（基础数学专业论文）边界碰撞的推广.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年一月解密后适用本规定。 非涉密论文囱 论支作者簦名：主! 挞 e l 期： 导师签名： 日期： 塑12 ：圭：三! p o la 2 边界碰撞的推广 中文摘要 边界碰撞的推广 中文摘要 对任一拓扑空间x ，称x 具有性质似) ，如果对x 的任一非空的真开 子集u ，k 是万的任一连通分支，都有k nb d ( u ) g ，即：u 的边界中包 含了k 中的某一点。众所周知，每一个连续统都是具有性质似) 的。本文 的主要工作就是要说明对于某些更一般的拓扑空间，性质( m ) 和相关的碰 撞性质也是成立的。 关键词：连续统，局部连通，弱闭连通，连通子 作者：沈琳 指导老师：周友成( 教授) p r o m o t i o no f b o u n d a r yb u m p i n g p r o m o t i o no fb o u n d a r yb u m p i n g a b s t r a c t s p a c e ，x ，h a st h ep r o p e r t y ) p r o v i d e dt h a ti fui sa n yn o n e m p t y o p e n s u b s e to fxa n dki s a n yc o m p o n e n to f u ，t h e n k n b d ( v ) g ；t h a ti s ，t h eb o u n d a r yo fuc o n t a i n sap o i n to fk i ti sw e l l k n o wt h a te v e r yc o n t i n u u mh a st h ep r o p e r t y 似) t h ep r o p e r t y ) a n d r e l a t e dp r o p e r t i e sw i t hr e g a r dt og e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e sa r ed i s c u s s e di n t h i sa r t i c l e k e y w o r d s ：c o n t i n u u m ，l o c a lc o n n e c t e d n e s s ，w e a k l yc l o s ec o n n e c t e d ， c o n n e c t o r i i w r i t t e n b y ：s h e nl i n s u p e r v i s e db y ：p r o f z h o uy o u c h e n g 至殳询j 1 3 边界碰撞的推广 引言与预备 第一章引言与预备 连续统是连通紧致度量空间 定义：给定拓扑空间z ，对任意的a x ，a 在x 中的闭包记为j ；彳 在x 中的边界记为b d x0 ) ，简记为b d ( a ) ，定义为b d ( a ) = 一an i 刁；若x 的 子集a ，b ，满足一an b 彩，则称么与b 碰撞，否则称么远离b 。 在s a mb n a l d e r l l l 的专著连续统理论中，有三种形式的边界碰 撞定理，分别叙述如下： i ：设x 是一个连续统，【，是x 的一个非空的真开子集若k 是万的一 个连通分支，则knb d ( u 1 a i i ：设x 是一个连续统，e 是x 的一个非空的真子集若k 是e 的一个 连通分支，则瓦n b d ( e 1 o i i i ：设x 是一个连续统，e 是x 的一个非空的真子集若k 是e 的一 个连通分支，则 ( 1 ) 若e 是x 的开子集，贝, i jk n ( x e ) ( 特别地，夏一e o ) ( 2 ) 若e 是x 的闭子集，则k n ( 万习) 囝 边界碰撞定理不仅对连续统的研究有着重要作用，而且在动力系统， 特别是复动力系统的研究中也很有用碰撞定理的应用涉及到连续统的 分类，特别涉及到连续统理论的核心与难点不可分解连续统对于连 续统中的边界碰撞的相关性质已经研究的相当充分，而对于比连续统更 一般的空间，研究尚少。 e r i cl m c d o w e l l 2 1 和b e w i l d e r t 2 1 探究了比连续统更一般的空间上边 界碰撞的一些相关性质，论证了对任一局部连通的空间x ，以下结论等 价：( 1 ) x 是具有边界碰撞性质的 2 , d e f i n i t i o n i l ； 1 边界碰撞的推广 通的 2 , d e f i n i t i o n 4 】； 段连通的 2 , d e f i n i t i o n 6 】； 点连通的 2 , d e f i n i t i o n l 2 】； 的； cl m c d o w e l l t 2 1 和b e w i l d e r t 2 1 的基础上做进一步研究，得 到的主要结果有：空间具有性质) 当且仅当空间x 是弱闭连通的；每 个弱闭分段连通空间是连通的；每个局部连通，连通的空间具有性质) 等等( 其中性质) ，弱闭连通，弱闭分段连通的定义在本文的第二章) 以下是在本文中要用到的定理 引理1 1 【2 】：设x 是一个拓扑空间，a ，b x ，且彳b ，则 彳与b 碰撞j n 万习a 引理1 2 【2 】：若c 是连通空间x 的一个非空的真子集，且c 不是x 的 连通子，则x c 有无限多个连通分支 边界碰撞的推广 主要结果 笛一喜- - i - 硅丘夸士甲 弟一早 - t - 芰三石禾 在本章中，将要给出拓扑空间上的边界碰撞的一些相关性质 定义2 1 ：对任一拓扑空间x ，称x 具有性质似) ，如果对x 的任一 非空的真开子集u ，k 是万的任一连通分支，都有k n 召d ( u ) 囝 定义2 2 ：空间x 称为是弱闭连通的( w e a k l yc l o s ec o n n e c t e d ) ，如果 对x 的任一非空的真开子集c ，c 都是x 的连通子 定理2 1 ：空间x 具有性质似) 当且仅当空间x 是弱闭连通的 证明： ”j ： 假设x 不是弱闭连通的，则存在x 的一个非空的真开子集c 不是x 的 连通子，即：存在x c 的某个连通分支k ，使得： knc = o ， ( 1 ) 所以， 一k x 一一c x c 因为k 是x c 的连通分支，所以k 是闭于x c 的又c 是x 的开子 集，所以x c 闭于x ，故k 闭于x 所以，k = 夏 所以 k ：一kcx 一一cc x - ccf 刁：x c 3 边界碰撞的推广 k 是x 一石的连通分支又因为x 一石是x 的开子集，由x 具有性 k n b d ( x 一乙) a ， k n ( x - z - 否n 丽1 。 = 一 k n x c n c a 为k x 一石，所以有： kn c g 与( 1 ) 矛盾所以假设不成立，从而得证 假设空间x 是弱闭连通的下证空间x 具有性质似) 对x 的任一非空的真开子集c ，k 是石的任一连通分支，下面只需证 明x n a a ( c ) g 令：e = x 一一c ，则e 为x 的非空的真开子集，f 1 x 乡yx e ( 石) 的连通 。 = k n x c a 又c 一c ，所以工一石x c ，从而有 一x - c c 再z 所以 o knx c knx c ， 从而有 k n 万乏a 又因为k 冬石，所以有 kn 石n 万乏g ， 即得： k n 鲋( c ) 囝， 所以空间x 具有性质似) 口 定义2 3 ：空间x 称为弱闭分段连通的( w e a k l yc l o s ep i e c e w i s e c o n n e c t e d ) ，如果x 的任一非空的真的连通开子集都是x 的连通子 5 边界碰撞的推广 显然得到以下定理： 2 ：每个弱闭连通空间是弱闭分段连通的 3 ：设x 是一个连通空间，如果x 的每一个连通开子集的余集 个连通分支，则x 是弱闭分段连通的 ( 反证) 不是弱闭分段连通的，则由弱闭分段连通的定义可知，存在x 的真的连通开子集c ，使得c 不是x 的连通子由引理1 2 可 知x c 有无限多个连通分支，则与题设矛盾，所以假设不成立，命题得 、t 让口 注：命题2 3 中的条件不是弱闭分段连通成立的充要条件 例1 ： 设x 表示c a n t o r 集上的锥，顶点为d ，则x 是连续统，由 2 可知，j 是闭分段连通的，则显然是弱闭分段连通的但是包含顶点d 的任一连通 开子集的余集有无限多个连通分支，即不满足命题2 3 中的条件 例2 ： 令9 2 ( o ，1 ) r 2 ，x 表示r 2 中不包括极限弧的s i n 妻曲线u j d 三习j ，- a - b 。疋e l ， x 。= ( x , s i n l ) r z ：o x 1 ) ，令x = x u g ) 则x 是连通的，并且易知对于x 边界碰撞的推广 主要结果 的任一连通的开子集c ，c 的余集至多有两个连通分支所以由命题2 3 可知，x 是弱闭分段连通的 但是，如果c = 缸，少) x x 2 + 少2 占，其中占 1 ) ，则c 是x 的一个非空的 真开子集， g 是x c 的一个连通分支，并且舀) 是远离c 的，所以c 不是 x 的连通子，由弱闭连通的定义可知，x 不是弱闭连通的 定理2 4 ：每个弱闭分段连通空间是连通的 证明：( 反证) 假设x 是弱闭分段连通的，但是x 不是连通的，则存在x 的两个非 空的真开子集u ，v 使得x = uuv ，且unv ：a 任取j 的非空的真的连通开子集e ，则e u 或者e v 不防假设e 互u ，由x 是弱闭分段连通可知，e 是x 的连通子，所以 e 与x e 的任一连通分支碰撞任取x e 的连通分支k ，则 一k ( i e g 。 又e u ，所以一e 一u = u ， 故 因为k 为x e 的连通分支， 以k 闭于x 故k ：一k ，所以 又k 连通，所以 unk 囝 所以k 闭于x e ，而x e 闭于x ，所 k n u k u ， 7 主要结果边界碰撞的推广 由k 的任意性可知： x ec u 所以x = e u 似一e ) u 矛盾于假设，所以假设不成立，得证口 在此，将前面所做的工作总结如下： 定理2 5 ：x 具有性质似) x 是弱闭连通的； jx 是弱闭分段连通的； jx 是连通的 命题2 6 ：每个局部连通，连通的空间具有性质似) 证明： 假设x 是一个局部连通，连通空间，下证x 具有性质似) 设u 是x 的一个非空的真开子集，k 是万的任一连通分支，下面只需 证kn b d ( u 1 g 假设k n b d ( u 1 = o ，即： k n ( u n x - u ) ：c a 又k 是万的连通分支，所以k 6 ，故有 即： k n x u = o ， k x x u u u 的即开又闭的子集，与x 连通矛盾，所以假设不成立，即得证kn 删( u ) 囝 所以x 具有性质似) 口 定理2 7 ：对任一局部连通的空间x ，以下命题等价： ( 1 ) x 具有性质) ； ( 2 ) x 是弱闭连通的； ( 3 ) x 是弱闭分段连通的； ( 4 ) x 是连通 证明：由定理2 5 和命题2 6 即得证口 定义2 4 ：对每个正整数n ，称空间x 是弱闭刀连通的( w e a k l yc l o s e 胛c o n n e c t e d ) ，如果x 的每个至多有n 个连通分支的非空的真开子集是彳 的连通子 定理2 8 ：空间x 是弱闭n 连通的当且仅当空间x 是弱闭分段连通 的 证明：显然，空间x 是弱闭疗连通的空间x 是弱闭分段连通的，下 面来证明相反方向： ”= ” 对门采用归纳法证明。 当胛= 1 时，显然成立 边界碰撞的推广 假设当n = 后时，有弱闭分段连通弱闭k 连通的 对刀：k + 1 时，设x 是弱闭分段连通的，e 为x 的一个有k + 1 个连通分 支的非空真开子集不防令e 的连通分支分别为c 1 ，c ：，c k 令k 是x 二e 的任一连通分支，要证：一k n e a 七十1 由e = c ，_ 一 i = 1 ( 1 ) 若一kn g g ，则 k n e a k + l ( 2 ) 若kn q = o ，则k 也是x u c 。的连通分支，又因为x 是弱闭七连 i = 2 通的，因此有： 再广一 面n u c i gj k n e c , ? j j = 2 综上，一kn e a 所以对刀= k + l 时也成立，因而由归纳法得证口 定义2 5 【1 1 ：设x ，】，是拓扑空间，称映射f ：x 一】，为合流的 ( c o n f l u e n t ) ，如果对】，的任一子连续统q ，厂1 ( 9 ) 的每个连通分支在厂下 映满q 定理2 9 ：设x 是弱闭连通的，y 是紧致度量空间，f ：x 一】，是连续 合流映射，则】，也是弱闭连通的 证明：设c 是】，的任一非空的真开子集，要证明】，是弱闭连通的，由 定义知，只需证c 是y 的连通子，即证：c 与c 的任一连通分支碰撞 设k 是c 的任一连通分支，下证一k n c g 】，是紧的，y c 闭于】，所以y c 紧，又k 是y c 的连通分支，故k 闭于 c ，则k 紧又k 是连通的，所以k 是y 的子连续统因为厂：x j ，为合 流映射，故可设h 是f _ 伍) 的连通分支，则厂旧) = k 则h 是烈厂( c ) 的连 通分支，否则假设日是x f 1 ( c ) 中包含h 的连通分支，即： h 互h sx 一( c ) ，则有 k = 厂旧) 厂) 伍厂1 ( c ) ) = s ( s 一1 p c ) ) y c ， 又因为厂是连续的，p f r 以f ( h ) 是连通的，则k 厂) 互c 与k 是y c 的 连通分支矛盾，故假设不成立，所以h 是x f 1 ( c ) 的连通分支 又因为x 是弱闭连通的，所以 f 。1 ( c ) n h 又因为h f 一1 伍) ，所以 a 确n 百而n 而c f 。1 ( c ) n s 一( 瓦) = f 一( c ) ns 。1 ( 乏) = f 。1 ( 石n 瓦) 从而得到厂1 ( 石n i ) 。 所以有一cn k 所以】，是弱闭连通的r l 参考文献 边界碰撞的推广 参考文献 1 s a mb n a l d e r ，j r ，c o n t i n u u mt h e o r y ，m o n o g r a p h sa n dt e x t b o o k si np u r ea n d a p p l i e dm a t h ，v 0 1 1 5 8 ，1 9 9 2 2 e r i cl m c d o w e l la n db e w i l d e r ，b o u n d a r yb u m p i n gi nc o n n e c t e d t o p o l o g i c a ls p a c e ，l e c t u r en o t e si np u r ea n da p p l i e d m a t h e m a t i c s ，v 0 1 2 3 0 ，1 9 9 5 ，2 3 7 - 2 4 4 3 j a m e sr m u n k r e s ，t o p o l o g y ，s e c o n de d i t i o n ，机械i , _ l kt i 版社，2 0 0 4 4 高国士，拓扑空间论