（基础数学专业论文）无限阶超线性碰撞型duffing方程的不变环面.pdf

，“ 苏州大学学位论文使用授权声明 _ j i t j l l l ii l l lij i i ii jr illj 17 3 2 3 2 9 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文i 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在一 年一月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名：数熟 日 期： 趁 曼。旦蛭里 导 师 签 名：啪日 期：竺! ! ：世娃 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 中文摘要 中文摘要 碰撞振子是非光滑动力系统中的一类重要模型，它与很多应用问题有着 密切的联系，如f e r m i - u l a m 加速器问题，对偶台球问题，天体力学问题等 对于碰撞振子有许多数值研究成果，但对碰撞振子的动力学行为的数学研 究尚待深入 本文考虑一类带碰撞的无限阶超线性d u f f i n g 方程 i + ，协) e x p ( f ( x ) ) = p ( t ) ，x ( t ) o ； 邢) 独 lz ( t o ) = 0 = 号z 他手) = 一z 他i ) ， 其中表示鬲( i x ，( z ) = z 2 n + a i ，a i r 1 ，n 2 ，p ( t ) 为c 5 光滑，且关于 t 是1 一周期，即p ( 亡+ 1 ) = p ( t ) 对任意的t r 我们首先把碰撞d u f f i n g 方程问题转化为碰撞的h a m i l t o n 系统，再利用 隐函数定理，进行一系列变换，最后利用m o s e r 扭转定理，得到系统在扩充 相空间上的不变环面的存在性，从而证明了上述方程有无穷多拟周期解，且 当初值充分大时，方程的解既不能跑到无穷远也不会跑到零点 关键词：碰撞振子，不变环面，拟周期解，解的有界性 作者：魏燕 指导老师：钱定边 i m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ；f i n a l l y , a p p l ym o s e r st w i s tt h e o r e m ，w eg e tt h ee x i s t e n c e o fi n v a r i a n tt o r if o ri m p a c td u f f i n g - t y p ee q u a t i o ni ne x t e n d e dp h a s e - s p a c e ，w ea l s o p r o v et h a tt h e r ee x i s ti n f i n i t e l ym a n yq u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n s ，a n de v e r ys o l u t i o no f i m p a c td u f f i n g - t y p ee q u a t i o nc a nn o tg ot oi n f i n i t yo rg ot oz e r oi ft h ei n i t i a lv a l u ei s s u f f i c i e n t l yl a r g e k e y w o r d s ：i m p a c to s c i l l a t o r ，i n v a r i a n tt o r i ，q u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n ，b o u n d e d n e s so f s o l u t i o n s i i w r i t t e nb yw e iy a n s u p e r v i s e db yp r o f q i a nd i n g b i a n 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 目录 目录 第一章引言1 1 1 课题的意义和研究现状1 1 2 本文的主要工作4 1 3 论文各部分的主要内容5 第二章辛变换和相关估计6 2 1 作用一角变量6 相关估计7 第三章无限阶超线性碰撞振子的不变环面1 8 第四章小结2 8 参考文献2 9 致谢3 3 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 一引言 第一章引言 1 1 课题的意义和研究现状 本文我们讨论了一类带碰撞的无限阶超线性d u f f i n g 方程 ， l + ，协) e x p ( f ( x ) ) = p ( 亡) ，x ( t ) o ； z ( 亡) o ； ( 1 1 ) l x ( t o ) = 0 z 他手) = 一z 他i ) ， 其中x t 表示而d x ，( z ) ：z 2 扎+ 2 董1 口t ，劬r ，佗2 ，p ( 亡) 为c 5 光滑，且关于亡 是1 一周期，即p ( 亡+ 1 ) = p ( t ) 对任意的t r 碰撞振子是非光滑动力系统中的一类重要模型，它与很多实际问题有着 联系，如f e r m i - u l a m 加速器问题 1 】对偶台球问题 2 】，天体力学问题 3 】等 多年来人们已经从很多角度对碰撞振子进行了研究，参见 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 】 如果没有碰撞，方程( 1 1 ) 属于普通的d u f f i n g 方程 x + g ( x ) = p ( 亡) d u f f i n g 方程是简单而又不平凡的振动模型，它在物理，化学，生物，机械和 电子技术中有许多的应用同时由于其典型性，它又是研究共振现象，调和 振动，次调和振动，拟周期振动和随机过程等动力行为的非常好的数学平 台对它的周期解和拟周期解的存在性以及解的有界性、稳定性的研究一直 受到关注关于d u f f i n g 方程的周期解的存在性和解的有界性问题的研究成 果和进展，可以参见 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】以及他们的参考文献 d u f f i n g 方程是一个简单的h a m i l t o n 系统由于h a m i l t o n 系统的保守性， 解不可能是渐近稳定的所以通常的l i a p u n o v 方法并不适用在m o s e r 扭转 定理出现之前，人们对此类方程的拟周期解的存在性和解的有界性缺乏有 效的研究工具因此d u f f i n g 方程的解的有界性是颇具挑战性的问题 一引言无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 1 9 6 3 年，j m o s e r 在证明了他的著名不变曲线定理( m o s e r 扭转定理 1 4 】) 后宣布可以用来证明一类特殊的超线性d u f f i n g 方程解的有界性 1 9 6 6 年j l i t t l e w o o d 发表的两篇论文和1 9 6 8 年的专著 1 5 】中提出了超线 性和次线性d u f f i n g 方程的解是否有界? 1 9 7 3 年m o s e r 在 1 6 】中再次提出了 超线性d u f f i n g 方程的解的有界性问题这里超线性和次线性分别是指 l i m 盟：+ x - - * + o o z 和1 i m 盟：o 一+ z 这个问题直到1 9 7 6 年才有了最初的突破g m o r r i s 1 7 证明了方程 + 2 x 3 = v ( t ) 的所有解有界，其中只要求p ( 亡) 是连续的周期函数但m o r r i s 用到了椭圆函 数的特殊性质，他的研究思路不具普遍性 m o s e r 扭转定理证明了，一个标准的保面积( 或保相交) 扭转映射在高 阶的光滑小扰动下仍然保持不变曲线这些不变曲线反映在方程的扩充相空 间上就是不变柱面，由这些不变柱面就得到解的有界性以及拟周期解的存在 性所以应用m o s e r 扭转定理的关键是如何把d u f f i n g 方程的p o i n c a r 6 映射化 为标准的保面积( 或保相交) 扭转映射的高阶光滑小扰动这需要比较细致 的分析估计 1 9 8 7 年，r d i e c k e r h o f f 和e z e h n d e r 【1 8 给出了应用m o s e r 扭转定理的一 般框架，证明了方程 2 n + z 2 卅1 + p t ( 亡) = 0 ， 钆n ( 1 2 ) i - - - - o 的所有解有界，且有无穷多拟周期解，其中鼽c 。( s 1 ) ( t = 0 ，1 ，2 ，2 n ) 随后柳彬【1 1 】解决了d i e c k e r h o f f 和z e h n d e r 在 1 8 】中关于p i ( t ) 的光滑性 的公开问题 1 9 9 1 年s l a e d e r i c h 和m l e v i 【1 9 】和l e v i 1 2 】讨论了时变位势的d u f f m g 方 程 + k ( z ，t ) = 0 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 一引言 的解的有界性和拟周期解的存在性问题特别地l e v i 在其文章 1 2 】中考虑 了一类v ( x ，t ) 为类多项式的超线性d u f f i n g 方程，给出了一个很一般的研究 框架 1 9 9 8 年袁小平在文 1 3 中改进了l e v i 1 2 】的方法，把l a e d e r i c h 和l e v i 文【19 中关于t 的光滑性由c s 降低到c z 此后，还陆续有多个d u f f i n g 方程的解的有界性和拟周期解的存在性问 题的重要研究成果，如 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 】等 碰撞型的d u f f i n g 方程从力学上看描述了对固定墙发生完全弹性碰撞的 振子的运动其解的有界性和拟周期解的存在性也是其动力学研究的重要。 课题不仅如此，z h a r n i t s k y 在文【2 5 】中还指出碰撞型平面h a m i l t o n 系统的 相平面上的不变曲线的存在性就意味着台球问题、金属断裂学中重要的焦 散曲线( c a u s t i c s ) 的存在性 但碰撞产生的运动的速度方向的改变导致了碰撞型平面h a m i l t o n 系统对 角变量0 不能满足m o s e r 扭转定理的光滑性条件，从而不能直接利用m o s e r 扭转定理来证明其相平面上的不变曲线的存在性、解的有界性和拟周期解 的存在性 1 9 9 8 年，v z h a r n i t s k y 根据完全弹性碰撞的特点，把碰撞系统转化为具 有中心对称向量场的h a m i l t o n 系统，并且用在广义相空间中交换时间变量 和角变量角色的方法来克服光滑性不够的难点( 这个变换已在多个问题中用 过) ，分别得到了线性碰撞振子 2 5 和台球问题的扩充相空间上的不变环面的 存在性、解的有界性和拟周期解的存在性【2 6 z h a r n i t s k y 在这两篇文章中给 出了一种碰撞型平面h a m i l t o n 系统的研究框架在文【27 中，z h a r n i t s k y 还 研究了f e r m i u l a m “乒乓问题的不稳定性 2 0 0 1 年，r o r t e g a 2 8 】讨论了带周期强迫力的完全弹性线性碰撞振子 f lz a , + a 2 z = p ( 亡) ，x ( t ) o ； z ( 亡) o ； ( 1 3 ) iz ( t o ) = 0 葺( 古) = 一z 7 ( t o ) ， 在这篇文章中，o r t e g a 定义了碰撞振子的后继映射，利用后继映射克服 3 一 引言无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 光滑性不够的难点然后应用推广的m o s e r 小扭转定理，证明了在一定条件 下，线性碰撞振子( 1 3 ) 的解的有界性等 2 0 0 5 年，钱定边和孙西滢在文 2 9 】中讨论了渐近线性振子的碰撞模型 ， l + a 2 z + ( z ) = p ( ) ，x ( t ) o ； z ( 亡) o ； ( 1 4 ) iz ( t o ) = 0 = 今 ( 亡吉) = 一( 石) ， j 一一 其中表示鬲f i x ，p 是光滑函数，而且关于t 是2 卅周期，即p ( 亡+ 2 7 r ) = v ( t ) 对 任意的t r 文【2 9 】给出了相关条件，证明了方程( 1 4 ) 在该条件下在扩充 相空间上有不变环面，从而得到解的有界性和无穷多拟周期解的存在性 王志国和王奕倩在文【3 0 】中讨论了超线性振子的碰撞模型 ， l + z 2 n + 1 = p ( 亡) ， z ( 亡) o ；， z ( 亡) o ； ( 1 5 ) ix ( t o ) = 0 毒( t 手) = 一z 他i ) ， 其中p ( t ) c 5 证明了方程( 1 5 ) 在扩充相空间上的不变环面的存在性等 然而，由于应用m o s e r 扭转定理需要对解的多次导数的估计，。上述诸文 章一般都假设d u f f i n g 方程中的位势函数y ( z ，t ) 关于x 的高阶导数与低阶导 数之间有类似于多项式的控制关系我们称这种d u f f i n g 方程是有限阶的 无限阶的超线性d u f f i n g 方程的解是否有界以及拟周期解是否存在呢? 比如 对于z k ( z ，t ) 不能被y ( z ，t ) 控制的位势，相应的d u f f i n g 方程的情况如何? 袁小平在其博士毕业论文的第三章考虑了这个问题 本文进一步考虑碰撞振子的相应问题，证明了无限阶的超线性碰撞型 d u f f i n g 方程不变环面的存在性、解的有界性和拟周期解的存在性 1 2 本文的主要工作 我们讨论了一类无限阶超线性d u f f i n g 方程 z + ，7 ( z ) e x p ( f ( x ) ) = p ) ，z r 1 ( 1 6 ) j 一 竹一1 其中表示i ( i x ，( z ) = z 2 n + a i x t 。，v ( t ) 为c 5 光滑，而且关于t 是1 一周期， 即p ( 1 ) = v ( t ) 对任意的t r 4 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 一 引言 综合l e v i 文 1 2 】和袁小平文 1 3 】中的证明思路和方法，把碰撞d u f t i n g 方 程问题转化为碰撞的h a m i l t o n 系统问题，通过作用角变量进行变量代换， 并对相关变量进行估计，再利用隐函数定理，进行一系列变换，把碰撞问题 转化为h a m i l t o n 系统的小扰动问题，并给出相应的p o i n c a r 6 映射，最后利用 m o s e r 扭转定理，我们得到系统在扩充相空间上的不变环面的存在性，从而 得到如下定理： 定理当( x ) = z 2 几+ ea i x ，a i r 1 ，礼2 ，p ( 亡) c 5 ( s 1 ) 时，以下结 i = 0 论成立： ( 1 ) 方程( 1 1 ) 的每个解都是有界的，且当初值充分大时，这些解既不能 跑到无穷远也不会跑到零点 ( 2 ) 方程( 1 1 ) 有无穷多拟周期解 ( 3 ) 存在印0 ，使得对v w 印，方程( 1 1 ) 具有一个旋转数为u 的m a t h e r 型解( t ) = ( z u ( 亡) ，吒( 亡) ) ，具体地说： 若u = 笔q 且( p ，q ) = 1 ，则苞( 亡) = ( 亡+ t ) = ( ( 芒+ i ) ，z 乙( 亡+ z ) ) ( o i q 一1 ) 是周期为q 的b i r k h o f f 型周期解 若u r q ，则( 1 1 ) 的解气( 亡) 或者是通常的拟周期解，或者对应于 d e c o y 型最小集舰，三 i 两面) 的广义拟周期解 其中( 3 ) 的证明应用了a u b r y - m a t h e r 理论，见【3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 】 1 3 论文各部分的主要内容 第二章主要是辛变换和相关变量的估计，分为两小节第一节我们讨论 了作用角变量；第二节对各变量作出估计，然后证明了一些基本引理 第三章则通过一系列变换，利用m o s e r 扭转定理证明了本文的定理首 先，由于向量场的p o i n c a r 6 映射关于角度0 的光滑性不够，所以我们利用隐 函数定理，结合文 2 9 ，3 0 中方法将( j ，0 ) 和( h ，t ) 的作用相交换，然后，进 行一系列变换，把碰撞问题转化为h a m i l t o n 系统的小扰动问题，并给出相应 的p o i n c a r 6 映射，最后利用m o s e r 扭转定理证明了扩充相空间上的不变环面 的存在性、解的有界性和拟周期解的存在性 5 二 辛变换和相关估计无限阶超线性碰撞型d u f l l n g 方程的不变环面 第二章辛变换和相关估计 2 1 作用角变量 我们先考虑一类无限阶超线性的d u f f i n g 方程 z + ，7 ( z ) e x p ( f ( x ) ) = p ) ，z 酞1 ， ( 2 1 ) 其中 ，( b ( 2 面， 2 n - - 1 ，( z ) = z 2 n + 口t ， o t 豫1 ，n 2 ， p ( 亡) c s ( s 1 ) i = 0 由于证明方法类似，只是不等式估计较为复杂些，我们不妨假设f ( x ) = z 记 v ( x ) = e x p ( x 2 n ) 一1 方程( 2 1 ) 变为 自治微分方程 等价于下面的h a m i l t o n 系统 + y 7 ( z ) = p ( 亡) + v 7 ( z ) = 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) z 7 = y ，y = 一v ( z ) ，( 2 4 ) 其h a m i l t o n 函数为h ( x ，y ) = i 1 可2 + y ( z ) 当h 充分大时，h ( x ，y ) = h 在( z ，y ) 平面上是一条包围原点的简单闭曲 线，记为r h ，它与z 轴交于两点，设其坐标分别为 一( 日) ，o ) ，( z + ( 日) ，o ) ，且 z 一= z 一( 日) 0 ，显然v ( z 士( 日) ) = h 记r 日在( z ，y ) 平面上包 围的面积为j ，函数凰( ，) 通过下式定义 歹可如“ i - 1 ( = ，v ) = n o 6 ( 2 5 ) 变环面 二 辛变换和相关估计 2 娩i 厄丽鸱 为矿( 一z ) = v ( x ) ，故 蚯e 厄硬心 对于平面r 2 上任一点( z ，可) ，令 s ( x ，) = 讵以丽丽必 j 0 我们通过下式定义辛变换矽，：( z ，y ) _ ( p ，n & ( z ，) = y ，( z ，i ) = p ， 方程( 2 2 ) 变为一个h a m i l t o n 系统，其h a m i l t o n 函数为 日( 口，t ) ；s o ( j ) 一p ( t ) z ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) 这里z = x ( o ，i ) 由( 2 9 ) 确定 由于碰撞系统( 1 1 ) 要求z 0 ，所以为了充分地描述该系统的动力学行 为，我们需要修改h a m i l t o n 函数参照文【2 6 】可用1 2 7 l 代替z ，这样就可以假 定z 0 ，消除了碰撞的限制这个做法实际上是把方程( 1 1 ) 的相平面z 0 作中心对称的延拓这样对应于碰撞系统( 1 1 ) 的h a m i l t o n 函数为 h ( 1 0 l ，i ，t ) = 凰( ，) 一p ( t ) l x i = t o ( j ) + h 1 ( 1 0 1 ，i ，亡) ( 2 1 1 ) 2 2 相关估计 在下面讨论中，我们用c ，c 。，c 2 等来表示通用的正常数，并始终假定定 理的条件成立下面我们首先对位势函数y ( x ) 作些增长性的估计 引理2 1 记彬( z ) = 器，则下列不等式成立： ( 1 )e l i x l 七( 2 n - 1 ) ( y + 1 ) i d 南y ( z ) f c 2 l x l 七( 2 n - i ) ( y + 1 ) ， ( 2 )l d 南w ( z ) i c i z l l 一船，0 k 1 0 ， ( 3 )i w 协) i j 证明： ( 1 ) 显然成立 7 8 9 0 2 2 ( ( 2 二 辛变换和相关估计无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 ( 2 ) 的证明：因为 所以 故 即当k = 0 时，( 2 ) 成立 由( z ) 的定义有 两边对z 求导得 一w ( z ) i x a 时， w 协) i 丢 互1 通过引理2 1 ，我们可以对j l d ( 日) 进行如下估计 引理2 2 当h 1 时，有不等式 c l h ( 1 n h ) 1 i o ( h ) c 2 h ( 1 n h ) 1 证明： i o ( h ) ：淅r 厕蜒：4 v - 互h jr j 0j 0 令警= ? 7 ，则 口 ( 2 1 4 ) 张，( 2 1 5 ) i o ( h ) = 4 讵日 z 1 而揣 ( 2 1 6 ) 由引理2 1 ( 1 ) ( 2 ) 知 c 1 ( 日叩+ 1 ) ( 1 n ( h y + 1 ) ) 1 一磊1 v 7 ( y 一1 ( 日叩) ) c 2 ( 日叩+ 1 ) ( 1 n ( 日? 7 + 1 ) ) 1 一丽1 ( 2 1 7 ) 于是 獬，等日；0 1 而丽斋等而 ch ch ch = - d ( 1 n ( 砌+ 1 ) ) 去 ( 1 n ( h 7 7 + 1 ) ) 击志咖 ( 1 n ( h + 1 ) ) 刍南却 q 日j 1 【l n 日) 丽1 ， 9 二 辛变换和相关估计无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 类似地司证 如( 日) c 1 h ( 1 n h ) 去 口 设m = m ( x ，日) 是关于z ，h 的连续可微实函数令 f ( m ) = ( f ( m ) ) ( 氖h ) z x 么1 万m + + h ( m w ) z ； ( 2 1 8 ) f o ( m ) 全m ，p ( m ) = a ( 之2 ：2 缈( m ) ； ( 2 1 9 ) j + ( p ( 聊) = a ( p ( m ) ) ( a ，h ) v h - v ( a ) h w ( a ) ； ( 2 2 0 ) 妒1 ( 日) ：a 厂m ( 专，日) 诉f 硒 ( 2 2 1 ) 下面两个引理是对函数m 的相关估计 引理2 3 就1 1 0 ，使得i ，1 4 + l g l 4 6 ； 则r 在s 1 陋，b 】上有一形如 入= u + u ( ) ，7 = + 秽( ) 的不变曲线，其中乱，钞为1 一周期连续可微函数，且满足，+ m 。g ，u 是 a + s ，b 一】上满足条件 i u 一言i + 叼_ 5 2 ，p ，g 为任意的非负整数，且g 。 的无理数进一步可知该不变曲线诱导的映射有如下形式 _ + u 1 7 三无限阶超线性碰撞振子的不变环面 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 第三章无限阶超线性碰撞振子的不变环面 本章我们将给出定理的证明首先参照 1 8 给出一些函数类，利用这些函 数类的性质可证明变换后系统的p o i n c a r 6 映射满足m o s e r 扭转定理的条件 定义3 1 我们称，( j d ，p ) 砭知( 7 ) ，如果任给e 0 存在伽( e ) 0 ，c 0 ，使 得当p 伽( e ) ，0 s 1 时有 i d ：f ( p ，o ) 1 c p 一。+ r + ，0 l k ( 3 1 ) 性质3 1 ( 1 ) 若，( p ，0 ) 砭知( r 1 ) ，g ( p ，p ) 爿七( ，2 ) ，则( ，9 ) ( p ，口) 砭缸r l + r 2 ) ； ( 2 ) 若，( p ，0 ) 硝( r ) ，且i ，( p ，口) i c i p i r ，贝i j ( 亭) ( j d ，p ) 爿埘( 一r ) ； ( 3 ) 若，( p ，0 ) 硅 ( r 1 ) ，g ( p ，0 ) 砭纠( r 2 ) ，且i g ( p ，伊) i c 2 ，r 2 0 ， 则f ( g ( p ，p ) ，0 ) p 2 ( k ) ( r l r 2 ) ； ( 4 ) 若，( p ，0 ) 爿知( r ) ，贝0 珥i ( p ，0 ) 磁k - j ) r 一歹) ，0 歹七； ( 5 ) 若厂( j d ，0 ) 矗k ( r ) ，贝i ji ( p ，0 ) 磁 ( r ) ，0 j 庇； ( 6 ) 若r 1 0 存在p o ( e ) 0 ，c 0 ， 使得当p 肋( e ) ，( 0 ，亡) s 1xs 1 时有 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) l d d ：，( p ，p ，t ) l c p 一。+ + ， m 0 ，l 0 ，m + f k ( 3 2 ) 性质3 2 若f ( o ，j d ，亡) p 七( n ) ，g ( o ，j d ，亡) 硝惫( r 2 ) ，则( ，g ) ( p ，p ，亡) 硝知( r 1 + r 2 ) ； 若，( p ，j d ，t ) 砖免( r ) ，且i f ( o ，p ，t ) l c 例r ，则( 手) ( p ，p ，亡) 硝七( 一r ) ； 若f ( o ，j d ，亡) 硝南( r 1 ) ，g ( o ，p ，t ) 巧知( r 2 ) ，且i g ( o ，p ，t ) l c 捌r 2 t r 2 0 ， 则，( p ，o ( o ，p ，t ) ，亡) 砖凫( r l r 2 ) ； 若f ( o ，p ，t ) 砖知( r ) ，则珥f ( o ，p ，芒) 曩七一( r - j ) ，0 歹砖 若f ( o ，p ，亡) 砖七( r ) ，贝! j ( o ，p ，亡) 户f ( r ) ，0 歹詹； 若r 1 r 2 ，则曩惫( r 1 ) c 磋砖( r 2 ) ； 1 8 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 三 无限阶超线性碰撞振子的不变环面 性质3 1 和性质3 2 的证明见 1 8 】 引理3 1 凰( j ) 硝6 ( 2 ) ， h l ( 1 e l ，t ) 砖6 ( o ) 证明：任给e 0 ，当j 充分大时有： ( i n 日0 ( 聊6 i 利用引理2 2 ，引理2 7 和命题2 2 即得本引理口 由于日l 关于0 不可导，我们就交换0 和t ，通过p o i n c a r 6 映射对0 的积 分消除不光滑性注意到 i d o h d t = 一( 日出一i d o ) ， 这意味着，如果( 2 1 1 ) 中j = i ( t ，h ，口) 作为t ，h , 0 的函数可解，则h a m i l t o n 函 数( 2 1 1 ) 对应的系统与h a m i l t o n 系统 f d h o i ( t ，h ，0 ) _ 一! 一一 jd 出o o i ( t ，彩) l d o 一石r 【亡( z ) 2 烛亡( p ) ，日( z ) = l i m 日( 护) ， pg 七，k + 三l k z ) ， 口彰 后，k + 三l k z ) ， ( 3 3 ) 0 ( 七，k + ；i 尼z 等价其h a m i l t o n 函数i = z ( t ，h ，0 ) ，相应作用，角和时间变量分别为h , t ，0 ， 这个技巧在文【2 9 ，3 0 】中使用过 应用隐函数定理，存在函数厶= 厶( t ，日，0 ) 使得 1 j = 而( 日) + 厶( 亡，h ，p ) ，0g 七，k + 去j 七z ) ， 其中而( 日) 如( 2 7 ) 定义 由引理2 2 和命题2 1 知而( 日) 砭6 ( ) 下面对h ( t ，h ，p ) 进行估计 引理3 2 将t ，0 视作参数，则 ，【m ) ( 日) c h 一仇( 日) ，1 m 6 证明： 因为 h = 凰( ，( 日) ) + h i ( j ( 日) ) ， 1 9 三 无限阶超线性碰撞振子的不变环面无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 所以， j ( 日) = 厶( 日一h 1 ( j ( 日) ) ) 故 所以 ，( 日) = ( 日一h 1 ( ，( 日) ) ) ( 1 一研( j ( 日) ) ，7 ( 日) ) = ( 日一h 1 ( j ( 日) ) ) 一( 日一研( ，( 日) ) ) 叫( j ( 日) ) j 7 ( 日) ， ，7 ( 日) = 矗( 日一日1 ( j ( 日) ) ) r f 习疆f _ 面名录面厕 昂( 日一凰) 研( j ( 日) ) =昂( 日一h o h ；( 上o ( h 一研) ) 百麦褊 ， 研( ，( 日) ) = 卜琢翁尚 = 勰川日吣琊( ，( 日) ) 1 叶 对充分大的h ，我们有 ，( 日) 2 i ；( h 一皿) c ( h 一皿) 一1 而( 日一日) c , 1 h - 1 厶( 日一h 1 ) = c l h _ 1 ，( 日) 即m = 1 成立同理可得 ，( m ( 日) c h 一仇，( 日) ，1 r n 6 口 引理3 3 i i ( t , h ，p ) 砖5 ( 一互1 ) 证明：设0 ，亡为参数，因为 h = h o ( ，( 日) ) + 研( j ( 日) ) ， 所以， h o ( ，( 日) ) = 日一研( ，( 日) ) ) 两边同时作用而，有 i ( h ) = 而( 日一日1 ( j ( 日) ) ) ， 无限阶超线性碰撞型d u f f i n g 方程的不变环面 三 无限阶超线性碰撞振子的不变环面 厶( 日) = i ( h ) 一厶( 日) = 厶( 日一1 - 1 1 ( j ( 日) ) ) 一而( 日) = 一i ：( h ) h 1 一( 1 一s ) 石( 日一s 日1 ) 研d s i ，0 易得 i i i ( h ) i c h 一互1 托 事实上， l 品( 日) l c h 1 厶( 日) c h - 1 日 ( 1 n 日) 去， 由引理2 7 知当h 充分大时有 l 研( j ( 日) ) l c ( 1 nh o ( i ) ) 6 c ( 1 nh ) 6 ， l i 。i ( 日) i c h - 2 i o ( h ) c h 一2 + 壶托， 小叫驰一s h l ) h 2 1 酬1 ( 1 8 ) i 石( 日一s h l ) h 2 1 幽 z 1 ( 1 _ s ) i c 胪书叩s c h 一；+ e 因为i = i o ( h ) + i i ( t ，h ，p ) ，所以， ，( 日) e l l + e 由引理3 2 知 j ( m ) ( 日) c h m + + e 正( 日) = 一彤( 日) 既( ，( 日) ) 一( 日) g ( j ( 日) ) ，7 ( 日) 一( 1 一s ) 1 2 ( h s 日1 ) ( 1 一研( j ( 日) ) j 7 ( 日) ) 研d s j 0 ，1 一( 1 一s ) 石( 日一s 日1 ) 2 h i ( ，( 日) ) 研( j ( 日) ) j 7 ( h ) d s ， j 0 对上式各项右边进行估计， i 石( 日) 风( ，( 日) ) l i c h - 2 i o ( h ) h i ( i ( h ) ) j c h 一量托， 昂( 日) 研( j ( 日) ) ，7 ( 日) l c h 一( 1 n 日) 击日一( 1 n 日) 六日一+ f c h 一；( 1 n 日) 6 c h 一1 一+ e ，