（基础数学专业论文）正交辛型量子函数超代数.pdf

摘要 摘要 量子群或d r i n f e l d - j i m b o 量子包络代数理论中，单李代数$ 【2 的量子包络代 数u q g 【2 ) 起着某种不可替代的作用，它不仅是对一般理论的一个提示，而且也提 供了一般情形发展中所必须的结果和工具m a n i a 首先研究了量子一般线性超 群以及它的多参量子形变，这引起人们对量子超群的兴趣，然而大部分人都是考 虑般线性超群g l ( m l n ) 的形变众所周知，量子超群和量子超代数是相互对偶 的，构造量子超群的方法至少有两种，其一是通过品矩阵的方法构造，即f r t 方法在超形式下的推广；其二是从量子超代数开始构造量子超群1 9 9 9 年，h c l e e 和r b z h a n g 利用第二种方法讨论了超群o s p ( 1 2 n ) 和o s p ( 2 2 n ) 的 形变最近，s c h e l m e r t 构造了辛型一正交量子超代数( s l , o ( 2 m 1 2 , 0 ) 在向量表 示上的皿矩阵，进而定义了相应的量子超群s p o 口( 2 m 1 2 , 0 本硕士论文根据s c h e t m e r t 构造量子超群s p o 。( 2 m f 2 n ) 的思想，对应l i e 超 代数o s p ( 2 t + l 2 n ) ，首先研究量子包络超代数( 0 吕p ( 2 z + l 2 n ) ) 的向量模y 以 及vov 的结构，然后计算正交一辛型量子包络超代数( 唧( 2 f + 1 1 2 n ) ) 在向 量表示上的b 矩阵，进而利用f r t 方法通过所得到的r - 矩阵给出正交辛型 量子函数超代数o s p 。( 2 1 + l 2 n ) 的构造，最后证明它是余拟三角的 关键词t 量子群；忍一分次；超双代数；余拟三角的；量子函数超代数 a b s t r a c t t h eq u a n t u me n v e l o p i n ga l g e b r a 0 k ) o fs i m p l el i ea l g e b r ag 如p l a y sa n i m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fq u a n t u mg r o u p so rd d n f e l d - j i m b oq u a n t u me n - v e l o p i n ga l g e b r a s i ti sn o to n l yac l u ef o rt h eg e n e r a lt h e o r y , b u ta l s oi to f f e r s t h en e c e s s a r yr e s u l t sa n dt o o l sf o rt h ed e v e l o p m e n to ft h eg e n e r a lc a s e m a n i ni s t h ef i r s to n et os t u d yt h eg e n e r a ll i n e a rs u p e r g r o u pa n di t sm a l t i p a r a m e t r i cq u a n - r u md e f o r m a t i o n a f t e rt h a tm o r ea n dm o r ep e o p l ea r ei n t e r e s t e di nq u a n t u m s u p e r g r o u p s ，h o w e v e rm o s to ft h e mc o n s i d e rd e f o r m a t i o n so ft h eg e n e r a ll i n e a r s u p e r g r o u pg l ( m l n ) i ti sw e n k n o w nt h a tq u a n t u ms u p e r g r o u p sa n dq u a n t u m s u p e r a l g e b r a sa r ed u a l t h i si m p l i e st h a tt h e r ea r e ( a tl e a s t ) t w om e t h o d st oc o n - s t r u c taq u a n t u ms u p e r g r o u p o n ei st h er - m a t r i xa p p r o a c h ，t h a ti s ，t h es u p e r c a s eo ft h ef r tm e t h o d o n em a ya l s os t a r tf r o mt h eq u a n t u m s u p e r a l g e b r aa n d c o n s t r u c tt h eq u a n t u ms u p e r g r o u pa sa s u b - h o p f - s u p e r a l g e b r ao ft h ef i n i t ed u a lo f t h ef o r m e r i n1 9 9 9 ，h c l e ea n dr b z h a n ga p p l yt h es e c o n dm e t h o dt od e a l w i t hd e f o r m a t i o n so fo s p ( 1 1 2 ) a n do s p ( 2 2 n ) r e c e n t l y , s c h e u n e r tc o n s t r u c t e d t h er - m a t r i xo ft h es y m p l e c t i c - o r t h o g o n a lq u a n t u ms u p e r a l g e b r a ( s p o ( 2 m 1 2 n ) ) i nt h ev e c t o rr e p r e s e n t a t i o na n dd e f i n et h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u ms u p e r g r o u p s p o 口( 2 m 1 2 n ) i nt h i st h e s i s ，b a s i n go nt h ei d e ao fc o n s t r u c t i n gt h eq u a n t u ms u p e r g r o u p s p o q ( 2 m 1 2 n ) b ys c h e u n e r t ，w ea r ef i r s tt os t u d yt h es t r u c t u r eo ft h ev e c t o rr o o d - u l eva n dvov o f ( o s p ( 2 + 1 1 2 n ) ) ，c o r r e s p o n d i n gt ot h el i es u p e r a l g e b r a o s p ( 2 1 + l 2 n ) t h e nw ec a l c o l a t et h er - n m t r i xo ft h eo r t h o s y m p l e c t i cq u a n - t u ms u p e r a l g e b r a ( o 印( 2 f + 1 1 2 n ) ) i nt h ev e c t o rr e p r e s e n t a t i o n f u r t h e m o r e ，w e w o u l dl i k et ou s et h ef r tt e c h n i q u e so ft h es u p e rc a s et od e f i n et h ec o r r e s p o n d i n g q u a n t u ms u p e r g r o u po s p 口( 2 l + 1 1 2 n ) f i n a l l y , w es h o wt h a ti ti sc o q u a s i t r i a n g u - t a r k e y w o r d s ：q u a n t u a n mg r o u p s ；z 2 - g r a d e d ；s u p e rb i a l g e b r a ；c o q u a s i t r i - a n g u l a r ；q u a n t u mf u n c t i o ns u p e r a l g e b r a s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名必 关于论文使用授权的说明 日期 卅j ； 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 貅糍摊名杠嗍蚴 第1 章绪论 第1 章绪论 1 9 4 1 年，h h o p f i l l 在研究紧l i e 群同调时提出了h o p f 代数的概念之后 人们发现它与l i e 代数，微分几何，代数拓扑及统计物理具有广泛的联系 量子群是8 0 年代新兴的数学分支，最早于1 9 8 5 年由v g d r i n f e l d 2 和m j i m b o ( 3 1 在研究量子y a n g - b a x t e r 方程中相互独立地提出的1 9 8 6 年，d r i n f e l d 4 1 在国际数学家大会上的报告引起了人们对量子群的兴趣最初的例子是两类特殊 的h 0 p f 代数，一类是半单李代数l 的泛包络h o p f 代数的非平凡形变，另一类 是仿射代数群g 的坐标环的非平凡形变( n o n t r i v i a ld e f o r m a t i o n s ) 对于量子群的 定义现在还没有个公认的公理化定义数学家g p s m i t h s l 提出“一个非交换 非余交换的h o p f 代数叫做量子群”而在文献【6 】中d r i a f e l d 却把量子群定义为 非交换h o p f 代数的谱因此，量子群又被称为量子函数代数近年来，量子群在 可积系统、统计模型和共形场理论等领域中具有十分重要的应用，它已成为数学 家和物理学家十分感兴趣的研究领域 在量子群或d r i n f e l d - j i m b o 量子包络代数理论中，单李代数j 如的量子包络 代数砺( 蓐k ) 起着某种不可替代的作用，它不仅是对一般理论的一个提示，而且 也提供了一般情形发展中所必须的结果和工具作为代数，它首先由k u l i e h 和 r e s h e t i k h i n 7 i 在1 9 8 3 年引进，其h 0 p f 代数结构由s k l y a n i n s l 给出其后， d r i n f e l d 和j i m b o 分别独立地把此结构推广到任意有限维半单李代数g 的量子包 络代数( g ) 上，h a y a s h i 9 将此结构推广到经典李代数a ( 一般线性型) ， b ( 奇正交型) ，e ( 辛型) ，d ( 偶正交型) 的相应量子( 一般线性型，奇正交型， 辛型，偶正交型) 群( 量子函数代数) 上实际上该结构还可以推广到k a c - m o o d y 代数，广义k a c - m o o d y 代数【1 q 的量子包络代数上，参见文献【1 1 ，1 2 ，1 3 】 随后。在文献【1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 1 中，g l u s z t i g ，m r o s s o 和h y a m a n e 给 出了( g ) 的p b w 基，m j i m b o a 给出了( g ) 的量子c a s i m i r 元，r o s s o 1 q 和l u s z t i g 1 9 1 证明了- 当q 不是单位的根时，任意一个有限维的单g 一模都可以形 变成一个有限维的单( g ) 一模最近j o s e p h 2 0 , 2 1 1 等从环论方面研究了( g ) 的 结构，他们证明了当g 是有限维半单李代数时，( g ) 是n 0 e t h 日整环且其任一 本原理想是某一v e r m a 模的零化子除此之外，m a r t i n i 篮1 首先研究了量子一般 线性超群，以及它的多参量子形变之后引起人们对量子超群的研究但大部分 人都是考虑一般线性超群a l ( m l 神的形变，参见【2 3 ，2 4 ，2 5 】其主要结果有- 第一，m c o u t u r e 冽通过考虑互相对偶的量子空间对的余作用，证明了在 量子空间( m a r t i n 构造) 上，不同的对偶定义对应着不同的量子群和量化泛包络 代数 第二，m c o u t u r e 和h p l e i 、吲将m a n t a 的量化一般线性超群的工作 一般化，通过f r t 公式的一般化证明了。与r _ 矩阵有关的量子代数结构可以定 义在更一般的m a j i d 的辫子张量范畴中，参见文献【2 8 ，1 】 第三，a q r o s h u a n g 和j j a m e s z h o 划铡得到了m a n i a 的量子线性 超半群的标准基 k a r e nd a n c e r ” 利用l a x 算子计算了正交辛型量子超代数 ( o 印( 2j n ) ) 在向量表示中的皿矩阵，并在文献【3 1 】中，讨论了( o s p ( m l n ) 】的 c a s i m i r 不变元 第四，p h u n gh o h a i 船l 定义并研究了量子超行列式，证明了量子超行列式 可逆等价于量子超矩阵可逆，以及对于超行列式证明了著名b e r e z i n i a u 公式的口 形变( 口是可逆的) 第五，m s c h e u n e r t 构造了辛型- 正交量子超代数( s p o ( 2 m 1 2 n ) ) 在向量表 示中的品矩阵，进而定义了相应的量子超群s p o 。( 2 m 1 2 , 0 自然地，对于l i e 超 代数o s p ( 2 l + q 2 n ) ，我们可以考虑同样的问题然而，当f = 0 时，l e e 和z h a n g 已在文献 3 3 】中给出了详细的讨论，因此本文只研究f 1 的情况 本文根据s c h e t m e r t 构造量子超群s p o 。( 2 m 1 2 n ) 的思想，首先研究量子包络 超代数( o s p ( 2 t + 1 1 2 n ) ) 的向量模v 以及v o v 的结构；然后计算正交一辛型 量子包络超代数( o s p ( 2 z + 1 1 2 n ) ) 在向量表示上的r - 矩阵；进而利用f r t 方 法通过所得到的品矩阵给出正交一辛型量子函数超代数o s p 。( 2 z + l 2 n ) 并证明 它是余拟三角的全文是按如下方式组织的； 第1 章绪论 第一章主要给出研究背景，研究现状，以及本文的一些主要结论 第二章讨论了量子泛包络超代数( o s p ( 2 l + l 2 n ) ) 的向量模y ，并确定v o v 的结构进而给出v v 的一组基，这为以后计算品矩阵提供了方便 命题2 4 i ( o s p ( 2 l + 1 1 2 n ) ) 一模v o v 包含唯一的( 在纯量乘法w 个( o 印( 2 f + 1 1 2 , 0 ) - 不变元 我们用s 表示v o v 的个( o s p ( 2 t + 1 2 n ) ) 一不变元，设他) 科是y 的 一组基， 8 - r , - v + l = e 叶0e 一件l + 盯一 一r + l q 一1 e r + 10e r 是( o 印( 2 f + l 2 n ) ) 一模v 固v 的一个最高权向量它的另一个最高权向量是 口 一r = e r oe r 命题2 4 3 设o y ) ：，o y k 分别是由8 - - r , - r + 1 和一r ，一，生成的( 唧( 2 z + 1 1 2 , 0 ) 一子模则 ( ) ( o s p ( 2 f + l 2 n ) ) 模v o v 是其子模( v o v ) o ，( v o y k 和c s 的直 和tv v = ( v v ) o o ( v o y ) 。0 c s ( i i ) ( v o y k 和( v o y ) ：是既约的 ( 托) ( y o y ) ：o ( y o y ) 口是动的核 ( i v ) 设只是v v 到( v y ) 口的以( v o y ) ：o c s 为核的投影算子，并 设线性型 k ：v v _ y o y k o , ) = 6 口( “) s ，v “v 圆k 则i d v 。v ，只和k 构成e n d ( v v ) 的基 在第三章中，注意到在向量表示中( o s p ( 2 l + 1 1 2 n ) ) 的辫子生成元詹是 ( o s p ( 2 l + 1 1 2 n ) ) 模v o v 的一个自同态我们利用e n d ( v 固v ) 的基l d y 。n 只 和k 求出了孟的表达式，即 置= a i q “毋j 固蜀，+ c z i q 一“e 一“。且，一i + e o , o 。e o ，o + 以j 易j 。目j + 0 一g - 1 ) 最，。马j 一( g q - 1 ) ( ( 俨) 。1 ) - j a c o 易，一 进而用f r t 方法构造了超双代数a ( r ) 由于超双代数a ( r ) 不具有h o p f 超代数结构，因此在本文最后一章，我们将适 当选取a ( r ) 的个双边理想，( q ) ，从而得到一个h o p f 超代数o s p 口( 2 1 + 1 1 2 n ) = a ( r ) j ( q ) 主要结果有 定理4 1 2 超双代数o s p 。( 2 z + 1 1 2 n ) 是h o p f 超代数，其余乘、余单位和反极的 定义如下。 a ( t ) = t 囟ze ( t ) = i ，s ( t ) = r 反极具有性质 s 2 ( t ) = ( c 9 ( c 4 ) 耐) t ( g a ( g 4 ) l t ) 一1 定理4 2 2h e p f 超代数o s p 口( 2 1 + 1 2 n ) 是余拟三角的即在o s p 口( 2 z + 1 2 n ) 上存在唯一的泛r - 型口使得； o ( 巧，砰) = 口( 琅一讯，仍一哺) ，材，v i ，互k ，f i 本硕士论文中，基本域是复数域c ，所有的代数记号和结构都认为是超形式 下的，l i e 超代数中的乘法用【，】表示，向量空间的对偶在向量空间上的作用记 为( ，) ，一个代数工在厶模上的作用表示为 4 第2 章砺( o s p ( 2 1 + 1 1 2 n ) ) 一模 第2 章v , ( o s p ( 2 1 + 1 1 2 n ) ) 模 本章首先回顾了有关l i e 超代数o s p ( 2 1 + l 2 n ) 的一些结论，紧接着给出 ( 唧( 2 f + l 2 n ) ) 的h o p f 超代数定义，并讨论了( o s p ( 2 t + l 2 n ) ) 的向量模y 以及它的向量模y o y 2 1 l i e 超代数o , p ( 2 1 + 1 1 2 n ) 本节我们将给出l i e 超代数o , p ( 2 1 + 1 1 2 n ) 的一些已有结论，如根系，根系的 基以及相应的c h e v a u e y - s e r r e 生成元等，并确定一些记号 3 4 1 设v = v 0 0 v 1 是一个有限维的z 2 - 分次向量空间， d i m = 2 l + 1 ，d i m _ 1 4 = 2 n ， 其中f 1 ，n 0 ，并设b 是y 上超对称的，偶的，非退化双线性型也就是说， 和关于b 正交，而且b 限制在上是对称的非退化双线性型，b 限制在 k 上是斜对称的非退化双线性型，因此k 一定是偶数维的 定义2 1 1 删设l 是超代数，w 是分次的l 模称w 中的元素z w 是上一 不变的，如果对于所有的a l ，都有a z = 0 显然，w 中的所有厶不变元组成的集合是w 的个分次子空间相反的， 给定w 中的个齐次元z ，如果a $ = 0 ，则称a l 保持z 不变所有这样的 元素a l 组成的集合是l 的一个分次子代数 令。印( 6 ) 表示g 【( koh ) 中保持双线性型b 不变的元素组成的集合即 o s p ( b ) = 似g 【o v l ) lb ( a x ，y ) + ( - 1 ) 和6 ( z ，a y ) = o ) 其中q y v ，f ，n 分别是a 和z 的分次次数显然o p ( b ) 是g 【( v o o v i ) 的分次 子代数 北京工业大学理学硕士学位论文 我们采用m s c h e u n e r t 在文献【3 5 】中描述l i e 超代数o s p ( 6 ) 的方法，定义 ：v o v 0 8 p ( 6 ) 的线性映射为 ( zo ) z = b ( u ，z ) 茁一( 一1 ) 。啦6 ( 。，z ) g ， 其中z k ，y 声v ，o ，卢历则是满射，且的核恰好是v o v 的 由其所有斜张量元组成的子空间 为了叙述方便，我们需要仔细选取一些记号设j 表示包含2 f + 2 n + 1 个元 素的指标集，并在i 上定义置换7 r 使得7 r 2 = i d ，从而7 r 在j 上恰好只有个固 定点进步设j 是，的子集，使得，是j ，”( 和 o ) 不相交的并因此我们 假设j = 一r ，- l 一1 ，- l ，一，- 1 按照m s c h e u n e r t 在文献【3 6 】中描述的那样，我们选取y 的一组齐次基 e ) ，其中设刀历是b t 的次数，使得； ( 2 1 ) 如果 ，j i 且7 r 0 ) i ，b ( e i ，e j ) = 0 ， ( 2 2 ) 如果j j ，6 ( 勺，o ) ) = 1 ， ( 2 3 ) 6 ，e o ) = 1 回顾记号， 以= ( - 1 ) 4 ，= 盯( 仉，仍) = ( 一1 ) 啦珊，l ，j i ， 勺= 1 ，h o ) = 乃，j z o 0 = 1 r o = 1 从而对于所有的i i ， = 以，以h = 以，霄= 1 以及i ，j i ， 6 ( e ，e 1 ) = n 氏o 对于o 易。再设厶= 0 ，h = q ) ，j o = jn 厶本硕士论文总假定 i o = 一z ，- 1 ，0 ，1 ，j ) ，五= ( - t n ，一竹，竹，f + n ) 第2 章( o e p ( 2 1 + lj 2 n ) ) 一模 除了要用到t e ) 这组基外，我们还会用到y 的另w - - 组基 ) 科，这组 基和 e t ) i 关于b 对偶，定义如下， b ( j ，e d ) = ，其中i ，j i 显然，五的分次次数是一班，可参见文献l 3 7 1 根据等式( 2 1 ) ，可以得到，的表 达式t h = t d e ( 1 ) ， i i 利用前面引入的两组基，我们定义o s p ( b ) 中的元素如下 x , j = ( e t o 矗) ，l ，j ， 注意到的分次次数是琅+ 叩j ，且五，= 一勺，o ) ， ，j i 通过简单计 算，我们还可以得到： 墨，。= 0 ，i 岛； i2 蜀，”o ) ，i 矗 和粕= e , j a q t 。( o r i e r o ) ，。， ，j i 其中 五0 ) l j j 是g 【( y ooh ) 的对应 于 e t 日的一组基，即最，( e ) = 0 k e 根据定义，五b 是y 到它自身的线性映 射，其分次次数为臻一仍 设b 是由元素，i i 张成的o s p ( b ) 的子空间，显然b 是o s p ( b ) 的子代数，且 b 中的每个元关于基 e k - 的矩阵是对角矩阵因为= 一五，。，i i ， 所以勘，j j 构成b 的一组基 对于每一个i i ，我们通过下面的方程定义b 上的一个线性型矗， 日白= e i ( h ) e l ，v h b 很容易验证e 。= - - e t ，v i e i 和矗( 砀) = ，vz ，j j 特别的，e o = 0 从 而，句0 刀是圹的对偶基 北京工业大学理学硕士学位论文 的日b ，i ，j j ，有阻，鼍力= ( 矗一勺) ( 日) 墨，而岛一勺= 0 等价于j = i ，即 子代数，a = 他一勺i f i ，i ；j 幻r ( 1 ) 或j = 7 r a ) 厶 是唧( 6 ) 关于b 的根 系，x , j ( 1 ，j i ；j i ，w ( ) 或j ；7 r ( z ) 五) 是对应于岛一勺的根空间根矗一勺 的奇偶性依赖于吼呀的值当以乃= 1 时，矗一勺为奇根，当以乃= 一1 时， 注意到0 印( 6 ) 上的不变双线性型( x ，y ) = ；s t r ( x y ) 是超对称的且是非退 ( a i p ) = ( 一1 ( a ) ，一1 ( p ) ) = ；s t r ( 日 日p ) ，v 入，p h + 从而容易验证风2 暑。a ( 砀) 翰，v a b ，以及b i 勺) 2 以曲，v ，j ， ：i 勺一勺+ 1 ，一r j s 一2 ； 【“， j = - 1 第2 章( 唧汹+ 1 f 轨) ) - 模 霹= i x j j + l 9 ，。一。一；黾。，- ：r 一 l j 一2 巧=x互j+。五lj。，,一。一一日，。，-：r一，j一2； 彤= 二二咏尚“j + 1 二二 - 2 北京工业大学理学硕士学位论文 a = 21 121 121 101 121 12 一王 一1 21 22 当f = 0 ，n 0 时的c a f t a n 矩阵在文献 3 8 1 中已给出 注，众所周知l i e 超代数o s p ( m 1 2 n ) 和s p o ( 2 n l m ) 是自然同构的，且s p o ( 2 n 1 2 m ) 的量子形变已在文献【3 6 ，3 9 】做了详细的研究，因此本文只考虑o s p ( 2 i + 1 1 2 n ) 的情况 2 2 ( o s p ( 2 t + 1 1 2 n ) ) 的h o p f 超代数结构 为定义( o s p ( 2 1 + t 1 2 , 0 ) 的向量模y ，本节介绍( o s p ( 2 1 + l 2 n ) ) 的h o p f 超代数结构首先我们回顾一下h o p f 超代数的定义对于一个分次元o ，当是 偶次的，定义m 一6 ；当z 是奇次的，定义m = i 定义2 2 1 设a 是历一分次向量空间，定义映射m ：a 圆a _ a ，札：k a ， ：a a 圆a 和s ：a k 称似，m ，a ，e ) 为域k 上的超双代数，如果 ( a ，m ，“) 是带有乘法m 和单位映射“的历一分次结合代数 ( a ，) 是忍一分次余代数，其中是余乘，e 是余单位 一1 0 - 第2 章( 0 6 p + 1 1 2 n ) ) 一模 ，e 是分次代数同态 注意在a o a 中张量积乘法定义为 ( a 1ob 1 ) ( a 2 固6 2 ) = ( 一1 ) a 2 j a d a l o - 2oh b 2 如果存在映射s h o m k ( a ，a ) ，使得对任意的a a ， 。- s ( o z ) = s ( 。，) 0 2 = s ( n ) l ( o )( o ) 则a 叫做h o p f 超代数，s 称为a 的反极注意s ：a 三a ”是保分次的且对 任意的a l ，o , 2 a s ( a 1 0 2 ) = ( 一1 ) “，lr , j s ( c b ) s ( a 1 ) 如果对于余乘我们采用s w e e d l e r 记号删 ( x ) = 确。丑2 ) x 则x 在y 上的伴随作用定义为 ( a d x ) y = ( 一1 ) m i x ( 2 ) 1 鼍1 ) y s ( 确) x 定义2 2 2 量子超代数( 0 8 p ( 2 f + 1 1 2 n ) ) 是由匠，足，鲍和j 0 1 ( i ，) 生成的 带有单位元的满足如下关系的泛结合超代数： k j k _ = k k = 1 k i g j = k i k t ， k , e k , - 1 = 毋ie j lg , f j g , = 4 f j 陬驴牟， 1 1 北京工业大学理学硕士学位论文 ( a d e d ( 1 一叼马= 0 ， i j ，i 一f 一1 ， ( b d 只) ( 1 一叼乃= 0 ， i j ， 一f 一1 ， 0 d ( e l l 一1 ) a d ( e - 1 ) a d ( e - i 1 ) ( e l 一2 ) = 0 ， e - z - 1 ，马】= 0 ，n i 一1 j = 0 ， f - t 一1 ，f j 】= 0 ，o l 一1 j = 0 ， 罡l 一1 = f 一2 l 一1 = 0 其中= 口池i 吲u , ( o w ( 2 1 + 1 1 2 , 0 ) 的所有生成元都是齐次的，时1 ，j j 是 偶次的；当j 一l 一1 时，易，乃是偶次的，e l 一1 ，f - l 一1 是奇次的即当j j 时，哗手1 】= 0 ；当j - l 一1 时，盼】= f j 】= 0 ，以及阻l 一，】= i f _ l 一1 】= i 进一步在( 唧( 2 f + 1 2 n ) ) 上定义余乘为 ( 易) = 易圆1 + k j o e j ， 余单位e 为 反极s ( 乃) = f j o 圬1 + 1 0 乃 ( - - 7 士1 ) = 砖1 圆时1 e ( 易) = ( 乃) = 0 ，s ( 时1 ) = 1 s ( 砖1 ) = k 于1 ，s ( e j ) = 一k 7 1 e j ，s ( 乃) = 一毋玛 则( o s p ( 2 1 + 1 1 2 , 0 ) 是h o p f 超代数 2 3 ( o s p ( 2 l + 1 1 2 n ) ) 的向量模y 本小节我们证明在向量模y 上存在唯( 在纯量乘法下) 的( o s p ( 2 + 1 2 n ) ) 一 不变双线性型它将在下一节的讨论中用到 1 2 - 第2 章( o 印+ 1 2 ) ) 一模 定义2 3 1 设l 是超代数，三在z 2 - 分次向量空间y 上的分次表示是p ：l l g r ( v ) 的z 2 - 分次代数同态d 的分次次数为零) 赋予这分次表示的易一向量 空间y 称为l 的向量模 下面我们将讨论( 0 8 p ( 2 f + 1 1 2 , 0 ) 的向量模y ，设y 是第一节中 | 入的分 次向量空间，曰，g 和写是第一节定义在v 上的线性算子在此我们定义另 一个线性算子7 ，j j ： k ；= 一q ，v j j ， 其中 由= 掣，j - f “ d f 一1 ：( 。- t - 1 a t ) a - l - 1 ，一l 因为算子霹是可对角化的，特征值为0 ，- 4 - 1 ，所以蟛的定义是良好的且是可逆 的因此很容易证明算子留，召，和( 巧) 士1 满足生成元乃，乃和砖1 ，j j 的 定义关系设 妒：( o s p ( 2 z + 1 1 2 n ) ) 一l g r ( v ) 妒( 历) = 蟛，1 ；f ，( 乃) = g ，妒( k 手1 ) = ( 蟛) 士1 ，vj z 则妒是( o s p ( 2 + l 2 n ) ) 在v 上的分次表示，因此，根据定义，y 是( 0 8 p ( 2 z + 1 1 2 n ) ) 的向量模 设 e ) 谢是y 一组基( 已在第一节引入) ，则 巧白= q ( a ，l q ) e vj j ，l ， 如非形变的情况一样，e i 的权仍是日依照非形变情况中的结论，对于形变情况 有下面的命题 命题2 3 2 v 上存在唯一( 在纯量乘法下) 的( o 印( 2 z + 1 1 2 n ) ) 一不变双线性 型 1 3 证竺设护是矿上的双线性型，静是y y 上的双线性型，平凡地对应泸 则萨是( 0 8 p ( 2 f + i j 2 n ) ) - 不变的当且仅当对于任意的x ( 。印( 2 f + 1 f 2 n ) ) z ，| ，v 铲( x 扛固们) = ( x ) 静0 p ) 而 护( 玛他。靠) ) = ( 玛归眩。e k ) ，v j j ， 等价于 泸( 岛。钆) = 0 ，v i ，屉，且i + k # o ( 2 - 2 ) 从而可以推出6 口的齐次次数为零联立方程( 2 - 2 ) 和 b ( e j 如p 靠) ) = o ， v j ，且f ，自r 或 6 口( 乃。他。靠) ) = o ，v j ，且矗， 可以得到相同的线性方程组。 b q ( e l ，e 一1 ) = q b a ( e o ，印) ； 护( e 一1 ，e 1 ) = q - ；酽( e o ，e o ) ； 伊( 留，e 一，) = q - l b a ( e j + 1 ，e 。一1 ) ，1 j 如 泸( 勺，8 - j ) = q b q ( e j + l ，8 。一1 ) ，j ；l ； b * ( e j ，e 。) = q b 9 ( 勺+ 1 ，e j 一1 ) ，f + 1 j r ； b q ( e _ j 一1 ，坼1 ) = 口b q ( e 。，勺) 1 j 1 ； 酽( 8 叫一1 ，勺+ 1 ) = 一口一1 垆( 8 - j ，勺) ，j ：z ； 垆( e 叫一1 ，勺十1 ) = q b q ( e 1 ，勺) ，f + 1sj r 一1 垂 第2 章( o 日p + l 2 n ) ) 模 这一方程组在纯量乘法下有唯一解，也就是说在纯量乘法下俨是y 上唯一 的( o 印( 2 f + 1 1 2 n ) ) 一不变双线性型命题2 3 2 得证 适当正规化后，就可以得到我们所要求的双线性型6 叮，其表达式如下 b q ( e i ，) = 四k ，v ，k ， 其中吃= c ：! 一t 文，幽v f ，k j ， k t = 竺 系数c ! ! 一t 为 暖一= 一q - t 一搿一 扩j ， 1 尹；， g 雹一i j ， - - r l 一f 一1 一f f s - 1 ； i = o ： 1 i f ； l + 1 l r 一七i 叽e i o ； 2 4 v v 的( 0 8 p ( 2 2 + l 2 n ) ) ，模结构 我们已经知道非形变情况下模v v 的具体结构，而在形变情形下，模v o v 具有完全类似的分解本结将给出形变情形下有关模v v 的结论 一1 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 首先( o s p ( 2 f + 1j 2 n ) ) - 模v o v 与非形变情形有相同的权，即张量积e 圆e j 的权是c i + 白 命题2 4 1u , ( 0 8 p ( 2 z + i 1 2 - ) ) 一模v 固v 包含唯一的( 在纯量乘法下) 一个 ( o s p ( 2 1 + 1 1 2 , 0 ) 一不变元 证明；设s 是v v 中的一个非零( 0 8 p ( 2 c + l i 轨) ) 不变元，则根据定义有 x s = e ) s ，v x ( o s p ( 2 + 1 1 2 n ) ) 而巧8 = s ，j j 等价于s 的权是零，即s 是龟oe t 的线性组合， 8 = 矗e e - i i e i 其中c 4 ，i i 是系数对于具有这种形式的s ，条件 e j 8 = 0 vj j 和 f j s = 0v j j 可以得到同一个关于系数c ， i 的线性方程组，如下 c 1 = c 一1 = 一c o ； 勺+ l = 白b ) 勺，一r j 一2 ； c _ j = q ( a a 8 一j 一1 ) c j 一1 ，一f j 一2 ； c 4 + 1 一一口q ，j = - 1 1 ； c 。= q ( 4 j 1 8 一p 1 ) q 一1 ，一r 一z 一1 而这一方程组在纯量乘法下有唯一解所以命题2 4 1 得证 适当正规化后，得到 s = ( ( 伊) 。1 ) 砧岛 e k ， 1 6 _ 第2 章( 0 6 p ( u + 1 1 2 n ) ) 一模 其中( ( e a ) - 1 ) 是伊的逆矩阵 设d = f n ，计算静( s ) 的值，其中静是上一节定义在v ov 上的双线性 型 雄) = 等( q _ q - 1 ) 引理2 4 2 c s 是( o s p ( 2 t + 1 1 2 n ) ) 一模v o v 的一维子模 在非形变的情形，( voy ) ：对应于v 圆v 中所有超对称张量积构成的子空 间，且( v 圆y ) ：中的每个元属于5 的核，这一子空间具有最高权一，+ e r + 1 ( v y ) 。对应于v0v 中所有斜超对称张量积构成的子空间，这个子空间是由 e r oe r 和e 一，0e 一，生成的 如果( 0 8 p ( 2 z + 1 1 2 n ) ) 一模v o v 有权为一，- i - s r + 1 的权向量，那么定 是e 一，oe r + l 和e 一件1 固e 一，的线性组合事实上，在纯量乘法下，这样的且能 被髓生成元零化的线性组合是唯一的取 b - r , - r + l ：e r e r + 1 + 盯一 一r + 1 q l e 叶+ 1 固e r ， 则8 - r , - r + 1 是( o s p ( 2 t + 1 1 2 n ) ) 一模vov 的个最高权向量在形变的情形， e r e r 被b 生成元零化，因此e 一， e 一，是( o s p ( 2 1 + 1 1 2 n ) ) 模v o v 的另一个最高权向量根据定义，( voy ) ：和( voy ) 。分别是由8 - 7 , - - 件1 和 e 一，oe - r 生成的v 圆v 子模 用且生成元反复作用在s 叶一，+ i 上，可以得到如下元素， 8 i d = e o 勺+ 口一1 勺0 岛，l ，j i ；i j ，i - j ，( 2 - 3 ) 8 i ，l = 氐o q ， i 岛，i 0 ， ( 2 - 4 ) 8 l = 0 + g i ) e o oe o g 一1 e l oe 一1 一q e 一1 0e l ，( 2 _ _ 5 ) 当2 j r 时， 勺。g q 一1 e - j + lo 勺一1 + o l q 一1 e j 一1oe 1 - 1 一吩一l a i e - ioe j 一乃一l q “q q e j 圆8 0 ( 2 _ 6 ) 一1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 类似地，用f - 生成元反复作用在e 一，oe 一，上，可以得到 当2 j r 时， 0 t j = e 4 圆e 1 一q 勺oe 4 ，l ，j j ；i 五i 一j 啦 = e 4 0 白，i ， 0 1 = ( g 一 一口) e o oe 0 + e 1 8 1 一e 一1 舀e 1 ， a j2q - a j - t e j + 10e j 一1 一吩一1 口勺一1 圆e l o ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 一。一l a j e _ jo 勺+ 乃一1 9 9 q 勺圆e _ j ( 2 - 1 0 ) 另一方面，由( 2 - 3 ) 一协6 ) 张