（基础数学专业论文）奇异积分及其相关算子的若干问题.pdf

中文摘要 算子在各种函数空间的有界性一直是调和分析研究的中心问题之一自从2 0 世纪5 0 年代由c a l d e r s n 和z y g m u n d 首次发表关于高维奇异积分算于的开创性论文 以来( 9 1 1 ) ，对奇异积分算子的研究成了调和分析中最为活跃的课题，引起了调 和分析学家的浓厚兴趣这不仅是因为奇异积分算子在调和分析自身理论中有着十 分重要的地位，同时还因为奇异积分在诸如偏微分方程等相关学科理论中有着十分 重要的应用经过众多数学家长达半个多世纪的研究，有关奇异积分算子及其应用 的研究已经取得了长足的进展，由此形成并发展起来一套完整的实变方法，极大地 促进了多元调和分析理论的发展和完善 2 0 世纪五、六十年代是奇异积分产生并深入发展的重要阶段，一些重要成果被 应用到了偏微分方程的研究中，有关的早期文献如 6 7 和 1 2 】等同时，调和 分析的理论和方法已经成为研究偏微分方程的重要工具之一，并取得了非常重要的 成果从调和分析的自身理论来看，在研究奇异积分的过程中发展起来的方法和技 巧，同样适用于调和分析中很多重要算子因此，奇异积分理论的建立在整个调和 分析的发展过程中起着举足轻重的作用时至今日，调和分析的理论和技巧已经渗 透到诸如复分析、位势论、算子理论、菲线性分析和概率论等众多的数学分支中 另一方面，交换子是与奇异积分密切相关联的一类重要算子，由于它与偏微分 方程、c a u c h y 型积分等问题有着紧密的联系，而且是调和分析中第一个非卷积型 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子因此，对交换子及其相关问题的研究是十分有意义的课题 自从1 9 7 6 年c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 发表了关于交换子的著名文献以来( 见【2 7 ) ， 有关交换子的研究一直是调和分析的热点课题之一，对于交换予以及相关问题的研 究取得了事富的成果，如文献【1 ， 2 0 】， 2 1 ， 2 5 ， 2 7 ， 2 9 ， 4 1 l ， 5 1 ， 7 2 】和 7 3 】以及 相关的参考文献 有关变量核奇异积分算子的早期研究成果见文献 1 0 和 1 3 ，这些研究表明， 这类算子密切地联系着一类具有变系数的二阶线性椭圆方程自此，对这类算子的 研究一直没有间断过1 9 7 1 年，m u c k e n h o u p t 和w h e e d e n 在 6 6 中研究了带有 变量核的奇异积分和分数次积分加幂权时的驴有界性c h r i s t ，d u o a n d i k o e t x e a 和 r u b i od ef r a n c i a 在文献2 2 中研究了变量核奇异积分算子的胪有界性最近丁、 陈、范f 3 1 1 讨论了它们在h a r d y 空间的有界性鉴于这类带有变量核的积分算子在 调和分析和偏微分方程中的作用，对它们做进一步的研究是十分有意义的 m a r c i n k i e w i c z 积分最初是由j m a r c i n k i e w i c z 在1 9 3 8 年引入的，1 9 5 8 年s t e i n 8 3 】给出了它的高维推广从此，对m a r c i n k i e w i c z 积分以及相关课题的研究开始变得 十分活跃经过几十年的研究，m a x c i n k i e w i c z 积分在调和分析、偏微分方程等相关理 论中的作用已经显露出来，如【1 8 】，【1 7 ，【4 8 】和 9 0 】等1 9 9 0 年，t o r c h i n s k y 和w a n g 8 8 讨论了m a r c i n k i e w i c z 积分的交换子在加权伊空间的有界性( 1 p 。) 最近， 张 9 3 考虑了p = 1 时m a r c i n k i e w i c z 积分交换子的加权弱型估计以及m a r c i n k i e w i c z 积分和它的交换子加双权时的弱型不等式近年来，具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积 分及其交换子在各种函数空间中的有界性的研究引起了众多调和分析学家的兴趣 本研究报告将致力于奇异积分算子以及与之相关联的几类算子有界性的研究， 主要研究联系于c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的一类多线性极大交换子、具有变量核的 奇异积分算子、变量核分数次积分、m a r c i n k i e w i c z 积分以及它们的交换子在各种函 数空间中的有界性本文共分五章，编排体例是这样的，定理、定义和推论分别按 章编号，例如定理2 5 表示第二章的第二个定理；命题、引理和公式分别按照章节 编排，例如( 1 , 3 4 ) 指的是第一章第三节中第四个公式本文的内容安排如下： 第一章研究奇异积分算子的极大交换子的加权有界性用t 表示一个具有正规 ( r e g u l a r ) 核的c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子，t + 表示相应于丁的极大算子，假 设5 = ( b l ，b 2 ：，b 。) 是由m 个适当的函数6 f 组成的向量用雩表示相应的多线 性极大交换子，定义如下 i ，f m 1 f 碍，( z ) = 8 7 导lf 、li i ( b ( 。) 一b j ( v ) ) l k ( z v ) ( v ) d v - 。i 。一l ! 。j = l 。 在这一章中，我们考虑耳的加权有界性问题对于a 。权函数，建立了雩加权 胪( 0 p 。) 不等式当权函数属于且l 且p = 1 时，得到了耳的一种加权弱型估 计我们的结果平行于p 6 r e z 和，工y u j i l l o g o n z a l e z 7 4 1 建立的关于c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换子的相关结果，同时包含了m i c h e a la l p h o n s ef 6 3 】的主要结论 本章使用的某些技巧来源于对向量值c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的研究，通过对 核函数的适当分解，用另外两个极大算子的和点态控制霉主要工具是h a r d y l i t t l e w o o d 极大算予和f e f f e r m a n - s t e i n 的s h a r p 函数的一种合适的变形证明的基本 思路来源于p 6 r e z 和t r u j i l l o - g o n z i l e z 的文献 7 4 本章的主要结果如下 定理1 1 设0 0 使得对任意 具有紧支集的有界函数，和任意的a 0 有下面的弱型估计成立， 。( g ni 碍( ，) ( g ) l a ) ) g 卜f 掣1 。( y ) 曲 定理1 1 的证明依赖于s h a r p 函数与h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子之间的一种 点态控制( 见命题1 3 3 和命题1 3 4 ) 定理1 3 的证明依赖于下面的弱型估计 定理1 6 假设u a 。，垂( ) = t l 0 9 1 ( e + ) ，并且_ 】r 和。如定理1 , 3 所述 则存在常数c 0 ，使得下式 哿而“( 如廿：啄( 州g ) l 。) ) 1 一 g 船南“( g 肚：慨( 似y ) 。) ) 对于所有具有紧支集的有界函数，成立 作为这些定理的应用，我们得到了高阶极大交换子的加权有界性的若干结论， 见推论1 4 和推论1 5 第二章共分为四节，主要研究带有变量核的奇异积分算子和变量核分数次积分 在h a r d y 型空间的有界性用，。( 0 芦 n ) 和码分别表示带有变量核的分数次 积分和变量核的奇异积分算子，并用u ，代表核函数q ( $ ，z ) 关于第二个变量z 的r 阶积分连续模第一节简要回顾关于变量核积分算子的若干已知结论 第二节考虑带有变量核的分数次积分在h a r d y 空间中的有界性，我们的定理推 广了文献【3 1 中的主要结论本节的主要结果如下： 定理2 1 设0 0 ，使得1 1 p ( f ) l l l 。m 刊”1 c i i f l i h - r n ) 定理2 2 设0 芦 l ，n m + p ) p n ( n 一“) 如 果核函数q ( ，。) 三。( 舻) l 7 ( 驴- 1 ) 并且满足下面的条件 f 1 裟d d 0 ，使得i i ，p ( f ) i l l 。( r n l c l l ：l l h ，( r n l 在第三节中讨论了变量核分数次积分在h e r z 型h a r d y 空间的有界性分别用 船，( 眇) 和日k q ”( 础) 表示齐次h e r z 空间和相应的齐次h e r z 型h a r d y 空间，我们 证明了下面的定理 定理2 5 假设0 p 茎1 、l 9 1 m a x q i ，口2 叉 设0 p l5p 2 。n ( 1 1 q 1 ) 茎a 0 ，使得i i t a ，p ( 删l 棵一：( ”) sg 舔“( r n ) 适当限制p - 和p z 的变化范围，当n = n ( 1 一l l q l ) 时，可以把定理2 5 中关于 u ，的条件( 1 ) 放宽成d i n i 条件而得到下面的结论 定理2 6 假设0 卢 n 并且q 1 ，q 2 和r 如同定理2 5 中一样，又设0 p t l p 2 0 ，使得1 1 m ( 删i 趔- l ，。t h 。) c u l l 日蜊- l - r 。) 第四节研究了带有变量核的奇异积分算予在h e r z 型h a r d y 空间的有界性，此 时，需假定a ( x ，z ) 关于第二个变量在单位球面上的积分等于0 ，即： ， q ( z ，) d 口( z 7 ) = 0 ( 2 ) 定理2 8 设1 m a x q ( n 一1 ) n ，吐0 p o 。又 设a ( x ，z ) l o 。( 艘) xl 7 ( _ 1 ) 并且满足条件( 2 ) 如果存在实数0 卢曼1 ，使得 j ，1 尝谢 o 。o6 l + 口 那么当n ( 1 1 q ) o 0 ，使得 t n ( f ) l l k ；( - 一t 山) ，- ( r 。) g l l ，1 1 日田_ 加) t ，怔n ) 第三章讨论带有变量核与齐性卷积核分数次积分和奇异积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的交换子的有界性，本章可以认为是第二章的延续用，。( 0 p n ) 表 示变量核分数次积分( 0 卢 n ) 或变量核奇异积分算子= o ) ，用霸。( 0 p n ) 和表示具有齐性卷积核的分数次积分和奇异积分算子，它们与函数b 生成的交 换子分别记为 b ，珏，p 】和【b ，。 众所周知，当函数b 属于不同的函数空间时，交 换子表现出来的性质具有很大的差异，见文献【5 l 】，( 6 0 6 2 】和【69 】等当b 属于 l i p s c h i t z 函数类时，上述交换子在l e b e s g u e 空间 ( 廿1 ( 1 p o o ) 上的有界性 是粗糙核分数次积分有界性的直接推论，因此，我们的注意力将集中在研究它们在 h a r d y 空间的有界性上用l t 珊( 舻) ( 0 卢1 ) 表示l i p s c h t i z 空间，对于带有变量 核的分数次积分和奇异积分交换子，我们得到了下面的结论 定理3 1 设0 0 ，使下式成立 b ，t n ，p f i l l n ( n - a - 0 1 ( r n ) c i i b i i l j p 日( r ，t ) l l f l l h l ( r n 定理3 2 设0 卢1 ，b 二z p 芦( 即) ，0sp n 一卢且乱( n + 卢) p m a x n ( z + n n p ) ，n ( n 一“一卢) ) ，如果 q z ) l 。( 砂) l ( s ”1 ) 并且满足下面的条件 ，1 氅掣拼 0 ，使得帅，醍，p f i l l e ( r n ) sc i i b t l 卵i h ，( r n ) 具有齐性卷积核的分数次积分和奇异积分的交换子有类似于定理3 1 和定理3 2 的结论成立另一方面，从文献 6 1 中我们知道，对于r i e s z 位势，交换子 b ，】不 是从h “伽+ p ( 般) 到l n i ( ”一“) ( 艘) 有界的而对于奇异积分算子码= o 来说，即 使磊c 2 ( 铲“) 并且满是岛一磊( 。w a ( z ) = o ，交换子降，t a 也不是从日4 似+ p 1 ( 秽) 到三1 ( 舻) 有界的，因此，在端点p = n ( n + 卢) 处，我们将用弱型估计来替代这种 强型有界性，得到了下面的定理 定理3 5 设o 卢 1 ，6 l i p z ( r ) 且0 卢 ，有 舻：l i b ，t a i l ( 苫) | a ) i c l l b l l 帅口( r 。) ( 一驯【。) 坝”训 定理3 6 假设0 0 ，使 得对任意的a ，有 i z 够：l i b ，】，( 。) i a ) i c l l b t l u p 口( r n ) a 一1 例i 肿m 删( r 。) 注记在定理3 1 定理3 5 中，我们不要求核函数满足积分消失性条件同时 定理33 一定理3 6 推广改进了【6 1 中相关的结论 第四章中，考虑乘子与l i p s c h i t z 函数生成的交换子的有界性，本章的问题仍然 是受文献 6 1 和f 6 9 的启发而提出的用t 表示相应于乘子m 的乘子算子，用t 】 代表t 与函数4 生成的交换子，其中a 属于l i p s c h i t z 函数类l z m ( r 几) ( 0 n s 且m m ( s ，) ，如果0 p 兰l ，a l ( 孵) ， 那么对于任意的，g b ( 孵) ，有【a ，卅，( z ) o o ，o e z 畔 定理4 2 假设0 卢1 ，a l 叩口( 孵) 且l 0 ，使得呲a ，t l f l i l 。( r n ) c i i a i i l i p 。( r n ) l i f l i l 一( r 卟 定理4 3 设o 0 与a 和，无关 定理4 3 的条件 n p n s 7 与乘子t 在h a r d y 空间有界性的条件是一致的， 当8 = 2 且p 为整数时见1 5 6 和 8 7 ，当为实数时的情形见 8 6 p 1 6 4 的推论 对于实数t ，用f t 表示它的整数部分，即i t 是不超过t 的最大整数用 t 表 示t 的小数部分，t = 嘲4 - m 当p = n ( n + 卢) 且为整数时，有下面的弱型估计 定理4 4 假设1 n s 是正整数，m m ( s ，) 如果o 0 成立着 z 酽：i a ，t ( x ) l 吲o l i a l l l i p 8 ( r n ) a 一1 日。伽+ 口) ( n ) 关于交换子【a ，t j 从p ( 舻) 到t r i e b e l l i z o r k i n 空间搿，一( 郧) 的有界性，得到 定理4 5 假设1 p n g 是正整数并 且m m ( 8 ，z ) 如果0 n 和m m ( 1 ，) ，这些条件 和乘子t 在五，( 畔) 中有界性的条件是一样的另外，当 n 加为实数时，我们可 以得到类似于定理4 5 的结论，只不过叙述形式上稍微复杂一些，见定理4 7 最后一章，我们把p d r e z 和t r u j i l o g o n z g l e z 7 4 1 中关于c a l d e r d n z y g m t m d 算 子的多线性交换子的结果推广到m a r c i n k i e w c z 积分通过对众多关于m a r c i n k i e w c z 积分的研究文献的考察，我们发现它表现出来的很多性质和研究方法与c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子有许多相似之处因此，本章提出的问题是自然的和有意义 的设5 = ( 6 l ，一，b 。) 是由m 个适当的函数b j 组成的向量，用p ；表示相应的多线 性交换子，定义如下 昧烈垆( 删k 。掣 娶r n c 驰圳m ) d y 冽胆 我们将建立卢；的加权工，不等式( 0 p 。) ，包括p = 1 时的一种加权弱型估 计所使用的工具仍然是h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子和s h a r p 函数的适当变形，本章 的结果包含了已有的相关结论，同时作为主要定理的推论，我们得到了m a r c i n k i e w c z 积分高阶交换子的某些新结果本章总假定m a r c i n k i e w c z 积分的核函数在单位球面 上的积分为0 并且满足a 阶的l i p s c h i t z 条件( 0 口1 ) ，主要定理如下： 定理5 1 假设0 p 0 使得对于所有具有紧支 集的有界函数，下面的不等式成立 j r 。w ) ( t ) m 。) 4 。sg 眦。j t 。 m m ) m z ) 如r “ r “ 定理5 2 - 设0 0 使得对所有具有 紧支集的有界函数，有 u ( 舻：j p i ( ，) ( v ) a ) ) e 上。垂( i 【型l i f 蚴) u ( ) d ，v a o a b s tr a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tc a i d e r 6 n z y g m u n do p e r a t o r s ，c o m m u t a t o r s ，f r a c t i o n a la n ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hv a r i a b l ek e r n e l sa n d t h em a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lp l a yai m p o r t a n tr o l ei nh a r m o n i ca n a l y s i sa n dc l o s e l yr e l a t et ot h ep d e sa n dr e l a t e dt o p i c s i nt h i s p o s t d o c t o r a lr e p o r t ，w ew i l ld e v o t eo u rs t u d i e st ot h em a p p i n gp r o p e r t i e so fs u c h k i n d so f o p e r a t o r s t h i sr e p o r tc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 w ew i l ls t u d yak i n do fm u l t i l i n e a rm a x i m a lc o m m u t a t o r so ft h ec a i d e - r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r l e tt b eac a i d e r 6 n z y g m u n do p e r a t o rt ow h i c hi sa s s o c i a t e da r e g u l a rk e r n e la n dt t h em a x i m a lo p e r a t o ra s s o c i a t e dt ot s u p p o s et h a tbi s av e c t o r o fm a p p r o p r i a t ef u n c t i o n sb j a n dd e n o t eb y 瑶t h em u l t i l i n e a rm a x i m a lc o m m u t a t o r i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l le s t a b l i s ht h ew e i g h t e d 口一n o r mi n e q u a l i t i e sf o r 耳w i t ht h ea 。 w e i g h t sw h e n0 p 。a n d c e r t a i nw e i g h t e dw e a k t y p ei n e q u a l i t i e sw i t ha tw e i g h t s w h e n p = 1 0 n rr e s u l t sa r ep a r a l l e lt ot h eo n e so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fc a l d e r 6 n - z y g n m n do p e r a t o rd u et o p 6 r e za n dt r u j i l l o - g o n z 6 , l e z 7 4 】a n dc o v e rt h eo n e so ft h e m a x i m a lc o m m u t a t o r so b t a i n e db ym i c h e a la l p h o n s e 6 3 】 t h em a i nt e c h n i q u ei st h a t ，i n s t e a do fc o n s i d e r i n g d i r e c t l y , w es t u d ya n o t h e rt w o m a x i m a l o p e r a t o r st h a td o m i n a t e 口i n as u i t a b l es e n s e t h ei d e ai st a k e nf r o mt h eo n e s i nt r e a t i n gt h ev e c t o r - v a l u e dc a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r s t 1 1 em a i nt o o l si no u rs c h e m e a r ec e r t a i nv a r i a n t so ft h eh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o ra n dt h es h a r pf u n c t i o n i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h es i n g u l a ra n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hv a r i a b l e k e r n e l so nt h eh a r d yt y p es p a c e s d e n o t eb y ，“( 0s 肛 n ) t h e s i n g u l a ro rf r a c t i o n a l i n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hv a r i a b l ek e r n e l s i nt h i sc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d yt h eo p e r a t o r s t f l ，“o nt h eh a r d ys p a c e sa n dt h eh e r z t y p eh a r d ys p a c e s w ef i r s tc o n s i d e r ，“( 0 p n ) ，t h ef r a c t i o n a li n t e g r a lw i t hv a r i a b l ek e r n e l ，o nt h eh a r d ys p a c e s t h er e s u l t si n t h i sp a r ti m p r o v et h er e s u l t sr e c e n t l yo b t a i n e db yd i n g ，c h e na n df a ni n 3 1 n e x t ，w e s t u d y ，“( 0 肛 n ) a n d = 0o nt h eh e r z - t y p eh a r d ys p a c e s i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yd i s c u s st h ec o m m u t a t o r sg e n e r a t e db yt h es i n g u l a ra n df r a e - t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hv a r i a b l ek e r n e l sa n dt h el i p s c h t i zf u n c t i o n s ，w h i c hc a nb e r e g a r d e da sac o n t i n u a t i o no fc h a p t e r2 l e t ，p ( 0 茎肛 礼) b e ak i n do fi n t e g r a lo p e r a - t o r sw i t hv a r i a b l ek e r n e l ，a n d b ，t a ，p t h ec o m m u t a t o rg e n e r a t e db y ，“a n dal i p s c h i t z f u n c t i o nb d e n o t eb y ，。( 0 肛 n ) t h es i n g u l a ra n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t h h o m o g e n e o u sc o n v o l u t i o nk e r n e l s ，a n d b ，“jt h ec o m m u t a t o rg e n e r a t e db y + “a n da l i p s c h i t zf u n c t i o nb i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i nt h e ( h p ，l 9 卜b o u n d e d n e s so f b ) ，“ a n d f j j a n de s t a b l i s hc e r t a i nw e a k t y p ee s t i m a t e sa tt h ee n d p o i n tc a n e sf o ri b ，m 】f i nc h a p t e r4 ，w ew i l l i n v e s t i g a t et h ec o m m u t a t o r a ，t ，g e n e r a l i z e db ym u l t i p l i e r o p e r a t o rta n dal i p s c h i t zf u n c t i o na ，i nt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s f i r s t l y ，w ep r o v e t h a tt h ec o m m u t a t o r a ，t ii sw e l ld e f i n e do n ( 即) ，t h es p a c eo fc o n t i n u o u sf u n c t i o n s w i t hc o m p a c ts u p p o r t ，a n de s t a b l i s ht h e ( 矿，i q ) 一b o u n d e d n e s so f i t s e c o n d l y , w ec o n s i d e r i t sb e h a v i o ro i lt h eh a r d y s p a c e s l a s t l y , w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so f a ，t 】f o r m 口( 卵) i n t o 彤。( r 竹) ，t h eh o m o g e n e o u st r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e s i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro ft h em a r c i a k i e w i c zi n t e g r a l ， w h i c hi sp a r a l l e lt ot h eo n e so fc a l d e r 6 n - z y g m u n d o p e r a t o r s l e t “b et h em a r c i n k i e w i c z i n t e g r a la n db = ( b l ，b 2 ，- ，b m ) b eav e c t o ro fm a p p r o p r i a t ef u n c t i o n s d e n o t eb y 蜥 t h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db y 肛a n db w eo b t a i ns o m ew e i g h t e d1 2 n o r m i n e q u a l i t i e sf o rm a r c i n k i e w i e zi n t e g r a la n dt h ec o m m u t a t o r 灿：w h e n0 p o 。w i t ht h e a o ow e i g h t s ，w h i c ha r ep a r a l l e lt ot h eo n e so fc a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r so b t a i n e db y c o i f r a a ni n 2 3 a n dt h eo n e so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s o b t a i n e db yp d r e za n dn u j i l l o - g o n z g d e zi n 7 4 c e r t a i nw e i g h t e dw e a k - t y p ee s t i m a t e s f o r 弘ia r ea l s oe s t a h l i s h e dw i t ht h ea 1w e i g h t sw h e np 。1 致谢 本文是在合作导师王斯雷教授和陈杰诚教授的悉心指导和热情鼓励下完成的。 在此，我首先向两位先生表示衷心的感谢。两年来，两位先生的关心、帮助和鼓励使 我在调和分析的学习和研究工作上不断取得进步两位先生治学严谨、学识渊博、 待人宽厚，具有令人敬佩的品格，无论在学业上还是生活上都给了我巨大的帮助。 从两位先生身上，我学到了很多为人、为师的道理。 对北京师范大学数学系的孙永生教授、陆善镇教授、王昆扬教授、丁勇教授和 杨大春教授表示衷心感谢，感谢他们多年来的关心和帮助。 对浙江大学数学系调和分析研究集体中的各位老师和同学表示感谢，他们在讨 论班上的精彩报告让我开阔了思路和眼界，使我受益匪浅。 另外，感谢浙江大学数学系资料室的各位老师，她们不厌其烦地帮助我查印资 料；感谢数学系办公室的董胜鹤老师，两年来他一直关心和帮助着我。同时还要感 谢浙江大学数学系为我提供了良好的学习和研究环境，数学系浓厚的学术氛围和严 谨的学风，给我留下了美好的印象。 最后，要感谢我的爱人江静女士，感谢她多年来始终如一的关心、鼓励和支持； 感谢我的父母、岳父母和兄弟姐妹的支持、关心和爱护；感谢我的儿子给我带来的 生活乐趣和生活动力。 谨以此文献给所有关心、支持和帮助过我的朋友们。 张璞 2 0 0 3 年5 月 c h a p t e r1 w e i g h t e d e s t i m a t e sf o r m u l t i l i n e a rm a x i m a lc o m m u t a t o r s o f s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s l e ttb eac a l d e r 6 n z y g m u n ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o rt ow h i c hi sa s s o c i a t e da r e g u l a rk e r n e l d e n o t eb yt + t h em a x i m a lo p e r a t o ra s s o c i a t e dt ot s u p p o s et h a tb i sav e c t o ro fm a p p r o p r i a t ef u n c t i o n s6 7 a n dd e n o t eb y 霉t h em u l t i l i n e a rm a x i m a l c o m m u t a t o rd e f i n e da si n ( 1 i 6 ) i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l le s t a b l i s ht h ew e i g h t e d 口n o r m i n e q u a l i t i e sf o r 雩w i t ht h ea o ow e i g h t sw h e n0 8 h e r e ，t h et e r m i n o l o g y r e g u l a r f o l l o w sf r o mf 4 3 p 2 0 4 i ti sw e l lk n o w nt h a tt h el i m i t i nt h e r i g h t _ h a n ds i d ea b o v e i sw e l ld e f i n e da n d c o n v e r g e si nt h el pn o r m f o ra l ll p 。 m o r e o v e r ，ti so fs t r o n gt y p e ( p 1 p ) f o rl p 。i t j ( 。) l ：= s u p l ji。一pl。k(。u)f(v)dyeo| ( 1 l - 3 ) e 0 z 一 l sl a su s u a l ，w ed e n o t eb ya p ( 1s p o 。) t h em u c k e n h o u p tw e i g h t sc l a s s ，a n dm t h e h a r d y l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o r i n1 9 7 2 ，c o i f m a n 2 3 p r o v e dt h a tta n dm s a t i s f y a p r i o r iw e i g h t e de s t i m a t ea sf o l l o w s l e t0 p 0 ， d e p e n d i n g o n pa n dt h ea o oc o n d i t i o no fu ，s u c ht h a t i t ，( z ) 1 9 w ( z ) d x q ，。f m ，( 圳9 w ( z ) d z j r “j r “ f o re v e r yf u n c t i o nff o rw h i c ht h el e f t h a n ds i d ei s f i n i t e i n1 9 7 4 ，c o i f m a na n df e