（基础数学专业论文）正则h半群中的l左次半群的刻划.pdf

摘要 y 次半群的研究在半群代数理论的研究中起到了非常重要的作用，许多专家学者对 其进行了深入细致的研究本文主要研究了半群中口左次半群和c + 直左次半群的 一些性质，给出了c + 左次半群成为直左次半群的条件，并且利用可适对给出 了正则州一半群中的c + 左次半群的刻划 第一章，我们对次半群理论研究的背景，现状和次半群的基础知识作了简要的介 绍第二章，我们研究了半群中的口左次半群和直左次半群的基本性质及其之间 的关系，讨论了几个局部半群之间的关系，并且给出了c + 上0 口上的一个二元关系 第三章，我们主要利用所谓的可适对给出了正则钾一半群中的左次半群的若干 等价刻划第四章，我们对正则m 半群中的p 分层左次半群进行了刻划，同时给出 了左次半群在左次半群上的特殊化成果 关键词：d 左次半群；g r e e n * 一关系；口局部；c + 可适对 2 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fo r d e rs e m i g r o u p sp l a ) ，sa ni m p o r t a n tp a r ti nt h er e s e a r c ho ft h e t h e o r yo fs 呦i g r o u p s n i a n ye x p e r t sa n ds c h o l a t st h o r o u g h ，p a i n 8 t a k i n 9 1 ya n di n v e s t i - g a t ei t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ec + l e f to r d e rs e m i g r o u p s a n dt h e 8 t r a i 曲t1 e f to r d e r s ，a n dg i v es o m eq u i t eg e n e r a lc o n d i t i o n sf o rac + 1 e f to r d e r s e m i g r o u pt ob e s t r a i g h t m e a i l w h i l e ，w ec h a r a c t e r i z et h e 搴1 e f to r d e rs e m i g r o u p s i nr e g u l a r “一s e i n i g r o u p sb ys o c a j l e dc + s u i t a b l ep a i r s i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e 8 e n t8 t a t eo ft h e t h e o r yo fo r d e rs e m i g r o u p s ；f o rt h es m 汜o fc o n v e n i e n c e ，w ei n t r o d u c es o m ef u n d 锄e n t a l k n o w l e d g ea b o u to r d e rs e m i g r o u p s i nc h a p t e r2 ，丘r s t ly 、张s t u d ys o m ep r o p e r t i e so f t h ec + 1 e f to r d e rs e m i g r o u p 8a n dt h ec + s t r a i 曲tl e ro r d e r 8 s e c o n d 堍w es t u d yt h e t d a t i o 璐o fs e v e r a ll o c a ls e m i g r o u p s t h i r d l y ，w eg h eab i n a r yr e l a t l o no n l o o 1 n c h a p t e r3 ，w em a i n l yc h a r a c t e r i z et h ec 土l e f to r d e rs e m i g r o u p 8i nr e g u l a r 何一s e m i g r o u p s b y8 0 c a l l e dc + s u i t a b l ep a i r s ，t h e ng i v es e v e r a le q u i l e n td e 8 c r i p t i o n 8f o ri t 1 1 1d h a p t e r 4 ，w ec l l a r a c t e r i z et h e + s t r a t i f l e dl e f to r d e rs e m i g r o u p si nr e g u l 缸h s e m i g r o u p s ，a n d g i v es o m er e s u l t so ft h ec + l e f to r d e rs e m i 伊o u p st ot h el e f to r d e rs e m i g r o u p s k e y w o r d s ：c + l e f to r d e r s ；g r e e n + 一r e l a t i o n s ；口c + l o c a l i t y ；s u i t a b l ep a i r s 3 西北大学学位论文知识产权声明书 y 8 9 3 9 2 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文 工作的知识产权单位属于西北大学学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版本人允许论文被查阅和借阅学校可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明 作者单位为西北大学保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名：扦馆恂 。；6 年6 月6 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：封。江掏 口6 年6 月6日 第一章绪论 1 1 引言 商环的研究在环论的发展中起到了非常重要的作用在专著【5 】第三章中，c l i 肋r d 和p r e s t o n 给出了一种由单的a r t i n i 。n 环构造完全零单半群的方法受到这一思想的 启发，f o u n t a i n 和p e t r i c h 从商环的概念出发，通过对f o “ 一u “俩定理的分析研究， 最后在完全零单半群中引入了商半群的概念，并且相应地给出了商半群为完全零单半群 的刻划定理这个定理与商环为单的a r t e 札掘凡环的刻划定理，即g o 娩e 8c | e f e 打。把d 定理具有类似性接着， v i c t o r i ag m l l d 又将这一概念推广到一般的半群中后来 f o u n t a i n 和v i c t o r i ag 0 u l d 等人又对许多具体的商半群进行了系统的研究，并且获得 了不少成果关于这方面早期的工作见文献 1 0 】，【1 1 】和【1 2 】，近期的研究可参考文献 1 3 】和【1 4 】 环中有各种各样的商环概念，对于一些重要的具有恒等元的环类，我们将半群中 的商半群概念应用到这些环类中时，实际上与它们中的古典商环概念是一致的同 时，也可以将半群中的商半群概念应用到无恒等元的环类中，关于这方面的问题，最 早f 0 u n t a i n 和g o u l d 在文献【1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】中进行了讨论，接着r u s ，a n h ， m a r k i ，l 6 p e z 等人先后也对其进行了系统地研究，可参考文献【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ， 2 3 1 1 2 预备知识 本文未交代的有关半群和泛代数的概念请参阅文献和 2 4 】- 设s 是一非空集合，“”是定义在s 上的二元运算，如果对任意地o ，o s ， ( z 目) z = z ( z ) ，则称( s ，) 为半群设( s ，- ) 为半群，t 是s 的非空子集，若 对任意地z ”t ，z t ，则称丁为s 的子半群如果半群s 满足：对任意地 z s ，z s = s ，并且s z = s ，则称s 为群群s 的子半群t 称为s 的子群 等价关系在半群理论的发展过程中起着非常重要的作用，而g r e e n 关系对于研究 1 正则半群尤为重要由于本篇研究的主要对象是正则半群，因此我们有必要对g r e e n 关系做以简单介绍 设。是半群s 的一元素，s 的包含。的最小左理想为舶u o ) ，记作s l n ，称为 由n 生成的主左理想半群s 上的等价关系c 定义为： ocb 当且仅当口和6 生成 的主左理想相同，即s 1 n = s 1 6 类似地，等价关系冗定义为：n 冗6 当且仅当n 和 6 生成的主右理想相同，即n s l = 姆1 关于g r e e n 关系我们有以下几个命题t 命题1 2 1 【1 】设( s ，) 为半群， ( 。，6 s ) ac6 号 ( | z ，s 1 ) z o = 6 ，6 = o o 冗6 净 ( j 。，可s 1 ) n 。= 6 ，6 可= 口 命题1 2 2 【1 】c 是右同余，冗是左同余 我们知道，两个等价关系的交仍为等价关系由于c 和咒的交在研究半群的过程 中起着非常重要的作用，我们将其记作爿此外，包含c 和冗的最小等价关系cv 冗， 我们记作口= c v 冗也很重要并且由文献【1 1 我们知道d = co 冗= 咒。c 为了以后方便应用，下面我们给出一些文中常用的符号。 e ( s ) 一半群s 上的幂等元的全体； g o n ( s ) 一半群s 上的同余的全体； c s 一半群s 上的c 关系； 工。一n 所在的c 一类 半群上的一个基本概念是正则性半群占上的元素。称为正则元是指存在z s ， 使得。z o = n 如果s 中的每一元素都是正则元，则称s 为正则半群如果存在0 s ， 使得o n7 0 = 。，o n = 。7 ，则称n7 为。的逆如果存在z s ，使得n z n = n ，z o z = z ，。z = 。o ，则称。为n 的群逆半群的逆元比群逆元要弱由定义我们很容易看 出，若n 有逆，则逆不一定唯一例如，若s 是矩形带，则s 中的任一元素都是其它 元素的逆但是，若n 有群逆，则群逆一定是唯一的因此我们用n - 1 表示n 在半群 s 中的群逆由文献 1 】中定理2 2 5 知，若。s ，则n “。2 当且仅当n 在s 的子群 中另一方面，由于n 有群逆当且仅当在s 的子群中因此，n 有群逆当且仅当 n “n 2 此外，若n 有群逆，则我们很容易得到也是包含n 的极大子群 2 设( s ，) 为半群及。s ，若对任意的。，g s 1 ，n 2 z = n 2 口辛n 。= o f ，则称 。为s 中的左平方可消元对偶地，我们可以得到右平方可消元的定义若n 既是左 平方可消元，又是右平方可消元，则称。为平方可消元若s 是半群0 的子半群， s 的每个平方可消元在q 中有群逆，且q 中每个元素q 都可以写成q = 0 0 6 ，其中 口，b s ，则称s 为q 中的左次半群，也称q 为s 的左商半群类似地，可以定义右 次半群和右商半群的概念若s 既是q 中的左次半群又是q 中的右次半群，则称s 为q 中的次半群，也称q 是s 的商半群( 注意此处的商半群不同于泛代数意义下商半 群的概念) 设s 是半群q 中的左次半群，若q 中的每个元素q 都可以写成q = o _ 1 6 ， 其中o ，6 s ，且n 冗o6 ，则称s 是q 中的直左次半群类似地，我们可以得到直右 次半群和直次半群的概念 由上面左次半群的概念我们可以看出，若s 是半群q 中的左次半群，则s 的结 构，性质等与q 的结构，性质等密切相关因此，从代数学家研究结构的方法论出发， 我们可以通过对半群s 的研究来更好的把握q 的性质等等此外，当我们所研究的对 象q 是一些具体的半群类时，由于这些半群类我们已经有了很好的了解，因此更有助 于我们讨论其中的左次半群而本文我们研究的主要对象是半群中的口左次半群， 由其概念我们可以看出，它是对左次半群概念的加强，因此同样具有上面所说的研究 意义 半群中的商半群可以看作是环中商环概念在半群上的推广，因此对于半群中商半 群的一些研究观点和方法自然的源于环中的古典商环本文主要是在文献f 2 1 和文献 【3 】的基础上，将左次半群的概念加强，引入所谓的c 左次半群和c + 直左次半群的 概念用以进一步研究正则爿一半群，即g r e e n 关系冗是其上的同余的正则半群第一 章主要是对本文的研究背景，研究现状及研究理论意义作以简单介绍第二章，首先 我们对半群中的左次半群和c + 直左次半群等基本概念进行了简单介绍，讨论了它 们的一些基本性质及其之间的关系；其次，我们研究了几个局部半群之间的关系；最 后，我们在p l o o 上引入了一个二元关系，用以进一步研究左次半群第三章， 我们重点给出了正则h 一半群中的c t 左次半群的刻化定理该定理给出了使得半群s 成为正则似半群q 中的c + 左次半群的充分必要条件定理的证明分为两部分，必 要性是很容易证明的对于充分性的证明，我们需要引出c + 可适对的定义，再根据s 3 的有序对的等价类来构造满足定虹良骜f 躬 弱都! 币馨主嬲纂拜翔。翻垂阐潮毒噔警五吼g 铥釜熏薯型曼霉曼雠叼菹旧。潆受 辇琶到露若誊露霸靠筠为城舀擎巍舞蓦驴醋鋈# 嚣；卿嗣暨鎏蚕霖璺萋萋存在 簦一蒜驰骝囊荔强美蓑蓑终挥# j 妻 任意地g q ，存在d ，6 s ，使得q = n 一16 ； 的任意h 一类相交非空 命题2 1 1 0 设s 是半群q 中的c + 左次半群，咒是q 上的右同余，则s 与q 的任意爿一类相交非空 证明设日是q 的任意爿一类，则存在n ，6 s ，使得q = n - 1 b 由oh oo _ 1 及 h 是右同余可知0 6 爿on 。6 = q 1 即s n 日o 定义2 1 1 1 设s 是半群q 中的c + 左次半群，若q 中的每个元素口都可以写 成g = n _ 1 6 ，其中b ，6 s ，且n 冗ob ，则称s 是q 中的直左次半群类似地，我 们可以得到直右次半群和直次半群的概念 命题2 1 1 2 设s 是半群q 的子半群，若s 是q 中的c 直左次半群，则q 是 正则半群 证明对任意地q q ，若s 是0 中的直左次半群，则存在。，b s ，n 冗o6 ， 使得q ；o 。6 由文献【1 】中命题2 3 8 知qh q6 ，从而q 冗o 。再由文献【1 】中命题 2 3 1 知q 是正则元，从而说明q 是正则半群 2 2 左次半群成为c + 直左次半群的判别条件 由前面的定义不难看出，若s 是q 中的口直左次半群，则s 显然是q 中的c + 左次半群但是，一般地，反过来未必成立本节我们试图给出口左次半群成为d 直左次半群的一般条件 命题22 1 设s 是正则半群q 中的c + 左次半群，且s 与q 任意h 一类相交非 空，则s 是0 中的直左次半群 证明设s 是正则半群q 中的c + 左次半群， q ，则存在“，w s ，使得w = 钍_ 1 由命题2 11 0 知伽s n 甄。，不难看出训= “一1 = ( 2 ) 一1 ，札 q “q = 舻q 由于q 是正则半群，则存在e e ( 0 ) ，使得w 冗oe 又s 与q 的任意h 一类相 交非空，则存在8 sn 日。，由文献中命题23 8 知s h o ”又由上面的证明 可知存在，6 s6 q n q ，使得s = o 1 b由文献【9 】中引理2 1 知bc oo _ - b ， 又q 正则，故存在，e ( q ) 使得6 冗o ，且由s 与q 的任意h 一类相交非空知 7 存在风，n l ，ns 再由文献 1 】中命题2 3 8 知拍 乙由于8 q n q ，故 s q d q ，因此n 一1 s = s ，于是n s qs 又6 = n s 埘冗on s ，于是6 冗qo sc qs 又由文献中命题2 3 8 知t 口s 也，于是由曲= t d s 训知w = ( n s ) 。蛾并且 t n s ，曲s ，t o s 冗a 曲，因此s 是q 中的直左次半群 易证，若s 是q 中的直左次半群，则s 与q 的任意“类相交非空，因此我 们有： 定理22 2 设s ，q 为半群，则下列等价： ( 1 ) s 是正则半群q 中的c + 左次半群，且s 与q 的任意咒类相交非空； ( 2 ) s 是q 中的d 直左次半群 推论2 2 3 设q 是正则半群，则下列等价： ( 1 ) s 是半群q 中的左次半群，且s 与q 的任意爿一类相交非空； ( 2 ) s 是q 中的p 直左次半群 再由上节命题21 1 0 我们很快就可以得到： 推论2 2 ，4 设q 是正则h 一半群，则q 中的左次半群均是q 中的c + 直左次 半群 反过来，若s 是半群口中的直左次半群，则s 是半群q 中的p 左次半群， 且由命题2 1 1 2 知q 是正则半群，但一般情况下，h 不一定是q 上的同余但是我 们有下面的结论： 定理2 2 5 设q 为半群，h g o 礼( q ) ，则下列等价： ( 1 ) s 是半群q 中的c + 左次半群，且q 为正则半群； ( 2 ) s 是半群( 7 中的c + 直左次半群 类似推论2 2 4 和定理225 ，我们由推论2 1 7 可以得到以下命题； 推论22 6 设0 为正则半群，冗e o n ( q ) ，则q 中的c 4 左次半群均是q 中的 直左次半群 推论2 2 7 设印为半群，冗a m ( q ) ，则下列等价； ( 1 ) s 是半群q 中的c + 左次半群，且q 为正则半群； ( 2 ) s 是半群q 中的c 4 赢左次半群 8 2 3c + 局部与口c + 局部的关系 定义2 3 1 设s 是半群q 中的c + 左次半群，若对0 的任意群h 一类日，均有 s n 是日中的c + 左次半群，则称s 是c + 局部的 命题2 3 2 设s 是半群q 的子半群，g 是0 的任意子群，则下列等价； ( 1 ) s n g 是g 中的p 左次半群； ( 2 ) s n g 是g 中的左次半群； ( 3 ) s n g 是g 中的p 直左次半群； ( 4 ) s n g 是g 中的直左次半群 证明( 1 ) 辛( 2 ) 显然成立 ( 2 ) 号( 1 ) 设s n g 是g 中的左次半群，由于s n g 的每个左平方可消元都是甲 方可消元，故在g 中有群逆，于是s n g 是g 中的c + 左次半群从而( 1 ) 与( 2 ) 等 价。 进而，也说明( 3 ) 与( 4 ) 等价 ( 3 ) 辛( 1 ) 显然成立 ( 1 ) 号( 3 ) 设s n g 是g 中的c + 左次半群，则对任意的g g ，存在o ，6 s n g ， 使得口= b 。6 由于，6 g ，及群中冗= g g ，从而n 冗g6 即说明sng 是g 中的c + 直左次半群于是( 1 ) 与( 3 ) 等价证毕 引理2 3 3 阁设s 是半群q 中的直左次半群，则s 与q 的每个h 类交非空， 且s 是局部的 命题2 ，3 4 设s 是半群q 中的c + 直左次半群，则s 与q 的每个h 喽交非空， 且s 是c + 局部的 证明设s 是半群q 中的直左次半群，于是s 是半群q 中的直左次半群 由引理2 3 3 i q 知s 与q 的每个尢一类交非空，且s 是局部的即对q 的任意群h 一类 日均有s n 日是日中的左次半群，由命题2 3 2 知s n 日是日中的c 左次半群， 而s 显然是半群q 中的c 左次半群，于是s 是+ 局部的证毕 很快地可以得到下面的定理： 定理23 5 设s 是正则半群q 的子半群，则下列等价： 0 ( 1 ) s 是半群q 中的左次半群，且s 与0 的任意咒类相交非空； ( 2 ) s 是q 中的直左次半群； ( 3 ) s 是局部的，且s 与q 的任意咒一类相交非空 定义2 3 6 设s 是q 的子半群，若对q 中的每一元素q 都有q = o _ 1 6 ，其中 n ，6 s ，则称s 为q 中的弱左次半群 类似地，我们可以得到弱右次半群和弱次半群的概念 定义237 设s 是半群q 中的弱左次半群，若对q 的任意群似类日，均有 s n 日是日中的d 左次半群，则称s 是弱c + 局部的 定义2 38 设s 是半群q 的子半群，若对q 的任意群咒一类日，均有s n 是 日中的d 左次半群，则称s 是0 中的局部c 左次半群 由上面的定义不难看出，c + 局部的一定是弱口局部的，弱局部的一定是局 部左次半群但是，一般地，反过来是不成立的下面我们主要讨论这三者在什 么情况下是一致的 命题23 9 设q 为正则半群，s 是q 的子半群，则下列等价： ( 1 ) s 是弱口局部的； ( 2 ) s 是q 中的局部左次半群 证明( 1 ) = ( 2 ) 显然成立 ( 2 ) = ( 1 ) ，设q q ，由于q 正则，故存在q 是q 的逆设s 峨n s ，由文 献 1 】中命鼯2 3 6 知存在8 乜，且s 是s 的逆，使得s s = q q 7 ，s7 s = q7 q ，再由 文献【1 】中命题2 38 知q s 峨。，由于s 是q 中的局部c + 左次半群，于是存在 “，口sn 峨。，使得q s7 = 一1 口，又q = g 口q = q s s = 一1 u s ，故s 是弱c + 局部的 定义2 3 1 0 设s 是半群q 中的c + 左次半群，若对q 的任意正则半群口类d ， 均有snd 是d 中的c l 左次半群，则称s 是口局部的 命题2 3 1 1 设s 是半群q 中的c + 直左次半群，则s 是口c + 局部的 证明设d 是q 的任意正则半群d 一类，n s n d 是左平方可消元由于s 是 半群q 中的+ 直左次半群，故存在n - 1 q 由文献 1 1 中定理2 3 5 知n 一1 d 、即 说明s n d 的每个左甲方可消元在d 中有群逆 现在证明，对任意的q d ，存在n 6 s n d 使得q = n 一1 6 1 n 由于d 正则，故存在幂等元e d ，使得e 佗oq 又s n 也0 ，取c s n 匝，则 e = c c 。= c “c 由文献【1 中命题2 3 8 知叼h 口q 又由于s 是半群q 中的c + 直左 次半群，故存在， s ，u 佗qu ，使得田= 一1 ，于是凹h o 令，= u 一1 u = “u ， 由文献i l 】中命题2 3 8 知c ，c 。u _ 1 c - 1 f t ，例“og 而且： ( c “c ) ( c 。- 1 c 。) = c u o c 。乱- 1 c _ 1 = c e 趾一1 c l = c u 壮一l c l = c ，c = c c = e 类似地， ( c _ 1 u - 1 c - 1 ) ( c c ) = e 于是( c ) _ 1 = c 。- 1 c 令n = a l c ，6 = 删，显然n ，6 s nd ，并且 n 一1 6 = ( 叫c ) 一1 例= c 一1 “一1 c 一1 删= c 一1 u 一1 e u = c 一1 1 = c 一1 叼= e q = q 即说明对任意的正则半群d 类d ，s n d 是d 中的c + 左次半群，从而s 在q 中是 口局部的证毕 类似定理2 3 5 我们有 定理23 1 2 设s 是正则半群q 的子半群，则下列等价t ( 1 ) s 是半群q 中的左次半群，且s 与q 的任意h 一类相交非空； ( 2 ) s 是q 中的c + 直左次半群； ( 3 ) s 是口c + 局部的，且s 与q 的任意h 一类相交非空 定义23 1 3 设s 是半群q 中的弱左次半群，若对q 的任意正则半群口一类d ， 均有s nd 是d 中的p 左次半群，则称s 是弱d c 局部的 定义2 31 4 设s 是半群0 的子半群，若对q 的任意正则半群d 一类d ，均有 s nd 是d 中的c + 左次半群，则称s 是d 局部c 左次半群 显然，口局部的一定是弱口局部的，弱口局部的一定是口局部左 次半群但反过来。一般地，也是不成立的 命题2 3 ，1 5 设q 为正则半群，s 是q 的子半群，则下列等价： ( 1 ) s 是弱口局部的； ( 2 ) s 是q 中的口局部c + 左次半群 1 1 命题| j _ ：；蒿妻茎鞠冀蓁茎搴萤4 霉霪薹；黎妻照妻妻薹；薹亏螽墓量4 磊驻 钏j “醯踅苎衢霎进田吁噬羁骚器蜂。目辇蘸；甜辨饕髻l ! 儿鬟鞲柏l 。l i j 目i 目2 一：j 誊馕# g ：擎碰睁j 1 7 扮装；一圆礴。 樗蠹聪曼有萋霎鹌蓬萋蚕雾耋；霎耋 霎熏g ? i 囊擎圣列；。攀霉囊一，“| 囊期一油i 一；“荤j 矧鬟删曩甄；影毫巍 簖；妻曩妻堂薹一! ! 漓 其中h ：c n 冗，则称( c ，冗7 ) 是 s 的可适对 设s 是半群q 中的左次半群，令c = c qn s s ，冗= 佗qns s， _ h ：，t ons s ，显然c 7 d ，冗，彤，t s ”，而且，是右同余， 硝是左同 余若o s 是左平方可消元，则o “on 2 ，因此n 爿n 2 ，即。口2 号oh a 2 ，显 然n 州0 2 碎ac + n 2 ，于是( c ，冗) 是s 的p 可适对 定义3 12 设r 是群g 的子半群，若g 的每个元素9 都可以写成9 = 。矗1 6 ，其 中n ，bt ，则称g 是t 的左商群 定义3 13 设r 是半群，若对任意地n 一丁，存在c ，d 丁，使得c n = 如( n c = 6 d ) ，则称为右( 左) 可逆的若丁既是左可逆的，又是右可逆的，则称r 为可逆 的 接下来我们给出证明刻化定理所需要的的一些命题 引理3 1 4 【5 】设r 是半群，则r 有左商群当且仅当t 是右可逆的和消去的 命题3 1 5 【2 】设s 是半群p 及q 中的直左次半群，使得 c pn s s = qns s ，7 如ns s = 7 已ons xs 则p和q 是g 同构的( 即存在限制在s 上为恒等映射的同构) 1 4 x 推论3 1 。6 设s 是半群p 及q 中的+ 直左次半群，使得c p n s s = c on s s ，冗尸n s s = 冗口n s s ，则p 和q 是g 同构的( 即存在限制在s 上为恒等映射的同构) 命题31 7 目设q 是正则爿一半群，s 是q 中的左次半群，则h = 咒on s s 是s 上的同余，且s h 7 垒q “ 3 2 正则“一半群中的c 左次半群的刻划 下面我们将给出半群s 关于c + 可适对( c ，冗) 是正则咒半群q 中的c + 左次 半群，且使得c = c qns s ，冗7 = 7 珀ns s 的充分必要条件 定理3 2 1 设s 是半群，( c ，冗) 是s 的c + 可适对，则下列条件等价： ( 1 ) s 是使得c ，= c o n s s ，冗7 = 冗on s s 的正则h 半群q 中的c + 左 次半群； ( 2 ) s 满足( a ) ，( b ) ，( g ) ，( d ) ，( e ) ，( e ) ，( d ) 和( e ) ： ( a ) h g o n ( s ) ，纠h7 正则； ( 8 ) 若8 s 是左平方可消元，则或右可逆； ( c | ) 若n ，6 ，c s ，。左平方可消，n 冗6 冗7c ，6 = n c ，则6 = c ； ( c ) 。若n ，6 ，c s ，o 左平方可消，oc 7 6 ，c ，b o = c o ，则6 = c ； ( d ) 若n ，6 s 都为左平方可消元，n 冗7b ，则曲“7b ； ( d ) 若o ，6 s 都为左平方可消元，nc 7 6 则6 nh 6 ； ( e ) 若n ，6 ，c s ，。冗6 c ，则n 冗n 6 ； ( e ) 若o ，6 ，c s ，nc c 6 。，则口c 阮 证明( 1 ) 辛( 2 ) ： ( a ) 由命题3 1 7 知州= 州qn s s c b n ( s ) 又形何竺口咒，于是s “正 则 ( b ) 由于n s 是左平方可消元，故n 所在的q 的咒一类也是q 的子群又q 为正则爿一半群，于是由推论2 2 4 知s 是q 中的c + 直左次半群，再由命题2 3 4 知 1 5 s 是c + 局部的于是碰= k ns 是f 中的c + 左次半群，当然是风中的左次半 群，即说明聪有左商群，从而由引理3 1 4 嘲知玩右可逆 ( c ) 若n 冗6 冗7c ，由口左平方可消，故nm oe = 。一1 8 ，于是n 一1 曲= n 一1 c ，即 6 = c 对偶地( c ) 。成立 ( d ) 若n ，6 s ，n 冗76 ，由于n 左平方可消，故三k 有幂等元，从而由文献【1 】中 命题23 8 知0 6 爿o6 ，即曲h 6 对偶地( d ) 成立 ( e ) 若n ，b ，c s ，n 亿n 6 c ，则。冗o8 6 c ，即n q = 的q n 6 q n q ，即 n 冗q 。6 ，于是n 冗。0 6 对偶地( e ) 1 成立 ( 2 ) 号( 1 ) ： 设s 满足( 2 ) 中诸条件，我们的目标是构造一个正则h 一群q ，使得s 可以嵌入 到q 中作为q 中的口左次半群，并且满足题设的条件下面我们通过一系列引理来 完成对该定理的证明 设t = s “，令：s + t = s h 是满同态，并且k e r 曲= h7 ，则有 引理3 2 2n s 是左平方可消元 = 亭咖( o ) t 是幂等元 证明“号” 若。左平方可? 肖，则n c + n 2 ，于是。磁n 2 ，从而咖( n ) = 妒( n 2 ) = 曲( n ) 毋( n ) = 曲2 ( n ) “亡：” 若咖2 ( n ) = 曲( 。) ，贝0 护( 口) = ( o ) ( n ) = 咖( 0 2 ) = 咖( n ) ， 于是n 憾n 2 ，从而nc 0 2 引理323 若n s 是左平方可消元，则反中每一元素都是左平方可消元 证明若o s 是左平方可消元，由条件( b ) 知成是子群，于是对任意地 6 成，6 2 磁，再由( c7 ，冗) 是s 的d 可适对可知bp 铲，即b 是左甲方可消元 引理3 2 4v n 6 s ，有 咖( n ) c t 曲( 6 ) 车= = 争nc ；6 西( 。) 冗r 咖( 6 ) 骨n7 苗6 证明设n ，6 s ，若西( n ) 冗r 曲( 6 ) ，则或者曲( n ) = 曲( 6 ) ，于是d 州；b ，从而 n7 为6 ；或者p ( o ) ( 6 ) ，则存在曲( c ) ，曲( d ) 丁，使得p ( n ) = 咖( 6 ) 曲( c ) p ( b ) ： 1 6 由( 3 1 ) 及矾+ c 知 n c = 南c 2 ( 3 6 ) 由( 3 2 ) ，( 3 5 ) ，( 3 6 ) 得p n c = p 尼c 2 = q c 2 = q u o ”l c 于是 p 口2 = g 7 0 i n( 3 7 ) 由于c 2 冗+ d ，由( 3 5 ) 知 p 七d = q 札4 d ( 3 7 ) 再由( 3 1 ) 和( 3 4 ) 得p 硒= g 7 ，又新磁口磁q u ，因此( j6 ) 一( m ，住) ， 于是可知关系一是上的等价关系 令q = 咒，并记 n 叫= ( n ，6 ) 】 设( ，6 ) 。( c ，d ) ，由引理3 2 5 知存在“： s ，h 左平方可消，7 为 磁6 c ， 使得“6 c = 口c 2 而曲( u ) 7 砷曲( 6 c ) ，妒) 冗t 妒( b ) ，妒( “) t = 咖( k ) t 咖( b ) t = 毋( n ) r 而( u ) ，咖( 。) 都是幂等元，因此( n ) ( “) = 咖( ) 又咖( 札) t = i i ( u ) 曲( u ) t ( ) ( o ) t 及西( u ) 咖( n ) r ( u ) t ，故毋( u ) 丁= 曲( u ) 西( 口) 丁即砂( 札) 冗丁西( u ) 庐( n ) 又不难验证 曲( u n ) 是幂等元于是u n7 为u ，n u7 _ 为“，即o 磁u 由于成是右可逆的，故存 在危，七日：，使得 u = u n u 根据上面的结论，我们在q 上定义乘法如下： 陋，翻【c ，d 】= m ，枷d 】， 其中， ，九，s ，左平方可消，“7 略 7 舀6 c ， ，女矾，“6 c = c 2 ，a = “n “， 我们必须证明 7 为u d 由于 加d 磁“砌亿 d 磁6 c d 磁b d ， 且 瞄 磁k 瞄6 d ，从而 码 d 引理3 2 9q 上所定义地乘法是合理的 证明设【n ，酬= st ， c ，d 】= 陋，】q 于是n 冗；b 璐s7 为，并且存在 m ，n 豌使得 r n 2 = n s n ，”而= r 掂( 38 ) 1 臼 及c 冗；d7 为z g ，且存在p ，q 嘭使得 p c 2 ：口z c ，p d = g 可( 3 9 ) 设扛，6 【c ，d 】= 陋，删，其中“，口， ，s ，u 左甲方可消，“璐 磁6 c ，危， 女矾， u 6 c = c 2 ， “= 七u o u ， ( 3 1 0 ) 设【s 1 儿z ， = i e ，j 乩其中i ，j ，e ，s ，i 左平方可消，i7 为jh ；缸，e ， ，叫，且 z 缸= j z 2 ，e i = ，拈 ，( 3 1 1 ) 下面我们证明：，k d ) 一( e ，厅g ) 由前面证明我们知道自砌7 _ 为6 d ，力磁幻， 6 聪t ，d 嗡f 由于咒7 是同余，因此”d 磁，j ，于是 h7 七 d7 为，j 7 珞e ( 31 2 ) 由于h ，e 是左平方可消的，e 咒； ，则存在口，妒矾，使得 日 2 = e 危 ( 3 1 2 ) 由于口，妒， ，及乱都在同一州一类里，且是左平方可消元，在t 中庐( u 归= 妒( 6 ) 毋( c ) t 咖( 6 ) t = 曲( o ) 丁= 妒( m ) t ，所以曲( m ) ( u ) = 咖( “) 因此m uh ；，取 p ， 或使得 p m = 册u 2 ， ( 3 1 3 ) 又n 磁u ，于是o 冗奢“p m o u = 删七u u 由( 38 ) 我们得到m n n u = 咒s n 钍，因 此”z o “= n s “又由( 3 1 2 ) 得 p n 3 u = p m 口u = 臼而【。o “：削日 u = u 妒e 而且e ，i 都是硝相关的，且 璐缸磁妇磁6 d 磁脚d 璐h ，因此e ，i ，日妒 ，。，“都是冗一相关的，且是左平方可消的，由( 3 1 1 ) 知e 一， s “，因此有 p 咒s 札= t j 妒，i s “( 3 1 4 ) 2 0 类似地有s u 州；u ，因此s 。聪t c ，由( 3 1 4 ) 知 肌c = u 妒，i t c 由p m 儿= t 坩七“n “知肿k = p 惫u 6 c ，且u 日南u k = 削妒，i c 因为”璐日u k 冗；妒，越c ，于是由条件( g ) 知 日七t 庙c = 妒厂乱c 由引理3 2 5 知存在e ，p s ，e 左平方可消 e7 舀p 丸；口k 印c ， 因此e 口 印c = p ( p c ) 2 又c p c7 _ 舀c ，因此 e 一七 c = p p c 又c 冗+ z ，而t 缸= j z 2 ，因此i t c = j z c 于是由( 3 1 0 ) ，( 3 儿) 和( 3 1 6 ) 得 于是由( 3 9 ) 得 口七u c 2 = 挣七札6 c = 妒，t t c = 妒，j 茁c 卢q 。c = f 中c 2 = e 8 南 c 2 = e 妒乃z c 又z c7 为，c 2 冗；d ，因此p q = e 毋，j g ，p p d = e 日女u d 因此由( 3 9 ) 得 e 日七 d = z p d = 牡q ”= e 西力g ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 7 ) 而p u d 磁删磁，j f 磁妒万，且e 瞄口枷哪磁日加c 瞄目谢因此由条件( g ) 和( 3 1 7 ) 7 得 目女 d = 妒疗，( 31 8 ) 于是由( 3 1 2 ) 1 3 1 2 ) 及( 3 1 8 ) 知 m ，枷d 】= e ，力们 义妒，口 陋z ，妇砩= m ，舶妇6 】，其中u ， ， ，s ，u 是左平方可消元， ， 上t “7 为 h ；n k ，且u 0 6 z = 钉6 z k h 乱= 后“0 2 u 又七口6 6 h ；0 6 2 67 _ 略n b 略6 ， 因此 磁o ，且存在n 口成，使得p 0 2 = g k = q u 0 3 ，由于口2 冗；67 略k ，于是 p k = q u n 妇= q 枷妇k ，于是加= q 舶k 6 推论3 2 1 6 半群s 是q 中的左次半群 引理32 1 7 设6 s ，z s 是使得( 。) 是曲( 6 ) 在t 中的逆，则【z 6 ，z 是 目( 6 ) = 陋，6 z6 】在q 中的逆进而陋，k 6 曲，z 】= 【k ，6 z 】且【曲，。】1 6 z ，k 翻 = 曲，z 纠 证明由于咖( 6 ) = 咖( 6 曲) ，且b 嚣，曲是左甲 x 显然。蚰7 - 舀幻，c 咖磁如，于是。幻h o 的，c d h 口咖，进而由67 _ 舀d 得h7 _ 舀咖，从而的h o 咖又 n 一1 6 “一1 削佗0n 一1 蚰冗0n 一1 如州0 咖= c 一1 c 如佗0c 一1 咖佗0c 一1 机一1 u ， 因此啦q 1 佗oq 3 q l ，从而说明咒是q 上的同余 再由推论3 1 6 及该定理中关于d 可适对的条件可知，上述证明过程中所构造出 来的d 左商半群在同构意义下是唯一的，从而完成对该定理的证明 3 3 正则似半群中的c 4 左次半群的等价刻划 本节我们将给出正则似半群中的左次半群的等价刻划 定理3 3 1 设s 是半群，( c ，冗) 是s 的d 可适对，则下列条件等价： ( 1 ) s 满足( a ) ，( b ) ，( g ) ，( d ) ，( e ) ，( g ) 7 ，( d ) 和( e ) ： ( a ) “7 c f d n ( s ) ，彤“正则； ( 日) 若n s 是左平方可消元，则脱右可逆； ( g ) 若n ，6 ，c s ，o 左平方可消，n 冗，h 冠c ，曲= o c ，则b = c ； ( e ) 4 若n ，6 ，c s ，o 左平方可消，ac 6c 7 c ，6 = c o ，则6 = c ； ( d ) 若n ，6 s 都为左平方可消元，n 冗6 ，则曲咒6 ； ( d ) 若n ，6 s 都为左平方可消元，nc 76 ，则阮w 7 6 ； ( e ) 若n ，6 ，c s ，佗6 c ，则n 冗n 6 ； ( e ) 若8 ，6 ，e s ，。c 7 c 6 。，则c 6 ( 2 ) s 满足( a ) ，( b ) ，( e ) 和( a ) ，并且对任意地满同态：s + s 爿= 丁 k e r 咖= h