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余辛流形及其半不变子流形 摘要 建立子流形上主耍的内蕴不变量与主要的外蕴不变量之间的简单关系是子流形理论 中一个重要而有意义的研究内容。 2 0 世纪9 0 年代，b y c h e n 得到了复空i 砌形式m “( c ) 的子流形m n 上的r i c c i 曲率张 量s 与平均曲率平方之间的一个不等式一一c h e n 不等式，并给出了等号成立的充要 条件。 后来，许多学者将c h e n 不等式推广到其它类型的空间上。而余辛流形是一类重要的 殆切触度量流形，本文介绍井研究了余辛流形及其半不变子流形，并将c h e n 不等式的一 些结果推广到余辛流形的半不变予流形上，主要结果如下： 定理1 设府是有殆切触度量结构( 妒，f ，9 ) 的余辛流形，则对任意正交于向量场f 的切 向鼍场x ，z ，有 r ( 庐x ，z ，p 矿) 4 - r ( x ，z ，w ) = 0 r ( x ，曲z ，c w ) = r ( x ，z ，w ) r ( 庐x ，x ，c y , y ) = r ( x ，y z ，w ) 4 - 只( 咖x ，庐y x ) 定理2 设m 是余辛流形m 的半不变予流形，则接卜米的命题相互等价： 1 ) 分布d 是可移 的； 2 ) 分布d o 代) 是可积的； 3 ) h ( x ，曲y ) = ( 庐x ，y ) ，v x ，y d ； 4 ) g ( h ( x ，c y ) ，庐z ) = 9 ( ( 毋x ，y ) ，曲z ) ，v x ，y d ，z d 上。 定理3 设m ( 4 c ) 是有常西一截面曲率4 c ( 2 m + 1 ) 维余辛流形，m 是m4 - 1 ) 维半 不变子流形，那么： ( i ) 对每一个正交于的单位切向量x ，我们有 ( a ) 当x d 。时， 胁c ( x ) 坠；坐24 - c m4 - 2 ) ( b ) 肖x d 。1 时， ，。i1 、2 r i c ( x ) 半l i h i l 2 - i - e ( n 1 ) ( i i ) 若h ( p ) = 0 ，则对正交于的单位切向量x ，使得( a ) 或( b ) 取等号的充要条件 是x 。 ( i i i ) x , j 丁任意正交于 的单位切向量x ，( a ) 或( b ) 等号都成立的充要条件是点p 是全测 地点。 关键词：余辛流形，半不变子流形，m c c i 曲率，平均曲率 余辛流形及其半不变子流形 a b s t r a c t t of i n ds i m p l e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h em a i ne x t r i n s i ci n v a r i a n t sa n dt h em a i ni n t r i n s i c i n v a r i a n t so fas u b m a n i f o l di so n eo ft h en a t u r a li n t e r e s t so ft h es u b m a n i f o l dt h e o r y 1 9 9 0 s b y c h e np r o v e st h a tt h e r ee x i s t sab a s i si n e q u a l i t yo nr i c c it e n s o rsa n dt h e s q u a r e dm e a l 3c u r v a t u r ef o ra n ys u b m a n i f o l dm “i nc o m p l e xm a n i f o l dm ”( c ) 一一c h e n i n e q u a l i t y f u r t h e r m o r e ，m a n ya u t h o r se x t e n dt h ec h e n i n e q u a l i t yt oo t h e rs p a c ef o r m s a n d ac o s y m p l e c t i cm a n i f o l di s8i m p o r t a n tc l a s so fa l m o s tc o n t a c tm e t r i cm a n i f o l d s ，i nt h e p r e s e n tp a p e r w ew o u l dl i k et oi n t r o d u c ec o s y m p l e c t i cm a n i f o l da n di t s s e a f i i n v a r i a n t s u b m a n i f o l d ，a n de x t e n dt h ec h e n li n e q u a l i t yt os e m i i n v a r i a n ts u b m a n i f o l do fc o s y m p l e c t i c m a n i f o l d ，w ep r o v e ： t h e o r e m1l e t 府b ea c o s y m p l e c t i c m a n i f o l dw i t ha l m o s tc o n t a c tm e t r i cs t r u c t u r e ( 西，q ，9 ) ，t h e nw eh a v e r ( 咖x ，y ，z ，w ) + n ( x ，c y , z ，w ) = 0 r ( 庐x ，庐c z ，c w ) = n ( x ，y 1 z ，w ) r ( x ，x ，c y , y ) = n ( x ，y z ，w ) + r ( 曲y x ，曲v x ) f o ra n yt a n g e n tv e c t o rf i e l d sx ，z ，彬w h i c ho r t h o g o n a lt of ，o nm t h e o r e m2l e tmb ea c o s y m p l e c t i cm a n i f o l da n dm as e m i - i n v a r i a n ts u b m a n i f o l d t h e nt h ef o l l o w i n ga s s e r t i o n sa r ee q u i v a l e n tt oe a c ho t h e r ： 1 ) t h ed i s t r i b u t i o nd i si n t e g t a b l e ； 2 ) t h ed i s t r i b u t i o nd0 ) i si n t e g r a b l e ； 3 ) h ( x ，币y ) = ( 曲x ，y ) ，f o ra n yx ，y d ； 4 ) g ( h ( x ，c r ) ，c z ) = g ( ( 毋x ，y ) ，c z ) ，f o ra n yx ，y d t h e o r e m3l e tmb e8 ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls e m i i n v a r i a n ts n b m a n i f o l do f8f 2 m + 1 ) d i m e n s i o n a lc o s y m p l e c t i cs p a c ef o r mm ( 4 c ) t h e n ： ( i ) f o re a c hu n i tv e c t o rx e mo r t h o g o n a lt o a n d i f a ) x d 口w e h a v e 威。( x ) 垫 竺| | 日j | z + 。胁十2 ) a n d i f b ) x d w e h a v e r i c ( x ) s 堕掣h 。一1 ) ( i i ) l fh ( p ) = 0 ，t h e n au n i tt a n g e n tv e c t o rx o r t h o g o n a lt o s a t i s f i e st h ee q u a l i t yc a s e o fa ) a n db ) i f a n do n l yi fx 帆 ( i i i ) t h ee q n a l i t yc a s eo fa ) o rb ) h o l d si d e n t i c a l l yf o ra l lt r a i tt s m g e n tv e c t o r so r t h o g o n a l t o a tpi fa n do n l yi fp i sat o t a l l yg e o d e s i c ：p o i n t k e yw o r d s ：c o s y m p l i c t i cm a n i f o l d ，s e m i i n v a r i a n ts u b m a n i f o l d ，r i c c ic u r v a t u r e ，m e a l c e t t r v a t n r e 儿 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特另, j j l l 以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：! ! 麴日期：堡暨! 壁些旦 余辛流形及其半不变予流形 前言 1 9 5 9 年，g r a y 绘r 出了殆切触结构的定义( 【1 】) ：如果可微流形m 2 ”1 的切丛上的结构 群可以简化为u ( n ) 1 ，则称流形m 2 n + 1 上有一个殆切触结构。1 9 6 0 年，s a s a k i s 给出 了殆切触结构的个等价定义( 2 ) ：当可微流n m 2 ”1 上的切空间的自i n 念场咖，向量 场f 和1 - 形式口满足： 卵( ) = 1 曲2 = 一i + r 0 ， 则m 2 n + 1 有一个殆切触结构( ， ，口) 。进一步，s a s a k i s 还给出了殆切触度量结构的定义： 如果殆切触流形m 2 n + 1 上有一个黎曼度量g 满足： 9 ( x ，咖y ) = n ( x ，y ) 一v ( x ) e ( y ) 则称m 2 n + l 有一个殆切触度量结构，称m 2 r l 4 - 1 是一个殆切触度量流形。 1 9 6 2 年，s a s a k i s 又提出了一类殆切触度量流形，称为s a s a k i a r t 流形( 3 】) ：对流 形m 2 n + 1 上的任意切向量场x ，y ，当且仅当 ( v x 妒) y = g ( x ，y k q ( y ) x 成立时，殆切触度量流形m 2 n + 1 是一个s a s a k i a s a 流形。 而余辛流形足另一类重要的殆切触度量流形，由d e b l a i r 于1 9 6 7 年给出其定义( 【4 ) ： 设厨是( 2 凡十1 ) 维流形，若殆切触结构( 曲，7 7 ，g ) 是芷规的t n 1 - 形式叩和2 一形式屯都是闭 的，则称结构( i j 5 ，q ，9 ) 为余辛结构，称府为余辛流形。男一等价定义为：设m 2 n + l 是有 殆切触度量结构的流形，若对m 上的任意向量场x ，y ，有( v x 曲) y = 0 ，则称流形m 为余 辛流形。 上世纪七，八十年代，人们对殆切触流形进行了研究，得到了许多有意义的结果， 使箕几何结构和拓扑性质得到了进一步丰富。 by c h e n 曾经说过，建立子流形上主要的内蕴不变量与主要的外蕴不变量之间的简 单关系是子流形理论中一个重要而有意义的研究内容。 2 0 世纪9 0 年代，b y c h e n 得到了复空间形式府m ( c ) 的子流形m “上的r i c c i 率张 量s 与平均曲率平方之间的一个不等式一- - c h e n 不等式，并给卅了等号成立的充要条 件( 5 ”。 后来，许多学者对c h e n 不等式进行- y 推f - ( 6 7 1 8 1 9 1 ) ，这些结果主要集中在s a s a k i a n 流形及其子流形上。而余辛流形是类重要的殆切触度量流形，由定义可以看出，余辛 流彤与s a s a k i a n 流形的结构十分相似，这自然会引起人们对余辛漉形研究的兴趣。结合前 人经验，本文对余辛流形及其半a i 变子流形进行了研究，其内容安排如下： 存第一章，主要介绍了与本文有关的必备知识和丰要t 具，以及国内外的研究概 况。 在第二章，主要介绍了关于黎曼流形的一些公式、定理，并给出了斜子流形的定义 及c h e n 不等式。 余辛流形及其半不变予流形 在第三章，主要研究了余辛流形及其不变子流形的性质，得到如卜结论： 定理32 1 漩厨是有殆切触度量结构( ，q ，g ) 的余辛流形，则对任意正交丁向量 场f 的切向量场爿，) z ，有 r ( 庐x ，z ，w ) + r ( x ，曲y 1 z ，w ) = 0( 1 ) r ( 咖x ，西y 曲z ，c w ) = r ( x ，z ，w )( 2 ) r ( x ，x ，c y , y ) = r ( x ，e z ，w ) + r ( x ，c y , x )( 3 ) 定理3 3 1 设m 是余辛流形m 的不变予流形，e t m ，则 彳仍是余辛流形 在第四章，研究了余卒流形的半不变子流形的一些性质，主要得到如f 结果； 定理4 2 3 设m 是余辛流形廊的半不变子流形，则接下来的命题相互等价： 1 ) 分布d 是可积的； 2 ) 分布do 传 足可积的； 3 ) h ( x ，c y ) = ( x ，y ) ，v x ，】，d ； 4 ) g ( h ( x ，c y ) ，曲z ) = 9 ( ( x ，y ) ，c z ) ，v x ，y dz d 1 在第五章，主要是：将c h e n 不等式推广到余辛流形的半不变予流形上，得到如下结 论： 定理5 ，2 1 设m ( 4 c ) 是有常截面曲率幻的( 2 m + 1 ) 维余辛流形，m 是如+ 1 ) 维半不变子流形，那么： ( i ) 对每一个正交于的单位切向量x ，我们有 ( a ) 当x d p 时， r i c ( x ) 堕掣2 + c ( n + 2 )( 4 ) ( b ) 当x d p l 时， 月l c 僻) s 坠掣2 + c 一1 ) ( 5 ) ( i i ) 荇h ( p ) = 0 ，则对正交于的单位切向量x ，使得( a ) 或( b ) 取等号的充要条件 是x n o 。 ( i i i ) 对于任意f 变于的单位切向量x ，( a ) 或( b ) 等号都成立的充要条什是点p 是全测 地点。 2 余辛流形及其半不变子流形 1 预备知识 1 1 切触流形 设m 2 n + 1 是( 2 n + 1 ) 维e * 黎曼流形，当m 2 1 的整体可微1 一形式目在m 2 ”+ 1 上处处满 足：qa ( 咖) n 0 ，这里n 表示第n 次夕 幂，则称m 2 1 为切触流形，或者说有一个切触结 构( 严格意义上的) ，并称q 为切触形式，在这个意义下的切触流形是可定向的。为了定义 广义的切触流形，苗先同忆一下经典的d a r b o u x 定理( 见 1 0 】) 定理1 1 1 令u 是可微流形m “上的1 一形式，假设在m “上有 u a ( d u o ) o ( 山) 9 “i 0 那么在每一点都满足有一个坐标系 “= d 旷一1 一y 4 d x 因此，对于切触流形m 2 1 上的每一点，都存在班标系( f ，y 。，= ) ，i = 1 ，n ，使得 叮= d z f y d x 现在设( 一，y ，z ) ，i = l ，礼是r 2 “+ 1 的笛卡儿坐标系且满足： 卵= d z f 矿脒 如果g o 。微分同态，：u 一，( 其中u 和u 7 是r 2 “+ 1 的开子集) 和u 上的非零函数g 满 足，+ q = 鲫，则称，是切触变换。所有这样的切触变换的集合r 埘并运算封闭，有逆运 算，因此构成了一个伪群。 如果存在m “+ 1 上的一个开覆盖( ，同胚厶：一c 兄鼽“，对于所有 的n 和卢使得厶后1 r 成立，可微流形m 2 ”+ 1 称为广义的切触流形。当，r 1 r ，图 册 厶) 和 珥 ) 称作是等价的，称这样的等价类为m 2 ”1 上的广义切触结构。 因此，由d a r b o u x 定理易知严格意义上的切触流形也是广义上的切触流形。反过 来，在 4 】 1 1 中证明了卜面定理： 定理1 1 2 如果m 2 1 是广义上的可定向切触流形，其中n 是偶数，那么它是严格意义 上的切触流形。 下面，给出切触流形结构的文例： 例1 r 2 n + l 易知1 = d z 一矿d 是r 2 ”“卜的切触结构，( x 7 ，y ，z ) 是笛卡儿啦标系，向量场 是芒，切触分布d 由f 式扩张得到 墨= 蠡+ y i ，= 未 3 余辛流形及其半不变子流形 1 ，2 殆切触流形 在定义殆切触结构之前，先证明切触流形的向量丛的结构群刚以简化y l u ( n ) 1 ( 见【1 】) 。 定理1 2 1 设m 2 n + l 是切触流形，那么t m 缸+ 1 的结构群可以简化为u ( n ) 1 。 证明：因m 2 n + 1 是可定向的，贝i j t m 2 1 上的结构群可以从g l ( 2 n + 1 ，r ) 简化 n s o ( 2 n + 1 ，冗) 。而且。由于切触形式叩分别决定了维数为2 n 和1 的余分布，可以简化 结构群2 , j s o ( 2 n ，r ) s 0 ( 1 ，r ) = s o ( 2 n ，r ) 1 。现在设 ) 是m “+ 1 上的开覆盖，使 得 玩) 上满足： 咖= a 日州 其中和俨“是( 名) 上的1 形式。 定义g 。口：u ：u _ + s o ( 2 n ，r ) 2s o ( 2 n ，r ) 1 是关于丌覆盖 l k ) 的转移函数， 并在s o ( 2 n ，r ) 中g 。口是一个矩阵。假如f 是d v = 八口”“的分量矩阵( 限制在d 上) ， 那么 g o , f f = f g 。d 但是 ，= 稚) 其中是竹札的单位矩阵。 因此 g 圹( 三b a ) t 害 g a = ( 。u ) ，b = ( b l j ) 都是札n 矩阵。 现在命 妒( g 。口) = ( o o + 4 - ：t b , j ) 那么 可耐= 母( g ：口) = 母( g 矗) = 币( g 。口) 一1 其中( g 。口) u ( 仡) 。 由于毋。映射c 厂( n ) 到全部矩阵g s o ( 2 n ，r ) 的集台上并且满足： g f = f g 因此 ：( g s o ( 2 n ，r ) l g f = f g 一矿m ) 是矿( n ) 上的同构，_ ! j j t m 2 ”1 上的结构群刈以简化，g u ( n ) l 。 口 余辛流彤及其半不变予流形 由上面证明的定理，卜i 面给出殆切触结构的概念：当可微流形m 2 “+ 1 的切丛的结构 群可以简化为矿( n ) 1 时，称m 2 ”1 有一个殆切触结构( 1 ) 。 在接下来的部分里，将给出殆切触结构一个新的定义，这样有利于今后问题的讨 论。首先定义( 妒，1 ) 结构。当口j 。微流形m “+ 1 上的切空间的自同态场审，n t n ( n 1 n 式 满足 ；墨二1 1 堋； ( 1 ，) 1 币2 = 一+ 叼 r 叫 其，中j 表示单位变换( 【3 ) ，则m 2 ”1 被称作有一个( 庐，q ) 结构。在( 咖，q ) 结构的定义当中 还蕴涵 庐= o ，口0 曲= 0 但是这些都是可以通过定义推导出来的，即下面的命题( 1 3 ) ： 命题l2 1 假设m 鼽+ 1 上有一个( ，”) 结构，那么徙= o n n 。= o ，并且自同态的 阶数为2 n 。 证明由f 1 1 ) 式有 2 ( ) = 一+ q ( ) = 一+ = 0 即 毋( 妒f ) = 0 故* = o 或必是对应特征值0 的非。i 凡特征向晕。 若梃0 ，则由 0 = ( 咖2 ( ) ) = 2 ( 毋) = 一曲+ q ( 咖f ) f 可知= 叩( 庐) ，即q ( 曲) o ， 又 o = 2 = l i i ( 毋) = ”( 曲) 曲 因而特征值_ ( 庐f ) = 0 ，矛盾，故篮= o 。 对m 上的任意向量场x ，由艇= 0 可得 毋3 ( x ) = ( 妒2 x ) = 一毋x + ”( 咖x ) 庐f = 一c x 又 矿( x ) = 扩( x ) = 一曲x4 - _ ( x ) 故w ( x ) = 0 ，即叩曲( x ) = 0 。 最后，由于蜒= 0 ，0 ，n 此r a n k ( 曲) 2 n 十1 。如果向量场如满足岛= 0 ，则 0 = 一矗+ q ( 矗) 那么如与平行，因此r a n k ( c ) ) = 2 n 。 口 下丽证明殆切触结构的定义和( ，f ，q ) 结构的定义是等价的( 3 】) 。 5 余辛流形及其半不变子流形 定理1 2 2 如果流形m 2 “+ 1 有一个( 曲，f ，目) 结构，那么它的切向量丛的结构群可以简化 为，( n ) 1 。反过来，一个殆训触流形一定有个( ，1 ) 结构。 证明：假设流形m 鼽有。个( ，q ) 结构，令g 是个相容度量，( ) 是一个开 覆盖，而 五，墨；+ t = 砂墨，目和 爱，砭。f ，分别是和上面的毋标准基。关于这些 基，的矩阵是： o io 、 l 川oi 0 0 0 圆= 其中a ，且，g ，。足n 亿矩阵，并且c 。礼十，c 。n + - ，矩阵( 吾吾；) 足正交的，显然这 所以脚儿 反过来，假设m 2 叶1 带有一个殆切触结构， 是m 2 n + 1 的个开覆盏，使得可以选 择局部标准正交基作用于u ( n ) 1 上，在邻域的交集上进行变换。那么对于这样的坐标通 过下面的矩阵司以定义( ) 上的自同态丸： 但是这个矩阵可以和u ( 礼) 1 交换，因此札决定了自同态西的一个整体场。现在通过定 和口被整体定义，显然有 2 = 一，- fq o q ( ) = 1 6 ，。，。 余辛流形及其半不变予流形 因此殆切触结构的定义和( 咖，”) 结构的定义是等价的，我们常常说殆切触结构( 毋，叩) 。 口 若殆切触流形庸 有一个黎曼度最g ，满足：对任意的向量场x ，y 有 g ( c x ，c y ) = g ( x ，y ) ”( x ) q ( y ) ( 1 2 ) 则称府有殆切触度量结构( 以f ，_ ，9 ) ，9 称为容许度量( s a s a k i 3 j ) 。 下面的命题说明在殆切触流形上总是存在这样的容许度量( 【1 3 1 ) 。 命题1 2 2 设庇是有殆切触结构( 面，q ) 的流形，则府卜定存在黎曼度量9 ，使得 9 ( 审x ，审y ) = 9 ( x ，y ) 一q ( x ) 叩( y ) 证明设h 是流形m 2 n + l 上任一黎曼度量，记 为 h ( x ，y ) = + ( 扩x ，扩y ) + q ( x ) q ( y ) 则易知 是黎曼度量。 下面定义g 为 9 ( x ，y ) = ；( ( x ，y ) + ( 咖x ，c y ) + 叩( x ) ”( y ) ) 易知g 是黎曼度量，且 9 ( x ，西y ) = ；( 九( 毋x ，y ) + h ( - x + 1 ( x ) ，一y + q ( y ) ) ) 1 = 妄( ( x ，) y4 - h ( x ，y ) 一2 7 7 ( x ) _ ( y ) 4 - q ( x ) q ( y ) ) = g ( x ，y ) 一”( x ) 1 ( y ) 注：l _ 卵( x ) = g ( x ，f ) 因为令( 1 2 ) 式中的向量y = f ，结合命题12 1 有 9 ( x ，) = 9 ( 曲x ，咖f ) + 1 ( x ) ，7 ( ) = q ( x ) 2 9 ( 西x ，y ) = g ( x ，c y ) 因为由( 1 2 ) 式有 g ( i j 5 ( 咖x ) ，毋y ) = 9 ( 曲x ，y ) 一q ( x ，y ) = 9 ( 妒x ，y ) 而 g ( 扩x ，y ) = g ( - x 十q ( x ) ，母y ) = 9 ( 一x ，c y ) + 日( x ) 9 ( ，咖y ) = 9 ( 一x ，c y ) + q ( x ) 1 庐( y ) = 一9 ( x ，庐y ) ( 1 3 ) 故9 x ，y ) = 一9 ( x ，c y ) ，称曲是斜对称的。 在一个有( 识 ，q ，p ) 结构的流形2 “十1 上面可以找到一个非常有用的局部标准正交 基。令【是一个坐标邻域，在上取一个与正交的单位向量x t ，那么由必= 0 和是斜 对称的司+ 知咖x 也是与x 。都正交的单位向量。现在，再在上取一个与，x l ，毋x l 都正交 的单位向量恐，那么咖尥是与，x l ，曲x 1 ，恐都正交的单位向量，一直这样进行下去，可 7 余辛漉形及其半不变子流形 以得到一组局部标准正交基： f 墨，焉4 4 = c x i ， i = 1 ，2 ，- ，n 称之为西标准基。 假设m 2 n + 1 有一个殆切触结构，令g 是一个相容度量，那么定义m 2 ”1 上的2 形 式西为： 圣( x ，y ) = g ( x ，毋】，) ， 由西斜对称性立即可以得到西的斜对称为： 垂( x ，c y ) = 西( 毋x ，西2 y ) = 一西( 毋x ，y ) 把西称为殆切触度量结构( 曲，目，g ) 的基本2 形式。 设m 2 ”1 是殆切触结构( 以f ，”) 的殆切触流形，考虑流形膨2 ”1 r ，用( x ，岳) 表 示m 2 “+ 1 且上的向量场，其中x 与m 2 “+ 1 相切，t 是r 的坐标参数，是m 2 “+ 1 r _ 上 的g o 。函数，定义m “+ 1 r 上的近复结构，： j ( x ，爰) = ( 曲x 一代，q ( x ) 爰) 易得j 2 = - i 。女果j 是可积的，则称殆切触结构( ，叩) 是正规的( 2 ) 。 正如j 的n i j e n h u i s 量为0 是- 口4 积性的充分必要条件，在这也试图用西的n i j e n h u i s 张 量来表示正规化条件，吲为 工卅是( 1 ，2 ) 型张量场，对m “上的向量场x 和y ，满足运 算 z 川( ( x ，o ) ，( y ，o ) ) 和mj j ( ( x ，o ) ，( 0 ，岳) ) 【u 胡( ( x ，o ) ，( r o ) ) = 一 ( x ，o ) ，( y l o ) 】+ 【( 毋x ，叩( x ，磊t , ) ，( 曲y q ( y ) 羞) 一l ， ( x ，”( x ) 墨) ，( o ) j ， ( x ，o ) ，( ”( y ) 爰) = - ( i x ，y ，0 ) + ( 【庐x ，c z ，( c x q ( y ) 一y q ( x ) ) 杀) ， 一( 【曲x ，y + ( y q ( x ) ) f ，q ( 渺x ，y 】) 杀) 一 一( 庐【x ，y 一( x q ( y ) ) f ，1 ( 陋，曲y ) 杀) ， = ( 睁，纠( x ，y ) + 2 d v ( x ，】，) ，( ( l t x 叩) ( y ) 一( r ) ( x ) ) 豢) 工j 1 ( ( x ，o ) ，( o ，爰) ) = 一 ( x ，o ) ，( o ，爰) 】+ ( 咖x ，卵( x 面d ) ，( 一，o ) j 一， ( 咖x ，q ( x ) 羞) ，( o ，羞) 】一j ( x ，o ) ，( 一，o ) = ( 一眇x ，臼，( x 。t t ；) + ( 曲 x ，副，q ( x ，刳) 羞) = ( ( 也毋) x ，( 乓口( x ) 景) ) ( 14 ) 这样我们定义4 个张量v ( ”，( ”，( 扪，n 4 分别为 n ( 1 ) = 胁叫( x ，y ) + 2 d v ( x ，y ) n 【2 ) = ( l c x q ) ( y ) 一( l c y7 7 ) ( x ) 8 余辛流形及其半不变子流形 ( 3 ) = ( 4 ) x n 【4 j = ( k ) x 一个殆切触结构( 咖，q ) 称为正规的当且仅当上述4 个张量全为0 。 对于张量( ”，( ”，( ，( 4 ) 有( 【2 j f 3 】) ： 命题1 2 4 ：设( ，v ) 删t t 结构，则( 1 ) = o r 含( 2 ) = ( 3 ) = ( 4 ) = 0 。 由上述命题可知一个殆切触结构( ，f ，q ) 是正规的当且仅当( 1 ) = 0 ，即 【，纠+ 2 d r o = 0 接下来我们给出( 1 ，1 ) 型张量场毋的协变微分， 命题1 2 5 ：设( 疵f ，r , 夕) 是殆切触结构，则莎的协变微分由下式给出： 2 9 ( ( v x 毋) z ) = 3 d 币( x ，妒妒z ) 一3 d 中( x ，y ) z ) + 目( ( 1 ( x ) ，咖x ) + ( 2 ( y 1z ) n ( x ) + 2 d n ( f 。r ) 叩( z ) 一2 d , 7 ( 毋z ，y ) 叩( y )( 1 6 ) 1 3s a s a k i a n 流形 上世纪七，八十年代，人们对殆切触流形进行黎大量的研究，其中，s a s a k i a n 流形和 余辛流形是两类重要的殆切触度量流形。 定义1 3 1 ：设肪是( 2 m + 1 ) 维流形，有殆切触结构( 咖，q ，g ) ，若对砑匕的任意向景 场x ，y 有 d n ( x ，y ) = g ( x ，咖y ) ， 则称( ，f ，口，9 ) 为切触结构。若切触结构是正规的，则称为s a s a k i a n 结构，称庸为s a s a k i a n 流 形。 关于s a s 北i a n 流形我们有下面的命题( 1 3 ”： 命题1 3 1 一个有殆切触度量结构( 咖，q ，g ) 的流形m 是s a s a k i a n 流形的充要条件是 ( v x ) y = g ( x ，y ) 一v ( y ) x( 1 6 ) 其中v 为度量口的黎曼联络。 证明：若m 是s a s a k i a n 流 9 ，由定义1 3 1 可知，殆切触度最结构( 西，1 ，g ) 是正规 的，即西= d q ，( 1 ) = 0 ，( 2 ) = 0 ，因此由公式( 1 5 ) 有 9 ( ( v x 庐) z ) = 圣( 咖x ) q ( z ) 一垂渺z ，x ) 口( x ) = 9 ( x ，y ) q ( z ) 一9 ( x ，z ) ”( y ) = g ( g ( x ，y ) 一q ( y ) x ，z ) 反之，若殆切触定理结构( ，f ，7 ，们满足式( 1 6 ) ，令y = f ，则有 一曲v x zq ( x ) 一x 因此应用西得， v x = 一曲x 余辛流形及其半不变子流形 叉因为西是斜对称的，故有 d q ( x ，y ) = 言( ( v x 日) ( y ) ( v p ”) ( x ) ) = 9 ( v x f ，y ) = 一目( 曲x ，y ) = 中( x ，y ) 由上式可知殆切触度量结构( 妒，q ，9 ) 是一个切触度量结构，又由公式 f 毋，c j ( x ，y ) = ( 西v y 一v 口) ，) x 一( 咖v x 一v , x o ) y 和式( 1 6 ) 我们得到 p ，纠+ 2 d r o f = 0 即证得殆切触度量结构( 氟”，目) 是正规的切触结构。 于足，我们得到关于s a s a k i a n 流形的另一等价定义： 定义1 3 1 + ：设m 是( 2 m + 1 ) 维流形，有殆切触结构( 曲，f ，即，g ) 场x ，有 ( v x 西) y = g ( x ，y ) f 一目( y ) x 则称m 为s a s a l d a n 流形，其中v 是黎曼度量9 的黎曼联络。 口 若对m 上的任意向量 ( 1 7 ) 命题1 3 2 设流形肼是s a s a k j 8 n 流形，若单位向量场x 正交于结构向量场f ，则有 r x e x = 一f 证明：因为对任意得向最场y 有 g ( r x c x ，y ) = - g ( r x r ，x ) 2 一g ( v x v r 一v r v x 一v x ，l ，1 f ，x ) = 一目( 一v x c y 十v 1 ，庐x + 肖，y 】，x ) = k ( v x 咖) r ( v r 庐) x ，x ) = 9 向( y ) x ”( x ) x ) = 一叼( y ) = g ( 一，y ) 故命题得证。n 推论1 3 1 设流形m 是有殆切触结构( ，q ，9 ) 的s a s a l ( i a n 流形，则对于任十i 含有结构 向量场的平截面，其截面曲率都是1 。 证明：设平截面是由单位向量x 和张成，则由命题13 2 可知，j r x f 又= 一， 故g ( a x g ，x 1 = 1 。 最后，我们给出殆切触流形的例子。 例m 2 “r l 发m 2 “是有近复结构，的近复流形，我们考虑流形2 n + l = m 2 n r 。取n 扩2 n + 1 上的 一个向量场为( x ，s d ) ，其中x 是m 2 ”上的切向量场，t 是r 的坐标参数，r 是m 2 n + 1 上的 1 0 余辛流形及其半不变子流形 可微函数。记q = d t ，= ( o ，d t ) 和( x ，矗) = ( j x ，o ) ，则( 西，q ) 是m 2 “_ 1 上的殆切触结 构。 余睾流形及其半不变予流形 2 子流形 2 1 黎曼曲率张量 定义21l 设m 为m 维光滑流形，m ) 为m 上得光滑向量场空间，m 上得一个仿射 联络是一个映射： d ：朋 m ) x ( m ) 一x i m ) ，( x ，y ) 一v x 使得对任何x ，y ，z 石( m ) 和任意，h c ”( m ) ，满足以下条件 ( i ) v l x + h y z = f v x z + h v v z ( i i ) u x ( f x + h y ) = ( x f ) y + f w x y 十( x h ) z + h v x z v x y 称为y 关于x 的共变导数或协变导数。 定义2 1 2 设v 为黎曼流形( m ，9 ) 上的线性联络，如果再满足： ( 1 ) 挠曲率张量场t = 0 ，即 v x y v y x 一，y _ 0 f 2 ) 度量相容的，即 x t z g ( x ，y ) = g ( v z x ，y ) + g ( x ，v z y )( 2 1 ) 则称v 为( m ，g ) 上的黎曼联络。 f 21 ) 式等价于 ( v o g ) ( x ，y ) = v z g ( x ，y ) 一g ( v z x ，y ) 一g ( x ，( v z y ) ) = 0 或对任意的向量场z ，有v z g = 0 。 设( 府，9 ) 是黎曼流形，对府上的仟意向量场x ，y 1 z ，w ，定义曲率算子r ( x ，y ) 和曲 率张量r 为： r ( x ，y ) z = v x v y z v y v x z v x ，v z ( 2 2 ) r ( x ，y ) z ，w ) = g ( r ( z ，w ) y ，x ) 它们对刻画黎曼流形的几何性质是十分重要的。首先我们有： 命题2 1 1 对任意的向量场x ，y 1z ，曲率算予和尚率张量具有卜述关系式： ( ) r ( x ，y ) z + 兄( y l x ) z = 0 ( 越) r ( x ，r ) z + 尺( y ) z ) x + n ( z ，x ) y = 0 ( i i i ) r ( x ，y 1 z ，w ) = - r ( y x ，z ，w ) = 一r ( x ，y ) 彤z ) ( 如) r ( x ，r z ，w ) = r ( z ，彬x ，y ) 证明： 由( 2 2 ) 式即得关系式( i ) 。 又由( 2 2 ) 式，v 的无挠性及向最场的j a c o b i 恒等式得 r ( x ，y ) z + r ( z ) x - t - r ( z ，x ) y 1 2 余辛流形及其半不变子流形 = v x ( v l , z v z y ) + v r ( v z x v x z ) + v z ( v x y v r x ) 一v f x ，z v 【r z r v 【z x 】y = 【x ，瞰别j + 瞰f z ，x 】+ z ，【x ，y 】 = 0 这就是关系式( 乱) 。由证明过程可见，关系式( i ) 和( 乱) 对任意对称仿射联络均成立。关系 式) 称为第- - b i a n c h i 恒等式，特别对于黎曼联络，它可以表示成 ( 曲) + r ( w i z ，x ，y ) + r ( i e x ，z ) + r ( w ：y ，z ，x ) = 0 关系式( i i i ) a 自r ( x ，y ) = r ( x ) 和黎曼联络v 保持黎曼内积的性质得到。 最后类似于( t ) + 可有另外三式 r ( x ，y f z ，w ) + r ( x ，z ，w y ) + r ( x ，彤z ) = 0 r ( y ) z ，睨x ) + r ( y w x ，z ) + r ( y ，x ，z ，w ) = o n ( z ，眠x ，y ) + r ( z ，x ，w ) + n ( z ，彬x ) = 0f 2 3 ) 将以上三式相加，利用( i i i ) b p 得关系式( 2 口) 。 设e l ，e 。是一般局部标架场，记k l = r ( e l ，e j ，e k ，e f ) ，我们有分量形式的关系式 推论21 1 对于1st ，j ，f n = d i m m ，有 f ( t ) r j 纠+ r k “+ r f 北= 0 ( “) p , 4 j k t = 一r ，删= 一r 州k l ( 谢) r 川= r k f i j 设( 彳旧) 为黎曼流形，x ，y 是正m 中两个线性无关的向量，它们张成b m 中得一个 二维子空间e ，e l m ，称为在p 点由x 和y 张成得平截面。设x l ，h 是e 中另外二线性 无关得向量： x l = a x + b y , h = 碳+ d g , r = a d + b c 0 则由于曲率张量r 是四重线性的，故有 r ( x i ，m ，x t ，m ) = r 2 r ( x ，f x ，y ) 再定义一个( 0 ，4 ) 型张量 c ( x ，y z ，w ) = 一 有 g ( x 1 ，m ，x l ，m ) = r 2 ( x ，f x ，y ) = 7 , 2 ( | | x1 1 28 y1 | 2 一 2 ) ( 2 4 ) n c c r ( x ，y 1x ，y ) g ( x ，y 1x ，) 仅与e b m 有关，而与x ，y 在e 中的选择无关。 定义2 1 2 设口正m 是一个平截面， j ( f ) = x ，y 为e 中任意二个线性无关的向量，则 r ( x ，y 】x ，y ) c ( x ，y ，x ，y ) 称为黎曼流形( m ，9 ) 在p 点关丁平截而e 的截而曲率，简称截曲率。 余辛流形及其半不变子流形 特别，如果x ，y 为单位向量并且相互正交，则上式简化为 k ，( e ) = r ( x ，x ，y ) 对于截面曲率，我们有下述定理( 1 4 】) 定理2 1 1 若d i m m = 2 ，则截面曲率即为m 的g a u 8 8 率：若d i m m 3 ，则m 在p 点的曲率张曩由其在p 点的所有的截面曲率难一确定。 定义21 3 设( m ，9 ) 为黎曼流形，若m 勘点的截面曲率玛( e ) 为定值，即与平