（应用数学专业论文）chequerboard+modes+and+the+generalized+laxfriedrichs+schemes+for+hyperbolic+conservation+laws.pdf

摘要 用广义l 婚确e d r i c h 8 格式计算双曲守恒律时可能会出现棋盘 波，本文对存在的棋盘波进行了分析这个分析有助于认识和 理解高频波对数值解的影响，从而较好地解释了当初始数据离 散得不恰当时数值解中出现的振荡 这篇论文的主要贡献在于用有限傅利叶级数的知识阐明了 在初始数据离散化的过程中出现了棋盘波，并用修正方程对棋 盘波的变化进行了分析，找到了产生振荡的原因 关键词：双曲守恒律，广义l a x - f r i e d r i c h s 格式、棋盘波、修正 方程、振荡现象 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ea n a l y z ec h e q u e r b o a r dm o d e se x i s t i n gi nt h eg e n e r a l i z 硝l a x - f r i e d r i c h s ( l x f ) s c h e m e sf o rc o m p u t i n go fh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s t h i s a n a l y s i sh e l p st ou n d e r s t a n dt h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e si nt h er e s o l u t i o no f h i g hf r e q u e n c ym o d e sa n dt oe x p l a i nt h eo s c i l l a t i o n sp r e s e n t i n gi nn u m e r i c a l s o l u t i o n sw h e ni n i t i a ld a t a t i ed i e c r e t i z e di m p r o p e r l y w ja n a l y z et h ep r e n c eo fc h e q u e r b o a r dn l o d e s 丘o mt h ed i s c r e t i z a t i o no f i n i t i a ld a t a t h e nw ep r o c e e dt ou s et h em o d i f i e de q u a t i o na n a l y s i st oi n v e s t i g a t e t h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e si nt h er e s o l u t i o no fa f o r e m e n t i o n e dc h e q u e r b o a r d m o d e s k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，t h eg e n e r a l i z e dl a x - f r i e d r i c h s s c h e m e s ，c h e q u e r b o a r dm o d e s , m o d i f i e de q u a t i o na n a l y s i s , o e c i l l a t i o n s 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的 内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担 学位论文作者签名： 7 否锈$ 日期：酶钿 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 ；壶匆妇 日期：弼军臼f t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d s o s c i l l a t i o ni sa nu n s u r p r i s i n gp h e n o m e n o ni n 埘埘e r i c a lc o m p u t a t i o n s b u ti ti sa v e r ys u r p r i s i n gp h e n o m e n o nf o rc o m p u t i n go fh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w su s i n g t h el a x - f r i e d r i c h s ( l x f ) s c h e m e a saf i r s to r d e rm o n o t o n es c h e m e ，t h el ) c f s c h e m ei n c o r p o r a t e se x c e s s i v en u m e r i c a lv i s c o s i t y , a n dt h u so n ee x p e c t st h a tt h e 8 0 l u t i o na l w a y s1 0 0 k sl i k ea na p p r o x i m a t i o no fas m o o t hs o l u t i o no fh y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o nl a w s 0 l i ew o u l db ep u z z l e db yt h ea n t i - d i f f u s i o n - l i k ep h e n o m e n o n r e c e n t l y , m o r ea n dm o r es c h o l a r sa r ec o n c e r n e dw i t ht h i ss u r p r i s i n gp h e n o m e n o n m i c h a e lb r e u s sl l ，2 1a n a l y z e dt h a to s c i l l a t i o n sm a yb ep r e s e n ti nn u m e d c a l s o l u t i o n sw h e ni n i t i a ld a t aa r ed i s o r e t i z e di m p r o p e r l yf o rt h el x ft y p ec e n t r a l s c h e m e s e v e ni ft h e s es c h e m e se n j o y i n gm a n yg o o dp r o p e r t i e ss u c h 疆t v d ， m a x i m u mp r i n c i p l ea n de n t r o p ys a t j s f a c t i o n i ti sn o t e dt h a tf o ras i n g l e8 a u a l e s i g n a li n i t i a ld a t at h ed i s c r e t i z a t i o nw i t ho d do re v e ng r i dp o i n t sy i e l d sd i 8 t i n c t r e s u l t s ：t h ef o r m e rw i l ll e a dt ot h eo s c i l l a t o r yr e s u l t ；a n dt h el a t t e rd o e sn o t h e a l s og a v ea na l g o r i t h mt o 舒l 跚僦e et h ep r o p e ri n i t i a ld a t ad i s c r e t i z a t i o n h u a z h o n gt a n ga n dg e r a l dw a r n e c k e 4 li n v e s t i g a t e dt h ep r o b l e mf r o ma n u m e r i c a iv i e wo fp o i n ta n ds h o w e dt h a ta ( 2 k + 1 ) 一p o i n tm o n o t o n es c h e m em i g h t g i v ea l l0 8 c i l l a t o r ys o l u t i o ne v e nt h o u g ht h ea p p r o x i m a t es o l u t i o ni st o t a lv a r i a t i o n d i m i n i s h i n ga n ds a t i s f i e sm a x i m u mp r i n c i p l ea sw e l la sd i s c r e t ee n t r o p yi n e q u a l i t y m o r e o v e r t h eo s c i l l a t i o nc a nn o tb es u p p r e s s e do re l i m i n a t e da u t o m a t i c a l l y8 ta l a t e rt i m e t h e yt h o u g h tt h a tt h el o c a lm a 撕m u mp r i n c i p l es e e m e dt h en e c e 锄t r y c o n d i t i o nt o 卯a r a n t e eag e n e r a l ( 2 k + 1 ) 一p o i n ts c h e m en o n o s c i l l a t o r y t h ea b o v er e s u l t sa r em a i n l ya b o u tt h ep h e n o m e n o na n a l y s i s ，b u tt h ee e s e n t i a l r e a s o nl e a d i n gt ot h i sp h e n o m e n o ni ss t i l lu n c l e a ra n dw o r t hs t u d y i n g 1 2s t r u c t u r eo ft h et h e s i s t h et h e s i si sa r r a n g e di nt h ef o l l o w i n go r d e r s 】 2 c h a p t e r1 ，i n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r2 w eu s et h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e st oc o m p u t et h en u m e r i c a l s o l u t i o no fo n ed i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s w b 西v es o m es i m p l e b u tt y p i c a le x a m p l e st oi l l n s t r a t et h el o c a lo s c i l l a t i o n si nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n s b u tt h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e sa r ep e r f o r m e dw e l lw h e nt h ei n i t i a ld a t aa l - e d i s c r e t i z e dp r o p e r l y i nc h a p t e r3i no r d e r ，t oi n v e s t i g a t et h er o m 氇o l lf o rt h i s “n u m e r i c a lp h e - n o m e n o n ”，w ea n a l y z ec h e q u e r b o a r dm o d e si nt h ei n i t i a ld i s c r e t i z a t i o nu s i n g t h ed i s c r e t ef i n i t ef o u r i e ra n a l y s i s t h i sa n a l y s i ss h o w su st h a tas i n g l es q u a r e s i g n a ld i s c r e t i z e dw i t ho d do re v e ng r i dp o i n t 8y i e l d sd i s t i n c td i s c r e t ef o u r i e r m o d e sa n dt h eg e n e r a li n i t i a ld a t ai ba s u p e r p o s i t i o no fs q u a r es i g n a l s i nc h a p t e r4 ，w ep r o c e e dt ou s et h em o d i f i e de q u a t i o na n a l y s i st oi n v e s t i g a t e t h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e si nt h er e s o l u t i o no fa f o r e m e n t i o n e dc h e q u e r b o a r d m o d e s a 8i 【3 】w ed e c o m p o s et h es o l u t i o n 叼i n t oas m o o t hp a r ta n da n o s c i l l a t o r yp a r t w bo b s e r v et h a tt h eo s c i l l a t o r yp a r tp r o p a g a t e sw i t had a m p i n g w h i c hi se x p r e s s e di nt e r m so fn u m e r i c a lv i s c o s i t yc o e f f i c i e n t i nc h a p t e r5 f o rt h et w od i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s w eu s et h e s i m i l a rm e t h o d st oa n a l y z et h ec o r r e s p o n d i n gt w od i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dl x f s c h e m e s 1 3p r e l i m i n a r i e sa n dn o t a t i o n s i nt h i st h e s i s ，t oc o m p u t et h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h eh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o n l a w s t t + ，( t k = 0 ，z r ，t 0 ，( 1 3 1 ) w h e r e 牡= ( “1 ，) t ，a n d ，( t ) = ，厶) t ，w ec o n s i d e rt h eg e n e r a l i z e d l x fs c h e m eo ft h ev i s c o s i t yf o r m 叼+ l = 叼一互a t fu n h ) 一f ( u f _ 1 ) 】十；【曙。一2 w + u l l 】， ( 1 3 2 ) w h e r e 口w i t h0 q 1d e n o t e st h ec o e f f i c i e n to fn u m e r i c a lv i s c o s i t y v b r h e n q21 ，i ti st h ec l a s s i c a ll x fs c h e m e f o rc o n v e n i e n c e ，w ew i l lu au n i f o r mg r i d ， w i t hg r i ds p a c i n g z = 1 ma n dc o n s i d e r 【o ，1 】a st h es p a c ei n t e r v a l 1 3 1t h ec h e q u e r b o a r dm o d e t h e ( 一1 ) ”m o d ea tp o i n t ( k a x ，n a t ) i st h en o t o r i o u sc h e q u e r b o a r dm o d ef 3 】 w h i c hu s u a l l yc o n t a m i n a t e st h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ed i f f e r e n c es c h e m e i ft h es o l u t i o ni si nt h ef o r mo ft h ec h e q u e r b o a r dm o d e ，s u c ha 8 叼= ( - 1 ) 抽 i tc a nb ei l l u s t r a t e da 8f i g u r e l 3 1w h i c hl o o k sl i k eac h e q u e rb o a r d t x 3 f i g u r e1 3 1 ：h e r et h eb l a n kg r i dd e n o t e s 叼= 1a n dt h el a t t i c ed e n o t e s 叼= - - 1 1 3 2m o d i f i e de q u a t i o na n a l y s i 8 t h i st y p eo fa n a l y s i sw a so r i g i n s n yi n t r o d u c e da sa na l t e r n a t i v em e a n so fd e r i v i n g s t a b i l i t yc o n d i t i o n s1 3 】i ti sn o wr e g a r d e da sm o r eu s e f u li ng i v i n gi n f o r m a t i o n a b o u tt h eg e n e r a lb e h a v i o ro fan u m e r i c a lm e t h o da n dt h eq u a l i t yo ft h ea p p r o x - i m a t i o ni tp r o d u c e s t h eg e n e r a li d e ai st of i tas m o o t hf u n c t i o nt h r o u g ht h e m e s hv a l u e s 卯a n dt h e n c et of i n d ，t oag i v e no r d e ri nt h em e s hp a r a m e t e r s ，t h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h a ti ts a t i s f i e s t og e tt h em o d i f i e de q u a t i o nf o rag i v e n d i f f e r e n c es c h e m e ，w es h o u l de x p a n dt h em e s hv a l u eu i nt h en e i g h b o u r h o o do f t h em e s hp o i n t ( o i ，“) b yt r u n c a t e dt a y l o rs e r i e s t h e nw eu s ef i n i t ed i f f e r e n c e o p e r a t o rc a l c u l u sa n dr e p l a c et h et e m p o r a ld e r i v a t i v e sb ys p a t i a ld e r i v a t i v e se x - c e p tt h ef i r s to r d e rt e r m sa n df i n a l l yo b t a i nt h em o d i f i e de q u a t i o ni nt h ef o r mo f t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs p a t i a ld e r i v a t i v e s c h a p t e r2 t _ l o c a lo s c i l l a t i o n sl nt l l es o l u t l o n s b yt h eg e n e r a l i z e dl a x - f r i e d r i c h s s c h e m e s i nt h i sc h a p t e rw ep r e s e n ts e v e r a le x a m # 曙t od i s p l a yt h el o c a lo 眈i l l a t o r yp h o - n o m e n o ni nt h es o l u t i o no f ( 1 3 1 ) 坶t h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e s 2 1 、e x a m p l e so ft h el i n e a rh y p e r b o l i cc o n s e r v a - t i o nl a w s e x a m p l e1 l i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o nw i t ha ni m p u l s i v e i n i t i a ld a t a w es o l v et h ea d v e c t i o ne q u a t i o ny , t + - a u z = 0b yu s i n gt h ec l a s s i c a ll a x - f r i e d r i c h s s c h e m ew i t ht h ei n i t i a ld a t a ： i f k = m 2 ， o t h e r w i s e ， ( 2 1 1 ) w h e r em i st h en u m b e ro f t h e 鲥dp o i n t s w et a k em = 1 0 0 ，r = 五a a i t = - 0 8 ， d = - 1 a n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni 8s e tt ob ep e r i o d i cj u s tf o ra i m p l i e i t y t h e n u m e r i c a ls o l u t i o ni sd i s p l a y e di nf i g u r e2 1 1 5 1 o ，-_-(1【 | i 哪 6 c h a p t e r2l 删o s c i l l a t i o n si nt h es o l u t i o n s f i g u r e2 1 hn u m e r i c a lr e s u l t sf o rt h ea d v e c t i o ne q u a t i o n 1 0 0g r i dp o i n t s 啪 u s e d w i t h z 一0 0 1 e x a m p l e2 l i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o nw i t has i n g l es q u a r e s i g n a li n i t i a ld a t a w es t i l lu s et h el a x - f r i d r i c h ss c h e m et oc o m p u t et h ea d v e c t i o ne q u a t i o nt k + a u z = 0 t h ei n i t i a ld a t an o wi sas i n g l es q u a r es i g n a l ： 硼= r i f 。叫2 2 ，驯2 + 2 ， ( 2 o t h e r w i s e 峨= r m i f k = m ，2 雕+ 2 ， 眨， w e s e t m = 2 0 ，r = - 0 8 ，n = - 1 ，t h e n t h e i n i t i a l d a t a ( 2 ，1 ，2 ) i s t h ec a s e o f o d d p o i n t sa n d ( 2 1 ，3 ) i st h ee v e nc a s e t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r es h o w ni nf i g u r e 2 2 e x a m p l e so ft h en o n l i n e a rh y p e r b o l i cc o n - s e r v a t i o nl a w s e x a m p l e3 b u r g e r se q u a t i o n w eu s et h eb u r g e r se q u a t i o n 饥+ ( t 2 2 ) 。= 0t oi l l u s t r a t et h en o n l i n e a rs i t u a t i o n w i t ht h ei n i t i a ld a t a ( 2 1 1 ) a n d ( 2 2 1 ) a st h ec a s eo fo d dp o i n t sa n de v e np o i n t s 7 f i g u r e2 1 2 ：n u m e r i c a lr e s u l t sf o rt h ea d v e c t i o ne q u a t i o n ，2 0 曲dp o i n t sa r e u s e d w i t h z ；0 0 5 r e s p e c t i v e l y 瞬= r m i f k = m ，2 。1 聊 偿。 u = ( ) ，f c u ，一( 蕾嚣) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) w h e r e e = 舻+ p e ，e = 荇a n d 7 = 1 4 ( i ) o d dc a s e w h e nt h es q u a r es i g n a li n i t i a ld a t a 警d i s c r e t i z e dw i t ho d d g r i dp o i n t s t h en u m e r i c a lr e s u l t sa l h a v eo s c i l l a t i o n s s e ef i g u r e s2 2 2 ( w h e r e q = 1 0 ) a n d2 2 3 ( w h e r eg = o 9 ) h e r ew et a k ec f l = 0 9 ，m = 1 0 0a t0 0 3 s w i t ht h ei n i t i a ld a t a ： c o o 肛凇茄，芝皇= 协2 御 8 c h a p t e r2 ii 蒯o s c i l l a t i o n si nt h es o l u t i o 口s f i g u r e2 2l ：n u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rb u r g e r se q u a t i o n 1 0 0g r i dp o i n t s8 r eu s e d w i t h z = 0 0 1 f i g u r e2 2 2 ：n u m e r i c a lr e s u l t sf o re u l e re q u a t i o n s 1 0 0g n dp o i n t smu s e d w i t h z = 0 0 1 q 。1 0 ( i i ) e v e nc a s e w h e nw ed l s c r e t i z et h es q u a r es i g n a li n i t i a ld a t a 研也e v e n g r i dp o i n t s ，t h e r ea r en oo s c i l l a t i o n s f i g u r e s2 2 + 4 ( q = 1 0 ) a n d2 2 5 ( q = o 9 ) 9g墓 j 3 篡嚣= v 9 f i g u r e2 2 3 ：n u m e r i c a lr e s u l t sf o re u l e re q u a t i o n s 1 0 0g r i dp o i n t sa r eu s e d w i t ha x = 0 0 1 ，g = 0 9 a r eo b t a i n e dw i t ht h ef o l l o w i n gi n i t i a lc o n d i t i o n ：( w h e r ec f l = 0 9 ，m = 1 0 0 ) c 删= 豫譬) i f 溅k - - 妇m 2 朋“ 偿。国 f i g u r e2 ，2 4 ：n u m e r i c a lr e s u l t sf o re u l e re q u a t i o n s 1 0 0g r i dp o i n t sa r eu s e d w i t h z = 0 0 1 ，口= 1 0 矗孟主重 。誊宝耋 c h a p t e r2l d c a fo s c i l l a t i o n s 面t h es o l u t i o n a f i g u r e2 2 5 ：n u m e r i c a lr e s u l t 8f o re u l e re q u a t i o n s 1 0 0g r i dp o i n t sa u s e d w i t h o = 0 0 1 ，口= 0 9 童羞妄 c h a p t e r3 c h e q u e r b o a r dm o d e si nt h e - i n i t l a ld l s c r e t l z a t l o n i nt h i sc h a p t e rw ed i s c u s st h ed i s c r e t i z a t i o no fi n i t i a ld a t a t 0 ，0 ) = = t 1 0 ( z ) ，。【o ，l 】，( 3 0 1 ) w i t hm 鲥dp o i n t s f o rs i m p l i c i t y , w er e q u i r emh ee v e n t h ev a l u e sa tt h eg r i d p o i n t sa r ed e n o t e db y 研w e 唧r 嘲t h e s eg r i dp o i n tv a l u e s 卯b yu s i n gt h e d i s c r e t ef o u r i e rs e r i e s 【3 】： m 2 暌= c ；2 酊心，i 2 = 一1 ，k = o ，1 ，m 一1 ， ( 3 0 2 ) c ；= 刍善哪e 刊妇，卜虿m 小，等 f o rt h ep a r t i c u l a rc a s et h a t 芎= 0 t h f j 腻= m ，2 t h ei n i t i a ld a t ai st h ec h e q u e r b o a r dm o d e 础：e l - * t m 一日1 ：f 一1 ) k 3 1 s i n g l es q u a r es i g n a lc a s e w es t a r tw i t has i m p l ei n i t i a ld a t u mo fas q u a r es i g n a i “c z ，。，= 。o t h e z r l w i s e 霉 勋 1 i i ( 3 0 3 ) ( 3 0 4 ) ( 3 1 1 ) 1 2 c h a p t e r3 u h e q u e r b o a r dm o d e si nt h ei n i t i a ld i s c r e t i z a t i o n a so b s e r v e di n 【1 ，2 】，t h e r ei sa ne s s e n t i a ld i f f e r e n c ei nt h ef o l l o w i n gt w ow a y st o e x p r e s s ( 3 1 ，1 ) i ng r i dp o i n t s ：o n eo b e 8o d dg r i dp o i n t st oe x p r e s st h es q u a r es i g n a l a n dt h eo t h e ru s e se v e ng r i dp o i n t s t h en u m e r i c a lr e s u l t sd i s p l a yo s c i l l a t i o n sf o r t h ef o r m e rb u tn o tf o rt h el a t t e r s e ef i g u r e2 1 2 w e1 1 8 et h ed i s c r e t ef o u r i e r s e r i e st oc l a r i 分t h ed i f f e r e n c e ( i ) d i s c r e t i z a t i o nw i t ho d dg r i dp o i n t s w ef i r s td i s c r e t i z et h es q u a r es i g n a l ( 3 1 1 ) w i t hp ：= l l + 1 2 + 1o d dg r i dp o i n t s ，z l ，j 2 n ，a n dz l ，_ c 2a r eo d do re v e n s i m u l t a n e o u s l y , 哪= = = 2 一l ，一m 2 “ ( 3 抛) t h e ns u b s t i t u t i n gt h i si n i t i a ld a t ai n t o ( 3 0 3 ) ，w eo b t a i n 四= 击曜e 一锨舻缸 k = “0 2 + b = 击k ：m 2 - 1 e 一驯 ( 3 删、”， 一j ( - ) j le 岬2 w f l l + a = ( l - e 。- 1 2 ) = j p t z = ) ，f o rj o ， i 嚣， f o rj = 0 w h e n j = m 2 ，t h e n w e h a v e c | ：f ，2 一c - 1 ) h + 驯2 击，s i n c em i 8e v e n ， ( 3 1 4 ) a n dt h ei n i t i a ld a t ac a l lh ee x p r e s s e di nt h ef o r mo f 硼= 击( 一1 ) k + l t + m 2 +c e 刎缸 = 击( 一1 ) k + h + m 2 + 针，繇出错攀铲、。j 0 ， f 2 ( i i ) d i s c r e t i z a t i o nw i t he v e ng r i dp o i n t s r a t h e rt h a n ( i ) a b o v e ，w eu s e e v e ng r i dp o i n t st oe x p r e 8 st h es q u a r es i g n a li n ( 3 1 1 ) ， 啦! 9 f f o t b k 腻= m 2 一，驯2 + f 2 ， s i m i l a r l y , i fw es u b s t i t u t et h i si n i t i a ld a t ai n t o ( 3 0 3 ) ，w eg e t 弓= 笋斧，f o r j # 0 。, ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) w h e n j = m 2 ，t h e n c 2 = 0 ( 3 1 8 ) a n dt h ei n i t i a ld a t ac 眦b ew r i t t e na s 硼一( _ 1 ) - + 鲁+ 业字豪等笋( 3 9 ) j 0 m 2 、7 w eb e et h a tt h e r ei sac h e q u e r b o a r dm o d e ( 一1 ) m + 彬w h e nt h ei n i t i a ld a t a ( 3 1 1 ) i sd i s c r e t i z e dw i t ho d dg r i dp o i n t s ，b u ti ti sf i l t e r e dw h e ne v e ng r i dp o i n t s a r eu s e d t h i ne x p l a i n st h ec e c i l l a t o r yp h e n o m e n o no b s e r v e di nf 1 ，2 ，4 】 c o n s i d e rt h eg e n e r a l i z e dl x fs c h e m e so ft h ev i s c o s i t yf o r mf o rt h el i n e a r a d v e c t i o ne q u a t i o n ( ，) = a n ) ， 咿，= 叼一争曙。一艰，1 + ；【。一2 叼+ 曙，1 ， ( 3 1 1 0 ) w h e r e 冗= o t z ，a n dl r | q 1i sap a r a m e t e rf o rm o n o t o n es c h e m e s w h e nq = 1 ，( 31 1 0 ) i st h ec l a s s i c a ll x fs c h e m e ；a n dw h e n 口= i r i ，( 3 1 1 0 ) i s t h eu p w i n ds c h e m e w e 脚u m et h a tt h es o l u t i o nt o ( 3 1 1 0 ) h a 8t h es t a n d a f df o r mo fd i s c r e t e f o u r i e rs e r i e s ， m 汜 叼= 弓n c i 蛳 j = - m 2 + l ， t h e nw i