（基础数学专业论文）有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究.pdf

摘要本文主要研究c - 连续保单调有理三次插值；c 1 连续保凸有理三次插值；带导数的有理三次插值样条及仅基于函数值的有理三次插值样条的形状控制问题构造了几种不同类型的有理三次插值函数，其表达式中都含有参数这些插值函数不但具有简洁的显示表示，而且可以在插值条件不变的情况下通过对参数的选择进行曲线的局部修改，获得了一系列新的结果，改进和推广了一些相关结论第一章阐述了问题的研究背景和本文的主要工作，说明了本文工作的理论意义和实际意义第二章构造了分子为三次，分母分别为线性多项式、二次多项式、三次多项式的c 1 连续保单调有理三次插值，这三类插值函数表达式中都含有调节因子，这就使得插值曲线更具灵活性第三章构造了分子为三次，分母分别为线性多项式、二次多项式的有理三次插值函数，在给定的插值数据条件下，通过调整插值函数中的参数，给出了插值曲线的保凸方法和该方法得以实现的条件第四章构造了一种带导数的分母为三次的c 1 连续有理三次插值样条，给出了将其约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件第五章构造了仅基于函数值的分母分别为二次、三次的两种c 1 连续有理三次插值样条，给出了将分母为二次的有理三次插值曲线约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件及将其约束于给定的折线之上、之下或之间的充分必要条件：给出了将分母为三次的有理三次插值曲线约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件关键词：保形插值：有理插值：三次样条：约束插值：形状控制a b s t r a c tt h i st h e s i si sa i m e dt oi n v e s t i g a t ec 1m o n o t o n i c i t yp r e s e r v i n gp i e c e w i s er a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i o n ；c1c o n v e x i t yp r e s e r v i n go fp i e c e w i s er a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i o n ；s h a p ec o n t r o lo fp i e c e w i s er a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i n gs p l i n eu s i n gb o t hf u n c t i o nv a l u e sa n dd e r i v a t i v e so ft h ef u n c t i o nb e i n gi n t e r p o l a t e da st h ei n t e r p o l a t i o nd a t a ，a n ds h a p ec o n t r o lo fp i e c e w i s er a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i n gs p l i n eo n l yb a s e do nf u n c t i o nv a l u e so ft h ef u n c t i o nb e i n gi n t e r p o l a t e da st h ei n t e r p o l a t i o nd a t a t h ei n t e r p o l a t i n gf u n c t i o nc o n t a i n ss o m ea d ju s t a b l ep a r a m e t e r s t h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n sn o to n l yh a v es i m p l em a t h e m a t i c a lr e p r e s e n t a t i o n ，b u tc a nb eu s e df o rt h em o d i f i c a t i o no fl o c a lc u r v e sb ys e l e c t i n gs u i t a b l ep a r a m e t e r su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ei n t e r p o l a t i n gd a t aa r en o tc h a n g e d as e r i e so fn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d m a n yr e l a t e dr e s u l t sr e p o r t e di nt h el i t e r a t u r ea r ee x t e n d e do ri m p r o v e d i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n do fs h a p ep r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o n ，s h a p ec o n t r o lo fr a t i o n a lc u b i cf u n c t i o n sa n dt h et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c eo fm a i nw o r k sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h em o n o t o n i c i t yp r e s e r v i n gp i e c e w i s er a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n sw i t hl i n e a rd e n o m i n a t o ro rq u a d r a t i cd e n o m i n a t o r so rc u b i cd e n o m i n a t o r sa r ec o n s t r u c t e d ，t h ei n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n sa r ec 1c o n t i n u o u s b e c a u s et h r e ek i n d so ft h ei n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ne x p r e s s i o n sh a v ea d ju s t a b l ef a c t o r s ，t h ei n t e r p o l a t i o nc u r v e sh a v em o r ef l e x i b i l i t y i nc h a p t e r3 ，p i e c e w i s er a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nw i t hl i n e a rd e n o m i n a t o ro rq u a d r a t i cd e n o m i n a t o r so rc u b i cd e n o m i n a t o r sa r ec o n s t r u c t e d ，t h ei n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n sa r ec 1c o n t i n u o u s t w om e t h o d sa r ep r e s e n t e df o rc o n t r o l l i n gt h ec o n v e x i t yo fi n t e r p o l a t i n gc u r v e s t h ec o n d i t i o n sf o rt h ei n t e r p o l a t i n gc u r v e st ob ec o n v e xi nt h ei n t e r p o l a t i n gi n t e r v a l s s ot h a tf o rt h eg i v e nd a t at h es h a p eo ft h ei n t e r p o l a t i n gc u r v ec a nb em o d i f i e db ys e l e c t i n gs u i t a b l ep a r a m e t e r s i nc h a p t e r4 ，ar a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i n gs p l i n ew i t hc u b i cd e n o m i n a t o r si sc o n s t r u c t e du s i n gb o t hf u n c t i o nv a l u e sa n dd e r i v a t i v e so ft h ef u n c t i o nb e i n gi n t e r p o l a t e da st h ei n t e r p o l a t i o nd a t a t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ei n t e r p o l a t i n gc u r v e st ob ea b o v e ，b e l o wo rb e t w e e nt h eg i v e nb r o k e nl i n e so rp i e c e w i s eq u a d r a t i cc u r v e sa r ed e r i v e d i nc h a p t e r5 ，ar a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i n gs p l i n eb a s e do nf u n c t i o nv a l u e sa n dw i t hq u a d r a t i cd e n o m i n a t o r si sc o n s t r u c t e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ei n t e r p o l a t i n gc u r v e st ob ea b o v e ，b e l o wo rb e t w e e nt h eg i v e nb r o k e nl i n e so rp i e c e w i s eq u a d r a t i cc u r v e sa n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ei n t e r p o l a t i n gc u r v e st ob ea b o v e ，b e l o wo rb e t w e e nt h eg i v e nb r o k e nl i n e sa r ed e r i v e d n e x t ，ar a t i o n a lc u b i ci n t e r p o l a t i n gs p l i n eb a s e do nf u n c t i o nv a l u e sa n dw i t hc u b i cd e n o m i n a t o r si sc o n s t r u c t e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ei n t e r p o l a t i n gc u r v e st ob ea b o v e ，b e l o wo rb e t w e e nt h eg i v e nb r o k e nl i n e so rp i e c e w i s eq u a d r a t i cc u r v e sa r ed e r i v e d k e yw o r d s ：s h a p ep r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o n ；r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；c u b i cs p l i n e ；c o n s t r a i n e di n t e r p o l a t i o n ；s h a p ec o n t r o li v附录三湖南师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本学位论文作者签本人承担。j j 月砰日湖南师范大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1 、保密口，在年解密后适用本授权书。2 、不保密口。作者签名：导师签名：在以上相应方框内打“竹)日期：少年，月。够日嘲：夕朋冲日有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究第一章绪论1 1 问题的研究背景1 1 1 保形插值的发展及应用在函数逼近论中，插值仅仅是作为函数的一种逼近工具出现理论上，最简单的一种插值是l a g r a n g e 多项式插值公式，但l a g r a n g e插值无法保证收敛到所有被逼近的函数事实上，r u n g e 发现对部分函数甚至会出现发散( 称r u n g e 现象) 应用上，随着被插值点的增加，-插值多项式次数增大，计算费用加大，甚至出现计算溢出因此在工程应用中，很少使用七次以上的l a g r a n g e 插值多项式低次多项式插值仅仅适合于插值节点较少的情况，对于节点很多时，一个有效的途径是用分段插值，每段用低次多项式，段与段之间保证一定的连续阶这种方法克服了上面的缺点，又保证了插值的简洁性例如分段线性，分段三、五次h e r m i t e 插值分段三次h e r m i t e 插值多项式c z 连续导出了著名的插值三次样条函数分段多项式插值方法计算简单，容易绘图，逼近性能好但是，往往还有另一个要求就是保持数据点的固有“几何形状”，即曲线保形这种保持数据点的几何形状的插值称保形插值保形插值在实验数据分析、数值逼近、c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) 、计算机图形学、图像处理中有广泛的应用保形大概可以追溯到函数逼近论中的保单调、保凸、保形逼近【5 8 1 真正用数值逼近的方法研究保形插值是1 9 7 7 年由p a s s o w l 2 1 等人提出高校教师在职硕士学位论文来，他们利用b e r n s t e i n 多项式的性质，对单调数据点列和凸数据点列的插值，导出了一种保单调和保凸的插值样条函数但在部分子区间上，多项式次数会很高，无法使用2 0 世纪8 0 年代，有不少学者试图研究插值三次样条的保形插值，但通过对其m 一连续性方程的分析，插值三次样条函数容易使插值曲线产生较多的拐点，曲线无法保形因此，要找到一个保形的插值三次样条函数是十分困难的，对于特例，保凸插值，s c h w e i k e r t 等人提出的张力样条，它们舍弃了三次多项式，代之以双曲函数，得到了c 2 连续的保凸插值样条函数由于保形插值的困难，人们放弃c 2 连续，开始研究具有c 1 连续保凸、保单调、保形分段二、三次多项式样条插值方法s c h u m a k e r 3 】导出了二次多项式插值样条保形的充分必要条件，并且证明存在数据点列不满足保形的充分必要条件通过在每两个型值点之间插入一个新型值点，构造了保形的二次插值算法对于凸数据的插值，m e t t k e s l 用任意次多项式在理论上构造了一个保凸插值算法至2 0 世纪9 0 年代，国内外不少学者对保凸分段三次多项式插值进行了研究如s t e v e n 和a r c h e r 几乎同时提出了一种c 2 连续的分段三次保形插值方法，这种方法的缺点是曲线段数太多，计算复杂，形状不易控制对于多项式的保形插值理论与算法，方逵 3 2 , 3 3 , 3 5 , 5 3 1 等得到了一些比较好的结果，彻底解决了一般多项式的保形插值问题纵上所述，在近几十年来，许多文献研究了保形插值，提出了各种方法以使插值函数保持插值数据所具有的整体几何性质大多数所采用的方法是在插值数据点之间加入样条点，以提供足够的自由度来保证保形问题解的存在性，这些方法的缺点是插值函数的修改不能以局部方式交互进行，计算上需要更多的存贮和有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究查找时间；另一些方法是对插值点的位置强加额外条件以保证插值问题的可解性，然而这些条件对许多实际问题而言过强，限制了插值方法的应用范围为了提高插值曲线的连续阶，而又不要增加太多的段数，b r a n k i n 和g l a d w e l l l 7 1 建议用分段多项式有理函数构造c - 连续的保凸插值曲线，康宝生【3 8 】，王艳春【3 7 】等已经得到了两个比较好的结果因此研究带参数的有理函数的保单调、保凸，即在给定插值数据条件下，只需通过调整插值函数中的参数，就可以实现插值函数保单调、保凸是非常有意义的1 1 2 有理三次插值样条的形状控制警- ：曲线曲面的构造和数学描述是计算机辅助几何设计中的核心问题现在已有很多这种方法 9 , 1 0 , 1 6 , 1 7 , 2 5 1 ，如多项式样条方法、b 样条蒜及非均匀有理b 样条( m 瓜b s ) 方法、b 6 z i e r 方法等等这些方法已广泛应用于工业产品的形状设计，如飞机、汽车、轮船的外形设计通常来说，多项式样条方法一般都是插值型方法，插值曲线和插值曲面均通过插值点同时，多项式样条方法的一个缺点是它的整体性质，在插值条件不变的情况下，在“插值函数关于插值条件的唯一性 的约束下，无法进行所构造的曲线曲面的整体或局部修改n u r b s 方法和b 6 z i e r 方法是所谓的非插值型方法，用这些方法所构造出来的曲线曲面一般不通过给定的点，给定的点是作为控制点出现的，通过给定点的变动控制插值曲线曲面的形状因此，如果能设计出一种方法，它兼顾以上两种类型方法的优点，即既是插值型的，又能进行局部或整体修改，同时又是在便于获取的插值数据下使插值函数具有简洁的高校教师在职硕士学位论文显示表示，将是非常有意义的设计高质量、易控制的曲线和曲面，在很多工业领域都是重要的和具有挑战意义的工作尽管近几十年来对c a d 工具的研究和使c a d 工具商品化方面已取得了巨大的成就，但随着模型复杂化和联合生产的需要，对更有效的c a d 工具的要求更突显出来样条插值是曲线曲面设计中强有力的工具，一些作者已经研究了不少类型的样条函数用于几何造型的控制设计【1 1 1 7 1 ，但是通常的样条插值都是确定性的插值，即对于给定的插值条件，插值曲线是确定的如果要对曲线进行修改，就要改变给定的插值条件，如何在插值条件不变的情况下进行其插值曲线的局部修改，则是计算机辅助几何设计中的重要研究课题从理论上讲，这种提法似乎与“插值函数关于插值条件的唯一性相矛盾近些年来，带参数的有理插值在化解这个矛盾上已有一些有效的工作 1 8 , 1 9 , 2 6 - 3 0 , 3 9 - 4 3 】，它通过适当的选择参数来改变插值曲线的形状，从而达到曲线形状约束控制的目的，而且在理论上将通常的“插值函数关于插值条件的唯一性”演化为“插值函数关于插值条件和参数的唯一性”近些年来，许多文献研究了带参数的有理插值样条的形状控制问题，主要是构造带参数的分母为线性的有理三次插值样条，研究了它们的性质及应用效果d u a n 等2 6 2 刀讨论了将带导数的和仅基于函数值的分母为线性的有理三次插值样条曲线约束于给定区域的充分条件及充分必要条件：刘爱奎等 4 0 , 4 1 】先后讨论了将分母为线性的有理三次插值样条曲线和分母为线性的加权有理三次插值样条曲线约束于给定区域的充分条件：谢楠等【4 2 】对一类带导数的分母为二次的有理三有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究次插值样条曲线的区域控制问题进行了研究，给出了将其约束于给定区域的充分条件及充分必要条件这些文献中还研究了部分三次有理插值的逼近性质但在很多实际问题中，导数值是很难得到的；另一方面，分母为三次的有理三次插值函数，由于其结构比分母为线性、二次的有理三次插值函数复杂，所以对它的诸项性质的讨论很少见诸文献因此构造带导数的分母为三次的有理三次插值样条以及仅基于函数值的分母分别为二次、三次的有理三次插值样条，再研究它们的形状控制是很有意义的这三类新的三次有理插值既是插值型的，又能进行局部或整体修改，同时又是在便于获取的插值数据下使插值函数具有简洁的显示表示，不但便于应用，而且便于理论研究1 2 本文的研究内容与安排本文主要研究c 1 连续保单调有理三次插值；c 1 连续保凸有理三次插值；带导数的有理三次插值样条及仅基于函数值的有理三次插值样条的形状控制问题构造了几种不同类型的有理三次插值函数，其表达式中都含有参数这些插值函数不但具有简洁的显示表示，而且可以在插值条件不变的条件下通过对参数的选择进行曲线的局部修改，获得了一些新的结果，改进和推广了一些相关结论第二章构造了分子为三次，分母分别为线性多项式、二次多项式、三次多项式的保单调有理三次插值，这三类插值函数表达式中都含有调节因子，这就使得插值曲线更具灵活性，而且在给定的插值数据条件下，只需合适的选择插值函数表达式中的参数，就使有理三次插值是c 连续的s高校教师在职硕士学位论文第三章构造了分子为三次，分母分别为线性多项式、二次多项式的有理三次插值函数，在给定的插值数据条件下，通过调整插值函数中的参数，给出了插值曲线的保凸方法和该方法得以实现的条件第四章构造了一种带导数的分母为三次的c 1 连续有理三次插值样条，给出了将其约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件当选择合适的调节参数，就可以使该种有理三次插值样条退化为分母为线性、二次的有理三次插值样条，因而推广了已有文献的工作第五章构造了仅基于函数值的分母分别为二次、三次的两种c - 连续有理三次插值样条，给出了将分母为二次的有理三次插值曲线约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件及将其约束于给定的折线之上、之下或之间的充分必要条件：给出了将分母为三次的有理三次插值曲线约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件改进和推广了一些相关结论，使有理三次插值样条的形状控制成为较完整的理论体系有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究第二章c - 连续保单调有理三次插值给定插值数据眠，z ) ，f = 0 , 1 ，刀) ，在许多实际应用中( 如实验数据分析、数值逼近、计算机辅助几何设计等) ，要求插值函数除满足一定的光滑性外，还必须反映插值点集的整体几何性质例如，通常要求单调数据产生的插值函数也是单调的用标准插值技术象多项式或三次样条，这个要求仅在特殊情况下才被满足，即使众所周知的三次插值样条，尽管具有最佳逼近性质，但也产生了不期望的振荡本章构造三类不同的带参数的有理三次插值函数，只要合适的选择参数，就可以保证插值函数是c 1 连续的且保单调2 1 预备知识给定数据缸，z ) ，= 0 , 1 ，门 ，其中z 为被插函数j r ( f ) 在分划点，f 的函数值，此处，口：t o z u 。) ，。 力 o 所以p ( ，) 的符号决定于m 。( f ) 的符号由式( 2 2 2 ) ，并注意到q 0 ，0 兄 j i ， o 又因为。 a 厅= 啤石瓮暑) 。，- 一兄垒麦 。于是只要选取参数 o ( 任意) ，口。 o ( 任意) ，而其余的参数o = 2 , 3 ，刀) 满足式( 2 2 3 ) 就能保证所有的 0 且尸( f ) c 1 i t t + 。】o = o ，l ，刀一1 ) 因此有如下的定理定理2 2 1如果选取参数 o ( 任意) ，口。 o ( 任意) ，其余的参数呸o = 2 , 3 ，刀) 按式( 2 2 3 ) 选取，则由式( 2 2 1 ) 所定义的有理三次插值函数是c 1 连续和保单调的此处2 3 分母为二次的c 1 连续保单调有理三次插值构造如下的分母为二次的有理三次函数刊h 川= 鬻，圳 l 扩蛩1 )p i ( f ) = 口，z ( 1 一臼) 3 + v 。o ( i - o ) 2 + 彬乡2 ( 1 - 1 9 ) + a i + l z + 1 0 3 ，g f ( f ) = 口i ( 1 一目) 2 + 。臼( 1 一目) + 口i + 1 0 2 ，1 0有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究且杉= 位，+ 鸬) ( 税+ + ( 1 一名) ，) ，彬= q + “) ( 就+ 。+ ( 卜五) z ) 其中吼为参数( o ) ，j u ， 0 为调节参数，o 名 o 所以p ( ，) 的符号决定于m ，( ，) 的符号由式( 2 3 2 ) ，并注意到 0 0 旯 。又因为。 a 。，l a 垒云 。于是只要选取初始调节参数p o o ( 任意) ，而其余的调节参数以( 扛l 二 2 一，刀一1 ) 满足式( 2 3 3 ) 就能保证所有的以 0 且尸( f ) c 1 i t ，+ 。】o = 0 , 1 ，n 一1 ) 因此有如下的定理定理2 3 1如果选取初始调节参数风 o ( 任意) 以及其余的调节参数麒( ，= l 2 ，刀一1 ) 按式( 2 3 3 ) 选取，则由式( 2 3 1 ) 所定义的有理三次插值函数是c 1 连续和保单调的2 4 分母为三次的c 连续保单调有理三次插值构造如下的分母为三次的有理三次函数俐i h “，= 鬻，圳 l 扩1 ( 2 4 1 )此处p 。( f ) = 口。z ( 1 一口) 3 + v , o ( 1 - o ) 2 + 彬秒2 ( 1 - o ) + a 川z + 1 0 3 ，g i ( f ) = 口，( 1 一目) 3 + 五臼( 1 一目) 2 + z ，0 ( 1 - 0 ) + a “1 0 2 ，且k = 五( 衫+ 。+ ( 1 一见) z ) ，彬= 1 ，( 须+ + ( 1 一a ) z ) 其中为参数( q 0 ) ，五 o ，鸬 o 为调节参数，0 2 o 所以p ( f ) 的符号决定于职( ，) 的符号由式( 2 4 2 ) ，并注意到 o ，丑 o , p i o ，o 名 o ：并注意到o 彳 o 于是只要选取任意凡 o ，a i ”。w 。雠l 0 胁 o , m i 0 ，卜2 0 ，而丑o = l ，2 ，刀一i ) 满足式( 2 4 3 ) 就能保证所有的丑 o 麒 ok尸( + ) = p ，( ，i 一) ，i = 1 ，2 ，疗一1 高校教师在职预士学位论文从而尸( f ) c 1 t i ，t 川】o = o ，l ，刀一1 ) 因此有如下的定理定理2 4 1对于任意一组调节参数, u o o ，。 o ，z ， 0 ，当选取另一组调节参数为初始调节参数凡 o ( 任意) ，其余的调节参数丑o = l ，2 ，刀一1 ) 满足式( 2 4 3 ) 时，则由式( 2 4 1 ) 所定义的有理三次插值函数是c 1 连续的而且保单调2 5小结文献 4 曾给出了有理二次保单调插值，但在计算上不合算本章利用分子为三次多项式，分母分别为线性、二次、三次多项式的有理函数满意地构造了c 1 保单调的分段有理三次多项式，由于表达式中含有调节因子，这使得插值曲线更具灵活性，本方法构造较简单，计算方便，可便于统一编程处理，是一种有效的方法有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究第三章c t 连续保凸有理三次插值确定一条通过给定数据点 ( f 。，z ) ，i = o ，卜，刀 的曲线是一个基本的插值方法一个典型的方法是估计曲线在每一个数据点的斜率，再构造分段三次插值函数这种插值方法计算简单，容易绘图，逼近性能好但是往往还有另外一个要求就是保持数据点的固有“几何形状 希望凸数据产生的插值函数也是凸的保凸是保形的基本内容之一，保凸插值在实验数据分析、数值逼近、计算机辅助几何设计中有广泛应用本章构造两类不同的带参数的有理三次插值函数，只要合适的选择参数，就可以保证插值函数c 1 连续且保凸3 1 预备知识给定数据 ( ，z ) ，f = o ，- r ， ，其中z 为被插函数y ( o 在分划点f f 的函数值，此处，a - - t o f l 厶= 6 是分划点记曩= f j + 。一，日= q - ) 囊，j = “一z ) h , 定义3 1 对于给定的分划和数组黩，如果有o a l 一l ( o i a 。一1 ) ，则称数组以是下凸( 上凸) 数组如果有o l l 。一1 ) ，则称数组以是严格下凸( _ lr 5 ) 数组定义3 2 如果区间【口，6 】上的一个函数p q ) 满足如下条件( 1 ) 在每一个子区间h f 】q = o ，l ，刀一1 ) 上，p ( o 为分子是三次高校教师存职硕士学位论文多项式，分母是线性多项式的有理三次函数：( 2 ) 尸( ，) c 1 【口，6 】；( 3 ) 尸( ) = z ( f = o ，1 ，) ：( 4 ) 尸( f ) 与数组弘有相同的凸性则称尸( f ) 是区间 口，6 】上分母为线性的c 1 连续保凸有理三次插值函数定义3 3 如果区间【口，6 】上的一个函数p ( f ) 满足如下条件( 1 ) 在每一个子区间h t m 】( f = o l 1 “，一1 ) 上，尸( ，) 为分子是三次多项式，分母是二次多项式的有理三次函数；( 2 ) p ( o c l 口，6 】；( 3 ) 尸( ) = z ( f = 0 , 1 ，刀) ：( 4 ) 尸( ，) 与数组e 有相同的凸性则称p ( f ) 是区间【口，6 】上分母为二次的c 1 连续保凸有理三次插值函数本章只讨论严格下凸数组的情形此处且3 2 分母为线性的c t 连续保凸有理三次插值构造如下的分母为线性的有理三次函数刊h “，= 鬻，圳 l 扩1 ( 3 2 1 )p 。( f ) = 口。z ( 1 - o ) 3 + v , 1 9 ( i - o ) 2 + 形臼2 0 - o ) + p z + 1 0 3 ，g ，( f ) = 口f 0 一目) + o f “1 0 ，k = 口j ( z + z + 。) + 屈( z 一啊口。) ，有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究形= 尼u + z + 。) + ( z + 。一h i 屈) ，其中 0 ，屈 o 为参数由式( 3 2 1 ) 显然有尸( f ，) = ，i = 0 , 1 ，刀，即尸( f ) 插值数组以对式( 3 2 1 ) 进行微分，得即。一难器警邻2 2 )微分式( 3 2 2 ) ，可得p 。o ) = 面而2 c t 万 f l 丽2( 3 2 3 )设h ，) 在t 。“处的导数值为p 瓢+ i ) = ( 1 - a ) l + 儿，f = 0 9 1 ，n - 2 ( 3 2 4 )其中0 力 1 为权因子欲使尸( f ) 是c 1 连续的，必须有p ( + 1 ) = p o “l 一0 ) = p ( + l + o ) ，i = 0 9 1 ，n - 2 由式( 3 2 2 ) 及式( 3 2 5 ) ，可以得到 a ，i + 一属t z i + ：1 0 一二三全公- 盘+ 。，= 。，- ，刀一2 【，+ l 一属+ l =一五) 。+ 五。- 。化简即为( 3 2 5 )厶+ i 绘乏- 一o ，卜“扩2 2 6 ，由于数组以也是严格凸数组，所以有o i ，l ，又因为o 名 o o = o l 1 一，刀一2 ) ，屈 0o = l ，2 ，n - 1 ) 而口，。 o ( 任意) ，屁 o ( 任意) 即可，从而有1 7口l 0 ，肛 o ( = o j , ，一l j于是我们只要选取参数屁 o ，口 o ，其余的参数t 2 f i ，屈满足式( 3 2 6 ) ，就能保证 o ，屈 o ( i - - 0 , 1 ，n - 1 ) ，且p ( f ) c 1 口，6 】又因为 o ，屈 o ，由式( 3 2 3 ) 知尸( ，) 0 ，f f ，f i + l 】，= o l ，n - 1 )即以，) 在区间【口，6 】上是严格下凸函数于是有下面的定理定理3 2 1如果选取参数风 o ，口，卜 o ，其余的参数，屈按式( 3 2 6 ) 选取，则式( 3 2 1 ) 定义的有理三次插值函数是c 1 连续的和保凸的3 3 分母为二次的c 连续保凸有理三次插值3 3 1c 1 保凸的分母为二次的有理三次插值函数的构造定义【口，6 】上分母为二次的有理三次插值函数如下：刊h “= 鬻，i = o , 1 , - - , n - 13 1 )此处且p i ( f ) = 口。z ( 1 一目) 3 + ko ( 1 - o ) 2 + 形0 2 ( 1 一目) + 屈z + 1 0 3 ，q i ( f ) = 口。( 1 一目) 2 + l t 。o ( 1 - o ) + 屈臼2 ，k = “z + 口，z + l 一曩口。屈，彬= 屈z + “z + 。一鬼屈其中 o ，a o ，以 o 为参数，容易验证，如上所定义的三次有理插值函数满足有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究盹) f = 吼；咒3 3 2 插值函数的凸性控制由于插值具有简单的显式表示，所以我们可以较为容易地通过二阶导数的控制进行插值曲线的凹凸性控制当t e t ，i + 】时，微分式( 3 3 2 )m ，o ) = 口? ( z + - f , - k , p , x i - 0 ) 4 + 2 口，( 以+ 。- f i ) - h , a 。p , ) o o - o ) 3+ 口。尼( 2 ( z “一j 1 ) + 囊( 屈- - o f 。) ) 目2 0 - e ) 2+ 2 屈l 嵋“+ l z ) + ，t 口，屈) 曰3 ( 1 一口) + 所u + 。- f , + 囊口，) 曰4 o ) = 囊【口。( 1 - o ) 2 + i o ( i - o ) + p , 0 2 】2 ，再微分式( 3 3 2 ) 并整理，得p 一( ，) = 圣竺出丝二当丛! 型垫辈! ! 二型! 竺星粤掣出丝逖红 ( 1 - o ) 2 + 1 6 0 ( 1 - 0 ) + f l i 0 2 】5( 3 3 3 )设尸( ，) 在+ 。处的导数值为尸( + 1 ) = ( 1 一五) 。+ 名j + i ，f = 0 , 1 ，刀一2 其中o a l 为权因子欲使p ( ，) 是c 1 连续的，必须有p ( ，。+ 1 ) = 尸( f l + i o ) = 尸( f 。+ l + o ) ，i = o ，l ，刀一2 ( 3 3 4 )由式( 3 3 2 ) 及式( 3 3 4 ) ，可以得到1 9得一可鸭一=xlj文中(其高校教师在职颈士学位论文ia j + q = ( 1 一x ) a f + 儿【。+ l 一层+ l = ( 1 一兄) ，+ 怂，+ i化简即为 ，q - 1 纵翘- 、f - o l 扩2 ( 3 3 5 )【屈+ l = ( 1 一允) ( ，“- a 。)由于数组红是严格凸数组，所以有o l a p l ，又因为o 名 o o = o ，卜，刀一2 ) ，屈 oo = l ，2 ，力一1 ) 而口， o ( 任意) ，p o o ( 任意) 即可，从而有 o ，屈 o o = 0 , 1 ，刀一1 )于是我们只要选取参数p o o ，口。 o ，其余的参数，屈满足式( 3 3 5 ) ，就能保证q o ，属 o ( f - o , 1 ，刀一1 ) ，且尸o ) c 1 口，又因为q o ，屈 o ，由式( 3 ) 知当参数鸬 m a x 缸。，屈) ( f = o ，l ，刀一1 ) 时，就有尸。o ) o , t i t ，+ l 】，o = 0 , 1 ，刀一1 )即p ( f ) 在区间 口，6 】上是严格凸函数于是得到下面的定理定理3 2 1如果选取参数p o o ，口 0 其余的参数q ，属按式( 3 3 5 ) 选取，且以 m a ) ( 缸，p , k i = o ，l ，月一1 ) ，则式( 3 3 1 ) 定义的有理三次插值函数是c - 连续的和保凸的3 3 3 数值例子例1 设被插函数( f ) = p f ，易见，【0 ，7 】上为凸取插值节点为0 0 ，l ：0 ，2 0 ，3 0 ，4 0 ，5 0 ，6 0 ，7 o ，即插值步长为h = 1 0 取满足关系式( 3 3 5 ) 和定理3 2 1 条件的参数、屈及“如表3 一l 所示，有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究其中a 取0 5 ，故插值曲线在t o ，7 】上c 1 连续并且保凸p i“01 4 7 6 2l1 5 0 0 0l4 0 1 2 81 4 7 6 24 1 0 0 021 0 9 0 8 04 0 1 2 8l1 0 0 0 032 9 6 51l1 0 9 0 8 03 0 0 0 0 048 0 5 9 9 92 9 6 5 ll8 1 0 0 0 0j52 1 9 0 9 38 0 5 9 9 92 2 0 0 0 0 065 5 5 0 0 02 1 9 0 9 35 5 6 0 0 0 0表3 1层及一的取值1图3 1 被插函数( ，) = p 的图象图3 - 2 插值函数尸( f ) 的图象2 1高校教师在职硕士学位论文3 4小结众所周知，用三次分段多项式构造c 1 保凸插值多项式是相当困难的，即使对一般的凸数组也需要插入较多的内结点，才能满足保凸条件汹1 本章利用分母分别为线性、二次多项式，分子为三次多项式的有理函数满意地构造了保凸的分段有理三次插值函数，本方法构造简单，计算方便，可便于统一编程处理，是一种有效的方法值得指出的是，本章第2 节的结论是第3 节的特例事实上当取参数以= 呸+ 屈( 显然有a i n 懈娩，屈) ) ，由于( 1 一臼) 2 + “口( 1 一伊) +p , 0 2 = ( 1 一目) + 屈口，于是式( 3 3 1 ) 就退化为分母为线性的有理三次插值函数有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究第四章带导数的有理三次插值样条的形状控制样条插值是曲线曲面设计中强有力的工具，一些作者已经研究了不少类型的样条插值用于几何造型的控制设计n 0 。1 7 1 但是通常的样条插值都是确定性的插值，如三次样条插值、b 样条插值，在插值条件确定的情况下，插值曲线的形状是完全确定的，被称之为确定性插值如何在插值条件确定的情况下，灵活地约束插值曲线的形状以适应工程实际的需要，是一个十分有意义而且急需解决的问题，也是计算机辅助几何设计中的重要研究课题近些年来，有理样条，特别是有理三次样条以及它们在形状控制中的应用已引起了广泛的兴趣n “1 8 9 2 7 m 算划，由于有理插值函数表达式中具有参数，因而给控制插值曲线的形状带来方便已有文献主要是构造了带导数的分母为线性的三次插值样条曲线，并讨论了将其约束于给定区域的条件分母为三次的有理三次插值函数，由于其结构比分母为线性的和分母为二次的有理三次插值函数复杂，所以对它的诸项性质的讨论很少见诸文献本章构造了一种分母为三次的有理三次插值函数，对该有理三次插值样条曲线的形状控制进行了研究，给出了将其约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件4 1 分母为三次的有理三次插值样条的构造给定数据妣，z ，z ) ，i = 0 ，l ，刀) ，其中z ，z 分别为被插函数( f ) 在高校教师在职硕士学位论文分划点的函数值和导数值，此处，口= t o f l o ，屈 0 定义 口，6 】上的c 连续的分母为三次的有理三次插值样条为：刊h ，= 鬻，l 扩1 ( 4 1 1 )此处p ，o ) = 口，z ( 1 - o ) 3 + k 曰( 1 - a ) 2 + 彬臼2 ( 1 一目) + 属z + 1 0 3 ，q i ( t ) - o r , ( 1 - p ) 3 4 - a o ( 1 - o ) 2 + 以臼2 ( 1 一目) + 层曰3 ，且k = 丑z + 口i 1 , 4 ，彬= 以z + 。一屈囊z 其中丑，以 o 为调节参数容易证明，对给定的数据及选定的参数q ，屈，丑和以，如上所定义的有理三次插值函数是存在且唯一的，r p ( t )满足尸 ) = z ，p 7 ( ，i ) = 4 ，i = 0 , 1 ，n - i 容易验证，当= 屈，丑= 2 a ，+ 屈，“= + 2 f l , 时，p ( f ) 为标准的三次h c r m i t e 插值样条有趣的是，对适当选择的参数q ，屈和调节参数五，鸬，尸( f ) 能够变成c 2 连续的事实上，令p ( + ) = p 。( t 一) ，i = 1 , 2 ，刀一1 可以得到如下连续性方程红( 一无 - i a i 一+ 口4 一一层一- 4 + “一4 )( 4 1 2 )= 吩一l 属一l ( 以。4 - 口，4 一层4 一丑谚) ，f = l ，2 ，刀一1 称式( 4 1 2 )为c 2 连续性约束条件则当参数有理函数的保形插值方法及形状控制理论研究 o ，属 o ，调节参数丑，麒 o 满足关系式( 4 1 2 ) 时，插值函数是c 2 连续的当嘎= 屈，丑= 2 a ，+ 属，鸬= a i + 2 屈且在等距分划的情况下，式( 4 1 2 ) 变成人们熟知的三次样条插值的三对角方程珥一l + 4 4 年4 + i = 3 ( 。+ ) ，f = l ，2 ，刀一1 由此，可由【，o ，t 。】上的口。和风通过式( 4 1 2 ) 确定和届，依此类推，逐段构造出h 6 】上的c 2 连续的有理三次插值函数尸0 ) 4 2 将插值曲线约束于两给定的折线之间的问题设( f ) 是被插函数，令p ( f ) 是厂( f ) 在t t o ，t 。】上由式( 4 1 1 ) 所定义的分母为三次的有理插值函数，g ( f ) 是【，o ，乙】上定义的以f 0 ，l o ，屈 o ，调节参数丑 o ，麒 0 ，满足如下不等式组高校教师在职硕士学位论文i五( z 9 1 ) + 口。u g ，+ l + 囊z ) 0 丑u 一岛+ i ) + 鸽u + i g ，) + ( 口i