（基础数学专业论文）低维可解完备李超代数的确定.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0l l c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 l0 8 0 6 0l0 4 5 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y d e t e r m i n a t i o no fl o w d i m e n s i o n a l s0 1 v a b l ec o m p l e t el i es u p e r a l g e b r a s d 印a n m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s l i e 舢g e b r a s u p e r v i s o r ： p r o f l e il i n n 锄e ：l i uf e n a p r ，2 0 1 l s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文低维可解完备李超代数的确定，是在华东师范 大学攻读亘面任博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果除文申已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：量l l 签日期：如i 降月f 日作者签名：王迅金日期：如i 降月f 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 低维可解完备李超代数的确定系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指 导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本 人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如 国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东 师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位 论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或 者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，于年月日 解密，解密后适用上述授权 ( 彳2 不保密，适用上述授权 导师签名： 本人签名：趣 日期：b fl f f 月j 一日 刘芬硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 胡乃红教授华东师范大学理工学院数学系主席 舒斌教授华东师范大学理工学院数学系 覃瑜君副教授华东师范大学理工学院数学系 摘要 本文在复数域c 上具体讨论了偶部维数为l 的可解李超代数，以及奇部维数分 别为l 、2 的低维可解李超代数，确定出其中完备的李超代数的结构，并在某些情况 下给出了相应的可解李超代数是否完备的一般判断 关键词：可解；李超代数；完备；导子 一 a b s t r a c t i nt l l i sp a p e r w em a i n l yd i s c u s s1 0 w d i m e n s i o n a ls o l v a b l ec o m p l e t el i es u p e r a l g e b r a s o v e rm ec o m p l e xf i e l dc s o l v a b l el i es u p e r a l g e b r a sw h o s ee v e np a r t sd i m e n s i o ni s1 ，o r o d dp 矾sd i m e n s i o ni slo r2a r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y ，a 1 1 dt h es m l c m r e so fm e s ec o m p l e t el i es u p e r a j g e b r a sa r e 百v e n i ns o m ec a 跎s ，g e n e r a lm e 山o d so fd e t e m l i i l i n gw h e t l l e r as o l v a b l el i es u p e r a l g e b r ac o m p l e t eo rn o ta r eg i v e n k e y w o r d s ： s o l v a b l e ；l i es u p e r a l g e b r a ；c o i n p l e t e ；d e r i v a t i o n s 中文摘要 英文摘要 目录 1 引言1 2 预备知识2 3 偶部维数为1 的可解李超代数4 4 奇部为零的可解李超代数7 5 奇部维数为1 的可解李超代数8 5 1 k 是交换李代数8 5 2 白是完备李代数， 矸，研】o 1 0 5 3 白不是完备李代数， 岛，白】o ， 0 ，印0 1 2 5 4 岛，岛 o ， 研，矧= 0 1 9 6 奇部维数为2 的可解李超代数2 3 6 1 k 是交换李代数2 3 6 2 d i m 岛= 2 ，3 且 岛，纠o 2 6 参考文献4 6 致 射4 8 1 1 l 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 1 引言 李超代数起源于2 0 世纪7 0 年代由于在物理学中有着重要的应用，并且 与李代数等数学分支也有着密切的联系，因此近年来人们对李超代数的研究 十分活跃，并且取得了很多的成果其中，在李超代数的分类问题上，1 9 7 7 年 vg k a c 完成的特征零的代数闭域上的有限维单李超代数的分类是具有重大 意义的成果( 参见【4 】) 中心为零且所有导子都是内导子的李代数称为完备李代数在孟道骥、 朱林生、姜翠波等人的努力下，完备李代数的研究在8 0 年代后期取得了丰硕 的成果( 参见【1 5 】【1 9 】) 相仿于李代数，最近几年在完备李代数的基础上人们 开始了完备李超代数的研究并且得到了例如有限维完备李超代数的分解唯 一性定理、李超代数完备性的判断定理以及利用半单代数与h e i s e n b e r g 超代 数构造一类完备李超代数等一些很好的结论( 参见 1 3 ， 8 】) 随着对低维李代数分类问题的关注，1 9 9 7 年朱林生、孟道骥在文【5 】中对 低维的完备李代数进行了分类，k b a u w e n s 在文【3 】中讨论了奇部维数为2 的 可解李超代数的分类，2 0 0 5 年w a d eg r a a f 在文【6 】中给出了任意域上维数 不超过4 的可解李代数的分类本文主要讨论的是可解完备李超代数，通过对 可解李超代数的偶部、奇部维数的分类考虑，具体讨论了偶部维数是1 、奇 部维数是1 和2 的三类可解李超代数，得到了在一些前提下，可解完备李超代 数是否存在的判断结果，并且给出了一些低维的可解完备李超代数的结构 本文中出现的域f 是特征为零的代数闭域，域c 是复数域 华东师范大学硕士论文 低维可解完备李超代数的确定 2 预备知识 本节内容是对与李超代数相关的一些基本概念和基本结果的回顾，所有 这些定义和结论都是标准的( 参见 2 】， 1 0 ， 7 】) 定义2 1 一个超代数是域f 上的一个殇阶化代数l = 岛。研，即，如果a 厶， b 岛，口，卢殇，则有 a ，明厶叩称超代数l 是一个李超代数，若对任意的 a k ，b ，c b ，a ，卢，y 殇，其乘法运算【，】满足： a ，b 】= 一( 一1 ) 筇 b ，a 】， ( 一1 ) 弦 a ， b ，c 】+ ( 一1 ) 筇【b ，【c ，a 】+ ( 一1 【c ， a ，b 】= o 并称岛是l 的偶部，研是l 的奇部 显然，若l 是一个李超代数，则l _ 是一个李代数，l - 在伴随作用下可看作 是一个岛- 模 在李超代数l = 岛。断中，任给工1 ，娩岛，y l ，_ ) ，2 ，) ，3 矸，按照李超代数的 定义，我们把以下三个条件： 陟l ，【x l ，恐 + x 1 ， 砭，) ，1 】+ 【娩，【) ，l ，工l 】= o ， h 1 ， ) ，l ，) ，2 】+ 眇l ，眇2 ，工l 】一【) ，2 ， x 1 ，) ，1 】= o ， ) ，l ，【) ，2 ，y 3 】+ 晚， ) ，3 ，_ ) ，1 】+ ) ，3 ， ) ，l ，) ，2 】= o 分别记为( o ，o ，1 ) ，( o ，1 ，1 ) ，( 1 ，l ，1 ) l 的一个y 次导子d 是指d ( e n d l ) y = g e n d lig ( 厶) c 厶+ ) ，v a z 2 l ，并且满足： d a ，刎= d 似) ，例+ ( 一1 ) 归 a ，d ( b ) ，v a 厶，b l 记( d e 儿) y 为l 的y 次导子的集合，d e r l 为l 的导子李超代数则有 d e r l = ( d e r l bo ( d e 儿片 称形如a d a ，a 的导子为l 的内导子，可知a d l = ( a d l ) 石o ( a 皿) t 定义2 2 若对李超代数l 的导代数序列( 或降中心序列) ，存在一整数足，使得 0 ) = o ( 或口= o ) ，则称l 为可解的( 或幂零的) 2 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 定理2 1 【2 】设l = 岛。断为域f 上的有限维李超代数，则l 是可解的当且 仅当岛是可解的 定义2 3 若李超代数l = 岛。研的中心为零，即c ( l ) = o ，且l 的所有导子都 是内导子，即d e 儿= a d 厶则称l 为完备李超代数 定理2 2 7 】若李超代数l = 甄。眨，其中蜀，恐是l 的阶化理想，则l 完备 当且仅当局和膨都完备 以下内容均是在复数域c 上的讨论，并且李超代数l 均是有限维的 3 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 3 偶部维数为1 的可解李超代数 在本节中我们考虑偶部维数等于1 的李超代数l 首先根据文【1 2 】，有下 面的引理 引理3 1 设l 是域c 上的李超代数，d i m 白= 1 ，d i m 白= ，l 0 ) 若 【奸，纠o ，则有【白，矧= 0 设x ，) ，为l 的基，其中z 岛，) ，l 蜘白，由引理3 1 可知，当 奸，研】o 时，x c ( l ) ，因此j 乙不是完备李超代数 定理3 2 若= 岛oh 是李超代数，满足d i m 岛= 1 ，d i m 研= ，z o ) ，则当 ，l l 时，l 不是完备李超代数 证明：根据引理3 1 ，只需考虑 断，断】= 0 的情形设x 是k 的基 当 b 纠= o 时，有工c ( l ) ，因此l 不是完备李超代数 当【珞，断 o 时，可验证此时l 满足李超代数成立的条件础作用在k 上相当于断上的一个线性变换在复数域上，对每个变换矩阵都有与之相似 的若尔当典范形，因此通过调整白的基，不妨设a d * 工的变换矩阵是一个若尔 当矩阵，并设此时断的基是y ( 1 ) 若，=为对角矩阵，此时有 x ，y f 】= 批，b1 ，2 ，z 这 里假设a f o ，i = l ，2 ，l ，否则有c ( l ) 0 设d l ( e n d j 乙坛，且d l x = o ，d l 弘= 蚬，f = l ，2 ，咒由 d 1 工，m = 以f ) ，f = d l x ，) ，j + 工，d l m 】 得d l ( d e 儿坛 同理可得若d 2 ( e n d l 坛，其中伤工= o ，d 拼= 弘，f = 1 ，2 ，厅，则有 d 2 ( d e r l b 当 l = 2 = = 厶时，我们考虑d 1 ，可得d l 芒( a d l ) 石不然，设d l = 础础，则需要满足m = 击= 砉= = 老，矛盾! 若存在f ，_ 1 ，n ) ，使得a f l ，则考虑d 2 ，可得d 2 ( a d l ) 石不然，将 有士= 士，矛盾1 4 华东师范大学硕士论文 低维可解完备李超代数的确定 因此，当，是对角矩阵时，由( d e 也沽( a d l 沽知，l 不是完备李超代数 ( 2 ) 若，= a1 a 1 a ，即，是一个若尔当块矩阵这里假设t o ，否则 ) ，1 c ( l ) 当扎 2 或a 1 时，设d ( e n d l b ，且满足 d x = o 研l = y i ， 功2 = y l + 沈， 砜= ) ，l + y 2 + + 由 d 工，) ，l 】= 砂l = 口味，y l 】+ 【五d y l 】， d x ，) ，f = d 晚一1 + a d 岁f = y l + ) ，2 + + l + 五0 7 l + + ) o ) = 砂l + ( y l + 乃眨) + + ( y 卜l + 毋f ) = d 工，m 】+ 【x ，d y f 】， f = 2 ，2 可知d ( d e 儿沽，且易验证得d 仨( a d b 而当n = 2 且a = 1 时，设d ( e n d l 坛，且满足 趴= o ，观= 弘，f = 1 ，2 可知d ( d e r 皓，但d 隹( a d l 坛因此当j 是一个若尔当矩阵时，l 不是完备 李超代数 ( 3 ) 若，=，其中五是厂f 阶若尔当块，s l ，满足r l + 您+ + 以= ，z ，且存在工l - ，s ，使0 1 构造l 的线性变换d ，使d 限制在每个若尔当块所对应的基的片断上，都 有如( 2 ) 中所构造的导子的作用那么，可知d ( d e 儿培，且d 譬( a d 因此l 不完备 口 5 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 事实上，还可以考察的奇次导子d ，且设 d 工= 口1 y l + + 口n y n ， d 吼= 6 f x ，f = l ，咒 则相应于定理3 2 中的三种情况：首先，当，为对角矩阵时，由d 【工，y f 】= l f 研f ， 得纨= o ，f - 1 ，1 从而d = 一a d ( 暑) ，l + + 老) a d 奸 其次，当i ，为一个若尔当块矩阵时，由d z ，) ，1 = a 毋l ，得6 l = o 由 d 【工，) ，f 】= d ( ) ，f - l + 锄) ，得易f l + 允易f = o ，所以玩= o ，f = 2 ，厅故d = a d ( m 1 ) ，l + + m 。) ，其中朋1 ，满足 ，竹l a + ，竹22 一口1 ， ，z n 一1 a + ，”n = 一日n 一1 ， ，托n a = 一口n 最后，当，含有多个若尔当块时，可对各个若尔当块分别计算，同样可得 岛= o ，f _ 1 ，z 且d = a d ( m l y l + + m 。) ，其中m 1 ，所。满足 m l 五1 + m 22 一口1 ， ，z ，1 a l = 一日r l ， ，k b + 1 a s + ，咒n h + 22 一日行一b + l ， ，z n a j = 一口n 因此我们可以得到，d e r 研= a d 研都是成立的 根据定理3 2 ，可得结论：若l 是偶部维数为1 的完备李超代数，则l 的奇 部维数必为1 ，且l 有结构l ： x ，y 】= ) ，其中五) ，分别是白，研的基 6 一 一 4 奇部为零的可解李超代数 设l = b 。幻是一个n 维李超代数，其中研= o 事实上，此时的李超代 数l 是一个，z 维的李代数根据文【5 】，可得到下面的定理 定理4 1 维数不超过6 的可解完备李代数的分类如下： g ! ：【x 1 ，娩】- 确； g j ：g ! og ； g ；：h l ，j c 2 】= 恐，【确，柏】= 确， 施，均】= 均， 玛，恐】= 砣， 玛，均】= 恐； g ：g jog ；og j ； g ；：防l ，娩】= 恐， x 1 ，物】= 施， 恐，拍】= z 1 ，k ，物】= 秘， 玛，施】= 2 心， 【，恐】= 规，【粕，勋】= 物， ，拗】= 拍； g i ：k l ，j c 2 = 奶，瞳l ，而】= 缸，b l ，拗】= 玛， 娩，妁】= 玛， ，工1 = x l ， 【，恐】= 2 恐，f ，妁】= 3 而， 粕，心】= 4 确， ，玛】= 5 坞 其中g ；表示维数为i 的第_ 类李代数，确，而是g ? 的一组基 当然，定理4 1 中的六类李代数也是维数不超过6 且奇部为零的可解完备 李超代数的分类 7 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 5 奇部维数为l 的可解李超代数 本节要考虑的是奇部维数等于l 的可解李超代数厶我们将分以下四种情 形来讨论：( 1 ) 白是交换李代数；( 2 ) 岛是完备李代数， 研，纠0 ；( 3 ) 白不是 完备李代数，【白，岛】0 ， 研，研】o ；( 4 ) 岛，白】o ， 研，矧= o 岛是交换李代数 命题5 1 设李超代数l = 岛。矸，满足岛是交换李代数，且研是完全可约 白一模若d i m 白= 咒，则l 是完备的李超代数当且仅当d i m 研= 甩，【研，奸 = o 且d i m a d l 丁x ix 岛 = 咒 证明：设工1 ，而是k 的一组基，且d i m 矸= m 因为断是完全可约k 模， k 是交换李代数，而任何有限维不可约k 模都是1 维的，于是断是1 维的 k 模的直和因此存在b 的基) ，l ，y m 及五1 五肌垛，使 x ，) ，f 】= f ( 工) y f ， h b 若存在) ，f ， 研，使 ) ，f ， 】o ，则由眦， 岛，得 ) ，f ，” ，岛】_ o v 强研，由【队， 】，掀】+ 魄，) ，小) ，j + d 。，y t ，m 】- o ，得 以( 眦， 】挑+ 乃( d k ，m 】协+ l f ( ) ，j ，溉) 】y f = 0 由于y f ，) 7 j ，强是断的基元素，不论指标f ，j i 七是否相同，都可以得到 眇f ， 】，弧】= 0 ，七= 1 ，m ，即 ) ，f 。】c ( l ) 因此c ( l ) = o 成立需满足 矸，断】= o 故在下面的讨论中，假设 研，l - 】= o 是成立的 v d ( d e r l 峙，设d y j = 口业姒由d 而，”】= d 而，” + 鼍，p y 月得 七= l ，n 1 五j ( 柳) d ”2a ，( d 置沙j + 乞以业 ( 置) 弧 七= 1 根据y ，的系数可得 la f ( d 而) = o ， 1 日豇q j ( 置) 一以( 而) ) = o ，七 若砒o ，则由砒岛，知 d 墨，b 】= 0 而v - = 1 ，2 ，l ，a ( d 而) = o ， 表明 d 而，研】= o 从而d 西c ( l ) ，即此时c ( l ) o 8 华东师范大学硕士论文 低维可解完备李超代数的确定 若对某_ 良，有t j ) 一也) = o ，f = 1 ，2 ，疗，则【岛，) ，厂- 弧】= o ，从而 乃一姒c ( l ) ，此时也有c ( l ) o 因此，若c ( l ) = o ，则有d 而= o ，f - l ，l ；且_ 七时，鲰= o ，进而可得 现j = n j 拶j ，j = 1 ，m 若l 完备，则_ d ( a d l 沽设d = a d ( 口l 工1 + + ) ，则由锄= 口j 得 而此方程组有唯一的解( 口l ，) 当且仅当 f a l ( 工1 ) 五l ( 翰) 1f 五1 ( x 1 ) a l ( 而) 口1 11 删n k i i； ；l ：r a n k l i；| - n l a m ( x 1 ) a m ( j ) ，l a m ( x 1 ) 五，( 砀) 口删j 此时，一方面，若设七1 a d 奸规+ + k a d k = 0 ，其中岛c ，汪1 ，2 ，则 由【岛x l + + 翰，研】= o 及幻x l + + 而k ，得足l 工l + + 岛c ( l ) ，由 己完备得岛= = = 0 ；另一方面，对任意的石珠存在，l 厶e ，满足 x = z l z l + + 厶而，故a d l x = ，1 a d 奸x 1 + + 厶a d l - 而【因此，d i m a d 钾工i z 上面 = ，z 若令( 口l l ，口栅) 分别为聊阶单位矩阵的各列，则根据 眨h ： ，( ；】 都是( 二至：】，( 二薹： ，( 三 ，( 1 的极大线性无关组，可得m = 以 反之，若d i m 断= ，z ， 钾，研】- o 且d i m a d - x ix 岛 = 咒，由于岛在研上 在b 中存在对偶基一，使得t j ( ) = 如，f ，_ = 1 ，1 因此l 的结构 根据命题5 1 可得结论：当l 是满足b 是交换李代数且d i ml - = l 的可 解李超代数时，若d i m 岛 l ，则l 一定不是完备李超代数 9 m 一 一 口 一 = 一 = 玉麓蚺 d d 一 一以 华东师范大学硕士论文 低维可解完备李超代数的确定 5 2 岛是完备李代数，【矸，矧o 我们先来回顾一个与可解完备李代数有关的结论 引理5 2 【1 0 】若g 是一个可解的完备李代数，则g 有分解 g = b on ， 其中b 是g 的一个极大环面子代数，n 是g 的极大幂零理想( 即幂零根基) 命题5 3 设= 岛。研是一个李超代数，且d i m 矸= l ，【琦，矧0 若岛 是可解完备李代数，且有分解b = bon 对于任意的z b ，y 矸，若设 x ，y 】= ( x 沙，则当 a b 是n 关于b 的根子空间的任一个根) 时，是完 备李超代数 证明：首先，考虑l 的中心：若x + 匆c ( l ) ，其中z 岛，) ，断，则由 b + 毋，) ，】_ o ，得 工，叫= o 且七= o ，故x c ( b ) ，从而工= 0 ，于是c ( l ) = o 其次，考虑导子：v d ( d e 儿坛，d l d e r l _ = a d 岛，可设d i = a d x ，对某 个x 岛由d 【) ，纠= 2 ) ，功】得 工，陟，y 】= 2 五( x ) 【) ，y 】，即 d ) ，一a ( 工沙，叫= o 因此) ，= 五( x 沙，于是d = a d x a d l 由【 ， 工，y 】= 【 ，列，) ，】+ x ，【 ，y 】，v x n 口，忍b ，得( y ( 愚) l ( 曲= 0 而v 口b ，存在| l l b ，使得口( ) 0 因此 ( 劝= o 即 x ，) ，】= o ，搬 v d ( d e r l 片，设d x = ( x ) ) ，x 岛；研= 口口 口n v x 1 _ 【口，忍b ，由d ，工】= d ，叫+ 昕，d 工 得 口( ) ( x ) = ( 工) a ( ) 但是口a ，因此( x ) = o 即d 工= o ，v 工n 口 白，忍b ，由研 ，) ，】= d ，y 】+ 眠珊】得 五( ) y 口口而= p ( ) 【) ，) ，】+ y 口( 厅) 五( ) 口口而= p ( ) 【) ，) ，】+ 以口口( 厅) j 咯 口b 口b 从而 i 五( j f z ) 口2 j q = p ( 忍) ) ，) ，】+ 2 五( ) 以2 j c 2 口，( 口= 2 a ) l ( a ( ) 一( z ( ) ) 口口j = o ( 口2 ) 1 0 华东师范大学硕士论文 低维可解完备李超代数的确定 因此( ) 陟，y 】= 一五( 矗) 口以恐 ，且a 2 l 时，= 0 ，所以功= 口以娩1 v 胁， ，b ，由d 【| l z f ， j 】= 【d ，而+ 【矗f ，d j 】得 ( j l z j ) “( 庇f ) = p ( 矗j ) 五( f ) 若 | z ，) ， = o ，v b ，则o ) ，y 】c ( k ) 矛盾! 因此存在办b ，满足a ( j l z ) o 若( ) = o ，则口2 _ = 0 ，此时d = o ； 若( ，1 ) o ，则令m = 一糕，且由 ( ，l 址( 亿) = p ( 厅m ( 庇f ) 知l ( 鬼) o 时， ( ) o 因此糕= 矧此时有d = a 击砂a d 钾 所以，我们可得到d e 也= a d l 从而是完备的 口 根据此命题，我们在定理4 1 中的可解完备李代数的基础上，可以得到以 下的李超代数： ( 1 ) 切= g ! ，设 置，) i 】= ( 而沙，i = 1 ，2 ； ) ，) ，】= 足l x l + 乜恐o 由( o ，l ，1 ) 得 i 七l = 一2 ( 规) 尼1 ，五( z 1 ) 也= o ， i 如= 2 ( x 1 ) 七l ，五( 恐) 如= o 若如o ，则五( x 1 ) = 0 ，从而如= 2 ( x 1 ) 足l = o ，矛盾! 故如= 0 此时必有 七l o ，进而l ( 工1 ) = o ，l ( 恐) = 一 再以) ，代替啬，则有李超代数 1 l ： 工1 ，恐】= x l ， 恐，) ，】= 一言) ， ) ，y = x 卜 ( 2 ) l = g j ，设 而，) 7 】= ( 而沙，f = l ，2 ，3 ，4 ； ) ，) ，】= 七i x l + 如娩+ 如尬+ k 鞠 o 由( o ，0 ，1 ) 得 0 1 ) = 0 ，a ( 均) = o 由( o ，1 ，1 ) 得 i 如= o ，七1 + 2 a ( 恐) 足l = o ，l ( 恐) 乜= o ， l 幻= o ，七3 + 2 a ( 缸) 乜= o ，a ( 拗) 七l = o 若忌l o ，忌3 o ，则l ( 勉) = 一；，且l ( x 2 ) = o ，矛盾! 但是由于足l ，乜不能同 时为o ，因此可以得到下面两种情形( 显然，它们是同构的) ： 岛o ，足1 = o ，a ( 砣) = o ，a ( 施) = 一吾，或足l o ，乜：o ， ( 恐) = 一昙，a ( 拗) ：o 1 1 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 对于后者，以y 代替去，则有李超代数 l ：旺l ，娩 = 却，【物，施】= 勋， 娩，) ，】= 一三y ， ) ，y 】= x 1 ( 3 ) 白= g ；，设 而，) ，】= a ( 而) y ，f = 1 ，2 ，5 ； ) ，) ， = 三岛鼍o 由( o ，0 ，1 ) 得a ( 而) = o ，f _ l ，2 ，3 由( o ，1 ，1 ) 得 i 岛= o ，江1 ，2 ，4 ，5 ， i 如一2 a ( 巧) 岛= o ，歹= 4 ，5 由于乜o ，所以五( 拗) = ，a ( 奶) = ；若以) ，代替靠，则有李超代数 l ：h l ，j c 2 】= 勋， 弘，x l 】= x l ， 拗，秘】= 秘， 玛，娩】= 娩，【玛，秘】= 物， y 】_ 圭_ ) ， 玛，y 】- 三y ，吣】= 强 观察可发现，当岛是完备李代数g ! ，g j ，g ；时，以上得到的李超代数都满 足命题5 3 中的a 口条件，因此它们都是完备的李超代数 5 3 岛不是完备李代数，【白，岛】o ， 研，断】0 首先根据文 6 】，可得到如下的结论 引理5 4 以下是所有维数不超过4 的可解李代数的分类，其中g ；表示维数为 f 的第类李代数 一：交换李代数，f _ 1 ，2 ，3 ，4 ； g ；： x l ，娩 = 工l ； ： 恐，x l 】= z l ， 恐，娩】= 耽； 反：阢3 ，工l 】= 娩， 物，规】= 口x 1 + 娩； 酲： 勋，工l 】= 娩， 奶，恐 = 口工l ； 酲：g ：og ； 或：【翰，x l 】= x 1 ， 弘，恐 = 娩， 施，物】= 而； 爵：【飘，石1 】= 确，【鞠，砣】= 秘， 拗，物】= 一以娩+ 0 + 1 ) 扔0 o ) ； 1 2 华东师范大学硕士论文 低维可解完备李超代数的确定 酲： 或： 斫： 重： g i ： g ： 卵： 或1 ： 或2 ： 一3 ： 榉： 【瓤，娩】= 而， 缸，恐 = 秘； 拗，恐】= 均； 阮，工1 = 恐， 嗣，砣】= 均， 拗，均】= 甜l + + 均； 【瓤，工1 = 娩， 拍，恐 = 奶， 确，奶】= 以x l + 易娩( 口，6 不同时为零) ； 鸵o ； 施，工1 】= 工1 + 口娩， 托，恐】= 柏， 而，工l 】= 工1 ， 而，娩】= 娩； 【知，工1 = 娩，【拗，恐】= a 工l ，【物，工l 】= 工l ，【恐，恐 = 砘； 拗，x 1 】= 工1 ，【心，娩 = 易娩， 确，恐】= ( 易一1 ) 妁， 奶，x 1 = 娩， 而，娩】= 口x 1 0 0 ，6 1 ) 【拗，工l 】= 工i ，【拗，恐】= 2 恐，阮，柏】= 向， 均，确】= 砣； 【施，x 1 】= x l + 以扔， 拗，娩】= 恐， 拗，物】= 工l ， 物，确】= x 2 ； 缸，工l 】= 口而，【拗，妁】= z l ， 奶，工l 】= 恐 当d i m b = 2 时，岛只有交换李代数和完备李代数两种情形，而本文在之 前的内容中均已讨论过 当d i m 岛3 时，我们分两种情形讨论如下 ( i ) 岛有余维数为l 的交换理想n ，设n 的基为而，娩，“并设而是n 在岛中补空间的基，且设矸的基为) ，根据白可解当且仅当 岛，岛】幂零可。 得， 如，划c 【岛，白】cn ，v f - 1 ，2 ，l 1 设阮，y 】_ 莎江1 ，2 ，玎，则 【而， ) ，月】= 而，纠，纠+ 【) ， 墨，纠】= 2 a f 队纠n 若存在f 1 ，2 ，咒一1 ，a f o ，则可得 ) ，) ，】t t ，进而阮， ) ，叫】= o ，故 眇，) ，】= o ，与前提【研，卅o 矛盾! 因此v 江1 ，疗一l ，都有k ，y 】= 0 不妨假设 而，纠= 砂，【) ，) ，】= 足l 劫+ + 一l 翰小则 o 否则有 0 【) ，y 】c ( ) 此时，l 是李超代数当且仅当， ) ，y 】= 2 ) ，) ，】成立 考查d ( d e 儿坛，且满足 d 而= 置，f = l ，以一1 ， d 翰= o ， 功= 罢 二 1 3 则当且仅当，鼍】= 2 ，t 墨，f - 1 ，n l 成立时，d ( a d l 沽 此时，再考察d ( d e 儿坛，且满足 工l = 也x l 一七l 娩， d 7 一l = 一1 而一2 一一2 一l ， d 7 = o ， d v= 0 由于b ，) ，】0 ，检验可知d 7g ( a d 沽 综上，在( i ) 的情形下所得到的李超代数都不可能是完备的特别地，当 岛= g ；，g ；，g ；，g i ，g ；，霞，酲，霞，g ：，反时，都不能构造出满足d i m 奸= l ，且 【研，白】0 的完备李超代数 ( i i ) 对于其余的情形，我们来逐个讨论 ( i ) 白= 酲：此时的岛是完备的李代数g j ( i i ) 白= 霞：由( o ，o ，1 ) 可得 置，叫= o ，i = 1 ，2 进而由 j r 2 ， ) ，y 】= ，y 】，纠+ ) ，y 】= 0 ， 可设 秘，) ， = 毋， 施，) ， = 彬，b ，y 】= 乜规+ 如娩o 由( o ，l ，1 ) 可得五= ；，础l = 犁也，七l + 乜= 劫七1 从而有以下三种情形( 注意到七l ，乜不全为o ) ： ( 1 ) 口= 0 ，= 0 ，七l + 也= o ； ( 2 ) 口= 0 ，p = ，乜= o ； ( 3 ) 口0 ，o ，尼l o ，如o y d ( d e 儿沽，由d x l = d 物，加】 岛，上柑，可设d 工l = 以l 工l + 口2 娩同理设 d 娩= 6 l x l + 易2 恐 根据d 物，娩】= d 妁，恐 + 【玛，d 娩】，可得 d 柏，娩 = o ，因此可设d 恐= c l x l + c 2 x 2 若设d 拗= d l 工l + 如娩+ 以均+ 面施，且功= 姆则由导子的定义，需满足： f 口c l 一如= o ，以l 七l + 6 i 乜= 2 七j i ：l ， 口l 一6 l 一易2 = 函， 以+ 犁出= o ，口2 七l + 6 2 乜= 2 足乜，口2 + 如+ 出= 乜6 l ， ( 木) 【c l + c 2 2d l ， 以2 一日6 l = 也， 口口l 一口2 + 口以= 口易2 1 4 若d ( a d l 沽，设d = a d 1 工l + m 2 砣+ 肌3 勋+ m 4 弘) ，则需满足： 口m l + 如= 0 ， ，z 4 6 l = 0 ， ，栉2 + c 22o ， 口，z 4 一日2 = 0 ， ，咒l + ，竹2 = 一d l ， ，竹3 + ，m = 口l ， 显然( 车) 中的第一行所有的等式是成立的，而第二行的等式成立当且仅当 面= 0 ( 此时也有如= 0 ) 若出= 0 ，则由 f 础1 一年如= o ， 口易1 一口22o ， 1 日2 七1 + 易2 乜= 2 足也， 可得也( 也+ 犁易l 一2 足) = o 当乜o 时，m 3 + 年批= 扫2 + 弘易i = 2 赶当乜= o 时，有口= o ，p = ，进 而由口l 七1 + 易l 乜= 2 忌乜得口l = 2 七，即也有m 3 + 驰糊= 2 足成立因此，当出= o 时，导子d 一定是一个内导子 下面讨论以= o 成立的充要条件 由 f 以6 l = 口2 + 如+ 函， 口2 一以6 1 一如= o ， lc f 3 + 犁出= o ， 可得 所以当p 时，必有出= o ， 一定为0 ，因此l 存在外导子 v d ( d e r l 片，若设 则根据导子的定义，有 i 弛+ 以= o ， l 以+ 犁么= o 从而有( d e 儿坛= ( a d l b ；当p = 时，由于反不 d 而= 口，i = 1 ，2 ，3 ，4 ， z 砂= 易l x l + 6 2 x 2 + 易3 妁+ 坟j q f 以l = 口2 = 易3 = 玩= o ， 物彬= 口4 ，2 口3 足1 = 一6 l ， i 口4 忌l + 6 2 = ( p 1 ) 6 l ，物3 如= 一易2 ，口4 乜+ 口6 l = 6 2 1 5 嚣一 q 也肌 + 一4 帆尬汁m 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 故d = a d ( 一2 口3 ) ，) ( a d l ) t 因此( d e 儿h = ( a d l 片 相应与( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 三种情形，我们可以得到三类可解完备的李超代数： ( 其中需进行基的调整，用) ，代替素即可) ( 1 ) 弛，工1 = x l ， 嗣，娩】= x l ， 勋，工l 】= 工l ， 物，娩】= 娩，【秘，) ，】= 去) ， 眇，y 】= x l 一娩； ( 2 ) 鞠，石l 】= x l ， 弘，z 2 】= x l ，【奶，x 1 】= 工1 ， 恐，娩】= 娩， 秘，) ，】= 去弘 ，) ， - 昙y ， ) ，y 】= “ ( 3 ) 施，x 1 】= x l + 口娩， 心，规】= x l ，【勋，x 1 = x l ，【物，j r 2 = 娩， 物，) ， = 妄) ， 川= 彬， ) 7 ，) ，】- 工- + 云规啦o ，丢，口o 且口= 年( 跏一1 ) ) 在( 1 ) ，( 2 ) 中以x 2 代替工l 一工2 ，则可将两个李超代数简化为： ( 1 ) 7 砑，工l 】= x 1 ， 妁，x l 】= 勋，【x 3 ，娩】= 娩，阮，) ，】= ( 2 ) 7 缸，工l 】= 工l ，【如，瓤】= x 1 ，【工3 ，娩】= 娩， 扔，纠= ) ，) 7 = x 卜 l 乏) ， l 芝) ) ，) ，】= 恐； 1 k ，叫2 主y ， 对于( 3 ) ，分别以却，耽代替x l + 毒恐，石l 一南恐，则可得李超代数： 1 ( 3 ) 施，x 1 】= 犁工l ， 施，恐】= ( 1 一犁) 勉，【物，x l 】= x 1 ，【工3 ，z 2 】= 娩， 托，y 】= 妄y ， 二 1 确，) ，】= 删， ) ，y 】= z l ( p o ，云) - t 由此可看出( 2 ) 7 是( 3 ) 7 中= 时的特殊情况 ( i i i ) 岛= 醴o ：由( o ，o ，1 ) 及( o ，l ，1 ) 可得【柳，y 】= o ，i = l ，2 ，且 妁，y 】= ；y 若设，y 】= p ) ， ) 7 ，y = 毛j l + 乜恐，则有忌1 = 犁j i ：2 ，乜乜= 犁足1 由足l ，如不全为零知，可有以下两种情形： ( 1 ) 日= o ，= o ，| i ：l = o ，乜0 ； ( 2 ) 口o ，0 ，尼l o ，也0 对于( 1 ) ，有李超代数 1 l ： 心，确】= 娩，【而，柏】= 确， 而，娩】= 娩， 物，_ ) ，】= 妄_ ) ， ) ，y 】= j c 2 1 6 华东师范大学硕士论文低维可解完备李超代数的确定 考察d ( e n d l b ，其中 验证可知d ( d e r l ) - ，但d 对于( 2 ) ，有李超代数 趴l2z i d 而= o ，f = 2 ，3 ， d 飘= 一施， 研= o 岳( a d 坛，故l 不是完备的 l ： 缸，x l 】= 耽， 确，沈】= 口x l ， 工3 ，工l 】= 工l ， 均，忱】= 娩， 妁，) ， = 主) ， m 】_ 胁吣】_ ”去砣姐o ，且以= 们 v d ( d e r ，则d 需满足 d x l = 口l 石l + 口2 规， d j 吃2 伽2 工l + 口1 j 眨， d 而= 易l x l + 易2 娩， d j q = 口6 2 x 1 + 易l 恐， 功= ( 等+ 从而d = a d ( 一6 l 工l 一易2 砣+ 口l 而+ 口2 确) ( a d l 坛 v j d ( d e 儿h ，则d 需满足 跳= o ，i = 1 ，2 ， 2 口1 ) ， 2 犁a 1 ) ， ：一2 口i 工l 一生砌 p 因此d = a d ( 一物1 ) ，) ( a d l ) t 故d e 儿= a d l ，从而l 是一个完备李超代数此时若分别以x l ，娩，托代替 x + 壶娩，工- 一去娩，去确，则可将李超代数简化为： l ：【缸，x l 】= x l ，【弘，恐】= 一耽， 劫，工l 】= x l ， 物，恐】= 娩， 而，) ，】= 三) ， 1 7 扔翔砂 肋鹏历 华东师范大