（基础数学专业论文）奇异边值问题的正解.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特j i , j ) j n i 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：寸导师签字：去i f 0 ，则称u 是s b v p ( 1 1 ) 在c o ，1 ( g 1 o ，1 ) 中的正解 + 在这一章中，若不特别指出，s b v p 的正解都是指在c 2 ( o ，1 ) n c o ，1 】中的，以后 不再说明 定义1 2 u c 2 ( o ，1 ) n c o ，1 称作是( 1 ，1 ) 的下解，如果其满足 一( 工u ) ( t ) f ( t ，u ( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ； r i ( u ) = ：a i u ( 0 ) + 卢l “( o ) ! o ； r 2 ( u ) = ：a 2 u ( 1 ) + 岛( 1 ) s0 ， 同样，如果uea 2 ( o ，1 ) n c o ，1 】满足上面所有的反向不等式，我们称”是( 11 ) 的上解类似的，我们可以定义e 2 ( o ，1 ) ng 1 o ，1 1 中的上下解若“( ) 是( 1 1 ) 的 正解且为下( 上) 解，我们称u ( 。) 为( 1 1 ) 的正下( 上) 解 坐查塑堇盔堂塑堂垡堡塞j 先给出下面的假设： ( 日1 ) p ( t ) c 1 0 ，l 】，p ( t ) 0 ，q ( t ) ec o ，1 ，q ( t ) 0 ，o t i o ( i = 1 ，2 ) ，卢1 0 ， 芦2 o 且q 1 q 2 + q 1 j 8 2 一卢1 0 2 o 使得齐次边值问题 j 一( l u ) ( 2 ) 2 o ，。( o ，1 ) ； ( 1 2 1 ir 1 ( u ) = r 2 ( u ) = 0 ， 只有零解 ( h 2 ) f ( t ，“) ：( o ，1 ) ( 0 ，+ ) _ 0 ，十。) 是一连续函数，且对于任意te ( 0 ：1 ) ， f ( t ，“) 关于“( 0 ，+ o 。) 是单调不增的 ( 凰) ，( ，z ) 在( 0 ，1 ) 【1 ，+ o 。) 上不恒为0 ，并且存在常数 ，m ，n ，卢( 一o o a ，p 0 ，m 1 ，0 n o ； ( v ) ( l z ) ( t ) 0 ，x ( o ) = 一卢l ，一( o ) = a l ； ( v i ) ( l u ) ( t ) 0 ， u ( 1 ) = 如，y l ( 1 ) = 一n 2 ； ( v i i ) p 0 是一常数 对于上述引理中的。，9 及a ( t ，s ) ，设 面= m a x l l 圳，e ( ) = 丽1m i n ) ，) ，t 0 ，l 出盔塑堇盔堂塑堂焦迨塞 5 由 5 ，引理3 1 4 我们可以得到 g ( t ，s ) e ( t ) g ( r ，s ) ，s ，r 【0 ，1 】 e ( t ) 0 ，v t 【0 ，1 1 ；0 0 ，则称u 是s b v p ( 1 ，1 ) h 在c o ，1 1 中的正解 对于( 1 1 ) 我们有下面的比较定理： 引理1 3 假设( 1 ) 和( 扔) 成立，并设( 1 1 ) h 。和( 1 1 ) 虬( 1 h 2 o ) 所对应 的正解分别为u 1 和u 2 ，则我们有 “l ( ) u 2 ( t ) ，v t f 0 ，l 】 证明设 ( t ) = u l ( t ) 一u 2 ( t ) ，v o ，1 显然可见， a i w ( o ) + 卢l ( o ) = o l ( 1 一 2 ) 0 a 2 w ( t ) + 岛t i ( 1 ) = a 2 ( 1 一h 2 ) 0 ( 1 6 ) h l【 l0 0 k 凡 = m 毗 f f 1 1 0)砒m 沁 ：2 一r r 甄参负e是 中 其 些查塑堇盘堂塑主堂垒逢塞 我们需要考虑下面八种情况： 情况( i ) ：卢l = 卢2 = 0 ，a l 0 ，0 2 0 此时边界条件为w ( o ) 0 且w ( 1 ) 0 若存在t o ( 0 ，1 ) 使w ( t o ) 0 ，成 0 同情况( i i ) 的证明，我们可得到对于任 意t 0 ，1 有w ( t ) 0 情况( i v ) ：n l = 0 ，。2 0 ，如 0 ，卢l o ； ( b ) ( 0 ) = 0 ，w ( 1 ) 0 ，w ( 1 ) so ； ( c ) w 7 ( o ) = 0 ，( 1 ) 0 在( a ) 和( b ) 的情况下，( 亡) 0 显然成立现考虑边界条件为 ，( 0 ) = o ， ( 1 ) 0 若w ( t ) 在 0 ，1 1 中恒小于零，于是， ( l 枷) ( t ) = f ( t ，“2 ( ) ) 一f ( t ，u l ( t ) ) + g ( t ) ( l h 2 ) 0 ，t 【0 ，1 1 ， ( p ( ) 7 ( t ) ) - q ( t ) w ( t ) 0 ，t 0 ，l 】( 1 9 ) 从而p ( t ) ( t ) 在【o ，1 】上是单调递减的注意到p ( o ) ( o ) = o 及( 1 9 ) 式，我们有 p ( 1 ) w ，( 1 ) 0 ，这与( 1 ) 0 矛盾 一坐查崾堇盔堂塑圭堂焦堡茎 若 ( o ) 0 则存在t l ，t 2 满足t o ( tl ) = w ( t 2 ) = o 且v t 【0 ，t 1 ) u ( t 2 1 有1 d ( t ) ( o 由于 业bo 亟塑 o 与上面的方法类似，当t f t 2 ，1 时可得出矛盾易见，当t 0 ，t 1 时有w ) i0 于是，当t 【0 ，t 1 1 日寸有t o ( t ) ；w ( t 1 ) = 0 ，这与4 0 ) o ，此时，边界条件可有下面三种可能性： ( a ) t o ( 0 ) 0 ，w ( 1 ) 0 ，w ( 1 ) 0 ； ( b ) t u ( o ) 0i u ( 1 ) o ，川( 1 ) 茎o ： t o ( o ) 0 ( 1 ) 0 ( a ) 和( b ) 的讨论如情况( i ) 而( c ) 的讨论类似于情况【i v ) 情况( v i i ) ：侥= 0 ，o i 2 0 ，“1 0 ，卢1 0 ，o 2 0 卢l 0 此时，边界条件可有下面四种可能 性： ( a ) w ( 0 ) o ，w ( 1 ) ( ) ； ( 1 ) ) w ( 0 ) 0 ，w ( t ) 0 ( c ) t u ( 0 ) 0 ，t o ( 0 ) 0 ，叫( 1 ) 0 ； ( d ) 叫( 0 ) 0 ，叫7 ( o ) 0 ( a ) ( b ) 两种情况已经讨论，( c ) 和( d ) 的证明如情况( i v ) 综上，我们可得到当t f 0 ，1 1 有u ，( t ) 0 可见，引理1 3 得证，口 1 2 存在唯一正解的两个充分条件 定理1 1设( h 1 ) - ( 地) 成立，且 0 ，1 。( 。) y ( 。) ，( 。，e ( 。) ) 幽 0 ，设 妒e ( t ) = 妒( t ) + ，t 0 ，l 则 一( l t o e ) ( t ) ，0 ，妒( t ) ) 一q 0 ) f ( t ，妒( t ) ) f ( t ，妒。( t ) ) ，v t ( 0 ，1 ) 且 o z l ( p 。( o ) 十卢l l p ：( o ) o q c ； a 2 妒。( 1 ) + 虎眭( 1 ) a 2 e 也就是说为( 1 1 ) 的一个正上解 设 ( ) = 妒e ( t ) 一咖( t ) ，t 0 ，1 】， 则 a l w ( o ) + 卢1 ( o ) n l e ； e 2 2 w ( 1 ) + 历w ( 1 ) 0 2 e 剩下的证明与引理1 3 类似，从略 口 定理l - 1 的证明由于f ( t ，u ) 在( o ，1 ) 【l ，+ o 。) 上不恒为0 ，易知存在常数 ( t o ，“o ) ( 0 ，1 ) 1 ，+ o o ) 使得f ( t o ，u o ) 0 设 r l h ( t ) = g ( t ，s ) ，( 5 ，u o ) d s j 0 = 警脚m m ) 如十警：1 小) ，( 刚o ) d s ，v t o ，扎 其中g ( t ，s ) 如引理1 1 所示容易看出，h ( t ) 的定义是合理的 显然， ( t ) c 2 ( o ，1 ) i - t c o ，l 】，i l h l l 0 ，且 ( t ) e ( t ) l l h l l 对任意的t ( o ，1 ) 成 立设c 1 是一满足条件c l l l h l i2m 的常数( m 如( 凰) 所示) 设 则有 k = m i n c l u o ，i l h l l 3 c ) ，r e ( t ) = k h ( t ) ，t ( o ，1 ) 坪，m ( t ) ) = 坤，丽k h ( 丽t ) c l “。i i h i i ) c m i l l 础t ( o 1 ) ( 11 0 ) 生查盟苎盔堂塑圭芏笪鲨茎 9 注意到k 的定义，易得 一( l r n ) ( t ) = k f ( t ，u o ) c j l h l l l f ( t ，u o ) ( 1 i i ) 结合 a l m ( 0 ) + 卢1 m ( 0 ) = 0 ；d 2 m ( 1 ) + 屈m ( 1 ) = 0 可以看出m ( t ) 是s b v p ( 1 1 ) 的下解 定义 鲋= 赫裂 ( 11 2 ) ( 1 1 3 ) l 一( 三“) ( t ) = o ( t ，u ) ，v t ( 0 ，1 ) ； o l “( o ) + 卢1 u 7 ( o ) = o ；( 1 1 4 ) ic y 2 u ( 1 ) + 如“( 1 ) = 0 及其相应的积分方程 “( ) ：1 1g ( t , 8 ) 9 ( s ，( s ) ) d s ，( 11 5 ) j 0 其中a ( t ，s ) 如引理1 1 中所述显然，在条件0 詹。( s ) ( s ) ，( s ，e ( s ) ) 出 。下 “c 2 ( o ，1 ) nc o ，1 】是( 1 1 4 ) 解的充要条件是u c o ，1 为( 1 _ 1 5 ) 的解 定义算子a ： ( a “) ( 。) 2 0 g ( 。，s ) 9 ( 刚( s ) ) 幽，v t m r i j 结合( 1 1 3 ) ，选取c 2 m a x 专，赫) 则对于v u c o ，l 】 一，1r 1 o ( a “) 2 g ( 。，s ) g ( 驯( 5 ) ) d 8 zg(t0 ，s ) 坤，m ( s ) ) d s ， j 0 、4 f 0 1g ( t ，s ) ，( s ，e 。) i i 。m 。i ic 2 ) d s ，i 矿f 1 ( s ) ( s ) ，( s ，e ( s ) ) d s o ， 其中。( s ) ，( s ) 如引理l1 中定义，则s b v p ( 1 1 ) 在c 2 ( o ，1 ) n c 0 ，13 中有唯一正解 容易看出，在条件詹z ( s ) ( s ) ，( s ，“) d s 0 ， ( 1 1 ) 在g 2 ( o ，1 ) c o ，1 1 中 至少有一个正解 。 证明对于任意h 0 ，设 d 。 u c o ，1 】i “( 站e ( t ) i l u | | 且当t 0 ，1 有u ( t ) h ) 定义算子； ，l ( a a u ) ( t ) = g o ，s ) ，( s ，“( s ) ) d s + ，o hv ud 坐壅盟堇盔堂亟主鲎焦堡塞 1 2 由( 1 3 ) 式易见如：d h _ d 类似前面的的证明，注意到( 日1 ) 和 h ( a h u ) o ) ：，1a ( t ，s ) ，( 8 ，“( s ) ) d s + h j 0 g ( s ，s ) ，( s ，h ) d s 十h 02(hi+h0 p ， ， 我们有 a h u ：“d h 在 0 ，1 】上为一致有界的连续函数族 由于 ( 山“m ) = 如) z 。小) m 川s ) ) d s + 加) z 1 小) m ，u ( s ) ) 酬十 ，【0 ，1 1 及 ( a h u ) f ( 归扣上巾) ，( s 川s ) ) d 蚪z 唯) ，1 小) 巾，“( 圳d s ， t 0 ，1 ， 设 m = ：以t ) z 吣) m ，u ( s ) ) d s “o ) 小) m ，“( 圳帆t en 1 】( 1 2 1 ) 从而，与定理1 1 的证明类似我们有， 1 坤) 出= z 1 序坤，吣) ) d s d t + z 1 z 心) 1 出) ，( s ，“) d s d t 。上。( s ) m ，u ( s ) ) ( 口( 1 ) 一( s ) ) d s + 上y ( s ) ，( s ，u ( s ) ) ( z ( s ) 一z ( o ) ) d s 结合引理1 1 ，我们有 r 1 ，r lr 1 上j m ( ) f 出上。( s ) ，( s ，u ( s ) ) ( ( s ) 一成) 如+ z ( s ) ，( s ，u ( s ) ) ( z ( s ) + 卢- ) d s r 1 2 芦( s ) ( s ) ，( s ，h ) d s 。，v 吲叭) ( 1 2 3 ) 于是u + ( t ) 是( 1 1 ) 的正解 情况( i i ) ：若存在t o ( 0 ，1 ) 满足u 4 ( 如) 咖，由( 1 3 ) 式知， “( t ) e ( t ) h u + l i e ( ) “o 0 ，v t ( 0 ，1 ) 结合引理1 5 ，定理1 2 成立口 通过下面的例子比较前面两种形式的充分条件 例1 考虑下面的奇异边值问题： 焉端掣0 l 涎”； z 。， l “( o ) = u ( 1 ) = ， ”7 其中 、 1 。产砑f 面面， 口，卢，r 0 ，则f ( t ，u ) 在t = 0 ，t = 1 ，和= 0 处有奇异性显然， g 他s ，2 傣s ( 1 叫- t ) ，, 蓦冀：； 是 j ( ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ； l 钍( o ) = u ( 1 ) = 0 坐壅堕薹盔堂堕圭堂焦堡塞m 的g r e e n 函数选取x ( t ) = t ，y ( t ) = 1 一，e ( t ) t 【0 ， t 晦1 由定理11 知当0 m a x a ，卢 + r 2 时s b v p ( 1 2 4 ) 只有一个正解；若利用定理 1 2 ，当0 a ，声 2 ，0 0 事实上，容易求出n z ( t ) ，和f ( t ) 分别为 p = 口l n 2 + o l 阮一芦1 0 2 0 ， z ( t ) = 。1 一卢l ， 可( t ) = 0 2 + 屈一口2 t ，t ( o 1 ) 利用定理l - 1 知当0 m a x p ，订+ r 2 时s b v p ( 1 2 5 ) 有唯一的正解；用定理l2 只要求p ，q ( o ，2 ) ，0 r o o 就能保证( 1 2 s ) 有唯一的正解 从上面的两个例子可以看出，定理12 的条件在某种程度上要弱于定理1l ，并 且定理l 2 的条件比较容易验证，实际应用起来比较方便但是稍微改进定理1l ， 我们可得到一个正解存在唯一的充要条件 1 3 存在唯一正解的充要条件 定理1 3 在( 凰) ，( ) 和( 风) 成立的条件下，s b v p ( 11 ) 在e 2 ( o ，1 ) n c l o ，1 1 。 j ( 1 m ，巾) ) 幽 o 。 其中e ( t ) 如引理1 1 所示 在证明定理1 3 之前，+ 先证明下面的引理： 51 罂。1 7 设“( ) g 1 0 ，l 】是( 1 ，1 ) 的正解，则存在常数n 和6 ( o n 0 从而， z 1 坤，u ( t ) ) 出= 一0 1 u 协) m o lq00 j 0 ( t ) “( t ) 出 j = 一p ( 1 ) “( 1 ) + p ( o ) u ( o ) 一q ( t ) u ( t ) d t ：费 + o 。 由( 1 3 ) 式和积分方程 u ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，“( 3 ) ) 出 容易知道，对任意的t f 0 ，1 】有u ( t ) e ( t ) l l u l l 另一方面，注意到( 1 5 ) 式我们可得 ) 和“) ，( 叫) d s 和) 小刚冲= 孕吣) ， 设n = 1 1 “1 1 ，b = 学即满足要求至此我们完成了引理1 7 的证明 f 1 2 6 1 t 0 ，1 口 定理1 3 的证明必要性：正解存在性和唯一性的证明与定理1 1 的证明类 似，唯一不同的就是h ( t ) c 2 ( o ，1 ) ng 1 0 ，1 】并且我们设 r 1 d ； u c 1 o ，1 1 ：0 u ( t ) g 0 ，s ) f ( s ， l ( s ) ) d s ) ， 具体证明从略 充分性：设s b v p ( 1 1 ) 有正解“+ ( t ) c 2 ( o ，1 ) nc 1 【o ，l 】，由引理1 7 ，我们可以 找到两个常数o a b 满足a e ( t ) 矿( t ) 6 e ( t ) 另外，注意到( h 3 ) ，设c 3 为满足 c 3 m ，医1 兰n 的常数从而 o 邢，e ) 坤，等c 3 ) c f 邓坤，u 沁) ) 1 t6 ( 叩) ( 1 2 7 ) 对( 1 2 7 ) 从0 到1 积分得到 r l r 1 0 上，( s ，8 ( 8 ) ) d s 。i i 0 ，( s ，( s ) ) d s = - o f “b 1 ( s ) u “( s ) ) + q ( s ) u 4 ( s ) d s = - c ；p b 一“扣( 1 ) “( 1 ) 一p ( o ) u “( o ) + q ( s ) 札+ ( 8 ) d 8 】 0 易知对于v s ( 0 ，1 ) 有f ( s ，e ( s ) ) = 0 假设上式不成立，即我们设詹，( s ，e ( s ) ) d s = 0 选取c 4 满足c 4 1 1 u 4 i i m ，石1 n ，于是 。sf ( 邶谗) ) 邝，出) 警) r m ，e ( 圳= 。，v s ( 0 1 ) ( 1 2 8 ) 出查塑堇盔芏塑主堂堕堡茎! 则对于t 0 ，1 有矿( t ) e0 ，这是一矛盾，定理1 3 证毕 口 若把( 凰) 更换为( 弼) ： ( 弼)，( t ，。) 在( o ，1 ) x 1 ，+ o 。) 上不恒为0 ，且其为拟其次的，即存在常数 ，p ，n ，m ( - o o a 0 p 1 ，0 n 1 m ) 满足对于任意的( t ，u ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，十o 。) 有 f “，( t ，u ) f ( t ，；u ) f “f ( t ，“) ，0 l5 ； p f ( t ，u ) 茎f ( t ，l u ) t f ( t ，“) ，f m 我们可得到下面的两个推论： 推论1 1 设( h 1 ) ，( 耽) 和( 玛) 成立，且 r 1 0 x ( s ) y ( s ) f ( s ，e ( s ) ) o o j 0 则s b v p ( 1 1 ) 有唯一的正解 推论1 2 设( 日1 ) ，( ) 和( 玛) 成立，则s b v p ( 1 1 ) 在c 2 ( o ，1 ) n c l o ，1 中有唯 一正解的充要条件是0 片，( s ，e ( s ) ) d s + o o 由定理1 3 ，我们可以看到( 1 2 4 ) 式在c 2 ( o ，1 ) nc 1 【o ，1 中有唯一解当且仅当 0 m a x o ，卢) + r l ；当f ( t ，) = a u p 旧 0 ，a 是一非负常数) 时，( 12 5 ) 是著名 的负指数的e m d e n - f o w l e r 方程同样由定理1 3 容易得到( 1 2 5 ) 在c 1 f o ，1 中有唯 一解的充要条件为一l p 0 尘查塑芷盔堂堡堂篁堡塞 一 ! z 第二章 三阶三点奇异半正边值问题的正解 近年来，对多点边值问题的研究日趋活跃( 见 2 1 】及其后面的参考文献) 本章 考虑下列三阶三点边值问题： 翥鳞霸0 ：0 托，d iz ( o ) = z ( 叼) = z ”( 1 ) = “ 正解的存在性，其中； 一o o ，其中m2 0 ( 2 ) b = m a x ( t ，。) ：托，$ ) 【0 ，1 】1 0 ，1 】) + m 0 ( 3 ) 存在0 a 卢 1 使得l i mm i n 型= + o 。 则问题( 2 l ) 在条件 。 o 时有 ( z ) o 且9 ( 霉) ( z ) g 陋+ ，r + 】( 即当n 十9 ( 。) ( z ) 存在) ，其中r + = 0 ，+ ) 这一章，我们将采用下面的记号 a ( t ，s ) = 显然g ( t ，s ) 是方程： 一 t 2 ， 2 一弘 2 一t s + ”t 0 茎5 q ，0 曼t s 0 8 q ，0 s t 5s l ，0 ts5 q 8 1 ，0 5 t 戡阳1 ，o 二 。t 1 的g r e e n 函数 引理2 1 5g c t ，s ) 有下面的性质； 净酱豁啪，= 誊蝥 g 托s 胁c t m s 麒悯加- 獭凸溅，= 象卅，。蓑翟i ( 3 ) 母4 ( 站2 ：霹g ( ，5 ) d 8 = 【3 3 t 2 + ( 6 一3 2 ) 且聋翁圣( 站= ；( 3 q 2 2 ”3 ) ( 4 ) 雪+ ( t ) 曼k q ( t ) ， v t f o ，l 】， 其中k = m a x 1 ，b o ，b o = ( 6 町一3 叩2 2 ) ( 6 ( 2 叩一1 ) 】一1 坐壅蛭蒌盔堂塑圭鲎焦堡塞 1 9 证明( 1 ) 和( 2 ) 的证明见文献( 2 2 _ 下面只证( 3 ) 和( 4 ) ( 3 ) 当t ，1 时， ，i 0 g ( 如) 如 同样当t 【0 ，明时， z 1 g ( t ，s ) a s = z i s 2 d s + z 1 ( t s j 1 囝出+ z 1 t = 护一3 “( 6 q 一3 q 2 垌 采用标准的求函数极值的方法易知m t e “i 雪+ ( t ) = + ( q ) = ：( 3 q 2 2 3 ) ( 4 ) 当t 0 ，叩】时 皿+ ( ) 一k q ( t ) 皿+ ( t ) 一g ) = ；( t 3 - - 3 t 2 _ 3 q 2 t ) 设p ( t ) 2 ( t 2 3 t 一3 1 2 ) ，注意到p ( o ) o ，p ( q ) 0 ，我们可以得到p ( t ) 0 使得当 ( o ，_ ) 时，s b v p ( 2 1 ) 在c 3 【( o ，1 ) ，r n 。2 【( o ，1 ，吲ng 【o ，1 r 】中至 少有两个正解z ( t ) 和”，且满足0 蚓1 r 0 满足 i ( a i ，( ，q ) = 1 ，v a ( 0 ，a ( r ) ) ，j n 其中q r = 。q ：蚓i 0 都有p ( z ) 0 对于v r 0 ，设 其中 a ( r ) = ：m i n 南，丽b ) n = = j 1f o e , r 2 9 萼小r 胁“忙：。器，】恸 r ( 2 r t 一1 ) b = ：2 后r 二p ( s ) 出+ 2 r p ( 坐善丑) ( 1 一q ) ， k 如引理2 15 ( 4 ) 所示 f 面证明 z 肛( a i 。) ，v 肛 o ，1 ，z a q ，a ( o ，a ( r ) ) 如果上式是不成立的，则存在z o a q r ，p o o ，1 l 满足 x o ( t ) = 芦o ( a i g o ( t ) ) ，v t i 注意到x 0 q 且利用弓l 理2 1 5 ，可以得到 x o ( t ) q ( t ) l l x o i = r q ( t ) ， 郴) = a m + ( t ) sa m k q ( t ) 蔓半。( t ) ，v te i 坐查竖蔓查堂塑堂焦造主 一一 2 2 于是 州沪州蛇卜半洳蛇知，虮， 另外，由于q ( t ) 是【0 , 1 】上的非负函数，不难看出 片州沪州；) = 巾，州卜州i 1 ) + m ，v t e i 因此，由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 和( h 1 ) 可以得到 蚶( t ) = 岫m 州t ) _ 州t ) + ；) + m a g ( t ) ( z 。( t ) 一- ( t ) + ；) a 9 ( ；i ：i 翻 鲋) 蒜，眦( 0 1 1 ) 对( 27 ) 从t 到1 积分可得 一z ：( t ) x c ( r ) z 1 ；i i ! ；b d s 0 ，可得到 z ”z p ( j 1m i n 矧t ) ，z 。( 1 ) 聃 z 1 。p ( j 1m i n ( 巩r ( 2 r - 1 ) ) ) 出 = z p ( ；m i n s ，r ( 2 q - 1 ) ) ) d s ， z p ( 百1m i n k r ( 2 q 1 ) ) ) 出 = r 。幽0 ，( 坐掣 ：2f 掣p ( s ) d s + 2 r p ( 墼) ( 1 _ 们 = z z2 华) ( 1 刊 = b a c ( r ) n 这就保证了a 赤，与0 0 使得 i ( 趣，q r ，q ) = 0 ，n 证明由( 飓) 可知对v a ( 0 ， ( r ) ) ，存在l r 0 满足 掣 2 ( ；幽小) f b g s ) d s ) ，v 。 础卟删 ( 2 设 r = r ( 柚 m 州翮2 l ，r ) ， 下面证明 a j z p 。，v x a q r ，p ( o ，1 事实上，若上式不成立，则存在x o a q 咒和枷( o ，l 】使得嬲z o = 卢o z o ，即， 州) ( 墨训= a z l 即疗旧州s ) 一x ( s ) + ) d 8 i v c h ( 2 1 2 ) 由于 $ o ( t ) g ( t ) r ，机( t ) = a f m + 0 ) sa m k q ( t ) ， v t j ， 虫查竖堇盘! 望韭蔓鲎垡立垒塞 于是对于v t 陋，绷，都雨 z 。( t ) 一咖 ( t ) ( r a m k ) t r a i 。i ，n 口】g ( t ) - - 詈t m f i l n ，口jq ( ) l 由( 2 n ) 和( 2 1 2 ) 可得对于讹 a ，风 “t ) 2 a 上1 g 螂州沪州卅 ： ：1 g ( 舢) ，x o ( s ) 一机( s ) + ) + 心d s = g ( t ，s ) ，( s ，) 一机( s ) + i ) + 肘】 j 0j a ，4g ( t ，。) ，( 。，x q ( s ) 一弧( s ) + ；) 幽 a f g ( 亡，s ) ，( s ， ) 一 ( s ) + = ) 矗5 2 协。爨】q ( t ) r g ( t 】s ) d 矿1 ( r 一入m 州。聚函。f g 化州s 2 ( r a k m ) r ， 波与z 。a 0 r 矛盾、利甩弓l 理2 1 3 可得引理2 2 3 口 引理2 2 4 对于上述的r 0 和 ( r ) 0 ，存在i = i ( r ) ( o ， ( r ) 使得对任 意的 ( o ，x ) ，存在r ，= r ( ) ( o ，r ) ，当j 足够大时满足 ( 以，qr j ，q ) = 0 证明由条件( 凰) 可知对每个上， m k ( 6 m i n g ( s ) d s ) 一，存在6 o 使 得 f ( t ，。) l v z ( 0 ，6 ) ，t 陋，卢 设 i = m i n 喀州，l - f 如m i n 引f ，s 冲 则对a ( o ，x ) 有m a j 固定a ( o ，i ) ，选取一= 一( ) ( o ，6 ) 并设j 足够大满足 孚 x 嘉，r + ； a 下面证明 a a x z 弘。， v 正o qr ，p ( 0 ，l 】 假设上式不成立，则存在z o o qr ，和弘o ( o ，1 使得q x o = 肛o m 由于x o ( t ) r g ( t ) 和奴曼a m k g ，姚j ，可以得到 x o ( t ) 一曲 ( t ) 兰( r 一a m k ) g ( t ) 0 ，v t i ， 坐查盟堇盔堂塑堂垡鱼塞盥 从而疗。，。旬一。，+ ；，：( t ，。c 一。，+ ；，+ m ，v t ， 疗( t ，z o ( t ) 一 o ) + ) =，。o ( t ) 一 ( t ) + i ) + ， j 另一方面， 。 埘f g s ) d s ) 、l t 蚓m 酬i nf g 枷s 一v 吲。冈 这与x o o q 一矛盾，证毕口 引理2 2 5 对于每个a ( o ，页) 和足够大的j ，s b v p ( 22 ) 至少有两个正解q 和协满足 r 7 l b | | r 0 当i t 2 一t l l 6 ( v t l ，t 2 ( o ，叩 ，t 1st 2 ) 时，对于v x j 我们有 ，t 2 1 l j ( q ( t 2 ) ) 一j ( q ( t 1 ) ) i = i p ( ；m i n x j ( t ) ，r ，( 2 v 1 ) ) 。；( t ) 酬 j t l z 。 r 2 1 上，p ( ir a i n q ( 。) ，z ，( 1 ) 蹦( t ) 班 - c ( r ) ，j 2 ”z 1