（通信与信息系统专业论文）无线传感网络数据的稀疏修复和压缩传输.pdf

摘要 在无线传感网中，节点断电、故障等多种原因常导致传感节点数据丢失。 同时，传感器节点能量和带宽均非常有限。本论文利用数据本身的稀疏性，在 、 在稀疏重建的理论框架下，研究无线传感网中的数据修复和压缩传输问题。本 文主要工作包括： ( 1 ) 提出二维空间数据修复方法，将数据看成一个整体，在不进行重传的情 况下，用最小化z ，范数算法修复空间平面上丢失的数据。零空间理论分析表明 对于空间数据丢失，稠密型的二维d c t 基是一种较合适的稀疏变换。d c t 基 不仅适合传感网数据低频分量多的特点，同时能保留数据的结构信息，比局部 基函数( 如小波变换) 更能抵抗局部大范围的数据丢失。假设能接受的修复误 差水平是1 矿，所提方法重建稀疏的低频信号时，与4 4 、2 2 和1 1 丢失块 对应的丢失率拐点分别是0 3 、0 6 和o 8 。 ( 2 ) 提出时空三维数据在线修复方法，针对三维实时的传感器数据，用历 史数据帧与二维d c t 基构造过完备字典来稀疏表示当前帧，进而通过稀疏性来 修复当前帧内丢失的传感数据。在容许定延迟下，假设相邻帧的差符合高斯 分布，提出利用将来数据帧校正字典或直接利用将来数据帧的信息进一步降低 当前帧的修复误差。所提方法在降低修复误差、抵抗连续突发性丢失和中低噪 声水平上都优于传统的平均插值算法。实际数据测试表明，所提方法比传统插 值算法降低修复误差达2 0 - - - 3 0 。利用相邻帧的差若符合独立同分布的高斯分 布，可进一步降低修复误差达1 0 ，将来帧补偿法可进一步降低误差达2 5 。 ( 3 ) 为节省网络通信成本，提出一种基于压缩感知技术的压缩传输机制，即 低相干( c h a n n e li m p u l s er e s p o n s e c i r ) 模型。利用压缩感知技术实现在不规 则传感网络下，提出用电磁波局部叠加的方式实现对邻近节点数据随机线性和 的采集，采用分布式小波变换来稀疏表示采样到的信号。通过分析采样矩阵与 稀疏矩阵的相干性，提出功率控制的低相干性传输和重建方法，明显降低了重 建信号误差。仿真结果表明，低相干性是成功重建的必要条件，且低相干局部 c i r 模型的重建误差约为基本c i r 模型的1 。 关键词：传感网络；稀疏性；数据修复；压缩传输；最优化 a b s t r a c t i nw i r e l e s ss e n s o rn e t w o r k s ，d u et op o w e ro u t r a g ea tas e n s o rn o d e ，h a r d w a r e d y s f u n c t i o n , b a dc h a n n e lo re n v i r o n m e n t a lc o n d i t i o n s ，n o ta l ls e n s o rs a m p l e sc a l lb e s u c c e s s f u l l yg a t h e r e da tt h e s i n k i nt h i st h e s i s ，w ea i mt or e c o v e rt h em i s s i n gs a m p l e s w i t h o u tr e t r a n s m i s s i o n b a s e do nt h es p a r s o fs e n s o rn e t w o r k e dd a t aa n dt h et h e o r y o fc o m p r e s s e ds e n s i n g ，w eu s eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m st or e c o v e rt h em i s s i n gd a t a f i r s t , t h em i s s i n gs a m p l e se s t i m a t i o np r o b l e mi sm a t h e m a t i c a l l yf o r m u l a t e da sa 2 - ds p a t i a li n t e r p o l a t i o n a s s u m i n gt h e2 一ds e n s o rd a t ac a nb es p a r s e l yr e p r e s e n t e d b y ad i c t i o n a 巧，a s p a r s i t y - b a s e dr e c o v e r ya p p r o a c hb ys o l v i n g f o r z l n o r m m i n i m i z a t i o ni sp r o p o s e d i ti ss h o w nt h a tt h e s em i s s i n gs a m p l e sc a nb er e a s o n a b l y r e c o v e r e db a s e do nt h en u l ls p a c ep r o p e r t yo ft h ed i c t i o n a r y t i l i sp r o p e r t ya l s op o i n t s o u tt h ew a yt oc h o o s ea na p p r o p r i a t es p a r s i f y i n gd i c t i o n a r yt of u r t h e rr e d u c et h e r e c o v e r ye r r o r s 1 1 1 es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h ep r o p o s e da p p r o a c hc a l l r e c o v e rt h em i s s i n gd a t ar e a s o n a b l yw e l la n dt h a ti to u t p e r f o r m st h ew e i g h t e da v e r a g e i n t e r p o l a t i o nm e t h o d sw h e nt h ed a t ac h a n g er e l a t i v e l yf a s to rb l o c k so fs a m p l e sa r e l o s t i nt h ec o n t e x to fd a t as t r e a m s ，s o m en o d e sm a yc o n t i n u a l l ym i s ss a m p l e sf o ra p e r i o do ft i m e f o re x a m p l e ，i ft h ea c c e p t a b l ev a l u eo fr m s ei sa tix10 - 4 ，w h e nt h e p r o p o s e dm e t h o dr e c o n s t r u c tt h es p a r s el o w f r e q u e n c yc o m p o n e n ts i g n a l s ，t h et u m i n g p o i n to fm i s s i n gr a t e sa r e0 3 ，0 6 ，a n d0 8f o r4 4 ，2 2 ，a n d1 lm i s s i n g - b l o c k - s i z e s , r e s p e c t i v e l y i ti sav e r ya p p e a l i n gc h a r a c t e r i s t i ct h a ti nt h e s es t a b l er a n g e s ，t h e e s t i m a t i o nq u a l i t yi ss t i l lg o o da n dn e a r l yi n d e p e n d e n to ft h em i s s i n gr a t e s t h e n , as p a r s i t y - b a s e do n l i n ed a t ar e c o v e r ya p p r o a c hi sa l s op r o p o s e d f i r s t ，w e c o n s t r u c ta l lo v e r c o m p l e t ed i c t i o n a r yc o m p o s e do fp a s td a t af r a m e sa n dt r a d i t i o n a l f i x e dt r a n s f o r mb a s e s a s s u m i n gt h ec u r r e n tf r a m ec a nb es p a r s e l yr e p r e s e n t e du s i n g o n l yaf e w e l e m e n t so ft h ed i c t i o n a r y ，m i s s i n gs a m p l e si ne a c hf r a m ec a nb ee s t i m a t e d b yb a s i sp u r s u i t i fs o m ed e l a yi sa c c e p t a b l e ，t h ee s t i m a t i o no ft h ec u r r e n tf r a m ec a n b ef u r t h e ri m p r o v e db yl e v e r a g i n gt h eo b s e r v a t i o nf r o mt h en e x tf r a m e s s i m u l a t i o n s s h o wt h a ti nt e r m so fe s t i m a t i o n a c c u r a c ya n ds t a b i l i t y ，t h ep r o p o s e da p p r o a c h o u t p e r f o r m se x i s t i n ga v e r a g e b a s e di n t e r p o l a t i o nm e t h o d s ，a n di sm o r er o b u s tt ob u r s t m i s s i n ga l o n gt h et i m ed i m e n s i o n n er e a ld a t as i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a t t h er e c o v e r ye r r o ro ft h ep r o p o s e db a s i cm e t h o di sr e d u c e du p t o2 0 30 w i t ht h e c o r r e c t e dd i c t i o n a r yo rt h ef u t u r ef r a m e s ，t h ep e r f o r m a n c ei si m p r o v e db y10 a n d 2 5 r e s p e c t i v e l y f i n a l l y ，c o m p r e s s e ds e n s i n gs h o w sg r e a tp o t e n t i a lt or e d u c ee n e r g yf o rs e n s o r n e t w o r k s ，a n da ne n e r g y e f f i c i e n tc o m p r e s s i v et r a n s m i s s i o ns c h e m ei sp r o p o s e d f i r s t ， ab a s i cg l o b a ls u p e r p o s i t i o nm o d e li sp r o p o s e dt oo b t a i nt h em e a s u r e m e n t so fs e n s o r d a t a , w h e r eas a m p l i n gm a t r i xi sm o d e l e da st h ec h a n n e li m p u l s er e s p o n s e ( c i r ) m a t r i xw h i l et h es p a r s i f y i n gm a t r i xi se x p r e s s e da st h ed i s t r i b u t e dw a v e l e tt r a n s f o r m h o w e v e r , b o t ht h es a m p l i n ga n ds p a r s i f y i n gm a t r i x e sd e p e n do nt h el o c a t i o no f s e n s o r s ，s ot h i sm o d e li sl l i g l l l yc o h e r e n t t h i sv i o l a t e st h ea s s u m p t i o no fc sa n d - l i e a s i l yp r o d u c e sh i g hd a t ar e c o v e r ye r r o r i no r d e rt or e d u c et h ec o h e r e n c e ，w ep r o p o s e t oc o n t r o lt h et r a n s m i tp o w e ro fs o m en o d e sw i t ht h eh e l po f ，a v e r a g e m u t u a l c o h e r e n c e ，a n dr e c o v e r yq u a l i t ya r eg r e a t l yi m p r o v e d f i n a l l y ，t om a k et h ea p p r o a c h m o r er e a l i s t i ca n de n e r g y - e f f i c i e n t , t h ec i rs u p e r p o s i t i o ni sr e s t r i c t e di nl o c a lc l u s t e r s s i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tp o w e rc o n t r o li sa ne f f c c t i v em e t h o dt or e d u c et h e c o h e r e n c eo ft h es y s t e m w h i c hi sn e c e s s a r yt oa c h i e v et h el o wr e c o v e r ye r r o r f o r e x a m p l e t h ee r r o ro ft h el o c a ll o w - c o h e r e n c ec i rm o d e “sa b o u tr e d u c e dt o1 10 0o f t h a to fb a s i cc i rm o d e l k e y w o r d s ：w i r e l e s ss e n s o rn e t w o r k s ；s p a r s i t y ；m i s s i n gd a t ar e c o v e r y ；c o m p r e s s i v e t r a n s m i s s i o n ；o p t i m i z a t i o n i i i - 专有名词英汉对照表 _ l _ - 一i i i _ _ l l i _ _ _ l - i _ _ _ l _ l _ l _ _ _ _ - _ - l _ - l _ _ _ _ _ - _ i i - - _ _ _ _ _ i _ l _ _ i l - _ - - _ l i - - _ - _ _ _ i l l _ 一 a t o m原子 b a s i sp u r s u i td e n o i s i n g ，b p d n基追踪去噪算法 b a s i sf u n c t i o n基函数 c h a n n e li m p u l s er e s p o n s e ，c i r信道冲激响应 c o m p r e s s e ds e n s i n g = c s 压缩感知 覆盖空洞 扩散小波d i f f u s i o n 肠 e l e t s d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ，d c t二维离散余弦变换 d i s c r e t e 鼢彤e l e tt r a n s f 0 1 t 1 1二维离散小波变换 d i s t r i b u t e d 矿e l e t s分布式小波 e x p e r i m e n t a lv a r i o g r a m 实验变差函数 图小波 高可压缩 g r a p hw a v e l e t s h i g h l yc o m p r e s s i b l e h i 曲i n c o h e r e n t 高相干 i n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t e da v e r a g i n g ，i d w a距离倒数加权平均 k - n e a r e s tn e i g h b o r , k n nk 最近邻居 l e a s ts q u a r e最d - - 乘法 网络数据 n o r m a l i z e dr o o tm e a ns q u a r ee r r o r , r m s e归一化均方根误差 n u l ls p a c e 零空间 o v e r c o m p l e t ed i c t i o n a r y 过完备字典 o v e r d e t e r m i n e d 超定的 受限等距常数 受限等距性质 r e s t r i c t e di s o m e t r yc o n s t a n t ，r i c r e s t r i c t e di s o m e t r yp r o p e r t y , r i p s a m p l i n gm a t r i x 采样矩阵 信噪比 s i g n a l - t o - n o i s er a t i o ，s n r s i n kn o d e汇聚节点 s t r i c tk b a l a n c e d n e s s 严格七平衡条件 ta v e r a g em u t u a lc o h e r e n c e ，t a m c f 平均相干性 无线传感网 v a r i o g r a mm o d e l变差函数模型 第一章绪论 1 1 课题的研究背景 1 1 1 无线传感网络概述 第一章绪论 无线传感器网络( w i r e l e s ss e n s o rn e t w o r k ，w s n ) 是大量的传感器以自组 织和多跳的方式构成的无线网络，其目的是协作地感知、采集、处理和传输网 络覆盖地理区域内感知对象的监测信息，如温度、湿度、压力、光强度、土壤 成分等【l , 2 1 ，通过汇聚节点( s i n k ) 经其他网络报告给用户【3 1 ，如图卜1 所示。 图1 - 1 一个典型的无线传感网架构 无线传感网是2 0 世纪9 0 年代末由美国发端【3 1 。早在1 9 9 9 年，美国的移动 计算和网络国际会议就指出，无线传感网是下一个世纪面i 临的发展机遇。美国 橡树岭国家实验室则在2 0 0 2 年断言，i t 时代正在从计算机网络向无线传感网络 转变。 近年来，w s n 研究蓬勃发展。美国麻省理工学院、哈福大学、康奈尔大 学、斯坦福大学等世界著名大学，以及包括i n t e r , m i c r o s o f t 、i b m 、d u s t 、 c r o s s b o w 在内的著名企业都纷纷开展w s n 方面的研究，此外欧洲、亚洲各国 的很多大学和研究机构也纷纷投入了大量的研发力量开展这方面的研究。我国 在现代意义的w s n 及其应用研究方面几乎与发达国家同步启动，1 9 9 9 年中国 科学院知识创新工程试点领域方向研究将w s n 作为重大项目之一，国家 “十五”科技攻关项目也把w s n 列为重大研究项目，国内很多高校如清华大学、 无线传感网络数据的稀疏修复和压缩传输 中国科技大学、哈尔滨工业大学、东南大学、河海大学等、中科院等研究机 构、中兴、华为等公司著名企业也纷纷加入到研究行列睁5 1 。 自2 0 0 9 年8 月温总理提出“感知中国”以来，物联网( i n t e m e to ft h i n g s ， i o t ) 被正式列为国家五大新兴战略性产业之一，写入“政府工作报告”，在中国 受到全社会极大的关注1 6 】。物联网的“触手”是位于感知识别出的大量信息生成 设备，包括r f i d 、传感网、定位系统等，传感网所感知的数据时物联网海量信 息的重要来源之一【刀。国家中长期科学与技术发展规划( 2 0 0 6 - - 2 0 2 0 年) 1 8 和“新一代宽带移动无线通信网”重大专项中均将传感网列入重点研究领域。根 据预测，到2 0 3 5 年前后，我国的传感网终端将达到数千亿个；到2 0 5 0 年，传 感器将在生活中无处不在。目前，无线传感网被广泛用于军事、环境监测、健 康医疗、建筑物监控、智能家居、空间和海洋探索等诸多领域【1 。8 】，正发挥着越 来越重要的作用。 无线传感网根据目标可大致分为两类：事件检测网络和时空采样网络【9 】o 事件检测网络的目标是报告一个特定事件何时发生，每个节点都有一定的感知 范围，比如在一个森林火灾预警网络中，一旦节点感知的温度超过警戒线，就 向汇聚节点发一个警报信号，汇聚节点并不需要知道所有节点的具体读数，就 可以大致判断火灾发生的区域，这说明信息是冗余的。相反地，时空采样网络 由在时间点和空间点读取样本值的传感器组成，目标是估计物理现象的时空变 化。 1 1 2 无线传感时空采样网络及所面临问题 本文主要关注时空采样网络，每个传感器读数都是很重要的，需要节点周 期性采集和传输感知到的物理量，如蔬菜大棚的温度、水污染等【lo 】。整个传感 网可看作一个采样系统，用于测量感兴趣物理场x ( r ，) 的一些时空样本，其中 r 表示空间位置变量，表示时间变量【l o 】，如图1 2 表示。 第一章绪论 图1 - 2 时空采样传感网 对于时空采样网络而言，传感器节点能量和带宽都非常有限，却需要周期 性的感知和传输海量数据，因此经常会面临数据丢失和节点能量不足这两个问 题。 数据丢失主要是由于一个或多个传感器节点断电、硬件故障，通信线路失 效1 1 1 引起的，甚至由于网络所处环境恶劣，某些区域根本没有节点【2 】。本文主 要从信源的角度讨论数据修复，即假设信道是理想的，数据丢失主要由节点断 电或设备故障引起。 对于这种网络数据的丢失或缺失，最直观的方法是重新传输数据或补充新 节点 1 3 , 1 4 。然而，重传会消耗节点能量，部署新节点在恶劣环境中是不切实际 的，还会导致成本过高。那么能否在不重传的情况下尽量修复这些数据呢? 此外，传感器节点由于能量有限，通常发送功率较小，大多数节点需要通 过多跳传输将数据传到汇聚节点。传感器节点的能量消耗可分为感知、通信和 数据处理三部分，其中通信占总能耗的7 0 【2 1 。因此，减少数据传输次数对多 跳传感网降低能耗，从而延长网络寿命非常重要。 换句话说，对于无线传感网，由于客观条件所限只能采集不完整的数据 ( 数据修复问题) 或者倾向于尽量少地传输数据( 压缩传输问题) ，如果这些数 据和我们所希望重建的信息之间有某种关联性，那么就有望从比较少的测量值 中根据相关性还原出比较多的信号。 无线传感网络数据的稀疏修复和压缩传输 本文主要考虑从信号稀疏这个普遍存在的假设【1 5 - 2 3 解决数据修复和压缩传 输这两个问题，试图以最小的通信代价，获得尽可能高的数据修复质量。 1 1 3 数据的稀疏性 数据的稀疏性指的是经过一个合适的字典甲r m q ，信号x 酞有一个简 明的表示： x = t 旺，i i - i 。n ( 1 - 1 ) 其中n 为信号x 的长度，q 为系数n 的长度。令s = i - i i 。表示向量中非零值的 个数，此时，只用少数s 个幅度值相对大的系数可以近似表示长度为的信号 的绝大部分信息( s n ) 1 5 】。有些信号本身是稀疏的 1 9 ，2 1 捌，更多的信号经 过一个合适的变换或字典表示后是稀疏的，例如含有较少频率成分的信号在傅 里叶域是稀疏的，分段光滑信号在小波域上是稀疏的，压缩编码标准如m p 3 ， j p e g 和j p e g 2 0 0 0 都直接利用这种稀疏性1 1 6 1 。针对网络数据，最近研究者们也 设计了一些新的稀疏变换，包括空域压缩、分布式小波( d i s t r i b u t e d w a v e l e t s ) 、图小波( g r a p hw a v e l e t s ) 、扩散小波( d i f f u s i o nw a v e l e t s ) 等【1 5 1 。 本文提出的基于稀疏性的数据修复与压缩传输可以统一为稀疏重建的理论 框架，即都在假设网络数据是稀疏的这一前提下，并用最小z 。范数算法求解。 对于一个信号x ，经过线性系统 y = m x( 1 - 2 ) 获得测量值y r 肘。其中m 被称为采样矩阵( s a m p l i n gm a t r i x ) 。如果表示m 的第m 行，测量值y 的第所个元素为 虼= ( ，x ) ( 1 3 ) 该式表明测量值可以表示成物理信号与采样系统的内积。由于m n ，那么采样速度快于最小时间间隔，方程( 2 1 ) 是超定的 ( o v e r d e t e m f i n e d ) ，可通过最小二乘 法( l e a ms q u a r e ) 来寻找最佳的x 来满足 i = g m i nl l y - q x l l a r gm l nl y q x l l ： ( 2 5 ) x = ，u 。j 当m7 m 存在逆时，方程( 2 1 ) 的解i 满足 第二章压缩感知基本理论及算法 i = ( m7 m ) 1 垂，y ( 2 - 6 ) 一般情况下，m n ，则存在多个解满足方程( 2 - 1 ) 。广义的讲，c s 理论 就是从所有可能的解中选出最稀疏的解作为欠定方程的解。 图2 - 1 用万脉冲采样连续 t i m e c s 理论假定信号x 满足稀疏住 s = l l x l l 。n ( 2 - 7 ) 其中s 是向量x 中非零值的个数。当受限等距常数喀满足1 1 蠡 1 ，( 2 8 ) 则最小化粤。范数问题【1 1 哑n 。，s t y = m x( 2 - 9 ) 的解是一个唯一的稀疏度为s 的解。 受限等距常数( r e s t r i c t e di s o m e t r yc o n s t a n t ，c ) 蝶的定义为任意给定稀疏 度为j s r 的向量满足公式【1 】 ( 卜哝) l l x l l 矧m x 1 + 妫； 的最小数字。r i c 代表了采样系统m 保留x 的范数结构信息的能力， 当中的所有s 个列要近似正交【2 】。若 嘎s 压一1 则可以通过求解最小化粤。范数问题 ( 2 - l o ) 也就是m ( 2 - 1 1 1 m 。i n 呲i i ，s t y = m x( 2 - 1 2 ) 完全恢复x ，其中f l x i f 。表示向量x 中所有元素的绝对值的和。 实际中的信号x 通常不是严格稀疏的，即能以稀疏度为s 的向量以很小失 无线传感网络数据的稀疏修复和压缩传输 真的表示，一般用1 2 范数来度量： ix - - x 。0 ： ( 2 - 1 3 ) 其中x s 是将幅度最大的s 个系数保留，其它系数置零的重建信号。如果x 可以 表示成一个正交矩阵甲与向量n 的乘积： x = 叩仅 ( 2 1 4 ) 则保留n 中幅度最大的s 个系数误差是： i i x x s 0 ：= 1 w t 位s l ：= i l 仅一a 。i i ： ( 2 - 1 5 ) 例如，c a n d e s 认为l i x x s 0 ：- i i x l l ：= 9 7 5 可以对一个百万像素图像来说是很少 的视觉上的损失【2 】。 对于可压缩信号x ，在满足公式( 2 1 1 ) 条件下，公式( 2 1 2 ) 的解满足【1 】 i l i - , l l ： - c o s li x - - x s 儿 ( 2 - 1 6 ) 其中c o 是一个常数。可以看出，可压缩信号的最小化z ，范数重建误差上限与最 大s 个系数的近似误差有关，近似误差越小则最小化z 。范数重建误差越小。 实际中，测量值y 往往会被噪声污染。假设测量值y 被独立同分布的高斯 噪声( o ，仃2 ) 污染，可通过带噪声约束项的最小化z ，范数求解1 1 呻n i | x i | 。，圳y - m x 峪y ( 2 - 1 7 ) 其中y 是依赖于噪声强度仃2 的一个上限值。给定一个合适的拉格朗日乘子a ( 常数) ，公式( 2 - 1 7 ) 可以转化为 中协y 吣+ 制1 1 ) ( 2 - 1 8 ) 其中五权衡了表现稀疏的i i x l l 。项和数据保真项0 y - m x 眨之间的重要性。 对于带噪的测量值y ，在满足公式( 2 1 1 ) 和噪声l l i j ，7 的情况下，公式 ( 2 - 17 ) 的解满足【l 】 0 i 一, 1 1 ：c o ；j l l , 一x 。1 1 1 + c j 7 ( 2 1 9 ) 其中c o 是与公式( 2 1 6 ) q b 的c 0 相同，c l 是另一个常数。当吒。= 0 2 时，公式 c o = 4 2 和c l = 8 5 1 1 。 测量值个数m 需满足【2 期 m c 2 ( m ，t ) s - l o g n ( 2 2 0 ) 使信号x 能以高概率完全重建，其中( m ，叩) 被称为相干系数，定义为 第二章压缩感知基本理论及算法 ( 西，叩) = 母觚il ( 吮，蚧) i i 。 ( 2 2 1 ) i 。 其中吮是m 的第k 行，杪，是叩的第列。相干系数表示了由中任意行与叩中任 意列的最大相关性。r l ，丽 越小，就称和叩越不相干。当m 和叩是一 + r c j 旬- 频率对时= 1 【3 】。c s 理论要求越小越好，即吮在变换t 内必须是尽 量扩散的【4 】。 2 2c s 的贝叶斯解释 假设测量值y = m x 被独立同分布的高斯噪声8 一( o ，仃2 ) 污染，带噪的测量 值可表示成： 一 y = m x + ( 2 - 2 2 ) 因为m 已知，给定x 的情况下，y 的不确定性完全来源于噪声，即： p ( y | x ) = ( 2 艚：) 一警p 警 ( 2 - 2 3 ) 广泛使用的稀疏先验知识假定x 满足独立同分布的拉普拉斯分布【5 】 小) = ( 舻r 酗 ( 2 2 4 ) 其中茁是一个尺度参数并依赖于具体的分布，薯为向量x 的第f 个元素。 根据贝叶斯原理，后验概率为： 舯) = 掣铲 最大化后验概率得到： x 啦= = 孤a r 驾g n m l i n 1 一n 1 i l p p ( y ( y l x l x ) p ) 一( x l n ) p = ( a x r ) g 粤n 一l i l p ( y l x ) p ( x ) ( 2 2 6 ) = a r g 哑n - l i l p ( y l x ) 也p ( x ) 、 下面分别推导一l i l p ( y l x ) 和一1 l l p ( x ) 两项。 咖( y l x ) - 一卜矿岫带卜( 2 刎+ 簪乃 公式( 2 - 2 7 ) 可以简化为： 无线传感网络数据的稀疏修复和压缩传输 乩p ( y j x ) = c 3 + 虹2 0 堂- 2 其中c 3 = 警l i l ( 2 舸2 ) 。 一h p c x ，= 一h ( 差) p 。f 喜h 三一h ( 乏) 一h p r 喜k i ( 2 - 2 8 ) ( 2 2 9 ) 山p ( x ) = c 4 + r 蚓= c 4 + k i | x l | 。 ( 2 3 0 ) 其中g = 一l i l ( 乏) 。因为c 3 和c 4 是不依赖于x 的常数，所以公式( 2 2 6 ) 可以 简化为： x = 鹕哑n 专i | y - m x 吵喇i 。( 2 - 31 )map x 2 鹕蛐n 歹i | y - 叭矿石| | x l | - 令五= 舸2 ，这就使得公式( 2 - 3 1 ) 与带约束的粤，范数公式( 2 - 1 8 ) 保持了形式上的 一致。 从上述推导过程可看出，若稀疏的系数不满足独立同分布的拉普拉斯分布 ( 比如，图像处理中小波变换的系数可建模成高斯混合模型f 6 】) ，则稀疏重建的 最优化公式需要进行相应的调整【5 1 0 2 3 典型的c s 重建算法 c s 方法降低了采样的数据量，却增加了从少量测量值中恢复出原信号的计 算量。目前，求解c s 的方法从范数的角度看，可大致分为两类： ( 1 ) 非凸优化方法 根据2 2 节中c s 理论，求解最小g o 范数对受限等距常数的要求( a s 1 ) 比最小粤。范数的要求( 巳s 2 1 ) 低。理论上，z 口( o p 1 ) 范数优化需要的 测量值个数是【7 】： m c 5 ( p ) k + p c 6 ( p ) k l o g ( n s ) ( 2 3 2 ) 其中c 5 和c 6 依赖于范数p 的取值。z p ( 0 p 0 m7 m 0 ：= 人一( m ，m ) ( 2 - 4 2 ) 其中人嘛( m7 m ) 表示矩阵7 m 的最大本征值。 经过一系列推导整理司以得到公式( 2 4 0 ) 的最小值为： 厂，、 x 叫= 受，。( x o ) = s k i 土m r ( x - - m x o ) + x ol ( 2 4 3 ) 给定x 。求解公式( 2 4 3 ) 得到x 。，同样地，计算中以x 。来代替x 。，求解公式( 2 4 3 ) 可以得到x 川，可以得到一个序列 x ，) ( f = 1 ，2 ，) 。研究人员已经证明，x ，将 最终收敛到公式( 2 - 1 8 ) 的最小值【1 6 1 。 为加快收敛速度，快速迭代阈值【1 7 】增加了一个迭代步长 驴矿籍( t i - - x - - 1 ) ；峄 其中x 。= 0 ， = 1 。 2 4 本章小结 ( 2 - 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) 本章从欠定方程出发，总结了实现完全重建数据的理论条件，给出了最小 化f 。范数和z 。范数的等价条件，并给出了信号恢复误差在有噪和无噪下的理论 第二章压缩感知基本理论及算法 上限。从最大后验概率的角度解释了拉格朗日形式的z ，范数重建的贝叶斯解 释。讨论了z p 范数在p = o ，0 p 1 ，p = l 三种情况下的c s 重建方法。最后给出 了典型的拉格朗日形式粤，范数的数值解法。这些理论和算法将为后面章节提供 理论和算法实现上的支持。 参考文献 【1 】 【2 】2 c a n d e sej 。t h er e s t r i c t e di s o m e t r yp r o p e r t ya n di t s i m p l i c a t i o n s c o m p t e sr e n d u sm a t h e m a t i q u e ，2 0 0 8 ，3 4 6 ( 9 1 0 ) ：5 8 9 - 5 9 2 c a n d 6 sej ，w a k i nmb a ni n t r o d u c t i o nt oc o m p r e s s i v es a m p l i n g m a g a z i n e , 2 0 0 8 ，2 5 ( 2 ) ：21 - 3 0 f o rc o m p r e s s e ds e n s i n g 【j 】 【j 】i e e es i g n a lp r o c e s s i n g 【3 】c a n d 6 sej ，r o m b e r g j p r a c t i c a ls i g n a lr e c o v e r yf r o mr a n d o mp r o j e c t i o n s 【c 】w a v e l e t a p p l i c a t i o n si ns i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n gx i , p r o c s p i ec o n f ，2 0 0 5 ，5 91 4 【4 】c a n d 6 sej ，r o m b e r gj s p a r s i t ya n di n c o h e r e n c ei nc o m p r e s s i v es a m p l i n g 【j 】i n v e r s ep r o b l e m s ， 2 0 0 7 ，2 3 ( 3 ) ：9 6 9 - 9 8 5 【5 】j ish x u eyc a r i nl b a y e s i a nc o m p r e s s i v es e n s i n g 阴i e e et r a n s a c t i o n so ns i g n a l p r o c e s s i n g2 0 0 8 ，5 6 ( 6 ) ：2 3 4 6 - 2 3 5 6 【6 】p o n i l l aj s t r e l avw a i n w r i g h tmj s i m o n c e l l ieei m a g ed e n o i s i n gu s i n gs c a l em i x t u r e so f g a u s s i a a si nt h ew a v e l e td o m a i n 阴i e e et r a n s a c t i o n so ni m a g ep r o c e s s i n g , 2 0 0 3 ，1 2 ( 11 ) ： 1 3 3 8 1 3 5 1 【7 】c h a r t r a n dk s t a n e v av r e s t r i c t e di s o m e t r yp r o p e r t i e sa n dn o n c o n v e xc o m p r e s s i v es e n s i n g 【j 】 i n v e r s ep r o b l e m s ，2 0 0 8 ，2 4 ( 3 ) ：l - 1 4 【8 】c h a r w a n di le x a c tr e c o n s t r u c t i o no fs p a r s es i g n a l sv i an o n c o n v e xm i n i m i z a t i o n 【j 】i e e es i g n a l p r o c e s s i n gl e t t e r s ，2 0 0 7 ，1 4 ( 1 0 ) ：7 0 7 - 7 1 0 【9 】 c h a r t r a n d f a s ta l g o r i t h m sf o rn o n c o n v e xc o m p r e s s i v es e n s i n g ：m 砌r e c o n s t r u c t i o nf r o mv e r y f e wd a t af c 】，2 0 0 9i e e ei n t e r n a t i o n a ls y m p o s i u mo nb i o m e d i c a li m a g i n g ：f r o mn a n ot om a c r o ， b o s t o n , u s a 2 0 0 9 ：2 6 2 - 2 6 5 【10 】q ux ，g u od ，c a ox ，c a is h ，c h e nz r e c o n s t r u c t i o no fs e l f - s p a r s e