（基础数学专业论文）与smash余积有关的若干研究.pdf

中文摘要 首先，我们讨论了本文所称的扭曲双积h o p f 代数b k o h 的辫化结 构，给出了扭曲双积h o p f 代数口商日成为辫化h o p f 代数的一个充要 条件其次，我们用类似的方法讨论了双交叉余积h o p f 代数的拟三 角结构，得到双交叉余积h o p f 代数成为拟三角h o p f 代数的j i 充 要条件最后，我们给出了扭曲s m a s h ：余积余模范畴成为辫m o z o i d a l 范畴的一个充要条件 关键词：扭曲双积h o p f 代数；辫化h o p f 代数；扭斜配对；弱 斜配对；弱辫化h o p f 代数；双交叉积h o p f 代数；双交叉余积h o p f 代数；拟三角h o p f 代数；扭曲s m a s h 余积；辫y i i o i l o i d a l 范畴 a b s t r a c t i nt i f f sp a p e r f i r s t l y w es t u d yt h eb r a i d e ds t r u c t u r eo ft h es o c a l l e dt 、7 i s t e d b i p i o d i t o th o p fa l g e b r ab 囱日an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e t w i s t e db i p , o d u c th o p f a l g e b r a 口囱日t ob eb r a i d e di so b t a i n e d s e c o n d l y w e s t u d 5t h eq u a s i t r i a n g u l a rs t r u c t u r eo v e rt h ed o u b l ec r o s s p r o d u c th o p fa l g e b r a b y as i n f i l a rm e t h o da n df i n dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ed o u b l e c r o s s p r o d u c th o p fa l g e b r at ob eq u a s i t r i a n g u l a r f i n a l l y an e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h et w i s t e ds m a s hc o p r o d u c tc o m o d u l ec a t e g o r i e st o b e1 ) r a i d e dm o n o i d a 】c a t e g o r i e si sg i v e n k e y w o r d s t w i s t e db i p r o d u c th o p fa l g e b r a ；b r a i d e dh o p fa l g e b r a ； t w i s t e ds k e wp a i r i n g ；w e a ks k e wp a i r i n g ；w e a kb r a i d e dh o p f a l g e b r a ；d o u b l e , , e r o s s p i 。o d u c th o p fa l g e b r a ；d o u b l ec r o s s c o p r o d u c th o p fa l g e b r a ；q u a s i t r i a n g u l a rl t o p fa l g e b r a ；t w i s t e ds m a s hc o p r o d u e t ；b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r y 3 前言 近十年来，数学上辉煌的成就之一是d r i n f e l d ，j i m b o 等人创立的量子群( q u a r t t u m g r o u p s ) 理论 【 2 它在理论物理，如反散射方法，角量子理论和可积系统等方面有重要 应用而按照d r i n f e l d 观点，量子群即拟三角h o p ：! 代数【2 ，3 】因此拟三角h o p f 代数及其 对偶的概念辫化h o p f 代数成为近年来许多学者的研究热点如文【4 4 讨论了扭曲s m a s h 积( t w i s t e ds m a s hp r o d u c t ) h o p f 代数的辫化结构( b r a i d e ds t r u c t u r e ) ，在文 5 】5 中讨论了扭 曲s m a s h 余积h o p f 代数的拟三角结构受这些文章所启发，本文将讨论扭曲双积h o p f 代数口随h 的辫比结构及双交叉余积h o p f 代数b 【自日的拟三角结构另外，范畴理沦在 h o p f 代数理论中起着很重要的作用，当然也是许多从事h o p f 代数研究的工作者i - t i 仑的 焦点，因此我们在最后将讨论扭曲s m a s h 余积余模范畴 本文共分三章： 第一章注意到文 6 给出了扭曲双积h o p f 代数日南日的概念，我们自然会想： b 囱日何时成为辫化h o p f 代数? 若毋随h 是辫化h o p f 代数，其辫化结构有何种形式? 基于此，我们讨论了疗由日的辫化结构，并给出了b c 日成为辫化h o p f 代数的一个充要 条件( 定理1 21 1 ) 而双交叉积h o p f 代数为扭曲双积h o p f 代数的特例，因此易推得它 成为辫化h o p f 代数的一个充要条件( 推论1 2 1 3 ) 第二章文 7 】构作了一个具体的双交叉余积h o p f 代数，同时讨论了其拟三角结构 自然会问：任一：议交叉余积h o p f 代数成为拟三角h o p f 代数需满足什么条件? 我们围绕 此问题根据文f 8 j 的对偶理论用类似第一章的方法：弩虑双交叉余积h o p f 代数的拟三角结 构，得到任一双交叉余积h o p f 代数成为拟三角h o p f 代数的一个充要条件( 定理2 2 7 ) 第三章文 9 讨论了扭曲s m a s h 积模范畴，给出了扭曲s m a s h 积模范畴成为辫 m o n o i d a l 范畴的一个充要条件由它所启发，我们考虑其对偶情形，即扭曲s m a s h 余积 余模范畴，且给出了扭曲s m a s h 余积余模范畴成为辫m o n o i d a l 范畴的一个充要条件( 定 理3 33 ) 本文中的代数，余代数，h o p f 代数均指域k 上的，o 女简记为 设c 是余代数， 则对任意的r c ，( c ) = x c toc 2 h o p f 代数h 的对极( a n t i p o d e ) 记为s 有关h o p f 代 数的基本性质见文 1 0 m o n o i d a l 范畴，辫m o n o i d a l 范畴等概念见【1 4 第一章扭曲双积h o p f 代数口囱日的辫化结构 下面我们对本章中的一些记号规定如下：设c ，h 都是余代数，同时( c ，p z ) 为左h 余模，则对任意的c c ，p t ( c ) = c ( 一1 c ( 第一节基本概念 这一节我们要引进几个本章所需要的定义以及一些基本的事实 命题1 1 1 ( 见( 6 ，推论2 】) 设b ，h 为双代数，( b ，- ) 为左日，模余代数，( b ，p z ) 为左h 一余模代数，( h ，- ) 右b ，模余代数，当且仅当条件 d 1 ) h 一 1 = e ( h ) l b ，1 + 一a = e ( o ) ， d 2 ) _ ( n 6 ) = ( h i _ + 0 1 ) ( ( 圯+ _ 口2 ) - + 6 ) ， d 3 ) ( 9 ) _ b = ( h + - ( g l _ + 6 1 ) ) ( 卵+ _ 6 2 ) ， d 4 ) b e ( b i o ) = e ( 6 ) i n ， d s ) b i - 1 ) 6 5 1 。6 i o o6 = b ( - 1 ( 6 ( o ) lo ( 6 ( o ) 2 ， d 6 ) t 3 ( a b ) = a l ( 。5 叫_ b 1 ) ，b 2 ， d 7 ) 月( ，。卜6 ) = ( l _ b 1 ) 妒1 o h 2 + - - 6 1 0 ， d 8 ) n 。1 ( ，l l - + b 1 ) 卜1 ( h 2 + _ b 2 ) oo ( 。1 ( h l 一+ b 1 ) o j = ( n 1 ) h i b z ) 6 1 1 on ( o ( 2 _ 掣) 成立时，张量空间bo h 构成一个双代数，称为扭曲双积双代数，记为口囱日其乘法， 余乘和余单位可分别表述为： 扣q ( 6 ：一，g ) = r ! ( 1 - b 1 ) 圆( h 2 卜6 2 ) 口， 厶( 6 ：= b l b ；一1 l 圆6 1 h 2 ， f ( 63 ) = e ( b ) e ( ，) 对任意的“b b h ，g h 进一步，若d ，都为h o p f 代数，则日商h 也是h o p f 代数，其对投( a n t i p o d e ) 为 s ( b ) = ( 1 如( 6 ( 一1 ，i ) ：( s b ( b ( o ) 1 ) 5 注从d 4 ) d 5 ) 可知b 为左显一余模余代数 定义i1 2 ( 见 1 1 】) 设b ，h 都为h o p f 代数，双线性型( b i l i n e a rf o r m ) a ：b o h 一k 称为斜配对( s k e wp a i r i n g ) ，记为( b ，日，a ) ，是指对任意的。，b b ，y ，2 h 满足如下条 件： s k l ) o ( a ，1 ) = f ( ) ，口( 1 ，z ) = f ( z ) ， s k 2 ) a ( a ，v ：) = a ( a a ，= ) 盯( 口2 ，材) s k 3 ) c , ( a b ，z ) = 口( n ，z 1 ) 口( 6 ，现) 定义11 3 ( 见【1 2 ) h o p f 代数封是辫化h o p f 代数是指存在双线性型t ：h o h _ ： 使得对任意的t y ，o h 满足下列条件： b r l ) ? ( z ，i ) = t ( 1 ，z ) = e ( 。) ， b r 2 ) t ( x ，y z ) = r 扛l ，。) r ( z 2 ，) ， b r 3 ) t ( x y ，z ) = t ( x ，z i ) t ( y ，z 2 ) ， b r 4 ) t ( x l ，y 1 ) x 2 y 2 = e 于( z 2 ，y 2 ) y l z j 下面我们要介绍几个新的定义 定义1 1 ，4 设b ，汀都为h o p f 代数，( b ，p t ) 为左日余模，( 口，丁) 为辫化h o p f 代 数称双线性型p ：b 日_ + k 是和( p i ，t ) 有关的扭斜配对：记为( b ，日，p ) ，是指对任 意的幔6 b ，f ，：h 满足如下条件： p 1 ) p ( a ，1 ) = e ( n ) ，p ( 1 z ) = e ( f ) ， p 2 ) p ( a ，z ：) = p 扣1 ，z 1 ) r ( o ! 一，砘) p ( d f ) ， p 3 ) p ( a b ，。) = p ( a ，z 1 ) p ( b ，却) 定义l 】5 设口，日都为h o p f 代数 数称双线性型1 ：日 b - k 是和( n 意的b 。b ，h h 满足如下条件： v 1 ) i ( f ，1 ) = e ( 眈v ( 1 ，b ) = f ( 6 ) ， ( b ，p t ) 为左日余模，( 日，r ) 为辫化h o p f 代 t ) 有关的弱斜配对，记为( h ，b ，v ) 是指对任 v 2 ) 1 ( b c ) = 1 ( i ，c ) i ( h 2 ，6 ) ， v 3 ) 1 ( h i r ) = t ( h i ，c 5 。1 ) i ( f 2 ，e 1 ) v q ，4 0 定义1 16 没b ，h 都为h o p f 代数，( b ，p t ) 为左片- 余模，( b ，_ ) 为左h 一漠， ( 日丁) 为辫化f 1 0 1 ) f 代数。( 口，h p ) 是和( p t ， 1 ) 有关的扭斜配对，( ，口，1 7 ) 是和 ( p t ，t ) 有关的弱斜配对称双线性型q ：b b 一 是和( 一，p t ，t ，只l ) 有关的弱辫 化h o p f 代数，记为( b ，q ) ，是指对任意的n ，b ，c b 满足如下条件： q 1 ) q ( n1 ) = q ( 1 ) = e ( ) ， q 2 ) q ( n 6 r ) = p ( a - ，c 5 一! ) t 扣! 一“，c ：- t ) ) r ( 。5 一”，4 0 ) q ( n 岁，c 1 ) q ( n ，6 ) ， q 3 ) q ( n b r ) = p ( a ，畦一2 ) 丁( n ：一“，畦一1 ) q ( 口；0 c 1 ) 0 ( 6 ，c ) 6 q 4 ) q ( 。，b ) 6 。( b 5 1 ) n 。) = p ( n ，醍一3 ) p ( 。于，6 1 2 ) o ( n i 0 ，b 1 ) t ( n ! 一“，6 1 1 ) t ( o ! 一1 ) n r ，6 5 2 ) r ( o ：一”，h i - ) v ( n i - - 1 ) 6 字) n 5 0 6 r 例l17 没( b ，h ，p ) 和( h ，b ，1 f ) 都是斜配对，t = e h oe h ，易得( b ，h ，p ) 是 和( p h ”有关的扭斜配对，( h ，b ，r ) 是和( p t ，2 ) 有关的弱斜配对 例1 1 8 设( b ，q ) 为辫化h o p f 代数，( b ，- ) 为左日- 模，( b ，p t ) 为平凡的左h 一 余模p = b 圆6 h ，l = e oe b ，易证( b ，0 ) 是和( ，p f ，t ，p v ) 有关的弱辫化h o p f 代数 注南例1 l7 可看出定义1 1 4 ，l1 5 是通常的斜配对的推广由例1 1 8 可看出定 义1 1 6 是通常的辫化h o p f 代数的推广 第二节b 随日的辫化结构 这一节我们要讨论扭曲双积h o p f 代数b c m h 的辫化结构 下面的命题是显然的： 命题1 2 i 没b d , a h 为扭曲双积双代数对任意的b b ，h h ，定义映射如下： 妇：h _ 口囱h ，i ( h ) = 1 b h ， j b ：b _ 曰自h ，j ( b ) = b 1 h 则有： 1 ) j b 定：心数映射，且歹( n ) = j ( a 1 ) i ( n ! - 1 1 ) o j ( n 字) ； 2 ) i 是双代数映射( b i a l g e b r am a p ) 没且商盯为扭曲双积双代数，双线性型口：占商h b 随h _ 女对任意的n ，b5 b ，h ， h ，定义下列双线性型： q ：b 鞫b 一+ k q ( a b ) = 盯扣 1 ，b 1 ) ， 丁：h 珏_ r ( h ，七) = 盯( 1 0 h ，1 0 七) ， p ：b ：量h _ + k p ( n ，h ) = 盯( n 81 ，1 ) ， 1 ：h 。 i - “，b 4 7 ) t ( 4 一”，灯3 ) q ( 。乳) 丁( n ：一1 1 ，h i - ) ) r ( - ，1 3 ) v ( h 3 ，联? ) 6 。( 啦2 ) ( o ) ) o ( 6 1 - 1 - n ? ) 醍- 27 a 5 - 2 ) h 2 1 4( 利用余模余代数，f 1 ) ) 8 掣p ( a t ，f t ) t ( n a ! - 2 ) n n ，1 2 ) p ( a ；i ”，b l , 3 ) m o n ：7 ，寸2 ) o ( n 字，6 字) 丁( h ，6 ) 17 ( 3 ，拶) 6 1 ( 醍- 2 _ + c l 于) 固( 6 5 _ 1 + - n ：0 ) o ：7 b 5 - n h 2 f = p ( a l i t ) r ( n ：q a ( a - 2 ) 口r 3 1 n ：_ 4 n 。_ 扪，f 2 ) p ( n 字，6 r 3 ) p 0 ，6 r 3 ) j p ( 。，6 1 2 ) q ( o r ，b 1 ) t ( o ：一，畦一1 ) 丁( 口：1 ) n ：一扪，6 l 一2 ) r ( 。醵。1 州n ，6 ) t ( n n o p n ，醴7 ) t ( h 。，1 3 ) 慨b ，) n p 6 r ob l _ “h 2 f 4 ，( 利用余模余代数，q 4 ，) ) 所以 盯( ( “ ) 1 ( b o f ) 1 ) ( n ) 2 ( 6 0 f ) 2 = 芝：口( ( n o ) 2 ，( b o ? ) 2 ) ( 6 f ) l ( n o ， ) l 即b r 4 ) 成立因此( b 商日o - ) 是辫化h o p f 代数证毕 综上，由命题1 23 ，12 4 ，1 2 8 及定理l2 1 0 可得以下结论 定理1 2 1 1 扭f 双积h o p f 代数口囱日是转e 化h o p f 代数当且仅当存在双线性型 了：j ，h - “q ：b 苫b - + k ，p ：b h 七1 1 ：h b _ 七使得下列条件成立： 1 ) ( ht ) 是辫化h o p f 代数， b 盯，p ) 是和( p f ，t ) 有关的扭斜配对， h b ，1 ) 是和( p t ，t ) 有关的弱斜配对， b ，( ) ) 是和( _ ，p t ，t ，p 1 ) 有关的弱辫化h o p f 代数， 5 ) 只t ，i jq 满足命题1 2 4 中的条件c 1 ) 一c 7 ) 且占商h 上的辫化结构口有唯一的形式： a ( n 、密f b6 k ) = p ( a l ，k l i p ( a 于，咿刭) q ( n 妒，b 。) t ( 。，b ) t 瞳。a 5 - 2 ) k ：) t i h l ，k 3 ) v ( h 2 ，b i o ) ) 注设b 为任一h o p f 代数。由定理1 2 1 1 知：( 日，丁) 若非辫化h o p f 代数，则b 囱日 不可能是辫化h o p f 代数 推论1 2 1 2 设b 岗h 是扭曲双积h o p f 代数，( 胃，t ) 是辫化h o p f 代数，双线陛型 q ：b 9 b 奄则a ( a o h ，6 9 奄) = e ? ( 0 f 一，h ) 0 ( o f 们，b ) t ( h ，如) 是b 崮圩上的辫化结 构当且仅当： e 1 ) 0 ( h - b ，c ) = et ( h ，c ( 一1 ) q ( 6 ，c ( o ) ， e 2 ) l - + o = r ( n ( 一”，z ) o ( ， e 3 ) f - b = ( n ) ， e 4 ) t ( h j 6 ( 一1 ) ) 2 6 ( o ) 0h 3 = b 固h ， e 5 ) q 0 ，) = q ( a ，1 ) = e ( o ) ， e 6 ) 7 ( n ，b c ) = q ( a l ，c ) q ( a 2 ，6 ) ， e 7 ) q ( a b c ) = e t ( a 1 - 1 ) ，4 - , ) o ( n ( “，c 1 ) o ( 一，c ) ， e 8 ) e 0 ( 秽) 丁( n ，出1 ) b w 0 = z q ( i o f o ) l ，b 1 ) 丁( d ( 一，6 f 1 川o ) 。， e 9 ) q ( 口，b ) = 口( o f ，6 f o ) 6 ( 一1 ) n ( 一1 ) 对任意的。，b b h ，m h 证明：在定理1 21 1 中取p = e 口o h ，l = 6 h e 且即得 我们知道当余慎为平凡情况时，扭曲双积h o p f 代数即为双交叉积h o p f 代数 t 因 此我们育以下结论： 推论l2 1 3 舣交叉积h o p f 代数b w 是辫化h o p f 代数当且仅当存在双线性型 i 、：h 一“q ：b o b - k p ：b h _ k ，1 7 ：h o b _ 七使得下列条件成立： 1 ) ( 丁) ( 口，0 】都是辫化h o p f 代数， 1 5 2 ) ( b ，j f ，p ) 为斜配对， 3 ) ( h ，b ，1 ) 为斜配对， 4 ) p t ，1 i0 满足如下条件： h 1 ) e 7 。，c 【) q ( b ，c 2 ) = q ( h i - + b t ，c 1 ) v ( 2 _ 6 2 ，c 2 ) ， h 2 ) t ( h ，z i ) p ( b ，z 2 ) = p ( 1 - + b l ，z 1 ) t ( 2p 6 2 ，z 2 ) ， h 3 ) 7 c ) t ( h 2 ，f ) = t ( h l ，如卜c 2 ) v ( h 2 ，f l _ + c 1 ) ： h 4 ) q ( 毗，c ) p ( a 2 ，f ) = p ( a i 如- c 2 ) q ( n 2 ，f l - c 1 ) ， h 5 ) r ( h 2 ，b 2 ) b loh i = v ( l ，b 1 ) h 2 - ko h a + - 6 3 ， h 6 ) _ ；d ( “l ，1 ) a ? 0 1 2 = p ( a 3 ，1 3 ) i l - n 1g 屯+ _ n 2 且b w h 上的辫化结构a 有唯一的形式： 口( n 固h ，b 。? ) = p ( l ，“) o ( 啦，b 1 ) t ( h l ，1 2 ) v ( h 2 ，6 2 ) 注由h 6 ) 可得f - - 4a = e p ( a t ，1 1 ) a 2 p 一1 ( n 3 ，f 2 ) ，z4 - - a = e p ( a t ，1 1 ) b 2 p “( a 2 ，f 3 ) 则由b w h 是辫化h o p f 代数可推得如下结论：| 竽在斜配对( b ，日，p ) 使得b w h = b w ph ( 此处记号同文 1 3 】) 反之，令1 7 = p c i r ( 这里r 为通常的换位映射( t w i s tm a p ) ) ， 则由此推论的条件1 ) ，2 ) 及h 6 ) 可推得h 1 ) 一h 5 ) 也成立综上分析， 1 3 ，推论2 5 可用 此推论推得 不难得到以下结果： 推论1 2 1 4 设b w h 是双交叉积h o p f 代数旧，q ) ，( h ，丁) 是辫化h o p f 代数 则a ( a j 1 b ( 自k ) = 0 ( o ，b ) t ( h ，k ) 是b 日上的辫化结构当且仅当 _ + a = e ( ) n ，t t + _ n = e ( “) f e 对任意的a ，b b ，h ，k h 注此推论说明只有当b t t 是通常的张量积双代数时。( bwh ，a ) 才可能是辫 f e 双代数其巾i 口( n 8h ，b ok ) = 口( 。，b ) t ( h ，砷对任意的a ，b b ，h ，k t t 推论1 21 5 设b 商日是扭曲双积h o p f 代数，且( b ，0 ) 是辫化h o p f 代数，日可 交换，则口 h ，b ：) = q ( g ，6 ) e ( ) e ( 柚是b d , ：h 上的辫化结构当且仅当h _ + = f ( ) n h n = f ( o ) 对任意的a b b ，h ，k t t 1 6 第二章双交叉余积h o p f 代数b 同日的拟三角结构 第一节预备知识 这一节我们要引进几个本章所需要的定义以及一些基本的事实 命题2 11 ( 见 6 】) 设b ，h 都是双代数，( b 肌) ，( 日，p ，) 分别为左日一余模代数， 右b 一余模代数我们有一个双交叉余积：口面日= ：b o 日( 作为张量积代数) ，其余乘为： ( 6 8 ) = b l 。6 圹1 p 6 于1 h i l h 2 ，余单位为：e ( 6 ) = ( 6 ) e ( ) ， 这里我们 记：p z ( b ) = b i 一1 】( 6 ( ，p r ( ) = ( o ( ”则双交叉余积b 国日是双代数当且仅 当： 1 ) b ( - 1 ) f ( 6 ( o ) = e ( b ) l n ，e ( ( 0 1 ) ( 1 ) = e , ：h ) l b ， 2 ) 6 i 一1 鸸一1 ( o 6 i o 6 ：一1 ) 1 o 拶= b ( - 1 ( 6 ( 0 1 ) i 。( 6 ( o ) 2 ， 3 ) ! o o i 1 一1 字 h l t ) ( o ) 1 1 = ( ( o ) l 固( ( o ) 2o ( ， 4 ) b ( - - 1 h ( o lob ( o ) h ( 1 ) = e h ( 0 ) b ( _ 1 1o h ( 1 1 b ( ” 对任意的b b ，he h 进一步，若b ，h 都是h o p f 代数，则双交叉余积b 面日也是h o p f 代数，其对极为： s ( b 圆 ) = 如( 6 ( 0 ) 删) s h ( b ( - 1 ) 删) 定义2 12 ( 见 1 4 ) 一个h o p f 代数日是拟三角的是指存在r = r 1 圆r 2 h h 满足( r = 彤： q t l ) y ：f ( 兄1 ) 科= r 1 e ( 凡2 ) = 1 ， q t 2 ) ( a ：；：i d ) ( r ) = r 1 r 1o r 2 r 2 ， q ：r 3 ) ( i d g ) ( r ) = r 1 r l or 2 r 2 ， q t 4 j ”( i ) ( 剐= n a ( h ) 其中立“叩( = h 2o i t l f l l i i - l 可得r 可逆( c o n v o l u t i o ni n v e r t i b l e ) 且其逆为：r “= s ( n 1 ) 9 矗2 定义2 _ i3 ( 见 1 5 ) 设d ，h 都是h o p f 代数，存在v = 一 俨b 8h 称 ( b h 1 j 为相容的h o p f 代数对( c o m p a t i b i l i t yh c p fa l g e b r ap a i r ) 是指l 满足( ”= i ) ： ( r 1 ) f ( i7 1 ) l 2 = 1 h ，1 f ( i 2 ) = 1 b ， c p 2 ) ( a 日一i d ) ( 1 ) = 1 q or 1 l 吧u 2 ， 】7 c p 3 ) ( i d oa h ) ( i ) = v 1 1 v 2 v 。 第二节b 函日的拟三角结构 这一节我们要讨论双交叉余积h o p f 代数b 国何的拟三角结构 下面的命题是显然的： 命题2 2 1 设b 叵| 日是双交叉余积h o p f 代数，定义映射如下： p ：占受h _ + b ，p ( a oh ) = e ( h ) a ， ”：口国h _ h ，口陋oh ) = e ( a ) h 则只z 是双代数映射 设b 国j ，是双交叉余积双代数，冗= 丑l or 2 0 r 3 圆r 4 b 面h 圆口面h 定义： t = 扣固f ) r = ( r 1 ) r 2 0 ( 兄3 ) r 4 = t 1o t 2 h o h ， q = ( p o p ) r = r 1 e ( r 2 ) o r 3 e ( r 4 ) = 0 1 0 q 2 b o b ， 1 。= ( p o ”) r = e r l e ( r 2 ) oe ( r 3 ) 月4 = v 1 0 v 2 b h ， u = ( ”$ p ) r = ee ( r 1 ) r 2 0e ( r 4 ) r 3 = u 1 9 u 2 h 园b 直接验证，有： 命题2 22 设b 国甘是双交叉余积h o p f 代数，r 满足q t l ) ，则： 1 ) e ( t 。1 ) 铲= t 1 e ( t 2 ) = 1 f ， 2 ) f ( 0 1 ) ( 2 = q 1 e ( q 2 ) = 1 b ， 3 ) f ( 、1 ) 俨= 1 ，弘e ( 1 。) = 1 b ， 4 ) f ( 【? 1 ) 【i 2 = 1 b ，u 1e ( u 2 ) = 1 h - 命题2 23没口面日是双交叉余积h o p f 代数，r = r 1 er 2 圆r 38i t 4 口国_ ，b 豳h 若( 口面日，r ) 是拟三角h o p f 代数，则有： k ( ) ) r = 17 1 q 1 t 1 u 1 q 2 u 2 v 2 t 2 证明：由 ： ( 8 ) 丑= ( 矗1c 多r e ) ( r 3 r 4 ) ， 1 8 则利用q t 2 ) ，q t 3 ) ，我们有( r = r = 豆= 硝 且1 矗1o r 2 扈2 固r l f l 一f 2 圆矗3 尹。矗4 9 月3 r 3 0 r 4 一 = r 1 l r 9 1 ( r 2 ) 一1 ( 冗。1 ) o ( r 1 2 ) ( o ( 兄2 1 ) i 】( 弓r 2 2 固月3 1 劝( n 3 2 ) ( - - 1 ( r 4 1 ) o o ( r 3 2 ) ( o ( r 4 】) ( 1 ) 固r 4 。 则在( 21 ) 式两边作用p o ” p ”，得k 0 ) 成立证毕 ( 2 i ) 命题2 2 4 设b 国日是双交叉余积h o p f 代数，r = v 1 q 1 t i u l 。q 2 u 2 弘 是口商日上的拟三角结构，则有： k 1 ) b 固v 2 h = 6 ( o ( 1 ) 1 7 1 固6 ( h l o ) v 2 ， k 2 ) h u l 固b u 2 = u 1 扩1 ) ( o u 2 ( k 3 ) u 1 圆q 1ou 2 q 2 = e 0 1 一1 ) u 1 【o oq i ( o ) u i ( 1 ) 0 2 u 2 k 4 ) t 1 瞎 7 1 t 2 2 = v 1 ( 1 j r l ( o ov z ( o l t i ( u v 2 t 2 ， k 5 ) q 1 i ho v 2 0 v 2 = v 1 0 1 q 2 ( 一1 ) v 2 ( o ) o q 2 ( o ) v 2 0 ) k 6 ) e u l t l t 。 u 2 = e t l u l o u 2 ( 一1 ) r 2 ( o e u 2 ( o ) t 2 ( 1 ) 证明：由q t 4 ) ，我们有： r a ( b o ) = a c ”圆h ) n 即： 月1 乜舄月2 醚一1 i 0 月3 拶 i or 4 h 2 = b l 。2 h 1 1 几1 虬r 28 6 l r 3 。6 1 1 i 。r 4 ( 2 2 ) 则在( 22 ) 式两边作用j d 。7 r 可得k 1 ) 成立；在( 2 2 ) 式两边作用 。p 可得k 2 ) 成立 由q t 2 ) ，我们有( q = q ，t = t ，v = ，u = 1 ： l 1 q 1 t 1 u 1 圆v l q lo f l u l 固q 2 u 2 q 2 u z y 2 t 2 u 2 t 2 = 1 , 1 i q l lc d ( r 1 2 ) 一1 ( q 1 2 ) 一1 ( t 1 1 ) ( o ( u 1 1 ) 3 f 2 3 1 ( 1 j ) o ( 0 1 2 ) 0 1 ( r 1 1 ) 1 ( 矿1 1 ) ( 1 o t l 2 u 1 2 0 q 2 c r 2 0 v 2 t 2 于是在( 2 - 3 ) 式两边作用口0 p 。尸，可得k 3 ) 成立；在( 2 3 ) 式两边作用。p a ”可得 k 4 ) 成立 由q t 3 ) 得 1 r l q l t ，1g 8 t 1 u tu 1e 卉2 圆v 2 t 2 e q 2 u 2 v 2 t 2 1 1 q 。r 丁1 u 1 圆印2 1 矿! i 。( 印2 2 ) f 一1 ( 矿2 2 ) 卜j ( r 2 1 ) f 。( r 。1 ) 纠f 24 i 旧2 ：) c o 2 ) 弘1 ) 。) ( t 2 1 ) ( i ) ov 2 7 t 2 2 则在f 2 j j 式两边作用p 3 j d ，得k 5 ) 成立；在( 24 ) 式两边作用”圆 。p ，得k 6 ) 成 立故向题成立 命题2 2 5 设口国日是双交叉余积h o p f 代数，月= v 1 q 1 t 1 u 1 0 q 2 矿2 i - 2 t 2 是b 国日上的拟三角结构，则有： 1 ) ( h ，t ) ，( b ，0 ) 都是拟三角h o p f 代数， 2 ) ( b ，皿1 ) ，( 日，b ，u ) 都是相容的h o p f 代数对 证明：1 ) 由命题2 2 1 我们知道p ， 都是双代数满射，所以( h ，t ) ，( b ，q ) 都是拟 三角t t o p f 代数 2 ) 在( 2 3 ) 式两边作用p o p 丌，得( 占圆i d ) ( 1 7 ) = v 1 1 i 2 v 2 成立；在 ( 2 3 ) 式两边作用p 圆”o ，得( i d o 片) ( p ) = 1 ，1 u 1o 2 圆v 2 成立从而由命题2 22 得( bh ，是相窑的h o p f 代数对 3 ) 在( 24 ) 式两边作用丌 丌 p ，得( h i d ) ( u ) = u 1 1 固u 2 “2 成立；在 ( 2 4 ) 式两边作用g p 固p ，得( i d n b ) ( u ) = u 1 u 1 u 2 u 2 成立于是由命题2 22 得( 日，b ，u ) 是相容的h o p f 代数对至此完成命题的证明 定理2 26 设b 痢日是双交叉余积h o p f 代数，若存在t = t 1 圆t 2 h h ， q = q 1 8q 2 b o b ，r = r 1o 7 2 b o h ，u = u 1 0 u 2 h o b 使得下列 条件成立： 1 ( 只丁) ，( b ，q ) 都是拟三角h o p f 代数， 2 ) ( 日，h ，1 7 ) ，( h ，b ，u ) 都是相容的h o p f 代数对， 3 ) t ，q ，ul 满足命题2 2 4 中的条件k 1 ) 一k 6 ) ， 则( 日函日，r ) 是拟三角h o p f 代数其中r = v 1 0 1o t l u l 9 0 2 u 2 0 v 2 t 2 证明：q t t ) 显然成立下证q t 2 ) 由于 ( h q o t l u l ) 0 2 u 2 0 v 2 t 2 = r l l q l l g ( 1 2 ) ( - 1 ( q 12 ) 一1 ( t 1 1 ) o ( f ，1 1 ) ( 0 1o ( 1 q2 ) ( o ) ( q 12 ) i o i ( t 1 1 ) ( 1 ( u 1 1 ) ( 1 t 1 2 u 1 2 q 2 u 2 v 2 t 2 = 1 - 1 q 1 u 1 ( - 1 1 口1 ( 一1 t 1 ( o ) u 1 ( o 1 1 ( o q ( o ) t 1 0 ) u u l ) 啦f 1 “1o q 2 u 2 “2 2 v 2 t 2 t 2 ( 利用c p 2 ) ，q t 2 ) ) = q 1o 。1 ( 一1 丁1 ( o 口1 ( 一1 ) u 1 ( 0 1 t , 1 ( 0 1 z l ( u q t ( o ) u t ( i ) g f l t f l 凹q ? 口2 u 2 “2 圆1 - 2 矿t 2 矿( 利用命题211 中的4 ) 式) = 1 。( ? 1rt 固t 1 q 1 t l u l 圆q 2 u 2 q 27 户ov 2 t 2 泸p ( 利用3 ) ，k 4 ) = 1 q 1c q t l u l o t 1 口1 t 1 “1 ( q 2 u 2 1 7 2 t 2 ) ( 矿u 2 v 2 t 2 ) ， 因此( 2 t 2 ) 得证类似可证明q t 3 ) 下证q t 4 ) ：对任意的b oh b 固h ，由命题2 2 4 ，只要证明( 2 2 ) 式成立注意到 ( 2 2 ) 式左边等于 k 2 ) = ( ，r 4 1 - 1 q 1 b l 。t 1 u 1 6 1 1 ；o q 2 u 2 b $ o i 1 v 2 t 2 k 1 - 1 q 1 b i 圆t 1 h i u lo q 2 b 2 l 2ov 2 t 2 k l 1 b 2 q 1 2 t 1 u 1o6 1 0 2 l 2 v 2 h i t 2 ， 又( 2 2 ) 式右边等于 6 p 掣v 1 q 1 0 h 2 t 1 u 1 06 q 2 u 2 06 ( - 1 妒v 2 t 2 翟 l ，1 6 2 q 1 h 2 t t u l b l q 2 u 2 。y 2 九l t 2 ， 所以( 22 ) 式成立，即q t 4 ) 成立因此( 日品日，r ) 是拟三角h o p f 代数证毕 综上，我们得到本节的主要结果( 即对偶于推沦1 2 1 3 的结论) ： 定理2 27 设日面目是双交叉余积h o p f 代数则口面日是拟三角h o p f 代数当且仅 当存在t = t 1 t 2 日 h ，q = q 1 0 q 2 b o b ，v = y l e v 2 b o h ，u = u 1o c 弘h c 8 b 使得下列条件成立， 1 ) ( 日，t ) ，( b ，q ) 都是拟三角h o p f 代数， 2 ) ( b ，h ，v ) ，( 日，b ，c ，) 都是相容的i - i o p f 代数对， 3 ) t ，q ，u ，l 满足命题2 24 中的条件k 1 ) 一k s ) 且b 面h 上的拟三角结构有唯一的形式： r = 1 , 1 q 1 e t l u l q 2 u 2 v 2 t 2 注 7 ，推论2 3 可由此定理推得 2 1 第三章扭曲s m a s h 余积的辫m o n o l d a l 范畴 第一节预备知识 设h 是h o p f 代数，g 是h - 双余模余代数：是指g 是日双余模，且构成左日一 余模余代数，又构成右h 一余模余代数，则我们有一个扭曲s m a s h 余积余代数f 1 5 】：作为 代数c ，：co ( 张量积代数) ，其余乘和余单位分别为： ( c 圆，e ) =