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分担三个公共值的亚纯函数 捅要 本文主要研究了两个亚纯函数分担三个公共值时的唯一性问题，在2 c m + i l m 分担 值情形，我们减弱了某些条件而得到相同结果：另外，我们将有关“c m ”分担的若干结果 推广为权分担，获得的定理改进了仪洪勋、邱淦悌和i l a h i d 等的相关结果： 定理1设o 1 为f 与g 的c m 分担值，o o 为其“分担值如果 ；n 化7 三卜n ：( r ) ( + o ( 1 ) ) t ( r ，f ) 其中九 1 ，n 2 ( r ) = n 2 ( r , ) + n 2 ( r f ) + n 2 ( r ，曲则a 和1 一a 分别为f 和g 的p i c a r d 例 ，一a 外值，o o 也是f 和g 的p i c a r d 例外值，且( 卜a ) ( g 一1 + a ) s a 0 一口) 这里n 2 ( r , f ) 表示相应于 f 的极点的计数函数，其单级极点计一次，重级极点只计二次n 2 ( r , g ) ，n 2 ( r ，) 分别相 r a 应于g 和类似定义 ，一日 定理2 设f ，g 分担( o ，1 ) ，( 一，o ) 及( 1 ，c o ) ，若 n i 矿1 丙( 舭2 劢( r ，d ( 1 洲 其中t ( r ) = m a x t ( r , f ) ，t ( r g ) ，o ；则辟g 或f g - - - 1 这里劢( r ，f ) 表示相应于f 与g 的重级不同的公共极点的密指量，每个极点只计一次 定理3 设f ，g 分担( o ，。o ) ，( 1 ，c o ) ，及( c o ，0 ) 若 2 丙( r ，；) + n 2 ( r ，f ) + n 2 ( g ) ( + 。( i ) ) t ( r ) 其中t ( r ) = m a x t ( r , f ) ，t ( r ，曲 ，o 九 1 则f i g 或者f g - _ - 1 芒键 吾f 邢纯甬粒 唯一件 分 日佰 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s - w ed e a lw i t ht h ep r o b l e mo fu n i q u e n e s so fm e r o m o 蜥cf u n c t i o n st h a t s h a r et h r e ev a l u e s i nt h ec a s eo fm e r o m o 州cf u n c t i o n s s h a r i n gt w ov a l u e sc ma n do n e v a l u ei m ，s o m ek n o w nr e s u l t sa r eo m m n e du n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s a l s ow eg e n e r a l i z s o m er e s u l t sf r o m c m ”s h a r i n gt ow e i g h t e ds h a r i n g s e v e r a lr e l e v a n tt h e o r e m sg i v e nb y h x y i ，q i uo a n g d ia n di l a h i r ia r ei m p r o v e d t h e o r e m1l e tf u n dgs h a r e ( o o ，o ) ，( 1 ，一) a n d ( o ，c o ) i f ；n ( r 击) + n 2 ( r ) ( + o ( 1 ) ) t ( r 。 f o r 1a n dn 2 ( r ) = n 2 ( r , _ l 一) + n 2 ( r , d + n 2 ( r ，g ) t h e n aa n d1 - - aa r ep i c a r d r a e x c e p t i o n a lv a l u e so ffa n dgr e s p e c t i v e l ya n da l s o i ss oa n d ( f a ) ( g + a - - 1 ) i a o 一日、 w h e r en 2 ( r ，f ) d e n o t e st h ec o u n t i n gf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ep o l e so ffw h o s e s i m p l e p o l ei sc o u n t e do n c ea n dt h em u l t i p l ep o l ei so n l yc o u n t e dt w i c e ，n 2 ( r , g ) a n dn 2 ( r ，_ l ) ，一日 a r ed e f m e ds i m i l a r l ya c c 。r d i n gt 。g a 们了? 二1 r e s p e c t i v e l y t h e o r e m2l e tf a n dg s h a r e ( o ，1 ) ，( o o ，0 ) a n d ( 1 ，一) i f n i 也亭卜( r ) f ) + 2 n a ( r ，d ( o ( ”) t ( r ) f b r o 九 昙a n d t ( r ) = m a x t ( r ，f ) ，t ( r f ) t h e n f ；g 。r 垮= 1 w h e r e 胁( r ，dd e n o t e st h er e d u c e dc o u n t i n gf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ep o l e so ffw h o s e m u l t i p l i c i t i e sa r ed i f f e r e n tf r o mm u l t i p l i c i t i e so f t h ep o l e so f g t h t m l e m3l e tf , gs h a r e ( 0 ，。) ，( 1 ，o o ) a n d ( o o ，0 ) i f 2 丙( r ，专) + n 2 ( r ，f ) + n 2 ( r , g ) ( 入+ 。( 1 ) ) t ( r ) f o ro 1a n dt ( r ) = m a x t ( r , o ，t ( r f ) ) t h e n f 5 9o r 奄5 1 k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；u n i q u e n e s s ；s h a r i n gv a l u e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人 在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标 明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：斜莠晴 2 d 口6 年易月2 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：年月日 日期：年月 日 分担三个公共值的亚纯函数 分担三个公共值的亚纯函数 引言 芬兰数学家r n e v a n l i n n a 所创立的n e v a n l i n n a 理论，不仅奠定了现代亚纯函数理 论的基础，而且对数学的许多分支的发展、交叉和融合产生了重大而深远的影响随着 n e v a n l i n n a 理论自身的不断发展 1 2 3 4 5 ，以它为主要研究工具的一些新的函 数论分支应运而生1 9 2 9 年，r n e v a n l i n n a 6 利用他刚创立不久的亚纯函数值分布理 论，研究了决定一个亚纯函数所需要的条件，得到两个著名的亚纯函数唯一性定理，它 们通常被称为n e v a n i i n n a 五值定理和n e v a n l i n n a 四值定理从此，亚纯函数唯一 性理论，特别是亚纯函数公共值问题的研究拉丌了序幕 半个多世纪以来，同本、中国、德国、英国、前苏联和美国的许多数学家都曾致力 于亚纯函数唯一性理论的研究，使之成为复分析领域迄今仍比较活跃的一个重要分支； 期间所形成的独特的思想方法与研究技巧，为其他数学分支( 如代数体函数，复微分方 程，不动点理论等) 相关问题的研究，提供了十分重要的启示与借鉴 近二十年来，山东大学仪洪勋在亚纯函数唯一性理论的研究中，独树一帜他在这 一领域所做的许多原创性工作 7 儿8 ，吸引了国内外学者、数学家，甚至著名数学家的 研究兴趣，从而有力推动了亚纯函数唯一性理论的发展 本文应用仪洪勋、杨重骏在其专著 u n i q u e n e s st h e o r yo f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s 中的研究方法，结合印度学者i l a h i r i 提出的权分担思想，通过构造适当的辅助函数， 研究了两个亚纯函数分担三个公共值时的唯一性问题全文共分三章 第一章，我们简单介绍了与本文有关的n e v a n l i n n a 值分布论及亚纯函数唯一性理 论的主要概念、基本结果和常用记号 第二章，我们证明了两个亚纯函数分担三个公共值时的一个唯一性定理，应用这个 定理推广并改进了仪洪勋、邱淦悌等的相关结果，得到 定理1设0 ，1 为r 与g 的c m 分担值，。为其i m 分担值如果 分担三个公共值的亚纯函数 ；n ( r ，击) + n z ( r ) ( 0 ( 1 ) ) t ( r f ) 其中x 1 ，n 。( r ) = n 。( r ，三一) + ( r ，f ) + n 2 ( r ，g ) 则a 和卜a 分别为f 和g 的p i c a r d ，一a 例外值，一也是f 和g 的p i c a r d 例外值，且( 卜a ) ( g 一1 + a ) - - - a ( 卜a ) 这里n 2 ( r ，f ) 表示相应于f 的极点的计数函数，其单级极点计一次，重级极点只计二次 n 。( r ，g ) ，n ：( r ，土) 分别相应于g 和士类似定义 ，一a，一a 第三章，我们证明了权分担三个公共值的亚纯函数的两个唯一性定理，其结果改进 了仪洪勋、邱淦悌和i l a h i r i 的相应定理： 定理2 设f ，g 分担( 0 ，1 ) ，( 一，0 ) 及( 1 ，o o ) ，若 n ( r ，三) + ( r ，f ) + 2 砀( r ，f ) ( 九+ 。( 1 ) ) t ( r ) j 其中t ( r ) = m a x t ( r ，f ) ，t ( r ，g ) ) ，o ；则f - - = g 或f g - - = 1 这里n d ( r ，f ) 表示相应于f 与g 的重级不同的公共极点的精简密指量 定理3 设f ，g 分担( 0 ，o 。) ，( 1 ，。) ，及( 一，0 ) 若 2 面( r ，三) + n ：( r ，f ) + n 。( r ，g ) ( x + 。( 1 ) ) t ( r ) j 其中t ( r ) = m a x t ( r ，f ) ，t ( r g ) ) ，o 1 则f 5 9 或者f g e l 分担三个公共值的亚纯函数 第一章预备知识 亚纯函数唯一性理论研究所使用的主要工具是r n e v a n l i r m a 创立的亚纯函数值分 布理论本章我们将给出r n e v a n l i n n a 理论中的一些常用记号和基本结果，并对亚纯函 数唯一性理论中的基本概念及有关记号作简单介绍【5 】【6 】【8 】 9 】 1 1n e v a ni in n a 值分布理论中的常用记号和基本结果 在本文中，如果没有特别说明，所提到的亚纯函数均是指开平面 c = 仁： m ) 中的亚纯函数，用已= z ：i z i o o u o o 表示扩充复平面 定义1 1 1 对于x 0 ，定义x 的正对数 rl o gx ，x 1 ； l o g + x = o 哑。1 定义1 1 2 设厂( z ) 停。) 为亚纯函数，对0 ， o o ，规定 嘶= 去f ”l o g + l ( , ) f d o ， ( r ，) = f ! ! 垒：警+ n ( 。，f ) i 。g r ， 跳，) ：( 弛旦孚塑d t + 亓( o ，f ) l o g r ， t ( r ，) = m ( r ，f ) + n ( r ，j r ) ， 其中的 ( r ，) 表面可( z ) 在h r 上的极点个数，且重级极点按重数计算， n ( 0 ，厂) 表看y ( = ) 在原点处极点的重级，f f ( t ，) 表示重级极点只计一次日寸厂( z ) 在 f 上的极点个数( 当l f ( o ) 。时，n ( 0 ，f ) = 亓( o ，f ) = o ；当f ( o ) = 时，亓( o ，f ) = 1 我们 称m ( ，厂) 为厂( z ) 的均值函数，并分别称( ，f ) 丰t j n ( r ，厂) 为，( z ) 的极点的计数函数 和精简计数函数；t ( r ，) 称为旷( z ) 的 k v 醐打h n 日特征函数，简 移( z ) 的特征函数 定理1 1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设函数厂( z ) 于 r ( c o ) 内弧纯若a 为任一有穷 分担三个公共值的弧纯函数 r 显裂，且- ，( z ) a ，那么珂u r 3 ) 个百中的判别元素，则 ( 州爪喜而，击卜n o ( r ，尹1 删m，= i一“， 其中n o ( ，专) 表示是厂的零点但不是厂一a ，( ，= 1 2 ，孽) 的零点的计数函数 1 2 亚纯函数唯一性理论中的基本概念及有关记号 本节我们将简单介绍与本文有关的亚纯函数唯一性理论的主要概念和常用记号 定义1 2 1设f 与g 是复平面内两个非常数的亚纯函数。a 为任意复数f 有穷或无 穷) 如果计重数之下，f - a 与g - a 有相同的零点，我们说f 与gc m 分担a ；在不计重数之 下，若f - a 与g - a 与有相同的零点，我们说f 与g i m 分担a 定义1 2 2 设f 与g 为非常数亚纯函数，k 是非负整数或无穷，b 为任意复数我们用 e k ( b ，f ) 表示f 的所有b 值点的集合，对f 的每个m 重b 值点，i n - k 时计k + 1 次若e k ( b ，f ) = e k ( b ，g ) ，则称f 与g 以权k 分担b ，表示为堍分担( b ，k ) 由此，b 是f 与g 的i m 或c m 分担值当且仅当f g 分担( b ，0 ) 或( b ，c o ) 本文如无特别说明，f 与g 均表示两个判别的非常数亚纯函数，a ( o ，1 ) 表示一个有 穷复数，i 均表示( o ，o 。) 中某一具有无穷线性测度的集合，每次出现不一定相同我们进 一步引入下述几个记号： 设p 是一个正整数，我们用n p ) 也7 ) 及p ) 化7 ) 分别表示重数s p 的f 分担三个公共值的亚纯函数 的b 值点的计数函数及其精简形式；用n n ( 或m n ) 则用n l ( r ，f ) ( 或n s ( r f ) ) 表 示f 的这一类极点的计数函数，每个极点按f 的实际重数来计n l ( r ，g ) 及n 。( r ，g ) 均类似 定义另记 n c ( r ，f ) 2 n ( r ，f ) - n l ( r f ) 一n 。( r f ) ， t ( r ) 2 m a x t ( r ，f ) ，t “g ) 分担三个公共值的亚纯函数 第二章分担三个公共值的亚纯函数 本章我们证明了两个亚纯函数分担三个公共值时的一个唯一性定理，应用这个定理 推广并改进了仪洪勋、邱淦悌等的相关结果 2 1 引言及主要结果 关于亚纯函数分担三个公共值对的唯一性问题，1 9 9 5 年，h - x y i 证明了 定理2 1 1 【l o 】设o ，l ，。为f 与g 的c m 分担值如果 n ( r _ l 一) t ( r d 十s ( f ) ，n ( r f ) t ( r ，f r - s ( r , f ) ，一口 则a 和l - a 分别是f 和g 的p i c a r d 例外值，o o 也是f 和g 的p i c a r d 例外值且( f a ) ( g + a 1 ) 5 a ( 1 一a ) 1 9 9 9 年，邱淦佛证明了 定理2 1 2 【1 1 】设o ，1 为f 与g 的c m 分担值，。为其i m 分担值如果 2 n ( r , i l 一) 十3 n ( r ) ( + 。( 1 ) ) t ( r ，f ) ( r e i ) j a 其中九 1 ，n ( r ) = m a x n 2 ( r ，f ) ，n 2 ( r ，g ) ) 则a 是f 的p i c a r d 例外值且仅可能出现下述情况之 ( i ) f = a g( i i ) f - 0 a ) 9 5 a( i i i ) ( f - a ) ( g + a 1 ) 5 a ( 1 - a ) 这里n 2 ( r ，f ) 表示相应于f 的极点的计数函数，其单级极点计一次，重级极点均计二次， n 2 ( r , g ) 亦可类似定义 本文进一步改进了以上结果，得到 定理2 1 3设0 ，1 为f 与g 的c m 分担值，o o 为其i m 分担值直口果 ；n ( r ，7 l 一) + n 2 ( r ) ( + 。( 1 ) ) t ( r ，：f ) ( r i ) ( 2 1 1 ) j ，一口 其中 1 ，n 2 ( r ) = n 2 ( r ，) + n 2 ( r , f ) + n 2 ( r ，曲则定理2 1 1 的结论成立 ，一a 分担三个公共值的亚纯函数 这里n 2 ( r ，f ) ，n z ( r ，g ) 如定理2 - 1 _ 2 所定义，n z ( r 7 1 _ ) 相应于7 三类似定义 2 2 几个引理 引至2 2 1 设0 ，1 ，。为f 与g 阴i m 分理值，则s ( r t ) = s ( r g ) 证明由n e v a n l i n n a 第二基本定理a p 可推得 为方便起见，以下我们用s ( r ，f ) 表示s ( r ，f ) 与s ( r ，g ) 中的任何一个 引理2 2 2设 耻c 等筹h 菩一若瑚c i 枷， 若o ，1 是f , g 的c m f f j ! _ n 值，一为其i m 分担值，则 j 1 ( 7 1 ) + n “r ，志) ) n 0 ( r ，抄n 0 ( r ，抄死( r ，d + s ( r ，f ) 其中n 。( r ，嘉) 表示相应于f ，的零点但非f ，f - 1 的零点的计数函数，n 。( r 专) 可类似定 义 证明 设z 0 是f 的单零点，由f ，g ，f ，g 在z o 处的t a y l o r 展式结合0 是f ，g 的c m 分担值，易得h o ( z ) = o ( z z o ) ，t i ph o ( z o ) = 0 再由对数导数引理知m ( r ，h o ) _ s ( r f ) 故 n ( 哼) n ( r ，击) t ( r ，h 0 ) + o ( 1 ) _ n ( r ，h 0 ) + s ( r ，d 又0 ，1 是f ，g 的c m 分担值，一为其i m 分担值，有 n ( r ，h 0 ) n 0 ( r ，专) + n 。( r ，抄砜f ) 于是 n 1 ) ( r ，；) n o ( r 专) + n 。( r 抄砜吣( r ，d ( 2 2 ，1 ) 娄似抽的哺f 得 坌塑兰尘竺苎笪塑垩丝堕墼 呲六) n ( 咭) n 。( r ，抄n o ( r ，砜岬( 蚺 由( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 即可推得引理2 , 2 2 成立 引理2 2 a 1 2 设，e ，6 为三个线性无关的非常数亚纯函数，满足 f l + + f 3 ；1 贝0 t ( r ，) 3 )+3nz(t 1 t ( r ，) _ ) + j = 1 i j = l 3 n ( r , f 0 + s ( r ，) ( i = 1 , 2 ，3 ) j = l 引理2 24 1 3 设毛( i = 1 ，2 ，3 ) 为三个非常数亚纯函数，满足f l + f 2 + f 3 = 1 再设 g ，2 毒，2 毒，9 3 = | 乏若f i ，岛，f 3 线性无关，则g ，9 2 ，g s 亦线性无关且满足 g l + 9 2 + 出5 1 引理2 ，25设 扛筹2 妒 亿z 如果0 ，1 为f 和g 的c m 分担值，一为其i m 分担值，则 2 h 鼍 f 2 2 4 ) 其中6 是一个整函数，且 ( r ，h ) + ( r ，i 1 ) 。m ( r ，d ，n ( r ，h ) 2 n l ( r ，f ) 一n s ( r ，g ) ( 2 2 5 ) 证明 由( 2 2 3 ) 结合0 ，1 是f ，g 的c m 分担值及。为其i m 分担值可知孚没 有零点和极点，故存在整函数b 使孚= e e 由h 的定义结合0 是f ，g 的c m 分担值及一为其i m 分担值易知( 2 2 5 ) 成立 引理2 2 6 d 4 设f i , f 2 为非常数亚纯函数，则 n ( r ，袁) - n ( r , f l f 2 ) n ( r ，去) 骶去) - n _ n ( 呦 引理2 2 7 设o ，l 为f 和g 的c m 分担值，一为其i m 分担值，再设 分担三个公共值的亚纯函数 r t = 哔a ，r z = 刍1 e b ， 一1 。 口一 7f 3 = - 上一h e e( 2 2 6 ) 口一1 。 7 此处h ，e 4 如引理2 2 5 所设若f i ，丘，6 线性无关且h ，e 9 ，h e 8 均不为常数，则 n ( r ，扣n 2 ( r ，击) + 2 死( r ，f ) + s ( r ，f ) ( 2 2 7 ) n ( r ，南) n z ( r ，击) + 2 死( r f ) + s ( 润 ( 2 2 _ 8 ) 证明 由( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 及( 2 2 6 ) 易知 由此结合引理2 2 3 得 t ( r ) = o ( t ( r ，f ) ) ，f l + f 升6 = 1 t ( r , h e p ) n z ( r ，去) + n z ( r ，去) + 丙( r ，f 1 ) + 丙( r h ) + s ( r ，f ) ( 2 2 9 ) 另一方面，由( 2 2 3 ) ，( 2 2 ，4 ) 及( 2 2 6 ) 有 ( a - l 舻( 删e 1 胤a ( 1 - e _ l ，e 。- l 。赫 由此结合一是f ，g 的i m 公共值得 n 2 ( r ，去) 2 万1 ) + 帅，去) - n s ( r 。_ n s ( r , g ) 也( r f ) ( 2 2 1 。) ( r f 1 ) = ( r ，h ) 注意到 f ( e 。1 ) = h e9 1 ，由引理2 2 6 又得 ( 2 1 2 1 1 ) n ( r ) 2n ( r ，志) _ n ( r ，去) _ n ( r ，h ) + n ( r ，f ) ( 2 2 1 1 2 ) 结合( 2 2 9 卜 2 2 1 2 ) 及( 2 2 5 ) 得 n ( r ，专) 2 的零点的计数函数 ，一d 。 及 2 3 定理2 1 3 的证明 令h ，妒，e 8 如引理2 2 5 所设，f f j ( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 得 。 。一t 一： + e ：一t ，e 声 一f ：一不了广 t e - p 了1 阶箸，仁等，r - n - 是 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 由eg 是两个判别的非常数亚纯函数知h 1 ，h o 同理p ，e 8 亦如此我们区分以下四 种情况： ( 1 )h 5 c ( c o n s t ) ，由( 2 3 2 ) ) 得 11 n 吉) 剞( r ，吉) 3 s ( r ，d ， 由此结合第二基本定理得 n ( r ，去) n ( r ，击户s ( r ，f ) 1 0 分担三个公共值的亚纯函数 t ( f ) 若1 + 三妒一! 0 ，由( 2 3 3 ) 结合第二基本定理得 口日 v ( r , 1 9 矾) + 巩专) + - 犯南) + s ( r ，f ) 。也南( r d 娟( r 南+ s ( r ，d 这与条件( 2 1 ，1 ) 矛盾故1 + 土伊一! ：0 ，由此结合( 2 3 _ 3 ) 得 n ( r ；) _ s ( r d ，( ，击) = s ( r ，f ) 由此再结合第二基本定理有 t ( r f ) 丙( r ，f ) + 丙( r 7 1 ) + 丙( r 万1 ) + s ( r ，d = 丙( r ，f ) + s ( 妯 ( i i i ) e 。2 c ( c o n s t ，、， f 由( 2 3 2 ) 得 a ：t p - a c + a - 1 c 1 若a c _ a + 1 0 ，由此结合第二基本定理及( 2 2 3 ) 得 t ( r f ) = t ( r ，矿) + s ( r ，f ) ( r ，伊) + n ( r ，二) + n ( r ，j ) + s ( r ，f ) 妒妒一( t i c a + 1 l 丽( r ，妒) + 丙( r ，一1 ) + 万( r _ l ) + s ( r ，f ) 口，一口 分担三个公共值的亚纯函数 丙( r ，0 + 丙( r ，万1 ) + s ( 曲 这与条件( 2 1 1 ) 矛盾故a c a + l ：0 即c ：型，结合( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 便得 ( f - a ) ( g + a 一1 ) - - a ( 1 - a ) ( )h ，p ，e “均不为常数，令h i ( i = 0 ，1 ) 如引理2 2 2 所设 若h 。一。即i f 歹f r 一了2 f ；g , - 一等，易推得 上：c 1 三+ c 2 fg 。 ( 2 3 4 ) 其中c l ( o ) ，c 2 是常数 若。不是f 的p i c a r d 例外值，由( 2 3 4 ) 得c 2 ：0 从而：上即h = - - c 。n s t 矛盾故一是 gc 1 f 的p i c a r d 例外值，从而n ( r ，f ) t ( r ，f 卜s ( r ，f ) 另一方面，由 条件( 2 1 1 ) 结合引理2 2 8 易证得n ( r ，) t ( r ，f ) ，再根据定理2 1 1 即得 ，一a ( f - a ) ( g + a 1 ) 5 a ( 1 一a ) 若h l = - - 0 ，同理可证得一是f 的p i c a r d 例外值且( f - a ) ( g + a 1 ) ；a ( 1 一a ) 现设h i o ( i _ 0 ，1 ) ，再令f l ，f 2 ，6 如引理2 2 7 所设结合( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 及( 2 2 6 ) 得 f l 嘎+ f 3 i 1 ( 2 3 5 ) 若( i _ l ，2 ，3 ) 线性无关，不妨设t ( r ，f ) t ( r ，曲，r i 根据第二基本定理得 2 t ( 岫 孤7 1 ) 十- ( r ，寿) + - 盼n ( r 击) - n 。( r ，抄s ( r d ( 2 3 _ 6 ) t ( r d t ( r , g ) 砘孤i 1 ) + n ( r , g 心( r ，专) + s ( r d ( 2 3 7 ) gg lg 由引理2 2 2 及引理2 2 7 又得 2 ( r ，) 十2 - ( r ，击) 分担三个公共值的亚纯函数 注意到 知) ( r ，亭m 】( r ，志) ) + 互3 ( n ( r ，抄n ( r ，志) 7 1 ) + 专) + 3 n 2 ( r ，击) + 7 矾r ，删r ，d ( 2 3 _ 8 ) 2 n ( r ，f ) + 7 d ( r ，f ) 6 n ( r ，f ) + 3 n d ( f ，f ) 3 ( ( r 妒n ( 2 ( r f ) ) + 3 ( n ( r ，曲+ ( 2 ( r ，g ) ) = 3 ( n 2 ( r ，f ) + n 2 ( r , 曲) ( 2 - 3 9 ) 结合( 2 3 6 ) 一( 2 3 9 ) 得 3 t ( r , f ) 3 ( n 2 ( f ，_ l 一) + n 2 ( r ，f ) + n 2 ( r ，g ) ) + n ( r ，7 l 一) + s ( r f ) ，一a，一a 由上式及定理2 1 3 中n 2 ( r ) 的定义便得 t ( r f ) ；n ( r 击) + n 2 ( r ) + s ( 鹕 这与条件( 2 1 1 ) 矛盾故f i ，f 2 ，6 线性相关，即存在三个不全为零的常数c l ，c 2 ，c 3 使 得 c i “+ c 2 f 2 + c 3 f 3 - - - - - - - 0 ( 2 3 1 0 ) 虑及e a , h ，妒均不为常数，结合( 2 3 5 ) ，( 2 3 1 0 ) 及( 2 2 6 ) 得c l o 及 d i e 。+ d 2 f o = a 1 ( 2 3 1 1 ) 其中d i ：型鱼二型( o ) ，d 2 = 鱼二鱼( o ) 由此知n ( r , r p ) ：s ( r ，f ) 又由( 2 2 - 3 ) 得 丙( r ，! ) 丙( 2 ( r ，曲三n 2 ( r ，曲，由此结合( 2 3 1 1 ) 及第二基本定理得 d t ( r , e ) 丙( r ，) + 丙( r ，! ) + 丙( r ，e e ) + s ( r ，o 。 i n 2 ( r ，g ) + s ( r ，f ) ( 2 3 1 2 ) e 口2 分担三个公共值的亚纯函数 t ( r ，小砜专) + 丙( r 吉) + - ( + s ( r f ) ：n 2 ( 曲+ s ( r f ) ( 2 3 1 3 ) 另一方面，由( 2 ，3 2 ) 知 t ( r f ) t ( r ，妒) + 1 y r ，e 9 ) + o ( 1 ) ( 2 3 1 4 ) 结合( 2 3 1 2 ) 一( 2 3 1 4 ) 得 t ( r ，f ) n 2 ( r ，g ) + s ( r t ) n 2 ( r ) + s ( r ，d 亦与条件( 2 1 1 ) 矛盾 定理2 1 3 得证 分担三个公共值的亚纯函数 第三章权分担某些公共值的亚纯函数 本章我们得到关于权分担三个公共值的亚纯函数的两个唯一性定理，改进了仪洪 勋、邱淦悌和i l a h i r i 的相关结果 3 1 引言及主要结果 盯于具伺= 个公廷但阴业纯幽瓤阴l l 芷任l 口j 题，1 9 9 0 牛，仪援卿让明j 定理3 1 1 【1 5 】设0 , 1 ，一为f 与g 的c m 公共值若 眦r ) + n i ( r ，f ) ( 。( 1 ) ) t ( r ) ( r i ) 其中o ；，则f - g 或龟一1 1 9 9 9 年，邱淦佛改进了定理3 1 1 得到 定理3 1 2 1 1 】设0 ，1 为f 与g 的c m 公共值，o 。为其i m 公共值如果 2 砘专) + n ( r ，f ) + n ( r ，g ) ( ( 1 ) ) t ( r ，d ( 托i ) 其中o 九 1 则f g 或者龟= 1 2 0 0 1 年，i l a h i r i 证明了以下结果 定理3 1 3 【1 6 】设f , g 分担( 0 ，1 ) ，( c ：o ，0 ) 及( 1 ，o o ) 若 ) + 4 丙 ( o ( 1 ”( r ) ( r i ) 其中o ；，则f _ g 或龟；1 定理3 1 4 1 6 1设f , g 分担( o ，o o ) ，( 1 ，一) 及( o o ，1 ) 若 n 1 ( r ，亨) + n l ( r f ) ( + 。( 1 ”t ( r ) ( r i ) 其中o ；则f - g 或者龟一1 分担三个公共值的亚纯函数 我们注意到定理3 1 4 改进了定理3 1 1 ，但是定理3 1 3 不能改进定理3 1 2 ，本文采用 新的方法，证明了以下定理，它同时改进了定理3 1 2 和定理3 1 3 定理3 1 5 设g 分担( o ，1 ) ，( 一，o ) 及( 1 ，一) ，若 n 1 ( r 去) + ( r ，f ) + 2 肋( r ，f ) ( + o ( 1 ) ) t ( r )( 3 1 1 ) ， 其中r i ，o 昙剃f = - - g 或龟一i 定理3 1 6 设g 分担( o ，* ) ，( 1 ，o o ) 及( c o ，0 ) 若 2 ( r ， ) + n 2 ( r ，d + n 2 ( r ，曲 ( 九+ o ( 1 ) ) t ( r ) ( r i ) | 其中o 7 1 则f - ；= g 或者f g ；l 这里n 2 ( r ，f ) 表示相应于f 的极点的计数函数，其中单级极点计一次，重级极点均计二 次，n 2 ( r , g ) 亦可类似定义 3 2 几个引理 引理3 2 1设o ，1 ，o o 为f 与g 的i m 公共值则s ( r ，f ) = s ( r ，曲 证明由第二基本定理即可推得 引理3 2 2 设f ，g 分担( 1 ，1 ) ，且 州一筹h 等一磬瑚 z m 那么 n j ( r ，六) n ( r ，h ) + s ( r ，f ) 十s ( r , g ) 证明设z 0 是f - 1 的简单零点，由于f ，g 分担( 1 ，1 ) ，把f ，g ，f 7 ，g7 在2 0 处的t a y l o r 展式 代入( 3 2 1 ) 式，得h ( z 产o ( z - z 0 ) ，于是h ( z 0 ) = 0 再由对数导数引理知m ( r , h ) = s ( a f ) + s ( l g ) ， 故 分担三个公共值的亚纯函数 n l ( r ，志) n ( r ，吉) t ( r ，h ) + o ( 1 ) - n ( r ，h ) + s ( r ，d + s 引理3 2 3 设f , g 分担( o ，1 ) ，( 1 ，一) 及( m ，0 ) 且f g 那么 刃( z ( r 手) 丙a ( r ，f ) + s ( r f ) 证明- 不妨设丙( r ，专) s ( r ，f ) 令 i ? 一1 g g 一1 ( 3 2 2 ) 若矿一0 ，则 f - 12a ( g - 1 ) ( 3 2 3 ) 其中a 为非零常数，由于g 分担( 。，1 ) 且丙( r ) s ( r ，f ) ，将f 与g 的公共零点代入 ( 3 2 3 ) 得a = 1 ，导致f = - - g ，矛盾因此痧季0 t 士l ( 3 2 2 ) 结合引理3 2 3 条件及引理3 2 1 可德 i ( 2 ( r ，扣醌扣刖煳) n m f ) 矾邺( 曲 引理3 2 3 得证 引理3 2 ，4 设f ，g 分担( 0 ，o 。) ，( 1 ，o o ) 及( c o ，1 ) 且f g 那么 n ( 2 ( r ，f 产s ( r ，d 证明假设 n 2( r ，d s ( r ，f ) ( 3 2 4 ) 令 = 志f ( f1 一志g ( g 1 ( 3 2 5 ) 一)一) 、 分担三个公共值的亚纯函数 若o ，由( 3 ，2 5 ) 有r e ( r , ) = s ( r , o 又f , g 分担( 0 ，o o ) ，( 1 ，o o ) 及( m ，1 ) ，可知没 有极点。于是 丙( 2 ( r ，f ) n ( r 五i ) t ( r ，) + o ( 1 ) = s ( r ，f ) 与假设矛盾因而j 。，于是1 - 专 a ( 1 一上) ，其中a 是非零常数，由此结合( 3 2 4 ) 及 f g 分担( 。o ，1 ) 可知a = l ，从而f = - - g ，亦矛盾故 n f 2 ( r ，d 2 s ( r ，d 3 3 定理的证明 定理3 1 5 的证明 设h 由( 3 2 1 ) 式给出若h o 由引理3 2 1 ，引理3 2 2 ，可得 n “7 三) n ( r ，h ) + s ( r f ) 由f 与g 分担( o ，1 ) ，( 1 ，。) 及( 。，o ) 知 ( 3 3 1 ) n ( r ，h ) n 0 ( r ，抄n 0 ( r ，抄i ( 2 “抄_ d ( r o ( 3 3 2 ) 11 其中n “r 亭表示相应于一的零点，但非f 1 的零点的密指量，n “r 言亦可类似定 义结合( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 得 志) n 0 ( r ，抄争瓦( r 砜r ，嗍鹕 ( 3 3 3 ) 另一方面，根据第二基本定理，有 t ( r ，f ) 丙( 尹1 丙 万1 ) + 砒d - n o ( r 抄s ( r ，d ) 丙( r ，两也i 1 ) + 丙( 吩岵) + s ( r ，曲g g 一1 g ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 分担三个公共值的亚纯函数 两也志舸也刍一砒志，去州也志， n 。( r ，士) + n 。( r ，当p 面t 2 ( r ，手) + 丙a ( r ，f ) 十n ( r ，击) + s ( r ，f ) 若辟g 应用引理3 2 3 可得 丙 ( r ；) + 丙( r ，吉) + 丙c 。( r ，；) 22 n ，( r ，手) + 3 丙c z ( r ，多)g1jj 2 n i ( f ， ) + 3 丙d “f ) + s ( r ，f ) 结合( 3 3 4 ) - ( 3 3 7 ) ，得 t ( r ，d + t “g ) 2 n 1 ( r ，f ) + 2 a ( r ，f ) + 4 丙d ( r ，f ) + n ( r ，了j 1 ) + s ( r ，d 注意到 n ( r ，击) t ( r ，d + o ( 1 ) 及n ( r ，志) _ n ( r ，击) t ( r g ) + 0 ( 1 ) 由此结合( 3 3 8 ) ，推得 ( ：一。( 1 ) ) t ( r ) n - ( r 7 1 ) + 丙( r f ) + 2 丙a ( r ，f ) 这与定理3 1 5 的条件( 3 ，1 1 ) 矛盾，故h ；o 或f 兰g ， 若h - - = 0 南n 2 i 、可得 ( 3 3 。6 1 ( 3 3 7 、 ( 3 3 8 ) _ 1 ：_ = 生+ 曰( 3 3 9 ) 一1g 一1 7j 其中a ( o ) 和b 是常数我们分两种情况讨论： ( i ) b = 0 此时有 a ( f - 1 ) 2g 一1( 3 t 3 1 0 ) 若0 是f 的p i c a r d 例外值，那么由( 3 - 3 1 0 ) 知此时f 与