（基础数学专业论文）wa（stp）类算子的性质.pdf

摘要 在本篇论文中，我们将在4 ( s ，) 类算子的基础上，推广这类算子的定义，引入 一类新的算子，即：叫a ( s ，t ，p ) 类算子我们拟将本文分成两部分来对相关问题进行 阐述 第一部分为绪论在这部分中，我们着重介绍了有关算子类和进行这方面研究的 背景及目的另外，对于在本文中将要经常使用的一些基本引理以及一些基本知识， 比如何谓部分等距和极分解等等也简单的给以介绍， 第二部分为主要结论及其证明此为本文之核心部分在本部分中我们主要介绍 了和”a ( s ，p ) 类算予相关的一些性质，例如： a ( s ，t ，p ) 类算子几个基本特征主要是有关可逆的叫a ( s ，t ，p ) 类算子以及t j 4 ( s ，t ，p ) 类算子同其它算子类之间的联系的一些论述 叫a ( s ，t ，p ) 类算子有关参数s ，t ，p 的几个性质介绍了a ( s ，p ) 类算子关于参数s ，t ，p 的几个重要结论，这些结果为以后的章节证明提供了极大的方便 叫a ( s ，p ) 类算子的幂这部分着重介绍了两个特殊的叫a ( s ，t ，p ) 类算子，证明了它 们的任意正整数幂仍然是叫a ( s ，t ，p ) 类算子 w a ( s ，p ) 类算子的正规性介绍了几个有关叫a ( s ，p ) 类算子正规性的结论 相关不等式的性质这部分中主要是研究讨论了和铘a ( s ，t ，翻类算予关系密切的两个 不等式，首先探讨了这两个不等式之间的关系，其次证明了这两个不等式的外部指数 在某种条件下是最优的 关键词：f u r u t a 不等式l j w n e 卜h e i z 不等式p 一亚正规算子对数一亚正规算子 训4 ( s ，t ) 类算子 a ( s ，p ) 类算子 a b s t r a c t i nt h j sp a p e r ，w ea r eb a s e do nc l a s so f 砌a ( s ，f ) o p e r a t o r sa n dg e n e r a 工i z e di t s d e 矗n i t i o n ，i no t h e rw o r d s ，w es h a l li h t r o d u c ea n e wc l a s so fo p e r a t o r ：c l a s so f 扎7 a ( s ，t ，p ) o p e r a t o r s ，w h e r es ，p o w ej n t e n dt os e p a r a t et h i sp a p e ri n t 。t w op a r t si no r d e r t oi n t r o d u c et h ep r o b l e m sr e l a t i v et ot h i sp a p e rc l e a r l m t h e 矗r s tp a r ti si n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t ，w es h a l li n t r o d u c eo p e r a t o rc l a s s e s r e l a t i v et oc l a s so ft u 4 ( s ，t ，p ) o p e r a t o r sc h i e f l ya 血db a c k g r o u n do ft h i sp a p e r ，b e s i d e s ， w ea l s oi n t r o d u c es o m et h e o r e m sa n dl e m m a st h a ta r er e f e r e e df r e q u e n t l yi i lt h i sp a p e r ， f o re x a m p l en l r u t ai n e q u a l i t y ，l o w n e r h e i n zi n e q u a l i t ye t c t h es e c o n dp a r ti sm a i nr e s u l t sa n dp r o o f s ， i ti 8t h eh e a r to f t h i sp a p e r i n t h i sp a n ，w ei n t r o d u c es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n sa b o u tc l a s so f 叫a ( s ，p ) o p e r a c o r s ，f o r e x a m p l e ： s o m er e s u l t sa b o u t 叫a ( s ，t ，p ) o p e r a t o r sa n dr e l a t i o n 8b e t w e e n 叫a ( s ，p ) o p e r a t o r s a n do t h e ro p e r a t o rc l a s s e s t h ep r o p e r t i e sa b o u ts ，fa n dp w es h a l lg i v es e v e r a lt h e o r e m sf o rsjta n dp ，t h i s r e s u l t si sv e r yh e l p f u lf o ro u rp r o o f si nt h el a t e rp 缸t t h ep o w e r s 。f 训a ( s ，p ) o p e r a t o i s 。i n 妇i sp a l t ，w es h a l li n t r 。d u c eo 啪a ( s ，功 o p e r a t o r sa 肌ds h o wt h a ti ft h i st w oo p e r a t o r sb e l o n gt o 让7 a ( s ，p ) o p e r a t o r s ，t h e n t h e i rp o w e r so fi n t e g e ra r e 叫a ( s ，t ，p ) o p e r a t o r s n o r m l 1 i t yo f 叫a ( s ，p ) o p e r a t o r s p r o p e r t i e sa b o u tt 、v oi n e q u a l i t i e s i n t h i sp a r t ，w es h a l li n t r o d u c et w oi n e q u a l i t i e s r e l a t i v et o 叫a ( s ，p ) o p e r a t o r s w es h o wt h a tt h eo u t e ri n d e xo ft w oi n e q u a l i t i e sa r e b e s td o s s i b l eu n d e rs o m ec o n d i t i o n s k e yw o r d s ：f u r u t ai n e q u a l i ty 1l o w n e 卜h e i n zi n e q u a l i t y ，p h y p o n o r m a lo p e r a t o r ，l o g h y p o n o r m a lo p e r a t o r ， a ( 8 ，t ) o p e r 蚍o r ，u j a ( s ，t ，p ) o p e r a t o r 第一章绪论 1 1 引言 本文中日代表个复希尔伯特空间h 上的一个有界线性算子t 称为是正的， 若对一切z 日，都有( 丁z ，z ) o ，记作t 0 算子丁称为是严格正的，若丁是正 的和可逆的，记作t o 一个定义在区间，上的实值连续函数，称作是算子单调 的，若对谱都在，中的有界自共轭算子a 和b ，当a b 时，( a ) ，( 日) 成立 若a 和b 是可逆的正算子，由于函数l o g 是算子单调的，因此，序a b 蕴涵序 1 0 9 4 l o g b ，然而，序l o g a l o g b 并不一定蕴涵序a b ，相关结果可以参看文 献 1 设丁是一个有界线性算子且p 0 ，若( t + t ) p ( 丁t + ) ”，7 1 称为是p 一亚正规算 子，这里t + 表示算子t 的共轭算子，此定义可参见文献 2 1 8 j 通过l o w n e r h e i n z 定 理易得以下结论：对所有的0 o ，t o 有关b ，。类算子的相关性质在文献【2 6 】中有详细的介绍利用变换l ，t ，i t o 【2 6 】将 训一亚正规算子推广到了训a ( s ，t ) 类算子如下： 定义1 1 1 2 6 】对每个s o 和 0 ，一个算子t 属于圳a ( s ，t ) 类算子，若 第一章绪论 丰 ( 1 丁h t + 一丁1 8 ) 南l t l 2 3( i i ) 成立 有关伽a ( s ，) 类算子的性质可以参看文献 2 6 ，2 7 ，2 8 】等，特别需要指出的是，在 文献 2 8 中，作者介绍了”a ( s ，) 类算子的定义中上述两个不等式( i ) 和( i i ) 具有以 下关系： ( i ) ( i ) 蕴涵( i i ) ； ( i i ) 若( t ) ( t + ) 则( i i ) 蕴涵( i ) ， 这里( 丁) = z i 丁。= o ，z 日) 在本篇文章中引入了另外一类算子：a ( s ，p ) 类算子，其中s o ，t 0 ，p o ， 以此作为似a ( s ，) 类算子的进一步推广 定义1 1 2 对每个s o ，t 0 和p o ，一个算子t 属于叫a ( s ，t ，p ) 类算子，若 ( i 丁+ h 丁一r l 。) 景旷1 2 扣 ( i 丁h 丁+ 丁1 8 ) 吊俐2 ” 成立 在本文中我们考察了有关参数s ，p 的相关性质，这些性质是w a ( s ，) 类算子类 似性质的推广；给出了两个比较特殊的删a ( s ，t ，p ) 类算子的正整数幂，即这两个算子 的任意正整数幂都还是枷a ( s ，p ) 类算子我们还讨论了”a ( s ，p ) 类算子的正规性 问题最后，我们集中考虑了在研究a ( s ，t ，p ) 类算子中遇到的几个不等式的一些相 关性质，例如对这中间的两个不等式研究了它们外部指数的最优性 1 2 基本引理及有关部分等距和极分解的介绍 以下的几个定理是在证明本篇论文问题中经常要用到的，为方便使用我们将其单 独列出 定理a 2 9 3 1 ( f u r u t a 不等式) 若a2b o ，则对于每个r20 ， 2 蔓二童堕鲨 3 ( 1 )( b i a ，b ；) ；( 日口”b ；) j 和 ( 2 )( 4 ；a ，a ；) ；( a ；日9 a ；) ； 成立，其中p 芝o ，q 1 且( 1 + r ) q 2 p + r 我们指出当令上面的( 1 ) 或( 2 ) 中的r = 0 时，定理a 可产生下面著名的l j w n e r - h e i n z 不等式定理a 的证明可以参见文献 3 2 ，3 3 ，在文献 3 4 中，f u r u t a 给出了定 理a 的另一种更为简洁的证明方法另外，t a n a h a s h i 证明了在此定理中参数p ，g ，r 所围成的区域具有最优性 定理b ( l o w n e r h e i n z 不等式) 若a b o ，贝0 对于a o ，1 ，有a 。b “ 我们指出，若n = ；，该不等式又称为l j w n e r 不等式若o 1 ，该不等式不一 定成立，可参见文献 3 5 ，p 4 6 5 p e d e r s o n 在 3 6 】中利用算子代数方法给出了该不等 式的一个简洁证明通过定理b ，得到定理a 的另外一种特殊形式的表述，它是我们 以后证明过程常用的形式 定理a 2 7 若a b o ，则 ( 1 )( b 舻b ；) 筹b 1 柑和 ( 2 )a 1 ” f a l b p a ) 拳 成立，其中p l ，r 0 定理c 3 7 对可逆正算子a 和可逆算子b ，有 ( 日4 b ) 8 = b 4 1 2 ( a 1 2 b + b a l 2 ) 5 1 a 1 2 b + 其中s 为任意实数 我们通常把定理c 称为降幂引理，当其中的s2l 时，算子a 和b 的可逆性条 件可以去掉 下面简单的介绍一下部分等距和极分解 设日1 ，凰是复h i l b e r t 空间，线性变换v ：h l 一飓，使得| | u t 厂jj = j j 川，对于 任意的- 厂儡成立，称矿是一个等距 易知线性变换u 是一个等距当且仅当扩u = ，事实上，对任意的，日，则有 | | u ，| | = | | ，| | = ( u 矿，) = ( ，) ，又由于h l ，也是复h i l b e r t 空间，故结论成 立 第一章绪论 现设u 是局一凰上的线性变换，称u 是一个部分等距，若对于任意的 ，( u ) 上，有| | u ，| | = | | ，显见自伴投影算子是一个部分等距若u o 且 u 为部分等距则l lul l = 1 ( u ) 1 称为部分等距的初始空间，易知( 1 = ， 日l ：i iu 川= | | 川) 事实上若，日l 使j 1u ，i l = l | 川，记，= 9 + ，其中9 ( u ) ， 愚( u ) 。则| | ，i i = | | u ，l l = | | u 9 + u l i = | | u 九i l = | | 又| | ，1 1 2 = | | 9 2 + | | 2 ， 从而9 = o 即，( u ) 1 ，对于一个部分等距己厂，称其值域冗( u ) 为u 的终空间 4 第二章主要结论及其证明 2 1 叫a ( s ，t ，p ) 类算子的几个基本特征 在这部分中，我们将介绍和 a ( s ，t ，p ) 类算子相关的几个基本特征，它们将在以 后的证明过程中起到非常重要的作用， 性质2 1 1 设丁= u 例为算子丁的极分解，t ，_ ? s f 卅z ，其中s o ，t o ， 则t 是似a ( s ，t ，p ) 类算子当且仅当t 满足 曩，；f 器畔蛔 和 j 丁j 2 s r i 于：j 等， 注：由性质2 1 1 易得当r 是枷a ( s ，t ，p ) 类算子时于跗是里! 摹磐亚正规的 要证明性质2 1 1 ，需要以下引理； 引理a 2 6 j 设a o ，t = u 1 丁j 为算子丁的极分解，则对每个a o 和 o 下列论述成立； ( 1 ) u + u ( i t p a l t i 口) 。= ( | t r aj 丁l 卢) 。； ( 2 ) u u + ( i t + j 4 aj 丁+ j 4 ) 。= “t + j 4 a i t + 1 9 ) 。； ( 3 ) ( u i t 尸a i 丁p u + ) 。= 厂( 1 t l 卢a i 丁l 卢) 。u + ； ( 4 ) ( u + i 丁+ 1 9 a i t + 1 8 u ) 。= u + ( i t + 1 9 a l 丁+ 1 9 ) 。矿 性质2 1 1 的证明因为i 予叫i 嚣= ( i t i t 矿l t i z s uj 丁门品i t i ，因此 i 予叫i 鬻2i 丁l z 印当且仅当( i r r 矿i t 2 s u l 丁i t ) 最2i 丁l 一，而又由引理a 中( 1 ) 知 当且仅当u ( j t l 旷l t l 2 5 u l t n 最扩u 例2 印矿成立，从而由引理a ( 3 ) 知当且仅当 ( u l t r 矿+ i 丁1 2 5 u l t l 。扩) 最v i t l 2 扣扩成立，即( i 丁+ 丁h 丁+ i t ) 墨i t + 1 2 扣成立 另一方面由( i t h 丁丁1 8 ) 螽= ( 丁f 5 闭2 t 旷f r s ) 嚣= z 。 器知 “丁l8 i 丁+ t 1 5 ) 辈l t l 2 ”当且仅当l 于：。l 器i t i 因此，由a ( s ，t ，p ) 类算子的定义1 1 2 可知结论成立口 5 第二章主要结论及其证明 性质2 1 2 若t 为可逆算子，则丁为叫a ( s ，t ，p ) 类算子当且仅当t 。为刨a ( t ，s ，p ) 类算子，其中s 0 ，t o ，p 0 证明首先易知：丁f _ 1 = f 丁_ 1 + 和丁叫- 1 = 丁- 1 j 因此，可逆算子丁为 讹4 ( s ，z ，p ) 类算子，则由”a ( s ，t ，p ) 类算子的定义知当且仅当( i r + t h r i ) 螽 j t + 1 2 扣和( 1 t h t + 同t 1 5 ) 最i t 2 ”成立由于丁可逆，则上面两不等式成立当 且仅当( 1 丁+ h t h t + i ) 嚣l 丁+ r 2 印和( i t l 5 i 丁。h 丁1 5 ) 嚣i t i 一。a ，成立即， ( 1 t 4 r i t l 2 8 l t + r ) 晕l t + l 一2 印和( | t r i 丁+ i 一赳i t r ) 最i 丁l 一2 ”成立因此， ( i t 一1 h t “h 丁一，l2 ) 景l t 一1 1 2 印和( i t h t ，一丁- h i s ) 景l 丁一1 2 ”成立故 t _ 1 为a ( t ，s ，p ) 类算子 口 性质2 1 3 ( 1 ) ? 属于加a ( s ，) 类算子当且仅当丁属于w a ( s ，t ，1 ) 类算子，其中s o ，t o ( 2 ) t 属于伽a ( 1 ，1 ，p ) 类算子当且仅当i t 2 l l 丁1 2 一和l p i 卸l t 。1 9 成立，其 中p 0 证明( 1 ) 由叫4 ( s ，t ) 类算子以及础a ( s ，t ，1 ) 类算子的定义易知 ( 2 ) 首先l t 2 l l t i 印成立则可知( 丁+ t + t t ) ；= ( i t l u + l t l 2 u i 丁i ) l = | 于1 f 7 p 另一方面，因为 ? 蝴f ，= ( 丁丁丁4 丁+ ) = ( 丁 i ? 4 f 2 f t f 矿) g ，所以f 丁f 印f p 2 f ， 当且仅当i t + p ( 例l t + 1 2 l 丁l 旷) 成立又由引理a ( 3 ) 可知当且仅当u 旧2 ，泸 u ( i 丁| | p 1 2 l t l ) u + 再由引理a ( 1 ) 知当且仅当l t l 2 p ( 1 t l i r + 1 2 i t i ) 成立即， j 丁j 2 p 2 z 1 1j p 因此，由性质2 1 1 可知结论成立 口 注：若一个算子t 满足t + ( 丁+ 丁) 丁2 丁t + ( 丁丁+ ) t ，则称算子t 为拟亚正规算子 因此由性质2 ，1 3 以及l j w l 】e r h e j n z 不等式易知，若算子丁属于训a ( 1 ，1 ，p ) 22 ) 类算子，则丁为拟亚正规算子 下面来讨论w a ( s ，p ) 类算子和绝对一( p ，r ) 仿正规及a ( p ，r ) 类算子之间的联 系，它们之间的这种联系在以后讨论训a ( s ，t ，p ) 类算子的正规性时还要用到首先介 绍绝对一( p ，r ) 一仿正规及a ( p ，r ) 类算子的定义 定义2 1 4 3 8 对正数p o 和r o ，t 是绝对一( nr ) 一仿正规的，若 丁f 9 f 丁+ f f f 72 川，+ f k f f ” 6 第二章主要结论及其证明 对每个单位向量z 日成立，或等价地 丁f 9 f 丁4 f ”z i f 。f f 9 t 。f z f f + 7 对所有向量z h 成立， 定义2 1 5 3 8 】对p o 和r o ，丁属于a ( p ，r ) 类算子，若 ( i r + h t f 净f 了1 + f 7 ) i 毛f ? i 2 7 成立 性质2 1 6 对s o ，r o 和p 1 ，每个t u a ( s ，t ，p ) 类算子都是绝对一( s ，) 一仿 正规的 要证明性质2 1 6 ，需要以下引理 引理b 4 3 对p o 和r o ，若算子t 属于a ( p ，r ) 类算子则t 是绝对一( p 1r ) 一 仿正规的 引理c 2 8 ”a ( s ，) 类算子和a ( s ，t ) 类算子是一致的 性质2 1 6 的证明对s 0 ，r o 和p21 ，由a ( s ，f ，p ) 类算子的定义和1 2 定理b 可知当p 1 时，每个叫a ( s ，p ) 类算子都是叫a ( s ，) 类算子由引理c 知 每个叫a ( s ，p ) 类算子都是a ( s ，) 类算子，再由引理b 可知结论成立 口 2 2 研a ( s ，国类算子有关参数s ，及p 的几个性质 在文献【2 6 】中，有关叫a ( s ，p ) 类算子作者得到了如下的结果： 定理a 2 6 ( 1 ) 对于p o ，每个p 亚正规算子是叫a ( s ，) 类算子，其中s o ，t 0 ( 2 ) 每个对数一亚正规算子是叫a ( s ，t ) 类算子，其中s o ，t o ( 3 ) 对于s o 和t o ，每个钏4 ( s ，t ) 类算子是叫a ( 凸：，口) 类算子，其中口2 s ，口 伽a ( s ，t ，p ) 类算子作为”a ( s ，) 类算子的推广，我们同样也得到了一个和定理a 类似的定理如下： 定理2 2 1 7 第二章主要结论及其证明 ( 1 ) 对于 0 ，每个肛亚正规算子是叫a ( s ，t ，p ) 类算子，其中s 0 ， o ， o o ， 0 ，o o ，t o o 和o o ，如 o 和o o ，o o 和o o 和o o 和1 p o o ，若 b 舶p 。( b 譬a 。b 粤) 考( 2 2 1 ) 成立则对任意的阮都有 b p p 。( b g a a 。b g ) ：鹣 成立另外，在此条件下，对每个固定的q 一q o ，函数 厶。，。( 口) = ( a 警b 4 4 警) 等嚣 在卢m a x 口0 ，q ) 上递降，因此对任何卢，岛且岛口。阮有 a 警b 自a 挚( a 警b 口。a 挚) 鞋( 2 2 2 ) 成立 证明对题设条件( 2 2 1 ) 式利用定理b ，则对任何p 1 1 和r l o 不等式 b ! 。毫n ( b 譬a 。b 訾) ：i 罨p ，b 8 4 9 “) 击鲁b 口0 m ( 1 + r - ) 成立在上不等式中令p - = 篆导l ，则对任何r ，o ( b 血止2 妇上a 。b 血尘；。吐) # 景等孙b 岛p 。( 1 + 兀) 成立，令卢= 岛( 1 + p o n ) 2 阮，则 ( b g a 。b g ) 旦二：挈庐b p + 岛p o 一阮( 2 ，2 3 ) 又因为卢+ 岛p o 一岛一励o = ( 卢一岛) ( 1 一伽) o ，则口+ 岛p o 一凤励o ，因此对任 意的卢岛，卢+ 岛p 0 一阮e 0 ，对( 2 2 3 ) 利用定理c 得 ( b g a n 。日g ) 等器b 口 和 ( 口g a m b g ) = ；拓b s 9 第二章主要结论及其证明 因此对每个q 一口o ，p2m a x 阮，g ，卢+ 肋o 阮0 有 厶。，q ) = ( a 磐b 9 4 挚) 等器 ： ( a 警b 8 a 警) 瑞) 概 = a 警b g ( b g a n 。口g ) 百南b g a 誓 器 a 挈b 譬b e b 兽a 挚 耘 = ( a 挚b 口+ e a 挚) 瓢 = 凡。( 卢+ e ) 成立，其中第三个等号是利用的定理d ，中问的不等号是由于五：；器f o ，1 ，从而利 用定理c 得到的因此，函数厶。，。( p ) 关于卢在卢m a x 岛，q 上递降 另外，当q 岛时有 a 挚口。4 警= 厶。，。0 ) 2 丘。，。( 卢) = ( a 竽b 乎) i 耥 对任何卢口成立因此，令卢1 = q ，岛= 卢，则侥口，肺，故 a 警b 觑4 挚( 4 孚b p 2 a 挈) ：j 韶 成立口 引理2 2 3 设a ，b 均为正算子，对固定的n o 0 ，肺 0 和12 伽 0 ，若 a 。p 0 ( 4 挚b 岛a 挚) ：；氍( 2 2 4 ) 成立则对任意的a 。o 都有 a 。( a ；b 。o a ) ： 成立另外，在此条件下，对每个固定的f 一岛，函数 9 口0 ，l ( ) ：( b 譬a 。b 譬) 筹鬻 在q m a x a o ，f ) 上递增，因此对任何q 1 ，n 2 且口2 o l n o 有 ( 日譬a n 。b 粤) 基鬻b 譬4 。口譬( 2 2 5 ) 1 0 第二章 主要结论及其证明 成立 证明对题设条件( 2 2 4 ) 式利用定理b ，则对任何p 2 l 和r 2 o a 口。p 0 ( h 、 a 地答盥( a 挚b 舶a 警) 誉；p 。a 塑挚翌 糍 成立，在上不等式中令船= 掣导1 ，则对任何r 2 o a 蚰船( 1 + 他2 ( a 勤垒掣口邡a 如堕掣) 面告善溉， 令d = 。o ( 1 + p o r 2 ) q o 则可得 a 。+ 。劭一。2 ( a 号上了岛a 拿) 型苇铲，( 2 2 6 ) 又因为q 十q 卯。一o o q p o = ( n d o ) ( 1 一p 0 ) o ，则o + q o p o q o 叩o ，因此对 任意的血芝n o ，o + n o 珈一q o o ，我们对( 22 6 ) 应用定理c 得 a n ”( a g b 岛a ；) ：鬻 和 a 2 ( a 号口岛4 暑) 彘， 因此，对每个f 一阮，n m 觚 o ，f i “+ o o 蛳一o o e o 有 ，f ( n ) ：( b 譬a n 口譬) 蔬 ： 0 和1 p o 0 ，若 丑廓“s ( b 粤a 。b 譬) ：精 和 a 。一。( a 警b 舶a 誓) ：；氍 成立则对任意的0 = d o ，卢风都有 b 肋。( b g a 。b g ) 帮 口 和 a 叩。( a 号b 卢a 号) 鬻 成立另外在上述条件下，对每个固定的q d o 和g 一；p 岛和f 一口，函数 ，n ，g ( 卢) = ( a b 4 a ；) ：辂 和 9 口，f ( n ) = ( 曰9 4 n 日g ) 筠 分别关于卢和q 在卢m a x 岛，q ) 和n m a x q o ，f 上递降和递增 证明对题设条件 b 口。m ( b 粤a a 。b 譬) ；撬 应用引理2 2 2 的结论，对任意的卢岛有 a 警b 廓a 孚( a 警b 4 a 警) 罟糟 ( 2 2 7 ) 1 2 第二章主要结论及其证明 因此 a 伽p o ( a 挚b 邱4 挚) ：辈( a 誓b 卢a 誓) 器，( 2 2 8 ) 其中第一个不等号是由题设，第二个不等号是因为：；赣 o ，1 从而对( 2 2 7 ) 利用 定理c 得到的 另一方面对题设a n 。”( a ! b 踟a 誓) 群应用引理2 2 ，3 的结论，对任意的 口n o 有 ( b 譬a “b 譬) 朵等b 粤a 。b 譬，( 2 2 9 ) 因此 ( 口譬a 。b 誓) ：绣( b 譬a m b 譬) ：；净m ，( 2 2 1 0 ) 其中第二个不等号是由题设，第一个不等号是因为：挈 o ，1 从而对( 2 2 9 ) 利用 定理c 得到的 因此对( 2 2 8 ) ( 2 2 1 0 ) 分别利用引理2 2 3 和引理2 2 2 即得所要的结论 口 在引理2 2 2 、引理2 2 3 和引理2 2 4 的证明过程中p o 的取值范围为o l 是否也有相同的结果呢? 答案是否定的，可以参看 第五节的相关内容仔细观察引理2 2 2 、引理2 。2 3 以及引理2 2 ，4 的证明过程容易 发现利用上面的证明方法只能得到当p o l 时的下面的结果 定理2 2 5 设a ，b 均为正算子，对固定的q o o ，风 o 和l o ，若 b 如( b 粤a m b 譬) 成立则对任意的卢风都有 b 口( 口萼 咖b 譬) 南， 另外，在此条件下，对每个固定的g 一o o ，函数 ，。( 卢) ：( a 雩b 9 a 挚) 等器 在卢2m a x 肺，q ) 上递降，因此对任何卢1 ，陵且岛口。风有 4 警b 口- a 挚f 4 挚b 如4 粤) 糍 ( i i ) 对固定的q o o ，岛 o ，若 a a 。( 4 挚b 口。a 挚) ；溉 成立则对任意的n o o 都有 a 。( a 号b 舶a 暑) 赢 另外，在此条件下，对每个固定的f 一岛，函数 ，z ( n ) ：( b 譬4 。8 譬) 甚 1 5 第二章主要结论及其证明 在a m 觚t o o ，f j 上递增，因此对任何n l ，n 2 且22 l q o 有 ( b 粤a n 。b 譬) 器蔫b 譬a 。- b 譬 定理2 2 7 27 设a ，b 均为正算子，对固定的n o o ，风 o ，若 b 廓冬( b 譬a 。b 譬) i ： 和 a 。f a 挈b 卢0 4 挚) 鼎 成立则对任意的n 口o ，肺都有 b 4 f b g a a b g 南 和 a 。( 4 号b 口a 号) 南 成立 另外在上述条件下，对每个固定的口2q o 和q 一；p 岛和f 一p ，函数 厶，。) = ；b 4 a ；) ：芬 和 卯，z ( o ) ：( b g a n b g ) 揣 分别关于卢和。在卢m a x 口0 ，q ) 和n m a x 乜o ，f ) 上递降和递增 定理2 。2 1 的证明 ( 1 ) 由训a ( s ，t ) 类算子和w a ( 5 ，p ) 类算子的定义及定理a ( 1 ) 再应用l j w n e r h e i n z 不等式易得 ( 2 ) 由叫a ( s ，t ) 类算子和州4 ( s ，t ，p ) 类算子的定义及定理a ( 2 ) 再应用l j w n e r - h e i n z 不等式易得 ( 3 ) 由叫a ( s ，t ，p ) 类算子的定义及引理2 2 4 易得 ( 4 ) 由t u a ( s ，t ，p ) 类算子的定义及引理2 2 4 易得 ( 5 ) 由 a ( s ，t ，p ) 类算子的定义及引理2 2 4 易得 1 6 第二章主要结论及其证明 ( 6 ) 由引理2 2 4 及定理c 易得 口 注：通过对比定理a 和定理2 2 1 易知定理a 中( 1 ) ( 2 ) 和( 3 ) 分别是定理2 2 1 中( 1 ) ( 2 ) 和( 6 ) 的特殊情况 作为定理2 2 1 的一个简单的应用，下面介绍一个和定理2 2 1 有关的一个例子 例设丁= u l t l 为算子丁的极分解，对s o ， o ，1 p 0 任意的q 0 ， 算子t 属于叫a ( s ，p ) 类当且仅当算子q 。= uj rj 4 属于叫a ( ；，：，p ) 类，另外对任意 的n ( 这里的表示自然数集合) ，算子= u l t i “仍属于州a ( s ，p ) 类 证明对s 0 ，t o ，1 p 0 ，q o 且t 属于叫a ( s ，p ) 类，则由姐j 4 ( s ，t ，p ) 类算子的定义可得 ( 17 1 + t 1 2 。丁l2 ) 睾i 丁+ 1 2 印( 2 2 1 1 ) 和 ( i 丁h 丁+ 一t 1 8 ) 螽j 丁p ( 2 2 1 2 ) 上两式成立当且仅当 ( ( f 丁w ( m 擎( 科) ：) 南2 ( 科) 警 和 ( ) 押+ m ( ；) ( m 警 又因为对任意的n 有优t o ，n s s o ，从而由定理2 2 1 ( 6 ) ，当( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 1 2 ) 成立时可知 ( j 丁+ 丁pj t + 嚣j 丁+ p ， 和 ( i t h t + p i 丁鼎l 丁1 2 一， 即 ( ( i t + l ”) 。( 1 t “) 2 5 ( | 丁+ l “) 。) 毒( 1 t + l “) 2 印 和 ( ( i t | “) 8 ( i t + i “) 乱( i t | “) 5 ) 最( 1 t l “) 2 1 7 第二章主要结论及其证明 又因为对任意q o ，对算子q 。= u i t l 。，有l q 。l = i ? hl q ：i = i r l 。，故由 伽a ( s ，t ，p ) 类算子的定义知结论成立 口 2 3 叫a ( s ，t ，p ) 类算子的幂 我们知道，对于任意的p o ，若算子t 是p 一亚正规的，则在一般情况下丁2 并 不一定是p 一亚正规的这种例子可以参看文献( 3 5 ，在 3 5 中的问题1 6 4 中，h a l m o s 给出了一个算子t ，该算子是亚正规算子但丁2 并不是亚正规的对于1 p 0 时的 p 一亚正规的算子已知有下面结论： 定理a f 4 0 j 若算子丁是p 一亚正规的且l p o ，则对一切正整数n ，“是罢一 亚正规的， 对于对数- 亚正规算子有以下结论： 定理b 1 0 ，27 若算子丁是对数一亚正规的，则对一切正整数n ，t “也是对数一亚 正规的 叫一亚正规算子作为p 一亚正规算子和对数一亚正规算子的推广其幂形式也已经 被广泛的研究文献【2 5 ，4 1 中介绍了”一亚正规算子的平方仍是训亚正规算子 文献 4 2 】中，c 嫡、h u r u y a 和k i m 证明了若算子t 是叫一亚正规算子，则对一切 正整数n ，p 也是叫一亚正规算子叫a ( 5 ，t ) 类算子作为”一亚正规算子的推广形 式，有关其幂的结果如下； 定理c 2 7 】设丁是一个a ( s ，) 类算子，其中s ，t o ，1 】，那么对所有的正整数 n ，7 ”属于训a ( ：，) 类算子 我们指出，应用2 2 定理a ( 3 ) 很容易发现对s ，t o ，1 】，若t 是一个协a ( s ，t ) 类算子，则对所有的正整数扎，p 属于叫a ( s ，t ) 类算子 在这一部分中，我们将介绍两个比较特殊的算子，证明若它们属于叫a ( s ，p ) 类 算子，其中s ，t ，p ( o ，1 ，则对所有的正整数m ，丁”属于a ( s ，t ，p ) 类算子 定理2 3 1 设a 和b 是日上的正算子设个希尔伯特空间k 满足= of 如 其中上k = 日，对一切札z ，z 是整数集设u 是k 上的一个双侧移位，算子 d 。) 满足 1 8 第二章主要结论及其证明 队= 三羞 证明只需证明m22 的情况使用f z ( z ) 的标准正交基 e 。，n z ) ，有上k ： l 丁lc z 。，= 。固= 塞詈：三；： l t + ic z ，= 。一，z e n = 意詈妻：要：j 。j 丁+ h r j 。j t + n 最扛 ，：。：一。醒。：一；，是。z 。，：j 荔篡誉；最z ：三；： 咿h 引_ 邛崩h 一讯，= f 瑟一 第二章主要结论及其证明 其中礼z 通过观察比较知它等价于 另一方面 翟薹三： t m e 。) = t m 一1 ( d 。z 固e 。+ 1 ) = ( d 。十m l d 。+ m 一2 d 。) z 圆e 。+ m i t ”i e n ) = ( d n d 叶l d 。+ 。一2 d h 。一l d 。+ 。一2 d 。+ 1 d 。) 。 e 。 1 丁+ ” oe 。) = ( d 。一l d 。一2 d n 。+ l 碟。d 。一。+ 1 一。2 d 。1 ) z oe 。 故丁”属于叫a ( s ，p ) 类算子当且仅当对一切整数礼 f 2 3 1 ) fq 茅( q i 碟q ；要， ( 。) 【踏( 蹭q ：踩) 景， q 。= d 。_ d 。+ l d 。+ 。一2 d ：+ 。一l d 。+ 。一2 - d 。+ l i k ， 只。= d 。一l i k 一2 - d 。一。+ l d ：一。i k 一。+ l d 。一2 d ，l 为证明( 2 3 2 ) ，只需证明下面的不等式成立： 旧竺：纂篡： 4 ”8 ( a 4 8 2 ( m t ) a 。) 2 a ”8 ) 景a 2 m ， i ( a z b 2 ( m t ) a t ) a 2 m s ( a b 2 ( m t ) a ) ) 器( 4 b 2 ( m 一。) a t ) 培 j ， 日”。( b 4 a 2 ( m t ) b ；) 8 b “ 是日。m “， l ( b i 4 2 ( m t ) b ) i b 2 m 。( b a 2 ( m i ) b 4 ) ) 舞i ( b 4 2 ( 仇一z ) b z ) ” 其中i = l ，2 ，m l 因为s ，p ( 0 ，1 l ，因此由( 2 3 1 ) 及定理2 2 1 ( 6 ) 知f 2 3 3 ) 成立 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 ，3 5 ) 第二章主要结论及其证明 下面来证明( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) 成立 由( 2 3 1 ) 及定理2 2 ，l ( 6 ) 知：( 因为s ，p ( o ，1 卜从而对t = l ，2 t 、m i s 、i s 、m i 芝t ) ( b 2 a 2 ( ”一) b 。) 蔫b 2 印 ( a 2 8 2 ( m 一。) 4 ) 幕a 2 咖 其中i = 1 ，2 ，m l ， 令r l = 警 o ，p 1 = 等 o ，g l = 詈1 ，因为p l + r l 卯( 1 + q ) ，则对( 2 3 6 ) 式应用f u r u t a 不等式可得 b t ”( b 。a 2 ( mt b z ) ”t b t p r - 者b 塑号 型 将n ，p 1 ，q 1 代入上不等式即得 b ”“( b 2 a 2 ( “一) b 。) 5 b ”。卜墨b 2 m 印 ( 2 3 6 ) (