（工程力学专业论文）非均匀损伤介质中波的传播与反演.pdf

硕士学位论文 摘要 研究了波在非均匀损伤介质中的传播及波动方程的反演。首先讨论了波在非 均匀损伤介质中传播的正问题，根据已知介质的性质和八射的波，求 ：接收处波 的响应。由于介质的非均匀性，在数学上表现为控制方程为高阶变系数微分方程。 对于二次曲线变化的非均匀损伤介质中波的传播，求出了利用特殊函数表示的解 析形式解。对于一一般的非均匀损伤介质中波的传播，不便于用解析解表示，可利 用数值法求解。把非均匀损伤区域进行分层处理，利用边界条件和层问的连续性 条件求解波动方程式。对于谐波形式的稳态波场，利用波在不同介质分界面上的 反射和透射系数，推出了波在分层介质中的传播的传递矩阵，利用传递矩阵法， 加一k 定解条件，直接求出接收端处接收到的稳态波场。对于瞬态波场，利用傅立 叶变换，把瞬态波展开成稳态波场的叠加，再运用分层介质中稳态波传播的分析 结果，求出各个稳态波的响应结果，然后再运用傅立叶逆变换，把结果反变换到 时域中去，求出瞬态波场的解。对非均匀损伤介质中波传播的解析解和数值解都 进行了算例分析，讨论了非均匀损伤介质的不同损伤分布、不同损伤度、不同损 伤区域长度对波传播的影响。 在波传播的正问题的基础上，利用所求得的接收波的响应和入射波，对损伤 介质的性质进行反演。由于反问题的非线性和不适定性，在反演过程中，采用 n e w t o n 迭代法，把原来的非线性问题化为线性问题；采用t i k h o n o v 证则化方法 求解，使问题的不适定性得以解决。在正则化过程中，采用l 曲线来确定正则参 数，解决了正则参数的选取这一核心问题。通过实例分析表明一k 述反问题算法 是非常有效的。 关键词：非均匀损伤；波；传递矩阵法；反问题；n e w t o n 迭代法；正则化 a b s t r a c t t h et h e o r y o fw a v e s p r o p a g a t i o n i n i n h o m o g e n e o u sd a m a g e d z o n ea n d i n v e r s i o no fw a v em o t i o ne q u a t i o n sa r es t u d i e d b yt h ep r o p e r t y o fm e d i aa n d i n c i d e n tw a v et os e e ko fr e s p o n s ew a v e ，t h ep r o b l e m s o fw a v ep r o p a g a t i o ni n i n h o m o g e n e o u sd a m a g e d z o n em e d i aa r es t u d i e da tf i r s t d u et oi n h o m o g e n e o u si n p h y s i c s t h e c o n t r o l e q u a t i o n i s h i g h - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t hv a r i e d c o e f f i c i e n t f o rw a v ep r o p a g a t i o ni n aq u a d r a t i cc u r v ei n h o m o g e n e o u sd a m a g e d z o n e ，a n a l y t i c a l s o l u t i o n s e x p r e s s e ds p e c i a l f u n c t i o n sa r e g a i n e d b u t t ow a v e p r o p a g a t i o ni n c o m m o ni n h o m o g e n e o u sd a m a g e dz o n e ，i t sa n a l y t i c a ls o l u t i o n sc a l l n o tb e g a i n e de a s i l y a n dt h en u m e r i c a lm e t h o d sc a nb e a p p l i e d d i s p e r s i n g i n h o m o g e n e o u s z o n ei n t o l a y e r e d z o n e sa n d u s i n gb o u n d a r y a n dc o n t i n u o u s c o n d i t i o n sb e t w e e nt w ol a y e r s ，w a v em o t i o ne q u a t i o ni ss o l v e d t h eh a r m o n i cw a v e p r o p a g a t i o n i n i n h o m o g e n e o u s z o n ei s s t u d i e d ，t r a n s m i s s i v e c o e f f i c i e n ta n d r e f l e c t i v ec o e 瓶c i e n ta t t h ei n t e r f a c eb e t w e e nt w o l a y e r s a r e g a i n e d 。a n d t r a n s m i s s i o na r r a yo fw a v ep r o p a g a t i o ni sg a i n e d i n l a y e r e d m e d i a b a s e do n t r a n s m i s s i o na r r a ya n d b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h er e s p o n s ei so b t a i n e d o nt h eb a s eo f h a r m o n i cs o l u t i o n ，t h es o l u t i o n so ft r a n s i t o r yw a v ep r o p a g a t i o ni ni n h o m o g e n e o u s z o n ec a nb eo b t a i n e d b yu s i n gf o u r i e rt r a n s f o r m ，t h e t r a n s i t o r y w a v ec a nb e e x p r e s s e da ss u m o f s t e a d yw a v e a p p l i n gs o l u t i o n so fs t e a d yw a v ep r o p a g a t i o ni n i n h o m o g e n e o u sd a m a g e dz o n e ，t h er e s p o n s eo fe a c hc o r r e s p o n d i n gf r e q u e n c y i s g a i n e d a tl a s t ，u s i n go f i n v e r s ef o u r i e rt r a n s f o r m ，t h er e s u l ti st r a n s m i t t e dt ot i m e a n dt h es o l u t i o no ft r a n s i t o r yw a v ep r o p a g a t i o ni s g a i n e d t h er e s u l to fn u m e r i c a l s o l u t i o n sa r ec o m p a r e dw i t ht h er e s u l to f a n a l y t i c a ls o l u t i o n sf o rw a v ep r o p a g a t i o n i n i n h o m o g e n e o u sd a m a g e dz o n e t h ei n f l u e n c e o fd a m a g e dd e g r e e ，l e n g t ho f d a m a g e d z o n ea n d d i s t r i b u t i n go fd a m a g eo nw a v ep r o p a g a t i o na r es t u d i e d 0 n 也eb a s eo ff o r w a r dp r o b l e mo fw a v ep r o p a g a t i o ni n i n h o m o g e n e o u s d a m a g e dz o n e ，u s i n gt h er e c e i v e da n di n c i d e n tw a v e ，t h ep r o p e r t i e so fm e d i aa r e i n v e r s e d d u et ot h ei l l - p o s e do fi n v e r s i o np r o b l e m s u s i n gn e w t o ni t e r a t i v em e t h o d a tt h ec o u r s eo fi n v e r s i o n ，t h en o n l i n e a r e q u a t i o n s i st r a n s f o r m e di n t o1 i n e a r e q u a t i o n s t i k h o n o v sr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di sa p p l i e df o rs o l v i n gl i n e a ri l l p o s e d p r o b l e m s t h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r sa r ek e y sa n dl c u r v em e t h o di su s e dt of i x o nr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ri nr e g u l a r i z a t i o n t h en u m e r i c a le x a m p l eo fi n v e r s i o n s h o w st h ee f f e c t i v e n e s so ft h i si n v e r s e dm e t h o d k e yw o r d s ：i n h o m o g e n e o u sd a m a g e ；w a v e ；m e t h o do ft r a n s m i s s i o na r r a y ； i n v e r s ep r o b l e m ；n e w t o ni t e r a t i v em e t h o d ；r e g u l a r i z a t i o n i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作考签名： 强1 坪 日期：凹年弓月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采i i i i i i 、缩印或扫描等复n - t - 段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在 ：年解密后适用本授权书。 2 、不保密圈。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： 年月日 年月日 硕十学位论文 - ：= ：! ! = ! = ! ! = = = = = = = = ! = = = = = = = = = = = ! ! ! ! = = = = = = = = = = = = = = 第1 章绪论 1 1 波动理论的发展和研究现状 波动理论的研究具有及其广泛的应用背景，几乎所有学科和工程技术领域都 包含着波动现象 t l 。如声波、水波、电磁波、固体中的波，_ 量子力学中几率波等 都从不同的物理系统来研究波动问题。又如化学反应、生命过程、人1 迁移以及 交通流等过程中也都涉及到波动现象。尽管这些系统或工程彼此互相独立，所考 察的对象和所关心的结果毫不相干，但却表现出许多极为相似的规律。可见这些 不同的时间过程都受着某种共同的运动法则的制约，因而，跟踪这些时间过程发 展过程的公式描述及其求解也必然有着一定的联系，即波动理论。 人们对于机械波( 包括液体中的压力波、气体中的声波和固体中的应力波) 和电磁波( 包括光波和无线电波) 的认识和利用最早最多，这两类波有着相当多 的共同特性，比如：波在遇到不同弹性介质的交界面上发生反射和折射( 或透射) ； 具有线性特性，可以互相迭加；在遇到障碍时产生衍射；波速与介质性质有关等 等。 由于波动被包含在如此广泛的自然现象中，所以它一直在强烈地吸引着各个 方面研究者的兴趣，并把许多研究领域微妙的联系起来，波动现象的数学概念和 技巧都取得了极为丰富的研究成果和进展，目前也形成了一套相当完善的理论和 方法。近年来，由于非线性效应日益被人们所关注，给波动理论的研究开辟了更 为广阔的前景。 对于波动现象，抛开具体的物理过程，可以用下面的定义来概括其主要特性： 波是一个以可以鉴别的速度，由介质的一部分向另部分传递的可以鉴别的信号。 这个信号可以理解为某种性质的扰动，它可以是某个量的极大值或突变，只要可 以清楚地识别出来，并在任何时刻可以确定它的位鼍，而且容许在传播过程中改 变其强度、形状和传播速度。简单地说，波动就是扰动在介质中的传播。扰动总 是具有某种能量，因此，波的基本特征之一是能量在介质中的传播。 一个波动总是受到扰动源的激发面产生并通过介质而传递的，所以它既携带 着扰动源的信息，又包含传递过程中介质本身的特性。 波动现象的研究可以追溯到几百年前，早期的研究者常常关心的是生活中常 见的现象，比如音乐的音凋或者水波等类问题，而且多半是凭借于感性观察丽未 能进入定量的分析。1 9 世纪初，关于光的波动性质被揭示后，有力地推动了弹性 非均匀损伤介质中波的传播与反演 波传播理论的研究。由于地球物理学和地震学的需要，l 。九世纪到盐纪初许 多数学家致力于弹性固体中波动的研究。从数学上严格地建立弹性动力学的恭本 理论是从+ 卜九世纪= 十年代开始的。1 8 2 1 年，n a v i e r 首先导出了弹性体平衡的一 般方程，1 8 2 2 年，c a u c h y 对包括动力学方程在内的经典弹性理论作了许多奠基 性的贡献，从而为弹性动力学的发展奠定了基础。此后，弹性固体中波的传播成 为一个r 。泛研究的课题，强烈地吸引着广大研究者的兴趣。在18 2 9 年，p o i s s o ns d ，首先指出了位移波动方程的解由两部分组成，部分是一个标量势函数的梯 度，另一部分代表了一个旋转场。这就揭示了弹性介质内部扰动的传播由两类基 本的位移波组成，就是我们现在熟知的膨胀波和等容波。在此基础上，l a m e 于 1 8 5 2 匀：明确地提出了标量势和矢量势的概念，他指出一般的弹性动力位移场呵表 示为一。个标量势函数的梯度与一个矢量势函数的旋度之和，且这两个势函数满足 两个非祸合的波动方程，分别具有膨胀波和等容积波的传播速度。位移场这种分 解的引入，对于位移波动方程的解提供了极为有用的知识。在这个时期，弹f k 波 传播的研究取得了许多重大进展。如c a u e h y ( 18 3 0 ) 研究了品体介质中平面波的 传播，得到了波前传播的速度方程。一般情况下有三个波速值，在各向同性n ”青 况下，有两个是重合的，它们与平面横波相对应。接着p o i s s o n 等( i8 3 1 ) 处理 了初值问题，s t o k e s ( 1 8 4 9 ) 研究了由体积力引起的波动问题，并对于突加点荷 载导出_ 基本奇异解，后来l o v e 对s t o k e s 解进行了某些推广。c h r i s t o f f e l ( 18 7 7 ) 讨论了间断面传播的有关问题。k i r c h h o f f ( 18 8 2 ) 得到了由非齐次波动方稃支配 的势的积分表达式。这时对于各向同性的、均匀的、无限弹性介质中波的研究已 相当完善。18 8 7 年r a y l e i g h 发现r a y l e i g h 面波，这种波以略小于等容波波速的 速度沿界面传播，它在研究具有自由表面的弹性半空间的波动问题中起着极为重 要的作用。k n o t t 在1 8 9 9 年首先研究了波在两个弹性半空间交界丽处的反劓和折 射问题，后来还有许多人进行了这方面的研究工作。在均匀介质内部，由扰动激 发起的膨胀波和等容波以不同的速度独立的传播。然而，在介质性质不连续的交 界面处，无论是反射波还是折射波都可能出现波型的转换，也就是说，在交界面 处两神位移势通过边界条件以复杂的方式耦合起来。这是固体中弹性波的一个重 要特征，正因为如此，增加了数学上求解的困难。在两个弹性半空间的交界而处， 也可能存在一种与r a y l e i g h 波相似的交界面波，这类面波称为s t o n e l y 波。在- 个弹性半空间表面具有覆盖层时，则在层内除了有r a y l e i g h 型的面波存在外，还 可能存在另外一种称为l o v e 波的面波，在这种波中，质点运动方向平行于介面。 出于覆盖层的厚度这个特征尺寸引入到问题中来，使得l o v e 波具有几何弥散效 应1 2 】 【5 j 。 弹性波因其衍射、散射、波型转换等复杂性，除对一些简单规则的介质模型 外，对于一般介质模型其精确解仍未解决。目前弹性散射理论大多集中于声波形 硕士学位论文 ：! = = = ! -：! = = ! ! ! ! = ：!：- = ：= = = = ! = ! = = = ! 竺= ! = = = = ! ! ! = = 竺= ! 竺= = = 竺= = = = = ! 式的硝! 论研究川【7 j ，量子力学b o r n 摄动方法用于解决弹性动力学问题，给mr 弱 散射条件下三维散射问题远场舒j 近似解nm 。基予b o r n 近似思想，r o s e 和 k r u m h a r t s i o l 提出逆b o r n 算法，并研究了强散射条件下的逆散射问题。马兴瑞等 入研究了强散射条件下二维逆散射问题，提出了一种局部区域的b o r n 近似方 法，并考虑了强散劓条件下的逆b o r n 散射理论，研究了散射振幅与入射角及波数 的关系曲线，利用b o r n 近似方法对缺陷进行了计算机仿真。牛玉清等人m ，对般 非均匀介质的弹性波动方程引入全局的b o r n 近似方法，得到 h 于介质_ i 均匀性引 起的散射位移场的积分迭代形式：然后利用均匀介质g r e e n 函数的性质，对几种 介质模型进行位移场的求解。 1 2 波动方程反问题的发展和现状 反问题的研究源远流长。早在1 8 2 3 年，a b e l 问题( 根据爬山时问来确定山 的形状) 就是种反问题。1 8 7 7 年，l o r dr a y l e i g h 和k r e i n 利用弦的振动频二簪推 断非均匀振动弦的密度，他们被公认为数学。 ：研究反问题的先驱。1 9 0 5 年， h e r g l o t z 在利用地震数据确定地幔结构的工作中，研究了偏微分方程i a t l = l ，( x ) 的反问题，即反求v ( z ) ，他将问题归结为a b e l 积分方程。对于l o r d 的总想，19 6 6 年m a r ck a c 在题为“能听出鼓的形状吗? ”的著名讲演中，给出反问题的近代类 比和推广。 基于积分方程的方法是反问题研究的主要方法之一，它的基本思想是将反问 题的求解归结为一个积分方程的求解问题。逆谱方法、b o r g 近似法和基于远场模 式的方法是典型的分析方法。 所谓逆谱方法就是根据算子的谱来确定算予本身，1 9 2 9 年，a m b a r t z u m i a n 首先证明了由谱数据确定二_ j 阶常微分箕子的唯一性定理。b o r n ( 1 9 4 6 ) 最先利用 s t u m l i o u v i l l e 系统的谱数据来认真地研究过该系统的重构函数和边界条件的特 殊问题。其后，l e v i s o n ( 1 9 4 9 ) 和苏联数学家c h u d o v ( 1 9 4 9 ，1 9 5 6 ) 咀及 m a r c h e n k e ( 1 9 5 5 ) 、b e r e z a n s k i i ( 1 9 5 8 ) 相继对该问题进行了深入的研究，g e l f a n d 与 l e v i t a n ( 1 9 5 i ) 1 的著名论文使逆谱方法趋于完善，根据o e l f a n d 与l e v i t a n ( 1 9 5 m 】 的结果，由j o s t ，k o h n ( 1 9 5 3 ) 和l e v i s o n ( 1 9 5 3 ) 建立一种巧妙的方法，这种方法是 以一种线性积分方程为基础的。随后k r e i n ( 1 9 5 4 ) m 】和m a r c h e n k o ( 1 9 5 5 ) 对此作了 重要的改进和推广，k a y 与m o r s e ( t 9 5 6 ，1 9 5 7 ) 1 川的诌多文章罩被用来解决其他问 题。n e w t o n ，j o s t ( 1 9 5 5 ) ，m a r c h e n k o ( 1 9 5 7 ) 将这种有力的反演方法推广到联立微分 方程组的形式。此后f a d d e e v ( 1 9 5 9 ) * da g r o n o v i c h 与m a r c h e n k o 圳的两篇论文里进 行了总结，由于g l 方法l 和m a r c h e n k o t s i 方法的出现，一维反散射技术在1 9 5 5 1 9 8 0 年的2 0 多年时间里有了非常重要的应用，不仅在粒子物理，而月在地球物 非均匀损伤介质中波的传播与反演 理和非线性微分方程，所谓的孤粒子方程等方面都显示了巨大的威力。正是因为 一维反散射理论的广泛应用，激励人们构造高维反演理论，然而对高维情形遇到 了很大的困难，经由k a y 和m o r s e ( 1 9 6 1 ) 】，f a d d e e v ( 1 9 7 4 ) ，n e w t o n ( 1 9 7 4 ) ， p r o s s e r f l 9 7 6 1 ，一直到1 9 8 0 年，n e w t o n 陆续发表了四篇文章将g l 方法成功地 推广到三维。1 9 8 2 年n e w t o n 的学生c h e n e y 在她的博士论文m 】中洋纲讨论 n e w t o n m a r c h e n k o 方法在二维情形的应用。最近，w e h r h a h n 和m e l n i k o v ( 1 9 9 3 ) 对于量子力学中一类散射问题，利用g l 技术，找到了问题的精确解。国内余文 焕m 州和朱本仁1 2 d ，也利用逆谱方法作了不少工作。 基于积分方程研究反问题的另一重要途径是利用波场的远场行为，即远场模 式( f a r f i e l dp a t t e r n ) 。关于这方面的工作文献很多，r a m m 在1 9 8 6 1 9 9 0 年的四 年间先后发表3 0 多篇论文，主要研究了微分方程系数问题，对所提出三种反求系 数的问题，讨论了解的唯一性及稳定性。r a m m 在文献1 w 中对他的工作作了简要 总结。c i l b e r t 和x u ” io l ( 19 8 9 1 9 9 4 ) 主要针对海洋研究了如何用远场模式反 求系数和区域形状等问题，并给出了一些数值例子f 4 自】。c o l t o n 】【( 1 9 8 4 - - 1 9 9 3 ) 等人利用远场模式讨论声波和电磁波方程的反问题，主要证明了某些解的 存在性、唯一性，并且在文献 6 s l 中作了阶段总结。k i r s c h t 6 6 1 ( 1 9 3 3 ) 引入区域导数 并讨论了其在反求区域中的应用。k r e s s t 6 7 1 巾；，利用远场模式研究障碍反散射问题。 c a b r e l l 和f o r t e t 6 9 时论了分形集上的数理方程反问题，提出一种反演方法。 利用积分方程研究数理方程反问题的优点是，对相应的唯一性容易得到证明， 缺点是不容易做数值计算。许多文献只给出算法，并没有给出数值例子。 以上所提到的反演过程都是基于某种积分方程。人们一度认为，反散射问题 就应该求解某种积分方程。然而，地球物理学家g o u p i l l a u d 和r o b i n s o n 提出一- 种 完全不同的反演方法，后来被称为微分方法，这种方法就是直接利用数理方程本 身的结构以及它具有的性质，通过循环的方式，一层一层地反求介质的物理参数。 与基于积分方程的方法相比，微分方法更直接、更省事。s y m e s ，s a n t o s a 和 s c h w e t i l c h 、s o n d h i 和r e s n i c k 、b u b e 和b u r r i d g e 都独立地研究了微分方法。 b r u c h s t e i n ( 1 9 8 5 ) 等人对微分方法做了总结，证明了某些基于积分方程的方法，如 g l 方法，n e w t o n - m a r e h e n k o 方法都可以由微分方法演变而来。d e l f t 和t r u b o w i t z 提出了一种所谓的逆公式的方法，就是在一定的条件假定下，导出了所求函数应 满足的近似微分方程。c h e n 和r o k h l i n ( 1 9 9 1 ) 利用此方法讨论了h e l m h o i t z 方 程的反问题，并给出了数值例子。m o r z r y e e t z 将此方法推广到高维，目前还没有看 到高维数值例子。 张关泉对一维波动方程的声速反演问题作了详细的研究，将问题归结为个 菲线性偏微分方程组的初值问题，提出了p i c a r d 迭代法，证明了解的稳定性。并 且首次阐明了维声波方程的声速反演可能出现奇点。对高维波动方程的速度反 硕士学位论文 演，张关泉也作了研究。 对于波动方程，从数学角度讲，其研究大体包含以下三个方面。第一，存理 论上要解决反问题提法的正确性问题。通常波动方程反问题的完整描述包括微分 方程、定解条件( 它们组成微分方程的正问题) 以及附加的条件。而附加条件一 般是指对解的限制以及待定参量的边冕条件等。第二，波动方程反阀题的求解方 法。微分方程正问题的一系列解法，无论是解析的还是数值的，通常并不能直接 用来求解反问题，而要根据不同类型的反问题通过适当的运算和变换转化成可计 算的模式，如积分方程、微分方程、级数等。第三，计算的稳定性处理。由于反 问题的不适定性，经过转化得到的计算模式通常也是不适定的，因此，数值计算 必须解决获得不适定问题稳定近似解的问题，这也是波动方程反问题处理的难点。 在数理反问题的研究中，弹性动力学反问题是当前一个很活跃的值得深入研 究的学科m s “。它的主要研究内容是利用固体介质中弹性波的波场信息来推断介 质的物理、力学参数空间分布的性状和结构的特性。它是地球物理勘探、油气开1 开发、岩土工程、地质勘查、材料定量无损检测等许多应用学科的基础。它的研 究成果将能直接促进生产的发展。从利用的波场信息来看，现有的反m 题解法可 分为三个层次： 射线理论方法 在入射波源为高频的条件下，波在允质中的传播规律，与光在介质中的传播 特性相类似。基于几何光学中的理论方法和光学的波动理论方法，形成了射线理 论方法，此种方法主要利用首到波走时和幅值信息，方法比较形象，可实现性较 强，在技术上已领先一步，特别是在此基础上已有很多的实验研究，缺点是只适 合用于反演目标尺寸较大，波长与反演目标尺寸比小于o 5 的情况，而且获得的 波场信息的利用不充分，反演精度较低。 声波理论方法 在不考虑介质粘性影响的条件下，介质中波仅为纵波( 或称为标量波) ，其波 动方程与声波方程相同，声波反演方法不考虑波型之间的模式转换，计算量较小， 解的稳定性好，对噪音的敏感程度易于控制，在现有的技术条件下占有一定的优 势，尤其在实验研究中受青睐。国内外学者多年来在理论、反演方法、算法及实 验各层次的研究中也取得了大量的成果，但此方法精度不高，尚未完全利用弹性 波信息。 弹性波理论方法 一般弹性波在介质中传播时，在介质非均匀或突变处将发生各种波型之间的 模式转换，并且时常伴随发生波导、层间波、绕射、衍射等物理现象。考虑到上 述各种物理现象，弹性波的反演方法充分利用了弹性波的信息。但由于物理现象 的复杂，使方法难于进行，解的稳定性差，对误差敏感，这些问题即使对正问题 嚣均匀损伤介质中波的传搔与反演 也尚未完全解决。目前国内外这方面的研究刚刚起步。 在固体中利用人工地震波进行地震勘探，或利用超声波进行材料无损探伤， 都是基于波动方程的反演，它和生物医学中的x 射线c t 有很大的不同，医学中 的c t 基于人体对射线的吸收。7 0 年代以前地震勘探也以射线模型为基础，利用 震波的走时差进行反演。然而弹性波在传播过程中，其传播方式、传播速度、波 形、振幅、相位、偏振和频谱结构等，包含着极为丰富的信息，充分利用这些信 息，可以大大提高反演的精度和分辨率，而同时弹性波的衍射或散射，特别是遇 到障碍时的波型转换，又使弹性波反演增加了复杂性和难度。8 0 年代初开始了声 波衍射c t 的研究，现在币吸引着众多研究者的注意力。关于全波场的反演，以 及各向异性和非均匀介质巾的波动方程的反演，也已开始研究。由于问题的复杂 性，存在的困难还很多。深入开展理论研究，在理论上和工程应用上都具有十分 重要的意义。 目前被广泛研究的是声波方程反问题m h ”1 。随着测量设备的发展、勘探测试 的深入和数字技术的发展，传统的声波模型已经不能满足工程勘探的需求。工程 波动方程反问题在向基于矢量弹性波方程、硌- 向异性介质波动方程、双相介质波 动方程的多个弹性参数反演问题方向发展和延伸。基于这些波动方程的反演研究 与传统的声波方程反问题研究相比，具有以下特点：一、这些波动方程较真实地 模拟了波在介质中的传播。如矢量弹性波动方程描述了纵、横波固体介质中的传 播和耦合。因此，复杂波动方程反问题研究比较符合实际情况。二、这些波动方 程反问题研究可以给出较多的参数，而这些参数( 如纵、横波速度比、泊松比) 对识别岩性和含油气特性相当重要，例如低治松比常常是含砂岩的指示特性。三、 这些波动方程反演研究的难度相应增大，如何提出正确的反问题也尚需深入研究。 此外，反问题的定解条件比声波方程反问题要多，一般需要多波多分量测量数据， 多波多分量勘探测量在国内外的逐步推广才使多个弹性参数反演问题的研究提上 了研究同程。 由于高维波动方程反演研究有两方面的困难：一方面，理论研究相当困难， 就高维声波方程正问题而言，也尚未得到完满的解决。另一方面，巨大的计算量 常常令现有的最先进的巨型计算机也无法承受。因此，层状介质弹性参数反演研 究是现实的，并成为最受数学家和地球物理学家广泛关注的研究领域之一。层状 介质参数反演问题比较容易研究。虽然层状介质的假设离实际有一定的距离，但 对层状介质情况下反问题臼，f 研究，一方面可以了解问题的性态，对一，般情况f 反 演问题的研究是有参考价佻的；另一方面对实际问题的数值求解是十分有益n 勺， 如在实际地震勘探领域，维声波方程反演已逐步实用。 对于层状介质参数反8 i 问题的研究，自6 0 年代初期以来，特别是7 0 年代末 期以来，数学家、地球物础学家和其他领域的有关专家进行了艰苦卓绝的努力， 6 硕士学位论文 发展了多种不相同的地震反演方法。基于研濒模型的假设条件不同，有直接离散 反演方法和波动方程连续估计反演方法。当然以连续介质模型为依托的反演方法 一般在数值求解时也有相应的离散化版本。基于研究域的不同，有时域反演方法 和频率域反演方法。基于求解方式的不同，有直接反演方法、迭代反演方法和搜 索类反演方法。而直接反演方法中是否引入线性化近似，又可分为线性反演方法 ( 如b o r n 反演方法) 和非线性反演方法。与之对应，迭代反演方法中也可分为线 性迭代反演方法和非线性迭代反演方法。搜索类反演方法中有蒙特卡洛方法、模 拟退火方法和遗传算法。基于利用的信息不同，有运动学反演方法( 如走时层析 方法) 和动力学反演方法( 如衍射层析成像) 或走时反演方法、振幅反演方法与 波形反演方法。 需要指出的是，c o h e n 与b l e i s t e i n 等倡导的b o r n 反演方法和t a r a n t o l a 非线 性优化迭代反演方法在地震反问题研究历程中影响颇广，成为8 0 年代地震波动方 程反问题研究方向的两个主要中心。前者实际计算结果与偏移成像差不多。后者 的成功在很大程度上仍取决于地球模型的初始猜测，而且计算成本极高。 对于一维声介质单参数反演问题，研究比较多。一维声介质单参数反演问题 其实质是垂直入射平面波( 标量波) 的反演问题，可用于叠后地震道的声阻抗反 演。这一问题研究最早、最广。 一维反问题的直接离散求逆法最早有g o u p i l l a u d ( 1 9 6 1 ) 汞1k u n e t z 等( 1 9 6 1 ) 提出，并由许多学者进一步发展。该方法是根据层状介质系统的响应逐层求反射 系数，再由反射系数计算出各层的阻抗。 g j e v i k 等( 1 9 7 6 ) 提出了频率域的连续迭代法，该方法的基本思想与直接离 散求逆法一致，只是在推导过程中使用的是连续函数。n i l s e n 和g i e v i k ( 1 9 7 8 ) 将 该方法推广至含衰减、近似垂直传播的情形。g r a y ( 1 9 8 4 ) 则分析了g o u p i l l a u d ( 1 9 6 1 ) 方法和g j e v i k 等( 1 9 7 6 ) 的连续迭代法之间的关系。u r s i n 等( 1 9 8 6 ) 比较了五 种典型的离散与连续反演方法。 从偏微分方程( 组) 反问题角度出发，以连续介质模型为依托的赢接反演方 法主要有两大类，一类是反散射方法，另一类是特征方法。 反散射方法在理论研究上颇有特色，线性积分方程的数值求解方法稳定性也 较好，但计算量大且对未知参数的光滑性要求高。因此，目前更多的人注重建立 计算方法，以便将理论引向实用。 特征方法是时域反演方法，利用双曲型方程( 组) 的经典理论研究，该方法 先通过奇性分析或其他途径建立待求参数与波动方程解的直接关系式，再沿特征 线积分求解将反问题化为求解非线性第二类v o l t e r r a 型积分方程组的问题，别具 风格。如张关泉将一维波动方程的反演问题归结为一个非线性偏微分方程的初值 问题，用p i c a r d 迭代研究了适定性问题。与之对应的数值方法有b u b e 的特征线 非均匀损伤介质中波的传播与反演 积分差分法和直接离散等价一作线性第二类v o l t e r r a 型积分方程组的方法。 1 3 课题的提出和意义 随着我国科学和工业技术的迅速发展，工业现代化进程卜1 新月异，高温、高 压、高速度和高负荷，无疑已成为现代化工业的重要标志。但它的实现是建立在 材料( 或构件) 高质量的基讲* 之上的，为确保这种优异的质量，应该采用不破坏 产品原来的形状、不改变使用性能的检测方法，对结构进行无损检测，以确保结 构的安全。无损检测以不损害被检验对象的使用性能为前提，应用多种物理原理 和化学现象，对各种工程材料、零部件，结构件进行有效地检验和测试，借以评 价它们的连续性、完整性、安全可靠性及某些物理性能 z 十( 4 0 】- 1 5 5 “1 6 4 】。无损检测的一 个主要手段是利用超声波，根据测量数据反演材料或构件的性质。 固体介质中波的传播理论在国内外得到广泛的研究，并越来越多地应用工程 实际。研究构件中应力波的传播机理以及由此引起的各种力学效应是结构动力分 析和控制的一项重要课题。利用超声波进行结构损伤探测是围内外研究的热点， 利用动力响应作为依据，来反演结构内部的一些性质，从而判定结构损伤的位置 与程度。 结构在长期运营或高负荷作用下，往往会产生损伤，一般情况下损伤都是不 均匀的，可能是随受力状态连续变化的，研究这类结构中应力波的传播机理以及 由此引起的各种力学效应是结构动力分析和控制的一项重要课题。由于波在传播 过程中将波源信息传播开来，携带其传播过程中介质变化的各种信息，对这类问 题进行正、反问题研究，将为我们提供了一种结构损伤探测的有效途径。 1 4 本文的研究内容及创新点 根据混凝土结构受力的一般规律，并由此引起的可能产生的非均匀损伤的分 布规律，建立了非均匀损伤结构的波传播分析模型、基本理论和求解方法和波动 方程的反演。具体研究内容为： 建立了非均匀损伤介质的波传播的基本理论，包括波传播的一般概念和 分层介质中波动分析的主要手段，即频域分析，建立了损伤介质中的力学模型。 对于分层介质中的稳态波场，推出了波幅系数间的传递矩阵；对于分层介质中的 瞬态波场，通过离散傅立叶变化转换到频域空间分析，以稳态波场的解为基础， 求得结果后再离散傅立叶逆变换到时域空间。对分层介质中波的传播的研究，为 波在菲均匀损伤介质中的传播提供基础。 对于几种典型的非均匀损伤为二次分布的情况，进行了理论分析，求出 硕士学位论文 了这几种典型非均匀损伤二次分布情况下的解析解，得出了损伤度、损伤区域大 小等因素对接收波的幅值的影响。 将非均匀损伤介质离散成分段的均匀损伤介质，应用分层介质中波的传 播理论，使用传递矩阵法进行分析，求解了一些用解析法不便求解的非均匀损伤 分布情况的实例，得出了损伤度、损伤区域大小等因素对接收响应的影响。并与 理论解进行比较，结果吻合很好。 进行了波动方程反问题求解。根据介质中波传播的控制方程，边界条件 和接收处的单向波场的限制条件，组成定解问题，然后利用测量所得的附加信息， 建立反问题的基本方程式，来反演介质的性质。在反问题的求解中，先将原问题 利用l a p l a c e 变换转换到频率一空间域中，然后利用有限差分进行离散，构成一 非线性方程组，利用n e w t o n 迭代法进行求解：采用t i k n o n o v 正则化方法解决了 求解过程中出现的病态系数矩阵问题：采用l 曲线准则来确定正则参数的选取这 一核心问题，从而反演出介质的特性参数。利用算例验证了上述算法的有效性。 非均匀损伤介质中波的传播与反演 第2 章非均匀损伤介质中波传播的一般理论 波动现象是日常生活中常见的一种现象，在科学领域中有着广泛的研究。对 于各种波动现象，虽然在物理意义、研究领域等方面差异很大，但在数学上，它 们有着相同的控制方程。在均匀介质中，波沿直线传播且无波型的转换，但在非 均匀损伤介质中，由于介质的非均匀性，波的传播变得复杂，伴随着各种波型的 转换。 r + 2 1 波动现象中的数学模型 考虑弹性体中的一个无穷小的体积单元，设其质量密度为p ，其单位质量所 受体力为厂，从动量平衡原理可以导出运动方程为 挈+ 成= p 尝o f ( 2 ， 四 。 式中”：为弹性体的位移矢量，为弹性的应力张量，x i ( k1 , 2 ，3 ) 表示弹性体的坐 标分量。角动量平衡导出的方程为 o j k2 仃“ ( 2 2 ) 该式表明应力张量是对称的。 由能量平衡原理，即能量变化率等于作用在弹性体内外力的功率，得到 d wd s ， 百3 学 2 3 ) 式中。为弹性体的应变张量，它满足形变方程 铲圭c 等+ w 为变形体内每个单位体积具有的内能，即内能密度 = ( s u ) 于是，根据能量平衡方程( 2 3 ) 式，得到 a m ( e ，) , 2 百 ( 2 4 ) 它是9 个应变分量的函数 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 由于应变张量和应力张量都是对称的，上式可写成 1 ，a 缈o w 。 2 j 万+ 爵 2 7 方程f27 确定了材料的性质，称为弹性介质的本构方程。 硕士学位论文 在线弹性理论中，对于无初应力状态、小应变情况下，w 是占。的二次函数 w = 9 4e o k l 毛 ( 2 8 ) 式中e 。为弹性模量。 将( 2 8 ) 式代入到( 2 6 ) 式得到应力一应变关系为 d 4 2 e 州8 h t 2 9 ) 应力张量盯p 、应变张量s 。和位移矢量w 。的分量共1 5 个未知数由( 2 1 ) 式、 ( 2 4 ) 式、( 2 8 ) 式共1 5 个方程联系起来。从这些方程中先消去t y # ，然后消去矗， 得到 ， 丢( + 顽= p 争 ，。， 对于一维、无体力、各向同性的材料，如果忽略材料的粘性，则得 知x ，p 粤o t 删m 对于均匀介质，e 为常数，再令 后 弘1 石 1 2 则( 2 1 1 ) 式简化为 a 2 “，0 2 “ 矿2 。萨 (