（基础数学专业论文）仿射weyl群e7的a值等于8的左胞腔τ.pdf

( d i s 跎r t a 土i o nf b r c o u e g e 俐川i i i i j j i f 19 0 3 7 5 d 舀8 t e rn 邶小e r ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 3 2 t h el e 允c e l l sr w i t h 口( r ) = 8 i nt h ea 伍n ew e y lg r o u p d e p 盯t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： p u r em a t h e m a t i c 8 s u b j e c t ： r e f l e c t i o ng r o u p s u p e i s o r ：p r o f j i a n 妒s h i n 锄e ：w - e i x i a n g a p r i l ，2 0 1 1 s h a n 曲a i m y 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文 仿射w e y l 群e 7 的a 值等于8 的左胞腔r ，是在 华东师范大学攻读硕生博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明 并表示谢意 作者签名：益卑日期：印年6 月f 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 仿射w e y l 群岛的芦值等于8 的左胞腔r 系本人在华东师范大学攻读学位期间 在导师指导下完成的硕左博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大 学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和 相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位 论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博 士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用 影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) a 多n 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密学位论文。，于 年月日解密，解密后适用上述授权 ( 2 不保密，适用上述授权 导师签名：撒本人签名： 日期：妒i1 年6 月1 日 幸“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门审 定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权 相伟硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职 称单位备注 衅 在岖够t 仰火稚芬多， 主席 商弛 移覆磁恶峨太弧弓奢 钎浓 移疆 劬辱唧蝴、 摘要 本文利用时俭益教授给出的寻找左胞腔代表元的算法，并利用m a t l a b 数学软件进 行编程，给出了励型仿射w b y l 群a 值为8 的双边胞腔峨、的左胞腔代表元系及双 边胞腔雠、的部分左胞腔代表元系，并画出了相应的左胞腔图在左胞腔图的基础 上，本文还计算出了研型仿射w 毋l 群a 值为8 中所有左胞腔的特异对合元，并画出 了相应的特异对合元图 关键词：左胞腔、舡函数、s t a r 作用、本原对、链、室形式、特异对合元 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w e 百v ear e p r e s e n t a t i v e8 e tf o ra nt h el e rc e l l sri nt h ea m n e k 秒lg r o u p 历w i t hn ( f ) = 8b yl l s i n gs h i a l g o r i t h m ，a n dw ea l s od r a wt h ec o r r e 8 p o n d i n gl e f tc e l l 8g r a p l l s t h e nw ew o r ko u ta j lt h ed i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n si nt h o s el e f tc e l l 8 k e yw o r d s ： l e f tc e l l ，口一f u n c t i o n ，s t a ro p e r a t i o n ，p r i m i t i v ep a j r s t r i n g ，以c d v ef 0 瑚，d 珏 t i n g 叫s h e di n v o l u t i o n 中文摘要 英文摘要 目录 第一章前言1 1 1 研究背景1 1 2 本文的主要结果1 第二章相关知识综述3 2 1k a z h d a n - l u s z t i g 多项式及胞腔3 2 2a 函数3 2 3 计算左胞腔代表元的算法4 2 4 在进行算法2 3 5 中需要的一些结果及术语5 2 5 元素的室形式6 第三章历的a = 8 的左胞腔8 3 1 嘿) 的左胞腔8 3 2 嘿) 的左胞腔9 第四章马的a = 8 的特异对合元1 1 4 1 相关的一些结果1 1 4 2 哚】的左胞腔的特异对合元1 1 4 3 嘿) 的左胞腔的特异对合元1 2 附勇乏1 4 参考文献3 3 后记3 4 华东师范大学硕士论文仿射w e y l 群葛的a 值等于8 的左胞腔r 第一章前言 1 1研究背景 1 9 7 9 年，d k a z m a i l 和g l l l 8 z t 遮在他们著名的文章f 1 】( 1 9 7 9 ) 中提出了c o x e t e r 群的胞腔的 概念胞腔理论在研究c o x e t e r 群，h e c k e 代数和代数群的表示理论中扮演着重要的角色，它已成 为国内外代数学家研究的热点 胞腔分解是胞腔理论研究的重要课题之一，其中一项重要的任务是找出w 匆l 群和仿射 w _ e y l 群中每个双边胞腔中左胞腔的代表元到目前为止，胞腔分解已经取得了重大进展例如： 有限c o x e t e r 群的胞腔分解工作已经全部完成对于如型仿射w - e y l 群，时俭益在其博士论文 【7 】( 1 9 8 6 ) 中圆满地刻画了该族群所有左胞腔并且得到了非常好的组合结果，这是至今为止唯一一 族被完全解决了左胞腔分解问题的仿射w e y l 群 l u s z t i g 在文 2 】( 1 9 8 5 ) 中在c o x e t e r 群上定义了a 函数，并证明了a 函数在w ，e y l 群和仿射 w e y l 群的每个双边胞腔上取常值，每个仿射w 匆l 群中所包含的左胞腔的个数是有限的因此， 可以对仿射w 匆l 群每个固定a 值的双胞胞腔进行左胞腔的分解，从而完成对整个仿射w e y l 群的 胞腔分解由于在胞腔分解过程中需要判断关系铲叫，这一关系涉及到复杂的k a z h d a n - l u s z t i g 多项式的计算，这使得胞腔分解工作变得很难为了克服这一困难，时俭益教授在文1 3 1 ( 1 9 9 4 ) 中 设计了一种处理胞腔分解相对简便的算法，从而避免了复杂的k a z h d a n l u s z t i g 多项式的计算 这一算法在实际应用过程中，解决了一系列w 匆l 群和仿射w 宅y l 群的左胞腔分解问题，获得了极 大成功例如，时俭益在文【9 】( 1 9 9 8 ) ，【1 0 】( 1 9 9 4 ) ，【1 1 】( 1 9 9 8 ) 中利用此算法分别刻画了q ，风，毋 的左胞腔张新发在文 1 6 1 ( 1 9 9 4 ) 中完成了仿射w e y l 群玩的左胞腔分解时俭益和学生张细苟 在文 1 2 】( 2 0 0 8 ) 中刻画了仿射w b y l 群易( i = 6 ，7 ，8 ) 的。值等于4 的芹胞腔分解，张细苟在其博 士论文 1 9 ( 2 0 0 6 ) 中刻画了仿射w b y l 群玩中所有满足条件o ( r ) 1 1 的左胞腔r 刘永瑞在文 1 7 】( 2 0 0 7 ) 中解决了互乃型仿射w b y l 群a 值为5 和6 的右胞腔分解岳明仕在文1 8 1 ( 2 0 0 7 ) 中刻画 了岛型仿射w 匆l 群a 值为7 的左胞腔本文正是利用时俭益的算法，刻画了助型仿射w b y l 群 a 值为8 的左胞腔 1 2 本文的主要结果 ( 1 ) 刻画了仿射励型仿射w e y l 群a 值为8 的双边胞腔幌、的左胞腔代表元系及双边胞腔 毗、的部分左胞腔代表元系 l u s z t i g 在文 5 】中证明了简约代数群的幂幺类集合与相应的仿射w b y l 群的双边胞腔集合 之问存在双射关系( 见本文定理2 2 3 ) 本文利用时俭益教授在文【1 3 】中给了的算法，通过数学软 件m a t l a b 将其编成程序，从形如叫j 的元素( 叫j 是w ? 中的最长元，且有性质n ( 叫，) = 2 ( 伽j ) ) 出 发，得山了功中a 值等于8 的双边胞腔嘿、的左胞腔代表元系及双边胞腔毗、的部分左胞腔 代表元系，并画出了相应的左胞腔图，左胞腔图见附录结果列表如下： g 的幂幺类 c ( u )n ( c ( u ) )e ( c ( u ) ) 3 哚) 3 1 9 2 u ( m ( 孔) u m ( z ：) ) = 0 3 峭) 1 3 8 6 um ( 玑) i = 0 l 华东师范大学硕士论文仿射w e y l 群岛的a 值等于8 的左胞腔r 在上表中g 表示励型简约代数群，u 表示g 中的一个幂幺类，用c ( u ) 表示仿射w 匆l 群 岛中相应的双边胞腔，n ( c ( u ) ) 表示双边胞腔c ( u ) 所含的左胞腔的个数，e ( c ( u ) ) 表示c ( u ) 中的 一个左胞腔代表元集合，记号吼、，z = 1 ，2 见第三章，记号m ( z ) 见2 3 ( 2 ) 在( 1 ) 的基础上，给出了相应左胞腔的特异对合元 本文利用工作( 1 ) 得到的晰8 、的左胞腔图，并利用时俭益教授在文【1 4 】中给出的寻找特异对 合元的算法，给出了岛中a 值等于8 的双边胞腔峨、的左胞腔的所有特异对合元及双边胞腔 矾、中已经求出的左胞腔的特异对合元，并画出了相应的特异对合元图，特异对合元图见附录 声明：本文的结果均是在导师时俭益教授的指导下完成的 2 华东师范大学硕士论文仿射w 匆l 群历的a 值等于8 的左胞腔r 第二章相关知识综述 2 1k a z h d a n - l u s z t i g 多项式及胞腔 设( 彬s ) 是c o x e t e r 群，其中s 是其c o x e t e r 生成元设是w 上的b r u h a t 序：耖伽当 且仅当存在t t ，的简约表达式t i j = s l s 2 却，s s 使得y = 瓯l s 2 s 乱，其中i 1 ， 2 ，魂是1 ，2 ，z 的一个子序列对于元素可，用f ( 伽) 表示叫的长度函数设a = z 【让，u 一1 】是以u 为变量的 l a u r e n t 多项式环，咒是w 的定义在a 的h e d 汜代数， 元l 叫) 和 瓯i 叫) 是咒的两 组4 基，满足如下关系： j 瓦巧= 乙叫， 如果z ( 叫叫) = f ( 加) + z ( 伽) 【( 正一钍一1 ) ( 正+ u ) = o ，v s s 和 瓯= u 2 ( 伽) 一( b ，伽( u 一2 ) 毛 l ，叫 其中b ， z m 满足：r ， = 1 ；b ，叫= o ，如果秒菇硼；和d e gb ，埘( z m ) 一z ( ) 一1 ) 2 ，如果 伽b ，埘称之为k a z h d a n - l u s z t i g 多项式【6 】对任意的矽，硼w ；f ( y ) z ( 伽) ，我们用p ( 秒，伽) 或p ( 叫，秒) 表示b ， 中钍( 。( ) 一( 掣) 一1 ) 2 的系数，如果p ( 可，叫) o ，则称y 和伽是连接的，记作 ! 一仉对于任意的伽w ，定义s 的两个子集： c ( ) = s s 1 8 t u 叫) ，7 已( ) = s s i 硼s 加) 在彬上定义预序l ：对于z ，缈，记zs l 伽，如果存在w 中的元素序列z = z o ，z 1 ，z r = ，满足瓤一z 件1 ，c ( 规) 垡c ( 戤+ 1 ) ，v o i r 一1 预序l 在上确定一个等价关系： z l 硼铮z l 训且叫lz 由等价关系一l 确定的等价类称为w 的左胞腔右胞腔可类 似定义我们也可定义预序z l r 伽：如果存在w 中的元素序列z = z o ，茁1 ，。r = 叫，满足 瓤lz 件1 或z _ 1 lz 晶，v o tsr 一1 类似地，定义等价关系：z l r 伽兮z l r 伽且 伽l rz ，由此等价关系确定的等价类称之为双边胞腔从定义1 i 难得到，每一个双边胞腔是。一些 左胞腔( 或右胞腔) 的无交并 引理2 1 1 见文 1 】 ( 1 ) 如果z l 耖，则冗( z ) = 冗( 可) 如果z ry ，贝0 ( z ) = c ( 可) ( 2 ) z l 可兮z 一1 一r 可一1 2 2 口函数 设w 是不可约仿射w 色y 1 群在 2 】中l u s z t i g 定义了函数n ：一n = o ，1 ，2 ) ，并证明 其满足以下性质： ( a ) n ( z ) = o ( z 一1 ) ，v z v 矿 ( b ) 。一l r 可= 争o ( z ) = o ( 耖) ( c ) n ( z ) = n ( 可) ，z l 剪( 或z r ) z l 可( 或z r 伽) 3 华东师范大学硕士论文仿射w 匆l 群葛的a 值等于8 的左胞腔r ( d ) v z w ，记6 ( z ) = d e g r m 其中e 是w 中的单位元，则 f ( 名) 一2 j ( z ) 一o ( z ) 0 ，v 名 记玩= 叫iz ( 叫) 一2 6 ( 叫) 一n ( 伽) = o ) ，l u 8 z t i g 在文【3 】中证明了玩是由对合元( 称为独异 对合元) 组成的有限集，并且w 中每个左( 或右) 胞腔恰含有玩中的一个元素 ( e ) 当由jcs 生成的w 的子群有限时，令们，是耽中的最长元，则 o ( 叫，) = z ( 叫，) 伽i ，玩 ( f ) 记号z = 暑，z 表示z = y z 且2 0 ) = 2 ( 秒) + z ( z ) ，则凸 ) 0 0 ) ，o ( 名) 特别地，如果 j = 7 已( z ) ( 或j = c ( z ) ) ，则口( z ) z ( t d j ) ( g ) 对任意的非负整数z ，记m i ) = 叫wn ( 叫) = t 由( b ) 知，m ) 要么是空集，要么是 中一些双边胞腔的并如果m i ) 中含有形如伽j ( ，cs ) 的元素，则 叫m t ) i 冗( 叫) = ，) 是 中一左胞腔 我们称s s 是的一个特殊生成元，如果的由趴 s ) 生成的子群同构于相应的w e y l 群v s s ，令 k = 伽lr ( 彬) s ) 对于特殊生成元s ，l u s z t i g 和席南华在文 4 证明了以下结论： 定理2 2 2 设s s 是一个特殊生成元，则对w 中的任意双边胞腔q ，qnk 恰由彤一个左胞 腔组成 以下结论南l 1 l s z t i g 在文【5 】中给出，它揭示了简约代数群中幂幺类集合和相对应的仿射 w e y l 群中双边胞腔集合问的关系 定理2 2 3 设w 是型贾的仿射w e y l 群，g 是复数域c 上型x v ( x v 是x 的对偶) 的连通简 约代数群，则存在从g 的幂幺类集合到w 中的双边胞腔集合c e f z ( w ) 的一个双射：uhc ( u ) ，满 足口( c ( u ) ) = 出仇玩，其中u 是u 中任意一个元素，而垅m 玩是g 中舍仳的b 卯e 2 子群组成的 簇的维数 根据定理2 2 3 和c a r t e r 书【1 5 】的第十三章我们可以知道在助型仿射e 讲群中，集合墩8 ) 是两个双边胞腔的并 2 3计算左胞腔代表元的算法 子集kc 称为w 的左胞腔的一个代表元系，如果对于中任意的左胞腔r ，有 i knr i = 1 ，这里符号l x i 表示集合x 所含元素的个数显然，玩是的左胞腔的一代表元系 在这一节我们将介绍时俭益教授提出的计算左胞腔代表系的算法( 不一定是玩) ，见文 1 3 】 该算法基于以下定理： 4 华东师范大学硕士论文仿射w e y l 群葛的a 值等于8 的左胞腔f 定理2 3 4 ( 见文【13 】) 设q 是中一双边胞腔，则j 2 f cq 是q 的左胞腔代表元系，如果 满足以下条件： ( 1 ) z 和可，v z 暑，z ，! ， ( 2 ) 给定可，如果存在某个元素z ，满足旷- z ，r ( 秒) 垡r ( z ) ，和o ( 可) = o ( z ) ，则存在 z ，使可一lz 非空子集pc 称为独异集合，如果对于p 中任意相异元素z ，秒都有z 簟秒 对任意的z w ，定义m ( z ) 为所有满足以下条件的元素可组成的集合：在w 中存在 一元素序列z o = z ，z 1 ，孙= 可，r o ，使得对任意的t ，1 i r ，满足z 晶钆s ，和 7 已( z t 1 ) 号7 已( z i ) 在时俭益教授的算法中，主要涉及以下三个步骤： 假定彩pcq ， ( a ) 在集合u z pm ( z ) 中找一个尽可能大的独异子集q ( b ) v z p ，令b z = 秒w 秒一1 z s ，r ( 暑，) r ( z ) ，n ( y ) = o ( z ) ) ，b = p u ( u z p 岛) ， 在集合b 中找一个尽可能大的独异子集q ( c ) v z p ，令c i = 秒w1 秒 z ，邺，r ( 可) 至r ( z ) ，o ( 秒) = o ( z ) ) ，c = p u ( u z pg ) ， 在集合c 中找一个尽可能大的独异子集q 中的子集p 称为a 饱和的( 或b 饱和的，c 饱和的) ，如果对集合p 做步骤a ( 或b ，或 c ) 不再产生新的左胞腔代表元素z ：z 和z ，比p 显然，形如u z km ( z ) ，v kcw ，的集合总 是a 饱和的由定理2 3 4 知，w 中双边胞腔q 的左胞腔的代表元系恰好是同时满足a 饱和，b 饱和，c 饱和条件的独异子集 为了找到这样的集合，我们可如下进行： 算法2 3 5 ( 1 ) 找q 中一非空子集p ( 通常取p 为独异集合) ( 2 ) 在集合p 上循环进行步骤a ，口，c ，直到所得独异集合的基数不能通过施行步骤a ，b ，c 而增大为止 注：经验发现，步骤从a ，b 到c 的计算难度会逐渐增人4 程序是最容易操作的，基本没有什么 困难b 程序的主要困难在于判断两个元素a 值是否相等，我们可以通过构造本原对的方法来判 断c 程序足最困难的，它涉及到k a z h d a n - l 璐z t i g 多项式的计算，特别是当元素的长度较大时 为了使程序更容易进行，我们通常对独异集合p 优先进行a 程序，直到进行a 程序不再产生新 的左胞腔代表元才考虑进行b 程序直到进行a ，b 程序都不在产生新的左胞腔代表元时，才进 行g 程序当进行a ，b ，c 程序都不再产生新的左胞腔代表元时，运算终止 2 4在进行算法2 3 4 中需要的一些结果及术语 给定s ，t s ，d ( s t ) = 3 ，如果元素可w 满足r ( 耖) n s ，亡) = 历，则称形如 矿，旷s ) 或 可s ，s t ) 的集合为一个右 s ，t 】链( 或简称右链) 如果z ，伽是一右 s ，t ) 链，则称z ( 或叫) 是南 5 华东师范大学硕士论文仿射w b y l 群厮的a 值等于8 的左胞腔r 伽( 或z ) 通过右 s ，t 卜一s t n r 作用得到的显然叫通过右 8 ，t 卜一s t 口r 作用得到的元素z 是唯一 的，记作z = 叫+ w 中的两元素z ，秒称为本原对，如果存在w 中两序列z o = z ，z 1 ，研和蜘= 矽，可1 ，蜘 满足： ( 1 ) 对任意的o t r 一1 ，存在s ，如s ，d ( s t ) = 3 使得黝与玑经过右【8 i ，屯卜一s t n r 作 用分别变为鼢+ 1 与玑+ 1 ( 2 ) 存在某个i ，o i r ，使得筑铫( 则对所有o 歹r ，有叻协) ( 3 ) r ) gr ( 可) ，r ( 孙) gr ( z r ) 或r ( z ) 砻冗( ) ，r ( 跏) r ( 研) 成立 定理2 4 6 如果z ，满足z l 秒，则m ( z ) 和m ( 秒) 代表中相同的左胞腔集合 显然，在2 3 节中定义的集合m ( z ) 即是由元素z 出发，反复进行各种可能的右s t o r 作用得 到的元素集合 以下定理在判定两个元素。值相等时非常有用 定理2 4 7 如果z ，矽是本原对，则z r 耖，从而o ( z ) = o ( 可) 图是由顶点集m 和边集组成的图形，这里的每条边是m 的一个二元子集的每 个顶点用s 的子集标号设图和7 对应的顶点集分别为m 和m 7 ，称图和7 是同构 的，记作兰7 ，如果存在满足以下条件的双射卵：m m 7 ： ( 1 ) v z m ，z 和叩( z ) 有相同的标号 ( 2 ) v z ，耖m ， z ，秒) 是的一条边铮 叩( z ) ，叩( 秒) ) 是，的一条边 对任意的z ，定义图( z ) 如下：其顶点集为m ( z ) ，边集是由构成右链的顶点对 y ，名) 组成，对每个顶点可m ( z ) 给以标号冗( 可) 显然，图( z ) 总是连通的 对任意的z ，定义左胞腔图褫( z ) 如下：其顶点集是由所有满足条件rnm ( z ) a 的 左胞腔i 、组成左胞腔f ，r 7 有边相连，如果存在两个元素可m ( z ) nr 和秒7 m ( z ) n1 1 7 使得 可，秒7 ) 是图( z ) 中的边对于图施( z ) 的每个顶点r ，其标号为冗( r ) 显然，左胞腔图觎( z ) 也是连通的 图( z ) 的一条路径是指( z ) 中一顶点序列翔，z 1 ，勿使得 筋一1 ，铂 ，v 1 i r 是 ( z ) 的边两元素茁，z w 称为有相同的广义丁不变量，如果对于图( z ) 中任何路径 z o = z ，z 1 ，为，都存在图( z ) 中的一条路径晶= z 7 ，z i ，z ；满足冗( 锄) = 冗( 彰) ，o i r ， 且把茁，z 7 交换角色后上述条件仍成市 我们有如下结论： 定理2 4 8 ( 见丈【9 】) ( 1 ) 如果z ，秒w 满足z l 可，则z 和秽有相同的广义7 - 不变量 ( 2 ) 如果z ，矽满足z l 可，则左胞腔图溉( z ) 和施( 可) 同构 注：定理2 4 8 给出了两个元素在同一个左胞腔的必要条件，它在判定m ( z ) 是否独异时非常 有用此结论的逆命题一般不成立 6 华东师范大学硕士论文仿射w 匆l 群葛的a 值等于8 的左胞腔r 2 5元素的室形式 虽然仿射w 匆l 群中的每个元素都可以表示成单反射乘积的形式，但这种表示不是唯一的 通过窜形式，仿射w b y l 群的每个元素都唯一对应z 上取值的一个向量，从而为计算机编程实现 可能知道中一个元素t ，的室形式，我们可以很快地计算出f ( ”) ，冗( 硼) 等和元素叫有关的重 要信息而且通过编程，我们也可以给出元素的一个简约表达式在施行步骤a ，b ，c 时，所有的 元素都是表示成它们的室形式进行的室形式是由时俭益教授在文8 1 中首先提出来的 一个仿射w 匆i 群矾作为c o x e t e r 群可以在几何上如下得到。设g 是c 上一个连通的伴 随型简约代数群。设t 是g 的一个给定的极人环而，x 是t 的特征标群( 由t 到c 的代 数群的态射组成) ， 圣cx 是g 一个根系， = a 1 ，q 2 ，口f 是西的一组单根系，那么 e = x o ，r 就足一个具有内积 的欧氏空间，代数群g 关于t 的w e y l 群( 矾，岛) 自然地 作用在e 上并且保持内积不变，这里岛是由与单根啦，1 t l 相对应的单反射乳组成的 集合。我们用表示作用在e 上的所有平移乃( 入x ) 组成的集合( 死仕) = z + a ，z e ) 。 半直积= k 被称为仿射w 匆l 群。若k 是g 的型的对偶，此时我们称矾是k 型 的。有时也用矾( k ) 或k 来记矾，表明是k 型的。存在从到的典范同态： 叫h 面。 设一口。是圣的最高短根，我们定义s o = s a 。2 l q 。，这里s a 。是对应于q o 的反射，那么 w n 作为c o x e t e r 群的生成元集可取为s = 岛u s 0 。 上1 7 型仿射w b y l 群的c o x e t e r 图如下： 。 。兰量。 。 01 34 5 6 7 对任意的伽，定义伽的室形式( 见【8 】) 为z 上取值的一个圣重数组( 南( ，口) ) a 圣，满足 以下条件： ( a ) 七( 彬，一a ) = 一七( 叫，q ) ，v q 圣； ( b ) 七( e ，n ) = 0 ，v a 圣，其中e 是的单位元 ( c ) 如果叫7 = 叫s l ( o z f ) ，则 尼( 叫7 ，理) = 七( 伽，( n ) 砺) + ( a ，i ) 根据+ i ：述条件( a ) ，我们也可以把伽的室形式定义为圣+ 重数组( 后( ，a ) ) q 圣+ 条件 ( c ) 给出了的生成元s i 是如何作用在w 的元素的窜形式( 庇( 叫，a ) ) a 垂上的： s t ： ( 七n ) a 圣h ( 南( a ) 。t + e ( q ，i ) ) a 垂 设伽，伽7 ，称伽7 是叫的左扩充，如果f ( 伽7 ) = 2 ( 伽) + 2 ( 叫7 叫一1 ) 以下结论由时俭益教授在文 【8 】中给出 7 口 一” 口 抽 咄 = | | 乜 q 口 果果果如如如 l 吼一l ，l-l-， 1 1 0 口 ，i 一 n 一0 = p 2 = 5 6 7 5 6 5 2 3 ，5 6 7 5 6 5 2 1 ，5 6 7 5 6 5 2 0 ，2 4 5 2 4 2 0 7 ，2 4 5 2 4 2 1 7 ) 忍= 0 1 3 0 1 0 5 7 ，5 6 7 5 6 5 3 0 ，3 4 5 3 4 3 0 7 ) 其中集合易是由集合最通过群岛的图自同构口而得到，其中9 ：_ 满足： ( p ( o ) ，9 ( 1 ) ，p ( 2 ) ，9 ( 3 ) ，p ( 4 ) ，口( 5 ) ，口( 6 ) ，口( 7 ) ) = ( 7 ，6 ，2 ，5 ，4 ，3 ，1 ，0 ) 在后面我们将证明集合p 1 和集合易在同一个双边胞腔 3 1 哚) 的左胞腔 取双边胞腔瞻、的了集p = z o ) ，对其运行a 程序，得到a 饱和图( z o ) ( 9 5 7 个点) ，通 过比较元素的j “义7 不变量知：m ( z o ) 是独异集( 后面判定某个集合是独异集皆用这种方法， 不再重复叙述) 在相应的左胞腔图形l ( z o ) 巾( 见附录f i 分a ，元素z o 所在的左胞腔用厶吣标 记) ，标号为 6 ，3 ，2 ，1 ，o ) ， 7 ，3 ，2 ，1 ，o ) ， 6 ，4 ，3 ，2 ，o ) ， 7 ，4 ，3 ，2 ，o ) 的点都出现一次( 由2 2 ( g ) 知) 凶此，集合局所代表的元素在i 一一个双边胞腔中但m ( z o ) 不是b 饱和的 考虑元素u 1 = 5 1 3 4 0 1 3 2 4 5 6 5 3 2 4 0 m ( z o ) 和元素z 1 = u 1 2 ，由图f i 分1 知，冗m 1 ) = 【6 ，4 ，o ) 6 ，4 ，2 ，o ) = 亿( z 1 ) ，冗( u 1 4 ) = 6 ，5 ，3 ，2 ，o ) g 6 ，3 ，2 ，o ) = 死( z 1 ) 3 ，所以u l 和z 1 形成本原对 让圃叫亟团 2 ：。 f 暗1 z ，匝扔p 1 亘固 由定理2 4 7 知，z 1 一ru 1 ，又钆1 一rz o 睇) ，凶此m ( z 1 ) c 哚) ，且m ( z 1 ) ( 5 8 8 个点) 是独异 集，相应的左胞腔图施( z 1 ) ( 见附录f i 哥b ，元素z 1 所在的左胞腔用l z 。标记) 为了节写方便， 上述元素u 1 = 5 1 3 4 0 1 3 2 4 5 6 5 3 2 4 0 m ( z o ) 表示成了简约表达式它在左胞腔图中相应的位 置也都标明( “1 所在的左胞腔l u 。见图f i 乎a 一1 ) ，后面类似 8 华东师范大学硕士论文仿射w e y l 群岛的a 值等于8 的左胞腔f 考虑元素t 上2 = 0 1 3 2 4 5 6 7 4 5 0 1 3 2 4 3 2 0 m ( z o ) 和元素z 2 = u 2 5 ，由图f i g - 2 可知t 1 2 和 z 2 形成本原对 f i g - 2 同理，m ( z 2 ) c 哚) ，且m ( z 2 ) ( 1 5 个点) 是独异集，相应的左胞腔图耽( z 2 ) 见f i 分c ，乱2 所在的 左胞腔l u 2 见图f i 分a - 1 ，z 2 所在的左胞腔l 霉2 见图f i g - c 考虑元素t 3 = 0 1 3 2 4 5 6 7 4 0 1 3 2 4 5 6 4 5 3 4 0 1 3 2 4 5 3 4 2 l o m ( 知) 和元素z 3 = u 3 3 ，由图 f i 分3 可知啦和z 3 形成本原对 。 u 3 圃j q 五团 3 ： f i 哥3 z 3 凶蛔 1 1 1 w 因此m ( z 3 ) c 睇) ，且m ( z 3 ) ( 3 6 个点) 是独异集，相应的左胞腔图施( z 3 ) 见f i 分d ，乱3 所在的 左胞腔l u 。见图f i 乎a - 1 ，z 3 所在的左胞腔l z 3 见图f i 分d 考虑元素z = 0 1 3 2 4 5 6 4 0 1 3 2 4 5 4 0 1 3 2 4 3 m ( z o ) 和元素t = z 7 ，由图f i 分4 可知名和t 形成本原对，z 所在的左胞腔厶见图f i 乎a 2 卤_ 生压江土匝丹工圃蛔上匾办札面滓伍本盈乜面卢豳龟盈j 珂鱼面廿锰 己尹咂团立匮囫j 面手弦西芦雁丹面芦匝 盈筇团j 虱护咖q 面 蛔 t f i 乎4 因此m ( 亡) cv 嘿、，注意到m ( t ) ( 9 5 7 个点) 中含有元素t 1 = 0 1 3 2 4 5 6 7 0 1 3 4 5 6 3 4 5 0 1 3 2 ， 且r ( z 1 ) = 7 ，6 ，5 ，3 ，2 ) ，由2 2 ( g ) 知，标号为 7 ，6 ，5 ，3 ，2 ) 的左胞腔是唯。的( 其余标号唯的左 胞腔的代表元为t 2 = 0 1 3 2 4 5 6 7 0 1 3 4 5 6 3 4 5 2 0 1 ，冗( 2 ) = 7 ，6 ，5 ，2 ，1 ，t 3 = 0 1 3 2 4 5 6 7 0 1 3 4 5 6 3 4 5 2 0 ，冗( t 3 ) = 7 ，6 ，5 ，2 ，o ，t 4 = 0 1 3 2 4 5 6 7 4 0 1 3 2 4 5 2 4 2 0 l ，r ( t 4 ) = 7 ，5 ，4 ，2 ，1 ) ，t 5 = 0 1 3 2 4 5 6 7 4 0 1 3 2 4 5 2 4 2 0 ，r ( t 5 ) = 7 ，5 ，4 ，2 ，o ) ) 设z ：) = q 7 ，6 ，5 ，3 ，2 ，= 5 6 7 5 6 5 2 3 尼，显然，z a 是由z o 通 过图自同构p 得到，由2 2 ( g ) 知，z f l 和t 在同一个左胞腔中，因此，集合m ( z a ) 代表的左胞腔集 合耽( z a ) 和集合m ( ) 代表的左胞腔集合耽( t ) 相等，并且我们也证明了在本章开头中集合只 和集合局在同一个双边胞腔吼、中仿照上述从集合p = z o 】出发寻找左胞腔代表元的过程， 、- ， 33 我们从集合p ，= z j ) 出发，不难得到吼、中和um ( 现) 对应的左胞腔代表元集合um ( z ：) ， 、 i = 0i = 0 3 且u ( m ( 耽) u m ( z ：) ) 是独异集合，这里z ：是由扔通过图自同构9 得到由于左胞腔图旎( z ：) 9 圃圃徊伺 上 尘 阐函 忱 现 华东师范大学硕士论文仿射w e y l 群岛的a 值等于8 的左胞腔r 可以由左胞腔图玩( 婉) 通过图自同构p 得到，所以左胞腔图玩( z ：) 我们在附录中不再画出最 后，我们对u ( m ( 瓤) um ( z ：) ) 进行a ，b ，c 程序后，不再产生新的左胞腔代表元因此， l = 0 3 e ( 哚) ) = u ( m ( 观) u m ( z ：) ) i = 0 构成了哚) 的一个左胞腔代表元集合，且睇) 包含2 ( 9 5 7 + 5 8 8 + 3 6 + 1 5 ) = 3 1 9 2 个左胞腔 3 2 哚) 的左胞腔 因为e ( 瞻、) = u ( m ( 既) um ( z ：) ) 中不存在满足条件r ) = 7 ，5 ，3 ，1 ，o ) 的元素伽，所 以元素珈= 0 1 3 0 1 0 5 7 不在w 鑫) 中，因此w 鑫) ；嗽8 ) 哚) 是含元素珈= 0 1 3 0 1 0 5 7 的双边 胞腔取p = 珈 ，对其运行a 程序，得到a 饱和图( 珈) ( 4 8 9 个点) ，其顶点集m ( 珈) 是独异 集在相应的左胞腔图觎( 珈) 中( j ! jf i 争e ) ，标号为 7 ，5 ，4 ，3 ，o ) ， 7 ，6 ，5 ，3 ，o ) 的点恰出现一次 ( 由2 2 ( g ) 知) ，因此，本章开头所定义的集合岛的元素在同一个双边胞腔中但m ( 珈) 不是b 饱 和的考虑元素钐1 = 7 5 1 3 4 0 1 3 2 4 5 6 5 0 1 3 2 4 m ( 珈) 和元素y 1 = 1 2 ，山图f i g - 5 可知口1 和 可1 形成本原对 u ，圃j 叫重圈 2 ：。f 暗5 秒。面圃 “判 凶此m ( 可1 ) c 峭) ，且集合m ( 可1 ) ( 1 6 8 个点) 是独异集，对应的左胞腔图旎( y 1 ) 见f i 分f ， 移1 所在的芹胞腔厶，见图f i g - b l ，1 所在的芹胞腔l 可。见图f i 分f 考虑元素t ，2 = 0 1 3 4 5 6 7 6 4 5 0 1 3 2 4 3 2 0 m ( 珈) 和元素抛= 吨5 ，由图f i g - 6 可知可2 和抛 形成本原对 秒。圃j 团 耽遗拖 n 邸 因此m ( 秒2 ) c 嘿) ，且集合m ( 抛) ( 1 5 个点) 是独异集，相应的左胞腔图施( 耽) 见f i 分c ，忱所 在的左胞腔l 啦见图f i 分b 2 ，抛所在的左胞腔l 。见图f i 分c ( 这里左胞腔图形l ( z 2 ) ，旎( 眈) 是j 司构的，但却表示不j 司的左胞腔) 集合m ( 珈) um ( 秒1 ) um ( 驼) 仍不足b 饱和的。考虑元素 3 = 7 5 1 3 4 0 1 3 2 4 5 6 5 0 1 3 2 4 3 2 m ( 1 ) 和元素舶= 口3 4 ，由图f i g - 7 可知u 3 和舶形成本原 对 固j q 圈j l 团 蜘卤上回圃n 酊蜘圃1 团q j 刃 “ 1 0 华东师范大学硕士论文仿射w 匆l 群葛的a 值等于8 的左胞腔r 因此m ( 驰) c 嘿) ，且集合m ( 驰) ( 7 1 4 个点) 是独异集，相应的左胞腔图玩( 蜘) 见f i g - g ，姐所 在的左胞腔厶。见图f i g - f ，驺所在的左胞腔l 驰见图f i 乎g 一2 最后，我们对集合um ( 饥) 运行 b ，c 程序，发现不再产生新的左胞腔代表元，因此 3 e ( 睇) ) = u m ( 玑) 构成了嘿) 的一个左胞腔代表元集合，且睇) 包含4 8 9 + 7 1 4 + 1 6 8 + 1 5 = 1 3 8 6 个左胞腔 第四章扇的a = 8 的特异对合元 在2 2 节中，我们已经定义了群w 中的特异对合元集合玩= 伽wj ( 叫) 一2 6 ) 一口) = 0 ) ，并且知道的每一个左胞腔中恰含有一个特异对合元特异对合元在代数群，仿射w 毋l 群， h e c k e 代数的表示理论中扮演着重要的角色本章利用第三章中所得到的左胞腔图，清楚地给出 西的集合瞰8 ) 中所有的特异对合元 4 1 相关的一些结果 下面的结论是由时俭益教授在文【1 4 给出的，它在寻找特异对合元时起着非常重要的作用 引理4 1 1 0 对于e 可f 群和仿射e 们群( 彬s ) ，设z 玩，s ，亡s ，d ( s t ) = 3 ，l c ( z ) n s ，圳= 1 ，如果是由z 先经过一个右 s ，t ) 一s t n r 作用，再经过一个左 s ，亡) 一s t n r 作用得到， 贝4 刍 0 由该引理知，对于一张左胞腔图施，只要找到其中一左胞腔的特异对合元，然后由该 元素出发，反复进行双边s t n r 作用就可以得到整张左胞腔图觎中所有左胞腔的特异对合 元因此，寻找特异对合元的关键是找到左胞腔图中一左胞腔的特异对合元对于左胞腔图 觎( z o ) ，施( 晶) ，觎( 珈) ，由于z o ，硝，珈都是的某标准抛物予群的最长元，由2 2 ( e ) 知， z o ，z ：，珈玩对于其它左胞腔图，我们可以通过本原对的方法来寻找特异对合元对于每张左 胞腔图，后面我们只给出其中一个左胞腔的特异对合元，其余的特异对合元可由栩应的特异对合 元图读出 引理4 1 1 1 对于第三章中群岛的图自同构p ，有以下结论： ( 1 ) v z ，可i eb ，! ，= 岛( z ) ，口( 可) ( 2 ) 设r 是瞰8 ) 中的一个左胞腔，则p ( r ) 也是瞰8 ) 中的左胞腔 4 2 哚) 的左胞腔的特异对合元 对于图。概( z o ) ，由于m ( z o ) 中含有形如叫j ，( jcs ) 的元素z o = 0 1 3 0 1 0 2 5 ，凶此，z o 锄， 施( z o ) 的特异对合元图见f i 争a 1 1 华东师范大学硕士论文仿射w 匆l 群葛的a 值等于8 的左胞腔r 取舰( z o ) 中特异对合元 d 1 = 1 3 4 5 6 2 4 5 3 4 1 3 2 4 5 6 4 0 1 3 2 4 5 4 1 3 2 4 3 1 由图f i 分8 ( 其中z d 1 ，2 d 1 ) ) 知 z 固“画 2if 涪8 固_ h 至口 z 2 d 1 和d 1 2 形成本原对，2 d 1 和2 d 1 2 形成本原对因此，由2 2 ( a ) 及定理2 4 7 知 o ( 2 d l 2 ) = o ( 2 d 1 ) = o ( ( 2 d 1 ) 一1 ) = 口( d 1 2 ) = n ( d 1 ) = 8 且只，2 d 1 2 = 口1 2 + q 1 1 + 3 9 1 0 + 9 口9 十1 8 口8 + 2 7 q 7 + 3 9 9 6 + 4 6 9 5 + 3 9 9 4 + 3 l 口3 + 1 8 口2 + 6