（基础数学专业论文）关于π正则半群的若干研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本文研究五种特殊疗一正则半群的若干性质全文共分五节 第一节为引言部分 第二节研究右，r 一逆半群的同余，给出右石一逆半群的最小群同余 的三种等价刻画，并刻画右丌一逆半群的最小丌一群同余 第三节研究，r 一纯正半群的带同余及其同余扩张 第四节研究左( 右) ，r 一正则半群的半直积及圈积现有的关于半直 积的结果大都是在半群含有幺元的条件下得到的本节研究一般半群 的半直积和圈积，给出两个左( 右) 丌一正则半群的半直积和圈积为左 ( 右) 盯一正则半群的充要条件 第五节讨论强，f 一逆半直积的弱自然偏序，将逆半直积的弱自然偏 序进行推广 关键词，r 一正则半群，右巧一逆半群，最小万一群同余，丌一纯 正半群，左疗一正则半群，半直积，圈积，强，r 一逆半直积 曲帛师范人学硕士学位论文 第一节引言 众所周知，2 0 世纪7 0 年代以来，为人们所关注的所谓拟( q u 髂i - ) 或万一，幂q o w 哪，毕竟( e v e n t u a l l y ) 3 正则半群 1 ，已经成为非正则半群 代数理论研究中的一个相当活跃的领域。 半群代数理论研究中的同余方法平行于环论研究中的理想方法， 就一类半群的结构理论的建立而言，弄清这类半群上的同余已经成为 弄清这类半群的代数结构的一个重要标志关于丌一正则半群上的同余， 已有诸多文献进行研究1 9 8 8 年，h a n 啪觚t h a 等【4 】研究了舻正则半群 上的群同余1 9 8 5 年，m i l l s 9 】刻画了纯正半群上的矩阵同余1 9 9 9 年， 郑恒武【2 5 】研究了7 r 一正则半群上的矩阵同余【8 ，1 4 】刻画了丌一正则半 群上的同余和完全正则同余本文第二节给出右石一逆半群上的最小 群同余的等价刻画以及最小，r 一群同余的刻画，第三节研究牙一纯正半 群的带同余及其同余扩张 半群的半直积的研究始于1 9 6 0 年，见n e u m e n 【1 2 】1 9 8 3 年，n i c o 【1 3 】 首先刻画了两个半群的半直积的正则性1 9 8 9 年，s a i t 0 2 0 给出了两 个幺半群的半直积是正则半群、逆半群及纯正半群的充要条件从此开 始了半直积的研究1 9 9 3 年，张玉芬等在 2 2 中给出了两个幺半群的 半直积和圈积是弱c i i 娲r d 拟正则幺半群的充要条件2 0 0 3 年，刘加云 等 7 给出了半群s 和丁的半直积是强玎一逆半群等的充要条件本文 第四节给出两个左( 右) 石一正则半群s 和r 的半直积s r 和圈积 s ，r 是左( 右) 石一正则半群的充要条件现有的关于半直积的研究结 果 1 3 ，1 5 ，1 6 ，2 0 ，2 2 大都是在半群含有幺元的条件下得到的本文第 四节通过半群s 与r 的子半群丁。= f 。j ，r ( v p e ( s ) ) 刻画半直积和 ， 。 圈积通过这种方法亦得到右行一币则半群的半直积和圈积的刻画 曲阜师范大学硕士学位论文 1 9 8 0 年，n 锄b 0 0 r i p a d 研究了正则半群上的自然偏序 1 1 1 9 8 6 年，m i t s c h 给出任意半群上的自然偏序的定义 1 0 对任意半群s 如下 定义的关系 口6 c ，( j x ，y s 1 ) 口= x 6 = 砂，加= 口 称为s 的自然偏序本文第五节讨论强，r 一逆半直积的弱自然偏序，将 1 7 逆半直积的弱自然偏序进行推广 未说明的符号和术语同文献【l ，5 】 曲阜师范大学硕士学位论文 第二节右驴逆半群的同余 1 9 8 8 年，h a m n t i i a 等 4 研究了玎一j e 则半群上的群同余 8 ，1 4 刻画了万一正则半群上的同余和完全正则同余本节给出右口一逆半群 的最小群同余 2 3 的三种等价刻画，并给出右z 一逆半群的最小 一群 同余的刻画 定义2 1 嘲口一正则半群s 称为右”一逆半群，若对于任意 岛e e p ) 存在h z + 使得( 咖y = ( 一y 1 右舟逆半群的最小群同余 定义2 2 设口是半群s 上的同余若s a 是群，则称d 是s 的群 同余 定义2 3 ”设口是半群s 上的群同余若对任意s 上的群同余p ， 均有d p ，则称d 是s 的最小群同余 引理2 1 1 设s 是右 一逆半群则 j = “6 ) s si 存在# 觑s ) 使得= 知) 是s 的最小群同余 定理2 1 设s 是右口一逆半群在s 上定义如下二元关系： 口= 以融sl 存在p 占哂) 使得船= 如 ； d = 6 ) 融s i 存在8 ，f 哂) 使得韶= 6 ，) ； 呸= 6 ) e 吝si 存在x 如拶使得“；缸) ； 码= ( 口t 6 ) 乳s l 存在x s 使得m = k ) ， 则这四个关系都是s 上的最小群同余 证明由引理2l 知，d 是s 上的最小群同余只需证这四个关系相 证明由引理2l 知，d 是s 上的最小群同余只需证这四个关系相 曲阜师范大学硕_ 二学位论文 引理2 4 【5 1 若r 是半群s 上的关系，则胄= ( r 。) 。 引理2 5 【2 1 1 设p 是右玎一逆半群s 上的同余则剐p 是行一群当且 仅当对任意的岛，e p ) ，p _ p ， 设s 是右玎一逆半群在s 上定义关系6 如下 6 = ( 口，6 ) 乍r e 萨x r e 筘i 存在e e p ) 使得e 口= e 6 u ( q a ) s 胎筘) ， 并记 6 = ( 鳓咖) s s k y s 1 ，( 舶) 6 引理2 6 右石一逆半群s 上的关系占是等价关系 证明显然6 是自反的和对称的如果丽6 ，6 占c ，那么，或者6 是 非正则元，进而珥c 均为非正则元，从而口= 6 = c ，所以砸c ；或者6 是 正则元，进而口，c 均为正则元故存在p ，e ( s ) 使得钟= 妇，6 厂= c 厂 设存在l j z + 使得( 乃r = ( 咖) e ( s ) 从而 口( 咖 6 飒g ，g 仃e _ i l ，蝴c 故口留因为吼i e f 。) = s 。( 。) ，所以，吼r g 由s e 的最小性得b 裾故e 6 e f o e g o e h 即酊。矗又由于口卿e ，加，从而口盯c 令西，xs则存在8，e(s)使得口溉，盯f，瓤6由于x必 在某个缎。惧演i茗7妻缝；=l筵!葑釜摹；錾霸h两嚣嘉荐；塞霎娶麓 曲阜师范大学硕士学位论文 设p 是s 上的任意万一群同余如果丽。6 ，那么存在 白，毛，z ：，s ，m ，i ，一，叠，儿，t ，y ；，矗，以，t ，止以及满 足q 占4 的元口l ，4 ，口：，吐，瓦s 使得 口= z o = 毛q y l ， 玉口l m = 而= 而口2 m ， 而口2 乃= 屯= 墨码弘， 一i 1 儿一l = 乙一l = 儿= 乙= 6 其中f - l ，2 ，h 于是由6 的定义，口j 与：要么同时正则，要么同时非 正则若对所有的f = l ，2 ，l ，q 与4 都是非正则元，则q = 4 从而 口= 6 故口加若元素对口i 与口：中存在正则元，不妨设气与毛，吼与 吐，气与t 是所有的正则的元素对，其中七 易 则 易见 口2 q 乩， 以= 毛= 气托， 气一。口：。以_ 1 = z = 气虼= 乙= 6 且由5 的定义，存在气，气，气e ( s ) 使得 缉茸= q 蟛，一。，巧弓= 巧j 弓 从而 n i 产、p n e t i ，n | l p n k e h 这时，由气p = 气p 一一气p 是万一群s p 的单位元，知 n p 。x t p y l 、p2x t 。a 1 e 一1 y 、p 7 f l | 宁师范人学硕上学位论义 2 x t 。n t l e t 。y p 2 x 1 n 、y 【l p2x t t n t - l y t l p = x l p ic e l y k p 2 x l i a l k y t t p2 b p 所以口p = 6 p ，即口p 6 从而证明了占”是s 上的最小，r 一群同余一 8 曲阜师范大学坝l ：学位论文 第三节俨纯正半群的带同余 1 9 8 5 年，m i l l s 【9 】刻匦了纯正半群上的矩阵同余1 9 9 9 年，郑恒武 2 5 】研究了，r 一正则半群上的矩阵同余本节研究，r 一纯正半群的带同 余及其同余扩张 定义3 1 1 1 1 半群s 称为玎一纯正的，如果s 是玎一正则半群，且 e p ) s ，即e p ) 为s 的子半群 定义3 1 1 半群s 的同余d 称为s 的带同余，如果剐d 为带 对于丌一纯正半群s ，幂等元集e ( s ) 为s 的子半群，因此每个s 上 的带同余诱导出e ( s ) 上的同余特别地，若可扩张到s 上的带同 余，则e ( s ) 上的每个同余可扩张到s 上的带同余 对于半群s ，由于为带同余，故最小带同余是存在的 觚代表s 的最小带同余若s 为7 r 一纯正半群，则6 剐。) 为层( s ) 的最 小带同余 引理3 1 【2 】令s 为，r 一正则半群，_ p 为s 上同余若口p e ( 剐p ) ， 则存在e e ( s ) 使得口p p 定理3 1 令仃为玎一纯正半群s 上的带同余则s 的每个a 类包含 幂等元特别地，若口s ，工矿( 口2 州) ，则4 巾湖“。e p ) ，且 - 日( 。) 埘 x 些皇墅垫奎兰塑主兰焦堡壅 口 n ) 柏，扣) 口 口) x 口一a ) = 口d 。) x d 2 “。) x 一。) = 口“4 x 口 町e ( s ) ， 口2 ，扣) 阳2 ，扣) = 口2 一口) 且口扣) x 口( 。) ( r 口2 叫“) m 2 “4 ) = 口2 ( 4 ) 盯口 故盯口d 。) 瑚d 4 ) 成立 对于7 r 一纯正半群s ，s 上每个同余p 均可诱导出e ( s ) 上的同余 p i 。( 。) 而e ( s ) 上的同余p 至多有一个相应的同余扩张。 定理3 2 令o ，f 为丌一纯正半群s 上的带同余，且d i 可s ) = f i 。( s ) 则 盯= f 证明令盯6 由s 为丌一纯正半群，令x 矿( 口2 砷) ，y y ( 6 2 “砷) 由定理3 1 有 口 4 ) j c 口d 4 ) 仃口，6 6 ) y 6 砷c r 6 由于口巾) 期d 曲d 6 ) y 6 巾) ，因此口巾) 瑚 口) r 6 巾) 妒 “因为f 为s 上的 带同余，有口r 4 2 a ) f 口 砷期巾) ，所6 2 d 6 ) r 6 巾) 如 ”从而盯6 故盯r 同理，f 盯故盯= f 一 推论3 1 丌一纯正半群s 上的带同余为占( s ) 上的带同余的唯一的 扩张 推论3 2 若s 。( 。) 哥扩张到s 上的带同余仃，则仃必为s 上的最小带 同余 证明s e l s ) 觋b ) ，显然 由妍仃，所以弧i q 础盯l 剐s ) = s 删故嘶i 叫s ) 2 s 荆由推论3 1 知嫩= 盯 下面考虑e ( s ) 上的同余可扩张到s 上的带同余的必要条件 定理3 3 令盯为丌一纯j 下半群s 上的同余则仃为s 上的带同余当 曲阜师范大学坝_ 学位论文 第四节左( 右) 俨正则半群的 半直积和圈积 彭少玉 1 6 给出了左7 r 一正则半群在含幺元的情况下的半直积本节 研究一般左( 右) 疗一正则半群的半直积和圈积，此处半群不再局限于幺 半群给出两个左( 右) 石一正则半群的半直积和圈积是左( 右) ，一正则 半群的充要条件 定义4 1 田1 设s 和丁为半群，d 讲( r ) 为丁的自同态半群令 a ：s 。勘d ( r ) ，s 卜a ( s ) 为给定的半群同态令s s ，f r 记 ，5 ) = r 则关于所有的s ，r s ，r ，“r ，( m ) = f 5 矿，( r ) = ，在直 积s r 中定义乘法： ( 蹦) ( s ，f i ) = ( 嬲l ) 则s r 关于此乘法做成半群，称此半群为s 和r 的半直积，记为 s 。丁 1 左厅正则半群的半直积 定义4 2 脚若s 是疗一正则半群，且对任意的岛，e ( s ) ，有 咖= 矿，则称s 为左耳一正则半群 定理4 1 ：设s ，r 为半群，a ：s _ + d 耐p ) ，s 卜a ( s ) 为给定的半 群同态若半直积s k7 1 是左，r 一正则半群，则 ( 1 ) 对任意8 e ( s ) ，s 和r 是左玎一正则半群，其中 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 3 ) 对任意s s ，r ，则存在m z + ，( 乱，f i ) y ( ( s ，f ) ”) 使得 ( 蹦) ”( 吣f 1 ) ( 蹦) ”= ( 蹦) 卅 从而 ，= s ”s ，r p 庐， ，d w ) = ( r “m ) 1 ， ，f 可m ) = ( f 8 ) ，l ，) 4 ，f 5 ( m ) 所以f d ”) f l ，= ( f 酬 叮， 由( 2 ) 知 ”) ，= ( r d ”k 寸7 所以 f d ”) = r d ”) ，f 4 ) 故f 咖) r e g r n ( f d _ ) 矿n 和) ( 4 ) 对任意e ，e ( s ) ，“，v ，且”= ，v = v 由( 2 ) ， ”= “占( r ) ，一= v e ( r ) ，且( e ，”) ，( ，v ) e ( s 。r ) 从而 ( 删，) ( e ，“7 ) = ( 训v ) = ( 州吒7 ) = ( 州 x 曲阜师范火学顶士学位论文 由7 1 是左7 r 一正则的，知 “，v 矿，= ，v 矿= ，( v ，) 盯= 甜，v = “7 v 。 从而，v = “7 v 。 同理可证伊“= v 。”， ( 5 ) 设( 岛“) e ( s 。r ) ，即( e ，“) 2 = ( e 2 ，“。“) = ( 岛“) 贝o e 2 = b e p ) ，”= “ 由( 2 ) 知封= “e ( r ) 反之，设p e ( s ) ，矿= e ( 丁) 则= “= h 故 ( e ，”) 2 = ( e 2 ，“) = ( 。，“) e 五( s 。r ) ( 6 ) 设( 5 ，) 五。g ( s a r ) 则存在“，f 1 ) s 。丁使得 ( 岛f ) ( 岛， ) ( 矗r ) = ( s ，f ) 即 s s 、s = s t 哪t i t = t 从而 s 删且( q 5 ) 甲f f l 5 = f f l 由( 2 ) 得( 峨5 r 5 = ，从而 n ：i - t 琶妇酊- 反之，设毛s 和 丁使黜i s = s ，嵋f = f 由r = f 知 t 3 r r = t 3 = t 故 ( 叫。) ( 叫”) ( 蹦。) = ( 峭蹦“_ ”，) = ( 蹦。) = ( 乩f ) 尼曙p ) 一 | f | ：| 卓师范大学硕士学位论文 定理4 2 设s ，为半群，a ：s j 砌d ( ，s a ( s ) 为给定的半 群同态则半直积s k 丁是左石一正则半群的充要条件是 ( 1 ) 对任意p 点( s ) ，s 和r 是左，r 一正则半群，其中 r = ”丁 ； ( 2 ) 对任意g 占p ) ，f r ，若，4 f = r ，则f 。= f ； ( 3 ) 对任意se s ，f r ，存在晰e z + ，使，r 馏( s ) ， r 咖) r e g r n ( f 咖) ，n “，其中& 矿( ，) ； ( 4 ) 对任意8 ，厂ee ( s ) ，“，v r ，若”勺= “，v 7 v = v ，则 甜，v = “，矿矿“= v 材， 证明必要性由定理4 1 给出下证充分性 对任意( s ，f ) s r ，由( 3 ) ，存在卅z + 使 ，矗曙( s ) ，f 州r e 驴n ( f 如) ”。n 删，其中丑矿( ，) 设 r 使f _ ) = ( f d m ) r d 则 ( r “* ，) ，= ( r 3 c _ ，) 1 ， m ，( ，。c ，) ， 从而 ( r d m ，) 1 ，= ( ( r m ，) ，) 1 ，( ，d m ，) 即广 由( 2 ) ( r 如) 1 ”铲( r 所以 1 8 曲阜师范大学磷i j 学位沦文 工z ，船z ，且s ( 掰) = ( ) x 令丁。= i ，：x 一丁 任意，g 丁。， 任意x x ， 令( 唐) ( x ) = ，( x ) g ( x ) 则r 为半群设 口：s 一凸耐p ) ，s 卜a ( 5 ) 为半群同态，其中对任意的s s ，和 石z 厂( z ) = 厂( 蹦) ，则称半直积s 。丁。为s 和丁的圈积，记为晚丁 当x = s 时，用踟r 表示甄r ，称为s 和r 的标准圈积由定理4 2 得 定理4 3 设s ，r ，a ，r 定义如上则舰丁是左丌一正则半群的 充要条件是 ( 1 ) 对任意e e ( s ) ，s 和( r 。) 。是左石一正则半群，其中 ( r j ) 。= “。k e r t ； ( 2 ) 对任意p e e ( s ) ，“丁。，若”= “，则矿= “； ( 3 ) 对任意s s ，“r ，存在研z + 使得，e 觑婶， ”r e 扩n ( 州r ，r 。“州，其中而矿( ，) ； ( 4 ) 对任意g ，厂层( s ) ，“，v r ，若“= 虬v 7 v = v ，则 “，v = “，v v “= v “， 引理4 1 设s ，为半群，s 左作用于集合x ，定义如上对任 意e e ( s ) ，令以= 五阢丁，且k l s i 捎l 定义( r 。) 。同定理4 3 则( r 。r 是左巧一正则半群当且仅当r 是左玎一正则半群 证瞻必要性设( r 。) 是左丌一正则半群对于任意f r ，定义 ，：并_ 7 1 ，厂( 工) = f 则任意x z ，”( z ) = 厂( 蹦) = ， 从而 曲阜师范人学硕士学位论文 ( 旷( x ) ) ” ( ( x ) ) ”= ( g 。( x ) ) ” 定义 o ) = 从而任意x ( g 。( x ) ) ”厅( j ) ( 占。( 工) ) “= ( g 。( x ) ) ” 于是 ( 旷) “炉( 旷广= ( g 。) ”，即( 9 8 ) ”r 昭( r 。) 故( 丁。) 是丌一正则半群 若对于任意厂。e ( r ) ，旷r 瞎( r 。r ，则任意z x ，。( x ) e ( 丁) ，g 。( x ) 足e g r 由r 为左疗一正则半群，知 - ，”( x ) g ( x ) ，。( x ) = j r 。( x ) g 。( x ) 从而 厂g ，。( x ) = 厂。g 。( x ) ，即，g ，。= 厂g 故( r 。) 是左疗一正则半群一 所以上述定理等价于 定理4 4 圈积s 吼r 是左丌一正则半群的充要条件 ( 1 ) 对任意e 五( s ) ，s 和r 是左石一正则半群； ( 2 ) 对任意p e 五p ) ，“e r ，若甜。= ”，则“。= 甜； ( 3 ) 对任意se s ，“r ，存在m z + ，使得，e r 昭p ) ， “如) r e g r n ( “州) ”r 。州，其中卟矿( s ”) ； ( 4 ) 对任意8 ，e ( s ) ，“，v ，若“。“= ”，v 7 v = v ，则 ，v = “，v 8 v 8 材= y 。“ 2 2 i i 片师范人学碗小学位论文 3 右万一正则半群的半直积和圈积 定义4 3 2 1 若s 是正则半群，且对任意的g ，e p ) ，有咖= 一， 则称s 为右石一正则半群 定理4 5 设s ，r 为半群，a ：s - 西耐( 丁) ，s 卜瑾( s ) 为给定的半 群同态若半直积s 丁是右玎一正则半群，则 ( 1 ) 任意e 层p ) ，s 和r 是右石一正则半群，其中 r = ”r ； ( 2 ) 任意p e ( s ) ，f ，r ，若，e p ) ，则任意g e ( s ) ， f 舻e ( r ) ； ( 3 ) 对任意j 仨s ，f r ，存在m z + ，使，r 曙( s ) r 州( f 州) 矿n 州，其中 e y ( ，) ； ( 4 ) 对任意岛，ee ( s ) ，虬v e 丁，若”。“= 甜，v 7 v = v ，则 “，v ( 甜，v ) 矿r ； ( 5 ) ( e ，“) e ( s 。，) 当且仅当e e ( s ) ，“。= “e ( r ) ； ( 6 ) 对任意s s 和t 丁，若r = f ，则( s ，f ) r e g ( s x 。丁) 当且仅当 s r e g s ，t r e 醴 则 证明( 1 ) ，( 3 ) ，( 5 ) ，( 6 ) 同定理4 1 的对偶可得 ( 2 ) 对任意8 e p ) ，r f r ，设，使得，。= f 若r 。e p ) ， = 竹。f 1 = “= f ， ( p ，r ) ，( 巳厂) e ( s x 。r ) 曲阜师范大学硕士学位论文 于是 故( p ，f 8 ) 矿( ( 吖) ) 从而 即 ( 叫) ( ；) ( 州) = ( 叫甲f ) = ( e ，f ) 同理可证( 彤) y ( ( 岛，) ) 设局矿( e ) ，( 叫吗) 矿( ( 叫) ) 则 ( 叫) = ( 叫) ( q ，严) ( 叫) = ( e ，厅) = ( e ，r 叶) f e f 5 一= f 4 1 一= 一一 产e ( r ) 因为严e ( r ) ，曙石( s ) ，且秽矿( 弘) ，故有尸e ( r ) 从而 于是 ( 4 ) 对任意p ，厂e p ) ，”，v r ，且“。“= ”，v 7 v = v ，则 故“7 v ( “，v ) 矿r _ ( e ，) ，( ，v ) e p 口r ) ( 岛甜) ( ，v ) = ( “7 v ) e ( s 。r ) ( ，v ) 矿( ”，v ) = 材，v 定理4 6 设s ，r 为半群，a ：s 寸d 耐( 丁) ，5 卜a ( s ) 为给定的半 群同态则半直积s 。r 为右丌一正则半群的充要条件是 ( 1 ) 任意e e ( s ) ， s 和丁。是右牙一正则半群，其中 2 4 曲阜师范大学硕：l 学位论文 = ( e ，( 山) 旷z ) = ( 咖7 v ) = ( 叫) ( ，v ) 从而s 。7 1 是右疗一正则半群_ 定理4 7 圈积舶k r 为右丌一正则半群的充要条件是 ( 1 ) 任意e 点( s ) ，s 和r 是右石一正则半群，其中丁。= p k 丁 ； ( 2 ) 任意p e e ( s ) ，r r 8 了 ，若，e ( r ) ，则任意，e ( s ) ， 尸e ( r ) ； ( 3 ) 对任意j s ，r ，存在m ez + 使得，震秽， “) ( 一“) 矿n 州，其中丑矿( ，) ； ( 4 ) 对任意e ，e p ) ，“，v r ，若”。“= ， v 7 v = v ，则 西( 厂r f i i 阜师范大学硕士学位论文 第五节强万一逆半直积的弱自然偏序 彭少玉等【1 7 】研究了逆半直积的自然偏序赵剑 2 4 研究了丌一正 则半群上的弱自然偏序关系本节利用强丌一逆半直积的性质刻画强 丌一逆半直积的弱自然偏序 为方便计，正则元口巾记为口，其中r ( 口) 表示口的最小正则指数 石一正则半群s 上的弱自然偏序关系蔓定义如下【2 4 】： 口6 二蔓石 三具有自反性，传递性，相似性 对任意p ，e ( s ) 有p = e ；呸厂p s 厂，其中为s 上的自然 偏序 定义5 1 ”设s 为疗一正则半群若e ( s ) 为半格，则称s 为强7 r 一 逆半群 引理5 1 【2 4 l 设s 是牙一正则半群，口，6 s 则下列条件等价： ( 1 ) 蜓6 ； ( 2 ) j p ，e ( s ) ，二= 石= 砂 引理5 2 7 1 设s ，r 为半群，a ：s 斗删( 丁) ，s 卜a ( s ) 为给定的半 群同态则半壹积s 。r 为强丌一逆半群的充要条件是 ( 1 ) 对任意e e ( s ) ，s 和r 是强疗一逆半群，其中r = p k 丁) ： ( 2 ) 对任意e e p ) ，f 7 1 ，若r f = f ，则f 。= f ； ( 3 ) 对任意s s ，f r ，存在z + 使得j “r 昭( s ) ， 些皇堑蔓查兰堡主兰堡笙苎一 一1 ) er e g r n ( 一。) 矿n 删淇中卟y ( ，) ； ( 4 ) 对任意e ，e ( s ) ，“，v r ，若“= 巩v 7 v = v ，则 ( 柳y = ( “v ) 7 定理5 1设s ，丁为石一正则半群，半直积s x 。丁为强万一逆半群 则( ，) 蔓心，乞) 的充要条件是焉蔓屯， 墨屯 证明 设( 岛， ) s ( 屯，f 2 ) 由引理5 1 知存在m ，l z + ， ( e ，”) e ( s 。r ) 使得 即 ( 黾， ) _ = ( 舭) ( 屯，f 2 ) ” ( 而。， 州) = ( 岛甜) ( f ，f 2 州) = ( 噬，纠 从而r = 鸭“， d 哪= ，2 如) 由( e “) ( 8 ，“) = ( p 2 ，勺) = ( p ，“) 及引理 5 2 ( 2 ) ，知 e 2 = e e ( s ) ，“= “= “e ( r ) 于是l ，”= ( ”材) 巧= e 占( r ) 故i = 匠，i = “i 得 同理，| ( ，v ) e ( s k 丁) ，i = 互，i = _ v ，故丑5 屯，三屯 反之，设置墨是， 5f 2 则存在。e e ( s ) ，“e e ( r ) ( “e ( 丁) ) 使 s ，_ = 船1 ”， “) = 矿 从而( s 。” f l 酬) = ( e s t p ) = ( 州) ( s ， 巾) - 即 ( 函，) ”= ( e ，“) ( 屯，f 2 y ，( p ，“) e ( s 。r ) 曲阜师范大学坝i 学位论立 于是( ，f i ) = ( 郇) ( 屯，2 ) 同理( q ，) = ( 如，) ( e ，“) 故( 毛，f ，) 墨( s ：，f 2 ) 一 推论s 1 设s ，r 为万一正则半群，半直积s x 。，为强玎一逆半群令 ( 岛“) ，( ，v ) e p x 。r ) 则( e ，“) ( ，v ) 的充要条件是e s ，甜s v 推论5 2 【1 7 ，定理l 】令s ，r 为逆半群，s r 为s 与丁半直积 则( 丑， ) ( s ：，f 2 ) 的充要条件是屯， s 参考文献 l b o g d a n o v i c s s e m i g r o u p sw it h a n o v i s a n d 1 9 8 5 2e d w 8 r d sp m e v e n t u a l1 yr e g u l a r i a t h s o c 1 9 8 3 2 8 ：2 3 3 8 s y s t e mo fs u b s e m i g r o u p s s e m i g f o u p s ，b u l l u s t r a l 3 高理平强石一逆半群的局部化与最小群同余，数学研究， 1 9 9 7 ，2 ( 3 0 ) ：1 9 3 1 9 8 4h a n u m 8 n t h ar a os ，l a k s h a ip g r o u pc o n g r u e n c e so ne v e n t u a ll y r e g u l a rs e m i g r o u p s j a u s t r a l m a t h s o c ，1 9 8 8 ，4 5 ：3 2 0 3 2 5 5h o w i ej m ni n t r o d u c ti o nt os e m i g r o u pt h e o r y l o n d o n ， a c a d e m i cp r e s s 1 9 7 6 6k o c hr j s a n d w i c hs e t8 n dp a r t i a lo r d e r s e m i g r o u pf o r u m ，1 9 8 4 ， 3 0 ：5 3 6 6 7 刘加云，张玉芬强万一逆半直积数学研究，2 0 0 3 ，3 6 ( 4 ) ：4 2 2 4 2 7 8 罗彦峰，杨东毕竟正则半群上的同余兰州大学学 报，2 0 0 3 ，2 9 ( 3 ) ：1 3 9m il1 sj e m 8 t r i xc o n g r u e n c e s o no r t h o d o x s e m i g r o u p s s e m i g r o u pf o r u m 1 9 8 5 ，3 1 ：8 7 9 7 1 0m i t s c hh an a t u r a lp a r t i a lo r d e rf o rs e m i g r o u p s p r o c a m e r m a t h s o c s e r a ，1 9 8 6 ，9 7 ：3 8 4 3 8 8 1 1 n a m b o o r i p a dk s t h en a t u r a lp a r t i a lo r d