（基础数学专业论文）黎曼流形上的bakryemery曲率算子及其应用.pdf

关键词 中文：b a k r y e m e r y 曲率算子，梯度估计，s c h r 6 d i n g e r 方程，r j c c i 流，刘维尔 型定理，h a n a r c k 不等式 英文：b a 姆一e m e r yc u r v a t u r eo p e r a t o r , g r a d i e n te s t i m a t e ，s c h r & l i n e re q u a t i o n , r i c c if l o w , l i o u v i l l et h e o r e m ，h a r n a c ki n e q u a l i t y 中文摘要 摘要 这篇博士后出站报告中主要讨论七个问题。 ( 1 ) 在r i c c i 流理论中我们引入了b a k r y e m e r y 曲率算子的一些技巧，证明 了关于b a k r y e m e r y 数量曲率的提升方程作为它的应用，我们很容易地推导 出p e r e l m a n 能量泛函的单调性公式，同时我们还讨论了一些关于r i c c i 曲率的梯 度估计和数量曲率的p 估计 ( 2 ) 对任意带有非负的a a k r y e m e r y 的r i c c i l 曲率且完备的流形上，我们 证明了l 调和函数的梯度估计，并且利用它推导出关于l 调和函数局部 的h a m a c k 不等式以及一些关于正的或有界的l 调和函数的刘维尔性质 ( 3 ) 主要是讨论非紧流形上抛物型s c l l r 6 d i n g e r 方程解的椭圆型梯度估计， 并且利用它来证明s c h r 6 d i i l g 盯方程解与维数无关的h a m a c k 不等式以及刘维尔型 定理 ( 4 ) 我们证明了l i - y a u 抛物不等式的局部指数形式，它是r i c c i 曲率有负下 界且完备的流形上热方程解的梯度估计的局部形式同时我们还利用这个结果证 明了热方程解局部的h a n a r c k 不等式和热核的局部高斯型下界估计 ( 5 ) 我们证明了r i c c i 曲率有负下界且完备的无边界流形上s c h r 6 d i n g e r 方 程解的局部梯度估计，同时我们还利用这个结果证明t s c h r 6 d i n g e r 方程解局部 的h a n a r c k t j ：等式和热核的局部高斯型下界估计 ( 6 ) 设m 为r i c c i 曲率有负下界一k 且完备的无边界的n 维流形，如 果b 为m 上的向量场使得i b ls7 且v b k ，这里7 为非负常数，k 。为实的 常数，那么方程珏+ b u = 0 任意正的解满足如下最优的梯度估计： 譬驯耳+ 甄) + 熹 其中m n 为任意实的常数 ( 7 ) 利用两种不同的方法讨论了带权流形上热方程和s c 龇g e r 方程 解的h a r n a c k f i 占计我们先利用最大模原理证明热方程解的梯度估计，从而得 到解的h a m a c k 估计；另外我们利用算子半群的方法证明位势函数为常数 的s c h r r & t i n g e r t y 程解的u a m a c k - 占计 英文摘要 a b s t r a c t ht h i sr e p o r t w ew a n tt od i s c u s st h ef o l l o w i n gs w p r o b l e m s ： ( o w e i n t r o d u c es o m e t e c h n i q u e s o f b a k r y e m e r y c u r v a t u r e o p e r a t o r t o r i c c i f l o w a n dp r o v et h ee v o l u t i o ne q u a t i o nf o rt h eb a l d y e m e r ys c a l a rc l l r v a t u r e a si t sa p p l i - c a t i o n , w ec a ne a s i l yd e r i v et h ep e r e l m a n se n t r o p yf u n c t i o n a lm o n o t o n i c i t yf o r m u l a w ea l s od i s c u s ss o m eg r a d i e n te s t i m a t e so f r i c c ic u r v a t u r ea n d l 2 一e s t i m a t e so f s c a l a r c 卫r v a t u o ( 2 ) f o ra n yc o m p l e t em a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v eb a h - y - e m e r y sr i c c ia 岫r v a t i l l f e w ep r o v et h eg r a d i e n te s t i m a t eo f l - h a r m o n i cf u n c t i o n a sa p p l i c a t i o n , w eu s et h i sg r a - d i e n t e s t i m a t e t o d e d u c e t h e l o c a l i z e d v e r s i o n o f t h e h a r u a c k i n e q u a l i t y f o r l - h a r m o n i c o p e r a t o ra n ds o m el i o u v i l l ep r o p e r t i e so f p o s i t i v eo rb o u n d e dl - h a r m o n i cf u n c t i o n ( 3 ) w ed i s c u s st h ee l l i p t i ct y p eg r a d i e n te s t i m a t ef o rt h es o l u t i o no ft h et i m e - d e p e n d e n ts c h r 6 d i n g e re q u a t i o n so nn o n c o m p a e tm a n i f o l d s a si t sa p p l i c a t i o n , t h e d i m e u s i o n - f r e eh a m a c ki n e q u a l i t ya n dt h el i o u v i l l et y p et h e o r e mf o rt h es c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n 躺p r o v e d ( 4 ) w ep r o v eal o c a l i z e dv e r s i o no f t h ee x p o n e n t i a lf o r mo f l i - y a up a r a b o l i ci n - e q u a l i t y , w h i c hi sa n c o vl o c a l i z e dv e r s i o no f g r a d i e n te s t i m a t ef o r t h ep o s i t i v es o l u t i o n o ft h eh e a te q u a t i o n0 nc o m p l e t em a n i f o l d sw i t ht h er i c c ic u r v a t u r eb o u n d e db e l o w b yan e g a t i v ec o n s t a n t a si t sa p p l i c a t i o n , w ec a nd e d u c eal o c a l i z e dv e r s i o no ft h e h a r u a c ki n e q u a l i t yf o rt h eh e a te q u a t i o na n dt h eg a u s s i a nl o w e rb o u n do ft h eh e a t k e r n e l ( 5 ) w ep r o v ean e wl o c a l i z e dv e r s i o no f g r a d i e n te s t i m a t ef o rs c h r & l i n g e ro p c r - a t o ro i lt h ec o m p l e t em a n i f o l d sw i t h o u tb o u n d a r ya n dw i t hr i c c ic u r v a t u r eb o u n d e d b e l o wb yan e g a t i v ec o n s t a n la si t sa p p l i c a t i o n , w ed e r i v et h el i o u v i l l et y p et h e o r e m , t h eh a r u a c ki n e q u a l i t ya n dt h eo a u s s i a nl o w e rb o u n do f h e a tk e r n e lf o rs c h r 6 d i n g e r o p e r a t o r ( 6 ) l e tmb ea n yn - d i m e n s i o n a lc o m p l e t em a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r ya n dw i t h r i c c ic u r v a t u r eb o u n d e db e l o wb y 一耳w h e r eki sr e a lc o n s t a n t i f bi sav e c t o rf i e l d s u c ht h a tt h eh o r n ll b i 7a n dv b 皿o nm ，f o rn o u n e g a t i v ec o n s t a n t ，ra n dr e a l c o n s t a n t 甄，t h e na n yp o s i t i v es m o o t hs o l u t i o no f t h ee q u a t i o na n + b u = 0s a t i s f i e s 一一 墨壅塑茎 t h ef o l l o w i n gs h a r pg r a d i e n te s t i m a t e 譬 n f 7 1w eu s et w od i f f e r e n tm e t h o d st op r o v et h eh a m a c ke s t i m a t ef o rt h es o l u t i o n o fh e a te q u a t i o na n ds c h r & f i n g e re q u a t i o no nw e i g h t e dm a n i f o l d s f i r s t l yw eu s et h e m a x i m a lp r i n c i p l et op r o v et h eg r a d i e n te s t i m a t ef o rt h es o l u t i o no f h e a te q u a t i o n a s i t sa p p l i c a t i o n , w e c a n o b t a i n t h e h a m a e k e s t i m a t e f o r t h e s o l u t i o n o f h e a t e q u a t i o n o n t h eo t h e rh a n d , w ec a n n s ct h et h em e t h o do f s e m i g r o u po p e r a t o rt os h o wt h eh a m a c k e s t i m a t e f o r t h es o l u t i o n o f s e h r 6 d l i n g e re q u a t i o n w i t hc o n s t a n t p o t e n t i a l 一一 b a k r y - e m e r yc u r v a t u r eo p e r a t o ra n dr i c c if l o w 1 1i n t r o d u c t i o n l e t ( m ，g o ) b ea n yc o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l d t h er i c c if l o w 甍g ( t ) = - 2 r i ci sae q u a t i o ne v o l v i n gt h em e t r i cg ( t ) b yr i c c ic u r v a t u r er i c , w h i c hw a si n - t r o d u c e db yh a m i l t o n ( s e e 【2 4 】) i n 【2 4 ，h a m i l t o np r o v e dt h a tf o ra n yi n i t i a lm e t r i c g o ，t h e r ei sau n i q u es o l u t i o nt or i c c if l o wo v e rs o m es h o r tt i m ei n t e r v a lt 【0 ，卅w i t h g ( 0 、2g o t h ee v o l u t i o ne q u a t i o nf o rt h em e t r i ct g l l s o ri m p l i e st h ee v o l u t i o ne q u a t i o n f o rt h ec u r v a t u r et e n s o rr mo f t h ef o i l nd r m = q ，w h e r ed = 曩一i st h eh e a t o p e r a t o r , qi sac e r t a i nq u a d r a t i ce x p r e s s i o no ft h ec t l v a t u r e $ t h e nw ec a l ld e d u c e t h a tt h es c a l a rc u r v a t u r ers a t i s f i e st h ef o l l o w i n ge q u a t i o n ： ( 1 1 )d r = 2 1 m c l 2 r e c e n t l yp e r e l m a ni n t r o d u c e da ni m p o r t a n tm o n o t o n i c i t yf o r m u l ai nh i sf a r n o l l sp a p e r 【2 6 】，w h i c hi su s e f u lt oa n a l y z et h es i n g u l a r i t yp r o b l e mo fr i c c if l o w i n 【2 8 】，t h e a u t h o rd i s c u s s e das p e c i a lc a s ei ns i n g u l a r i t yp r o b l e mo f r i c c if l o w a sp o i n t e do u tb yp e r e l m a n , h i se n t r o p yf u n c t i o n a l ( 1 2 )岁= + i v f l 2 ) e l d v j m h a ss o m ec o n n e c t i o nw i t hb a b y - e m e r y sr i c c ic u r v a t u r e n o wl e t1 1 si n t r o d u c es o m e b a s i cc o n c e p ta b o u t a l a - y - e m e r yc u r v a t u r eo p e r a t o r sa n dc u r v a t u r et e n s o r s ( e 【3 】) w ed e f i n et h ec u r v a t u r eo p e r a t o rrb y r ( f ，力= ； ( 向) 一f a g 一9 ，) ，v ，9 俨( m ) ni so b v i o u st h a t r ( ，) = i v 1 2 一l 一 a n db a k r y - e m e r yc u r v a t u r eo p e r a t o rr 2i sd e f i n e dt ob eab i l i n e a rm a p ： r 2 ( ，9 ) = ； r ( ，g ) 一r ( z l ，g ) 一r ( ，g ) ，v ，g c a ( m ) i np a r t i c u l a r , w eh a v et h a t ( 1 3 ) r 2 ( f ，) = ； r ( ，) 一2 r ( a f ，m i nt h es e q u e l ，f o rc o n v e n i e n c ew es o m e t i m e sd e n o t er ( f ，f ) a n dr 2 ( ，f ) b yr ( ) a n dr 2 ( f ) r e s p e c t i v e l y b yb o c h n e rf o r m u l a , w eh a v et h a t ( 1 4 )巧( ，) = r i c ( v f , v f ) + i h e s s f l 2 w h e r eh e s s fi sh e s s i o no f f f o rl f e a s o n sc o m i n gf r o mt h es t u d yo fd i f f u s i o np r o c e s s ，b a k r ya n de m e r y 【3 】 d e f i n e dag e n e r a l i z a t i o no fr i c c it e n s o ro fm b y 崩c = r i c + h e s s f 。i nt e r m so f i n d i c e s ：磁 = r 硒+ t a k i n gt h et m c eo f t h eb a k r y - e m e r yr i c c ic u r v a t u r e 。w e g e tt h eb a i 町一e m e r ys c a l a rc u r v a t u r er = 冗+ ，s of r o mi n t e g r a t i o nb yp a r t s ，w e o b s e r v et h a tt h ep e r e l m a n se n t r o p yf u n c t i o n a li st h et o t a ls c a l a rc u r v a t u r eo fb a k r y - e m e r ya b o u tt h ed e n s i t yd m = e - f d v i nf a c t , 岁= ：f ( r + j v 卯) e - i = 厶+ a f ) d m = j m j mj m i n s p i r e db yt h ee v o l u t i o ne q u a t i o n ( 1 1 ) f o r t h es c a l a rc u t v a a k r e , w ew a n tt ok n o w w h e t h e rt h e r ee x i s t sa l la n a l o g u ee v o l u t i o ne q u a t i o nf o rt h eb a k r y - e m e r ys c a l a rc u r v a - t u r e ，i e ( 1 5 ) 口五= 2 i 再磊1 2 i fi te x i s t s , t h e nw ee a s i l yo b t a i nt h ep e r e l m a n sm o n o t o n i c i t yf o r m u l a s oo u rf i r s t r e s u l ti st 0e s t a b l i s ht h ef o l l o w i n ge v o l u t i o ne q u a t i o nf o rt h eb a k r y - e m e r ys c a l a rc u r - v a t o r e ： t h e o r e m1 1 ：s u p p o s e dt h a t ( m ，g o ) i sac o m p a c tn - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n 一2 一 扣腻t h em e t r i cg ( t ) s a t i s f i e st h er i c c i f l o we q u a t i o n - 塞g ( o = - 2 r i cw i t hi n i t i a l c o n d i t i o ng ( o 、= g o i f f u n c t i o nfs a t i s f i e s 肪e f o l l o w i n gc o n j u g a t eh e a te q u a t i o n ( 1 6 ) 未，= 一，+ i v f l 2 一r t h e n | l ee v o l u t i o ne q u a t i o n ( 1 5 ) f o rt 沁b a k r y - e m e r ys c a l a rc u r v a t u r eh o l d sa l m o s t e v e r y w h e r eo nm ，m o r e p r e c i s e l y , w eh a v et h e f o # o w i n ge v o l v i n ge q u a t i o n ： ( 1 7 )口五= 2 i 元磊1 2 + h w h e r eh s a t i s f i e sl mh d m = 0 a si t sa p p l i c a t i o n , w ec a l le a s i l yo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y ： c o r o l l a r y1 1 ：u n d e rt h ea s s u m p t i o no t h e o r e mj j c u r v a t u r ei sn o n d e c r e a s i n g 加t i m e , e ( 1 8 ) 爰厶= 厶l 丽1 2 拥。 r e m a r k ：f r o ma b o v ed i s c u s s i o n , w ok n o wt h a tt h ep e r e l m a n se n t r o p yf u n c t i o n a l 箩 i se q u a l t o t h e t o t a l 8 a k r y e m e r y s c a l a r c u r v a t u r e s o c o r o l l a r y l 1 i m p l i e s p e r e l m a n s 箩f u n c t i o n a lm o n o t o n i c i t yf o r m u l a n o ww ed i s c u s st h eg r a d i e n te s t i m a t eo fr i e c ic u r v a t u r eu n d e rr i c c if l o w i n t h ec l a s s i c a lp a p e ro f r i c c if l o w , h a m i l t o n 2 4 】p r o v e dt h eg r a d i e n te g i m a t eo f s c a l a r c u r v a t u r eo nt h r e e - m a n i f o l d l a t e rh u i s k e n 2 5 】g e n e r a l i z e dt h i sr e s u l tt oa r b i t r a r y d i m e n s i o n a lc o m p a c tm a n i f o l d t h eg r a d i e n te s t i m a t eo fs c a l a rc u r v a t u r ec a l lb eu s e d t op r o v et h ep i n c h i n ge s t i m a t eo nc o m p a c tm a n i f o l d i n 【2 3 】，c h e n - z h up r o v e dt h e p i n c h i n ge s t i m a t eo n t h ec o m p l e t en o n c o m p a c tm a n i f o l d s i nt h i sp a p e r , w eu 翻m n et e e l m i q u e so fb a b y - e m e r ye u r v a t t t r eo p e r a t o rp r o v e t h ef o l l o w i n gg r a d i e n te s t i m a t eo fr i c c ic u r v a t u r eo nt h r e e - m a n i f o l d sw i t hp o s i t i v e r i c c ic u r v a t u l ： t h e o r e m1 2 ：l e t m b e a n y c o m p a c t t h r e e - m a n i f o m w i t h p o s i t i v e r i c c i c u r v a t u r e , t h e n u n d e r r i c c i f l o w , f o r e v e r y 0 t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t c ( t ) d e p e n d i n g o n l y o n 叩a n d 一3 一 i n i t i a lv a l u eo f t h em e t r i c , s u c ht h a to n0 t 0t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc ( y ) d e p e n d i n g o 1 yo n 叩a n d i n i t i a lv a l u eo f t h em e t r i c , s u c ht h a to n0 t 0a n dac o n s t a n tc 0 t h e r ee x i s t sae n l a s t a n t c ( 们d e p e n d i n go m yo n 叩a n di n i t i a lv a l u eo ft h em e t r i c ，s u c ht h a to n0 墨t ni sap o s i t i v ec o n s t a n t ，r i cd e n o t e sb yr i c c ic u r v a t u r eo fm ，b = 壹驴( z ) 蠡，驴b i st h es y m m e t r i cp a r t 。f v bd e f i n e db y i = 1 v 5 b k ，叩) = ： + ) ，v ( ，町t m h e mt md e n o t e st h et a n g e n tb u n d l e 毹m i nt h ec a s ew h e r eb = 一v 以t h em k r y e m e r y sr i e c ic u r v a t u r eb e c o m et h a t ( 1 2 ) 7 丽= 威c + v 2 妒一熹v 砂o v b yt h eb o c h n e rf o r m u l a , i ti se a s yt os t h a tt h ef o l l o w i n gb a k r y - e m e r y sc u r v a t u r e - d i m e n s i o ni n e q u a l i t y ( s e e 【3 】) h o l d s ： ( 1 3 ) r 2 ( ，) 去( 2 k r ( l i ) ，v ，c a ( m ) f f a n do n l yi f r c 一k ，w h e r ek 0i sac o n s t a n t i n 【3 5 ，q i 矗np r o v e dt h ef o l l o w i n gc o m p a r i s o nt h e o r e m ： l e m m a2 1 ：l e t la n d m b ea b o v ea s s u m p t i o n , i f r i c 一j tt h e n w h e r ep ( 写) = d ( x o ，z ) ，d ( x o ，z ) d e n o t e s 廊pd i s t a n c ef r o mt h ef i x e dp o i n tx ot o 墨 c u t ( x o ) i st h ec u tl o c u so f z o c o m b i n i n gl e n u n a2 1w i t ht h em a x i m u mp r i n c i p l e ，w ec a l lp r o v et h ef o l l o w i n g g r a d i e n te s t i m a t eo f l - h a r m o n i cf u n c t i o m t h e o r e m2 1 ：l e tl ，mb ea b o v ea s s u m p t i o l f , 矿丽一西t li s p o s i t i v el - h a r m o n i c f u n c t i o n 加ab a l l 忍o ( 冗) cm ，t h e n ( 1 4 ) i v u l 1 2 m + 4 v k - m m r 牡一r 一 i nb ( 等) ，w h e r e1 ii s 珐gn o r ma b o u tt h em e t r i c ( ) l 鲥 n r e m a r k ：1 i f , = a t h e nt h eb a k r y - e m e r y sr i c c ic u r v a t u r ei sr i c c ic u r v a h n e o f ma n d m = 付i n t h i sc a t h e o r e m 2 1 i s y a u sr e s u l t ( s e e 【1 8 ) 2 r e c e n t l yx d l ip r o v e das i m i l a rg r a d i e n te s t i m a t ef o ras y m m e t r i cd i f f u s i o n o p e r a t o r , i e l = 一v 妒v ( s e e 【4 】) 3 o u rp r o o f m a i n l yf o l l o w e dy a u sm e t h o d ，b u ts o m ep r o p e r t i e so f b a k r y e m e r y o p e r a t o rw a su s e di no u rp r o o es ow es i m p l i f i e dy a u sp r o o f c o r o l l a r y2 2 ：s u p p o s e dt h a tr i e 一k i sap o s i t i v el - h a r m o n i c f u n c t i o ni na b a l lb 跚( r ) ，t h e n ( 1 5 ) 罢) 珏s 秒8 俪r 蕊) “ b o ( 詈) 风o ( ) w h e nw ea s s l l m e h a tr i c20 ，w ec a l lo b t a i nt h ef o l l o w i n gs t r o n gl i o u v i l l e p r o p e r t yo f l - h a r m o n i cf u n c t i o no i lm c o r o n a r y2 3 ：s u p p o s e d t h a tr i c o jl i sa p o s i t i v eo rb o u n d e dl - h a r m o n i c f u n c - t i o no nm t h e n 钍i sc o n s t a n t o nt h eo t h e rh a n d , w ea l s os t u d i e dt h em a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v eb a k r y - e m e r y r i c c ic u r v a t u r eo u t s i d eac o m p a c ts e t ，b y 【4 l 】，w ek n o wt h a tt h ea b o v es t r o n gl i o u v i l l e t h e o r e md o a 3 n th o l do ns u c hm a n i f o l d , h o w e v e rt h ea u t h o rp r o v o dak i n do f w e a kl i - o u v i l l et h e o r e mw h i c h s a y st h a tt h ev e c t o rs p a c e o f b o u n d e dh a r m o n i cf u n c t i o n so nt h e m a n i f o l dw i t hn o r m e g a t i v er i c c ic u r v a t u r eo u t s i d eac o m p a c ts e ti sf i n i t ed i m e n s i o n a l 一1 2 i nt h i sp a p e r , w eu s et h eg r a d i e n te s t i m a t ei nt h e o r e m2 1t oe x t e n dt h ew e a kl i o u - v i l l et h e o r e mt ot h em a n i f o l dw i t hn o m a e g a t i v eb a k r y - e m e r yr i e e ic u r v a t u r eo u t s i d ea c o m p a c t s e t t h e o r e m2 2 ：i f mh a sn o n n e g a t i v eb a l m y - e m e r yr i c c ic u r v a t u r eo u 豳i d eac o m p a c t s e t , t h ev e c t o rs p a c eo f b o u n d e d l h a r m o n 耙f u n c t i o n su f i n u ed i m e n s i o n a l , h e r el = a v 妒eb a l o y - e m e r y r i c c i c u r v a l u r ei s d e f i n e d b y ( 1 2 ) 7 2 2p r o o fo ft h e o r e m2 1a n di t sc o r o l l a r y i nt h i ss e c t i o nw ew a n tt op r o v et h e o r e m2 1a n di t sc o r o l l a r y , f i r s t l yw ep r o v et h e t h e o r e m2 1 p r o o f o f t h e o r e m2 1 ：c o n s i d e r i n gt h ef o l l o w i n gf u n c t i o ni n ( 冗) ， f ( x ) = ( r 2 一p 2 ) 妒( z ) w h e r e 妒= d i fv u = 0 ，t h e n t h ei n e q u a l i t y ( 1 4 ) i so b v i o u s t h u sw eo n l y c o n s i d e rt h ec a s eo f v u 0 ，s i n c ef ( z ) = 0a to a 。e k ( r ) ，t h e nf ( x ) m u s ta c h i e v e am a x i l l l u mv a l u ei nt h ei n t e r i o ro f ( r ) s u p p o s e dx l 岛o ( r ) b em a x i m u mp o i n to f f ( x ) ，b y 【1 8 , w i t h o u tl o s so f g e n - e r a l i t yw ec a l la s s u m et h a tz li sn o ti nt h ec u tl o c u so fx 0 t h e nb yt h en l a x i l n u m p r i n c i p l e ，a tz = z 1w e h a v e ( 2 1 ) ( 2 2 ) s i n c e ( 2 3 ) v f = 0 l f 0 l f = ( 舻一p 2 ) l 妒一妒l 矿+ r ( 砰一矿，妒) f r o m ( 2 1 ) ，w es e e t h a t a t $ = z l r ( 铲一矿，f ) = 0 1 3 s o w e h a v e t h a ta t z = x l ( 2 4 ) 畔名加一南啦2 硝肛矿) = 一为 s i n c e l u = 0 ，r ( f ，) = i v ，1 2 ，t h e n ( 2 5 )l l n u = 一f ( 1 n u ，i n = 一矿 c o m b i n i n g