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东北大学硕士学位论文摘要 三维m i n k o w s k i 空间中二次曲面的分类 摘要 随着数学的发展，非欧几何学已成为一门重要的数学分支。在非欧空间 中，三维m i n k o w s k i 空间是我们研究的最广泛的一类伪欧氏空间。因为它只具 有一个负指标且有较好的对称性，与三维欧氏空间有很多相似之处，从而欧氏 空间的些结论可以相应地推广n = - - 维m i n k o w s k i 空间中。但是也正因为它具 有一个负指标从而区别于三维欧氏空间，许多在欧氏空间中简单的结论在三维 m i n k o w s k i 空间中就变得非常复杂。 在三维欧氏空间中，通过坐标轴的旋转和平移变换可以对二次曲面进行 分类。这样，在三维欧氏空间中我们可以得到二次曲面的1 7 种不同类型。 在m i n k o w s k i 空间中，d o c a r m o 相应地定义了坐标轴的旋转和平移变换。 在这些变换的基础上我们可以在三维m i n k o w s k i 空间中对二次曲面进行旋转和 平移或者对坐标轴进行旋转和平移，得到相似的分类。 本文主要是在三维m i n k o w s k i 空间中对二次曲面进行分类。为了在这个空 间中对二次曲面进行分类，我们首先研究的是二次曲面绕不同坐标轴旋转后进 行平移变换下的不变量，然后根据这些不变量来研究二次曲面的等价类，达到 分类的目的。 关键字：m i n k o w s k i 空间二次曲面分类不变量 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t t h ec l a s s i f i c a t i o no fq u a d r a t i cs u r f a c e s i nt h r e e d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e a b s t r a c t t w oh u n d r e d y e a r sa g o ，h u m a nk n e wl i t t l ea b o u tn o n - e u c l i d e a ns p a c e i nt h a t t i m e ，e u c l i d e a ns p a c e ，w h i c hc a nr e f l e c tt h er e a lw o r l dt os o m ee x t e n t s ，h a sb e e n t h o u g h tt h eo n l yr i g h tg e o m e t r ys p a c e a tt h eb e g i n n i n go f t h en i n e t e e n t hc e n t u r y m a t h e m a t i c i a n ss u c ha sc f g u a s s ，j a n o sb o l y a ia n dl o h a t c h v s k if o u n dt h e r e a s o u a b i l i t yo f t h ep s e u d o e u c l i d e a ns p a c e a f t e rt h a t ，p s e u d o - e u c l i d e a ns p a c eh a s b e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i c b u tt h et h r e e d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c ei sm o s t w i d e l yr e s e a r c h e db e c a u s ei th a so n l yo n en e g a t i v ei n d e xa n dag o o d s y m m e t r yt h a t i sm o r en e a rt ot h et h r e e - - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c et h a no t h e rp s e u d o - e u c l i d e a n s p a c e s i nt h r e e - d i m e n s i o n a le u c l i d e a n s p a c e ，i ti sw e l lk n o w nt h a tt h e r ea r es e v e n t e e n d i f f e r e n tq u a d r a t i cs u r f a c e st h a ta r ec l a s s i f i e db yi n v a r i a n c eo f s u r f a c e su n d e rt h e r o t a t i o n sa n d p a r a l l e lt r a n s l a t i o n so fc o o r d i n a t ea x i s s i m i l a r l y , d oc a r m od e f i n e dt h e r o t a t i o n so fc o o r d i n a t ea x i si nl o r e n t zs p a c e ，a n dw ec a nd e f i n et h es a m e p a r a l l e l t r a n s l a t i o n so f c o o r d i n a t ea x i si nl o r e n t zs p a c ea st h a td e f i n e di ne u c l i d e a ns p a c e s o i nl o r e n t zs p a c ew ec a na l s oc l a s s i f yt h eq u a d r a t i cs u r f a c e sd e p e n d i n go nt h e r o t a t i o n sa n d p a r a l l e lt r a n s l a t i o n so f c o o r d i n a t ea x i s a tf i r s t ，i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ei n v a r i a n t so f q u a d r a t i cs u r f a c e su n d e rt h e r o t a t i o n sa n dp a r a l l e lt r a n s l a t i o n so f c o o r d i n a t ea x i si nt h r e e d i m e n s i o n a lm i n k o w s k i s p a c e t h e nw ec a nd e f i n et h ee q u i v a l e n tr e l a t i o no f q u a d r a t i cs u r f a c e sa c c o r d i n gt o t h e s ei n v a r i a n t s f i n a l l yw ec a r lc l a s s i f yt h eq u a d r a t i cs u r f a c e sw i t ht h ee q u i v a l e n t r e l a t i o ni nt h r e e d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e k e y w o r d s ：m i n k o w s k is p a c eq u a d r a t i cs u r f a c e c l a s s i f i c a t i o ni n v a r i a n t i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究 成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包括本人为获得其它学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所作的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：方诌弓 日期：如t2 魄f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导老师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的 规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名：否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名 签字日期 东北大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 1 1 数学是什么 1 “数学”是什么? 数学是什么? 迄今为止，众说纷纭，莫衷一是。 英国的罗素说：“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说 的是否对的一门学科。” 法国的e 波莱尔则提出另一个与其针锋相对的说法：“数学是我们确切知 道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”两者各执一 词，不能说没有道理，但罗素的定义似乎陷入了虚无主义的态度。 关于“数学”是什么，大概有以下说法： ( 1 ) 万物皆数说“万物皆数”的始作俑者是毕达哥拉斯，他说：“数统 治着宇宙”。这一说法在长时间内得到不少人的赞同。苏格拉底甚至强调，学 习数学是“为了灵魂本身去学”。柏拉图称“上帝乃几何学家”，他在自己学 园门上写着：“不懂得几何学的不得入内。” ( 2 ) 哲学说自从古希腊人搞哲学开始，数学就成为哲学问题的重要来 源。古希腊的大哲学家几乎都是大数学家，这就难怪为什么他们比较容易从哲 学上来定义数学。亚里士多德说：“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数 学，但他们却把数学和哲学看作是相同的。” 对数学给予哲学的定义，首推欧几里得，欧氏在几何原本中对数学的 定义几乎都是从哲学方面提出的。比如： 点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度； 直线是同其中各点看齐的线； 面是只有长度和宽度的那种东西。 圆是包含在一( 曲) 线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的 所有直线彼此相等。 东北大学硕士学位论文 第一章引 言 牛顿在其自然哲学之数学原理第一版序占中曾说，他是把这本书“作 为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来。”罗 素则更直接，他说：“为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，且要 成为一个好数学家。”他把数学的素养作为创造健康哲学的基本条件。 ( 3 ) 符号说数学被人们普遍公认为是一种高级语言，是符号的世界。伽 里略的一段话流传颇广，即“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写 在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书 是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字也 看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。” ( 4 ) 科学说此说认为，数学是一门科学。高斯说：“数学，科学的皇 后；算术，数学的皇后。”培根认为：“数学是科学的大门和钥匙。”赫尔巴 黎说：“数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域； 那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己。” ( 5 ) 模型说把数学定义为模型古已有之。怀特海认为：“数学的本质就 是研究相关模式的最显著的实例”。约翰逊- 格伦说：“数学为逻辑提供了一 个理想的模型，它的表达是清晰的和准确的，它的结论是确定的，它有着新颖 和多种多样的领域，它具有增进力量的抽象性，它具有预言事件的能力，它能 间接地度量数量，它有着无限的创造机会”雷尼说：“甚至一个粗糙的数 学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况。” 除以上这些说法之外，还有很多，比如创新说、工具说、审美说、逻辑 说、直觉说、结构说、集合说、活动说、艺术说，但不管哪种说法，都很难用 一句话把数学说全，这可能就是数学异于其他科学而作为文化的最主要的特 点，数学是属于世界的，它几乎无所不包。 1 2 非欧空间的来源 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义 这三个方面的不同含义。所谓广义泛指一切和欧几里得几何学不同的几何学， 狭义的非欧几何只是指罗巴切夫斯基几何来说的，至于通常意义的非欧几何， 东北大学硕士学位论文第一章引 言 就是指罗巴切夫斯基几何和黎曼几何这两种几何。 1 2 1 欧氏几何和罗氏几何 欧几里得的几何原本提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五 公发和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题 中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在j i , 何原本中可以不依靠 第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理? 能不 能依靠前四个公设来证明第五公设? 这就是几何发展史上最著名的，争论了长 达两千多年的关于“平行线理沦”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的 对不对? 第五公设到底能不能证明? 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设 的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题， 用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展 开一系列的推理。他认为如果在以这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于 证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷 所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结 论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上 无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样是完善的、 严密的几何学。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出 的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普 遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。 东北大学硕士学位论文第一章引言 几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶- 雅诺什 也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过 程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲数学家鲍耶法尔卡什认 为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶- 雅 诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1 8 3 2 年，在他的父亲的一本著 作里，以附录的形式发表了研究结果。 那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究 了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢 公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也 不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶等人的新理论。 罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公 理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公 理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何内 容不同的新的几何命题。 我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理。 因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗 氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏 几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧氏几何 同一直线的垂线和斜线相交。 、 垂直于同一直线的两条直线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗氏几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举的罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的 直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被 - 4 东北大学硕士学位论文第一章引言 接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作 一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。 1 8 6 8 年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝 试，证明非欧几何可以在欧几里得空问的曲面( 例如拟球曲面) 上实现。这 就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里 得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 人们既然承认欧氏几何是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛 盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深 入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞 美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。 1 2 2 黎曼几何 欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都 是相同的，只是平行公理不一样。欧氏几何讲“过直线外一点有且只有一条直 线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和己知直 线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线 平行”? 黎曼几何就回答了这个问题。 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1 8 5 1 年所作的一篇论文论几何 学作为基础的假设中明确地提出另一种几何学的存在，开创了几何学的。片 新的广阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点 ( 交点) 。在黎曼几何学中不承认、| ，行线的存在，它的另一条公设讲：直线可 以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进” 的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的 广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关 于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀 的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释。恰恰是和黎曼几何 的观念是相似的。 东北大学硕士学位论文 第一章 引言 此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基 础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。 1 2 3 三种几何的关系 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自 所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和 独立性。因此这三种几何都是正确的。 在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中， 欧氏几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际； 在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。 1 3 微分几何的产生与基本内容 微分几何学是运用数学分析的理论研究在曲线或曲面上某一点邻域的性 质，换句话说，微分几何是研究_ 般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数 学分支学科。 1 3 1 微分几何的产生 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出 贡献的是瑞士数学家欧拉。1 7 3 6 年他首先引进了平面曲线的内在坐标这个概 念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几 何的研究。 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中 去，并于1 8 0 7 年出版了它的分析在几何学上的应用一书，这是微分几何最 早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要 求是促进微分几何发展的因素。 1 8 2 7 年，高斯发表了关于曲面的一般研究的著作，这在微分几何的历 史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经 历了1 5 0 年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根奉性的内容，建立 6 一 东北大学硕士学位论文第一章引言 了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一 些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的某一区域的面 积、测地线、测地曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基 础。 1 8 7 2 年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了埃尔朗根纲 领，用变换群对已有的几何学进行了分类。在埃尔朗根纲领发表后的半 个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了儿何学的发展，导致了射影微分 几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1 8 7 8 年阿尔方的学位论文，后来1 9 0 6 年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发 展，1 9 1 6 年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎 曼几何学和，义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应 用广泛的独立学科。 1 3 2 微分几何学的基本内容 微分几何学以光滑曲线( 曲面) 作为研究对象，所以整个微分几何学是由 曲线的弧长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线 和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一一点的曲率 等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就 要用到微分的方法。 在曲面上有两个重要概念，它们是距离和角。比如，在曲面上由一点到另 一点的路径是无数的，但在一般情况下这两点间最短的路径只有一条，叫做从 一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这 个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每点的 曲率也是微分几何的重要内容。 在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活 动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把 这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去 东北大学硕士学位论文第一章引 言 高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也町以变成 均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。 近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分 几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学 学科和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄 壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理 论。 1 。4 本文的主要内容、研究目的及意义 对于欧几里得空间内二次曲面的分类，我们已经有了一些非常详细和清楚 的结论，但是在m i n k o w s k i 空间中，随着度量定义的改变，一些和度量有关的 性质也会发生变化。以前在欧几里得空间中很简单的结论，在m i n k o w s k i 空间 里会变得特别复杂，因此我们需要重新考虑和确定这些结论。在m i n k o w s k i 空 间中讨论曲面的性质，我们有必要从度量的定义、正交标架和伪正交标架着 手，通过在m i n k o w s k i 空间内空间的性质和曲面的性质对曲面进行分类。对曲 面进行了分类，就减少了我们对曲面研究的复杂度，那么在研究曲面的时候， 我们只需要研究同一类中某个曲面的相关性质，这类曲面中其他曲面的相关性 质可以通过等价变换得到。 在m i n k o w s k i 空间中，d o c a r m o 给出了在这类空间中绕不同坐标轴进行旋 转变换的定义，在此基础上可以定义曲面在此空间上的旋转变换以及相应的矩 阵表示。从而在m i n k o w s k i 空间中，我们可以对二次曲面进行旋转和平移来研 究二次曲面的不变性。根据这些在旋转和平移变换下的不变性，我们可以为曲 面定义等价曲面。通过对m i n k o w s k i 空间中的二次曲面的等价类研究，我们将 会对m i n k o w s k i 空间有一个更深入的理解。 一8 一 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1n 维欧氏空间 2 1 1 数域f 上的向量空间 所谓数域f 上的向量空间是指一个交换群v ，其元素称为向量，群的运算 记为加法，并且定义了数a f 与向量v v 的乘法2 v v ，满足以下条件： ( 1 )( 兄+ j u ) v = 五v + , u v 黧翳? 2 7 篡， 其帆e f ，v i v 。，v 2 矿。 ( 3 )旯( v l + v 2 ) = v l + 鸽 。” ( 4 ) l v = v 如果在v 中存在n 个元素巧，瓦，使得v 中任意一个元素v 都能够表示 成4 ，的线性组合， 即： v = a 1 磊+ 2 五+ i 五”皖， 7 f ( i = 1 ，2 ，竹) ， 并且表达式是唯一的，则称 4 ) 为空间v 的一个基底( 或基) 。基底 4 中元 素的个数”与基底的选择无关，称为数域f 上向量空间v 的维数。 今后我们着重讨论的是实向量空间，即f = 皿。因此，当我们不特别指明 所讨论的数域时都是指实数域。 2 1 2 欧氏向量空间 假定v 是m 维向量空间，若在矿上给定一个对称、正定的双线性函数 ：v v r ，即它满足下列条件： 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 ( 1 ) = + 黑j 机护i 瓜7 t ：也 其中 咀，v y ( 3 ) = 一 ( 4 ) 0 且等号只在v = o 时成立， 则称( 矿， ) 为n 维欧氏向量空间。 满足上述条件的双线性函数 称为欧氏内积，通常记成 v l 。v 2 = 。 设( 矿， ) 为”维欧氏向量空间，则在v 上能够取基底碱 ，使得 寸 暑 这样的基底称为v 中的单位正交基底。 2 1 3 仿射空间 设矿是 维向量空间，爿是一个非空集合，彳中的元素称为点。如果存在 一个映射呻：a x 一斗v ，它把一中任意一对有序的点j p ，q 映成矿中一个向量 p q v ，且满足以下条件： ( 1 ) p p = 0 ，v p 4 ； ( 2 ) v p 4 ，v v v ，存在唯一的一点q ，使得p q = v ； ( 3 ) v 尸，q ，s 一，成立恒等式p q + 旦s = 耶 则称爿是”维仿射空间，且称v 是与仿射空间一伴随的向量空间。 2 1 4 欧氏空间 设( y ， ) 为n 维欧氏向量空间，则以y 为伴随向量空间的仿射空间称为 n 维欧氏空间。记为f 。欧氏空间f 中任意两点p ，q 之间的距离定义为 d ( j p ，q ) = 砀殛。 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 5 三维欧氏空间内二次曲面的分类 ( 一) 椭球向 1 椭球面： 善a + 罢b + 砉= ， c 。 【2 】虚椭球面： 手+ 芳+ 吾= 一，d 6 。c “ 【3 点： 善a + 吾+ 吾= 。 。 0 。c 一 ( 二) 双蛆面 4 单叶双曲面： 吾+ 吾一笔c = ，d口 【5 】双叶双曲面； 吾+ 菩一乏c = 一一盘0 ( 三) 抛物面 【6 】椭圆抛物面： 三+ ：2 ： pq 7 双曲抛物面： ! 一：2 ： pq ( 四) 二次锥面 8 二次锥面： 要a + 吾一委c = 。0 查些查兰塑主兰堡堕墨 ( 五) 二次柱面 9 椭圆柱面： 事弓= - 【1 0 】虚椭圆柱面： 等+ 芳叫 【1 1 直线： 事+ 等= 。 1 2 】双曲柱面： 等 = 【1 3 】一对相交平面： 吾一事= 。 【1 4 】抛物柱面： x 2 = 2 p y 【1 5 】一对平行平面： z 2 = 口2 【1 6 一对虚平行平面： z 2 = 一日2 【1 7 】一对重合平面： y 2 = 0 第二章预备知识 2 2n 维m i n k o w s k i 空间 2 2 1n 维m i n k o w s k i 空间的定义 假定v 是n 维向量空间，且在y 上具有一个对称的双线性函数 1 2 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 ：v x v r 则可以选取一组标准正交基底 p ) o = 1 ，2 ，n )，使得 f li = j = 1 ，2 ，m g = = 吒= 0i j ， i ii = j = m + l ，n 则 称为向量空间v 上的内积。 设g 。的值为1 的数目为m ，为- 1 的数目为p ，则m + p = n ； 若m 和p 均4 i 为零，则此时的空间为n 维伪欧氏空间( 或l o r e n t z 空 间) ，记为e 。 特别地，当p = 1 时，称向量空间v 为”维m i n k o w s k i 空间，记为研； 当 = 3 ，p = 1 时，称向量空间矿为三维m i n k o w s k i 空间，记为砰。 2 2 2n 维m i n k o w s l d 空间中的向量 设矿是n 维m i n k o w s k i 空间，任取向量口v ，且口0 若： 口口 口口 口d 0 ，则称口为类空向量 = 0 ，则称口为类光向量 2x i y l + x 2 y 1 一x 3 y 3 。 在伪正交标架 弓，巳，岛) 下，有： = o ， = 1 ， = 0， = o ， = i ， = 0 。 从而在伪正交标架下有： ( x ，y = x y 3 + 为儿+ 乇咒。 2 4 二次曲面的函数表示 记： fq l a = f 嘎。 【吗， ： l 包 q ：1 呜：j其中：= t = l ，2 ，3 ， 码z 乌， ， y=c 则二次曲面的表达式： f ( x ，y ，z ) = b 2 5l o r e n t z 变换 扣， m ) ：0 。 在3 维m 1 n k o w s l d 空间e ? 中，l o r c a t z 变换分为在正交标架下和伪正交 1 4 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 删，= 潞甜 删愕训， 恐( f ) = 10o tlo 一一fl r ( 口) = r ( - o ) ， r ( q + 岛) = 月，( q ) 弓( 岛) 其中：i = 1 ，2 ，3 。 2 6 二次曲面的l o r e n t z 变换 在3 维m i n k o w s k i 空间e ? 中，若有： 阡即) | ，忙啦固， 4 吏f ( x ，y ，z ) = 0 转换为，( x 。，。，z ) = o ， 我们称之为二次f 师f ( x ，y ，z ) = 0 在3 维m i n k o w s k i 空间e ? 中的l o r e n t z 变 铲 | ) 东北大学硕士学位论文第= 章预备知识 则有 ( 1 ) m 。，z 冲：t ) b 卿) 币叫( ；卵 = ( ) b 警y ； 若拿 ( r ； ( ： 十f 1 ) 取鬈掰姒( i 。 二次曲面( x ，y ，z ) = 0 和二次曲面，( z ，y ，z ) = 0 等价的定义：若存在l o r e n t z 变换r ( p ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ，使得： 小 我们称：二次曲面厂( x ，y ，z ) = 0和二次曲面厂( x 。，y ，z ) = o 等价。 从而我们可以有对称矩阵一和对称矩阵b 等价的定义：若有l o r e n t z 变换 r ( p ) ( i = l ，2 ，3 ) ，使得：b = 足( 目) 。足 ) ，我们称对称矩阵a 和对称矩阵 b 在l o r e n t z 变换月下等价。 由于 r ( 曰) = 足( 一目) ， r ( 鼠+ 见) = 墨( 岛) r ( 岛)其中：i = 1 ，2 ，3 ， 可以验证这种等价性定义满足反身性、对称性、传递性。 1 6 东北大学硕士学位论文 第三章l or e n t z 变换下的不变量 第三章l o r e n t z 变换下的不变量 3 1 正交标架下绕类空轴旋转的变换 ( 2 ) r 。( 口) a r ( 曰) = r d l ld 1 2c o s h0 + 1 3s i n h 0 口1 2s i n h 0 + d i3c o s h0 1 l d 2 lc o s h 0 + d 3 l s i n h0 b 2 2b 2 3 i l 口2 1s i n h 0 + 码lc o s h 护 b 3 2b 3 3j 最2 = a 2 2c o s h 2 0 + a 2 3s i n h 2 0 + a 3 3s i n h 2 0 b 2 3 = b 3 2 = 。2 2c o s h o s i n h 0 + a 2 3c o s h 2 t ，+ a 3 3c o s h o s i n h 0 。 b 3 3 = 。2 2s i n h2 0 + a 2 3s i n h 2 0 + a ”c o s h 2 曰 s = s i g h ( a 1 2 + a 1 3 ) s 2 = s i g h ( d 2 2 + + 2 a 2 3 ) 只= s i 曲( d 。：一q ，)墨= s i g h ( 口：+ 呜，一2 。) = n 。厶。：一q ，厶2 l 三：引， 酬爿i l = i ；仆 厶= 厶1 芝：1 + l 三：i = a ：一a ：， 厶= q ，l i ：三：i q ：i 芝! 芝：1 = c 口。+ q ，q ：n ，一a z ，c 旌+ ， = 锴 l = 莆a【1 2 一q 3 j ( a 1 2 一a 1 3 ) ( a 1 2 a l3 ) 1 7 。 东北大学硕士学位论文 第三章l o r e n t z 变换下的不变量 i , o = a t 3a a l i 呜a 2 ：2 | - a ；l l a q 2 ，1 a 2 3 l2 ，a z ，一一， ，= 。一厶厶= 2 q ：a i ，a 2 ，一a z 2 一吗，元。 定理3 1 ：j 孽s 叉，舡害t 商研( 墨y ，z ) = 0z 苣座三重匀学功芎7 t 鳍良逛鹭皇蕃晚扁自学 的l o r e n t z 变换镌不变量。 证明：根据量墨一只，一。的定义，可以通过直接计算得到结论。 3 2 正交标架下绕类时轴旋转的变换 正交标架下，对称矩阵a 在绕类时轴旋转的l o r e n t z 变换后的矩阵为 ( 3 ) 恐( 占) 一是( 口) = 记 l 墨捌们 且： 如 a 3 ls i n o + a 3 2c o s o a 1 ，3 c o s 臼- - ? a 2 ，3 s i l l a l s i n o + c o s o a 3 32 3 置1 = a l lc o s 2 0 - a t 2s i n 2 0 + a ns i n 2 目 q 2 = 岛1 = ( a l l a n ) s i n o c o s o + c 6 2 c o s 2 0 岛2 = a 1 1s i n 2 0 + a 1 2s i n 2 0 + c 1 2 2c o s 2 0 7 i2 q ，五2 q ，+ 呜z 云2 i 芝：吃a i 2 ：i ， l 呜1吃2 l 列牝= 毖印 乏= _ l r 。- l 呜a h ，芝：f f 芝芝：f = + ， = 码。l 芝：呜a 1 ；3 l + 叫呸o q 2 ：乏i = ( h - c t 2 2 ) a 1 3 a 2 3 + a 1 2 ( 毛一屹) 2 锴( + 0 ) ， 云2 锴( + 毛0 ) ， 量翌生蔓兰翌垡兰塑至鱼圭t 1 _ 型! ! ! 竺t ! 壅苎! 塑至窒茎一 乖二早l o r e nz 趸挟下的不变母 i 。2 q z f 呈：三：f + q ，f 三q 3 ：一。：， j 呸i 哆3 “j 屹 t 2 1 1 2 3 一“2 2 “j ， i t = 瓦+ 五乏= 2 a 。2 a 1 3 + q 。+ q ： 定理3 - 2 ：宣五7 ，舡彦啷万小，儿z ) = o 巍咬绷窜确瞵蝴徽糊 证明：根据量7 ：一7 ：。的定义，可以通过直接计算得到结论。 3 - 3 伪正交标架下绕类光轴旋转的变换 伪正交标架下，对称矩阵彳在绕类光轴旋转的l o r e n t z 变换后的矩阵为 ( 4 ) 是o ) 7 彳见( f ) = 记 ：b l 2 2 a 3 ：鞠t d 2 2 2 3 f + q 2 4 玎一d 3 3l q 3 一吗， 呸j b n = a h + 2 a 1 2 l + ( a 2 2 - - i ；1 3 矿哆，+ 譬 耻耻+ ( 4 2 2 - - a 1 3 卜竿+ 譬 j ：= q 。 j ：l = 川 厶= ， = 五= 臣 口2 3 a 3 3 愚孙隆( 1 2 3 f 屋：a 1 3 f t z 屹，殷a 1 ：2 三卜臣芝f 。 定理3 量j 、一1 1 荛二次曲面 b ，y ，z 、= q 在伪芷交标檠下铬粪把溉铤跨l 斡 1 9 2 一 燮： 一 县b 吖 + ，k舯 + y 爿卢 f j f f 东北大学硕士学位论文 第三章l o r e n tz 变换下的不变量 l o r e n t z 变换的不变量。 证明：根据量五的定义，可以通过直接计算得到结论。 3 4 平移变换 q = 量 = | i 薹 = 口+ 盘， 一日 f ( x + ，y + ，z ) = ( 口+ 口) 一( 口+ 口) + 卢( 口+ 口) + ( 口+ 口) + y = ( 口) ( 。口+ 。甜血口a + a 胚a 口+ + f f 似+ y ) ( i ) 称为二次曲面，( z ，y ，z ) = 0 的平移变换， i a a a a + f l ll a l | ( 口) a + p ( 口) a a c t + t a a + ( a a ) p + y f f ，l 。 己熏心乱二次曲面 b ，y ，z 、= 0 在3 整m i n k o w s k i 空闯中l o r e n t z 变换下的不 证明：根据量s 一墨，1 厶。，1 1 1 1 。，五暑的定义，可以通过直接计算 东北大学硕士学位论文第四章二次曲面的二次项变换 第四章二次曲面的二次项变换 蹙避4 a 1 对称矩砗as 对称矩阵b 在l o r e n t z 变换r 、下等价鳆充分必要条件 是对称矩阵as 对称矩阵b 对直的l 。1 2 。l ，l 。l 。1 1 ，l ；1 9 ，s 。，s 。，s 、，s 、相等。其中 府厶0 ；层( a 。：一a 。，) ，彤厶。# g i 已( q ：a l ，) a 为了证明上述结论，我们证明以下几个引理。 引理4 1 ：加署秽藏矩薛一$ 孝沼， f d l 22 a 1 3 0 【a 2 2q - a 3 3 = 2 0 刚对称矩阵as 踺称矩阵b 在l o r e n t z 变换r 、下等价的充要条件是两矩阵对 应豹i 、。1 2 ，i ，1 6 ，i s ，s l ，s 2 耜等。 证明： “必要性”显然。 下证“充分性”， 由两矩阵对应的墨，最，厶，厶，厶相等且s o ，是0 ， 同时： = ( a l ：+ a 1 ，) ( q ：一a j ，) = ( 6 l ：+ b t 。) ( 6 l ：一b l ，) ，；+ 4 = ( a 2 ：+ a 3 ，+ 2 a ：。) ( q ：+ 岛，一2 嘎，) = ( 6 2 ：+ 6 3 ，+ 2 6 2 ，) ( 6 2 ：+ 岛，一2 6 2 ，) 则有对应的s ，墨相等， 从而 b 1 2 = b 1 3 ，6 2 2 + 岛3 = 2 屯3 ， 再由 s i g h ( b 1 2 + 6 1 3 ) = s i g h ( a 1 2 + a 1 3 ) ， s i g h ( b 2 2 + 6 3 3 + 2 6 2 ，) = s i g h ( 吗2 + 吩3 + 2 a 2 3 ) ， 得： 岛：6 l ，o6 2 ：+ 6 3 。：2 6 2 ，o 鱼生 0 兰基 0 ， 1 2“2 3 由两矩阵对应的厶相等，则： - 2 1 东北大学硕士学位论文 第四章二次曲面的二次项变换 坠塾! 垒2 ：垒竺2 ! 竺3 ( 6 1 ：+ 岛，) 2( q ：+ q ，) 2 从而得： 磕 取 吗 ，：生 q 2 。”：