（应用数学专业论文）duffing系统的复杂动态.pdf

摘要 本文应用动力系统的分支理论，二阶平均方法，m e l n i k o v 方法和 混沌理论，研究带五次非线性恢复力、一个外力和一个激励的d u f f i n g 方程，并给出在周期扰动下系统产生混沌的准则，在蛐= 撇+ 嚣= l ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 的拟周期扰动下平均系统产生混沌的准则，数值模拟验 证了理论结果正确性，丽用平均方法不能给出在留一，! l z t ) 1 ，霸= 5 ，7 ，9 1 5 的拟周期扰动下产生混沌的准则，但数值模拟显示了原系统 出现混沌同时，用数值模拟( 包括同宿和异宿分支曲面，分支匿，最 大l y a p u n o v 指数图，相图，p o i n c 6 r e 映射图等) 发现了许多新的复杂动 态这包括逆周期倍分支到混沌，混沌行为和周期窗掰的交替出现， 混沌的突然消失，带有周期窗口和不带周期窗口的大范围混沌区域， 对称的混沌区域，不带周期窗曙的不变环，以及内部危机同时，我 们所给出的混沌吸引子和不变环揭示了系统的新的动态 全文共分3 章第1 章简单介绍了d u f f i n g 方程的一些历史背景知 识 第2 章是关于连续动力系统的分支理论、二阶平均方法、m e l n i k o v 方法与混沌理论的预备知识 第3 章应用二阶平均方法和m e l n i k o v 理论研究具有一个外力和一 个激励的d u f f i n g 方程，给出了周期扰动下系统产生混沌的准则，在 u = n o ) l 十e n 黼l ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 的拟周期扰动下平均系统产生混沌的准 则，面不能给出在掣= n o d ：+ 弘髓= 5 ，7 ，9 1 5 的拟月期扰动下产生混 沌的准则，但数值模拟显示了原系统出现混沌 关键词：d u f f i n g 方程，m e l n i k o v 方法，二阶平均方法，分支， 混沌 d u f f i n ge q u a t i o nw i t hf i f t hn o n l i n e a rr e s t o r i n gf o r c ea n do n ee x t e r n a lf o r c - i n gt e r m ，i n c l u d i n gp a r a m e t r i ce x c i t a t i o nt e r m si si n v e s t i g a t e di nd e t a i l t h e t h r e s h o l dv a l u e so fe x i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o na r eo b t a i n e du n d e rt h ep e r i o d i c p e r t u r b a t i o n b ya p p l y i n gt h es e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o da n dm e l n i k o v m e t h o d ，w ep r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si na v e r a g e ds y s t e mu n d e r q u a s i 。p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o r 忱= 7 1 4 m 1 + e u , 礼= 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 ，a n dc a n n o t p r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si ns e c o n d - o r d e ra v e r a g e ds y s t e mu n d e r q u a s i p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o r 忱= 似，1 + e 王，几= 5 ，7 ，9 1 5 ，b u tc a ns h o w t h eo c c u r r e n c eo fc h a o si no r i g i n a ls y s t e mb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n n u m e r i c a l s i m u l a t i o n si n c l u d i n gh e t e r o c l i n i ca n dh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o ns u r f a c e s ，b i f u r - c a t i o n 出耻田如陷，l y a p u n o ve x p o n e n t ，p h a s ep o r t r a i t sa n dp o i n c s r em a p ，n o t o n l ys h o wt h ec o n s i s t e n c ew i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sb u ta l s oe x h i b i ts o m e n e wc o m p l e xd y n a m i c s i n c l u d i n gt h er e v e r s e dp e r i o d i cd o u b l i n gb i f u r c a t i o n l e a d i n gt oc h a o s ，a n dt h ei n t e r l e a v i n go c c u r r e n c e so fc h a o t i cb e h a v i o r sa n dp e - r i o d i cw i n d o w s ，t h ec h a o s s u d d e n l yd i s a p p e a r i n g ，t h el a r g ec h a o t i cr e g i o n sw i t h p e r i o d - w i n d o w sa n dw i t h o u tp e r i o d - w i n d o w s t h ea l m o s ts y m m e t r i cc h a o sr e - g i o n s ，t h er e g i o no fi n v a r i a n tt o r u sw i t h o u tp e r i o d - w i n d o w s ，a n dt h ei n t e r i o r c r i s i s w ea l s og i v e nt h ec h a o t i ca t t r a c t o ra n di n v a r i a n tt o r u sf o rs h o w i n gt h e d i f f e r e n td y n a m i c a lb e h a v i o r s t h ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h e b a c k g r o u n d sa n dh i s t o r i e so fd u f f i n gd u f f m ge q u a t i o n s c h a p t e r2i st h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g e ab r i e fr e v i e wo fs e c o n d - o r d e r a v e r a g i n gm e t h o d sa n dm e l n i k o vm e t h o d s c h a o sa n ds o m er o u t e st oc h a o sf o r c o n t i n u a ld y n a m i c a ls y s t e mi sp r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，w es t u d yd u f f i n ge q u a t i o nw i t he x t e r n a lf o r c i n ga n dp a r a - m e t r i ce x c i t a t i o nt e r m sb yu s i n gs e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d sa n dm e l n i k o v m e t h o d s t h et h r e s h o l dv a l u e so fe x i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o na r eo b t a i n e da n - i i d e rt h ep e r i o d i cp e r t u r b a t i o n ，a n dt h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si na v e r a g e d s y s t e mu n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o ro = 黝l + e u , 魏= l ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 ， a n dc a n n o tp r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o su n d e rq u a s i p e r i o d i cp e r - t u r b a t i o nf o r 娩= 删l + e u , 讫黧5 ，7 ，9 1 5 ，b u tc a l ls h o wt h eo c c u r r e n c eo f c h a o si no r i g i n a ls y s t e mb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n k 呵w o r d s ：d u 髓m ge q u a t i o n ，m e l n i k o vm e t h o d s ，s e c o n d - o r d e ra v e r - a g i n gm e t h o d s ，b i f u r c a t i o n s ，c h a o s i i i 湖南隳范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得酶成果除文中已经注明罨l 用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作晶成果。对本文的研 究做出重要贾献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识裂本声蹋的法律结暴由本人承担。 学位论文作者签名：写建新2 舻萨彦年月彦目 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文佟者完全了解学校有关保餐、使露学位论文的规定，两意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阏。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分阿骞编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属予 1 、保密叠，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密毗 ( 请在以上相应方框内护扩) 作者签名：豸嬉、熹章嚣期：2 参妒肄参月塞墨 导师签名：研辫伏日期：驴缛多月7 日 ? 6 1 d u f f i n g 系统的复杂动态 1 绪论 1 9 7 9 和1 9 8 0 年m o o n 和h o l m e s 4 0 ，4 1 1 研究丁如下形式的d u f f m g 方程 奎黪一z ，蕊- ) , c o s w t ， ( 1 1 ) 方程( 1 1 ) 为模拟在两个永久性磁铁的不一致场中的一个支架的受迫 振动的最简单模型，其中艿是阻尼项，? 和。分别为受追力的振幅和频 率。h o l m e s 等【圭雹应焉二阶平均方法研究了带负的线性顼的d u f f i n g 方 程，得到随着外力的振幅和频率及耗散项的变化，在平衡点的附近周期 轨的演化，失去稳定性，发生周期倍分叉和次临界和超临界分支j i n g 和w a n g 1 9 研究了带两个外力和非线性项为五次项的d u f f l n g 方程，他 们得到周期倍分叉和逆周期倍分叉，混沌突然出现，暂态混沌和奇怪 的非混沌吸引子，依赖于频率，振幅和耗散的c r i s i s y a g a s a k i 6 4 1 研究具 有三次菲线性项和两个频率扰动的d u f f m g 方程，应用m e l n i k o v 函数， 讨论锁相对动态的影响，得到当扰动比较小时 可能产生不变环如果 这不变环不是由锁相产生，则由稳定流形和不稳定流形横截相交产生 混沌，如果这不变环是壶镁相产生，则稳定流和不稳定流之阗横截相 交产生的混淹可能会被打断文【2 4 ，6 0 】也给出了丰富的分支集结构， 周期解的分支，带有复杂的周期窗口的混沌行为然而，对于带有五次 非线性项的d u f f i n g 方程的研究目前所做的工作甚少本论文中的第 三章考虑了带有一个激励项和一个外力的d u f f m g 方程 奎+ 妇+ 胡z + p 【l + 智c o s ( 叻+ 妒) 】矿+ q 矿徽，c o s ( 1 t ) 得到了新而重要的结果 d u f f m g 系统的复杂动态 2 预备知识 动力系统是描述动态行为随时间或参数的演化而变化的系统近 四十年非线性动力系统理论有了很大的发展，并且广泛地应用于物理， 化学，数学，生物，医学，经济以及各种工程学科目前动力系统理论中 分支理论和混沌理论已成为活跃的研究领域并且其中有许多挑战性 的问题需要我们去研究 2 1 平均方法 平均方法是研究周期轨分支的一种方法，最早由k r y l o v 和b o g o l i u b o v 给出，它对于弱非线性问题或者是线性振子的小扰动问题的周 期轨分支的研究是特别有用的在一定的条件下，动力系统的一些性 质可由平均方程的性质而获得 考虑微分方程 圣= e y ( z ，e r , t ，w t ) + e 2 9 ( x ，况，u 亡) ，z = ( t 正，刀) t r 2 ，0 e 1 ，( 2 1 1 ) 其中，( z ，丁，0 ) 和夕( z ，t 7 0 ) 是伊，r 3 ，在有界集上有界，且关于丁，口是 以t 为周期的周期函数。系统( 2 1 1 ) 包含一个快时间t 和一个慢时间 矗 当= 0 时，方程( 2 1 1 ) 成为 主= ，( z ，t ) + e 2 9 ( x ，芒) ，z = ( 也，口) t r 2 ，0 e 0 ，h b 。m a r o t t o 意义下的混沌定义( 搿7 】) ， 假设f ：舻_ 舻为一可微映射令d f ( x ) 表示f 在点x 的 j a c o b i 矩阵，l o f ( x ) | 表示9 f ( x ) 的行列式鼠) 表示以x 为中心， 以r 为半径的闭球设f 在耳( z ) 上可微称z 是f 在b r ( 刁中的 扩张的不动点，如果f ( z ) = z ，任取x 马( z ) 有d f ( x ) 的所有特征 值的模大于1 设z 是f 在犀( z ) 中的扩张的不动点，称z 是f 的 s n a p - b a c kr e p e l l e r ，如果存在一个点x 0 日( z ) ，使得x o z ，对某个正 整数m ( 1 ) 有f 斟( x o ) = z ，并且l d f 掰( ) l 0 定义2 如果f 有一个s n a p - b a c kr e p e l l e r ，那么f 是混沌的也就是说， ( 王) 存在某个正整数，使得对每个正整数p n ，f 有周期p 的点； ( 2 ) 存在一个“s c r a m b l e d ”集，即f 有一个不含周期点的不可数集s 满 是： 9 - 硕士学位论文 ( a ) f 【司cs ， ( b ) 任取x ，y 量x y ，有 l i m s u p | f k 僻) 一f 七( y ) | 0 ， k - - - * o o ( c ) 任取x s ，及f 的任意周期点y ，有 l i m s u pl p ) 一f 奄( y ) l o ； k - - - , o o 3 ) 存在个不可数子集岛cs ， 壬取x ，y 岛，有 l 和i 墨fi f 七( x ) 一f 七( y ) i = 0 c d e v a n e y 意义下混沌的定义( 【3 d 设x 是一个度量空间，cx 。先给出拓扑传递和对初值具有敏 感依赖性的两个定义称，：j _ l j r 是拓扑传递的，如果对任意的开集 阢vcj ，总存在k 0 使得，知缈) nv 称f ：j _ l ，对初始条件具 有敏感依赖性，如果存在6 0 使得对任意的z 了和z 的任一邻域 ，总存在yen 和死0 满足l 广，”( 箩) l j 定义3 设x 是一个度量空间称连续映射，：x x 在x 上是混沌 的，如果 ( 1 ) ，是拓扑传递的， ( 2 ) ，的周期点在x 中是稠密的， ( 3 ) ，对初始条件具有敏感依赖性 d p t o u h e y 意义下混沌的定义( 【5 5 】) 定义磊。设x 是个度量空间称连续映射f ：x x 在x 上是混沌 的，如果任取x 的两个非空开集u 和y ，总存在一个周期点p u 和 一个非负整数k 使得歹是翰v ，也就是说x 的任意一对菲室开子集 都包含同一个周期点的一部分轨道。 e 。w i g g i n s 意义下的混沌 6 2 1 ) 考虑舻上的伊p 1 ) 自治向量场或影射 圣= ，( 2 3 1 ) 1 0 d u f f m g 系统的复杂动态 或 z _ g ( x )( 2 3 2 ) 设妒( t ，z ) ，t 0 是由( 2 3 1 ) 生成的流，人c 舻是妒( t ，z ) ( 夕( z ) ) 下的一 个紧致不变集称妒( ，z ) ( 9 ( z ) ) 对人上的初始条件具有敏感依赖性，如 果存在 0 使得对任意的z 人和z 的任意邻域u ，总有y u 和 t o m 0 ) 满足l 妒( t ，z ) 一妒( t ，秒) i e ( 伊( z ) 一旷( ! ，) i ) 称一个闭的不 变集a 是拓扑传递的，如果对任意开集阢vca 有 存在t r 使得妒( t ，u ) nv 庐( 存在n z 使得旷( u ) nv ) 定义5 称人是混沌的，如果 ( 1 ) 妒( t ，z ) ( 9 ( z ) ) 对人上的初始条件具有敏感依赖性， ( 2 ) 妒 ，z ) ( 9 ( z ) ) 在a 上是拓扑传递的 2 通向混沌的道路 a 倍周期分又道路( a s ，a s ) 当参数6 在某一范围内时系统有一个周期为t 的稳定的周期轨， 随着参数的变化，当6 = 丑时，发生了倍周期分叉，原来稳定的周期 轨失去了稳定性，产生了新的周期为2 t 的稳定的周期轨随着参数 的变化，当j = 以，k = 2 ，3 ，时，出现了无穷序列的倍周期分叉， 产生周期为2 七t 的稳定的周期解，当此周期解失去稳定性时，出现了 新的周期为2 k + t t 的稳定的周期解随着倍周期分叉的进一步发生， 当6 = 如时，系统陷入混沌状态 b 喘息混沌道路( a s ，4 5 1 ) 当参数6 小于个临界过渡值曲时吸引子是个周期轨，当6 稍 大于西时，在很长时间内轨道呈现出是周期的而且非常接近6 西 时的轨道，但是，这种周期行为会被间歇性地打断，也就是说，轨道 会在短时间内产生截然不同的行为随着参数的进一步变化，这种打 断周期振动的行为所间隔的时间越来越短，最终周期轨消失，出现了 混沌 c 拟周期运动道路( 3 8 1 ) - 11 - 硕士学位论文 具有两个或多个不可约频率成分的轨道称为拟周期轨拟周期轨 的环面结构破裂可导致系统陷入混沌 d 稳定流与不稳定流横截相交而产生s m a l eh o r s e s h o e ”意义下的混 沌“6 2 1 ) 。1 2 一 d u f f i n g 系统的复杂动态 3 一个外力和一个激励作用下的d u f f i n g 系统的复杂动态 3 1 引言 本章考虑如下的d u f f i n g 系统： 童+ 如+ 胡z + p 【l + c o s ( 0 ) 2 t + 矽) 】z 3 + q 矿= fc 0 8 ( c d l )( 3 1 1 ) 其中6 ，卢，刀，u 。，忱，q ，f 和w o 是实参数在物理上，6 被看作是耗散 或阻尼因子，p 和a 是非线性强度系数，7 ，u ，和忱是外力的振幅和 频率，阮c o s ( w 2 t + 矽) 和fc o s ( 0 ) 。t ) 分别为参数激励和外力激励 系统( 3 1 1 ) 的一些特殊情形已经被广泛的研究，例如，当q = 0 , 7 = 0 时，p a r l i t z 和l a u t e r b o m 4 8 ，k e n f a r k 2 1 ，砒血o s 5 0 】，h o l m e s 和w h i t l e y 【1 4 】 发现该系统的丰富的分支集结构和多种由分支导致的调和运动，如次 调和、超调和及超次调和m o o n 3 5 】给出了上述结果的一个非常漂亮 的解释y a g a s a k i ( 6 3 1 一 6 9 1 ) 利用直到四阶的高阶平均方法，分析了该系 统1 3 和2 3 次的超次调和共振及四次调和与超调和共振，给出了一 个改进的m e l n i k o v 方法，并应用这种方法研究了尖点分支处的共振行 为j i n g 等【1 ，1 9 ，1 7 ，2 0 ，3 4 ，3 6 】研究了d u f f i n g 系统周期轨的分支及复 杂动态，给出了初步的混沌动态和数值模拟结果，但是对系统( 3 1 1 ) 带有参数激励的动态研究，目前工作甚少 在本章中，我们考虑系统( 3 1 1 ) 随参数变化时的动态行为利用 【8 ，2 8 ， 2 9 ，6 3 中的分支和混沌理论，研究系统( 3 1 1 ) 在周期和拟周期 扰动下的分支和混沌；运用m e l n i k o v 方法给出系统( 3 1 1 ) 在周期扰 动下混沌的存在条件；利用二阶平均方法和m e l n i k o v 方法，证明在当 w 2 = 删1 + e z ，扎= 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 时的拟周期扰动下的系统( 3 1 1 ) 的平均 系统混沌的存在条件当忱= 舢1 + l ，n = 5 ，7 ，9 1 5 时系统( 3 1 1 ) 的 二阶平均系统是自治的，因此不能用m e l n i k o v 方法证明混沌的存在性 但是数值模拟显示系统( 3 1 1 ) 出现混沌同时，我们给出了数值模拟 - 1 3 - 硕士学位论文 包括不动点的分支图，同宿和异宿分支曲面，分支图，l y a p u n o v 指数，相 图和p o i n c a r 每映射，不仅验证了理论结果，而且发现了更多新的动态， 如：逆周期倍分支到混沌，混沌行为和周期窗口的交替出现，混沌的 突然消失，带有周期窗疆和不带周期窗口的大范围混沌区域，对称的 混沌区域，不带周期窗口的不变环，以及内部危机；同时，我们所给 出的混沌吸引子和不变环揭示了系统的新的动态。 本章结构如下：第二节中给出系统( 3 1 1 ) 的未扰动系统的不动点 和裙图；第三茕应用m e l n i k o v 方法得到在周期扰动下由同宿和异宿 分支产生混沌的存在性条件；第四节，应用二阶平均方法和m e l n i k o v 方法给出拟属期扰动下平均系统的混沌存在条件；第五节给出了数 值模拟，不仅验证了理论结果，而且还发现了很多新的复杂动态 3 2 未扰动系统的不动点和相图 始果歹一露= 0 ，系统( 3 。1 。1 ) 是禾扰动系统 ；三二诺z 一声一& 矿 e 3 2 1 ， ( 3 2 王) 是h a m i l t o n i a n 系统，其h a m i l t o n i a n 函数为 日( z ，秒) = 三1 可2 + 产12 2 2 十夏1 p 工a 卞器1 碰扩 ( 3 2 2 ) 势能函数为 y = 知名2 + 乏1 p 焉4 中否1 理 3 ) 正量u 系统( 3 2 1 ) 的不动点( z ，0 ) 满足系统 ； 一瑶一触2 一a = 0( 3 2 4 ) 由( 3 2 4 ) 根的分析和系统不动点稳定性，可得到如下的结论。 d t d y m g 系统的复杂动态 引理1 1 ) a = p 2 4 a 胡 0 时为中心，当讲 o ，设钆2 = 土 兰扭笔兰进，勖，4 = 士 兰 墨二兰竺盔 ( 1 ) 当嵋 0 ，芦 0 时，系统( 3 2 1 ) 有 三个不动点鞍点s l ( o ，o ) ，中心g 扛，0 ) 和g ( z 2 ，o ) ； ( 2 ) 当嵋 0 ，a 0 ，口 0 ，卢 0 或( i i ) 瑶 0 ，p 0 的情况系统( 3 3 1 ) 或 ( 3 3 1 ) 的未扰动系统( 当= 0 鼙寸) 有两条同宿轨道喙和两条异宿轨 道r 恕扰动以后，闭的同宿轨道或异宿轨道会破裂，可能产生横截的 同宿轨道或异宿轨道。根据s m a l e - b i r k h o f f 同宿定理$ ，6 2 1 ，存在这样 的轨道就意味着可能存在混沌动态因此，应用m e l n i k o v 方法，研究系 统( 3 3 1 ) 的同宿或异宿分支以及混沌存在的条件假定未扰动的同宿 或异宿轨道为( x o ，y o ) = x o ( 圣) ，鲕( 亡) ) ，则系统( 3 3 1 ) 的m e l n i k o v 函数为 m ( t 0 1 = 一6l ：鼍y 2 0 ( t ) a t + ：譬跏 ) 旷c o s ( 0 l ( 亡+ t o ) 一祁c o s ( 0 + t o ) + 矽) ) 霜( t ) l d t ， ( 3 3 2 ) 其中t o 是p o m c 撕映射与横截面相交的时闻，t o 也可以解释为外力项 的初始b 寸i e 由于未扰动同宿轨道吃m 或异宿轨道r 毛的解析表达式 汹，y o ( t ) ) 很难给出，因此在数值模拟中我们数值计算翻( 0 和y o y o ( t ) 是关于时间t ( 一o o ，+ o o ) 的函数因此，选择同宿轨道r 和黔 轴的交点为一个初始点最，异宿轨道r 荛和妒轴的交点为初始点马， 对于同宿轨道y o ( t ) 关于时间是奇函数，而对于异宿轨道y o ( t ) 关于时 间是偶函数 对于同宿轨道r 急m ，y o ( t ) 是奇函数，m e l n i k o v 函数( 3 3 3 ) 可写为 磁( t o ) = 一2 弘一2 k 。( w 1 ) s i n ( w l t o ) 十2 牵& 。翻( 忱) s i n ( w 2 t o + 妒) ， 0 3 3 ) 一1 6 d i n t i n g 系统的复杂动态 当( 勋( t ) ，珈( t ) ) 给定时，a = 付y 0 2 ( t ) a t ，k ，t , d 1 ) = 付y o ( t ) s i n ( u l t ) d t 和 k 他) = 付y o ( t ) s i n 2 t ) d t 分别是关于频率u z 和忱= 删- ) 的 函致因此如果否 i 丛盘亟学幽i 或 6 0 并且充分小，则横截同宿轨道存 在，系统似只砂或p j 砂可能发生混沌 对于异宿轨道r 毛，y o ( t ) 是偶函数，则m e l n i k o v 函数( 3 3 2 ) 可以写 为 ( t o ) = 一2 5 b + 2 ，k t 。( u 1 ) c o s ( u l t o ) + 2 露厶矗：( u 2 ) s i n ( u 2 t o + 矽) ， ( 3 3 6 ) 其中b = 付y ( t ) d t ，k 。( u 1 ) = 廿y o ( t ) c o s p l t ) d t 和厶埘：) = p 付y o ( t ) s i n 0 2 t ) 霜( 芒) 出因此， 如果否 0 并且充分小，则横截异宿轨道存 在，系统p 3 j ，或p j 砂可能发生混沌 在第五章中，将给出分支曲面( 3 3 3 ) 在朋。( t o ) = 0 时和分支曲面 ( 3 3 6 ) 在m z ( t o ) = 0 时的数值模拟 - 17 - 硕士学位论文 3 4 拟周期扰动的混沌 本节考虑系统( 3 1 1 ) 在拟周期扰动下的动态行为。假定u - 和w 2 不 是有理数关系，此时找不到p o i n c a r d 截面，因而不能对原系统直接应用 m e l n i k o v 方法。因此，要利用二阶平均方法，将此系统转化为周期扰动 下的h a m i l t o n i a n 系统；再应用m e l n i k o v 方法得到平均系统( h a m i l t o n i a n 系统) 的混沌存在条件 ( 一) 平均系统 为了应用平均方法，系统( 3 3 1 ) 改写为 童+ 胡z = e 【p l 矿一q l 矿+ c o s ( w l t ) 一尻q c o s 2 t + 矽) 一】一e 2 ( 6 1 主) ( 3 4 1 ) 其中五= ，e 2 舌= 6 ，e 卢= 口，和e 丘= q 假设叻= 删1 + l ，与u 1 不 是有理关系令7 = 况，对系统( 3 4 1 ) ，应用v a nd e rp o l 的变换 ( ：) = ( c o s 1 0 ：，二妻：) ( 三) c 3 4 2 ， 和应用二阶平均方法以及作时间变换t 一击亡，对于n = l ，佗= 2 ，死= 3 ，n = 4 , n = 5 ( 7 ，9 1 5 ) ，n = 6 和礼= 8 得到系统( 3 4 1 ) 的平均系统如下 对于n = l 也= ( t 正，钉) + 南( 夕1 ( t 正，口) + 一2 0 u 1 6 v 舟2 7 2 ( t 正2 + v 2 ) 2 + 1 6 8 卢；? 7 2 乱( 乱4 + 6 u 2 v 2 + 5 v 4 ) s i n ( 2 v o t + 2 妒) + 1 6 8 所, 7 2 u ( u 4 2 u 2 u 2 3 v 4 ) c o s ( 2 v o t + 2 妒) ) = ( 锃，移) + ( 丸1 ( 锃，移) + h n ( u ，秽) + h 1 2 ( u ，秽) s i n ( 2 v o t + 2 矽) + h l a ( u ，移) c o s ( 2 v o t + 2 矽) ) 西= ，2 0 ，u ) + 赢( 夕2 ( u ，口) 一2 0 。1 6 u 卢一2 ( 牡2 + v 2 ) 2 - 1 6 8 f 坪r 2 v ( v 4 + 6 u 2 秽2 + 5 u 4 ) s i n ( 2 v o t + 2 矽) 一1 6 8 p 叩2 乱( 一钞4 + 2 u 2 v 2 + 3 u 4 ) c o s ( 2 v o t + 2 妒) ) = 五( 让，可) + e ( 危2 ( 心，秽) + h i 4 ( 让，v ) + h l s ( u ，移) s i n ( 2 v o t + 2 矽) + h 1 6 ( u ，v ) c o s ( 2 v o t + 2 妒) ) ( 3 4 3 ) 一1 8 对于佗= 2 ，其中面1 = e 7 7 n2 幻= ( u ，勘) + 磊磊西( 夕1 ( u ，钉) + 9 6 钉p 叼2 ( 也2 + 口2 ) 2 + 【2 p ( 一1 4 4 f l y ( u 2 + u 2 ) + u ( 9 7 a l t l u 6 + 8 7 3 q 1 ，7 u 4 秒2 + 1 4 5 5 a 1 7 u 2 v 4 + 6 7 9 a 1 删8 1 9 2 w 2 w ( u 2 + 3 v 2 ) + 1 2 6 f b ? ( u 4 + 6 u 2 v 2 + 5 v 4 1 1 9 2 u v w # 一5 7 6 v 2 u l u l 亓) ) 】s i n ( u o t + 矽) + 阳1 v ( 6 3 3 1 0 ( u 4 2 u 2 v 2 3 v 4 ) + 9 7 a l r l ( u 4 3 u 2 2 ，4 2 v 4 ) + 1 9 2 v 2 ( 吡叼+ 印 厅) ) 】c o s ( r o t + 矽) + 7 2 所叩2 u ( u 4 5 v 4 ) s i n ( 2 v o t + 2 矽) + 3 6 所t 2 u ( 一5 u t l o u 2 v 2 + 勋4 ) c o s ( 2 峋t + 2 矽) ) ( t 正，d ) + e ( 1 ( t 正，口) + h 2 1 ( u ，秒) + h 2 2 ( u ，秽) s i n ( 峋t + 矽) + h 2 3c o s ( 的t + 矽) + h 2 4 ( u ，口) s i n ( 2 u o t + 2 矽) + h 2 5 ( u ，u ) c o s ( 2 u o t + 2 妒) ) 五( u ，d ) + 南 夕1 ( 让，钞) 一9 6 筇；7 2 ( 扎2 + v 2 ) 2 + f 一2 3 v ( 6 7 9 a r u 6 + 1 4 5 5 a t u 4 v 2 + 8 7 3 a , y u 2 影4 + 9 7 a 1 町铲一1 9 2 w 2 r ( 3 u 2 + 移2 ) + 1 2 6 3 , r ( 5 u 4 + 6 u 2 口2 + 口4 ) 一5 7 6 u 2 u 露一19 2 v 2 u 亓) 】s 血( i 勺t + 妒) + 卜锣1 u ( 一1 4 4 f 一? u 一1 9 2 w 2 t u 2 + 1 8 9 p 1 露锃4 + 1 9 4 a 1 田牡6 + 1 2 6 f j q u 2 秽2 + 2 9 1 q x y u 2 口2 6 3 p l y v 2 9 7 q 1 r l v 6 1 9 2 u 2 u 亓) 】c o s ( u o t + 矽) + 7 2 3 1 2 7 2 秒( 一5 u 4 + u 2 ) 8 i n ( 2 v o t + 2 妒) 一3 6 p 2 ，7 2 缸( 3 u 4 1 0 舻 2 5 v 2 ) c o s ( 2 峋+ 2 矽) = ( 牡，秽) + ( 2 ( 牡，功+ 2 6 ( 扎，移) + h 2 z ( u ，t ，) s j n ( 峋+ 妒) + 弱c o s ( 比o + 矽) + 2 9 ( t 正，口) s i i l ( 2 峋t + 2 妒) + h 2 1 0 ( u ， ) c o s ( 2 u o t + 2 妒) ) ( 3 4 4 ) 对于n ：3 心= ，1 ，功+ 嚣蠢万 夕1 ( t 正，可) 一1 6 6 r 2 4 钉p 7 7 2 ( u 2 + 影2 ) 2 + 7 2 f l 扣2 u ( 一l o u 2 u 2 + 5 v 4 ) s i n ( 2 u o t + 2 砂) 一z 猡 叩2 v ( 5 u 4 一l o u 2 2 ，2 + 钞4 ) c o s ( 2 v o t + 2 妒) ， = ( t 上，u ) + e ( 1 ( t 正，t ，) + 九3 1 ( u ，可) + 3 2 ( u ，u ) s i n ( 2 v o t + 2 妒) + 3 ( t 正，刀) c o s ( 2 峋t + 2 妒) ) 西 =，2 ( u ，t ，) + 由( 9 2 ( 牡，凹) 一百6 6 r 2 4 “0 1 2 _ 2 ( u 2 + 秽2 ) 2 7 ：驴 7 7 2 v ( s u 4 一l o u 2 口2 + v 4 ) s i n ( 2 v o t + 2 矽) 一7 2 f l q 2 u ( 让4 一l o u 2 移2 + 5 v 4 ) c o s ( 2 v o t + 2 矽) ) = ，2 ( 也，功+ f ( ，2 2 ( 铭，移) + 3 4 ，z ，) + h 3 s ( u ，v ) s i n ( 2 v o t + 1 9 2 矽) + 3 6 ( 牡，刀) c o s ( 2 v o t + 2 矽) ) ( 3 4 5 ) 硕士学位论文 - _ l i - l _ - _ _ - _ - _ - - m ii ii i i ii i i _ - - _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ l _ _ _ _ _ _ - _ - - l _ _ - _ 对于魏拦4 ，其中魂= e 露 锃= 嚣= 矗如，髫) + 南 融芏未，一学蝴妒( 狂2 1 1 2 ) 2 十江锻( 6 矗露( 一铲+ 护) + 珏( 酝l 智+ 3 氆l r l u 4 v 聋5 理1 r l u 2 v 4 7 a i 露一黝2 r l ( u 2 3 移2 ) + 3 z 埔( u 4 5 v 4 ) - 8 u 2 峨霉+ 2 4 v 2 w 2 f i ) ) s i n ( r o t + 妒) + ( 一l 礁静( 一2 4 蹿铭+ 1 5 ，v i u 4 + 4 a l r i u e + 3 l 凇l f l u 2 v 2 + 2 0 a f f i u 毒栌一9 零i v v 毒+ 1 2 a l 辨产蛰毒一莲l 掣2 + 1 6 u 2 r ( - 3 u 2 + 秽2 ) 一4 8 u 2 u l 露+ 1 6 v 2 u l 霜) ) c o s ( r o t + 妒) 五( 铤，谚+ 矗l ，蛰) + h 4 1 ( u ，移) + 九4 2 ( u ，v ) s 洫( 2 均t + 2 妒) + k ( 珏，钉) c o s ( 2 v o t + 2 妒) ) 磊蕊，君) + 赢渤国，谚+ 警罐哮矿( 舻嚣2 ) 2 + 2 4 p l v ( 1 2 f f f l u 一1 5 夙r l u 4 7 a l y u e a r i u 4 v 2 十筇1 ，7 钉4 + 3 8 l r t u 2 v 毒e e l 矿手s 魄r l ( 3 u 2 一移2 ) 搿掰2 零一8 秽甜麓；s i 蠢砖害落 + ( 一1 2 p l ( 一1 2 叼( 钍2 一钌2 ) ) 十缸( 一1 6 叫2 r ( u 2 3 v 2 ) + 3 z l r l ( 3 u 4 一l o u 2 簦2 5 v 4 + 4 妇l r i ( u 6 3 u 毒留2 5 u 2 一轳) - 4 ( u 2 3 v 2 ) u 刁) ) c o s ( 峋t + 妒) ) 盎缸，管；+ e 渤国，静) + h 4 4 ( u ， 十，h 5 ( u ，”) s