（基础数学专业论文）局部可分度量空间与弱度量拓扑空间.pdf

摘要 在文 1 】中，周丽珍给出了局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映象的刻划，但 是证明不太完善在文【2 】中j c h a b e l 讨论了这样一类空间：该空间能够被一个 映射映上可度量化空间，而且这个映射的纤维具有给定的性质p ；同时作者也给 出了这类空间的完备映象和开紧映象的刻划。 本文引入子集的c s 网的概念，并借助这一概念给出了局部可分度量空间的伪 序列覆盖s 映象的刻划。同时也刻划了局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象。 我们还将考虑弱度量拓扑空间的序列覆盖紧映象和序列商紧映象。 在这篇论文中我们主要讨论了局部可分度量空间和弱度量拓扑空间的各种映 象。全文由四个部分组成， 第一章介绍了相关的背景材料和我们的研究目标 第二章首先指出文【1 】中定理1 2 证明的不完善之处，然后详细介绍了我们所 刻划的局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映象，并且借助林寿老师在文( 9 i 中给 出的一个引理，刻划了局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象，由这一结论很容 易得出林寿老师等在【3 中给出的局部可分度量空间商紧映象的刻划。 第三章研究弱度量拓扑空间，它可以由一映射映上可度量化空间我们刻 划了弱度量拓扑空间的序列覆盖紧映象和序列商紧映象。 在第四章中，我们对本文的工作进行了总结，并且提出了几个有待进一步研 究的问题 关键词 局部可分，弱度量拓扑，伪序列覆盖映射，序列覆盖映射，序列商 映射，s 映射，紧映射，c s 网，c s 4 网，点星网 a b s t r a c t i nt h ep a p e rf l j z h o ul i z h e ng i v e sc h a r a c t e r i z a t i o n so fi m a g e so fl o e 出l ys e p a r a b l e m e t r i cs p a c e su n d e rp s e u d o - s e q u e n c e - c o v e r i n gs m a p p i n g s b u tt h ep r o o fi sn o tp e r f e c t a n di nt h ep a p e r 2 j c h a b e rg i v e sc h a r a c t e r i z a t i o n so fp e r f e c ti m a g e sm i do p e ne m d c o m p a c ti m a g e so fs p a c e st h a tc a nb em a p p e do n t om e t r i z a b l es p a c e sb yam a p p i n gw i t h f i b e r sh a v i i l gag i v e np i o p e r t yp 1 1 1t h i sp a p e rw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fc 8 + 一n e t w o r ko fas u b s e tt og i v en e wc h a r a c t e i i z a t i o n so fp s e u d o s e q u e n c e c o v e r i n gs i m a g e so fl o c m l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e s a n dw ec h a r a c t e r i z ep s e u d o s e q u e n c e - c o v e r i n gc o m p a c t i m a g e so fl o c a l l ys e p a r a b l en l e t r i cs p a c e sw ea l s oc o n s i d e rs e q u e n c e c o v e r i n gc o m p a c t i m a g e sa n ds e q u e n t i a l l y q u o t i e n t c o m p a c t - i m a g e so fw e a k e rm e t r i ct o p o l o g ys p a c e s i nt h i sd i s s e r t a t i o n 、w ed i s c u s ss o n i ci m a g e so fl o c a l l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e sa n d w e a h xm e t r i ct o p o l o g ys p a c e si tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i l lt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h eo b j e c t i v eo ft h i sd i s s e r t a t o n i nt h es e c o n dc h a p t e iw pb e g i nt op o i n to u tt h a tt h ep t o o fo ft h e o r e n l1 2 ( f l j ) i s n o tp c l f e c tt h e nw ec b m a c t e r i z ep s e u d o - s e q u e n c e - c o v e r i n gs i m a g e so fl o c a l l ys e p & i i p b l em e t r i cs p a c e sw ec h a r a c t e r i z ep s e u d o ，s e q u e n c e - c o v e r i n gc o n l p a e t i m a g e so fl o c a l l y s e p a r a b l em e t r i cs p a c e sw i t ht h eh e l po fa e m m ao f 阱b yt i l ec h & r a c t e r i z a t i o ni t i s e a s yt og e tt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fq u o t i e n tc o m p a c t i m a g e so fl o c a l l ys e p a r a b l em e t r i c s p a c e s ，w h i c hi sg i v e nb yl i ns h o ue ta l ( 1 1 1t h et h i r dd l a p t e r ，w ei n v e s t i g a t es p a c e sw i t haw e a k e ri n e t l i ct o p o l o g yt h a tc a n b em a p p e do n t om e t r i z a b l es p a c e sb yao n e - t o - o n em a p p i n g w eg i v ec h a r a c t e r i z a t i o n s o fs e q u e n c e - c o v e r i n gc o m p a c t i m a g e sa n ds e q u e n c e - q u o t i e n tc o m p a c t i m a g e so fw e a k e r m e t r i ct o p o l o g ys p a c e s c o n c l u s i o n sa r l ds o m ep r o b l e m st ob es t u d i e df u r t h e r & r ei nt i l ef o u r t hc h a p t e r - k e y w o r d sl o c a l l ys e p a r a b l e 、w e a k e rm e t r i ct o p o l o g y p s e u d o s e q u e n c e c o v e r i n g v 安徽大学硕士学位论文 m a p p i n g ，s e q u e n c e - c o v e r i n gm a p p i n g ，s e q u e n t i a l l y q u o t i e n tm a p p i n g ：s m a p p i n g ，c o m p a c t m a p p i n g ，c s n e t w o r k ，c s + n e t w o r k ，p o i n t s t a rn e t w o r k 第一章引言 早在1 9 6 1 年，前苏联伟大数学家a l e x a n d r o f f 就提出了用映射研究空间的设 想，1 9 6 6 年，著名拓扑学家a r h a n g e l 7 s k i ia 发表了历史性的文献1 7 1 ，对如何实 施这一设想给出了一系列建设性的具体步骤，从而开创了用映射研究空间的新纪 元。 用映射研究空间大致可以分为三个方面，其中包括度量空间在某些映射下的 象有哪些内在特征，例如度量空间的闭映象( 即l a g n e v 空间) 被f o g e di 1 1 1 刻划为 具有一一遗传闭包保持一网的马、n 6 c h e t 空间。事实上度量空间及可分度量空 间的各类映象的内在捌划引起了拓扑学家们的广泛兴趣，其中包括t a n a k a ( 1 1 0 1 ) 将度量空间商s 映象刻划为具有点可数c 3 网的序列空间。 而局部可分度量空间是介予度量空间与可分度量空间之间的一类重要空阈， 近年来中外很多学者对它的研究作出努力刘川老师等在文f 5 l 中刻划了局部可 分度量空间的紧覆盖s 映象，林寿老师等在文f 3 中更加详尽地研究了局部可分度 量空间的各种映射，刻划了局部可分度量空间的商s 映象，商紧映象和闭映象。 而刘川，t a n a k a 在文【8 】中考虑了具有星可数k 阿的空间，并且得出局部可分 度量空间的商s 映象在此附加条件下的一个简洁刻划。周丽珍在【1 】中刻划了局 部可分度量空间的各类序列覆盖s 映象。林寿，燕鹏飞老师在文f 4 1 中给出了蜀部 可分度量空间的序列覆盖s 映象更加简洁的刻划。李进金老师在文 6 中又给出 局部可分度量空间的序列覆盖s 映象一个相对简洁刻划，并且在周丽珍的基础上 给出局部可分度量空间的其他各类序列覆盖s 映象的简洁刻划。 但是目前还未能给出局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映象的简洁刻划。其 中周丽珍在f 1 1 中定义了序列的c 8 + 网，借助于这一概念刻划了局部可分度量空间 的伪序列覆盖s 映象。然而十分遗憾，其中的证明有不完善之处。众所周知度量空 间及可分度量空间的序列商s 映象等价于伪序列覆盖s 映象，但是由于没有局部 可分度量空间的伪序列覆盖s 映象的适当刻划，我们不知道对介于度量空间和可 分度量空间的局部可分度量空间，序列商s 映象与伪序列覆盖s 映象是否等价 从而产生了如下问题：局部可分度量空间的序列商s 映象是否等价于局部可分度 量空间的伪序列覆盖s 姨象? 安徽大学硕士学位论文 本文引入子集的f 2 8 + 网的概念，给出了局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映 象的一个刻划同时我们也考虑了局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象林寿 老师在【9 】中证明了度量空间的序列商紧映射是伪序列覆盖映射，我们别借助此 引理给出局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象的刻划。作为一个应用，我们用 此结论很容易地得出了林寿老师等在文f 3 1 中所给出的局部可分度量空间商紧映 象的等价刻划。 事实上可度量性一直为拓扑学家所关注，而与度量空间相关的空间也一度成 为一般拓扑学研究的一大课题，高国士老师的文1 5 1 和林寿老师的文【1 3 】均大量 介绍了广义度量空间理论。在文【2 】中，jc h a b e r 讨论了这样一类空间：它可以由 一个映射映上可度量化空间，而且这个映射的纤维具有给定性质p ；作者还给出 了这类空间的完备映象和开紧映象的刻划。这样的空间引起了我们浓厚的兴趣， 于是我们考虑了弱度量拓扑空间，即存在一一映射使其映上可度量化空间。我们 也同样用映射来研究这类空间，于是刻划了弱度量拓扑空间的序列覆盖紧映象和 序列商紧映象。 第二章局部可分度量空间的伪序列覆盖映射 2 1 本章提要及相关定义 在这一章中我们首先指出文( 1 】中定理1 2 证明的不完善之处，然后详细介绍 我们所刻划的局部可分度量空间的伪序列覆盖8 映象，并且借助林寿老师在文 9 中的一个引理，刻划了局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象，由这一结论我们 立即得出林寿老师等在 3 】中给出的局部可分度量空间商紧映象的刻划。 本文所论空间均为正则丑的，映射是指连续的满射。为自然数集， u= o u 。文中提到的序列如未加说明，均含极限点。若。m n ) 是x 中的一列 点，则( z 。) 表示x 的子集( z 。：n ；( ) 表示笛卡儿积x 。中的第t 。个坐 标为研。的点；( 表示x 中的第n 项为。的序列。 定义2 1 设，：x y ， ( 1 ) 称，为s 映射，如对每一y y ，f - i ( ) 为x 的可分子集 ( 2 ) 称，为紧映射，如对每一r - 1 ( ) 为x 的紧子集； ( 3 ) 称，为序列商映射，若y 中任一收敛序列s ，存在x 中的收敛序列l 使 ( l ) 是s 的子序列； ( 4 ) 称f 为伪序列覆盖映射，若y 中每一收敛序列s 存在x 中的紧子集k ， 使f ( k ) = s 注：在文f 1 】中称伪序列覆盖映射为序列覆盖映射。 定义2 2 设p 是x 的覆盖，pc x ， ( 1 ) 设x 中的序列 。，。：n n ) 收敛于t o ，称序列 ：n u ) 终于p ，如果 存在m n ，使得 z 。：n m u 。o ) c p ； ( 2 ) p 称为x 的c s + 网，若x 中的序列 z 。n ) 收敛于t o ，且y 是z o 在 x 中的邻域，则存在p p ，使得序列 。：n u ) 的某子列终于p ：且j ， v ： ( 3 ) p 称为x 的+ 覆盖，若s 是x 中的收敛序列，则存在p p ，使得s 3 4 安徽大学硕士学位论文 的某子列终于p 定义2 3s 为x 中一收敛序列，若s = u ：i j ) ，其中每个& 为闭子 集，且i ， u 则称 s ：i ，) 为s 的序列有限分解。 定义2 4 设p = u ，r 是空间x 的子集族，其中每一是x 的覆盖， ( 1 ) ( ) 称为x 的点星网，若对于每一z x ，( “( z ，) ) 是t 在x 中的网； ( 2 ) 若x 的点星网 p 。) 使得每一- p 。具有性质c ，则 ) 称为x 的c 点星 网； ( 3 ) 若x 的点星网 p n 使得每一( “( t _ p ，。) ) 是z 在x 中的具有性质d 的 阐，则 - p 。 称为x 的点星d 网。 注：设 p 。 是空间x 的点星网，称( p 。) 是x 的加细，若每一p “，加细 p 若每一p 竹还是x 的点有限覆盖，则称 _ p 。) 是x 的点有限加细。 定义2 5 设空间x 的子集族p = u 攻：z x ) 满足： ( a ) 对于z x ，r 是z 在x 中的网，即ze n 吼，且对于x 中包含z 的开集 g 存在p p 。使得p cg ； ( 1 】) 如果uv 吼则存在w p 。使得wcun v 。 ( 1 ) p 称为义的弱基，若gcx 使得对于z g 存在p p 。有p ( g 则 g 是x 的开集； ( 2 ) p 称为x 的序列邻域网( 简记一网) ，若每一p ，的元都是z 在义中的 序列邻域。 2 2 主要结果 首先我们指出文【l 】定理1 2 的证明有些地方不够完善 周丽珍在文 1 1 中定义了收敛序列的c 8 网tp 为x 的子集族s 称p 为收敛序 列 ：n u ) ( 其中。+ 如) 的c s + 网，若x 中任一含。o 的开集u ，存在p p ， 22 主要结果 5 使 ：n u 的某子列终于p ，且p cu 并且用此定义刻划了局部可分度量空 间的伪序列覆盖s 映象。作者在证明，是伪序列覆盖映射( 在文( 1 中称为序列覆 盖映射) 时指出存在有限n 1 n 2 ，n ，。a 使sc u i 。x 。，p 7 = u ；s 。p 。，为s 的 c 圹网，则对任意包含s 的开集u ，存在，1 一，满足性质y ( s u ) ，scu i cu ， 且每一p ，p n s 为非空闭集而事实上由于，是局部可分度量空间m 到空间 x 的映射，于是还要兼顾肘的局部可分性，那么一旦取出o z ，6 2 2 ，舟。，就必须 是确定的，对任意包含s 的开集u ，由p = u 。p 。为收敛序列s 的c s + 网，存 在p p 使s 的菜子列终于p ，且p cu ，不妨设此子列为s z ，尉岛= s 岛 仍可能是无穷子列，由n ，n z ，一，“。的取法知p 不必是岛的c 矿网，那么这样 的并不一定存在有限子集族f 满足f ( s ，u ) 。请参看下例。 倒设x = 岛。： z uf z 。( 其中g 知。o ) 即一收敛序列。则z o 的邻域基为“z o ) u n 7 1 1 ：nmen ) ，并设每一( 一0 ) 为孤立点。 设x 1 = 掣2 舻in n x 2 = 现，。_ l ) u 。o ) p 1 = j r 2 n 一1 )n n ， p 2 = “省2 。n 0u g s 0 ，忙2 。) n ， t t n ) 。则p l 和吼分别是x i 和x 2 的 可数网。令s = z “n n ) u z d ，则scx 1u 扔且p lu p 2 是收敛序列s 的 c 矿网。但却没有p 1u p 2 的有限子簇覆盖s 。因此不存在，l p lu p 2 j “满足 f ( s x ) 。 由此亦可看出作者定义的收敛序列的。网在此处使用不太方便，下面给出 子集的c ：矿网的概念，并借助它重新刻划局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映象。 定义2 6p 为x 的子集族， y 为x 的子集，若对y 中任意收敛序列 - ? i l l ： f t u ( 其中一z o ) ，及x 中任一含。o 的开集u 存在p p 使 。：“u 的某子列终于p 且p cu ，则称p 为，y 的子集y 的网。 引理2 1s = 协。：n w ) ，一+ z o 是x 中的一个收敛序列，p 是x 的 子集s 的点可数。+ 网，则存在p 的有限子集列 p ，t 满足； ( 1 ) ( u p 。) 是s 在x 中的网； ( 2 ) 每一p ，；i s 是x 的非空闭子集族； ( 3 ) 对于g s ，及r ( p ，。) v ，( r ) 是，在x 中的网。 6 安徽大学硕士学位论文 证明r 不妨设所有的z 。是两两互不相同的。先证明对于s cu r ( x ) 存在 ，p w 满足： ( 1 1 ) scu ，cu ； ( 1 2 ) ， s 是x 的非空闭子集族。 令p = p p ：pcu ) = ( p ) 。对于 ，若sc ! k 只不成立，则存在 。k 使得每一z n e s u ；t 最，从而有 z n 。：k ，的子列扛n 。：j ) 和z n ，使褥( 。) c 只；t 矛盾。因此存在女，使碍s c ! 只。由此易作 出，ep “，满足( 11 ) 和( 1 2 ) ，集族的这种性质记为p ( s ，u ) 令西= ( ，p “：，具有性质f + ( s ，x ) ) ，则西为可数，记圣= ( p ，。) 。显然 p 。) 满足( 1 ) 和( 2 ) 。设s 且对n n ，有r ( r ) 。若v r ( y ) ：若 = z o 则令s l = vns 存在，p “，具有f 4 ( s l ，y ) ，同时存在，“p “使 得s s 1cu 尸cx s l ，不妨记口广7 i s s ，于是，u ，具有性质p ( s ，) ( ) + 从而有。n ，使尸u 尸= r 。所以只cu 7 v ，故( r ) 是在x 中的 阐。若跚则存在pep ，使pepcv ( s ) ，同时存在eep “具有 性质f + ( s 9 ，x f ) ) ，从而c u p 具有性质f _ + ( s ，x ) ，于是存在，n ，使得 c j p = p ，那么9 髟= pcf 故( 只，) 是“在x 中的网。因而( 3 ) 成立。 以下引理是 1 6j 中的结论，为了完整性，我们给出了它的证明。 引理2 2 ( 【1 6 】) m 为局部可分度量空间，则m = 0 。 a 坫，其中 如为可 分开子集。 证明：由m 为局部可分度量空间，则m 有一开覆盖w ，每一元为可分开子 集，而w 又有局部有限开加细“。对任意u “，u 为菜可分子集的开子集，故 u 亦为可分子集即“为m 的由可分子集组成的局部有限开覆盖。由酎为局部 有限集族，故为点有限集族。设，为甜的任一元，则u 有一可数稠密子集c 。 对任意v “，若v n u 0 ，则v n g 0 于是( 甜) “= v “：v n u 国) 至多为可数族，即“为星可数集族。 设“= u1 n ，对7 ，6 n ，定义7 6 ，当且仅当存在，1 巩，r ，u t ， 使巩n u l o ，一，矾n 叽+ 1 0 ，巩n 口则一为指标集n 上的等价关 2 2 主要结果 7 系，于是指标集q 被分解成两两不交的可数子集之并u 。 对每一nea ， 让6 t n = ：n 。) ，阮= u u 。则酣= u 。 ，且每一是可数的。并 且显然有n 地0 ，当且仅当n = 卢于是m = 0 。a 坻，并且尬，为可 数个可分开子集之并，故为可分开集即证 定理2 3 对于空间x ，下述等价： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映象； ( 2 ) x 具有点可数覆盖 ：口a ) 每一j 0 具有可数网吼，使7 ，= u o e a 满足：对x 中任一收敛序列s 存在s 的序列有限分解 s zej 对每一ze ， 存在a ，使5 i i x 。且p 。，是丘，的子集s 的c s + 网。 证明：( 1 ) = ( 2 ) 设f ：m x 是局部可分度量空间删到x 的伪序列覆 盖s 映射，则吖= 0 畦 乱，其中m ，为可分度量空间，则m ，具有可数基b 令= ，( m 。) ，吼= ，( 瓯) 于是 x 。：n a 为x 的点可数覆盖，p 。为的 可数网。对x 中任一收敛序列s ，存在m 中一紧子集上，使f ( l ) ：s 则l 仅与 有限个 如相交，设为( ，：i ) 令厶= l n 。，& = f ( l 。) 。则 鼠：i ， 构成s 的序列有限分解，且s l 、= ，( 坻，) ， 对任意i 设s 。中的点两两不同取s 中的收敛序列n 。：n 。 其中 。一跚且f ，。两两不同。令鼽e f 。f h ) n 厶则无穷子集 蜘：? t 存在子集 协” ) ，使g 。一g o 厂1 ( z o ) n 厶。于是对z o uer ( i x _ ) 存在b 日。 使bcf 一1 ( u ) 。不妨设序列 g 。u ) cb ，则 z “7 l 。 存在收敛子列 协。u ) ，及p = ，) p 。使 z ke 。 cpcl ，。即p 。+ 为子集& 的 c s 网。 c 2 ) 2 = j ( 1 ) 设五。p 。= 助：p 如) ，则a 。可数，不妨设。a 7 时， a 。n a 。一0 。令且= u “ a 。，赋予a 离散拓扑令m = b = ( ) e ：存在 n a 使只“= 五， 昂，) cp 。且 黾，) 构成x 中莱点。( 6 ) 的网) 。 则m 是可度量化空间。 并由x 是五空间，故对任意6 m ，z ( b ) 为x 中唯一的点。故可定义映射 ，m + x ，( 6 ) = z ( b ) ，易证，为连续的满射，且由p = u 。 p 0 的点可数性知 8 安徽大学硕士学位论文 ，为8 映射。 并且肘是局部可分的：对b = 慨) m ，z ( 6 ) = f ( b ) 玮。= x 。，令a 如= 1 = ( _ ) m ： o = n ) ，故地为m 中含b 的开集，旦 矗c ( 如) “，故慨为可分子 集，即m 是局部可分的。 下证，是伪序列覆盖映射：由题意，对x 中任一收敛序列s ，存在序列有限 分解 岛：i n ，且对每一鼠存在。a 使s 五；、p 。，为。的子集s 的c 8 网。于是由引理l ，对子集s 存在p 。的有限子集列 r ) ，满足引理1 的 ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 。对每一n n ，令f 。= 月：昂p ，。 、并且f o = p ：局= x 。，) 。令 l 。= b = ( 岛) 1 - 1 * 。r “ 岛，ns ：7 1 , u 具有有限交性质，则易证厶为紧集 兀。r ，。的闭子集，故为紧子集。下证厶cm 且，( l 。) = & ：设b = ) el n 则取定y s in ( n * 。只i 。) ，则 p k ) 为y 的网，于是bem ，( 6 ) = y & 于是 l ，cm ，f ( l 。) cs 。又设y & ，对每一n u ，存在乳h ，使ye ，令 b = ( 巩) 则b l 。且f ( b ) = y ，即& cy ( l 。) 于是有l ；c m ，f ( l i ) = s 。从而对 每一scs 存在m 中紧集l t ，使f ( l ，) = & 又由i ，i u ，故l = u i a l l i 仍为紧 集且，( l ) = s 。故，为伪序列覆盖映射。 于是有下列问题： 问题：局部可分度量空间的序列商s 映象是否等价于局部可分度量空间的 伪序列覆盖s 映象? 下面的引理说明了序列商紧映射和伪序列覆盖映射之间的关系，因此我们对 局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象能够给出一较简洁的刻划。 引理2 4 ( 【9 】) 设x 是度量空间，：x + y 是序列商紧映射，则f 是伪 序列覆盖映射 定理2 5 对于空间x ，下述等价： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的伪序列覆盖紧映象； ( 2 ) x 是局部可分度量空间的序列商紧映象； ( 3 ) x 具有点有限覆盖 矗：n a ) ，每个具有可数的点有限的覆盖列 22 主要结果 9 p q ，：i ) ，令p ；= u n p 。，则 p ：i n 是x 的点有限的c s 覆盖的点星 网； ( 4 ) x 具有点有限覆盖 x 。：。a ) ，每个墨具有可数的点有限的覆盖列 p n 。：t ) ，令p t = u a a p m ，则 p 。，n ) 是x 的点有限的点星s n 网。 证明：由引理3 知( 1 ) 乍 ( 2 ) ，并且显然有( 3 ) ：净( 4 ) ，下证( 2 ) = ( 3 ) 。 ( 2 ) ( 3 ) 设，：m ，x 是从局部可分度量空间m 到x 的序列商紧映射， 对m = 0 。am ，其中m ，为可分度量空间， b ：) 是m 的局部有限覆盖列，且 对每一紧子集c m ，( s t ( t ( 、统) ) 构成在 彳中的邻域基。令甄= ，( 腿，) ，p 。= ( bnm ，) ：b 8 。) ，则 x 。：n a ) 是x 的点有限覆盖，且( 吼。：i n ) 是 的可数的点有限覆盖列，并且( 耽( 置只) ) 是x 中点z 的网。又对x 中任一收 敛序列s ，存在m 中一收敛序列l ，使f ( l ) 为s 的子列不妨设lcm 、则对任 意l n 存在b 尽，使b 含有l 的尾部，则，( b n m 。) 亦含有s 的某子列的尾 部。即r 为x 的c s + 覆盖。 ( 3 ) ( 2 ) 令吖。= 。! ，p 。n 。= “。，则酣。仍为可数的点有限覆盖 列，下证甜。仍为x 的覆盖 由于“( n “，。) = n 。s t ( x ，p ；) ，且s t ( z ，r ) 为z 的序列邻域。故s t ( ：r ，p ) 也是 z 的序列邻域，又由“。的点有限性知“，。为义的c 覆盖即似。”) 为x 的点有限加细的“覆盖的点星网。不妨仍然记f “。n n ) 为 既，z ) ， 记f “n n 为 r ：i n 。则对x 中任一收敛序列s = 协。：n “ ，其 中h z o 设，= f n a 。o 五， ，由p l 为工的c s + 覆盖，知存在s 的子 列s ，及只，p l ，使s 1 终于只i l 由归纳法知对任意j n ，存在& 的子列岛+ 1 及易。p ，使& 一l 终于昂。由 c o 的点有限性知ij u 故存在n j ， p 。：i ) ，及 功，i n ) 的可数子集 取。) ，使尸。吼若i i 1 ， 则可令s ：= s ，( f 墨i i ) 于是由p j 。加细p 。知有耳，p 。，0 兰i l ) 使g 终于 r 。同理可得：对旗 i ! z “令= 。于是重新取得( 彰：i ) ，满足 爿+ ，是的子列，且对任意i n ，存在b 。p 。使只终于b ，。 令p 伽= 。 ，。a ，砖= u 。a p 。，= ：口a ，2 “。对每一u 赋 予a 离散拓扑令m = b = ( 既) = 丌：。a 存在a ，使斥。吼，且 玛，) 构 1 0 安徽大学硕士学位论文 残x 中某点x ( b ) 的网) 。 则m 是可度量化空间。 并且对任意b m ：由x 是n 的，故z ( 是唯一的，于是可定义映射， 盯t x ，f ( b ) = 。( 6 ) 。显然，是到上的连续映射 m 是局部可分的：对任意b = 池) m ，存在d a ，使f ( b ) = z ( 6 ) p = x 。， 并且- p 反p 。，( z n ) 。令帕产n = ( 仇) m ：f = x 。) 则叫b 是m 中的开 集，由r ，= r ：芦ea 。；j ，i u ，得蛳cn 。a 。从而可分，于是倒为局部可 分。 j 是紧映射：对任意z x ，令j = n a 一。托) 。对n ji u 令 b 叭= 8 a ，z 昂p m ) 由l j l u ，i b 。，| u ，贝4 ，1 ( z ) = u a j n 。b 。，是 吖的紧子集。故，为紧映射。 ，是序列商映射：由先前所证可知x 中任一收敛序列s = ( ：n “ ，( 一一 加) 存在n a 及s 的子列组成的集族 s 。ieu ，( 其中民= s ) ，使s i + l 为 s 的子刊，且 p 口，：i u 满足对每一s ，存在r p j ；，使s 终于b 于是 s ， f - l k i f 。取定z m s 及b 。厂1 ( 。m ) 、使得吼 n h 且当k i 时有投影 映射w ( k 1 = ，k ，从而h 【r l 。一。f k ( 氐) = 1 h 令b 0 = ( 讯) m ，那么，( b 0 ) = z o 且m 中序列 玩i u 以b 为极限点。故，为序列商映射。证毕。 引理2 6 ( 【1 2 ) 设- p 是空间x 的子集族，则 ( 1 ) 若7 ) 是x 的弱基，则p 是x 的m 网； ( 2 ) p 是序列空间x 的s n 网，则p 是x 的弱基。 由定理2 5 和引理2 6 易得如下推论： 推论2 7 ( 3 】) 对空间x ：下述等价： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的商紧映象； ( 2 ) x 具有点有限覆盖( x 。：o a ) ，每个墨，有可数的点有限的覆盖列 p “。) 使 u 。a p 。) 为x 的弱展开 第三章弱度量拓扑空间的紧映射 3 1本章提要及补充定义 自从ava r h a n g e l s k i i 的文章【1 7 】问世后，度量空间的各类映射的内在刻划引 起了拓扑学家的广泛兴趣可度量化理论及广义度量空间理论也在迅猛发展。而 jc h a b e r 在1 2 1 中讨论了这样一类空间：它可以由一个映射映上可度量化空间，这 个映射的纤维具有给定性质p 。其中这类空间包括弱度量拓扑空间本文将刻划 弱度量拓扑空间的序列覆盖紧映象和序列商紧映象。 本文所讨论空间均为正则噩的，映射是指连续的满射，为自然数集。 定义3 1 设，：x y ， 称，为l 序列覆盖映射，若对于y y 存在。，_ 1 ( y ) 满足：如果，中的序列 y n ) 收敛于，那么存在x 中收敛于点x 的序列 z 。 ，使得每一x 。f 。( ) 。 定义3 2 设p 是空间x 的覆盖， ( 1 ) p 称为x 的c - + 覆盖，若s 是x 的收敛序列，则存在p p ，使得s 的 某子序列是终于p 的； ( 2 ) p 称为x 的c s 覆盖，若x 中的每一收敛序列是终于p 中的菜元； ( 3 ) p 称为x 的m 覆盖，若p 中的每一元是x 中某点的序列邻域且对于任 意的x ，存在z 在x 中的序列邻域p p 。 定义3 3 若映射，x * m 为空间x 到度量空间m 的一一映射，则称 空间x 具有弱度量拓扑或称x 为弱度量拓扑空间。 3 2 主要结果 引理3 1x 为弱度量拓扑空间，则x 具有局部有限的开覆盖列 致) 对任意紧子集k ，使得n i n s t ( k ，r ) = k 。 1 l 1 2 安徽大学硕士学位论文 证明：设，：x + m 是从空间x 到度量空间m 的一一映射，则m 存在局 部有限开覆盖列 地) 。e ，对m 中任意紧子集l ，使得 时( l ，矾) ) 。_ 构成l 的 邻域基对i n ，在x 中取死= y - 1 ( 矾) ，则r 为x 的局部有限开覆盖。叉 义中任意紧子集k 也是m 中的紧集，故m i e n s t ( k , r 1 = k 。 定理3 2 对于空间y ，下述等价： ( 1 ) y 是弱度量拓扑空间的l 序列覆盖紧映象； ( 2 ) y 是弱度量拓扑空间的序列覆盖紧映象； ( 3 ) 1 7 具有点有限s n 覆盖列( 兀 。，对任意yey ，使得n s t ( y ，兀) = 9 ； ( 4 ) y 具有点有限c 8 覆盖列 五) 。，对任意y ，使得n 。j v s ( ，只) = y 。 证明：显然有( 1 ) 哥2 ，( 3 ) 哥( 4 ) 。 ( 4 ) = j ( 3 ) 若，为y 的点有限c s 覆盖，则，的某子集是y 的m 覆盖。对 于每一y l ，记( ，) ，= f ：9 f ，f 刁= r ：z ) 。若( ，) 。中的元均不是 h 在 7 中的序列邻域，那么对于每一i 茎k ，存在y f l 中点组成的序列 y i 。 收 敛干y 对于每一n n 和i ，令4 朴h 1 = y i 则序列 而。) 收敛于 且不终于任一曩，这与，是y 的c s 覆盖相矛盾，故存在，中的元凡是g 在y - 中的序列邻域。记，。= 晶：y y ) ，则广是y 的点有限s n 覆盖。 ( 2 ) = 亭( 4 ) 设f ：x ，1 7 是从弱度量拓扑空间x 到空间y 。的序列覆盖紧映 射，由引理1 得x 存在局部有限开覆盖列 r ) ，；n ，对x 中任意紧子集k ，使得 n * s t ( k ，p 。) = k 。对任i n ，取 = ( v 。) 。由f 是紧映射，显然 兀：z n ) 是点有限的覆盖列。对y 中任一收敛序列s ，由，是序列覆盖映射，故存在。y 中 的收敛序列l ，使f ( l ) = s 对任一i n ，存在p r ，使l 终于p ，则s 终于f = ，( p ) e 只即知每一只为y 点有限的c 8 覆盖，且对任意y y ，有 n n “( ， ) = b ) ( 3 ) ( 1 ) 对i n ，记 = ( 尼：n a 。) ，赋予赴离散拓扑，取m = “m 兀* a 。：存在y y ，使n _ f n ，= ) ) ，则m 是可度量化空间。令 x ：“， m ) ) y m ：y n 。晶。 ，让，和p 分别是x 到y 和m 的投影映 3 2 主要缩果1 3 射。对任意 吼) m ，存在y y ，使n r ，= ) ，于是p 一( ) = 恤) ) ， p 为x 一衍的一一映射，故x 为弱度量拓扑空间。又由每一，。为点有限的覆 盖，易知，为紧映射下证，为l 序列覆盖映射。 设y o y ，对于每一i n ，选取啦a t ，使得矗。是g o 的序列邻域， 令国= ( y o ， q ) y i e n a i ，那么肺，“( 蜘) y m 。若 孙 是y 7 中收 敛于g o 的序列，对于每一ien ， 是终于r ，的。对于每一n ，如果 蜘r ，定义n 。= c g i ，如果岳f n 。，取定n 。a ，使得蜘瓦一从而存 在r h n 使得n 弛时有a 。= 龇，于是在中序列 。，。 收敛于n ，。对于每 一n n ，置= ( y 7 。， n 。) ) ，那么，( 鲰) = 抓且在x 中序列 厩) 收敛于口0 故，是1 序列覆盖映射。 定理3 3 对于空间y ，下述等价： ( 1 ) 是弱度量拓扑空间的序列商紧映象； ( 2 ) y 具有点有限c 2 + 覆盖列 五) ，对任意y ，使得n 崦鲋( w ， ) = ) 。 证明：( 1 ) = 辛( 2 ) 设，x y 是从弱度量拓扑空间又到y 的序列商紧映 射，则x 具有引理1 所述的开覆盖列 只) 。对任c ，在 。中取，。= j ( p 。) 。 由f 是紧映射，显然 只：i 是点有限的覆盖列。对y 中任一收敛序列s ，由 ，是序列商映射，故存在x 中的收敛序列l ，使f ( l ) 是s 的子列s ，对任一 i n ，存在p r ，使l 终于p ，则s 的子列s l 终于f = f ( p ) 只。即知每 一只为y 点有限的c 3 覆盖，且对任意y y ，有n ；“( g ) = ) 。 ( 2 ) = ( 1 ) 对i n ，记，。= e 。：n a 。 ，赋予趣离散拓扑，取m = n 。 n ，n a i ：存在g y 使n r ，= ) ) 。则m 是可度量化空间令 x = ( g ， 锄) ) y m ：p n ，b 。) ，让，和p 分别是x 到y 和m 的投影映 射，由定理2 的证明知x 为弱度量拓扑空间，且，为紧映射。下证，为序列商映 射 由题意 只 。是空间y 的c s + 覆盖列。设 是y 中收敛于y o 的序列， 不妨设鼽y f 。由于，l 是y 的c s + 覆盖，存在 鼽) 的子序列五和n 1ea i 使得 置是终于r 由归纳法，对于每一i n ，可选择序列正和( 2 i a 。使得五- l 是 安徽大学硕士学位论文 五的子序列且五是终于r ，的，于是t t c n k ! 。r 。取定鼽，霸和风厂1 ( 聃。) 使得 。 n 且当1 七i + 1 时有7 r k 慨) = n k 一1 ，从而l i m l _ 。”k ( 反) = n 1 ， 令禹= ( g o ， 化) ) ，那么在x 中序列 鱼) 收敛于舶。故，为序列商映射。 第四章结束语 本文主要考虑的是局部可分度量空间与弱度量拓扑空间 4 ，1本文的主要结果 局部可分度量空间的各类序列覆盖( 包括l 序列覆盖， 2 序列覆盖和序列覆 盖) s 映象的刻划已有相对简洁的刻划，由于周丽珍在【1 1 中关于局部可分度量空 间的伪序列覆盖s 映象的刻划没能给出十分完善的证明，因此我们需要给出这一 刻划，即 定理2 , 3 对于空间y 下述等价： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的伪序列覆盖s 映象； ( 2 )