（基础数学专业论文）关于亚纯函数唯一性与正规族理论中的几个问题.pdf

序言 亚纯函数唯一性理论是亚纯函数论的重要组成部分二十世纪 二十年代芬兰数学家r n e v a n l i n n a 利用他所创立的值分布理论开创 了这一方面的研究，取得了一系列研究结果，他所建立的5 1 m 公共 值定理和4 c m 公共值定理等是这一领域中的经典结果五十年代末 我国著名数学家熊庆来、杨乐在这方面取得了深刻的结果六十年 代末f g r o s s 以公共值集取代公共值进行研究这一新观点的出现， 再次引起了人们对亚纯函数唯一性理论研究的兴趣，从此关于这一 理论的研究日趋活跃起来，f g r o s s ，g 、g g u n d e r s e n ，e m u e s ，仪洪勋 等在这方面取得了一系列令人注目的结果但在这一领域仍有许多 重要问题没有解决，有待进一步研究 正规族的概念是由p m o n t e i 在上世纪初引进的他把具有某种 列紧性的函数族称为正规族，并利用模函数建立了著名的m o n t e l 定 则n e v a n l i n n a 理论与正规族理论的结合促进了正规族理论的深入 发展c m i r a n d a ，g v a l i r o n ，w k h a y m a n 及我国数学家熊庆来，庄 圻泰，杨乐，顾永兴等在这方面取得了杰出的成果 关于正规族理论的研究，大都是按照b l o c h 法则的启示进行的 a b l o c h 曾注意到：如果开平面内的一个征纯函数满足某条件即蜕 化为常数，则在区域内一族亚纯函数一致满足该条件时应该是一正 规族尽管这一法则在一般意义下是不准确的，但是人们常常根据 这一法则的启示去猜测并相继证实了许多新的正规定则把亚纯函 数唯一性理论与正规族理论结合起来研究是探讨正规定则的另一重 要途径，我们猜测如果开平面内的两个亚纯函数满足某些条件即恒 等，或者是具有分式线性变换关系，那么在区域内一族亚纯函数一 致满足该条件时应该是一正规族，并且在某些情况下，正规族所需 要满足的条件比唯一性所需要的条件要弱得多w s c h w i c k 首先在 这方面作了研究工作，孙道椿，庞学诚与l z a l c m a n 等在这方面取 得了重要结果在这领域仍有许多问题有待进一步研究 本文共分六章第一章是预备知识，简要介绍了n e w n l i n n a 值分 布论中的几个基本结果和常用符号，以及亚纯函数唯一性理论和正 规族理论中的基本概念和经典结果包括n e v a n l i n n a 第一、第二基本 定理，对数导数引理，公共值与公共值集的概念，5 i m 值唯一性定 理，4 c m 值唯一性定理，正规族的概念及m o n t e l 正规定则，m a r t y 正规定则等 第二章研究涉及导函数的亚纯函数的唯一性问题 l a r u b e l 与c c y a n g ，g g g u n d e r s e n ，g p r a n k 与gw e i f l e n b o r 等人证明了 当亚纯函数与其导函数具有两个c m 公共值时，二者恒等g p r a n k 提出如果把其中一个c m 公共值换为i m 公共值，结论是否仍成立? 有例子表明对于一阶导函数，p r a n k 问题是否定的本章进一步研 究了这一问题，证明了该反例具有一定的唯一性 第三章研究涉及公共值和公共值集的亚纯函数的正规族问题 从公共值和公共值集的角度改进了古老的m o n t e l 定则及b l o c h v a l i r o n 定则，并得到一些其他结果 第四章研究导函数族的正规性问题对于一般的亚纯函数正规 族其公共值集要求至少3 个元素，而对导函数族来说，其公共值集 的元素个数则可减少为2 个 第五章研究函数与其导函数具有公共值的全纯函数的正规族问 题对庞学诚与z a l c m a n 的一个结果作了进一步研究，证明了对于全 纯函数族若，与，7 具有一个公共值a ，且对另一非零复数b ，f 7 一b 的 零点包含在，一b 的零点中，则该函数族正规 第六章研究函数与其导函数分别具有公共值时的亚纯函数的正 规族问题从公共值的角度，减弱了顾永兴正规定则的条件，推广 了顾永兴定则 s e v e r a lp r o b l e m si nu n i q u e n e s st h e o r ya n dn o r m a l f a m i l yt h e o r y o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s z h a n gq i n g c a i ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，z h e j i a u gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h eu n i q u e n e s st h e o r yi sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h ef i e l do fc o m p l e x a n a l y s i se s p e c i a l l yi nm e r o m o r p h i cf u n c t i o nt h e o r y ，w h i c hi so r i g i n a t e df r o m as e r i e so fw o r k so ft h ef i n n i s hm a t h e m a t i c i a nr n e v a n l i n n ai n1 9 2 0 s s o m e c l a s s i c a lt h e o r e m s ，f o re x a m p l e ，f i v e p o i n tt h e o r e m ，f o u r p o i n tt h e o r e m ，a r e o b t a i n e db yr n e v a n l i n n av i ah i sf o u n d i n gv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y i n t h el a t e r ，ag r e a tn u m b e ro fc e l e b r a t e dr e s u l t si nt h i sf i e l dh a v eb e e no b t a i n e d b yk l h i o n g ，l y a n g ，f g r o s s ，gg g u n d e r s e n ，e m u e s ，h x y i ，e t c ， b u tt h e r ea r es t i l lm a n yi n t e r e s t i n go p e np r o b l e m sw o r t h yt os t u d y i nt h i s r e p o r t is o m ep r o b l e m si nt h i sa r e aa r es t u d i e d ，a n ds o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s a r eo b t a j n e d a f a m i l yo ff u n c t i o ni ss a i dt ob en o r m a li fi ti so fs e q u e n t i a l l yc o m p a c t ， w h i c hi si n t r o d u c e db yp m o n t e li ni n f a n c yc e n t u r y ，w h oe v e rg a v ea no l d c e l e b r a t e dn o r m a lc r i t e r i o nb ya p p l y i n gm o d u l a rf u n c t i o nt h e o r y i nt h el a t e r 】 t h eg r e a td e v e l o p m e n to fn o r m a lf a m i l yt h e o r yi sd u et oi t sc o m b i n a t i o nw i t h n e v a n l i n n at h e o r y , a n dal o to fi m p o r t a n tr e s u l t si nt h i sf i e l dh a v eb e e no b r a i n e db yc m i r a n d a ，g v a l i r o n ，w k h a y m a n ，k l h i o n g j l y a n g ，y x g n e t c 3 t h en o r m a lf a m i l yt h e o r yi sa l m o s tb e i n gs t u d i e da c c o r d i n gt ob l o c h s p r i n c i p l e ，e v e r yc o n d i t i o n ，w h i c hr e d u c e sam e r o m o r p h i cf u n c t i o ni nt h ep l a n e t oac o n s t a n t ，m a k e saf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nad o m a i nn o r m a l a l t h o u g ht h i sp r i n c i p l ei sf o u n da f t e r w a r dt ob ef a l s ei ng e n e r a l ，m a n ya u t h o r s p r o v e dal o t o fn o r m a l i t yc r i t e r i af o rf a m i l i e s o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sb y s t a r t i n gf r o mp i c a r dt y p et h e o r e m s i ti sa l s om o r ei n t e r e s t i n gt of i n d n o r m a l i t yc r i t e r i a v i as h a r i n gv a l u e t h e o r e m s i ts h o u l db ec o n j e c t u r e dt h a taf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si s n o r m a lw h i c hs a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n su n i f o r m l yi nad o m a i ni ft w om e r o m o r p h i cf u n c t i o n s a r ei d e n t i c a lo rf r a c t i o n a ll i n e a rt r a n s f o r m a t i o no fe a c ho t h e r w h i c h s a t i s f y i n g t h e s ec o n d i t i o n si nt h ep l a n e a n di ns o m ec a s e st h ec o n d i t i o n s d e m a n d e db yn o r m a l i t ya r em u c hw e a k e rt h a nt h a td e m a n d e db yu n i q u e n e s s w s c h w i c k ( 5 ) f i r s tp r o v e da ni n t e r e s t i n gr e s u l ti nt h i sf i e l d ，a n dd c s u n ， x c p a n ga n dl z a l e m a nh a v ea l s oo b t a i n e d al o to fi m p o r t a n tr e s u l t si nt h i s a r e al a t e ro n t h i sr e s e a r c hr e p o r tc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e ri ，s o m eb a s i cc o n c e p t s ，r e s u l t sa n dn o t a t i o n sa r ei n t r o d u c e d b r i e f l yt h a tw i l lb eu s e do f t e ni nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ，e g c m ( i m ) s h a r i n g v a l u e s ( s e t s ) ，t h ef i r s t ( s e c o n d ) f u n d a m e n t a lt h e o r e m ，5 - p i o n t t h e o r e m ，4 一 p o i n t t h e o r e m ，n o r m a lf a m i l y ，m o n t e ln o r m a lc r i t e r i o n ，m a r r yn o r m a lc r i t e r i o n a n ds oo n i nc h a p t e r2 ，t h eu n i q u e n e s s p r o b l e mo f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n si ss t u d i e d t h a tc o n c e r n i n gs h a r i n gv a l u e sa n dd e r i v a t i v e s ，i ti s p r o v e db yl a r u b e l a n dc c y a n g 、gg g u n d e r s e n g ，f r a n ka n dg w e i f l e n b o re t et h a ta m e r o m o r p h i cf u n c t i o nm u s tb ei d e n t i c a lw i t hi t sd e r i v a t i v ei ft h e ys h a r et w o v a l u e sc m ad i f f i c u l tp r o b l e mw a sp o s e db yg n a n kt h a tt h i sr e s u l ti s w h e t h e rs t i l lt r u ei fo n eo ft h e i rt w os h a r i n gv a l u e sc mi s r e p l a c e db ys h a r i n g v a l u ei m i ti 8s h o w nt h a tt h ea n s w e ro ft h eq u e s t i o no ff r a n ki s n e g a t i v e f o rf i r s td e r i v a t i v ef r o ma nc o u n t e r e x a m p l e i nt h i sc h a p t e rt h ep r o b l e mi s 4 c o n t i n u e dt ob es t u d i e d ) a n di ti s p r o v e dt h a ti fan o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s h a r e s0c m a n ds h a r e6 ( 0 ) i mw i t hi t sf i r s td e r i v a t i v ef 7 ，t h e n f 三 to r = 羔j w h e r eci san o n z e r of i n i t ec o m p l e xc o n s t a n t 。 i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mo fn o r m a lf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s c o n c e r n i n gs h a r i n gv a l u e si ss t u d i e d t h eo l dm o n t e lt h e o r e ma n db l o c h v a l i r o nt h e o r e ma r ee x t e n d e da n di m p r o v e df r o m “s h a r i n gv a l u e s ”t h ef o l l o w i n gt w or e s u l t sa r ep r o v e d t h e o r e m1i fe a c hp a i r a n dgo fam e r o m o r p h i cf u n c t i o nf a m i l y ， s h a r et h ev a l u ea jw i t hm u l t i p l i c i t y 0 ，je 毛) ( q ，) = 易，) ( ，夕) 0 = 1 ，2 ，口) i nd ，t h e n ，i sn o r m a l ，w h e r ea l ，a 2 ， v a l u e s ，z 1 ，1 2 ，如a r egp o s i t i v ei n t e g e r ss a t i s f y i n g t h e o r e m2i fe a c hp a i r ，a n dgo fam e r o m o r p h i cf u n c t i o n f a m i l y 厂s h a r et h es e ts = a l ，a 2 ，a 3 i m ，i e e ( s ，_ 厂) = 茸( s ，g ) i nd ，t h e n 厂i s n o r m a l ，w h e r ea l ，a 2 ，a 3a r et h r e ed i s t i n c tc o m p l e xv a l u e s i nc h a p t e r4 ，t h en o r m a lp r o b l e mo fd e r i v a t i v ef a m i l yo f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n si ss t u d i e d f o rt h en o r m a lf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s t h e n u m b e ro fe l e m e n t so fs h a r i n gs e ti s n e e d e da tl e a s t3 ，b u tf o rt h en o r m a l f a m i l yo fd e r i v a t i v e st h en u m b e ro ft h a ti so n l yn e e d e d2 i ti s p r o v e dt h a ta f a m i l yo fk - t hd e r i v a t i v e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nd o m a i ni sn o r m a li fa l l f u n c t i o n so ft h ed e r i v a t i v ef a m i l ys h a r eas e t5 l = o ，6 i m ，w h e r e ，ba r e t w od i s t i n c tf i n i t ec o m p l e xv a l u e s i nc h a p t e r5 ，t h ep r o b l e mo fn o r m a lf a m i l yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si s s t u d i e dt h a tc o n c e r n i n gt h eh o l o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gv a l u e sw i t h t h e i r f i r s td e r i v a t i v e s a ni m p o r t a n tr e s u l to fx c p a n ga n dl z a l c m a ni s f u r t h e r c o n s i d e r e d ，a n di ti sp r o v e dt h a taf a m i l yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si nu n i td i s c j 8n o r m a li ff o re v e r y ，o ft h ef a m i l y 毋( n ) = 研，( n ) ，e ，( b ) 垦再，( 6 ) ，w h e r e 5 xe p nc 曲2 m 毗曲 d 一十 n y 一； e ra q 耐 a ，ba r et w od i s t i n c tf i n i t ec o m p l e x v a l u e ss u c ht h a tb 0 i nc h a p t e r6 ，t h ep r o b l e mo fn o r m a lf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si s s t u d i e dt h a tc o n c e r n i n gt h em e r o m o r p h i cf u n c t i o n so ft h ef a m i l i e sa n dt h e i r d e r i v a t i v e ss h a r i n gv a l u e sr e s p e c t i v e l y t h ec o n d i t i o n so ft h en o r m a lc r i t e r i o n o fg ua r ew e a k e n e df r o m “s h a r i n gv a l u e s ”i ti sp r o v e dt h a taf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nu n i td i s ci s n o r m a li ff o re a c hp a i rf u n c t i o n s ，9o ft h e f a m i l yn ( a ) = 面目( 。) ，面弘) ( b ) = e 9 ( 6 ) ，w h e r ea ，ba r et w o d i s t i n c tf i n i t e c o m p l e xv a l u e ss u c ht h a tb 0 jki s ap o s i t i v ei n t e g e r 6 第一章预备知识 亚纯函数唯一性理论和正规族理论是亚纯函数理论的重要组成 部分，是富有研究意义的重要课题r n e v a n l i n n a 所创立的值分布 论是亚纯函数唯一性理论与正规族理论的主要研究工具在本章我 们将叙述在后面各章中常用的n e v a n l i n n a 理论中的几个基本结果及 常用记号，并对亚纯函数唯一性理论与正规族理论中的基本概念和 经典结果作简单介绍，详细情况可参阅【2 5 、 45 、 4 6 、 7 4 】、 9 1 、 1 9 】等 1 1n e v a n l i n n a 理论中的几个基本结果及常用符号 如无特别声明，本文中的亚纯函数指的都是开平面c 中的亚纯 函数，扩充复平面c u o 。) 以己记之 对于。兰0 ，定义x 的正对数 。s + 。= 长8 e 。j 霎宇三。 定义1 1 设，( z ) ( 0 0 ) 为亚纯函数，对0 r + ，规定 ， 2 ， m ( r ，) 2 而1 l o g + i f ( r e 埘) ( ：盟掣出+ n ( o ，) l 。g ， ； 。 ( 删：盟生型皿出+ 丽( o ，) l 。 6 。 t h ，) = m ，) + ，) ， 其中的n ( t ，) 表示f ( z ) 在t 上的极点个数，且重级极点按 重数计算；瓦( t ，f ) 表示重级极点只计一次的情况；n ( o ，) 表f ( z ) 在 7 原点处极点的重数( 当f ( o ) 时，n ( o ，f ) = 瓦( o ，f ) = o ；当f ( o ) = o 。 时，而( o ， 厂) = 1 )( r ，f ) 和( _ f ) 分别称为f ( z ) 的极点的密指量 与精简密指量；t ( r ，) 称为，( z ) 的n e v a n l i n n a 特征函数，简称f ( z ) 的特征函数 设( z ) 为非常数亚纯函数，p 为一正整数，a 为任一复数， 我们用) ( r ，击) 表示，( 。) 一。的重级不超过p 的零点的密指量， + f i r ，忐) = ( r ，击) 一姊) ( r ，击) ，瓦) ( n 忐) 与( 川( r ，击) 分别 表示姊) ( r ，击) 与c 卅，( r ，击) 的精简形式当。= 0 0 时，( 。) 一。的 零点理解为f ( z ) 的极点 定理1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设，( 。) 于 冗( 十。) 内亚纯若。为任一有穷复数，且f ( z ) a 则对于0 r r 有 1 t ( n 志) = t ( r ，) + l o g 吲+ ( o ，r ) ， ( 11 ) 其中c , x 为币1 瓦在原点的l a u r e n t 展式( 按升幂排列) 中第一个非零 系数，而 l ( 。，r ) i l o g 十l a l + l o g 2 通常将( 1 1 ) 简写为 1 t ( 7 ，志) = t ( r 】，) + o ( 1 ) ( 1 - 2 ) 定义1 2 设，( 。) ( o 。) 为亚纯函数， a ，= 恕；霉生墨；笋，p ，= l ，i + r a + i 。n f 警 1 ，与“，分别称为，( z ) 的级与下级 定理1 2 ( b o r e l 引理) 设丁( r ) 在和sr + 。上是连续、非减 函数，t ( 珊) 1 ，则至多除去r 的一个集合岛后恒有 t ( 7 + 赤) 2 丁( r ) ， 且玛的线性测度不越过2 定理1 3 ( 对数辫数引理) 设，( z ) 为非常数亚纯函数，且i ( 0 ) 0 ，o o ，则对于0 r p + o 。有 4 l o g + r 眩，) + 3 l o g + i 1 + 4 l o g + p + 2 l 。矿； + 4 l 。s + 志+ ，。 ( 1 3 ) 注；当f ( o ) ：0 戏0 0 时，适当变更一下( 1 3 ) 右端的最后两个常 数项及其余各项系数后结论仍成立 熊庆来 3 0 1 给出了对数导数罨| 疆翡一般形式，酃 定理1 4 ( 对数肆数引理的的一般形式) 设f ( z ) 为非常数亚纯 函数，且f ( 0 ) 0 ，o 。，为一正整数，则对于0 r p + o o 有 嘶，竽) c k l o g + t 涵斛l o g + 土p - r + l o g + p + t o g + 7 1 w 崦+ 志+ ， ( 1 4 ) 其中g 为仅依赖于的常数 霆璎1 5 n e v a n l i n n a 第二蒸零定理) 设歹( # ) 为 鬻数翌缝弱 数，唧( j = 1 ，2 ，口) 为g ( 2 ) 个判别的有穷复数，刚 吨卅塞嘶，南) 2 7 舻) 删怫( 1 5 ) 其中 1 ( r ) 一( 2 ( n ，) ( r 】，) ) + ( r ，葛1 ) ， f ，q c t s 2 m 峙) + 蚤m ( 忐) + 。 关于第二基本定理的余项s ( r ，n 根据定理1 2 ，定理1 3 ，有如下 估计： 定理1 6设，( z ) 为非常数亚纯函数，s ( r ，f ) 由定理1 5 中的 ( 1 6 ) 式确定，则当，( z ) 为有穷级时有 s ( r ，f ) = o ( 1 0 9r )( r _ 。o ) ， 当f ( z ) 为无穷级时有 s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 ( r t ( r ，川)( r - o o ，rge ) ； 亦即当f ( z ) 为有穷级时 s ( n f ) = o ( t ( r ，) )( ro ) ， 当f ( z ) 为无穷级时 s ( r ，f ) = o ( t ( r ，) )( r _ 。，rge ) ， 其中e 是一个线性测度为有穷的集合 注对于非常数亚纯函数，( z ) ，本文还用s ( r ，f ) 泛指这样的量： 。( t ( r ，) ) ( r _ + o 。) ，当，( z ) 的级为无穷时除去一个线性测度为有穷 的r 的集合e ，但e 每次出现却不一定完全相同 显然，第二基本定理的余项满足这一性质 第二基本定理还有下述两种常用形式 定理1 57 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，g ) 为q ( 3 ) 个判别的复数( 其中之一可以是。) ，则 ( q 一2 ) t ( 堋) 0 ，使得球面导数 崩加尚备螂，晒z - 定理1 1 4 ( m o n t e l 定则) 设，为区域d 内的亚纯函数族，a ，b ，c 为三个判别的复数( 其中之一可以为o 。) 如果，中的每一个函数在 区域d 内均不取a ，b ，c ，则f 在区域d 内正规 1 4 第二章涉及导函数的亚纯函数的唯一性 本章研究涉及导函数与公共值的亚纯函数的唯一性问题l a r u b e l 与c c y a n g ，g g g u n d e r s e n ，g f r a n k 与g w e i f 3 e n b o r 等人 证明了当亚纯函数与其导函数具有两个c m 公共值时，二者恒等 gf r a n k 提出如果把其中一个c m 公共值换为i m 公共值，结论是否 仍成立? 有例子表明对于一阶导函数，f r a n k 问题是否定的本章 进一步研究了这一问题，证明了该反例具有一定的唯一性 2 1 引言及主要结果 关于亚纯函数与其导函数具有公共值的唯一性问题，l a r u b e l 与c c y a n g 5 5 】首先得到 定理a设厂为非常数整函数，若，与，以两个判别的有穷 复数a ，b 为c m 公共值，则，三，7 e m u e s 与n s t e i n m e t zf 4 3 把定理a 中的条件c m 公共值改进为 i m 公共值，得到 定理b 设，为非常数整函数，若，与，以两个判别的有穷复 数a ，b 为i m 公共值，则f 三r 杨连中【7 9 】将定理a 由，推广到产) ，李平【3 6 将定理b 由f ， 推广到，( 肼 g g g u n d e r s e n 【2 2 ，【2 3 ，e m u e s 与n s t e i n m e t z 【4 4 】将定理a 由整 函数推广到亚纯函数，得到 定理c 设，为非常数亚纯函数，若，与，7 以两个判别的有 穷复数a ，b 为c m 公共值，则，三， gp r a n k 与g w e i f i e n b o r 1 6 j 将定理c 由f 7 推广到，( 刖，得到 定理d 设，为非常数亚纯函数，若，与，( 。) 以两个判别的有 穷复数。，b 为c m 公共值，则，；，( m g f r a n k 1 3 】， 9 1 】提出下述问题 问题把定理d 中的条件“b 为，与严) 的c m 公共值”换为 6 为，与) 的i m 公共值”，是否仍有，三) ? 当，与) 以0 为p i c a r d 例外值时，g f r a n k1 1 4 1 曾得到下述深 刻结果 定理e设，为非常数亚纯函数，( 2 ) 为正整数，如果0 为_ 厂与，( 。) 的p i c a r d 例外值，则，= e a 舛b 或，= ( a z + b ) ，其中 a ( o ) ，b ，n ( o ) ，b 为常数 利用定理e ，郑稼华与王书培 1 0 9 得到 定理f 设，为非常数亚纯函数，r ( 2 ) 为正整数，b 为一有 穷非零复数，如果0 为，与严) 的p i c a r d 例外值，b 为，与) 的 i m 公共值，则，三产) 郑稼华与王书培在文 1 0 9 同时还举出下述例子说明当a = 1 时 定理f 不成立，从而也说明当女= 1 时f r a n k 问题是否定的 例设，= 五2 一b ，b 为非零常数，容易验证0 为，与_ 厂7 的p i c a r d 例外值，b 为，与，的i m 公共值，但， 我们对k = 1 的情况作了进一步研究，证明了该反例具有一定 的唯一性，得到 定理2 1设，为非常数亚纯函数，b 为一有穷非零复数，如 果0 为，与，的c m 公共值，b 为，与，7 的i m 公共值，则，必为 下列情况之一： ( i ) ，三，； ( i i ) _ ，= f 岽， c 为任意非零常数 定理2 2设，为非常数亚纯函数，b 为一有穷非零复数，如 果0 为，与，的c m 公共值，b 为，与，7 的d m 公共值，则； f = ! ! 。 1 一c e 一2 z 7 其中c 为任意非零常数 2 2 定理证明 定理2 1 的证明 假设，若厂为整函数，根据定理b ，则必有，三，与假 设矛盾，因此，为亚纯函数 由于，与，以0 ，b ，o o 为i m 公共值，所以 t ( r ，f ) 3 t ( r ，) + s ( r ，) ，t ( r ，) 3 t ( r ，) + s ( r ，) ， 因此有 s ( n ，) = s ( r ) ，)( 2 1 ) 由于- 厂与_ 厂以0 为c m 公共值，所以0 为，与，的p i c a r d 例外 值，且，一b 的零点均为单零点对，应用第二基本定理，并注意到 ，0 ，则 t ( r ，f ) ( r ，7 ) + ( n 7 1 ) + ( r ，可毛) + s ( r ，7 ) 冬( r ，) 十p ，矗) + s ( r ，) 7 1 曼( r ，) + t ( r ，冬一1 ) + s ( r ，7 ) 2 p ，) + s ( r ，) st p ，) + s ( r ，) ， 于是 丁( r ，f ) = 2 ( r ，f ) + s ( r ，f7 ) 1 7 由( 2 2 ) 式得 t 门= 2 矶，盎) + s t 吖，) ( 2 3 ) ( r ，f ) + 丙( n ，) = ( r ，门t ( r ) ，7 ) = 2 ( r ，) + s ( r ，) 1 所以 | v ( r ，) = ( r ，) + s ( r ，) )( 24 ) ( 2 ( r ，) = s ( r ，门( 2 5 ) 下面引进辅助函数 一多 协s ， s t 、。 设细为，的单极点，通过计算可知f ( 如) ，因此，的单极点 不是f 的极点再注意到0 是，与，的p i c a r d 例外值，由( 2 6 ) ， ( 2 5 ) 式得 ( r ，f ) = 一n ( 2 ( t ，) = s ( r ，) 而 m ( r ，f ) = s ( r ，) = s ( r ，气 所以 t ( tf ) = s ( r ，) ( 2 7 ) 设z 。为_ 厂一b 的重零点，则z 。为，一b 的单零点，由( 2 6 ) 式得 f ( z 1 1 = 2 因此 以下分两种情况讨论： ( i ) 假设f ( z ) 2 ，则 n 1 2 ( r ，志) ( r ，f - - 皂) st ( 咿) = s