（基础数学专业论文）关于线性变换半群的若干研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特另4 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位沦文作者签名走亳吼导师签字 学位论文版权使用授权书 均弘专 本学位论文作者完全了解堂蕉有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 固家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 整可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索可以采用影印、编印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名名鸯n 铷箨钧域 签字同期：2 0 0 年牛月o n签字f 1 期：2 0 0f 年乒月孑i q 山东师范大学硕士学位论文 关于线性变换半群的若干研究 李秀明一 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究了几类线性变换半群的若干性质，具体内容如下： 第一章是引言部分 第二章分别给出了准线性变换半群( q l h ( k 矾女) ，0 ) 和q l 日( y ) 的非零主拟理想 为0 一极小拟理想的刻赳，还给出了准线性变换半群( q l ”( k 彬e ) ，0 ) 的o _ 极小拟理 想为0 。极小理想的刻划主要结论如下： 定理2 1 1 5 对于o q l h ( k m ) o ) ，( 。) 。是半群l h ( e w ) ，口) 的0 一极小拟 理想当且仅当如下条件之一成立： ( 1 ) r a n k n = 1 ，i mo 垡k e r 目且i m 日唾k e ra ； ( 2 ) i mq k e r 目； ( 3 ) i m 日ck e r 定理2 2 3 对于。q l h ( v ) o ) ，下列条件等价： ( 1 ) ( o ) 。是半群q l h ( v ) 的0 一极小拟理想； ( 2 ) r a n k a = 1 ； ( 3 ) ( o ) 。= h a 定理2 3 1 在非零半群( q l 日( u 彬) ，目) 中，每个0 极小拟理想为0 _ 极小理想 当且仅当日= 0 或d i m v = d i m w = 1 第三章主要讨论了推广的线性变换半群( l 。职) ，0 ) 的正则性，并给出了推 广的线性变换半群( l 。( k 彤k ) ，目) 的正则性的一个刻划主要结论如下： 定理3 2 若存在。l d ( k 眦) o ) ，使得i m 。k e r 口或i m 日k e rd ，则半群 ( 幻( k 彤) ，p ) 不是正则的 定理3 3 设对任意的d l d ( k 眦) ，有i mok e r 日且i m 目垡k e r a 若r a n k d = 1 ， 则半群仁d ( k 彬) ，日) 是正则的 定理3 6 半群( l d ( k 眦) ，目) 是正则的当且仅当v = o ) ，w = 0 ) 或日为到 v 的同构映射 第四章讨论了线性变换半群l ( v ) 的一些子半群的单性或正则性主要结论如 下： 对于任意维的线性空间v ，有： 山东师范大学硕士学位论文 定理4 5 子半群a m ( v ) 是正则的 定理4 6 子半群a e ( v ) 是正则的 第五章主要刻划了半群l ( v , p ，w ) 上的格林关系以及该半群中的正则元主要 结论如下： 定理5 1 5 设，卢工( k p ，) ，则a 咒口当且仅当k e rn = k e r 卢 定理5 1 7 设。，卢el ( v p ，) ，则n 印当且仅当v o v 卢 定理5 1 8 设a ，口l p ，) ，则n 口口当且仅当存在一个单的且满的线性变换 壬：i ma i m 卢，使得( i 矿n i md ) 垂w 且( v a ) o v 卢 定理5 2 1 设a l ( v p ，w ) ，则n 是正则的当且仅当i i nn p v n 关键词：准线性变换半群， 推广的线性变换半群，线性变换半群，正则半 群，o _ 极小拟理想，主拟理想 分类号：0 1 5 2 7 2 山东师范大学硕士学位论文 o ns o m es t u d i e so fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s l ix i u m i n g s h o o lo fm a t h e m a t i c ss c i e n c e ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so fs e v e r a ls p e c i a ll i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h ec h a p t e r1i st h es e c t i o no fi n t r o d u c t i o n t h ec h a p t e r2g i v e st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fan o n z e r op r i n c i p l eq u a s i - i d e a lt o b eao - m i n i m a lq u a s i i d e a lo ft h eq u a s i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s ( q l h ( k 彬七) ，0 ) a n dq l h ( v ) r e s p e c t i v e l y ；a n da l s og i v e sc h a r a c t e r i z a t i o n so fa 0 - m i n i m a lq u a s i - i d e a lt ob eao - m i n i m a li d e a lo ft h es e m i g r o u p s ( q l h ( v w ) ，8 ) t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w i n g ： t h e o r e m2 1 1 5f o r n q l ( 1 昨1 暇后) o ) ，( ) qi sao - m i n i m a lq u a s i - i d e a l o f ( q l h ( v 彤r ) ，0 ) i fa n do n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n gt h r e ec o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) r a n kq = 1 ，i m 口垡k e r0a n di m0 譬k e r ； ( 2 ) i md k e r 目； ( 3 ) i m0 k e ro z t h e o r e m2 2 3 f o rq q l h ( y ) o ) ，t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v - a l e n ti nq l u ( v ) ： ( 1 ) ( o ) 口i sa0 - m i n i m a lq u a s i i d e a lo fq l h ( v ) ； ( 2 ) r a n k 凸：= l ； ( 3 ) ( o ) 口= h a t h e o r e m2 3 1i nan o n z e r os e r n i g r o u p ( q l h ( v , w ) ，目) ，e v e r yo - m i n i m a l q u a s i i d e a li sao - m i n i m a li d e a li fa n do n l yi f0 = 0 o rd i mv - - d i mw = 1 t h ec h a p t e r3m a i n l yd i s c u s s e st h er e g u l a r i t yo ft h eg e n e r a l i z e dl i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p d ( k 啊) ，日) a n da l s og i v e sac h a r a c t e r i z a t i o no ft h er e g - u l a r i t yo ft h i ss e m i g r o u p t h em a i nr e s u l ti sg i v e na sf o l l o w i n g ： t h e o r e m3 2i f t h e r ei sn d ( v w 奄) o ) ，s u c ht h a ti mo k e r0o r i m0 k e r 。，t h e nt h es e m i g r o u p ( l d ( v 眠) ，0 ) i sn o tr e g u l a r 3 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m3 3 f o r 。三d ( vw ，r 七) ，s u c ht h a ti m 乜垡k e r0a n di m0 垡 k e r0 f t fr a n ko t = 1 ，t h e nt h es e m i g r o u p ( l d ( k 彬七) ，0 ) i sr e g u l a r t h e o r e m3 6t h es e m i g r o u p ( 上d ( v 形) ，0 ) i sr e g u l a ri fa n do n l yi f v = o ) ，w = o ) o r 0i sa ni s o m o r p h i s mf r o mwo n t ov t h e c h a p t e r4d i s c u s s e st h es i m p l i t yo rr e g u l a r i t yo fs o m es u b s e m i g r o u p so ft h e l i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pl d ( v ) t h em a i nr e s u l t sa r e g i v e na nf o l l o w i n g ： f o ra n yd i m e n s i o no ft h ev e c t o rs p a c ev t h e o r e m4 5t h es u b s e m i g r o u pa m ( v ) i sr e g u l a r t h e o r e m4 6t h es u b s e m i g r o u pa e ( v ) i sr e g u l a r t h ec h a p t e r5m a i n l ys t u d i e st h eg r e e n sr e l a t i o n si nt h es e m i g r o u p 三( vp ，w ) a n dc h a r a c t e r i z e st h er e g u l a re l e m e n t so ft h es e m i g r o u p 三( vp ，) t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w i n g ： t h e o r e m5 1 5f o ro ，卢上( vp ：w 7 ) ，t h e na 7 它卢i fa n do n l yi f 丫n = v 卢 t h e o r e m5 1 7f o r , o ，卢l ( up ，w 7 ) ，t h e nq c 卢i fa n do n l yi fv v 卢 t h e o r e m5 1 8 f o r 。：卢l ( vp p ，t h e na d 卢i fa n do n l yi ft h e r ei sa n i s o m o r p h i s ml i n e a rt r a n s f o r m a t i o n 西：i mn _ i m 卢s u c ht h a t ( w q i mo ) 圣w a n d ( v n ) 西+ v 卢 t h e o r e m5 2 1f o ra l ( vp ，彬) ，t h e nai sr e g u l a ri fa n do n l yi f i mn 知t q ， k e y w o r d s ：q u a s i - l i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ，g e n e r a l i z e dl i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p7l i n e a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ，o - m i n i m a lq u a s i i d e a l ， r e g u l a rs e m i g r o u p c l a s s 塌c a t i o n ：0 1 5 2 7 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言 变换半群是一类重要的半群，人们对它已进行了广泛且深入地研究，并得到了 丰硕的研究成果，参见a u m a r 1 8 ，j m h o w i e 1 1 ，p m h i g g i n s 1 3 】等人的研究这些成 果已被广泛应用于许多科学领域，如计算机科学领域、密码学领域尤其是近十年 来，y k e m p r a s i t 带领她的学生对变换半群进行了大量的理论研究，更进一步充实 了变换半群的理论内容本文主要进一步讨论几类线性变换半群的若干问题 历史上，半群的拟理想的概念最早是由o ，s t e i n f e l d 于1 9 5 6 年提出的，此后它得 到了更广泛的研究，通过阅读os t e t n f e l d ，a h c l i f f o r d 与g b p r e s t o n 等人的一些著 作可以印证这一点近几年来，yk e m p r a s i t ，s b a u p r a d i t 和r c h i a r a m 从不同的方 面对半群的拟理想进行了多角度的研究，取得了一系列新颖而又深刻的结果尤其 是在2 0 0 3 年，yk e m p r a s i t 和r ，c h i n r a m 给出了域上的线性空间的推广的线性变 换半群( 工，w ) ，口) 中的由元素8 生成的主拟理想为其0 极小拟理想的刻划 同时刻划了线性变换半群工，( y ) 的0 一极小拟理想，又研究了推广的线性变换半群 ( l ，似彬) ，口) 的0 一极小拟理想为0 一极小理想的条件本文把以上结果推广到弱可 换除环日上的线性空间的准线性变换半群( q l 日彬) ，口) 上 y k e m p r a s i t 还于2 0 0 2 年通过构造半群( 三d ( k ) ，0 ) 与半群l 口( y ) 之间的同构 映射，刻划了半群( l d ( u ) ，8 ) 的正则性本文将讨论半群( l 。m 砒) ，日) 的正则 性之后，c n a m n a k 和y k e m p r a s i t 给出了线性变换半群l d ( y ) 的一些子半群， 并研究了这些子半群中拟理想与双理想重合的条件这也是近几年他们研究方向中 的一个热点，称为b q 性问题，而半群的b q 性与半群的正则性是有密切关系的 本文将研究这些子半群的正则性 另外，j o s oa r a d j o 和j a n u s zk o n i e c z n y 于2 0 0 4 年研究了保持等价关系和一横截 面的变换半群t ( x ，p ，r ) ，并给出了该半群一系列的性质刻划本文将研究保持等价 关系和一横截面的线性变换半群l ( 矿p ，w ) 上的格林关系及其上的正则元 可见有关变换半群的理论已经得到了很大的发展本文以上述重要结果为基 础，研究了准线性变换半群的o 极小拟理想，以及推广的线性变换半群的正则性， 同时给出了一类特殊线性变换半群l ( e n w ) 的一些问题的刻划 5 山东师范大学硕士学位论文 第二章准线性变换半群的0 一极小拟理想及其相关问题 本章分别给出了准线性变换半群( q l n ( kw ) ，日) 和q 三月( y ) 的非零主拟理想为 阻极小拟理想的刻划，还给出了准线性变换半群( q l h ( k 暇e ) ，目) 的0 _ 极小拟理想 为o ，极小理想的刻划 52 1 半群( q l h ( v , 彬尼) ，p ) 的主拟理想 y k e m p r a s i t 和r c h i n r a m 在文献 2 】中已研究了推广的线性变换半群( 如( k 眠女) ，目) 中的o _ 极小拟理想本节将文献2 1 中的有关结论做进一步的推广，主要给出准线 性变换半群( q l n ( k 啊) ，日) 中的非零主拟理想为0 极小拟理想的刻划 半群的拟理想的概念最早是由0 s t e i n f e l d 于1 9 5 6 年提出的，此后它得到了更 广泛的研究( 参见 1 1 ，阮i7 】) 首先回顾一下有关概念若半群s 的子半群q 满足 q sn 0 ，则称0 为半群s 的拟理想易见，拟理想是左理想与右理想的推广， 并且半群s 的每个拟理想可以表示成s 的一个左理想与一个右理想交的形式( 参见 8 1 ) 设s 为含零半群，q 为s 的非零拟理想，若q 不真包含s 的任何非零拟理想， 则称q 为半群s 的o _ 极小拟理想设a 为半群s 的非空子集，用( a ) 。表示s 的由 a 生成的拟理想，它是s 的所有包含a 的拟理想的交对于任意的zes ，( z ) 。称为 s 的由z 生成的主拟理想 命题2 1 1 ( - 】设a 为半群s 的非空子集，则 ( a ) 4 = s 1 a n a s l = ( s a n a s ) u a 易见，含零半群s 的非零拟理想q 是o 极小拟理想当且仅当对任意的o 。0 ， 有q = ( 。) 。 命题2 1 2 f - 】设q 为含零半群s 的一个o 极小拟理想，则q 是s 的零子半群 或是s 的子0 。群如果s 的拟理想0 为s 的子o 群，则q 是半群s 的0 极小拟 理想 定义2 1 3 设日为一除环，若对任意的8 ，b h ，都相应地存在n ( 吼6 ) ( 全体 自然数自9 集合) ，使得a b = b n o ，则称日为弱可换除环 引理2 1 4 设h 为弱可换除环且，b h 若f l n ，使得a b = b n a ，则对每一个 m n ，有下式成立： a b m = b m ”o 定义2 1 5 设h 为弱可换除环，y 和是h 上的有限维线性空间，n 为v 到w 的一个映射若n 满足如下条件； 6 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 对任意的u l ，现v ，有( m + 口2 ) 。= m 8 十v 2 n ； ( 2 ) 对任意的”v ，h 日，存在n ( h ，d ) n ，使得( h v ) a = 舻( a ) ， 则称。为y 到w 的准线性变换 例2 1 6 设y 和w 是弱可换除环日上的有限维线性空间，对于任意的”v 设有唯一的w 。w 与之对应，使得满足w 。= w 。+ 。：u ，口v ，且对任意的k h t u 。= k w 。， v 取定h 日，定义y 到的映射如下： o ： h w ， 则。为y 到的准线性变换 证明对任意的n ，”v ，k h ，有 + ) o = h w “+ v = h w 十h w = “+ 口； 由日的弱可换性知存在n n ，使得h k = 妒h ，从而 ( 如) 。= h w k 。= h k w = 扩h w ”= 胪( a ) 可见如此定义的。是矿到彬的准线性变换 口 设v 和是弱可换除环日上的有限维线性空间，l n ( 职矿) 表示所有缈到矿 的线性变换的集合，q l 一( u ) 表示所有y 到的准线性变换的集合特别地， q 口( 矿) 表示所有v 到y 的准线性变换的集合设k 为大于零的个基数，令 q l h ( v 彬) = q l t t ( e w ) lr a n ko 茎”， 取定口l h ( 彬y ) 在q l 日似彬k ) 上定义乘法+ 如下： q 卢= d 日p ，芦q l h ( y ) m ) 易见，q l ( u 彬) 在该乘法运算下构成一半群，记为( q l h ( v , 彬女) ，口) 定义2 i 7 上述构造的半群( q l h ( u 彬) ，口) 称为准线性变换半群 注意，当_ d i mw 时，有q l h ) = q l h 彬) 事实上，由于 r a n ko 即! m i n r a n ka ，r a n k 日，r a n k 卢) ， 从而易见( q l 日( k w 女) ，目) 是( q l 日( k ) ，0 ) 的理想 由命题2 1 1 可得： 命题2 1 8 设a q l 日( uw ，) ，则在半群( q 工日( e w ) ，口) 中，有 ( o ) 。= ( q l h ( v , p n k ) o a n n 目q l h ( k 彬) ) u q ) 为了得到主要结论，先给出如下一系列引理 引理2 1 9 设a q l h ( k w ) ，使得对某一个u w 有i md = h u ( 1 ) 若以7 q l h ( w ) 满足p = “7 ，则存在日 o ) ，使得妇芦= 唧 7 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 若p 日工日咿) 满足对某一个吒h r 有“p = 。“，则存在 叭 o ) ，使得 七d 口= n o ， 证明( 1 ) 对任意的w v ，有”a i m 口由i ma = h u 可知，存在h h ，使得 i ma = h u ，则存在n l = n ( ，卢) ，礼2 = ( ，们n ，使得 ( u a ) 卢= ( u ) 卢= h ”1 ( u p ) ， ( v c t ) 7 = ( h u ) 7 = h “2 ( u 呐， 不妨设n 2 由“卢= u 7 可得 ( n ) 7 = h “2 ( u 7 ) = h ”2 一“1 h ”1 ( u 7 ) = h “2 一“1 h ”1 ( 邶) = h “2 4 1 ( 口) 卢 令k = n ，一- h ，则 口( n 1 ) = ( ”d ) 7 = 南【( ”d ) 卢】= ”( 凫。卢) ， 从而唧= 女a 卢 ( 2 ) 设i 为上的恒等映射，则对某个n h ，w ，有 u 卢= m l = a ( 伽w ) = = u ( 嘶h ，) ， 由( 1 ) 可知，存在h ，使得女叩= 0 7 口 引理2 1 1 0 设，p q l ( k 彬女) ，若在半群( q 五日( k 彬女) ，目) 中有卢( o ) 。，则 i mp i md 证明由命题2 18 可知， 卢( 8 ) 。= ( q l n ( u 彬) 日n n o 日q 工日( k 彬) ) u ) ， 贝0 卢0 l 耳( k w j 岛) 日q u a ) ，从而i m 卢i mn 口 引理2 1 1 1 设a ( q l 日彬) ，目) ，使得i m 口茌k e r0 且i m0 垡k e r m 若 r a n kn = 1 ，贝0 有( 血) 口= 日n ， 证明设“i mc e k e r0 ，u i m0 k e rq ，则0 u o v ，0 。q w ，且对于某 个z 叭 0 ) ，有z o = “由于r a n ka = 1 ，从而i m 口= h u ，则对于某个口日、 o ) ，有 u a ：m 设b 和b 分别为y 和w 的一个基，且 u b ，扣) b 由 口卢= u ”= “日 0 ，u b “口) ； 叫7 = f 8 1 2 ， 叫= “， 0 ， 丑 “) 定义p q l 日m w ) 和7 q l 日( ) 易见，r a n k 卢= l ，a 7 q l h w , ) 且 r a n ka 7 11 ，从而p ，0 7 q l h ( k 彬) 由p ，7 的定义得 吖0 0 = 口一l z o o e = n 一1 “口= ( z - 1 。缸= = 卵 8 山东师范大学硕士学位论文 而i m 铀= h u ，且1 弛，卵q l h ( w ) ，由引理2 19 ( 2 ) 知存在h 1 ，h 2 ，使得 九l “1 d a = n = h 2 d 口卢 、 设t v ，b h ，令j - b h 2 h ，则存在p ( z ，卢) n ，使得 t ( 6 2 学卢) = t ( j o 曰口) = t ( t a o 卢) = 【f ( 口) 】卢= i p ( t a 臼卢) = ( t d 日) ( f 9 卢) = t f n 日( 1 9 卢) b o = ( 6 h l a 7 ) 目o = b 2 。p 卢= c o ( z 9 卢) ( 1 ) 设虬吨l z , i t 存在n = n ( k ，历n ，使得( u - ) 卢= k n ( ”- 卢) 由h 的弱可换性知存 在m n 使得l p k n = m m n l p 于是有 ( 1 - t - v 2 ) ( t 9 芦) = p ( 扣1 十 2 ) 炒) = f 0 l 口) + z p ( v 2 卢) = 口1 ( z p ) + v 2 ( 1 p p ) ( 女 1 ) ( 2 9 p ) = 1 9 ( ( k 1 ) 卢) = l ”k ”( l 卢) = ”“驴( 口l 卢) = ”t ( ：卢) 由此得证f ，口o l h 眦k ) ，类似可证b h 。“1 q l h ( u 眠k ) 从而由( 1 ) 式可知 搬q l h ( u 眦k ) o c r n a o q l h ( t l , 彬k ) 由命题2 1 8 可知b “( a ) 。由b 的任意性知日o ( 口) 。 下证( n ) g 日a 设 ( n ) 口，由引理2 j 1 1 0 知i m i ma 由命题2 1 8 可知， a = o 或对于某个p q 五h ( k 眠k ) 有a = a 岫若a = a ，则a 日a 若a = 口舡，则 ( i mn ) 口p = i m i mn = i i u 由于“ha ，则对于某个c 日有钆= 由引理2 1 9 ( 2 ) 知存在h h ，使得 a 钆= c a ，从而 = 血钆= c a 日：得证( 。) q 日a 故( a ) 口= 日o 口 引理2 1 1 2 设q o r h ( kw 1 ) ，使得i ma 茌k e r0 且i m0 茌k e r q 若 r a n k n = 1 ，则( a ) 。是半群( q l h 眦) ，0 ) 的0 极小拟理想 证明由引理2 1 1 1 知( 口) 。= 日。设卢( 。 o ) ，则对于某个口甘 o ) 有卢= o m 于是i m 口= i mn ，k e r 口= k e ra ，从而r a n k 声= 1 对于卢由引理2 1 1 1 知( 卢) 。= 日卢而 且口= - - a c t = 日d ，那么( 口) 。= ( q ) 。故( n ) 。是半群( q l h w ) ，0 ) 的o - 极小拟理想 口 引理2 , 1 1 3 设n q l 日( u 彬) ，使得i i nn 垡k e r0 且i m0 垡k e rn 若( a ) 。是半群 ( q l h ( k w ) ，0 ) 的0 _ 极小拟理想，则r a n k a = 1 证明设u i mn k e r0 ，u i m0 k e rn ，则0 u o k0 “n w ，且对于某个 z o ) ，有z o = u 设b 是v 的一个基，且 仰) b ，由 = 口= u o 口= 0 ： 且 u 町 9 山东师范大学硕士学位沦文 定义卢q l h ( v , ) 易见，r a n k 卢= 1 ，卢0 l 日( k 彬】由卢的定义可得 o uo = z 口d = 口p 口d = u o f l o c r ( i r ao ) 日口日口= i m ( 口口卢学a ) ， 从而a 0 口0 a 0 又 r a n k ( c y o f i o a ) 兰r a n k 口= 1 ， 故r a n k ( a p 卢日口) = 1 因为 r a n k ( d p ) r a n kd k ，r a n k ( 卢曰a ) 兰r a n k sk ， 所以d 日风口日8 q l h ( v , 啊k ) ，从而 0 c e o b o a 0 l h ( v 眦七) 曰n n 血日0 l h ( k 矸j 七) ( a ) q 又因为( 。) 。是半群( q l n ( km ) ，目) 的0 一极小拟理想，则( a 口卢口a ) 。= ( a ) ，由引理 2 1 1 0 知r a n k 。= r a n k ( 目卢目n ) = 1 ， 口 引理2 1 1 4 设。q l h ( 1 厂w ) o ，使得i ma k e r0 或i m0 k e ra ，则在 ( o n u ( k 彬女) 、口) 中有( 。) q = ( o ，n ) ，从而( n ) 。是半群( 0 l 日( k 眠女) ，0 ) 的0 一极小拟理 想 证明若i md k e r0 ，则有a 0 = o ；若i m0 k e r 则有日n = 0 从而由命题2 1 8 可知( a ) 。= 0 ，。) ，故( a ) 。是半群( q l h ( k 眦) ，0 ) 的o _ 极小拟理想 口 本节的主要结果如下： 定理2 1 1 5 对于oeq l 日m 彬) ( o ) ，( d ) 。是半群( q l h ( v , 彬) ，0 ) 的0 ，极小拟 理想当且仅当如下条件之一成立： ( 1 ) r a n ka = 1 ，i md 垡k e r0 且i m0 垡k e r d i ( 2 ) i mq k e r 口； ( 3 ) i m0 k e ra 证明= 辛设( o ) 。是半群( 0 “( k w ) ，0 ) 的0 一极小拟理想下证( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 中的 某一个成立假设( 2 ) 和( 3 ) 不成立，则有i ma 唾k e r0 且i m0 垡k e r 由引理2 1 1 3 知r a n ka = 1 ，从而( 1 ) 成立 仁= 由引理2 1 1 2 和由引理2 11 4 可直接得证 口 注2 1 1 6 因为当k _ d i mw 时，有h ( k w ) = q l h 矾) ，从而上面的结论 对( q l h ( k ) ，0 ) 也成立 推论2 1 1 7 每个非零半群( q l h ( 1 吒w 1 ) ，0 ) 中都含有0 极小拟理想 证明假设0 l 日彬a ) o ) ，则v o ) ，w o ) ，且k 1 若0 = 0 ，则i m0 k e r 口，由定理2 1 1 5 知，对于每个d q l h ( v , 彬) o ，有( a ) 。 是半群( q l h ( k 彤女) ，0 ) 的0 一极小拟理想 下面假设0 0 ，则k e r0 w 且i m0 ( o ) 设“i m 吼 o ) ，w w k e r0 ，设b 是 山东师范大学硕士学位论文 v 的一个基，且 ”) b ，由 叫 r o t = 0 定义口q l h ( k 眦) 易见，r a n kn = 1 ，i mn k e r0 ， i m 叭k e ro ，从而由定理 2 1 1 5 知( n ) 。为半群( q l g ( v , 彬e ) ，鲫的o 极小拟理想口 注2 1 1 8 设o t q l h ( v 彬女) o ) ，使得( a ) 口为半群( 印如( k 彬女) ，口) 的0 极小拟 理想，则由命题212 知，( a ) 。是q l h ( ( e ) ，日) 的零子半群或是 ( 0 工( k 暇女) ，目) 的子0 - 群下面证明该结论成立首先由定理2 1 ：1 5 知( a ) 。为半群 ( q 三( v 彬女) ，0 ) 的0 _ 极小拟理想当且仅当下列三个条件之一成立： ( 1 ) r a n k = 1 ，i ma 垡k e r0 且i m0 垡k e rc t ； ( 2 ) i md k e r 色 ( 3 ) i m0 k e ra 接下来分情况讨论 若i m o t k e r0 或i m0 ek e r q ，则由引理2 1 1 4 知，( d ) 。= 0 ，口) ，又显然有d 日a = 0 ， 则此时( a ) 。为( q l t i ( v , 眦k ) ，0 ) 的零子半群 若r a n k a = 1 ，i r an 垡k e r0 且i r n 口k e r o t ，则由引理2 1 1 1 知，( o ) 4 = 日o ，在该条 件下( n ) 。是( q l h ( v , 眦k ) ，日) 的零子半群或是( q l 日( k 暇) ，0 ) 的子0 - 群实际上： 若o t o o t = o ，则( n ) 。为( q l 玎( 矿： ) ，口) 的零子半群事实上，设卢( a ) 。，则由 命题2 1 8 知卢= o 或存在7 ，”( q l h ( v , 彬) ，口) 使得卢= 7 日口= n 帆若卢= o ，则 鲫8 = 砷n = 0 若o = 7 0 a = 口黜 口口口= 7 0 0 t o o t o q = 7 0 ( o t o o t ) o ，7 。7 0 0 0 q = 0 故，为( 0 上w ( ”畔功，口) 的零子半群 若o t o o t 0 ，由命题2 1 2 知， ( o ) 。 o ) 是( q l h w 女) ，口) 的子群，这等价于 ( 巩 o ) ) a 是( q 工h ( u 暇) ，0 ) 的子群事实上，设0 u i mn ，由r a n ka = 1 知 i ma = h u ，从而存在，使得u 弛= k u 又由引理2 i 9 ( 2 ) 知存在h h ，使得 o t o o z = h k o t 令h k = c 日，则得a o o t = h k o t = c o t 而a o o t 0 ，则c 0 ，从而对于任意的 o 妇旧 o ) ) o ，有 1 ) ( o o ) ( b a ) = ( a a ) o ( b o t ) = o 【( 臼) ( b 血) = 。( 6 n o 乜) = a b o t o a = a b c a ( 日 o ) ) d ，且p ( 日 o ) ) n 中乘法封闭 2 ) 设d o t ( 日 o ) ) q ，使得( 口o ) + ( d a ) = o q ，则有 ( a o t ) o ( d a ) = a b 0 ( d o t ) 1 = a ( d a o o t ) = a d c o t = n 。 此时取d = c ，则有( a a ) o ( c 一1 0 ) = o 。可见c - 1 a 为( 日 o ) 扣的右单位元 山东师范大学硕士学位论文 3 ) 设e ne ( 叭 o ) n 使得( n n ) + ( e a ) = c - i l z ，则有 ( a a ) o ( e a ) = a e a o a = 。e = c - - i 此时取e = ( 。一1 ) ( c 一1 ) 2 则有( a a ) o ( a 一1 ) ( c 一- ) 。a = c z n 可见( 。一，) ( c 一- ) 。n 为o 。的 右逆元 由此可见( 叭 o ) ) 确实是( q l 日( e 彬) ，口) 的子群 下面给出例子说明在定理2 1 1 5 的条件( 1 ) 的情况下，a 口n = 0 与。0 口0 这两 种情形都可能出现 设矿是h 上的5 维线性空间， 钆奶) 为y 的一组基，定义0 ，m ，a 2 如 下： ”l 目= u 1 ：”2 口= 0 ，如口= 啪，蛳毋= 姐，媚口= v 5 _ 1 1 0 1 1 。i ) 4 2 12v l ，7 3 2 0 1 。”3 0 i 。7 2 5 0 120 d 22v 3 c t 22q 3 5 22 ”4 ， 2 q 2 2 1 ) 4 2 2 20 则 k e r0 = ( 口2 ) ，i r a0 = 扣1 ，v 3 ，v 4 ，v 5 ) ， k e ro t i = 口2 ，地) ，i mo i l = ( 1 ) ， k e r 毗= ( 地，啦) ，i m 毗= ( 啦) 从而r a n ko t l = r a n kn 2 = 1 ，同时k e r0 垡i m 。1 且 i m0 垡k e re l l ，k e r0 茌i mo t 2 且i m0 垡k e r 。2 ，而且v 4 l o a l = 扎 1 ，毗，v 4 ，喵) 。2 目0 2 = 4 ，o o a 2 = 啦，0 ) a 2 = 0 故有口1 日d l 0 ，而n 2 目d 2 = 0 ， 2 2 半群q l n ( v ) 的主拟理想 设矿是弱可换除环h 上的线性空间，口l 一( v ) 表示所有y 到其自身的准线性 变换的集合，则q l 一( v ) 在准线性变换的合成运算下构成一半群 命题2 2 1 设o q 三h ( v ) ( o ) ，则在半群q 上h ( 矿) 中，有 ( n ) 口= ( q l h ( v ) ana q l h ( v ) ) u q ) 由引理2 1 9 得到如下引理： 引理2 2 2 设o q l h ( y ) ，使得对某个蜒v 有i m = 日n ( 1 ) 若口，7 q l 日( y ) 满足 口= v 7 ，则存在k 日、 o ) ，使得卵= 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 若p q l h ( v ) 满足对某一个。h 有 p = a v ，则存在k 日 o ) ，使得 a 口= a o t 。 下面刻划半群0 l n ( v ) 的非零主拟理想为0 一极小拟理想 定理2 2 3 对于a q l h ( y ) o ) ，下列条件等价： ( 1 ) ( 。) 。是半群q l h ( y ) 的0 一极小拟理想； ( 2 ) r a n k 口= 1 ； ( 3 ) ( n ) 口= 日a 证明( 1 ) = ( 2 ) 对于o t 0 l h ( v ) o ) ，设ue i m o ，则存在一个”v ，使得 ”。= u 设b 是v 的一个基，且扣 c1 3 ，由 臼= f 0 ， 定义卢o l ( 矿) 由卢的定义可得 口b “) 0 州o = 叫。芦a ( i m o ) 卢o = i m ( o 卢a ) 从而。触0 ，则r a n k ( a p o )