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一类非线性波动方程的初边值回题 摘要 本文主要讨论了一类非线性的色散耗散波动方程的初边值问题，在 对非线性项进行了一些限制的条件下，得出其整体广义解的存在性 全文安排具体如下； 在第一章前言中，我们主要介绍这类非线性波动方程的物理背景以 及前人取得的一些进展 在第二章中，我们主要介绍了偏微分方程的基本知识，在下面的章 节中将会用到。如s o b o l e v 空间，嵌入定理等等 在第三章中，我们研究了这类非线性波动方程的第一边值问题，利 用g a l e r k i n 方法并结合能量估计，得到了方程整体广义解的存在性 在第四章中，我们证明了关于方程的第三边值问题的整体广义解的 存在性 在第五章中，我们对本文的工作作了总结。 关键词：非线性色散耗散波动方程，边值问题，g a l e r k i n 方法，整体 广义解 = 耋童丝丝些塑壅塞竺垫堡堡堡矍 a b s t r a c t 叨1 i 8p a p e rs t u d yi n i t i mb o u n d r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a 嬲o fn o n l i n e a r d i s p e r s i v e - d i s s i p a t i v ew a v ee q u a t i o n s e 幽t e n o ft h eg l o b a ls o l u t i o ni sp r o v e d u n d e rs o l n er e s t i c t i o n s0 1 1t h en o n l i n e a rt e r m t h ew h o l ep a p e ri sa r r a n g e d 够f o l - l o w s ：i nc h a p t e r1 , w ew i l li n t r o d u c e8 0 m ep h i y c a lb a c k g r o u n do ft h i se q u a t i o n ， a tt h es a i i l et i m e ，w ew i l l 融l 啷s o m er e s u l t sa v a i l a b l es of a r i nc h a p t e r2 w ec o l l e c ts o m eb a s i cm a t e r i a lw l l i c l lb eu s e di nt h en e x tc h a p - t e r s s u c h s o b o l e v8 p i t c o 。i m b e d d i n gt h e o r e m sa n d8 4 ) o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h i sn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t ht h ef i r s tb o u n d a r y c o n d i t i o n s a n dt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o ni sp r o v e db yt h em e a n so ft h e g a l e r k i nm e t h o d i nt h ec h a p t e r4 , w es t u d yt h i sn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t ht h et h i r db o u n d - a r yc o n d i t i o n s a n dt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o ni sp r o v e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w eg i v eac o n c l u s i o no ft h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd i s p e r s i v e - d i s s i p a t i v ew a v ee q u a t i o n ，b 0 1 l 】1 d a r yv a l u e p r o b l e m ，g a l e r k i nm e t h o d ，g l o b a lw e a ks o l u t i o n i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结a 蚺本人承担 学位论文作者签名：一一良卅幻仟 l 、一 n 。彳年6 月日 9 f 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密， 作者繇俸彩蒿眦+ 黧翠“召日 翩戳：、腼相嗍卅月1 日 、 】 一类非线性波动方程的初边值问题 第一章前言 关于非线性的高阶方程的问题，前人已经有许多的研究成果f i s - 2 3 ， 关于其解的存在性，不存在性，初边值问题并且给出了许多的研究这 一类问题的方法和思路 在国内外学者研究纵向波在非线性弹性杆中传播f 1 - 4 1 以及弱非线 性作用下空间变换离子声波传播【5 1 的问题时，分别得到了一些主部含 有“一，。但是非线性项各不相同的一些非线性的高阶方程，在文 【1 - 5 中，分别讨论了这些方程的孤立波解以及一些数值结果，关于这 些方程的初值及边值同题及初边值问题局部解和整体解的适定性的研 究，也已经有了一些结果1 6 - 9 1 考虑到实际物理背景中粘散和耗散的 不可避免性【1 0 - 1 1 】，则可以得到一些主部中含有t 。，。，“一的非 线性色散耗散波动方程【1 1 】 在文章【1 】1 中，作者通过对非线性弹性杆中应变孤波的传播问题的 研究分析，作出了这一问题的成熟的数学模型，在此基础上，文章【2 】 讨论了物理参数和几何参数对于波动的影响，阐明了孤波传播的主要 特征，并且将这一问题归结为k d v 方程，在文章【5 中，s y l e rce 等 在研究空间离子声波问题时也提出了同样的方程，这些模型都可以抽 象为以下的非线性双曲方程的初边值问题：， t 螗一a u 一t b 一t 如= ，( 牡) ， “i a n ( 0 t ) = 0 ， u ( ，o ) = t o ( z ) ，t t ( z ，0 ) = “l ( $ ) ； 其中的未知函数u ( 霉，t ) 表示的是非线性弹性质点的应变位移，函数，( u ) 为已知函数，它表示的是非线性弹性杆所受的力，于是孤波的存在性 同题也就转化成了上述四阶非线性色散耗散波动方程的整体解的存在 性 1 对于这方面的研究，前人已经有了一些成果，如尚亚东在文献f 1 4 】 中，限制f ( u ) c 1 ，上方有界，并且当n 2 时，l ，( t ) f a l u 一+ b ， 利用g a l e r k i n 方法结合能量估计，证明了在0 2 和0 p o o ，t ；= 2 两种条件下，上述波动方程的整体解的存在唯一性，并 且研究了解的渐进性质文献【1 3 在文献 1 4 】的基础上，将增长条件 l ，( 锃) i a l u l + b ，0 o ，b21 为常数，当= 1 ，2 ，时l p 0 0 c s ；而1 使得拙，( “) f m ) 本文中，我们取同题右边的非线性项f ( u ) = pi “| p _ t 钍+ ，( 。，t ) ，证 明了在0 p o ；和l p so o ，p 0 两种情况下，波动方程的第 一边值问题； 珏# 一a u 一t 毒一t = p l 钍l p 一1 缸+ ，( z ，妨， l 。n x ( d ，t ) = 0 ， 让( 奎，0 ) = = t o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = u l ( 王) ； 的整体广义解的存在性，以及该波动方程的第三边值问题： 锄一a u 一魄一撼= p i t i p l i t , + ，0 ，t ) 象+ o t l ti 舳x ( 0 = 0 t ( z ，0 ) = t 0 ( 写) ，t t ( z ，0 ) = 乱1 0 ) ； 2 一类非线性波动方程的初边值向题 的整体广义解的存在性( 其中我们假设n 舻为适当光滑的有界区 域) 3 第二章一些预备知识 2 1s o b o l e v 空间 设q c 舻为一开域对任何整数m 0 ，任意实数p ，1 p o o ， 考虑函数空间 1 1 7 “9 ( q ) ：= 口：d 4 酽( n ) ，i a l m ， 其中口= ( 8 t ，) 为整指标，= 叠k i ，驴。表示口的分布导数这 个空闻范数 。 扣。抑= ( 1 鑫i ( i 伊卵出) ；，如，s p o 。 一，。2 郴m a 。x e 鲫s 硎u pi d 。v ( z ) 1 ) ，如p 2 o 。 构成一个b a n a c h 空间，这种b a n a c h 空间，我们叫做s o b o l e v 空间 有时我们也采用半范数 。枷= ( i 暑p 卵甸5 ，如- p 。o 1 4 - , n 。i m = 1 = 8 ) 【m e s 。u n p _ d 4 口( 曲m 如p 2o o ， 对于帮上每个函数”，记 嘞( ”) = 石百f 可册， 并称之为函数”的支集( s u p p o r t ) 支集属于n 的紧集的一切无限次可 微函数的全休记为d ( i 2 ) ，即 d ( = t ，：s u i 印( v ) cq 紧，t ，i ? ”( n ) ， 一类非线性波动方程的初边值问题 d ( n ) 按范数i 。棚的闭包记为w 守9 ( q ) ，显然 w 矿巾( q ) cw m 护( n ) 一般，w 矿。( q ) 是w m t p ( n ) 的一个真闭子空间，记 日f “( n ) = w ”o ( q ) ， 月铲( n ) = w 9 9 ( n ) ”i i r a , n = ”神，1 1 。，n = i 1 哪，o ，于是丑m ( q ) 依范数n 构 成一个h i l b e r t 空间，王留( n ) 为其闭子空间 为简便计，我们有时将以上空间中的范数，半范数简记为 | 1 | i 。，i ，i i 。，i l m 2 2s o b o l e v 嵌人定理 s o b o l e v 嵌入定理是s o b o l e v 空间中最重要的理论，其证明过程可以参照 文献【2 5 】 s o b o l e v 嵌人定理设q c 彤为一有界区域，1 p + c o ( 1 ) 若n 满足一致内锥条件，则当p = n 时，有 1 p ( f 1 ) c ( n ) ，1 q + 。o 而且对任意的u w 1 护( n ) ，有 i it i l 口( o ) sc ( n ，q ，f t ) 0 ”i f w - 一( n ) ，1 q + o 。， 当p n 时，有 1 9 ( q ) c 俨( 豆) ，o 8 l 一芸， 而且对任意的“w 1 ，一( q ) ，有 i n c ( 州q ) i i 钍l l w t 州n ) o n l 一： 在这里，我们称p 为p 的s o b o l e v 共轭指数，而称上述三个不等式中的 常数c 为嵌入常数 注；上述嵌入定理可以简记为 w 1 ，p ( n ) q l q ( q ) ，1 q 矿= 旦n - p ，p n ； w 1 j ( f 1 ) t j 4 ( q ) ，1 q + o 。，p = 嗡 1 一( q ) q 伊) ，0 n 注：需要说职的是上面的第三个嵌入，即 w 1 9 ( n ) 一c 。 其含义是，对任意的n w l , p ( f 1 ) ，总可以通过修改u 在一个零测度集 上的函数值，使u 为c 。( 硒中的函数 重复应用嵌入定理k 次，可以得到如下推论： h 冲p ( q ) q f ( n ) ，1 sq p = 卫n - l t 拳，坳 ，l ； w 叠p ( n ) - _ 工4 ( n ) ，1 sq o ，p 1 ，g 1 ，并且；+ ；1 = 1 则有 。s 警+ 鲁 特别的，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式 设 0 ，在上述不等式中用妃和 6 代替。和b ，可得 带的y o u n g 不等式设口 o ，b o ，p 1 ，口 1 ，e 0 ，并且；+ ：= l - 则有 一。 a b 壁+ 尘s 甜+ 孚伊 pq 特别的，当p = g = 2 时，它变为 曲s 争+ 去铲 7 上述不等式也称为带的c a u c h y 不等式 设qc 舻为一可测集，下面是口( q ) 空间中几个常用的不等式 h s l d e r 不等式设p 1 ，q 1 ，并且；1 + j = 1 若，妒( n ) ，g 口( q ) ， 则f g 正1 ( n ) ，且 五i ，( z ) g ( z ) f 如si l l ( z ) lj p ( n ) i i g ( z ) i i 助( n ) 特别的，当p = 口= 2 时，它变为 五i ，( z ) 9 0 ) i 如i i f ( x ) l l 职n ) i i g ( z ) l j 驴( n ) 称之为s c h w a r z 不等式 m i n k o w s k i 不等式设1 q + o o ， 9 p ( n ) ，则，+ g p c n ) ，且 “，+ g f l p ( n ) si i ，0 ) f | p ) + b ( l i p ( n j p o i n c a r 6 不等式设i sq + o o ，q c 舒为一有界区域，则有 ( 1 ) 若u 懈一( f 2 ) ，则 上i i d z c 上1 v n l 9 d r ； ( 2 ) 若a ( n ) 满足局部l i p s c h i t z 条件，u w 1 9 ( n ) ，则 上l u u n l 9 d x _ c i v u l 7 d x ； 其中c 是仅依赖于n , p ，n 的常数， = 高上心) 如2 丽厶血 这里我们用i q i 表示n 的测度 8 一类非线性波动方程的初边值问题 第三章关于一类非线性波动方程的第一边值问题 3 1 引言 主部为锄一“一地一地的波动方程，有许多学者已经做过一些 研究，本文设定f l 。( o ，句铲( q ) ) 当0 p o ；和1 5 p ，芦 2 ) 为适当光滑的有界区域 3 2 一些先验估计 设协0 ) 及九分别表示下列特征方程问题的特征函数及特征值 一z 如= a 妒，纠a n = 0 则慨( z ) ) ，i = 1 ，2 ，3 ，是懈。( n ) 的一个正交完备基设问题的近似解 为t u l v ( x ，t ) = 口矾( ) 忱( z ) = 1 ” 9 由g a l e r k i n 方法，适当选取( n m ( t ) ) ，使得近似解满足如下的非线性常微 分方程组的初值问题 如一如脚一胪u n ) v a z ) 如 1 ) = f d u l u n i - 1 + ，( 。，t ) ) ( 如，j = 1 ，2 ， 令 a m ( 0 ) = a n i ，氐( o ) = b n i ，( 3 2 2 ) 其中( i n t ，b m 是“o ( z ) ，“t ( z ) 依 忱( z ) 展开时的傅立叶系数 引理3 2 1 假设u o ，让1 孵2 ( q ) ，0 0 ，则对任 意的t 0 ，都有 0v l t n ti i p ( o ) + i iv u n0 2 ( n ) + 0 “tl i l k ( n ) e 证明用m 代替( 3 2 1 ) 式中的函数仍( z ) ，则有 ；爰皈( 1 “z ，圳2 + l v “州州) 1 2 + i v u ( 列) 一出】+ 上i v u 如，圳2 如 = 寿象zi u ( z ，圳舛1 如+ 上，( 。，t ) u t 血 将上面等式两边同时对时间从0 到t 积分得 ；魄( 1 u t ( z ，t ) 1 2 + l v “t ( 毛t ) 1 2 + i v ( 。，t ) 1 2 ) 捌+ r z l v “z 一1 2 如幽 一；l 上( i 蛳( 缸o ) 1 2 + i v u t ( q o ) 1 2 + i v u ( z ，o ) 1 2 ) 酬 = 矗与ol u g ( 。，t ) i 叶1 如一焘上i u ( 毛0 ) l 升1 出+ r 上，( z ，s ) “t 如如， 其中( 0 t s 整理得 ； f a ( 1 u m t ( 毛t ) 1 2 + n u m ( z ，t ) 1 2 + l v ( z ，) 1 2 ) 叫+ j ( 上i v u m ( z ，t ) 1 2 如如 石上i “扣，) l 升1 如+ o 上，( 五s ) u m d x d s + ；眨( b 。( 则) 1 2 + i v 蛳( 圳) 产+ l 矾眩o ) f 2 ) 捌 由题设条件可知 于是， l i “t 扣，o ) 刍( n ) + i w u n t ( z ，o ) | | 参( n ) + i i v u ( z ，o ) l l b ( n ) 一| i t i f i 玉( n ) + i i w , f 各( n ) + 1 9 f f 各( n ) i 乱m 和，o ) 1 1 2 ：( t o + i l v u j , , ( x ，o ) 各( 钟+ l l v - ( z ，o ) i i b ( n ) d ( 3 2 4 ) 因为0 p i ，所以p + 1 2 由y o u n g 不等式得到 歹各上i u w ，t ) f 一1 d zs e l | u 1 1 2 z ( n l + g 。 从而，结合p o i n c a r 6 不等式得到 歹缶zl u g , ( z ，t ) j 一1 缸e | | v 牡嵫+ o ， 使用y o u n g 不等式和p o i n c a r 6 不等式可以推出 f 五，扛，口肌d x d s 0 ， 都有： 0u n t t0 舻( n ) + v t h1 l 工2 ( n ) e 证明用u m t 代替( 3 2 1 ) 式中的函数协( z ) 得 i iu n t t 慨( n ) + i fv “ ，h 怯( n ) + f v u n v “m d x + f ov u 廿v u n 如 = 上他，t ) u n u d z + l i u l u n f p - l u n u n t t d x 于是， l l v u “睡+ f l “旺, c o ) - f 。i v “一v u n t d x + f t ) i v u n u v u n i 如 4 - lf ( x , t ) u n u 如+ 上p i - l u , u m , , 如 ( 3 2 7 ) 利用h s l d e r 不等式得 0 v “0 b n ) + l i “h l l 玉( n ) c d l v u m 1 2 。( m + i i v 钍“i f 知( o ) - i - c i l v u n i l 2 。4 - e i i v 缸h 怯( n ) 托i i t “嵫( n ) + c 1 l f ( x ，t ) 1 1 2 z ( n ) + c i l u 睡( n ) + i | 蛳# 临( n ， ( 3 2 8 ) 根据h s l d e r 不等式，y o u n g 不等式以及p o i n e a x 6 不等式得 i i t 舀i | i ：( n ) c ；+ t 正知( n j c ：+ e | i v t r i l 2 。( n ) ( 3 2 9 ) 将( 3 2 9 ) 式代入( 3 2 8 ) 式，并且取适当小，则 i w u n n l l 参( n ) 4 - l | 钍嵫( n ) c i w u m l l 2 z ( n 】 + e i i v 锃乞( n ) + c t l ( x ，t ) l l 知( n ) + g 于是，利用引理3 2 1 詹g 结果得到 v u h l | p ( n ) + i l u , v u l i l 2 ( a ) e 1 2 一类非线性波动方程的初边值问题 证毕 在第二种情况中，我们假设右边的非线性项af “r 1u 满足条件： p 0 ，1 ps ；笺其他条件同引理3 2 1 和3 2 2 ，同样可以得到t ， t 埘。，”批的范数的有界性，由此，我们可以得出如下的引理3 2 3 和引 理3 2 4 引理3 2 3 假设u o ，t l 埘。( n ) ，1 p 南，p 0 ， 都有 l l v u n t0 胪( n ) + 8 v i l 口( n ) + 0 t t0 二2 n ) e 证明用t m 代替( 3 2 1 ) 式中的函数协( z ) ，则有 ；丢【五( 1 u 肌( 毛t ) | 2 + i v 札n t ( x ，t ) | 2 + l v u ( z ，t ) 1 2 ) d 科+ 上i 审u m ( z ，t ) 1 2 d x = 石爰上i ( 毛s ) l p + 1 出+ 上，( 蜀”乱m d x 将上面等式两边同时对时间从0 到t ( o 0 有 0 “雌0 工2 ( n ) + 0 v u n n i k 2 ( n ) e 证明用“。代替3 2 1 式中的检验函数仍( z ) 得 于是， i i “t t 嵫( n ) + i iv u i l k ( n ) + f nv u n n v u m 出+ 上v “t c n v u n d x - - = s ( 印) 咖+ 上p 川p - l u n i z m , d , x i i v t 黼临( 。) + i i “怯( 哟 - i ai v u - v u v u s t i 如+ f i v 缸肌v 陋 + l os ( 氩幻u 舢+ 上川u ，i ”i t t s u d z ( 3 1 2 1 2 ) 1 4 一类非线性波动方程的初边值同题 利用h 6 1 d e r 不等式得 i i v “口8 参n ) + i i u _ 抖瞻p ( n ) c c i i v , , n d l 5 n ) + e i i v 让n 付i i b ( n ) + c , l l v n l l d ( n ) + s i l 砚h 临( n ) + e l | 铆忸i l 参( n ) + c r l l f ( x ，t ) | i 易( n ) + g l f 矿l l 冬( n ) + f f z 啸n l 睦。( n ) ， ( 3 2 i s ) 取e 适当小，则 1 i v “矗ij b ( n ) + i l “h i i 参( n ) e i l v _ t i i b i n ) + c l i w m i i 易( ) + c l l f ( x ，t ) l l 长( n ) + g l | 嵋嵫( n ) 于是，利用引理3 3 3 的结果以及函数，( z ，t ) 的性质，碍到 l i v “j l 参固+ i j t 胀1 1 2 。棚) c + c ：i l t 蜀i l 知( n ) ( 3 2 1 4 ) 因为1 s p 南，s o b o l e v 嵌入定理 1 1 1 1 5 ( 锄= 正川卸出= i i u n t l l ( n ) _ c l l u _ ，( n 】 ( q = 2 p ) ( 3 | 2 1 5 ) 将3 2 1 5 代入3 2 1 4 上式，结合引理3 3 3 得到得到 l i v # i i 驴( n ) + i l u n i i l ( ) e 3 3广义解的存在性 定理3 3 1 ，假设蛳，l 懈o ( n ) ，0 0 则问题( 3 1 1 ) 在qx 【o ，习上存在广义解u t ) ，并且满足 t ( z ，) l ( o ，t ；h z ：, 2 ( n ) ) ， t t ( $ ，d 。( o t 嚼2 ( n ) ) ， 1 5 u u ( x ，t ) e 五”( 0 ，t ；w o 2 ( n ) ) ； 对一切妒( 。，t ) c o o ，r ；w 2 2 ( o ) n 二叶1 ( o ) 】，成立 f o r 上u ( x , t ) j p ( z ，t ) 出+ f 上( v 毗+ 饥t + v u ) v 妒如 = f ( u i “i p - 1u + ，( z ，t ) ) 妒( z ，t ) d z 证明：由于函数pi “r 1 “+ ，( 马t ) 关于1 1 连续，则容易得到问题 ( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 存在局部解另一方面，由引理3 2 1 对任意给定的t 0 ， 问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 ，2 ) 在f 0 ，t 上存在整体解又由引理3 2 1 ，3 2 2 可知， 钳扛，t ) , u m ( z ，) u u ( z ，辞在三* ( o ，乃孵工( g ，中有界，因此，由紧性定理 得到存在h ( z ，t ) 的子序列( z ，t ) 使得 u v ( x ，t ) 让( z ，t ) 于l 。( o ，r ；埘2 ) ) 弱+ 收敛， ( z ，t ) + “t ( 而t ) 于工”( o ，t ；w j 2 ( q ) ) 弱+ 收敛， n ( z ，t ) 锄0 ，t ) 于p 。( o ，置埘2 ( n ) ) 弱收敛， ( z ，t ) u ( x ，t ) 于l 2 强收敛， ( z ，t ) + u ( x ，t ) 于nx1 0 ，卅几乎处处收敛 。由plur 1 + ，( z ，t ) 关于u 的连续性及( 茁，t ) 在q = q 【0 ，邪 上几乎处处收敛于“p ，t ) ，则有_ l it ，( 霸t ) r 1 + ，( z ，t ) 在q 上几乎 处处收敛于pi 。i r l “+ ，瓴t ) 因此由弱+ 收敛定义，得封对任意的 i p 扛，t ) c o o ，r ；w o o ( n ) nl 叶1 ( q ) 】，者5 有 0 骢厶。似i 扛，t ) r 1 + ，( z ，t ) ) 妒d q t 2 厶。( p i u ( x ，t ) r 1 缸+ ，( 而t ) ) v d q , 在( 3 2 1 ) 式左右两边同乘以任一如f ( t ) c o 求和，等式成立，令= v o o ，我们就知道了对任意的妒( 墨t ) c o o ，t ；附。( n ) n 矿h ( n ) 】等式也 成立即知“( 为t ) 为同题( 3 1 1 ) 的广义解 1 6 一类非线性波动方程的初边值同题 定理3 3 2 假设，u 1 埘。( q ) ，1 p 尚，” 2 ，乒 0 则问题 ( 3 1 1 ) 在n ( o ，t ) 上存在广义解u 0 ，t ) ，并且满足 让( z ，t ) l 。( o ，t ；- 瑶j ( q ) ) ， 毗p ，t ) 三户( 0 ，t ；w ：2 ( q ) ) ， t “( ，l ( 0 ，t ；w o 2 ( q ) ) i 对一切妒，t ) e 伊【0 ，r ；孵2 ( n ) n p + 1 ( q ) 】，成立 f 上u 。( z ，t ) 妒( 。，d 如+ f 上( v 抛+ v u 。+ v “) v 州r = f z f u r 珏+ ，。，力) 妒。，) 如 证明过程同定理3 3 1 的证明综上，我们得到了在上述两种情况 下非线性问题的广义解的存在性 3 4 关于第一边值问题的一些拓展 在本节中，我们对本章前三节的内容作进一步的延伸，对于p 2 ) 是足够光滑 的有界区域，并且假设常量n 0 ，在0 p 0 和1 p o o ，p 0 两种情况下，参考文献【2 7 】中的方法，即可以得到上述同题广义解的存 在性 4 2 一些先验估计 设协( z ) 及沁分别表示下列特征方程问题的特征函数及特征值 则 忱( z ) ) ，i = 1 ，2 ，3 ，是w 1 。的一个正交完备基设问题的近似解 为： u n ( x ，t ) = a ( t ) 忱( z ) 量l 蚝锄苏 一类非线性波动方程的初边值问题 由g a l e r k n 方法，适当选取( 口m ( t ) ) ，使得近似解满足如下的非线性常微 分方程组的初值问题 ，n ( n t t 一2 t n t t 一t t 一u ) 吩( z ) d z ( 4 2 1 ) = j n ( 肛i t p 一1 t 4 - ，扛，t ) ) 协( z ) 如，j = 1 ，2 ， 冷 口m 【o ) = 口m ，d k ( o ) = b m ，( 4 2 2 ) 其中a m ，是咖( z ) m 依钕 展开时的傅立叶系数 引理4 2 1 定义范数川，对v u w 1 , 2 ( q ) ，= i f i w l 24 - a 蔓m 2 】 则范数i i i 川是s o b o l e v 空间w o ( q ) 的一个等价范数，也就是说， 存在与函数t l 无关的正常数，a ，仍对t w l , 2 ( o ) ，有； a i l “l | w t 。( n ) 1 1 1 u 1 1 l 伤l l l l w ，( n ) 证明：有定义易知是空间的一个范数，使用$ o b o l e v 嵌入定理，我们知 道存在个正常数，使得： u 2 _ c a i v 训2 + 上们 因此有： | | 叫2 = 上i v ”1 2 + 口东铲g 噱i v “1 2 + 五铲】= q l 训l 静t 。印) 也就是说，存在一个正常数q 0 ，1 1 1 , 1 1 i c 2 f 叭。( o ) 其次我们将证明 存在个正常数研o ，窃f t 。，i i l t d l f 通过特征值定理，问题4 1 1 的第一个特征值a - 满足：。 。 坯缸业絮等也一。 因此t 墨s 地訾警也， - i i j e ! ! 目_ e ! 口日_ _ j _ 自日_ _ _ 目i l - g j e e e g j e l ，- = = = = 目i 目目e - _ - 一 这意味着有。 t 上u 2 如 - a w q l 2 d x + na a u d z 于是引理4 2 1 得证 引理4 2 2 假设u 0 7 u l 彤1 4 ( o ) ，0 0 ， 都有 f f n 6 w l 。( n ) + 0t 1 1 w l a ( n ) - e 证踢：用。聊代替( 4 2 1 ) 式中的函数仍( 写) ，并且利用第三边值条 件，则可以得到如下等式 上札”“札胁如+ 上v “w v “m d x + 肿n u n i i i v t d 睇 + 上v u m v 牡时厶a u n t u m d z + 。v u u “乳m 如 l j c no m n t t u n t 如= p 上l r l u t 如+ 上，( e 。) t m 如 此等式可以进一步转化为 ：差上l n 柳1 2 出+ j i 。d 。- t 。l v 1 2 妇+ 厶a l “1 2 如1 + ；爰i 五l v 牡m 1 2 如+ 乙口m t 1 2 d 叫+ 五l v 乜m 1 2 如 + 厶a l m 1 2 如= 石爰上i n i 升1 如+ 厶，( z ，t ) “m d 。 对上式两边同时乘以2 ，并且对t ( o t r ) 积分，则得到 二l 蛳1 2 如+ 上l v 蛳j 2 如+ 厶n i 1 2 如 + 上i v 缸肌1 2 出+ 厶。i 让帆1 2 如+ 。r 上l v ”矿如幽+ z o 厶n k 胁f 2 如幽 = 砉苦上i i 竹1 出一i 告上i 让( o ) | 时1 出+ z r 五，( 力m d x d t + 2 鼬 其中 e _ 五l 计i ! ( 0 ) 1 2 血+ 厶i v 让( o ) 1 2 如 = 圣：壁竺堡塑童塞墼至堡堡垦矍 + 厶a i u n ( o ) 1 2 如+ j i v 乱n t ( o ) 1 2 如+ 厶a i u t ( 0 ) 1 2 d z 则容易推得下面的不等式 五i v u 1 2 出+ 厶aj 蛳1 2 如+ 五l v u m , 1 2 出 + 厶a i “帆1 2 + 2 o 上i v 乱肌1 2 出小+ 2 oi 口i t t 肌1 2 d a 以s s i 台上i 口i 舛l 如+ 2 f 五，( 墨t ) u m 出d s + 2 鼬 ( 4 2 3 ) 因为o p 1 ，所以p + l 2 由y o u n g 不等式得到 击二l u g , ( 为t ) l 卧1 如s 1 1 “v j l 参+ q 根据引理4 2 1 ，得到，存在常数c ，使得； 五i t w o ，t ) 1 2 如s 研上i v u ( z ，t ) 1 2 如+ 厶a l u n ( z ，t ) 1 2 d z 】 从而可以得到不等式 ， 为与上l 蛳( z ，t ) i 升1 如s 6 【上i v u n o ，t ) 1 2 如+ 厶a