（固体力学专业论文）硬X射线调制望远镜结构动力及稳定性分析.pdf

摘要 硬x 射线调制望远镜整体结构及其主要工作单元：探测器单体与准直器单体 的强度、刚度和稳定性是否能满足发射状态的力学环境要求，这是对硬x 射线调 制望远镜进行设计时必须考虑的问题。对现有的设计方案迸行计算机有限元仿真， 以验证h x m t 结构及其工作单元的强度，刚度与稳定性要求是本论文的目标。 探测器单体和准直器单体是硬x 射线调制望远镜主要工作单元，它们的力学 性能直接影响硬x 射线调制望远镜的观测性能和精度。因此需要对它们单独进行 有限元分析。 本文利用有限元程序对硬x 射线调制望远镜h x m t 的重要部件探测器单 体、准直器单体及硬x 射线调制望远镜h x m t 整体在发射时的力学环境进行有限 元仿真分析。完成了对探测器单体的动力( 包括正弦激励、冲击激励以及随机激 励) 响应分析和探测器单体、准直器单体及硬x 射线整体支撑结构的稳定性分析。 探测器单体动力计算结果表明：现行设计方案在探测器单体承受正弦激励状 态下符合设计强度要求；但在探测器单体在冲击激励或随机激励载荷作用下，探 测器单体不能满足现行的设计方案不能达到设计的强度要求。 探测器单体、准直器单体及硬x 射线整体支撑结构的稳定性分析结果表明： 探测器单体、准直器单体及硬x 射线整体支撑结构在发射时5 0 9 超重作用下不会 发生失稳。因此现有设计方案满足稳定性要求。 对于现行硬x 射线调制望远镜h x m t 设计方案，其探测器单体的设计需进一 步改进；硬x 射线调制望远镜h x m t 整体设计方案已达设计要求。 关键词：硬x 射线，望远镜，稳定性，有限元法 一 基兰塑茎一 一一_ d 一一 a b s t r a c t w h e n t r y i n gt od e s i g nt h eh x m t , i t h a st ob ea n s w e r e dt h a tw h e t h e rt h eh x m t a n di t sw o r k g r o u p sc a ne n d u r et h em e c h a n i c sc o n d i t i o n sa tl a u n c h i n gs t a t eo r n o t t h e n t h ei n t e r e s to ft h i sp a p e ri st h a ts i m u l a t i n gt h em e c h a n i c sc o n d i t i o n sa n da n a l y z i n gt h e d e s i g nm o d e lb yc o m p u t e r s i no r d e rt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo f t h ed e s i g np r o j e c t t h ed e t e c t o r p a r t sa n d t h ec o l l i m a t o r p a r t sa r ei m p o r t a n tc o m p o n e n t s o f h a r dx r a y t e l e s c o p e ，w h i c h m e c h a n i c s p r o p e r t i e sd e c i d e s h a r dx r a yt e l e s c o p ed i r e c t l y t h e r e f o r e ， t h e yn e e d t ob ea n a l y z e de s p e c i a l l y i nt h i sp a p e r , t h eh x m ta n di t sm a i nc o m p o n e n t s ，c o l l i m a t o rp a r t s ，a r es i m u l a t e d o nt h em e e h a m c sc o n d i t i o n sa tl a u n c h i n gs t a t e ，b yu s i n gf e ms o l e w a r e ，t h ed y n a m i c ( i n c l u d i n gs i n ee x c i t a t i o n ，i m p a c te x c i t a t i o na n d r a n d o me x c i t a t i o n ) r e s p o n s ea n a l y s i so f d e t e c t o rp a r t si sc o m p l e t e d ，a n dt h es t a b i l i t ya n a l y s i si sc o m p l e t e do fd e t e c t o rp a r t s ， c o l l i m a t o rp a r t sa n d h a r dx - r a ym o d u l a t e t e l e s c o p e t h es i m u l a t i o nd y n a m i c a la n a l y s i sr e s u l t so fd e t e c t o rp a r t si n d i c a t et h a t ，i ns i n e e x c i t a t i o ns t a t e ，t h ec o l l i m a t o rp a r t si su pt ot h ed e s i g ns t a n d a r d ，b u tn o ti ni m p a c t e x c i t a t i o ns t a t eo rr a n d o me x c i t a t i o ns t a t e t h es i m u l a t i o ns t a b i l i t ya n a l y s i sr e s u l t so fc o l l i m a t o rp a r t si n d i c a t et h a t ：u n d e r5 0 g a c c e l e r a t i o n ，t h ed e t e c t o rp a r t s ，t h ec o l l i m a t o rp a r t sa n d h a r dx - r a ym o d u l a t et e l e s c o p ei s u p t ot h ed e s i g ns t a n d a r d ，k e e p i n g s t a b i l i t y b a s i n go na n a l y s i sr e s u l t so fh x m t , t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n sc a r lb em a d e ：t h e d e s i g ns t a n d a r dc a n b em e ti ns i n ee x c i t a t i o ns t a t ei nb o l tf i xi n s t a l lm e t h o d f i n a l l y , s o m es u g g e s t sc a nb ep r o v i d e d ：t h ed e s i g np r o j e c to f c o l l i m a t o rp a r t sn e e d s t ob ei m p r o v e d ；t h ed e s i g np r o j e c to f h x m t c a nb e u p t ot h ed e s i g ns t a n d a r d k e y w o r d s ：h a r dx - r a y , t e l e s c o p e ，s t a b i l i t y , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d n i l 绪论 1绪论 1 1 硬x 射线调制望远镜项目简介 硬x 射线调制望远镜川2 m 3 嘲h x m t ( h a r dx r a ym o d u l a t i o nt e l e s c o p e ，简称 h x m t ) 的研制属于国家重点基础研究发展规戈8 ( 9 7 3 ) 项目天体高能幅射的 空间观测与研究，主要包括探测器与电子学系统的研制和总体结构及相关 系统的研究两个子课题。 1 2 硬x 射线调制望远镜项目研制的背景 1 2 1 高能天文观测的现状 迄今为止，国际上已经发射了几十颗高能天文卫星，虽然灵敏度和观测对象 及任务有所不同，但它们都对高能天体物理的发展作出了贡献。自1 9 7 0 年美国发 射第一颗专用x 射线天文卫星u h u r u 以来，空间天文观测的发展大致经历了如下 三个阶段。 2 0 世纪6 0 年代和7 0 年代是高能天文发展的第一个阶段，这个时期的天文卫 星以小型天文卫星巡天观测为主，兼顾定向观测及变源的长时间监测，使高能天 文、特别是x 射线天文初具规模。 空间天文观测的第二个阶段以美国高能天文台1 号( 简称h e a o l ，1 9 7 7 年 8 月1 2 日发射) 的发射升空为标志。这一阶段空间观测的主要特点是重点对已发 现的射线源作定向观测，对天体的多波段辐射性质进行系统的深入研究。并进行 更高灵敏度的巡天观测。这一阶段的高能天文卫星以大型为主，装备多种仪器， 覆盖更宽的能区，可以以更高的灵敏度对天体作能谱、成像和时变的精确测量。 2 0 世纪9 0 年代中期以后，在积累了大量的观测数据并对天体的x 射线辐射 有了一定的认识之后，空间天文观测转入了对具体天体目标的辐射性质进行高灵 敏度研究上来，这是空间天文发展的第三个阶段。技术的进步推动了空间观测的 进步，这个时期探测器性能有了极大的发展，可以以极高的分辨率对天体目标进 行细致研究，如时间分辨率可达几us ( 如r x t e ，工作能区2 2 0 0 k e v ，时间分辨 率7 6 us ) ，能谱分辨率( e e ) 可达几十至几百，已和地面大型光学望远镜的 角分辨率相当。为了适应高分辨率的要求，仪器的设计十分复杂，工艺要求很高， 经费投入也非常多，在这种情况下，卫星的工作能断和探测专长相对简单。 按观测对象不同，高能天文卫星的观测能区可以分为三个波段：高能y 射线波 段、低能x 射线波段和硬x 软，射线波段。 在商能，射线波段，c o s b 、c g r o 等卫星的观测，取得了一批重要成果。存 重庆大学硕士学位论文 1 9 9 1 年4 月荚国发射的大型康普顿射线天文台( c g r o ) 上载有e g r e t ( 3 0 m 苦v 3 0 g e v ，s 6 4 0 0 c m 2 ) 、c o m p t e l ( 1 1 0 m e v ，s 4 3 0 0t i n 2 ) ，利用电子对产生 康普顿效应，具备宽视场成像能力，并具有较高的灵敏度。c g r o 的升空，使得 对脉冲星、a g n 、b l a z e r 和银河系空间背景的研究扩展到了y 能段，取得了大量的 成果。如c g r o e g r e t 发现了一批未认证的，射线点源，对这些点源的观测和研 究仍然是目前高能天文观测的主要课题。 在低能x 射线波段，有c h a n d r a 、x m m 、r o s a t 等卫星进行了观测，观测 能区约为0 1 1 0 k e v ，角分辨率从角秒到几十角分，并取得了大量的观测成果， 但由于该能区x 射线能量太低，难以给出天体内部的信息。 在硬软，射线波段，虽然s i g m a g r a n a t 、o s s e c g r o 、b a t s e c g r o ( 有效 载荷名卫星名) 在观测上取得了一系列的成果，但它们同时又存在着自己的不足 s i g m a 在硬x 射线能区( 3 0 k e v 1 m e v ) 有一定的成像能力，但由于设计方面的 不足，仪器本底较高( 是设计值的6 9 倍) ，降低了它的灵敏度，无法探测到一 些预期较弱的源，而且定位精度和角分辩率( 为几度) 也较差。c g r o 上底o s s e ( s 2 6 2 0 c m 2 ) 、b a t s e ( s 1 6 0 0 e m 2 ) 虽然在探测能区低端延伸到硬x 射线能 区，但由于它们没有成像能力，因而在观测目标上受到严重的限制。 从高天文卫星的发射和发展情况，可以得出： 1 ) 天文观测在起始阶段是从巡天开始的，以期对天体的辐射有全面的了解。 以软x 射线为例，从u h u r u 开始，一系列的卫星都对软x 射线的巡天观测作出了 贡献，直到r o s a t 完成了系统的软x 射线巡天。 2 ) 巡天观测中，可以有大量新的发现。如r o s a t 共发现了近4 万个源，对 以 后高能天文观测的影响是长期的。 3 ) x 射线可以采用掠射聚焦的手段进行成像观测。系列天文卫星，包括 e i n s t e i n 、e x o s a t 、r o s a t 、c h a n d r a ( a x a f ) 和x m v l - - n e w t o n 等对软x 射线 能区进行丰富的观测，使得软x 射线成为至今观测最多、最富成果的高能电磁波 段。 4 ) 硬x 射线由于成像技术的困难，除h e a o a 4 对硬x 射线能区进行过灵敏 度很低的巡天观测外，到目前为止还没有进行系统的巡天，对这一领域的巡天观 测是十分必要和重要的。 从高能天文观测的现状看，由于成像技术方面的困难，人类主要停留在软x 能段，人类对这样一个预期将有重要发现和重大突破的重要观测波段硬x 射 线的观测研究还十分有限。通过对它的研究，可以获得诸如幅射医女小、| 蝠射加 2 制、空间分布等方面的信息。硬x 射能区的天文观测一方面可以研究一系列的天 体目标或现象：超新星和新星的爆发、核合成、星际介质、宇宙线相互作用和宇 宙线源、中子星、黑洞、活动星系( a g n ) 等，另一方面也可以研究一系列的相 互作用的过程：热韧致辐射、同步辐射、回旋辐射、康普顿散射、湮灭作用、核 激发、放射性、以及引力红移效应等。 1 2 2 研制硬x 射线调制望远镜的科学目标及科学任务 硬x 射线调制望远镜h x m t 项目的科学目标是：基于直接解调方法，采用简 单可靠的成熟技术，用较低的造价，建造一台高灵敏度、高定位精度和高角分辨 率的硬x 望远镜，并借助我国航天技术的已有基础，完成世界上首次高灵敏度、 高角分辨的硬x 射线巡天，在一个有重大科学意义的前沿基础研究领域进行超国 际领先水平的开拓性研究，从而大大推进人类对天体高能辐射过程的认识。 为完成上述科学目标，硬x 射线调制望远镜h v r i 必须完成下述科学任务： ( 1 ) 完成硬x 射线巡天观测，描绘硬x 射线天图： ( 2 ) 对感兴趣天区作深度的成像观测； ( 3 ) 对特殊的天体作高灵敏度连续观测，得到其辐射的能谱和时间变化； ( 4 ) 对银道面作周期性扫描观测。 1 2 3 硬x 射线调制望远镜结构的技术要求 ( 1 ) 满足望远镜科学目标和技术指标 按照直接调制成像方法的原理设计并制造太空硬x 射线调制望远镜，进行巡 天扫描和定点观测。硬x 射线调制望远镜总体方案的设计，要求达到5 0 0 0 c m2 的 有效观测面积和l 的准直精度，并实现对x 一射线和主探测器本底的屏蔽。 ( 2 ) 符合航天结构的设计要求 硬x 射线调制望远镜的主体支承结构除了满足一般机械强度、剐度、加工装 配工艺可行性外，还要符合航天结构的要求，结构尽可能轻、简单、可靠，并且 其机械性能具有可检测性。 ( 3 ) 符合卫星发射过程结构可靠性和安全性要求 作为卫星的有效载荷，望远镜必须经历发射过程的考验。要求望远镜的主体 支承结构，在发射过程的力学环境下，仍然保持足够的刚度、强度、稳定性及可 靠度。 ( 4 ) 能在太空环境下可靠工作 太空为真空环境，存在电磁辐射等，望远镜主体支撑结构需要满足这种环境， 尤其是热环境。 1 3 数值模拟技术简介 硬x 射线能否满足技术要求，能否满足可靠性要求和安全性要求，必须经过 3 重庆大学硕士学位论文 实验的证明，试验和计算机仿真是对硬x 射线调制望远镜进行设计研制的两个必 不可少的手段。望远镜的可靠性必须经过环境模拟试验的考核，但在此之前，需 要进行充分的计算机仿真分析，以提高研制效率，缩短研制周期，降低研制成本， 并且通过仿真分柝可以掌握现有方案的力学性能，发现薄弱环节，指导方案进一 步改进和优化。目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法胪2 ”、 有限差分法、边界单元法和离散单元法，但就其实用性和应用的广泛性而言，主 要还是有限单元法。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限 个、且按一定方式相互联结在一起的单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点 的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易 于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程“组集” 在一起而形成总体代数方程组，计入边界条件后即可对方程组求解。有限元法的 出现主要是由于工业革命、经济发展和军事发展的的需要，反过来又促进了它们 的发展。有限元法是弹性理论、计算数学和计算软件有机地结合在一起的一种数 值分析技术，是时代的产物。由于这种方法在解决工程技术问题时的灵活、快速 及有效性，发展非常迅速，其解题范围几乎包括了各个领域( 固体力学、生物力 学、流体场、电磁场、温度场、声场) 的数理方程；其计算机程序几乎能求解数 理方程中的各类问题。它已经成为求解各领域数理方程的一种通用的数值计算方 法，是解决实际工程问题的一种有力工具。现代工业的典型特征是大量使用计算 机，无论是产品的开发、设计、还是分析制造过程中，计算机的应用都极大的提 高了效率和质量。计算机辅助工程【2 1 3 0 】( c a e ) 就是其中必不可少的一环，它是 计算机技术和现代工程方法完美结合。 1 4 课题研究的主要目标和内容 本文通过对硬x 射线调制望远镜在发射过程中受力情况进行有限元模拟分析， 以研究h x m t 结构是否满足可靠性和安全性要求。本文的主要工作目标是完成对 探测器单体的动力分析：对探测器单体、准直器单体和硬x 调制望远镜总体支撑 结构的稳定性分析。 1 4 1 主要研究目标 本文的研究目标是：利用通用的大型有限元程序，采用合理高效的建模方法， 对模型进行必要的简化，建立合理的有限元模型，分别对探测器单体、准直器单 体及硬x 调制望远镜总体支撑结构进行有限元分析，为验证现有设计方案是否合 理提供依据，为改进结构设计提供依据和建议。 1 4 2 研究内容 本文主要完成以下内容： 4 i 绪论 ( 1 ) 探测器单体动力分析( 包括模态分析、正弦激励、冲击激励、随机激励响应 分析) ； ( 2 ) 探测器单体、准直器单体的稳定性分析和硬x 调制望远镜整体支撑结构的 稳定性分析。 5 2 结构动力及稳定性分析的有限单元法 2 结构动力及稳定性分析的有限单元法 随着对工程结构动态设计要求的提高，结构的动力2 9 - 5 0 和稳定性 5 1 - 6 3 分析变 得越来越重要了。尤其在航天结构的设计中，由于结构受到各种形式的动载荷作 用( 例如正弦激励、随机激励、冲击载荷) ，因此在结构设计中必须进行动力分析。 由于复杂结构设计中大多采用薄壁与杆梁系结构，除了要考虑结构的强度要求外， 一般还要考虑结构的稳定性要求。 2 1 结构动力分析的有限元法6 之1 】 2 1 1 建立动力有限元方程的步骤 连续区域的离散化 在动力分析中，因为引入了时间坐标，因此所处理的问题一般是四维x ，y ，z , t ) 问题。在有限元分析中一般采用空问离散的方法，该步骤和静力分析相同。 构造插值函数 由于只对空间域进行离散，所以单元内位移“，v w 的插值表达式为 u ( x , y ，毛f ) = f ( 五y ， j = l v ( x ，y ，元f ) = n i ( x ，弘 f # 1 w ( x , y ，硝) = f ( x ，y ， i = 1 或 u ) = 】趣) 。 其中 ( 2 1 ) ( 2 2 ) “ = 石= k ( 工，y ，z ，f )v ( x , y ，乙f )似毛y ，z ，) f ， 1 - 曩取或】疵= m 。， 如 。= 贫。= 溉砭t 】r ， 露= - f ( f ) v i ( t ) ( f ) 】r( f = i 2 ，月) ， 形成系统的振动方程 平衡方程式及力的边界条件的等效积分形式的g a l e r k i n 提法可表示如下： j 面，( 盯口，+ z 一肛州一声“) d 矿一j 函i ( 盯f 珂，一霉) 豳= 0 ( 2 3 ) y 矗 对上式的第一项j6 u 口d 矿进行分步积分，并代入物理方程，则从上式可以得到 7 重庆大学硕士学位论文 j ( 髓f d 州+ 却，p u ，+ f l u ，肛l ，= j 函i f f l v + 巍，霉据 ( 2 4 ) v y且 将位移空间离散后的表达式( 2 2 ) 代入上式，并注意到节点位移变分8 u ) 的任意 性，可得到系统的振动方程。 m 正( f ) ) + c i ( f ) + k ( f ) ) = q ( f ) ) ( 2 5 ) 其中饵( f ) ) ，( f ) ) 分别是系统节点的加速度向量和节点速度向量， 吖】， c ， k 和 q ( f ) 分别是系统的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和节点载荷向量。分别由各自 的单元矩阵和向量集成 【m 】= z t m 。，【捌= 盯， c = c 。， q ) = q ) 。( 2 6 ) 其中： 【肘】。= j d 7 n a v ， k 】= n 口】7 d b 】d 矿， r y 分别是单元的质量矩阵，刚度矩阵，阻尼矩阵。 q ) = 【加7 ，) d y + f 7 t d s r 品 是单元载荷向量。 如果忽略阻尼的影响，则振动方程简化为 c r = 川川7 i n d r ( 2 7 ) g ( 2 8 ) m 打0 ) ) + k 】恤( f ) ) = q ( f ) )( 2 9 ) 如果上式的右端项为零，则上式表达的是系统的自由振动方程。 2 1 2 大型特征问题的求解方法【6 7 【3 3 。6 】 如果系统作无阻尼的自由振动，由系统的振动方程( 2 9 ) 式可得一广义特征 问题 明 “) = 2 m u )( 2 1 0 ) 在系统的动力分析过程中，求解广义特征问题是十分重要的，通过该问题的 求解，可以分析系统特性，同时，这也是求解系统动力响应的前提。 特征问题的求解方法有截断l a n c z o s 方法、子空间迭代法、反迭代法、r i t z 向量直接叠加法、j a c o b i 法、q r 法、缩减法等。其中j a c o b i 方法和q r 法可求得 精确的全部特征解，但在受计算机内存和硬盘容量的限制下，仅适用于中、小型 特征问题。缩减法一般用于求解中、小型特征问题，其计算精度取决于自由度的 选择a 截断l a n c z o s 方法、子空间迭代法、反迭代法和r i t z 向量直接叠加法是求 解大型特征问题的有效方法。由于本文所使用的是截断l a n c z o s 方法，下面只介 绍用到的截断l a n c z o s 方法。 截断l a n c z o s 方法是求解大型特征值问题的最有效的方法之一。其主要特点是 8 2 结构动力及稳定性分析的有限单元法 利用递推公式产生一个正交的矢量矩阵l a n c z o s 矢量矩阵，通过l a n c z o s 矢量 矩阵，便可以把原来的一个对称的特征问题，转变为一个三对角矩阵的特征问题。 因此，截断l a n c z o s 方法包含两个步骤：其一是l a n c z o s 矢量的形成，其二是三 对角矩阵特征问题的求解。 截断l a n c z o s 方法的最大优点是仅通过矩阵的相乘运算便可以获得一个对于 结构的离散化的模型的品质优良的假设模态矩阵，即截断的l a n c z o s 矢量矩阵。 它所张成的模态空间，能有效地逼近结构的离散化模型的低维模态空间。利用这 一性质，不但可以利用截断的l a n c z o s 矢量矩阵来实现系统数学模型的降阶，从 而可以较方便地求得系统的低阶固有特性，而且也可以利用它来较方便的求得系 统的强迫振动响应。 若结构的离散化模型的质量矩阵与刚度矩阵分别为 m 与 k ，则广义特征 问题的l a n c z o s 矢量的求法如下： 首先选择一个初始矢量 u ) 。，并将其标准化，即使其满足 u j m d ) = l 。然 后按下述递推公式求出第( i + 1 ) 个l a n c z o s 矢量如 ，。 融= 捌。 】 u ) ， ( 2 1 1 ) ，) ，= f ) 。一d ， u 。一屈 u ) ；- ( 2 1 2 ) 1 其中1 2 ，= ) i 【m 】( ；，卢；。= ( r i 【m 】 r ；) “2 ，令反= 0 ，扣 ，。= r ，若 p i + 1 屈。= 0 ，则算法精确收敛，便可停止计算，可得到广义特征问题的i n 阶低阶特征 值的近似值。 2 2 线性瞬态响应分析的求解方法7 瑚。3 劬 瞬态动力分析技术是求解结构在一定初始条件和时间相关的边界条件下的动 力响应技术。对于线性动力问题，动力行为完全由两个独立特性确定：线弹性( 动 力) 结构行为和施加的动力载荷。有一种方法，动力方程可以作为施加载荷的函 数而直接积分，这种方法称为直接积分法，另外一种方法，可先不考虑施加载荷 进行动力分析( 即确定特征值) ，再基于结构的特征值和特征模态计算给定载荷历 程的结构动力响应，称为模态分析或模态叠加法。因为高阶模态不准确，因而程 序只能用于由低阶频率范围激振的结构。 2 2 1 直接积分法【昏7 f 3 3 3 6 直接积分是指在积分振动方程之前不进行方程形式的变换，而直接进行逐步数 值积分。直接积分法的特点是将动力方程在时域上离散，对时间作近似的插值化 为差分格式，然后根据初始条件，利用离散后导出的线性代数方程组逐步求解在 一系列时刻上的结构响应。 9 重庆大学硕士学位论文 对时间作不同的离散化处理，就可以导出不同的直接积分公式。目前，在工 程中和计算机程序中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、w i l s o n 一日 法、n e w m a r k 法和h o u b o l t 方法等，下面仅说明后续分析中用到的n e w m a r k 法。 n e w m a r k 积分方法采用以下假设： ( i ) ，+ 。= n ) ，+ ( 1 一y ) 订 ，+ y 舀) ，+ m 】f ( 2 1 3 ) 扣，+ 。= t “，+ t 舀，r + ( 三一 t 豇，。+ t 拼，+ 。 r 2 c z t ， 其中声和y 是参数，它们决定算式的积分精度和稳定性。当y = 1 2 和卢= 1 6 时， ( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式相当于线性加速度法，因为这时它们可以从下面时间间隔出 内线性假设的加速度表达式的积分得到 ( 拼 。= 拼) ，+ ( 打) 。一 舀 ，) r a t ( 2 1 5 ) 式中0 f a t 。n e w m a r k 方法最初是从平均加速度法提出的，此时y = 1 2 ， = 1 4 。f 内的加速度为 舀) ，+ ，= ( 田，+ 露) ，+ 6 f ) ( 2 1 6 ) n e w m a r k 方法中，时间t + a t 的位移趣 ，+ 是通过满足时间t + a t 的振动方程 【 ，】 “) ，+ 目+ c 】 ) ，+ 。+ k 】 “ ，+ m = q ) ，+ 。 ( 2 1 7 ) 而得到的。为此首先从( 2 1 5 ) 式解得 慨矿妒lc m 呻一古，一( 专一，p 汜 将上式代入( 2 1 5 ) 式，然后再并代入( 2 1 7 ) 式，则得到从缸 ，似) 。， 田，计算 缸) 。的公式 l 瞵1 + 云f 【吖】+ 盍【q 卜 一= q ) 一 州，甚眠+ 扣”b t ) 慨 叩怯m + ( 刊，+ 怯斗觇1 汜 原振动方程组变换为n 个不耦合的微分方程组后，性质不变，因此可以方便 地对非耦合微分方程讨论解的稳定性。又因n 个方程是相似的，故仅分析其中一 个作为代表，将它写成 薯+ 2 点国f j ，+ 彩f 2 薯= l( 2 2 0 ) 或 j 。+ c f 主，+ o ) 2 x l = ( 2 2 1 ) l d 2 结构动力及稳定性分析的有限单元法 讨论解的稳足性买质上是讨论误差引起的响应，在上式中司令t = 0 。另一方 面由于在正阻尼情况下，阻尼对解的稳定性是有利的，所以在讨论解的稳定性时， 总可令c j = 0 。基予以上两点，要讨论的方程是 2 i + 甜? 一= 0( 2 2 2 ) n e w m a r k 方法的循环计算公式 旧+ 古m 卜盍k ，m 矿 q ) 。 删 古，+ 扣”( 专书， 邶，融( 刊埘，+ ( 刊蛾 用于( 2 2 1 ) 式，可以得到 ( 1 + 肚2 确( 钒m 吨f ) f + 峨) 。+ ( 三一p ( 铂， ( 2 2 3 ) 利用n e w m a r k 方法的基本假设和( 2 3 2 ) 式，上式可以表示成 ( 毫) ，+ m = ( 毫) ，一f ( 】一，) 瓴) ，+ ，( 薯) ，+ 。地，( 2 2 4 a ) ( x ，) “m = ( 一) t + ( 毫) ，r 一 ( ；一 ( - ) ，+ ( 一) 。+ 。 国? r 2 ( 2 2 5 b ) 利用上式和( 2 2 3 ) 式，( 2 2 4 ) 式可以改写为 ( 1 + 局，。) ( 毛) 。+ m + 一2 + - 2 + r p ， ( - ) ， + + ( 三+ f l - r 弘 c t ，。一。：。 c z z e ， 其中p i = 肌2 ? 。 假设解的形式为 ( z ，) ，+ m2 五( 工f ) ，( ) ，= 五( z i ) 。 ( 2 2 7 ) 将( 2 2 7 ) 式代入( 2 2 6 ) 式，可以得到关于五的特征方程 c + 励，+ 丑 一z + 1 - 2 f l + y 弘。 + + ( 三+ p y ) p ，1 = 。 c z z s ， 其中 ：=( 2 一g ) - 4 ( 2 - g ) 2 4 0 + 1 了一 ( 2 2 9 ) 重庆大学硕士学位论文 r 1、r 11 g ：蝶一鞯 s n e w m a r k 方法无条件稳定的条件是 ，乏1 ，去( 三+ y ) c z 。， 如果不满足上述条件，要得到稳定的解，时间步长必须满足 出 1 2 ，则侧 1 2 这一人为因素而引入的一种“人工”阻尼，称为“数值阻尼”。 直接积分法的计算量较大。直接积分法的运算次数正比于所求解的时间步数， 且每一步运算量又与阶数和带宽成正比。然而解的精度依赖于时间积分步长，步 长越小，解越精确。太大的时间步长将略去高阶模态的响应，从而导致错误的计 算结果。太小的时间步长将造成计算资源的浪费，增大求解时间。所以在求解时 采取适当的时间步长至关重要，因为系统的响应可以看作是系统一系列模态的组 合，因此，时间积分步长必须能反映参与响应的最高阶模态。对于n e w m a r k 方法， 选取时间步长的一个经验是：时间积分步长为有贡献的最高阶模态的周期的1 2 0 。 2 2 2 模态叠加法 6 7 】 3 3 - 3 6 】 模态叠加法的主要特点是在积分振动方程以前，利用系统自由振动的固有模 态将方程组转化为1 3 _ 个相互解耦的方程，对这些方程可以解析或数值地进行积分。 当采用数值方法时，对于每个积分方程可以采取各自不同的时间步长。因此，当 实际分析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶模态的结果时，采用模态叠加 法是十分有利的。 主模态分析：位移向量伽( r ) ) = “。o ) u 2 ( f ) “。( f ) 7 可表示为 ) ) = 吩( o 龇 ( 2 3 4 ) 其中恸f ( f = 1 , 2 ，n ) 是1 3 维线性空间的自然基底向量，这表明物理位移u m ) 就是 位移向量m ( f ) ) 在自然基底鼢，上的坐标。 令无阻尼系统的主模态舻) ，( f = 1 , 2 ，n ) 为n 维空间中的另一组基底，则扣( f ) ) 也可表示为 1 2 2 结构动力及稳定性分析的有限单元法 恤( f ) ) = 【m 】妇( f ) ) 其中 由 = 【 声) 。 庐) 2t r ) 。 ， g ( f ) ) = q ，( t ) q ：( t ) - 态位移向量。基底 ，与，之间的关系为 ) ，叫m 】 曰，。 将( 2 3 5 ) 式代入( 2 3 6 ) 式 ， d ( f ) + c 】 i ( f ) ) + k “( f ) ) = q ( 0 ) ( 2 3 5 ) g 。( ，) 7 ，妇( f ) ) 是模 再用e 叫7 左乘，得到用模态位移向量表示的平衡方程 0 7 口们【中 茸( f ) + 中 7 c o 】 0 ( f ) + 中】7 世 【中】 g ( ，) ) = 中】7 q ( f ) 考虑到主模态之间的正交性 m 7 ，】 中 = 明 中 7 k 西】= r 2 2 ； o i 其中 删2 = i f ， l 0 ：i ( 2 3 7 ) 式可简化为 糖0 ) ) p 巾】7 c o 】 垂( f ) ) + q 】2 幻o ) = 【国】7 q 0 ) = r 0 ) ) 如果不计阻尼影响，上式成为n 个互不耦合的二阶常微分方程。 时，为了简化计算过程使方程组仍不耦合，采用模态阻尼的假设。即 i2 t 0 1 磊0l 中】7 c 巾】_ f ， f l 0 2 出六j 其中f i 是第f 阶模态阻尼比。把上式代入( 2 3 8 ) 式可得 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 当考虑阻尼 ( 2 3 9 ) 茸，( f ) + 2 f 鼻或o ) + ；g ，( f ) = ( )( f = 1 , 2 ，刀) ( 2 4 0 ) 可见采用模态阻尼假设后，不必形成阻尼矩阵，就可以通过求解n 个相互独立方 程( 2 4 0 ) 而获得系统的模态位移。模态阻尼的物理意义表现为，系统的阻尼是 由各阶模态阻尼所贡献的，而模态阻尼可用实验模态分析方法测定。 使用模态叠加法时，该方法往往以保留少数模态叠加的截断形式出现，因此 产生了模态位移法和模态加速度法两种不同的方法。当取系统的全部模态进行叠 加时，两种方法是等价的。 模态位移方法：利用d u h a m e l 积分，初值为零时方程( 2 4 0 ) 的解是 1 ， g 用) 2 上( r ) e x p - 乎，f o r ) s i n 0 4 ( t f ) d r ( 2 4 1 ) 一， 其中j = l 一岔，。当初始条件不为零时，则由( 2 4 1 ) 式所求得的响应g ，( ，) ， 还应附加上由于初始激励引起的自由振动响应项r i ( ) ， r i ( f ) = e x p ( - d , 缈f f ) hs i n ( o j ；t ) + b ic o s ( o j o ( 2 4 2 ) 1 3 重塞茎堂堡主兰垡兰奎 一 - _ _ _ _ _ 一一 式中：n ，6 ，由初始条件决定的常数。 当求得n 个模态位移后，通过( 2 4 0 ) 式将它们叠加起来，得到系统的物理位 移响应缸( f ) ) = 中】幻( f ) 。 模态加速度方法：该方法分两步进行，首先求解系统在外载荷作用下的准静态 位移 伽5 ( f ) ) = 【豳。 q ( f ) ( 2 4 3 ) 然后，把系统位移分解为准静态位移和由它的惯性效应所产生的动态位移缸4 ( r ) ) 之和，即 扣( f ) = u s ( f ) ) + 扣。( f ) ) ( 2 4 4 ) 将( 2 。4 4 ) 式代入扳动方程( 2 3 6 ) ，则有 “。( f ) ) = - f 足 一1 ，】 矗( f ) ) 一【世 一1 c n ( f ) ) ( 2 4 5 ) 再把如( f ) 的展开式恤 = 叫国( f ) 代入上式，注意到 隧r 、圳形l 。秒k 1 ，2 ， 捌1 c 】形 ，= 三盐i 甜f j 则( 2 4 5 ) 式成为 = 掣学砸) ) 蛾 仫 从而，由式( 2 4 4 ) 系统的位移响应为 h 奸) 一喜掣噜俐蛇 ( 2 a z ) 这一结果表明，任何瞬时系统的位移响应，等于该瞬时的准静态位移再附加一项 动态位移。后者是以模态加速度和模态线速度表示的。当忽略阻尼时，这个附加 项所表示的动态位移就是模态加速度的线性函数，所以该方法称为模态加速度法。 在实际计算中，( 2 4 7 ) 式中的模态速度和加速度并不需要求出，由( 2 4 8 ) 式存在 去驰) + 堑：去( f ) 一吼( f ) ( 2 。4 8 ) it 因此，模态加速度法的求解公式表示为 姒力 = 晖r l q ( o ) - 善( 毒“f ) 叫( f ) ) ， ( 2 4 9 ) 模态叠加法时间步长的选择：因为在一个增量步中载荷随着时间线性变化时 此法是精确的，因而在这线性范围内可选任何时间步。因此，载荷历程是影响时 1 4 2 结构动力及稳定性分析的有限单元法 间步长选择的唯一因素。另外还需确定分析中使用模态的阶数。 2 3 随机振动分析附4 刚 在脉动风力、地震力、波浪力及多台机器干扰力引起结构振动等问题中，在不 同时间不会或很难重现相同的振动过程。将这些非重现性的、带有某种不确定性 的载荷称为随机载荷，在随机载荷作用下结构的振动称为随机振动。 对于随机输入来说，由于难以提供完全的输入( 激励) 的时间历程，而只能 提供输入的各种统计量，包括相关函数、功率谱密度等，因而不能计算出完整的 输出( 响应) 的时间历程，但可通过振动微分方程求出响应的各种统计量。 振动微分方程建立后，通过结构在输入和输出间的传递关系计算有关统计量。 结构传递特性的计算有两种方法：时域的脉冲响应法和频域的频率响应法。两种 方法是互相联系的，是f o u r i e r 变换和逆变换的关系。 2 3 1 求解随机响应的模态分析方法 模态分析法，也称模态叠加法，正交模态法和主坐标法，是预测多自由度时 不变线性系统随机响应的有效方法。该方法的基本思想是将系统的响应统计量表 示成各模态响应统计量的加权和。 百i ( f ) + 2 0 ：，鲁 。( f ) + m 2 q 。( t ) = 0 ( f ) ( f = 1 , 2 ，- ，n ) ( 2 5 0 ) 对上式中的每个方程利用d u h a m e l 积分计算响应 q i ( r ) = 吩( r ) 办) 7 q o r ) ) d r ( f = 1 ，2 ，n ) ( 2 5 1 ) 写作矩阵形式 妇( f ) = ( ( f ) 】【叫7 q ( t - f ) d r 其中 ( f ) 为正则坐标下的脉冲响应矩阵。 角阵 ( 2 5 2 ) 由于各方程相互独立，因此 ( f ) 】为对 ( r ) 】= 硪口g 喃( r ) h ：( r ) 。( r ) 因为 扛( f ) = 睁】 鼋( f ) 将( 2 5 3 ) 式变换到原坐标 工( f ) ) ，积分变量f 改作 ，得到 x ( f ) = 巾 胪( 五) 叫7 q ( t - a ) d l 利用上式导出响应的相关矩阵 只】= 占k x ( f ) ) x ( f + f ) 7j 1 5 ( 2 5 3