（基础数学专业论文）用greentao的观点看奇数哥德巴赫问题.pdf

山东大学硕士学位论文 用g r e e n - t a o 的观点看奇数哥德巴赫问题 王英男 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 奇数哥德巴赫猜想的内容是：任何一个大于7 的正奇数都可以表 示成3 个素数之和这一问题被v i n o g r a d o v 【1 2 】在1 9 3 7 年基本解决 实际上v i n o g r a d o v 证明了对任何一个足够大的奇数佗都有以下公式 成立： l o g p l l o g p 2l o g p 3 = 1 6 ( n ) 佗2 + o ( 竹2 ( 1 0 9 亿) 一a ) ， p l - - p 2 + p 3 ” p l p 2 ，p 3p f n 这里a 是任意一个正数， 6 ( 仡) = ( ( 1 + ( p 1 ) 一3 ) ) i i ( 1 一( p 1 ) 一2 ) p 协p l ” 现在这个g o l d b a c h v i n o g r a d o v 定理已经成为了堆垒数论中的经典结 果随后v a nd e rc o r p u t 2 1 用类似的方法证明了素数中包含无穷多个 长度为3 的非平凡算术级数 1 9 5 3 年r o t h 【9 i 证明了另一个经典结果：设a 是整数的个子集； 如果刁( a ) 0 ，则a 中包含无穷多个长度为3 的非平凡算术级数，这 里 - ( a ) - j i m s u pi 垒q 吐1 j z z r o t h 的定理是著名的s z e m e r & i i 定理【1 0 】的一个特殊情形 s z e m e r d d i 在1 9 7 5 年证明了以下结果：设a 是整数的一个子集；如果刁( 锄 0 ， 则a 中包含任意长的非平凡算术级数 山东大学硕士学位论文 用尹表示素数集设x 是正整数集的一个子集，a 是x 的一个 子集用下式定义以对x 的上界相关密度 戤( 舻1 啤p 删。 茹。l ti l 厶ll g r e e n 在引中对v s , nd e rc o r p u t 的结果做了一个r o t h 定理型的推广。 他证明了以下结果：设饩是矽的一个子集；如果而) 0 ，则 中包含无穷多个长度为3 的非平凡算术级数v i n o g r a d o v ，v a nd e r c o r p u t ，r o t h 和g r e e n 的证明都用型了圆法的思想g r e e n 的证骥中 的另一个重要工具是一个转换原理，即把素数的一个正相关密度子 集转换成集合z n = z n z ( 这里是一个充分大的素数) 的一个正 密度子集后来，g r e e n 和t a o 在f 5 l 中对转换原理( 用不同的思想) 进行了根本性的改进，并利用改进后的转换原理证明了素数中包含 任意长的的算术级数2 0 0 7 年李红泽和潘颢i s j 利用g r e e nf 4 1 4 的思想 推广了g o l d b a c h - v i n o g r a d o v 定理( 见定理1 ) 本文中，我们将利用g r e e n 和t a o 黼的转换原理的思想，给高李 红泽襁潘颢的定理的另一个证明。在第一章中，我们将介绍李红泽 和潘颢的定理第二章是本文的核心部分，我们利用g r e e n 和t a o | 5 l 的思想，证明了一个转换原理在第三章中我们将利用第二章的转 换原理证明李红泽秘潘颢的定理 关键词：奇数哥德巴赫同题；伪随枫；正摆关密度 出东大学硕士学位论文 t h et e r n a r yg o l d b a c h p r o b l e mi nt h es p i n i to fg r e e n t a o w a n gy i n g n a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e , s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 弱l ，pr c h i n a ) a b 8 t r 。氐c t t h et e r n a r yg o l d b a c hc o n j e c t u r es t a t e st h a te v e r yo d di n t e g e rg r e a t e rt h a n 7i st h es u mo ft h r e ep r i m e s t h i sp r o b l e mw a sb a s i c a l l ys o l v e db yv i n o g r a d o v1 1 2 1 i n19 3 7 ，a n di nf a c th es h o w e dt h a tf o re v e r ys u f f i c i e n t l yl a r g eo d di n t e g e rn ， l o g p ll o g p 2l o gp a = 去g ( 犯) 他2 + o ( n 2 ( 1 0 9n ) “) ， pl+p2+p3an# p 1 p 2 p 3p r t t 抖e w h e r e 6 ( 站) = ( ( 1 十( p 1 ) 一3 ) ) ( n ( 1 一( p 1 ) 一2 ) ) 矿沁 p l b a n da 0i sa r b i t r a r y n o w a d a y st h i sg o l d b a c h - v i n o g r a d o vt h e o r e mh a sb e c o m e ac l a s s i c a lr e s u l ti na d d i t i v en u m b e rt h e o r y l a t e r ，u s i n gas i m i l a rm e t h o d ，v a n d e rc o r p u t1 2 1p r o v e dt h a tt h ep r i m e sc o n t a i ni n f i n i t e l ym a n yn o n - t r i v i a l3 - t e r m a r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n s 。 o nt h eo t h e rh a n d ，a n o t h e rc l a s s i c a lr e s u l td u et or o t h1 9 】a s s e r t st h a tas e t ao fi n t e g e r sc o n t a i n si n f i n i t e l ym a n yn o n - t r i v i a l3 4 e r ma r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n s p r o v i d e dt h a td ( a ) 0 ，w h e r e 硪内碰m s u p 掣 r o t h st h e o r e mi sas p e c i a lc a s eo ft h ew e l l - k n o w ns z e m e r 6 d it h e o r e m 1 8 ，w h i c h s t a t e st h a ta n ys e tao fi n t e g e r sw i t h3 ( a ) 0c o n t a i n sa r b i t r a r i l yl o n ga r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n s i i i 山东大学硕学位论文 f o ras e txo fp o s i t i v ei n t e g e r sa n di t ss u b s e ta ，d e f i n et h eu p p e r d e n s i 够o fa r e l a t i v et ox b y 硼h t m s u p 删 z + l 、l1 1 ，山il l e t 爹d e n o t et h es e to fa l lp r i m e s 。i n1 4 ，g r e e no b t a i n e dar o t h - t y p eg e n e r a l i z a t i o no fv a nd e rc o r p u t 8r e s u l t g r e e ns h o w e dt h a ti f i sas u b s e to f 矽w i t h 如( 岛) 0t h e nr c o n t a i n si n f i n i t e l ym a n yn o n ，t r i v i a l3 - t e r ma r i t h m e t i cp r o - g r e s s i o n s ，o n em a j o ri n g r e d i e n ti ng r e e n sp r o o fi sat r a n s f e r e n c ep r i n c i p l e ，w h i c h t r a n s f e r sas u b s e to fp r i m e sw i t hr e l a t i v ep o s i t i v ed e n s i wt oas u b s e to fz = z n z ( w h e r en i sal a r g ep r i m e ) w i t hp o s i t i v ed e 嘶够s u b s e q u e n t l y , t h i sp r i n c i p l ew a s g r e a t l yi m p r o v e d ( i nad i f f e r e n tw a y ) i nt h ep r o o fo fg r e e na n dt a o sc e l e b r a t e d t h e o r e mf 5 】t h a tt h ep r i m e sc o n t a i n sa r b i t r a r i l yl o n ga r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n s t h e h a r d y - l i t t l e w o o dc i r c l em e t h o df 11 】i sc o m m o n l ya p p l i e di nv i n o g r a d o v s , v a nd e r c o r p u t s ，r o t h 8a n dg r e e n sp r o o f s 。r e c e n t l y , u s i n gg r e e n si d e a ，l ih o n g z ea n d p a nh a o 【8 1e x t e n d e dt h eg o l d b a c h - v i n o g r a d o vt h e o r e m i n t h i st h e s i s ，w e ，i n s p i r e db yg r e e na n dt a o st r a n s f e r e n c ep r i n c i p l ei n s l ， w i l lg i v ea n o t h e rp r o o fo f l ia n dp a n st h e o r e m 。i nc h a p t e rl ，w ew i l li n t r o d u c el i a n dp a n st h e o r e m c h a p t e r2i st h em o s ti m p o r t a n tp a r to ft h i st h e s i s ，i nw h i c h w es h a l lu s eg r e e n - t a o si d e at os h o was o - c a l l e dt r a n s f e r e n c ep r i n c i p l e u s i n gt h e t r a n s f e r e n c ep r i n c i p l ei nc h a p t e r2 ，w eg i v ean e wp r o o fo fl ia n dp a n st h e o r e mi n c h a p t e r3 k e y w o r d s ：t e r n a r yg o l d b a c hp r o b l e m ；p s e u d o r a n d o m ；p o s i t i v er e l a t i v ed e n - s i t i e s 。 i v 山东大学硕士学位论文 符号说明 整数集 整数n 的完全剩余系构成的群 整数n 的既约剩余系构成的群 素数集 期望 欧拉函数 不超过x 的最大整数 z b j z 到距z 最近的整数的距离 不小于z 的最小整数 v z 孙 珞 p e 咖 h 斜 愀 m 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名t日期：2 丝星王呈鱼f 墨旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签也导师签名 期：哔固f p f 3 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 用p 表示素数集设x 是正整数集的一个子集，a 是x 的一个 子集用下式定义a 对x 的上界相关密度 硼，= l i r a s u p 牌矧 z _ o o o-o1 1 ，4 ii g r e e n 在【4 】中证明了以下结果：设是p 的一个子集；如果而) 0 ，则中包含无穷多个长度为3 的非平凡算术级数v i n o g r a d o v ， v a nd e rc o r p u t ，r o t h 和g r e e n 的证明都用到了圆法的思想 g r e e n 的 证明中的另一个重要工具是一个转换原理，即把素数的一个正相关 密度子集转换成集合z = z n z ( 这里是一个充分大的素数) 的 一个正密度子集后来，g r e e n 和t a o 在嘲5 中对转换原理( 用不同的 思想) 进行了根本性的改进，并利用改进后的转换原理证明了素数 中包含任意长的的算术级数2 0 0 7 年李红泽和潘颢【8 】利用g r e e nf 4 j 的思想推广了g o l d b a c h - v i n o g r a d o v 定理 定理1 ( 李和潘【8 】) 令p 表示全部素数组成的集合假设r ，伤，仡 是p 的三个子集，并且满足 蜘( p 1 ) + 蜘) + 如恨) 2 ， 其中蜘限) ( i = l ，2 ，3 ) 如下定义， 勤( 耻x i m i n r 器蹄 则对于每一个充分大的正奇数他，都存在p t 只，使得佗= p l + p 2 + p 3 在以下意义下，李和潘的结果是最好的定义p 1 = 伤= p p ：p 三1 ( m o d3 ) ) 和岛= 吼 3 ) ，则_ d v ( p 1 ) = 如( 伤) = 1 2 且如( 伤) = 1 ，但是对任意的整 数k ，我们有6 k + 5 岳r + 伤+ 伤 另一方面，定理1 中的d 不能被刁代替令帆= 2 【e 知1 ， 定义 a k = 【佗：2i 佗，帆+ l + 帆+ 2 佗n k + l + g k + 2 1 0 9 l o gn k + l j p k = p p ：一p pf o rs o m e 佗a 知 山东大学硕士学位论文 和 q 南= 仞p ：n k + 2 n k 一1 p 七+ l ，佗一p 簪pf o re v e r y 他a k 则我们有 吲= 。( 蒜铲) l o ( 袅) 令r = 伤= u 是。q 七我们可以得到_ d r ( p 1 ) = 勤) = 1 ，并且对任一 n a 七都有他隹p 1 + 死令m 1 = 2 ，m z + 1 = e e m 定义 o 。 = pn iu m a z ，m 3 1 + 1 ) 显然有如( p 3 ) = 1 并且对足够大的z ，一定存在k ，使得 纽+ 2 帆+ l m 3 l + a 2 成立令住岛= n k + l + 帆+ 2 l l o g l o g 帆+ 1 卜1 段设n k = p l + p 2 + 船， 其中p i ：p i ( i = 1 ，2 ，3 ) 由n k 2 n k + l m 3 1 + 3 可得到p 3 m 3 t + 1 注 意到地z + l l o g l o g m 3 f + 2 气2 ， ( 2 ) - _ z e z n 卫- b 十j j n 其中氏 0 是一个仅依赖于k 的常数 证明。不妨设a = 扛z ： ( z ) 托k z ，i ( 竹) ) 则我们有 胁) = 嘉三施) 垮+ 号产( _ i 钏， 由此可得 i a i n ( 1 一k ) e 。e z ( 佗) 容易验证 ( 1 一咒) e , , c z ( n ) k ( 1 一k ) 和 壹( 1 一郴。z 五( n ) ：( 1 一k ) 3 z ( 佗) 萼+ 2 k 应用引理l ，我们得到 l ，a 2 ，也( 礼) k 3 ( 1 一托) 3 n 2 3 山东大学硕士学位论文 因此， f d 茹) f 2 c y ) f z ( 名) ( z ) ，2 ( 可) ，3 ( z ) z ，z e z n暑e a l 。v a 2 = e a 3 2 十p 十 = 竹$ 十p + ，= 忭 托6 ( 1 一k ) 3 n 2 e 。z f l ( n ) e 。z f 2 c n ) 觋z f 3 ( n ) 以1 叫3 。 篙2 证毕 对任意一个定义在z 上的复变函数，我们定义z 上的复变函 数，如下 船) = ，( z ) e ( 一z ，) ， 面n 其中e ( z ) = e 2 对z n 上的复变函数 g ，我们定义 ( ，奉9 ) ( z ) = f c y ) g c z 一3 ，) y e z n 容易验证恒等式( ，幸9 ，= 乃 如果函数，满足 0 ，一i l l 。卵 则我们称其为咿伪随机函数现在我们将给出我们的转换原理 定理3 假设佗是一个充分大的整数，是一个比佗大的素数，并且 k ( 0 ，1 0 4 1 设 ( i = 1 ，2 ，3 ) 是定义在z 上的非负函数，且满足川 如果存在叩一伪随机函数魄可以界住兀，其中叩( o ，1 l o g l o g l o g n ) ， 并且对任意的p 2 ，存在g ( p ) 仟依赖于 夕，使得 i 五( r ) i p c i ( p ) n p ，江1 ，2 ，3 ( 3 ) r e i n 那么 fldx)f20；)fz(zj 、j 氏2 ， 厶 7 5 一 端器 其中气与定理2 中的c 。取值一样 4 山东大学硕士学位论文 为了证明定理3 ，我们先引进两个引理 假设6 , e 0 是两个待定的实数，令 定义b o h r 集为 忍= r z n ：i 五( r ) ii 6 n ) = h ，1 a 。l b i = z z ：1 1 3 ：r n l i e ，v r 见) ， 其中，i i z i i = r a i n ；zi z z 1 为了方便，我们还令屈= 1 b ； b i i ，只= 木屈掌屈 引理2 如果 满足定理3 的条件，我们有以下估计 i磊ac,yz 6 z n 胁删一：鑫肫删叫删p 一一 i 2 m 埏z l l + ，+ ；= n毒+ v + r = nl 证明：容易验证 因此 ，1 0 ) ，2 白) ( 名) = 一1 e ( 佗r n ) a ( r ) 五( r ) 五( ，) ，z e z nr 6 z n 卫+ 掣+ = 忭 ll l ，1 扛) 尼( 可) ，3 ( 名) 一爿扛) 髭 ) 矗( z ) i lz 肌z = z ne , l e ，z z i i + v + ；= n 霉+ v + z = n i ii = 一1l e ( 钟) 五( r ) 五( r ) 五( r ) ( 1 一厦2 ( r ) 磊2 ( r ) 压2 ( ，) ) i 1 r z l 利用( 3 ) ，不难证明i r l q 6 5 2 对某个q 0 成立同时对r r = r ln 嘞n 飓，我们有 1 一厦2 ( r ) 庇2 ( r ) 麂2 ( r ) l ：一a ( r ) 恳( r ) 角( r ) l = 3232 1 一e ( r ( ：n j ) n ) nl 鼠1 2 扛1j = l 茁i j e b ( 扛1j = 1 1l 3232 l = l ( 1 一e ( ，( ) ) ) | 兀l 段1 2i = 1j = l z i j e b i i = 1j - 1 i 5 山东大学硕士学位论文 注意到如果z i j 鼠，则一j 鼠进而得到 1 一厦2 ( r ) 尾2 ( r ) 孱2 ( r ) i ：一风( r ) 尾( r ) 风( r ) i = 因为 所以 3 i = 1 l i 壹壹( 1 - c o s ( 2 州3 2 ) ) ) i 段1 2 2 3 兀l b i l 2 i = 1 i = ij = 1z j 玩 32 i = 1j = 1 32 8 i n 2 ( 玎r ( z i d ) n ) i = 1j = l j 觑i = 1j = 1 8 丌一s 2 llr(zi,j)nil2b ，i ；一1 ：二 = l 。2 ，3 ；j = 1 2 j 一 3 2 丌2f z s i u e p b i i 胪 2 1 2 e 2 五( r ) l ，i ( z ) 吮( z ) = 玩( o ) ( 1 + r ) n 篙2 ：0 誊璺 证毕 9 山东大学硕士学位论文 第三章李红泽和潘颢的定理的新证明 在本章中，我们利用第二章建立的转换原理( 定理3 ) 给出李和 潘的定理的一个新的证明我们首先介绍李和潘的文章【8 】8 中的一个 推论 引理4 ( 李和潘【8 】推论2 1 ) 令g 是一个无平方因子的奇数假设 ，如，3 ：磁_ 【o ，l j 满足 ( ( 口) + ，2 ( 口) 十，3 ( 。) ) 2 ( q ) 口z ； 则对任一口，存在z ，y ，z 磁，使得 d = z + 暑f + 名， ( z ) 尼( 暑，) ，3 ( z ) 0 ， 并且 p ) + ，2 白) + 矗( 名) 5 3 令 k = 1 0 _ 4 ( r ) 4 - - 6 , ( 伤) + 勤( 角) 一2 ) ， 啦= - 6 , 限) ( 1 + 2 k ) 不妨假设n 充分大，使得 舯【l 2 n 3 | i 那刊a t 篇 令w = 【 l o g l o g n j ，l r n = 1 - i l , 彬p 易知m l o g n ，且 i r ( x ) l o g x i r ( x ) l o g z ( z 。2 n ) = a l n t 干切轨3 尚( 丛巡l o g n 塑一礼南) 2 q i 佗， 其中扎充分大 我们将用到著名的s i e g e l - w a l f m z 定理( 参考【3 ，6 ，7 1 ) 1 0 山东大学硕士学位论文 定理4 ( s i e g e l w a l t z ) 令q 为一个满足q ( 1 0 9 n ) 日供中b l 夕和 ( n ，g ) = 1 的正整数假设1 l n 2 n ，则有 机屹l o g p = 等+ d ( e x p ( 一c b l o v 4 v g 丙) ) 其中c b 0 为一常数 定义 掷胁+ 矧= 磊2 n 3 _ 非一3 0 其中b 碥由定理4 可知，当佗充分大时，五( 6 ) ( o ，1 】我们有以下 估计： ( ( 6 ) + 1 2 ( b ) + ( 6 ) ) 塑凳竽 ( 1 n ( z ) + l r 2 p ) + l 仡 ) ) l o g z 一9 k 咖( 仇) 。 b e z 嘉, z 2 n l z 由引理4 可知，存在b lb 2 ，6 3 7 4 , ，满足竹兰b l + b 2 + b ( r o o dm ) ， f l ( b 1 ) + ，2 ( 6 2 ) + ，3 ( 6 3 ) 5 3 且，t ( 玩) 0 不失一般性，我们假设1 令n 是一个位于区间【( 1 + k ) 佗m ，( 1 + 2 k ) n m 里的素数根据素 数定理，对于充分大的佗，这样的始终存在根据以上的讨论， 我f 丁令佗，= ( 佗一b 1 一b 2 一b 3 ) m ， 从而要证明定理3 ，我们只须证明a - + 也十九即可令 c k ( z ) ：= n i a ( z ) 入6 ，m ( z ) ，耽( z ) = n a b i ，。，( z ) ， 其中 h 州= 崦川) 删嚣蛆一6 是歉吨 1 1 山东大学硕士学位论文 由于a i 【o ，】和 ( 玩) 0 ，显然有 酝轳如) = 筹莩1 a i l 咖川) 错 进而我们有 k z 口，( 咄e n e z n a 2 ( 毗e e z n a 3 ( n ) 鲁毛k 且 e , t e z n a l ( 卅阮柙( 佗) + e a e z n a 3 ( 咖高( 3 删协) 萼诹 引理5 ( g r e e n | 4 】引理6 6 ) 对任意p 2 ，都存在常数g 0 ) ( 不依赖 于n i ) ，使得 i 磊( r ) i p c i ( v ) n p 引理6 ( c h i p e n i u k 【1 】命题2 1 ) 对于充分大的，我们有 玩( o ) n ( 1 + o ( ( i o gn ) 一1 ) ) 和 s u pi 玩( r ) i 2 l o g l o g w 形 r # o 注1 引理彳和引理5 的证明要用到圆法，详细的证明可参考口，钳 由引理4 和引理5 可知，对叩( o ，1 l o g l o g l o g n ) ，耽是一个矿伪 随机函数因此由定理3 ，我们有 n l ( z ) 口2 ( 剪) 口3 ( 名) 0 z ，v z e z n + - + z = n t 因为a 1 ，a 2 ，a 3 【o ，2 1 z 3 r r t j 且n m + 3 ，所以不存在戤a ，使 得z 1 + z 2 + x 3 = + n 在整数群z 上成立所以，由a l + a 2 + a 3 在群z 上成立可推出a l + a 2 + a 3 在整数群z 上成立证毕 1 2 山东大学硕士学位论文 参考文献 【1 】1k o c h i p e n i u k ，e x p o s i n gr o t h s 冼化mi nt h ep r i m e s ，p r e p r i n t 1 2 1 j g v a nd e rc o r p u t ，u b e rs u m m e ny o np r i m z a h l e nu n dp r i m z a h l q u a d r a t e 坞 a n n m a t h 1 1 6 ( 1 9 3 9 ) ，l 一5 0 【3 】h d a v e n p o r t ，m u l t i p l i c a t i v en u m b e rt h e o r y , t h i r de d i t i o n ，g r a d t e x t sm a t h 7 4 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，2 0 0 0 【4 1 b g r e e n ，r o t h st h e o r e m 讥t h ep r i m e s ，a n n m a t h 1 6 1 ( 2 0 0 5 ) ，n o 3 ， 1 6 0 9 - 1 6 3 9 【5 】 b g r e e na n dt t a o , t h ep r i m e sc o n t a i na r b i t r a r i l yl o n ga r i t h m e t i cp r o g r e s - s i o n s ，a n n m a t h 1 6 7 ( 2 0 0 8 ) ，4 8 1 5 4 7 【6 】l k h u a ，a d d i t i v et h e o r yo f p 而m en u m b e r s , a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , t r a n s l a t i o n so fm a t h e m a t i c a lm o n o g r a p h s1 3 ，p r o v i d e n c e ，r h o d ei s l a n d ，1 9 6 6 【7 1 h 1 w a n i e ca n de k o w a l s k i ，a n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a m e r i c a nm a t h e m a t i c a l s o c