（基础数学专业论文）具有3维导代数的5维3lie代数.pdf

摘 要 摘要 本文主要研究易域上导代数的维数等于3 的5 维3 一李代数的结构特征及其内导 子代数的结构特征证明了当导代数的维数等于3 时磊域上5 维3 一李代数是非可解 但是3 可解的3 一李代数，其内导子李代数是非可解李代数或是单李代数且分别给出 了内导子李代数的结构描述及内导子的具体表示 论文共分3 部分，第一部分谈了n 一李代数的背景及发展状况第二部分给出了论 文要用到的基本概念和基本结论第三部分研究了易域上5 维3 一李代数的结构及内 导子代数的结构特征 关键词n - l i e 代数；导子；内导子代数；可解性；幂零性 a b s ”a c t a b s t r a c t i nt l l i sp a p e rw em 撕n l ys t u d y5 出m e n 8 i o n 越3 一l i ea 埯e b r a sw h i e h r i t h3 出m e n - s i o n 址d e r i v e da k e b r 蠲w - ep r o v et h a tt h e5d i m e n s i o n a l3 一l i e 讪驴b r a 8 射en o t8 0 1 v 曲l e b u t3s o l v a b l e3 一l i ea l l g e b r a u s ，a n dt h e i ri m l e rd e r i v a t i o na l g e b r 弱a r en o t8 0 1 砒0 r8 i m p l el i ea l g e b r a s w e 酉v et h ep a r t i c u l a rd e 8 c r i p t i o no fi i l i l e rd e r i 址i o n 址g e b r 嬲a n dt h e c o n c r e t ee x p r e 8 8 i o no ft h e i ri m l e rd 【e r i v 扎i o n s t h ep a p e rc 0 璐幽o ft h r e e8 e c t i o 璐t h eb a 呔铲伽【n da n dd e v e l o p m e n to f 铭一l i e a l g e b r a sa r ei n t r o d u c e di nt h es e c t i o n1 i nt h es e c t i o n2w e 酉w s o m ed e e 血t i o 璐a n d r 鹤u l t s0 f 佗一l i ea l g e b r a u sw l l i c h 盯eu 8 e di nt h ep a p e r i nt h es e c t i o n3w es t u d yt h e 8 t r u c t u r e0 f5d i m e n s i o n a l3 一l i ea l g e b r 船o v e r 磊耐t h3 出m e n s i o n a ld e r i v e da l g e b r 鹪 k e y 、o r d s m l i ea l g e b r 嬲； d e r i 、，a t i o 瑚； i n n e rd e r i v a t i o na 】g e b r 嬲； s o l 、，8 b l e ； n i l p o t e n c y 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 日期：醴年月二型一日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密由 ( 请在以上相应方格内打搿 ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为埂布罗啪胗髟障孑4 i “鸭的学位 论文，是我个人在导师钐黝指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 作者签名： 导师签名： 两疙萄 j日期：丝月兰日 日期：丝年- _ 月卫日 0 引言 0 引言 近几年来，人们对李代数的n 一元运算的推广有了很大兴趣，这是由于动力学及数 学的不断发展而产生的( 可参看文献【l ，2 ，3 】) 目前为止，人们根据对标准j a u c o b i 恒等 式的不同理解以及具有的不同性质，对李代数的概念已经提出了两种不同的推广形式 不同的定义形式，有其不同的应用领域 1 9 8 5 年，v t f i l i p p o v 在文献 4 】中提出了n 一李代数的概念，定义了礼一元多重 运算陋l ，1 ，满足反对称性及广义的j a c o b i 恒等式； f 【z ，z n 】，钝，纠= p 1 一，k ，抛，纠，】， ( t j r l ) t = 1 在这篇文章中，v t f i l i p p o v 给出了第一个n 一李代数的基本例子以及一些结构性概 念，如半单性，幂零性，还对( n + 1 ) 维佗一李代数进行了分类s h m k a s y m o v 在文 章 5 】中介绍并研究了七一可解性，尼一幂零性( o 七n ) ，c a r t a n 子代数， k i u i n g 型以及f i l i p p o v 珏一李代数的表示他还证明了类似李代数中的e n g e l 定理 另一种对j a i c o b i 恒等式自然的推广具有形式。 ( 一1 ) 也a 汀l 矗一1 戤。，瓤。】，协，一，】= o ， ( j 2 ) t 1 i r i j l j ”l 这里的和取决于( 矗，i n ) 和0 1 ，厶一1 ) 的所有满足 札，如) u 歹1 ，一，矗一- ) = 1 ，2 ，2 礼一1 ) 多元有序列这些在1 9 9 m 1 9 9 2 提出的理论在文献【6 】中发表作者受f i l i p p o v 在1 9 8 5 年的工作的启发，注意到竹为偶数时， ( 了1 ) 一亿一李代数也是( ，2 ) 一n 一李代数 至于它们在物理和几何上的背景，我们只介绍f i l i p p o v 钆一李代数( 简称为n l i e 代数) 一个n 一元李代数结构是一个礼一p o i s s o n 结构，作为一个在光滑流行上的光滑 函数代数的多元导子的实现函数行列式 阢，厶】= 如圳差j f 河北大学理学硕士论文 是在a = c 脚( r n ) 的具有这样结构的一个最简单的例子1 9 7 3 年，y n 锄b u 推广了 h a l i l t o l l i a d l 动力系统【1 】，提出了n a m b u 动力系统，将空间的二元运算一p o i s s o n 括号 积推广为三元运算一称为n a 珈【b u 括号积然而，y n 锄1 b u 没有提到相对于n j a c o b i 等式( j 1 ) 中的佗一元括积后来l e n ot a l ( h t a j a n 在文章 2 】中的开始部分提出了这个 问题他系统发展了住一p 0 i 8 s o n 流形( 型( j 1 ) ) 的概念并称之为n 锄由u - p o 证舶n 流形， 其在n a m b u 动力系统中与p o 妊羚o n 流形在h a m i l t o n i a l l 动力系统中具有同样的角色 1 9 9 3 年l e n ot a l 【h t a j a n 提出了n a l b u 括号积的基本恒等式一推广的j a u c o b i 恒等式 作为动力系统的一个相容性条件【2 】其像空间的线性n a i 曲u 结构与n 一李代数的结构 一一对应所以佗一李代数的研究对动力系统的研究有重要的意义 由于n 一李代数具有多元线性运算，礼一李代数的结构和李代数的结构有很大区 别，因此对他一李代数结构还需我们进一步研究 我们简单介绍论文的结构在第二部分介绍本文要用到的一些基本概念和结论第 三部分研究了该5 维3 一李代数的内导子代数及其结构特征 1 预备知识 1 预备知识 在本章中给出本文要用到的一些基本概念和基本结论，内容主要参考文献 4 9 】 定义1 1 伽李代数是域f 上的具有n 一元运算【，】的线性空间，且满足下 列恒等式： 陋1 ，z n l = ( 一1 ) r ( 盯) k ( 1 ) ，( 钝) 】， ( 1 1 ) p 1 ，z 珏】，抛，】= p l ，陋i ，耽，鲰】，z 讫1 ， ( 1 2 ) l = 1 这里盯& ，1 ( 仃) 分别等于0 或1 ，当仃是偶排列或奇排列时 注若眈f = 2 ，则对任意z a ，有z = 一z ，故( 1 1 ) 应写成为 且 这里 歹，甄= 陋1 ，z n 】= 【z 盯( 1 ) ，z 盯( n ) 】， k 1 ，甄，巧，z 竹】= o ， 设a 是一个铭一李代数，对任意鼢a ， = 1 ，绍，线性变换 r ( z 2 ，z 竹) ：a a ，( 轨) r ( z 2 ，茁竹) = 匆l ，z n 】， 称为由元素鲍，z n a 所决定的a 的右乘算子 ( 1 3 ) 定义1 2 礼一李代数a 的导子d 是a 到自身的线性变换，满足条件：对任意z 1 ， ，z n a ( z 1 ，z n ) d = ，( 如) d ，z n 】 ( 1 4 ) t = 1 由等式( 2 2 ) ，右乘算子及其线性组合是导子称其为内导子a 的所有导子生成讲( a ) 的 子代数称为a 的导子代数，记为d e r a ，记己( a ) 为所有右乘算子生成的子代数即内导 子李代数 3 - 河北大学理学硕士学位论文 从等式( 1 2 ) 和( 1 4 ) 知， r ( 口- ，一1 ) ，r ( h ，k 1 ) 】= 冗( 8 l ，8 n 一1 ) 冗( 6 1 ，6 住一1 ) 一r ( 6 l ，k 1 ) 冗( 口l ，一1 ) 竹一1 = r ( 0 1 ，( 。) 冗( 6 1 ，k 1 ) ，一1 ) ， ( 1 5 ) i = 1 对a 的子空间a 1 ，a ，记陋l ，厶】为所有元素陋1 ，】生成的子空间，这 里啦a ，t = 1 ，死 定义1 3 佗一李代数a 的理想j 是a 的一个子空间，且满足 j ，a ，a 】j 特别，若 口，j ，a ，a 】= o ， 称，为a 的a b e l 理想 定义1 4 z ( a ) = z a ，陋，a ，卅= o ( 1 6 ) 称为a 的中心，显然z ( a ) 是a 的理想 定义1 5 佗一李代数a 的理想j 称为七一可解的，如果存在r 0 ，使得，( r ，知) = o ， 这里 f ( o ，七) ：， 弘+ 1 ，知) = 旷，柚，弘，a ，刎 、- _ - - - 、_ _ ， 七 如果a 不含有非零的毙一可解理想，称a 是七一半单的n 一李代数( 七n ) ，如果七= 2 ， 我们简称为a 是可解的 定义1 6 佗一l i e 代数l 的理想j 被称为是幂零理想，如果存在r 1 ，使得，= o ， 这里 j 1 = j ，j 8 + 1 = 旷，j ，l ，叫， s 1 当l = j 时，称l 是幂零的佗一李代数 一垂 的意冀三罴：苎耻觚维3 - 李代数，它的一组基是e 1 ，e 5 则在同构 的意义下4 仅有如下几类。 一 则仕 喇倒 ( n ) 当成似1 = o 时，a 是a 6 e z 的 ( 6 ) - 当垅m a l = 1 时，设月l ：凡l ，则 ( 6 1 ) f e 2 ，e 3 ，e 4 】= e l ( 6 2 ) e z ，e 2 ，e 3 j = e 。 ( c ) 当以剃1 = 2 时，设a 1 ：凡1 + 凡2 ， ( c 3 ) ( c 1 ) ( c 5 ) 【e 1 ，e 3 ，e 4 】= e 2 【e 2 ，e 3 ，e 4 】= e l + e 2 e 1 ，e 4 ，e 5 】= e 1 f e 2 ，e 4 ，e 5 】= e 2 ， ( c 2 ) ( c 4 ) ( c 6 ) f e 2 ，e 3 ，e 4 】= e 2 e 1 ，e 3 ，e 4 】= e 1 【e 1 ，e 3 ，e 5 】= e 2 【e 2 ，e 3 ，e 5 】= e l ， f e l ，e 3 ，e 4 j = e 2 【e 2 ，e 3 ，e 4 j = e 1 + e 2 f e 3 ，e 4 ，e 5 】= e l ， ff e 2 ，e 3 ，e 4 】= e l ( c 7 ) f e l ，e 4 ，e 5 j ：e ， 【e 2 ，e 4 ，e 5 】= e 2 ， ( 回当出m a l = 3 时，设4 1 = 乳1 + f e 2 + 如， ( d 1 ) 。 陋1 ，眈，e 4 】= e 3 陋1 ，e 3 ，e 4 】= e 2 e 2 ，魄，e 4 】= e 1 ， 一5 - ( 铲) 、 瓯眈 | | i | ，i1ij缸龟 彩 彩 k h + 彩 以 = l 列咖 融 彩 h k 毋 勿 i | i | ，rj，fj 彩 础 k b 印彩彩缈彩 | | | | | i = = 列叫列嘲嘲 纷 纷 纷 纷 础 孙 b b b b 乜h h k b ( ) ( e 2 ，e 3 ，e 4 l = e l e 1 ，e 3 ，e 4 】= e 3 f e l ，e 2 ，e 4 】= e 2 e 2 ，e 5 】= e 3 ， 2 e 1 2 e 3 2 e 2 ， f e 2 ，白，e 4 】= e 1 e l ，e 4 ，e 5 】= e 1 e 2 ，e 4 ，e 5 】= e 2 + e 3 f e 3 ，铂，8 5 】= e 2 ， ( ) ( 扩) ( 护) ( e ) 当饿m a l = 4 时，设a 1 = f e l + f e 2 + f e 3 + f e 4 ， ( e 1 ) ( e 3 ) f e l ，e 2 ，e 3 】= e 4 e 1 ，e 2 ，e 4 】= e 3 ( e 1 ，e 3 ，e 4 j = e 2 e 2 ，e 3 ，e 4 】= e 1 ， 【e 1 ，e 2 ，e 3 】= e 1 k 1 ，e 2 ，铂】= e 2 e 1 ，e 3 ，e 4 】= e 3 e 2 ，e 3 ，e 4 】= e 4 ， ( e 2 ) ( e 4 ) f e l ，e 2 ，勖】= 臼 e 1 ，e 2 ，e 4 】= e 4 e 1 ，e 3 ，e 4 】= e 2 【e 2 ，e 3 ，e 4 】= e 1 ， e 2 ，e 3 ，e 4 】= e l f e 2 ，e 3 ，e 5 】= e 4 【e 2 ，e 4 ，e 5 j = e 3 r1 【e 3 ，e 4 ，e 5 】= e 2 。 们 彩 彩 = = i i 甜 艮 艮 彩 彩 彩 ， ， ， q l l k 陋陋 毋 彩 彩 = = = 彩 彩 彩 郾 出 蹦 2 2 3 娩b b i 彩 彩 彩 彩 彩 彩 眩k b l 、l，、7 奶 即 们 彩 彩 i i i i = 彩 彩 彩 踟 融 彩 h b b 、 、 2 5 维3 一李代数的结构 2 5 维3 一李代数的结构 在本章中要研究磊上具有3 维导代数的5 维3 一李代数的结构和内导子代数结 构，并给出内导子的具体表示形式 假设a 是易上的5 维3 一李代数，d i m a l = 3 且e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 为a 的一组 基，其乘法表分别为引理1 1 中的各种情形将右乘算子兄( e l ，色，白，蕻， ，e 5 ) 记为r ( ，歹，南) ，这里色表示e 在算子中不出现表示为5 阶矩阵单位对 a 的任意导子d ，即v d d e r a ，令 5 ( e t ) d = 勺， j = l 5 则d 在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵形式为d = o 巧，这里。巧历 t ，j = 1 首先研究导代数的维数是3 时的易上的5 维3 一李代数的结构则有如下定理 定理2 1 设a 是磊上的5 维3 一李代数，出m a l = 3 则a 是非2 可解但3 可 解的3 一李代数且除去( d 1 ) 和( ) 情形外，a 是半单的3 一李代数 证明：设a 是磊上的5 维3 一李代数，也m a l = 3 ，e 1 ，e 5 是a 的一组基 且具有引理1 1 中的乘法表则在各种情形时都有如下结果t a 1 = a ，a ，卅= f e l + f e 2 + f e 3 ，a ( 2 ) = 【a 1 ，a 1 ，刎= a 1 ， ，a ( 七) = a 1 o ， a 1 = 【a ，a ，州= f e l + f e 2 + f e 3 ，a ( 2 3 ) = 【a 1 ，a 1 ，a 1 】= o ， 所以a 是非可解但是3 可解的3 一李代数且从乘法表知，情形( d 1 ) 和( ) 具有非零 中心，因此可解根基非零但其他情形a 具有最小不可解理想a 1 ，所以是半单的证 毕 为方便下面的计算，将右乘算子冗( e 1 ，色，白，缸，e 5 ) 记为冗( i ，歹，七) 对任意a 的内导子r ( t ，j ，忌) ，令 e 比 o 5 脚 | | 后 r 句 河北大学理学硕士学位论文 则r ( i ，歹，后) 在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵形式为 这里口n 乞则有如下定理 定理2 2设a 是易上的5 维3 一李代数，出仇a 1 = 3 ，则 ( 1 ) 若a 是情形( d 1 ) ，则 l ( a ) = 日丰只 是非可解李代数，其中 日= 易r ( 1 ，4 ，5 ) + 易冗( 2 ，4 ，5 ) + 忍r ( 3 ，4 ，5 ) 为l ( a ) 的3 维a 沈z 理想，且是三( a ) 的可解根基， p = 易冗( 1 ，2 ，5 ) + 邑r ( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) 是己( a ) 的3 维单子代数且日为p 的不可约模，出m l ( a ) = 6 ， 冗( 1 ，2 ，5 ) = 毋2 + 易1 ，r ( 1 ，3 ，5 ) = 毋3 + 岛1 ，r ( 1 ，4 ，5 ) = 日1 ， 兄( 2 ，3 ，5 ) = 马3 + 马2 ，r ( 2 ，4 ，5 ) = 助2 ，冗( 3 ，4 ，5 ) = 且3 ( 2 ) 若a 是情形( 孑) ，则 ( a ) = 日士只 是非可解李代数，其中 日= 易r ( 1 ，2 ，4 ) + 易r ( 1 ，3 ，4 ) + 易r ( 1 ，4 ，5 ) 为l ( a ) 的3 维a 6 e z 理想，是l ( a ) 的可解根基，且日为尸的不可约模， p = 易r ( 1 ，2 ，3 ) + 易r ( 1 ，2 ，5 ) + 邑兄( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) 为l ( a ) 的4 维子代数，出m l ( a ) = 7 ， r ( 1 ，2 ，3 ) = 岛3 + 玛2 ，r ( 1 ，2 ，4 ) = 且2 ，r ( 1 ，2 ，5 ) = 易3 + 易1 + b 2 ， 冗( 1 ，3 ，4 ) = 日3 ，冗( 1 ，3 ，5 ) = 日2 + 玛1 + 忍3 ， 一& 昌啦 5 = 七 ，0 r 2 5 维3 一李代数的结构 r ( 1 ，4 ，5 ) = 日1 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 如+ 如 ( 3 ) 若a 是情形( d 3 ) ，则 是非可解李代数，其中 三( a ) = 日阜p 日= 易r ( 1 ，3 ，4 ) + 易r ( 1 ，4 ，5 ) + 易r ( 3 ，4 ，5 ) 为己( a ) 的3 维a 6 e z 理想，且是l ( a ) 的可解根基，是p 的不可约模 p = 易r ( 1 ，2 ，3 ) + 乞r ( 1 ，2 ，5 ) + 邑r ( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) 为三( a ) 的4 维子代数，出m l ( a ) = 7 ， r ( 1 ，2 ，3 ) = 易3 ，冗( 1 ，2 ，5 ) = 局3 + 易1 ，r ( 1 ，3 ，4 ) = 日3 ， r ( 1 ，3 ，5 ) = 日2 + 岛1 + 岛3 ， 兄( 1 ，4 ，5 ) = 局1 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 易2 + 如，r ( 3 ，4 ，5 ) = 日2 ( 4 ) 若a 是情形( d 4 ) ，则 己( a ) = 日阜p 是非可解李代数，其中 日= 易r ( 1 ，4 ，5 ) + 易r ( 2 ，4 ，5 ) + 磊r ( 3 ，4 ，5 ) 是l ( a ) 的舶e i 理想，且为( a ) 的可解根基，是p 的不可约模， p = 易冗( 1 ，2 ，5 ) + 历冗( 1 ，3 ，5 ) + 邑r ( 2 ，3 ，5 ) 是l ( a ) 的3 维单子代数，出m l ( a ) = 6 ， 冗( 1 ，2 ，5 ) = b 1 + 易l ，r ( 1 ，3 ，5 ) = 易2 + e 3 1 ，冗( 1 ，4 ，5 ) = 局1 ， r ( 2 ，3 ，5 ) = 易2 + 忍3 ，冗( 2 ，4 ，5 ) = 及3 ，r ( 3 ，4 ，5 ) = e 4 2 ( 5 ) 若a 是情形( d 5 ) ，则 l ( a ) = 日羊p 玑 河北大学理学硕十学位论文 是可解非幂零李代数，其中 日= z r 2 r ( 1 ，2 ，4 ) + 历兄( 1 ，3 ，4 ) + 易r ( 1 ，4 ，5 ) 是l ( a ) 的a 6 e ? 理想，且为三( a ) 的可解根基，是户的可约但不可分解的模， 尸= 易r ( 1 ，2 ，3 ) + 易r ( 1 ，2 ，5 ) + 忍冗( 1 ，3 ，5 ) 为l ( a ) 的3 维子代数，也m 三( a ) = 6 ， 冗( 1 ，2 ，3 ) = 易3 + 玩2 ，r ( 1 ，2 ，4 ) = 如， 冗( 1 ，2 ，5 ) = 易1 + 昆2 ， r ( 1 ，3 ，4 ) = 置3 ，兄( 1 ，3 ，5 ) = 岛1 + 岛3 ，r ( 1 ，4 ，5 ) = 且1 ( 6 ) 若a 是情形( 俨) ，则 己( a ) = 日只 是可解非幂零李代数，其中 日= 历冗( 1 ，2 ，4 ) + 邑兄( 1 ，3 ，4 ) + 易r ( 1 ，4 ，5 ) 为l ( a ) 的a 6 e z 理想，是尸的可约但不可分解的模，为l ( a ) 的可解根基， p = 汤冗( 1 ，2 ，3 ) + 易r ( 1 ，2 ，5 ) + 易兄( 1 ，3 ，5 ) 为三( a ) 的3 维子代数，成m l ( a ) = 6 ， r ( 1 ，2 ，3 ) = 易2 + 民，兄( 1 ，2 ，4 ) = 局3 ，冗( 1 ，2 ，5 ) = 易1 + 最3 ， 兄( 1 ，3 ，4 ) = 日2 ，r ( 1 ，3 ，5 ) = 玛1 + b 2 ， 兄( 1 ，4 ，5 ) = 巳1 ( 7 ) 若a 是情形( d 7 ) ，则 是可解非幂零李代数，其中 三( a ) = 日士尸 日= 磊r ( 1 ，3 ，4 ) + 邑r ( 1 ，4 ，5 ) 是l ( a ) 的a 6 e f 理想，为工( a ) 的可解根基，且是p 的可约但不可分解的模， p = 易兄( 1 ，2 ，3 ) + 易r ( 1 ，2 ，4 ) + 历兄( 1 ，2 ，5 ) + 易r ( 1 ，3 ，5 ) + 邑r ( 2 ，3 ，5 ) 一1 0 2 5 维3 一李代数的结构 是三( a ) 的5 维子代数，磁m 己( a ) = 7 ， 冗( 1 ，2 ，3 ) = e l l + e 2 2 + 岛；+ 如， r ( 1 ，2 ，4 ) = 日2 ， r ( 1 ，2 ，5 ) = 易1 + 尾2 ，r ( 1 ，3 ，4 ) = 砀2 + 肠3 ， 兄( 1 ，3 ，5 ) = 忍l + 昆2 + 尾3 ，r ( 1 ，4 ，5 ) = 邑1 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 磊1 ( 8 ) 若a 是情形( 护) ，则 是可解非幂零李代数，其中 三( a ) = 日阜易r ( 1 ，2 ，3 ) ， 日= 易r ( 1 ，2 ，4 ) + 易冗( 1 ，2 ，5 ) + 易冗( 1 ，3 ，4 ) + 易兄( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，4 ) + 汤r ( 2 ，3 ，5 ) 是l ( a ) 的a 6 e z 理想，出仇l ( a ) = 7 ， 冗( 1 ，2 ，3 ) = 毋1 + 易2 + 如，兄( 1 ，2 ，4 ) = 如， 冗( 1 ，2 ，5 ) = 岛3 ， r ( 1 ，3 ，4 ) = 局2 ，r ( 1 ，3 ，5 ) = 岛2 ， r ( 2 ，3 ，4 ) = 肠1 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 尾1 证明：( 1 ) 若a 的乘法表是情形( d 1 ) ，则a 有一组基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 的乘法表为 因此使用定理2 2 前面的符号说明及上述乘法表直接计算得 r ( 1 ，2 ，4 ) = o ，( e 1 ) r ( 1 ，2 ，5 ) = e 2 ，( e 2 ) r ( 1 ，2 ，5 ) = e 1 ，( e 5 ) r ( 1 ，2 ，5 ) = o ， 冗( 1 ，3 ，4 ) = o ，( e 1 ) 冗( 1 ，3 ，5 ) = e 3 ，( e 3 ) r ( 1 ，3 ，5 ) = e 1 ，( e 5 ) r ( 1 ，3 ，5 ) = o ， 冗( 1 ，2 ，3 ) = o ，( e 1 ) 冗( 1 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) 兄( 1 ，4 ，5 ) = e 1 ，( e 5 ) 冗( 1 ，4 ，5 ) = o ， 冗( 2 ，3 ，4 ) = o ，( e 2 ) r ( 2 ，3 ，5 ) = e 3 ，( e 3 ) 兄( 2 ，3 ，5 ) = e 2 ，( e 5 ) 兄( 2 ，3 ，5 ) = o ， ( e 2 ) 冗( 2 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) r ( 2 ，4 ，5 ) = e 2 ，( e 5 ) r ( 2 ，4 ，5 ) = o ， ( e 3 ) r ( 3 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) 冗( 3 ，4 ，5 ) = e 3 ，( e 5 ) r ( 3 ，4 ，5 ) = o 1 1 3 2 1 e e e f l = f i ，； 4 4 4 e e e 2 3 3 e e e l 1 2 e e e -ill 河北大学理学硕士学位论文 因此各内导子的矩阵表示为 r ( 1 ，2 ，3 ) = o ，冗( 1 ，2 ，4 ) = o ，r ( 1 ，2 ，5 ) = 毋2 + 易1 ， r ( 1 ，3 ，4 ) = o ，冗( 1 ，3 ，5 ) = 毋3 + 岛1 ，r ( 1 ，4 ，5 ) = 置1 ， r ( 2 ，3 ，4 ) = o ，兄( 2 ，3 ，5 ) = 易3 + 局2 ，冗( 2 ，4 ，5 ) = 如， 兄( 3 ，4 ，5 ) = 局3 因此r ( 1 ，2 ，5 ) ，r ( 1 ，3 ，5 ) ，r ( 1 ，4 ，5 ) ，r ( 2 ，3 ，5 ) ，冗( 2 ，4 ，5 ) ，r ( 3 ，4 ，5 ) 为一组基 又因为 令 则 f 玩，】= o ，季，歹= l ，2 ，3 ， 及1 ，局2 + 局l 】= 及2 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( 1 ，3 ，4 ) = o ，( e 3 ) 冗( 1 ，3 ，4 ) = o ，( e 4 ) 冗( 1 ，3 ，4 ) = e 3 ， ( e 1 ) r ( 1 ，3 ，5 ) = e 2 ，( e 3 ) 冗( 1 ，3 ，5 ) = e l ，( e 5 ) r ( 1 ，3 ，5 ) = e 3 ， ( e 1 ) r ( 1 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) r ( 1 ，4 ，5 ) = e 1 ，( e 5 ) r ( 1 ，4 ，5 ) = o ， ( 2 ) 冗( 2 ，3 ，4 ) = o ，( e 3 ) 冗( 2 ，3 ，4 ) = o ，( e 4 ) 冗( 2 ，3 ，4 ) = o ， ( e 2 ) 冗( 2 ，3 ，5 ) = e 2 ，( e 3 ) 兄( 2 ，3 ，5 ) = e 3 ， ( e 5 ) r ( 2 ，3 ，5 ) = o ， ( e 2 ) r ( 2 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) 兄( 2 ，4 ，5 ) = e 3 ，( e 5 ) r ( 2 ，4 ，5 ) = o ， ( e 3 ) r ( 3 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) r ( 3 ，4 ，5 ) = e 2 ，( e 5 ) r ( 3 ，4 ，5 ) = o ， 因此各内导子的矩阵表示为 冗( 1 ，2 ，3 ) = 易3 + 岛2 ，冗( 1 ，2 ，4 ) = 局2 ，r ( 1 ，2 ，5 ) = 最3 + 岛1 + 尾2 ， r ( 1 ，3 ，4 ) = 忍3 ，冗( 1 ，3 ，5 ) = 髓2 十岛1 + 如，兄( 1 ，4 ，5 ) = 肠1 ， 冗( 2 ，3 ，4 ) = o ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 岛2 + e 3 3 ，r ( 2 ，4 ，5 ) = e 4 3 ，冗( 3 ，4 ，5 ) = e 4 2 因此r ( 1 ，2 ，3 ) ，r ( 1 ，2 ，4 ) ，冗( 1 ，2 ，5 ) ，r ( 1 ，3 ，4 ) ，冗( 1 ，3 ，5 ) ，冗( 1 ，4 ，5 ) ，冗( 2 ，3 ，5 ) ，冗( 3 ，4 ，5 ) 为l ( a ) 的一组基又因为 玩，】= o ，t ，歹= 1 ，2 ，3 ， 1 3 - l 3 2 3 2 e e e e e = = = = i i 1 i j 1j，j 1j 1 】 4 4 4 5 5 e b e e ， ， ， ， ， 3 3 2 4 4 e e e e ， ， ， ， ， 2 l l 2 3 k k k 陋陋fiiii-j、l_liii 、l ， 产( ，f l 河北大学理学硕士学位论文 令 则 及1 ，e 1 3 + e 2 1 + e 5 2 】= e 4 3 ， 置1 ，日2 + 岛1 + 毛3 】_ 邑2 ，( e 4 1 ，易2 + 忍3 】= o ， f 毋2 ，毋3 + 易1 + 历2 】= 日1 ， 及2 ，局2 + e 3 1 + 如】= o ，【及2 ，易2 + 马3 】= 及2 ， 【如，易3 + e 2 l + 尾2 】= o ， ，毋2 + 历1 + 屁3 】= 毋1 ， ，易2 + 如】= e 鹞， 【段2 ，如+ 忍2 】= e 4 3 ， 易3 + 如，e 1 2 + 岛1 + 岛3 1 = 易1 + 日3 + 屁2 ， 【臣1 ，易3 + 岛2 】= o ，【晶3 + 易l + 琶2 ，墨2 + b 1 + 岛3 】_ 易2 + 如， 陬3 + 易1 + e 5 2 ，易2 + 如】= e 1 3 + e 2 1 + e 5 2 ，( 如，易3 + 玛2 】= 如， 如+ 马2 ，易2 + 如】_ o ，f 如+ 屁2 ，易3 + 易1 + 尾2 】= 玛1 + 局2 + 如， 【毋2 + 岛l + 尾3 ，易2 + 】= 局2 + b 1 + 屁3 ， 日= 易r ( 1 ，2 ，4 ) + 磊冗( 1 ，3 ，4 ) + 易r ( 1 ，4 ，5 ) ，【置1 ，易2 + 岛3 】= o ， 尸= 历冗( 1 ，2 ，3 ) + 历r ( 1 ，2 ，5 ) + 易冗( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) 己( a ) = 日阜p 日，p 】= e 日，明= o ， p ，p 】p ，出m l ( a ) = 7 ， 则 己( 1 ) ( a ) = 陋( a ) ，三( a ) 】= 日+ 磊兄( 1 ，2 ，5 ) + 易r ( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) ， 己( 2 ( a ) = 【己( 1 ( a ) ，l ( 1 ( a ) 】= l ( ，l ( 七) = l ( 1 o ， 所以a 是非可解的李代数且日为( a ) 的舶e c 理想，且为p 的不可约模 尸为 l ( a ) 的子代数，出m l ( a ) = 7 结论2 ) 得证 ( 3 ) 若a 的乘法表是情形( d 3 ) 时，则a 有一组基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 的乘法表为 因此使用前面的符号说明及上述乘法表直接计算得 ( e 1 ) r ( 1 ，2 ，3 ) = o ，( e 2 ) r ( 1 ，2 ，3 ) = e 3 ，( e 3 ) r ( 1 ，2 ，3 ) = o ， 1 4 _ 1 3 2 3 e e e e = | | i i = 11j 4 4 4 5 e e e e 3 3 2 4 e e e e ， ， ， ， 2 1 l 2 e e e e 2 5 维3 李代数的结构 ( e 1 ) r ( 1 ，2 ，4 ) = o ，( e 2 ) r ( 1 ，2 ，4 ) = o ，( e 4 ) r ( 1 ，2 ，4 ) = o ， ( e 1 ) 冗( 1 ，2 ，5 ) = e 3 ，( e 2 ) 冗( 1 ，2 ，5 ) = e l ，( e 5 ) r ( 1 ，2 ，5 ) = o ， ( e 1 ) r ( 1 ，3 ，4 ) = o ，( e 3 ) r ( 1 ，3 ，4 ) = o ，( e 4 ) r ( 1 ，3 ，4 ) = e 3 ， ( e 1 ) 兄( 1 ，3 ，5 ) = e 2 ，( e 3 ) r ( 1 ，3 ，5 ) = e l ，( e 5 ) 兄( 1 ，3 ，5 ) = e 3 ， ( e 1 ) 冗( 1 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) r ( 1 ，4 ，5 ) = e 1 ，( e 5 ) r ( 1 ，4 ，5 ) = o ， ( e 2 ) 冗( 2 ，3 ，4 ) = o ，( e 3 ) r ( 2 ，3 ，4 ) = o ，( e 4 ) r ( 2 ，3 ，4 ) = o ， ( e 2 ) 冗( 2 ，3 ，5 ) = e 2 ，( e 3 ) r ( 2 ，3 ，5 ) = e 3 ，( e 5 ) 冗( 2 ，3 ，5 ) = o ， ( e 2 ) 兄( 2 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) r ( 2 ，4 ，5 ) = e 3 ，( e 5 ) r ( 2 ，4 ，5 ) = o ， ( e 3 ) 冗( 3 ，4 ，5 ) = o ，( e 4 ) r ( 3 ，4 ，5 ) = e 2 ， ( e 5 ) 冗( 3 ，4 ，5 ) = o ， 因此各内导子的矩阵表示为 因此 r ( 1 ，2 ，3 ) = 易3 ，r ( 1 ，2 ，4 ) = o ，r ( 1 ，2 ，5 ) = 局3 + 饬1 ， r ( 1 ，3 ，4 ) = 局3 ，冗( 1 ，3 ，5 ) = 最2 + 历1 + 岛3 ，r ( 1 ，4 ，5 ) = 置l ， r ( 2 ，3 ，4 ) = 0 ，r ( 2 ，3 ，5 ) = 易2 + 马3 ，尺( 2 ，4 ，5 ) = 如，r ( 3 ，4 ，5 ) = 肠2 冗( 1 ，2 ，3 ) ，r ( 1 ，2 ，5 ) ，r ( 1 ，3 ，4 ) ，兄( 1 ，3 ，5 ) ，r ( 1 ，4 ，5 ) ，冗( 2 ，3 ，5 ) 为三( a ) 的一组基又因为 邑t ，】= o ，i ，歹= 1 ，2 ，3 ， 陬1 ，易3 】= o ，陬1 ，最3 + 易1 】= 局3 ，陬1 ，毋2 + 马1 + 尾3 】= 如， 肠2 ，易3 】= 及3 ，【e 4 2 ，e 1 3 + 易1 】= 日1 ， 置2 ，e 1 2 + 岛l + 既3 】= o ， 【置3 ，e 2 3 】= o ，【日3 ，e 1 3 + e 2 1 】= o ，【置3 ，e 1 2 + e 3 l + 岛3 】= 局1 ， 【易3 ，e 1 3 + e 2 1 1 = o ，( 局3 ，毋2 + 忍l + 尾3 】= 易l + 毋3 ，【及2 ，易2 + 如】= e 4 2 ， 【岛3 ，易2 + 如】= o ，陬3 + 易l ，最2 十岛1 + 如】= 易2 + 玛3 ，【马3 ，马2 + 岛3 】= 乳， 陬3 + 易1 ，易2 + 岛3 】- 蜀3 + 易1 ，陬2 + b 1 + 昆3 ，易2 + 岛3 1 = 毋2 + 乜l + b 3 ， 1 孓 河北大学理学硕士学位论文 令 则 日= 磊r ( 1 ，3 ，4 ) + 磊r ( 1 ，4 ，5 ) + 磊r ( 3 ，4 ，5 ) 尸= 历r ( 1 ，2 ，3 ) + 磊r ( 1 ，2 ，5 ) + 易r ( 1 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) ( a ) = 日阜只 日，尸】= 日， 日，日】= o ，f 尸p 】冬只饿m 三( a ) = 7 则 l ( 1 ) ( a ) = 陋( a ) ，l ( a ) 】= 日+ 乞r ( 1 ，2 ，5 ) + 磊兄( 1 ，3 ，5 ) + 磊r ( 2 ，3 ，5 ) ， 三( 2 ( a ) = 陋1 ( a ) ，三( 1 ( a ) 】= 三( ，三( 妨= 三( 1 o 所以a 是非可解的李代数且日为l ( a ) 的a 6 e z 理想，p 为l ( a ) 的子代数，日为 p 的不可约模出m l