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非线性扰动方程的近似n o e t h e r 对称和近似守恒律 摘要 在现实生活中许多物理现象都可以归结为偏微分方程来研究有这样一类现象：它的 方程具有无穷小参数，我们把这种现象称之为扰动现象，与这种现象相对应的方程为扰动 方程因此，研究扰动方程具有重要意义而且，在微分方程系统及其应用领域中，守恒律起 着至关重要的作用因此，如何构造扰动方程的近似守恒律成为重要课题之一而非扰动偏 微分方程的守恒律构造方法的发展，极大推动了关于构造扰动方程近似守恒律方法的研 究a h k a r a 将构造守恒律的部分n o e t h e r 法推广到构造扰动方程的近似守恒律即利用 方程的部分l a g r a n g i a n 函数构造出线性扰动方程的近似n o e t h e r 对称和近似守恒律 然而，如何构造更一般的非线性扰动方程的近似守恒律自然成为我们最为关心的问 题，因此，本文在前人研究的基础上，从理论上，重新定义了部分l a g r a n g i a n 函数，更正了之 前国外文献中的错误定义构造了多种类型的非线性扰动方程的近似n o e t h e r 对称、近似 守恒律和守恒向量，给出了不同形式下扰动方程的近似守恒律的完全分类从而，极大地拓 宽了该公式的使用范围，体现了该方法的实用性 本文的内容主要分为四章第一章简单介绍了守恒律和近似守恒律相关理论的研究 历史以及本文的选题背景及课题意义，简述了本文所取得的主要成果第二章贪绍了本文 涉及的守恒律和近似守恒律理论的相关知识第三章和第四章，本文利用最新的部分 l a g r a n g i a n 函数法构造了扰动的非线性波动方程和扰动的s i n e g o r d o n 方程的近似守恒 律和守恒向量，并给出了其近似守恒律的完全分类 关键词 近似守恒律，近似守恒向量，部分l a g r a n g i a n 函数，近似n o e t h e r 对称算子，近似 l i e b i c k l u n d 对称算子 a b s t r a c t h lm er e a lw o r l d ，m a n yp h y s i c a lp h e n o m e n ac a l lb e d e s c r i b e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e s ) t h e r ei ss u c hac l a s so fp d e sw i t hr e l a t i v e l ys m a l lp a r a m e t e r s ，w e c a l l t h o s ee q u a t i o n st h ep e r t u r b e de q u a t i o n s ，w h i c hd i f f e rf r o mt h eu n p e r t u r b e do n e s t h e r e f o r e ， t h es t u d vo fp e r t u r b e de q u a t i o n si so fg r e a ts i g n i f i c a n c e i nt h ef i e l d so fs y s t e m so f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o 璐a sw e l la st h e i ra p p l i c a t i o n s ，t h ec o n s e r v a t i o nl a wp l a y sa c r u c i a lr o l e c o n s e q u e n t l y t h ec o n s t i u c t i o no fa p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o nl a w sf o rp e r t u r b e de q u a t i o n si s a ni m p o r t a n t i s s u e t h ed e v e l o p m e n to fm e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n gc o n s e r v a t i o nl a w sf o rt h eu n p e r t u r b e d p d e sw i l lg r e a t l yp r o m o t et h ed e v e l o p m e n to fm e t h o d s f o rc o n s t r u c t i n ga p p r o x 雠a t e c o n s e n ，a t i o n1 a w sf o rt h ep e r t u r b e do n e s a h k a r ae x t e n d e dt h ep a r t i a ln o e t h e rm e t h o do f c o n s 仃u c t i n gc o n s e r v a t i o nl a w st ot h a to fc o n s t r u c t i o no fa p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o nl a w s t o r p e r n l r b e de q u a t i o n s o n ec a nc o n s t r u c tt h ea p p r o x i m a t en o e t h e rs y m m e t r i e sa n da p i ) r o x l m a t e c o n s e r 、，a t i o nl a w sf o rl i n e a rp e r t u r b a t i o ne q u a t i o n sb yt h ep a r t i a ll a g r a n g i a n h 0 w e v e r t h em o r ei n t e r e s t i n gq u e s t i o na b o u t h o wt oc o n s t r u c ta p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o n l a w sf o r t h em o r eg e n e r a ln o n 1 i n e a rp e r t u r b a t i o ne q u a t i o n si sn a t u r a l l yr a i s e d t h u s ，o n t h e b a s i so fp r e v i o u sw o f k s ，i nt h i sp a p e rw ec o r r e c tt h ei n c o r r e c td e f i n i t i o ni nl i t e r a t u r e a n d r e d e 丘n en l cc o n c 印to fp a r t i a ll a g r a n g i a nt h e o r e t i c a l l y m o r e o v e r ，w e c o n s l i u c tt h e a p p r o x i m a t en o e t h e rs y m m e t r i e sa n da p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o nl a w sf o rv a r i e t y0 ft y p e so f n o n 1 i 1 1 e a rp e r n b e de q u a t i o n s ，a n de x p r e s st h er e s u l t si ng e n e r a lf o r m s m o r ei m p o r t a n t l y , w eo b t a i l lc o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n so fa p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o nl a w sf o rd i f f e r e n tf o r m so f p e m b e de q u a t i o n s t h i sg r e a t l ye x t e n d s t h eu s eo ft h em e t h o d ，a n dv e r i f i e st h eu s e f u l n e s so f t h em e t h o da sat 0 0 1 t h ec o l l t 饥to ft h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s tp a r ti sa b r i e fr e v i e wo ft h e h i s t o r yo fr e s e a r c h e so nt h ec o n s e r v a t i o nl a w sa n da p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o n l a w s 锄dm e b a c k g r o l l i l d 锄ds i 咖f i c a n c eo ft h es u b j e c tr e l a t i n gt o t h et o p i c so ft h i sa r t i c l e ，w ea l s o o u t l 试e sm em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dp a r tw ep r e s e n tt h et h e o r yn e e e s s a n l y r e l 加gt oa p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o nl a w s h lt h et h i r d a n df o u r t hp a r t s ，r e s p e c t i v e l y , w e c o i l s t n l c tt h ea p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o n l a w sa n dc o n s e r v e dv e c t o r s f o rt h e1 1 0 i l l m e a r p e r t l 曲e dw a v ee q u a t i o na n dt h ep e r t u r b e ds i n e - g o r d o ne q u a t i o nb y t h el a t e s t p a r t l a l l a g r a 晒a i lf u n c t i o nm e t h o d ，a n do b t a i nc o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n so ft h e i ra p p r o x l m a t e c o n s e r v a t i o nl a w s i i k e yw o r d s a p p r o x i m a t ec o n s e r v a t i o nl a w s ，a p p r o x i m a t ec o n s e r v e dv e c t o r s ，p a r t i a ll a g r a n g i a nf u n c t i o n ， a p p r o x i m a t en o e t h e r - t y p es y m m e t r yo p e r a t o r , a p p r o x i m a t el i e b ；i c k l u n ds y m m e t r yo p e r a t o r i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版本人允许论 文被查阅和借阅本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论文收 录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库 保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名：亟敛盏 指导教师签名： ，d ，o 年6 月1 2 日 | nx 0 v k 7 l f 7 、 汐v 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除了文中特j 争j d n 以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 学位论文作者签名：另、躲 擒 d 年6 其1 2 - e t 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 问题的理论背景和意义 在微分方程系统和许多应用领域中。守恒律对于解的性质的分析起着至关重要的作 用数学中守恒律的思想源于我们熟悉的物理现象中的守恒律，比如说质量守恒定律，能量 守恒定律以及动量守恒定律等等在流问题中，守恒量在求解中起着重要的角色，可以用来 确定相似解中的未知指数，而这些相似解不能从齐次边界条件得到以前，流的守恒量要么 用物理的方法求解要么通过积分方法，也就是说，需要用边界条件和方程的连续性，对通过 流体表层的p r a n d t l s 动量的边界方程进行积分然而，这些推导方法并不系统，并且在实际 应用中也有一定难度，比如墙体流等等最近，作者1 2 】成功的运用守恒律，推导出了流的守恒 量 在1 9 1 8 年，e m m yn o e t h e r l 3 】证明了在变分原理产生的系统中，通过n o e t h e r 定理找到 了一种简洁优雅的求解守恒律的方法，并且系统中的每个守恒律具有这样的性质：它都对 应与一个对称n o e t h e r 定理是我们构造偏微分方程组的守恒律的基本方法之一，它粗略 地描述了在e u l e r - i ，a g r a u 晒a l l 方程中，l a g r a n g i a n 函数伴随有n o e t h e r 对称，并且守恒律可 以用一个准确的公式表示然而，还有一些方程的l a g r a n g i a n 函数不存在或者求解它很难， 因此，就需要不依赖于微分方程的l a g r a n g i a n 函数的一些构造守恒律的方法在这些方法 中，最基本的方法就是p s l a p l a c e 4 l ；e1 7 9 8 年给出的直接法直接法已经成功的运用在一 些著名的微分方程中计算守恒律在1 9 6 2 年，e s t e u d e l 5 】引入一种新方法：将守恒律写成 特征的形式，这些特征是微分方程的乘子而要利用这种方法确定守恒律，我们不得不把微 分方程的特征确定下来p j o l v e r 6 】给出了变分法求守恒律，其中涉及到方程皿t = q 口色 的变分导数丢( q 口尾) = o s c a n c o 和g w b l u m a n l 7 找到了微分方程解空间上的变分 o n 方法，而由这一方法确定的特征有时是对应于方程的伴随对称而非是一个守恒 律a h k a r a 和f m m a h o m e d 8 l 给出了求解守恒律的另一方法，即在直接法中增加一个对 称条件构造守恒律此外，s c a n c o 和g w b l u m a n 9 3 0 】还发现了求解守恒律的方法，而且还 给出了已知特征求解守恒律的公式，标准的c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 形式的偏微分方程的局 部守恒律可以通过这组公式直接构造出来最新的研究方法是a h k a r a 和 f m m a h o m e d 1 1 】研究出部分的n o e t h e r 方法a t h e r t o n 和h o m s y l l 2 】引入了方程组及其伴随 方程组的n o e t h e r 方法而且在此基础上n h i b r a g i m o v t l 3 1 也给出了一个新的求解守恒律 第一章绪论 的定理 同时，在微分方程的研究中，还出现了许多方程具有相对小的参数，我们把这些具有小 参数的方程称为扰动方程这些扰动现象在现实生活中也广泛存在它们在数学及物理中 具有重要的意义因此，对这些扰动方程的研究具有重要的理论和现实意义随着研究的深 入，引入了近似对称和近似守恒律的概念a h k a r a ，e m m a h o m e d 和g0 n a l1 1 4 】给出了近 似对称和近似守恒律的关系：a g j o h n p l i a i 和a h k a r a 1 5 1 研究了通过守恒向量和伴随的 近似李对称生成子来求扰动方程的近似l a g r a n g i a n 函数特别地，a h k a r a t l 6 】等人讨论了 方程u , t + e u , = 纩1 蚝k 的近似l a g r a n g i a n 函数和伸缩约化的不变量最 近a g j o h n p l i a i ，a h k a r a 和e m m a h o m e d2 0 0 9 年的论文【1 7 】中提供了一个简洁优雅的方 法即通过近似n o e t h e r 型对称算子及其伴随的部分l a g r a n g i a n 函数来构造部分e u l e r l a g r a n g i a n 方程的近似守恒律 1 2 论文安排和主要成果 全文共四章文章的结构及主要内容如下： 第一章，作为绪论简要介绍了非线性偏微分方程的守恒律和守恒向量以及扰动方程 的近似对称和近似守恒量的研究历史和本文的选题背景及意义，强调了本文的特色在于 通过扰动方程的部分l a g r a n g i a n 函数法，利用扰动方程的近似n o e t h e r 对称构造扰动方程 的近似守恒律和守恒向量，并给出近似守恒律的完全分类而且将这种方法广泛的应用到 多种非线性扰动方程 此外，绪论部分还简述了本文所取得的主要成果及论文的组织框架 第二章，作为本文研究和讨论的基础，简述了守恒量和近似守恒量的相关概念及其性 质 第三章，探讨了两类非线性扰动波动的近似n o e t h e r 对称和近似守恒量的相关问题， 并用定理形式给出了它们近似守恒律的完全分类 第四章，探讨了两类非线性扰动s i n e g o r o d o n 方程的近似n o e t h e r 对称和近似守恒量 以及相关问题，同时将它们的近似守恒律完全分类并用定理给出 2 西北大学硕士学位论文 第二章预备知识 在本章，我们主要介绍l i e b t i c k l u n d 对称算子，n o e t h e r 算子，局部守恒律等以及近似 l i e b t i c k l u n d 对称算子，近似n o e t h e r 算子，近似守恒律等相关概念和性质同时，简单介绍 了多种构造守恒律的方法 2 1基本理论 在本节中，我们将给出微分算子，e u l e r 算子，l i e b i i c k l u n d 对称算子，n o e t h e r 子以及 局部守恒律等基本定义 定义2 1 1 6 , 1 & 1 1 , 1 9 微分算子：令x _ ，j = 1 , 2 ，m 为m 个独立变量，“p ，= l ，2 ，m 是m 个 因变量，则“户关于x 7 的导数为：“岁= n ，( “，) ，甜名= m n j ( u p ) ，其中总微分算子为 以= 专+ “夕嘉+ “篁刍+ ，= 1 ，2 ，历并用u o ) , s - 1 表示s 阶导数丛，正如我们常 用的符号人表示微分函数的向量空间，下面的基本算子均是定义在a 上的 定义2 2 1 6 a & h , 1 9 1e u l e r 算子的定义如下： 嘉= 专+ 萎，( _ 1 ) u ，叱番，- l ，2 ，m 定义2 , 3 1 6 , 1 & 1 1 , 1 9 l i e b t i c k l u n d 对称算子为： h 寺刀刍+ s l 彘， 其中，铭定义为： = m ( 刁，) 一“夕m ( 孝飞铭f i = m ( 铭“) 一“忿钿以( 手) ，s l l i e b i i c k l u n d 对称算子可以改写成特征函数形式： 卜善n l + c o # 矿0 + 萎“州) 赤 这里，缈卢= r l ，一孝“f ，= 1 ，2 ，m 是l i e 特征函数 定义2 4 1 6 j 8 , 11 , 1 9 l i e b l i c k l u n d 对称算子伴随的n o e t h e r 算子为： p = 孝+ 国户寿+ 萎，n i t 扎( 缈声) 3 ，i = 1 ，n 赤 第二章预各知识 而在这里的e u l e r 算子刍是 寿= 寿+ 善，r n j tn j n j , 去卜啦，川幺，肘 考虑k 阶微分方程( p d e s ) e ( z ，“，“( 1 ) ，“( i ) ) = 0 ，= 1 ，2 ，m ( 1 ) 其中x = ( 五，吒) ，“= 1 ，”) ，u 0 ) 表示甜的f 阶偏导数 定义2 5 【6 1 8 ，1 1 1 9 】m 元向量日= ( 日1 ，日2 ，日) ，h j 人，= 1 ，2 ，m 使得 m h = o ( 2 ) 对于方程( 1 ) 的所有解成立，从而方程f 日f i ( 。) = o 称为局部守恒律 存在两类平凡的守恒律：一类是对于方程( 1 ) 的所有解方程f 7 = 0 中的m 元向 m _ n = ( 日1 ，h 2 ，日) ，日，人，j = 1 , 2 ，聊本身为o ；另一类是：对于任意函数的散度形 式方程m 日= 0 均成立 2 2 构造守恒律的方法 在本节，我们给出几种不同的构造微分方程( 组) 的守恒律的方法，为我们构造微分 方程( 组) 的守恒律提供的极大的便利但是，各种方法各有特点，适应于不同类型方程的 方法而且，构造守恒律的方法的不断创新，为我们解决扰动方程的问题提供了新的思路， 开阔视野 2 2 1 直接法帕 假若满足方程( 1 ) ，则直接构造法使方程( 2 ) 作为决定方程求解守恒向量，即为了 确定日1 ，日2 ，日m ，我们解m 日l = o 2 2 2 n o e t h e r 法【3 】 n o e t h e r 定理是一种简洁优雅构造守恒律的方法如果存在函数 g ( 工， ，“( 。) ，“( ：) ，“( ，) ) 人，s 后，使得方程( 1 ) 等价于万8 g = o ，= 1 ，2 ，m ( 3 ) 则函数g 称为方程( 1 ) 的l a g r a n g i a n 函数，方程( 3 ) 为对应的e u l e r - - l a g r a n g i a n 微分 方程 4 西北大学硕士学位论文 如果存在向量，= 旷1 ，2 ，f 8 ) ，使得h g ) + 叫( ) = m ( f 7 ) ( 4 ) 成立，则l i e b t i c k l u n d 对称算子是一个n o e t h e r 对称算子并且伴随有( 3 ) 的l a g r a n g i a n 函数 每一个n o e t h e r 对称算子并且具有伴随有已知的l a g r a n g i a n 函数。且l a g r a n g i a n 函数 对应有e u l e r - - - l a g r a n g i a n 方程，则有对应的向量t = ( r 1 ，丁2 ，t 4 ) 和分量丁可以定义为 如下的等式： 如一g 卅一g - n r p 嚣+ 驴一n t , ( c o p ) 最( 5 ) 这里向量t = ( t 1 , r 2 ，t “) 就是e u l e r - - - l a g r a n g i a n 微分方程( 3 ) 的守恒向量 在n o e t h e r 法中，假若我们找到l a g r a n g i a n 函数g ( 石，“，“( 1 ) ，“( 2 ) ，“( ，) ) ，则可以用其来 找n o e t h e r 对称的决定方程，最后由( 5 ) 可以找到对应与n o e t h e r 对称的守恒向量这里 n o e t h e r 对称生成子的特征万卢就是守恒律的特征 2 2 3 特征法队伽 守恒律- - f 以写为特征形式：m t = v 芦e 卢 oo ( 6 ) v 声是特征，这里的特征是使 得方程恰当的乘子 2 2 4 变分法6 1 考虑变分导数告( e 卢) = 0 ( 7 ) g u “ 条件( 7 ) 对任意的函数“( x l x r ) 成立所有的乘子都可以在( 7 ) 的帮助下计算出 来，从而方程可以表示为局部守恒律 2 2 5 微分方程解空间上的变分法n 1 在微分方程的解空间上，可以计算出方程( 6 ) 的变分导数，也就是说， 嘉( e 吲以。= o “( 8 ) 与条件( 7 ) 相比，条件( 8 ) 有较少的超定，并且由( 8 ) 计算的特征有可能对应的不是方 程的守恒律而是伴随对称 2 2 6 对称和守恒律的关系嘲 微分方程的l i e b t i c k l u n d 对称算子和守恒向量之间的基本的关系决定于下面等式： 第二章预备知识 y ( r ) + ，( f 。) r 一，( 乡) r 7 = 0 ( 9 ) 结合n , h f ，= o 和( 9 ) 式可以找到守恒向量r 这就相当于给直接法增加一个对称条件 2 2 7 直接构造法0 1 s c a n c o 和g w b l u m a n 有效利用p j o l v e r 书中给出的乘子，给出了可以表示为 c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 形式的偏微分方程的局部守恒律的一种算法这种方法并不要求使 用变分导数甚至也不要求其存在性 假若微分方程( 1 ) 是可解形式，且因变量“，关于独立变量t 是纯导数，而“，得其它 导数( 混合导数) 关于独立变量，是低阶的贝i j 方程( 1 ) 就是c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 形式 对于一阶的c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 形式的偏微分方程系统 么4 = 等+ 船，嘶脚) ，一) = 叩= 1 ，2 ，m 任意一个非平凡标准形式的非平凡守恒律的守恒向量可以有已知的乘子提供： z = r ( “口一荭口) q 口 “( a ) i d a , + t ；j ( a t ，名x ) d 元 ，= z i 名“j ( a , t ，力z ) d 名十 c 甜一t “l , q uc ”】；h uc a ) 】 + c f 【“一万，h u ( 五) 】一2 h u 】+ ( 1 一五) 历，；q “( 五) 】) d 2 2 2 8 部分n o e t h e r 法侧 如果微分方程的标准l a g r a n g i a n 函数不存在或者很难找到，那么我们可以把它改写 为部分l a g r a n g i a n 函数并且通过部分n o e t h e r 法推导出方程的守恒律 假定七阶微分方程( 1 ) 可以写成e 卢= 群+ 砰= o ( 1 0 ) 如果方程( 1 ) 可以写成号= 醪邵，假定对于某个，群o 则函数 g = g ( x ，材，”( 1 ) ，嘶2 ) ，一，“( 神) ea ，g 尼称为方程( 1 ) 的部分l a g r a n g i a n 函数；磋是可逆矩 阵从而满足 耶) + 叫( o = n j ( f ( 矿叫彬筹，扛l ，2 ，聊；口= 1 ，2 ，m ( 1 1 ) 的l i e b i i c k l u n d 对称算子y 就是部分l a g r a n g i a n 函数对应的部分n o e t h e r 算子微分方程 系统( 1 ) 的守恒向量可以由( 5 ) 确定这里，方程具有部分l a g r a n g i a n 函数对应的部分 n o e t h e r 算子，同时守恒律的特征就是万口 6 西北大学硕士学位论文 2 2 9 微分方程组及其伴随方程组的n o e t h e r 法【1 2 , 1 3 】 假定k 阶微分方程( 1 ) 的伴随方程定义如下： e 芦( 工，“，“( 1 ) ，“( i ) ，) = 0 ，= 1 ，2 ，m ( 1 2 ) 在岫气( 1 ) ， 妒孙) ) - 警肛1 ，2 ，m z _ z ，z - z 2 ，) 是新的 因变量 假若方程( 1 ) 有生成子：y = 羔+ 矿击 ( 1 3 ) ，则i f - 随系统( 1 2 ) 有 c wo u 7 算子：x = 昙+ ，7 卢嘉+ 矿卢参，矿= 一( 筇z 8 + z a f ( 孝f ) ) ( 1 4 ) ( 1 4 ) 是( 1 3 ) 关于变量z p 的延拓，乃可以从】，芦) = 乃e 口得到 2 3 近似守恒律和近似守恒向量 在本节中，我们将给出对应与2 i 节的l i e b l i c k l u n d 对称算子，n o e t h e r 算子以及局部 守恒律等的近似的相关概念，并发现了近似l i e b a c k l u n d 对称算子成为的近似n o e t h e r 型对称算子等价条件，更重要的是我们给出了部分l a g r a n g i a n 函数更精确的定义，这些为 我们研究扰动方程的近似守恒律提供了理论和方法上的支持，而且理论创新能极大的推 动偏微分方程各种问题的解决，为数学的创新提供不竭的动力 首先，我们考虑k 阶的具有小参数占的扰动偏微分方程( p d e s ) e p ( x ，“，“( 1 ) ，；占) = o ，= 1 ，2 ，m 一 ( 1 5 ) 其中石= “，t ) ，甜= 1 ，甜m ) ，致d 表示甜的，阶偏导数 定义2 6 1 5 , 1 6 , 1 刀k 阶近似“e b l i c k l u n d 对称算子为： y = y 0 帆+ y 一专专+ s l 彘( 1 6 ) 近似“e 。b ；i c k l u n d 对称算子( 1 6 ) 可以改写成特征函数形式： y = 孝f + 专+ 萎j i f j ( ) 瓦惹一 ( 1 7 ) 这里缈= 细1 ，缈2 ，6 0 埘) ，缈，人是y 的特征，彩= i + e c o ；4 - e 碰，i = 1 ，脚， 6 0 b 口= 瞻一“歹是l i e 特征函数 定义2 7 【1 5 ，1 6 ，1 刀近似l i e b i i c k l u n d 对称算子y 伴随的近似n o e t h e r 算子为： 7 第二章预备知识 = + 矿寿+ 萎f j ( 扩) 瓦岳，= l ，m ( 1 8 ) 定义2 8 1 1 5 1 6 1 7 1 当向量何= ( 日1 ，日2 ，h ”) ，且日= h j + d - 卜占日：时，若日满足近似 方程m 日l o s ) = o ( e “1 ) ( 1 9 ) ，则称向量日是方程( 1 9 ) 的近似守恒向量，方程( 1 9 ) 为方程( 1 5 ) 的近似守恒律 假若方程( 1 5 ) 可以写为下面的形式e 卢= 瑶+ s 群= o ，= 1 ，m ( 2 0 ) 定义2 9 1 6 1 7 1 如果存在函数g = g ( x ，“，“( 1 ) ，“( ，) ) 人，l k 和函数z p 使得方程( 2 0 ) 可以写为譬= 群+ e a 掣其中，z 芦= z p ( x ，“，“( 1 ) ，“( ) ) ，z 芦人，i = 0 ，1 ，z 声是一个 绷 可逆函数假定砰0 ，则g 称为方程( 2 0 ) 的部分l a g r a n g i a n 函数；否则它是标准 l a g r a n g i a n 函数 我们将下面形式的微分方程定义为部分e u l e r - l a g r a n g i a n 方程： 誓：石霹+ “砰一 ( 2 1 ) 称堕8 u = s z 群为近似e u l * l a 鲫g i a n 方程；_ 8 g = f o e 卢o e u l e r - l a g r a n g i a n o u 方程；孚：o 为标准e u l * l a g r a n g i a n 方程 定义2 1 0 1 5 j 6 , 17 j 部分l a g r a n g i a n 函数g 的近似l i e b i i c k l u n d 对称算子( 1 6 ) 称为近似 n o e t h e r 型对称算子当且仅当存在向量f = ( ，1 ，f 2 ，f ”) ，f 人，f = + + s ， 使得 y ( 6 3 + 叫( 卵= 矿等+ m ( ，) + 。( 1 ) ( 2 2 ) 定理1 1 5 , 1 6 , 1 7 】近似l i e b i i c k l u n d 对称算子( 1 7 ) 是方程( 2 1 ) 的部分l a g r a n g i a n 函数 g 的近似n o e t h e r 型对称算子等价于特征函数国也是守恒律f 日| ( 1 5 ) - o p “1 ) 的特征 函数h i = f i g + 扩击+ + o ( g “1 ) ，f _ 1 ，刀是部分e u l e r - l a g r a n g i a n 方程( 2 1 ) 的 砌! 近似守向量 注1 对于i = 1 , 2 ，直到占的一阶项h = 碰+ s 研， 西北大学硕士学位论文 4 = ( e + 田) 一g ：( 器+ 簖) + q o + 一嗤+ 簖心一( 菇+ 簖心】字 吼 砰= 簖+ 四) 一+ 暂) + r i o + e o l 一繇+ 簖心一瑶+ 簖地 孚( 2 3 ) 哟 这里我们考虑部分l a g r a n g i a n 函数g 依赖于所有的变量以及因变量的一阶导数 9 第三章非线性扰动波动方程的近似守恒律和守恒向量 第三章非线性扰动波动方程的近似守恒律和守恒向量 在本章，我们主要讨论如何利用部分l a g r a n g i a n 函数法构造非线性波动方程的近 n o e t h e r 对称和近似守恒向量和守恒律；并且发现非线性波动方程的近似守恒律和守恒 向量存在一般的表示形式这为我们了解方程的性质大大的提供了便利，有利于我们从新 的视角看待这类问题 3 1 带有阻尼项的非线性波动方程的近似n o e t h e r 对称和近似守恒律 本节研究方程f 2 6 】：= ( 揪m _ 1 蚝l 一础， ( 2 4 ) 为了利用部分l a g r a n g i a n 函 数法构造出扰动方程( 2 4 ) 的近似守恒律和守恒向量，需要对m 进行分类讨论 第一类当m = 2 时，方程( 2 4 ) 就成为蚝= ( 2 u x l q。( 四 方程( 2 5 ) 允许部分l a g r a n g i a n 函数g = u u ；一，1 u ；存在，从而部分e u l e r - l a g r a n g i a n 方程为：孚：“，2 + u # - - ( 2 “，) ，：一翻，+ “，2 由方程( 2 2 ) ，对f ：1 ，2 ；：1 ，2 ，我们可以得到： ( yo + 占y1 ) g + n f ( 孝：+ 占孝? ) g = ( 7 7 0 c j u ，) + 占( 刁l 一孝1 7 “，) ( 占“，+ u ：) + ，( b ：+ 占b ：) ( 2 6 ) 这里 y = v o + 粥= ( 器+ 瑶1 ，瓦0 + ( 等+ 簖) 昙+ ( r o + 6 r t ) 云+ 知毒+ f 锄a _ l 。 氏= r l o f + r l 帆u f 一( 昆+ 器“u f ) 一( 兔+ 昆吩) “工一占 7 7 l f + 7 7 1 “一( 矗+ 乱) 甜f 一( 昴+ 彘“，) 一鲁一异】+ s ( 等+ 舁) ， f l = r l 帆+ 刀o “u 工一( 器工+ 磊“u 工) 一( 妊+ 磊2 。“j ) 掰工一s 7 7 l j + r l 甜u j 一( 昆+ 昆“工) “， 一( 靠+ 彘扰j ) “工一等犯红一等“就 + s ( 爿“船+ 舁“麒) 方程( 2 6 ) 变成下面的具体形式： “；+ 占碾“；一g u ，+ 2 g u u 工+ g 器，+ 器。+ s ( 盆+ 乱) 】+ g 昆+ 磊2 。氓+ g ( 最十磊2 。蚝) 】= 一磊+ 器2 叱+ s ( 仍- 等u ，+ 等) 】( 一+ ) + 或，+ 磁。u ，十刀丞+ b u 2 。“j + s ( 硗+ 纠1 。) + g ( 召0 + 硫“工) ( 2 7 ) 然后，我们将g ，知，白代入方程( 2 7 ) ，并令占2 = 0 经过化简，整理，我们可以得到如 下方程： l o 西北大学硕士学位论文 i 1 白! 。吩3 + ( 昙盆+ i 1 白2 。z 一。一器一i 1 白2 ，2 + ( 甜纪+ 等) z e + 【( - 2 甜晃+ 磊一磊) z + ( 川昆+ 茸磁+ 一跣一，h + ( 吲+ “篇+ 2 u r l 。澎+ ( 一硫+ 2 u r t ，) 略一或一硪 占 + i 1 白i 。彳+ 昆+ 器1 j 2 + ( - = 犰器x + 器2 ，) 蚝一r o , - 4 。】+ ( 二1 鲕2 。蚝- r o 。一i 1 知2 + i 1 旬! j 珥2 一磁一磁+ 一昆+ 磊2 ，畋3 + ( 2 甜。一瑶+ 甜器，) + ( 一磁+ 2 u r o ，) 畋= o ( 2 8 ) 在( 2 8 ) 式中，使得占零阶项的系数以及u 所有一阶偏导数单项式的系数均为零则有下列 的决定方程组： 昆= o ，鼠= o 芝1 缸1 + 一三最= o ，篇一“器。= o , - u 螽。乞+ 等= o ，_ 2 甜昆+ 彘= 0 一编，一磁。= 0 , 2 u r o 。一“鼠+ “晶= o ，j 5 i 乙+ 2 u r o 工= 0 ，_ 磁，一且乞= o 解上述决定方程组得： 乡：= 0 ，孝孑= 0 ，r lo = ( clx +c 2 ) f + c3x +c 4 ， bi ：= 一( c lx +c 2 ) u + p ( t ，x ) ，b 孑= ( clt + c3 ) u2 + f ( t ，x ) 这里c f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为任意常数，砸，功，厂，力是微分函数f 1 e , + 正= o 因此，我们得到方程非扰动时n o e t h e r 对称算子： y o = 【( c l 工+ c2 ) t + c 3 x + c 4 】姜l 现在，我们再将g 鲕，白，磊= 0 等= o ，= 心x + 乞弦+ 掣+ c 代入方程( 2 8 ) ，同样，使s 的一阶项的系数以及u 的各阶导数的单项式的系数同时为0 则我们有决定方程组： 先= o ，孝三= 。+ 虿1g 。1 ，一虿1 g ，2 j = o ，一“兄+ 孝? = o ， ( c l 石+ c 2 ) f + c 3 x + c 4 一“孝三+ 孝1 2 = o ，一2 “孝- + 孝0 = 0 , - b ? t b 0 = 0 决定方程组的解为： 。 孝? = 0 ，孝1 2 = 0 ，叩l = ( c l 工+ c 2 ) f2 + ( c 5 + c 6 x ) t + c 7 + c 8 x b ? = ( c 4 + c 3 x c 5 一c 6 x ) “+ i ( t ，x ) ，口? = 【i 1c i f 2 + c 6 f + c 8 】“2 + j ( t ，x ) 这里q o = 1 , 2 9 一 9 8 ) 为任意常数，f ( f ，x ) ，j ( t ，x ) 是微分函数且+ 六= o 从而，我们找到了方程( 2 5 ) 部分l a g r a n g i a n g 伴随的近似n o e t h e r 对称算子的一般 表示形式： y = 【( c 。石+ c 2 ) f + c 4 + c 3 石】丢州