( X PXP 0475. 09525.01)67.1(1)67.1 6.0 1 ()0( X PXP 10.设XXX n12 ,是独立同分布的随机变量，已知E XD X(),() 11 2 ，设X n Xi i n 1 1 ，求 E XD X(),() 解：)()()( 1 )( 1 ) 1 ()( 2121 1 nn n i i XEXEXE n XXXE n X n EXE n n 1 )()()( 1 )( 1 ) 1 ()( 21 2 21 2 1 nn n i i XDXDXD n XXXD n X n DXD 22 2 11 n n n 工程数学作业（第四次） 第 6 章统计推断 （一）单项选择题 设xxxn 12 ,是来自正态总体N(,) 2 （, 2 均未知）的样本，则（A）是统计量 A. x1B. x1C. x1 2 2 D. x1 设xxx 123 ,是来自正态总体N(,) 2 （, 2 均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计 13 A. max,xxx 123 B. 1 2 12()xx C. 2 12 xxD. xxx 123 （二）填空题 1统计量就是不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是点估计和区间估计常用的参数点估计有矩估计法和 最大 似然估计两种方法 3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 4设xxxn 12 ,是来自正态总体N(,) 2 （ 2 已知）的样本值，按给定的显著性水平检验 HH 0010 :;:，需选取统计量 n x U / 0 5假设检验中的显著性水平为事件ux| 0 （u 为临界值）发生的概率 （三）解答题 1设对总体X得到一个容量为10 的样本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值x和样本方差s 2 解：6 .336 10 1 10 1 10 1i i xx 8 7 8.29 .25 9 1 )( 110 12 10