（基础数学专业论文）关于一族涉及亚纯函数微分多项式的正规定则.pdf

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去z 斯l o g + | ，( r e 吲如 ( r ，) = f 业宇业出州。，f ) l o g r 其中露( r ，) 为亚纯函数，在p ：h r ) 内极点的个数( 重级极 点计算重数) ，靠( o ，穷为。作为f 的极点的重数( 如果。不是，的极 点，那么n ( o ，f ) = 0 ) 砘肛r 亟掣出州。，f ) l o g r 其中n ( r ，) 为亚纯函数f 在伽：例 0 ，使得对于任意的z c ，有 一( z ) m 1 9 9 4 年，s c h w i c h 6 最早研究与分担值相关的亚纯函数族的正规 性问题，他证明了 定理a 设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，口l ，眈， 0 3 是三个互相判别的有穷复数若对于任意的f ，有f ( z ) 与 ，) 在内分担口1 ，o * 2 ，a 3 ，则，在上正规 在【4 】中，庞学诚教授和以色列数学家z a l 咖蛐改进了s m w i = k 的 结果，证明了如下的结果 定理b 设芦是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，n ，b ，c ， d 是四个有穷复数且满足n c ，b d 若对于任意的f 只有 ，( z ) = 4 号厂( z ) = b 及f ( z ) = c = 争，心) = d ，则，在上正 规 方明亮和z a l c m a n 2 ，叶亚盛和庞学诚【7 】继续改进上述结果，证 明了 定理c 设，是定义在区域d 上的一族亚纯函数，n ，b 是两个 非零有穷复数，k 是一个正整数若对于任意的，兀，的零点 重级至少为k + 1 ，且满足，( 。) = 1 7 , 卓= = ，( ) ( z ) = b ，则，在d 上 正规 针对上述结果，本文证明了如果将假设条件中的，( z ) = a = 争 ，( 砷( z ) = b 改为，( 。) = 口搴= f ( z ) = b ，这里f 为，的微分多项 式，那么结论仍然成立即， 定理1 设芦是定义在平面区域d 上的一族亚纯函数，且零 点重级至少为k + 1 设a l ( z ) ，眈( z ) ，a k ( z ) 在d 解析且不恒 为零，记，的微分多项式为f ( z ) = ，( ) ) ( 。) + n 1 ( z ) f ( k - 1 ) ( 。) + + a k ( ；) ，( z ) ，如果对于任意的，只我们有，( 。) = a 车= 亭f ( 。) = b ， 这里a 0 ，b 0 是两个常数，则，在d 上正规 2 基本公式与引理 引理1 设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，零 点重级至少为并且存在正数a l ，使得当，( z ) = 0 时有 1 f c ) ( 2 ) lsa ，则对于任意的o t ，0 口七，如果，不正规，那么存 在 ( 1 ) 实数r ，0 r 1 ， ( 2 ) 复数列钿，k i r ( 3 ) 函数列厶只 ( 4 ) 正数列p n ，加一0 + ， 使得鼽( ( ) = 陈。厶+ 加( ) 在c 上按照球面距离内闭一致收敛 于一个非常值亚纯函数9 ( ( ) 更进一步，若记( ( ) = l g g ) l c t - i - 1 9 ( ( ) 2 1 ) ，贝l j 有9 8 ( ) 一( o ) = k a + 1 引理2 设，是定义在复平面c 上的亚纯函数，如果，的球面 导数在c 上一致有界，则，的级至多为2 ，如果，是整函数，那么 ，的级至多为1 引理3 设，是一族定义在d 上的亚纯函数，零点重级至少为 七十l 且极点重级至少为2 如果对于任意的，有，( 。) ( z ) l ， z d ，那么，在d 上正规 引理4 设g 是一个级p ( g ) 1 的非常数整函数，其零点重级 均2 ；n 是一个非零有穷复数；s 4 是一偶数若有g ( z ) = 0 ；号 o ) = n 和矿( 名) = 口考( z ) = g ( ，( 名) = 0 ，则g ( z ) = 掣，其 中z o 是常数 引理5 设，( z ) = 严+ a , n _ l z n - 1 + + 知+ 糕，蜘，口l ，是 常数，0 ，q ( z ) ，p ( 。) 是两个互素的多项式，且d e g q d e g p ，詹是一 个正整数若，( ) ( ：) 1 ，则有 ( 1 ) ，l = 七，且州= 1 ； ( 2 ) ，( 。) = 击z + - f a l z + 知+ 南 ( 3 ) 若，( 。) 的零点的重级至少为七+ 1 ，则结论( 2 ) 式中m = 1 ，且 m ) = _ ( c z 万+ d ) k + 1 ， 其中口，6 ，c ，d 是常数，o 0 ，b 0 9 3 定理的证明 如若不然，不妨设d = 如果存在点z o ，使得尹在句处 不正规，那么由引理1 得，存在 ( 1 ) 复数列，一幻， ( 2 ) 函数列厶只 ( 3 ) 正数列陬，砌一0 + ， 使得跏( e ) = 簖厶( + p n ( ) 在c 上按照球面距离内闭一致收敛 于一个非常值亚纯函数9 ( ( ) 更进一步地有一( ( ) 一( o ) = k + 1 我们断言： ( a ) g 的所有的零点的重级至多为k - i - 1 ， ( b ) 9 以 ( c ) 口的极点重级至少为2 假设存在( 0 c ，使得9 ( ( o ) = 0 ，则因为g ( ) 0 ，所以 f a h u r 谢t z 定理得，存在厶一( o ，使得鲰( 厶) = 0 ，即厶( + 加厶) = 0 于是，由假设条件得，d ) ( + 砌厶) = 0 ，j = 1 ，2 ，七所以 括( 白) = 0 ，即( 白) = 0 ，j = 1 ，2 ，k 这就表明g 的零点重 级至少为k + 1 ，也就证明了断言( a ) 而对于( b ) ，如果存在白c ，使得9 ( ) ( c 0 ) = b ，则9 ( ) ( e ) b ， 否则的话，存在( 1 c ，使得g ( ( ) = 6 k 一( 1 ) 烈，这与9 的 零点重级至少为k + 1 矛盾于是，由于9 ( ) ( ( 0 ) = b ，故存在 白的邻域u = u ( c 0 ) ，使得g u ) 和毋在u 内解析且在 u 内内闭一致收敛于g ，j = 0 ，1 ，2 ，k 于是，晶( 十p ，l e ) = 毋( ( ) + a l ( 钿+ 加( ) 辨一1 ( ( ) + + 口k ( + 肌( ) 砖鲰( e ) 在u 内内 闭一致收敛于g ( ) ( e ) ，所以存在白，厶一白，使得r ( + 肌厶) ；b ， 而由条件假设得，厶( + 加( n ) = 口，从而 跏) ：丘掣：暑 所以g ( ( o ) = l i m 鲰( 靠) = 0 0 ，这与9 ( ) ( 白) = b 矛盾所以( b ) 成 立 下面证明( c ) 假设存在( o c ，使得夕( c o ) = o o 由于g o o ， 则存在闭圆盘k = 五湎，= ( ：i e 一白l j ，使得当，l 充分大 时，1 g 和1 跏在，2 5 ) 上解析，并且1 跏在耳上一致收敛 于1 g ，于是l 鲰( ) 一砖a 也在k 上一致收敛于l g ( e ) 又由于1 g 不是常数，所以存在( n ，白一白，使得当n 充分大 时有 【_ 一丛；o 鲰( 厶) o 。 于是有厶( 锄+ 砌厶) = 口从而有晶( 锄+ 砌白) = b 若知= 1 ，则由磊( e ) + n 1 ( + 风白) 加鲰( 矗) = b 可知 ( 志) l = 撬 _ 瓣 = 熙l _ 堕血黧掣卜。， 因此，白是g ( ( ) 的重级极点所以，g 没有简单极点 类似的，若k = 2 ，则由 鲥( ( ) - i - 口l ( + 加厶) 耽磊( 白) + a 2 ( z n + 加矗) 以鼽) = 6 ，得 ( 志) ”l 。娟 = 撬( 志) ”l 仁白 = 热 _ 糕+ 。孵 = 熙 _ 糕 + z 熙 错 = 熙 血型巡鬯措出必 + 。溉 孵 = 熙 坐巡删笔黯出幽 + 。熙 错 = 。熙 ( 一糕( 洲 由于熙9 n ) = o o ，所以由上式可得 熙 _ 瓣 2 = o 故( 1 9 ( ) ) t ，= 0 ，因此白是9 ( ( ) 的重级极点故g 没有简单 i = 0 极点 通过简单计算可知 ( 赤) = 一参 ( 志) ”= 一爹+ z 譬 ( 志) 忙= 一笋删，学+ m z 努 于是，若七3 ，由数学归纳法得 ( 射= 一拳州筹+ 。曼。a 矿 这里a 是( z g ) ，( z g ) ”，( 1 l g ) ( k 1 ) 的多项式然而，辨( ( ) = r ( + 砌( ) 一a l ( + p n ( ) 肌拶一1 ( o 一( 钿+ 加e ) 破鲰( ( ) ， 1 2 于是可得， ( 射k = 熙( 志) l = 热| _ 貉州鲻+ 。曼。硼白) = l i m 鲤芝学竺州黜+ 差i = 0 k y n i j 2 1n ，c 、 鲧( 白)靠“( 白) 厶1 “o ” = 熙融“帮州黜+ 鬈绷矗) = 熙幽叫旷川筹一( 扩+ 静叫扎白) + 。l i m m t 粼+ 曼i = 0 硼白) = 撬k 糕) 灯萎科c 厶，卜卅 这里聩也是( 1 9 ) ，( 1 1 9 ) ”，( 1 9 ) 一1 的多项式由于熙鲰( 厶) = ( 3 0 ，所以由上式可得 恕 糕卜 于是即得( 1 扫( e ) ) i ，= 0 ，从而c o 是g ( ( ) 的重级极点因此，g o = 铀 没有简单极点，所以( c ) 成立 由引理4 和5 得，9 ( c ) = k o ) 。+ 1 k t ( ( 一6 ) ，这里口，b 口是c 上的两个常数，但是，这就与g 的所有极点都是重级的矛盾定 理证毕 参考文献 【1 】1 j o e ll s c h i f f , n o r m a lf a m i l i e s ，s p r i n g e r - v e r l n g ，( 1 9 9 3 ) 【2 jf a n gm i n g l i a n ga n dz a l c m a n ，l ，n o r m a lf a t u i t i e sa n ds h a r e dv a l u e s o f m e r o m o r p h i cf i m c t i o n si l l ，c o m p u t m e t h o d sf u n c t t h e o r y , ( 2 ) 2 ( 2 0 0 2 ) 3 8 5 - 3 9 5 f 3 】p a n gx u e c h e n g ，s h a r e dv a l u e sa n dn o r m a lf a m i l i e s ，a n a l y s i s2 2 ( 2 0 0 0 ) ， 1 7 5 - 1 8 2 【4 】p a n gx u e c h e n g z a l c m a n ，l ，s h a r i n gv a l u e sa n dn o r m a i l i t y 【j 】， a r i k i vf d rm a t h e m a t i k ，3 8 ：1 ( 2 0 0 0 ) ，1 7 1 - 1 8 2 f 5 】p a n gx u e c h e n ga n dz a l c m a n ，l ，n o r m a lf a m i l i e sa n ds h a r e dv a l u e s j l ，b u u l o n d o n m a t h s o c ，3 2 ( 2 0 0 0 ) ，3 2 5 - 3 3 1 【6 】w s