（基础数学专业论文）具有常余维数2k6不动点集的（z2）k作用.pdf

具有常余维数2 k + 6 不动点集的( z 2 ) k 作用 摘要 设：( 易) m “_ m ”是群( 易) 。= 五，正，死i 砰= 1 ，丑乃= 乃正) 在礼 维光滑闭流形m n 上的作用，群( 易) * 由七个可换对合生成作用的不动点集 f 是 p 的有限个闭子流形的不交并若f 的每个分支具有常维数礼一r ，则 称f 具有常余维数r 令最。是具有下述性质的未定向的礼维上协边类a 。构 成的集合：n 。存在一个代表元 扩以及群( 玩) 在m “上的作用，使得作用的 不动点集f 有常余维数r 墨。= 。，靠，。是未定向上协边环m o 。= 。，。m 的理想在本文中，我们通过巧妙地构造流形m ，使其所在的上协边类不可分 解，从而可以作为上协边环m o + 的生成元，并在m 上定义适当的( 历) 作用 使其不动点集f 具有常余维数r ，决定了未定向上协边环m o 。的理想j 拳6 同时，对于= 2 的情况利用同样的方法决定了群露4 m 1 _ 3 ) 关键词：上协边类；( 磊) t 作用；不动点集；射影空间丛 分类导m c s ( 2 0 0 0 ) 5 7 r 2 0 ，5 7 船5 c l cn u m b e r ：0 1 8 9 3 塑韭堑垫叁兰塑主曼塾皇堂垒堂皇 i i ( 汤) 2 一a c t i o n sw i t hf i x e dp o i n ts e to fc o n s t a n t c o d i m e n s i o n2 七+ 6 a b s t r a c t l e t 妒：( 易) 。m “一m “d e n o t e a s m 0 0 t h a c t i o n o f t h e g r o u p ( 易) o = 五，孔i 砰 = 1 ，互乃= 乃正) o na c l o s e dm d i m e s i o n a lm a n i f 0 1 d p h e r e ( 易) i 8c o n s i d e r e d 船 t h eg r o u pg e n e r a t e db y 南c o m m u t i n gi n v o l u t i o n 8 t h e 丑x e dp o i ts 战，o ft h ea c t i o no f ( 玩) 如o nm ”i sad 蚓o i n tu n i o no fd 0 8 e ds u b m a n 渤l d so fm “，w h i c ha r ef i n i t ei nn u m - b e r i fe a c hc o m p o n e n to ffi so fc o n s t a n td i m e n s i o n 礼一r ，w es a yt h a tfi so fc o n s t a n t c o d i m e n s i o nr l e t 靠七d e n o t et h es e to f 伽d i m e n s i o n a lc o b o r d i s mc l a s sa nc o i i t a i n i n ga r 印r e s e n t a t i v em ”a d m i t 恤ga ( 邑) 一a c t i o nw i t hf i x e dp o i n t8 e to fc o n s t a n tc o d i m e n s i o n r z = n r 靠， i sa ni d e a lo ft h eu n o r i e n t e dc o b o r d i s mr i n gm d 。= n om 0 n i n t h i sp a p e r ，w ed e t e r m i n e 嚣6b yc o n s t r u c 髓n gi n g e n i o u s l yi n d e c o m p o s 珏b l em a n i f 0 1 d sm ， w h i c hc a nb eg e e r a t o r si nm o ，a n dd e 矗n i n ga p p r o p r i a t e ( 邑) 七一a c t i o no nm m e 柚 w h i l e ，f o r 忌= 2 ，w ed e t e 咖i n e 靠4 m 1 3 ) b yt h es 锄em e t h o d k e y w o r d s ：c o b o r d i s md a s s ；( z 2 净a c t i o n ；缸e dp o i n ts e t ；p r o j e c t i v es p a c eb u n d i e 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 引言 微分拓扑学是随着代数拓扑学与微分几何学的进步自二十世纪三十年代 兴起的一门新的数学分支它是研究微分流形在微分同胚映射下不变性质的 数学分支研究的基本对象是微分流形以及这样的流形之间的可微映射 微分拓扑学可溯源于2 0 世纪2 0 一3 0 年代，此时拓扑学获得重大进展首 先是出现复形的同调群，它由a l e k s a n d r o v ，v i e t o r i 8 ，e d u a r dc e c h 所完成 1 9 3 1 年，瑞士的g e o r g e s w i l l i a md er h a m 发现多维流形的微分形式和流形上同调性 质有联系1 9 3 2 年，h c a r t a n 将拓扑学方法用于解决多元复变函数论的基本 问题1 9 3 4 年，美国的m 0 r s e 创建大范围变分理论1 9 3 5 年，波兰的h u r e w i c z 引入同伦群稍迟，e i l e n b e r g 引入阻碍类概念1 9 3 7 年，美国的w h i t n e y 证 明微分流形的嵌入定理，正式创立微分拓扑学1 9 5 6 年，m i l n o r 发现7 维球 面上有不同寻常的微分结构接着，1 9 5 8 年，k e r v a j r e 又发现了不能赋予微 分结构的流形从而确立了微分拓扑学作为一个独立的拓扑学分支的地位 微分拓扑学的研究对数学的各个领域及其它学科领域不断渗透，并相互 结合，相互作用例如，六十年代初，s m 出e 开始的微分动力系统理论就是流 形上的常微分方程论同时，a t i y a h 等人也创立了微分流形上的椭圆型算子 理论著名的a t i y a h s i n g e r 指标定理把算子的解析指数与流形的示性类联系了 起来，这是分析学与微分拓扑学结合的范例另外，t h o m 以微分拓扑学中微 分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种 模式，它在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有许多应用最后在经济 学方面，对于经济的数学模型、均衡的存在性、性质和计算等根本问题都离 不开微分拓扑学 r t h o m 的协边理论开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许 多困难的微分拓扑问题被转化为代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代 数拓扑学的进一步发展从八十年代开始，吴振德教授带领他的学生开始了 协边理论的研究，并取得了许多重要的成果 对群在流形上作用的研究几乎与微分拓扑的历史一样长，b r o u w e r 的不 动点定理即为最早的例子模2 整数加群磊在微分流形上的作用，简称为对 塑些! 堕垫叁堂塑堑塞圭堂堡堕塞 2 合，是一种十分重要的情形吴振德教授从多方面对这一问题作过了深入的 研究 到目前为止，虽然磊在微分流形上作用的研究已得到很多结果，但是关 于群( 忍) 伪2 ) 在微分流形上作用的研究结果还不完善。作者在王彦英教授 指导下，结合协边理论对具有( 邑) t 作用的流形及不动点集的性质开展研究 这些研究，从数学内部讲，有着重要的理论意义，因为它与许多数学问题密 切相关例如，不动点数据完全决定流形的( 等变) 协边类( 【8 | ) ，而协边理论又 与拓扑k 理论有着密切关系 下面介绍一下本篇文章所涉及的概念和记号 设：( 忍) 2 m ”斗 p 是群( 易) 5 = 五，正，靠l 矸= 1 ，互乃= 乃五) 在光 滑闭流形m “上的作用，由【7 知作用的不动点集f 是m n 。的有限个闭子流形 的不交并如果f 的每个分支具有常维数礼一r ，则称f 具有常余维数r 令 靠。是具有下述性质的未定向的站维上协边类口构成的集合：口存在一个代 表元m “以及群( 易) 在 p 上的作用，使得作用的不动点集f 恰为n r 维 闭子流形p 一对固定的r ，七，记墨。= 。以 由【9 】知靠，。是未定向上协 边群m 仉的子群，矗是上协边环m 瓯= 。 o m o 。的理想，且矗k j ：- ， 墨。疋j 采由【7 】可知未定向上协边环m o 。是邑上的多项式代数，在每个 不是2 “一1 形式的维数上有一个生成元上协边类【 p 】称为可分解的，如果 它可以表示为更低维上协边类的乘积之和；否则称为不可分解的不可分解 的上协边类可取作m d 。的生成元 s t o n g 在文章f 1 0 中提出了计算墨。的问题对于这一问题，c o n e r 和f l 州 已经证明了矗，= ( o ) 【1 1 】s t o n g 在 1 0 】中计算了置。，c a p o b i a n c 0 在文1 1 2 】 【1 3 】中 决定了墨。和曩t ，而墨t ，墨。，薯l ，墨。则分别由1 w a 土a f l 4 】，w 甜a f l 5 】 吴振德f 1 6 】和 k i k u c h i 【1 7 】所决定 1 9 9 2 年p i l q p e r 曲e r f 9 】开始考虑惫 1 的情形他证明了以 = ( o ) ， 包 含所有维数不小于2 的类r j s h a k e r 在 1 8 】中讨论了o r 1 时，兄p ( n 1 ，钆。，m ) 不可分解的充要条件是 ( 扎：一2 ) + ( 竹乞一2 ) + 一+ ( 似+ 二一2 ) 三m 。d z 其中n = n 1 + 礼2 + + m 流形r p ( 扎1 ，几2 ，m ) 的维数为n + ：一1 当n = n m = = m = o 时， r p m l ，扎2 ，n f ) 简记为冗p 1 ，坳，啦；f ) 为计算示性数的方便，在此指出u 仃m e r 的结果：设 l m = 挑2 = o l n = m 2 = 0 其中。s 她 1 ，那么( ：) 三1 m d d2 的充要条件是对任意i ，有m 茎m f 文 2 3 】中定义了广义d o l d 流形对拓扑空间x 及正整数m ，定义s “x x 上的对合t 为：t ( u ，z ，可) = ( 一乱，可，茹) ，将商空间x 别t 记为p ( m ，x ) 若 x 为n 维流形，则尸( m ，x ) 为m + 2 n 维流形并证明了 引理2 2 【t 羽 p ( m ，m n ) 】为m o 。中的不可分解元当且仅当m “】不可分解且 二：1 ) _ - 删z 引理2 3 f 2 4 】若【m 1 不可分解且竹一r r 2 r m 2 ，m 1 6 河北师范大学硕士研究生学位论文 由 1 8 ；5 1 】，存在不可分解元x j 冬： 3 设m 为x 的代表元，使得m 上 有( 易) 作用，其不动点集为f ，且d i m = 学一( 2 一1 + 3 ) = 贮譬二旦 令。= 【p ( 2 ，m ) ，因为m 是不可分解的，且 ( 2 乏。) = ( 1 + 等一) = ( 2 - 1 + 2 “一1 + i 一十2 “一1 + 1 ) 三1 、r n o d2 7 由引理2 2 知如是不可分解的。 在s 2 m m 上定义对合如引理3 1 ，其不动点集为f ，f = s 2 f ，f ，t ，且 d i m f = 2 + 贮挚+ 竖笋= 佗一2 一6 ，故存在不可分解元z 。= 尸( 2 ，m ) 】露6 ( 2 ) n = 2 七+ 2 1 + 2 n + + 2 h ，七 r l r 2 r m 2 ，m 2 ， ( i ) m 3 或m = 2 且r m 一1 4 时 此时一定有2 ”1 + + 2 r m l 一1 6 ，因此o 2 2 1 一2 r m 一一1 + 6 2 由【1 8 ；】，存在不可分解元x j 冬盖：j 1 _ 2 “- 1 “+ 6 设m 为x 的代表 元，使得肘上有( 易) 卜1 作用，其不动点集为f ，且 d i m f ，：华一( 2 一1 2 r 一1 一一2 r m 一一l + 6 ) ：2 r t + 2 r 。+ + 2 r 。一6 设g ，i = 1 ，2 ，角一1 为m 上的( 邑) 一1 作用 令。= 【p ( 2 “，m ) 】，因为m 不可分解，且 ( 2 “嚣一) = ( 2 埘一+ 等l 一+ “) 础 所以由引理2 2 知。不可分解在s 。“m m 上定义可换对合乃，噩，砟 如下： 丑( t ，。，s ，) = ( “，茁) 冠( u ，z ，掣) = ( u ，曩( z ) ，矸( 掣) ) 7 塑韭! i 垫杰堂塑主塑塞皇堂垡煎圭 8 死( 缸，。，! ，) = ( 扯，一l ( z ) ，一l ( 可) ) 这些对合都与t 可交换，因而在p ( 2 r m ，蚴上导出相应的对合，其不动点集为 f = s 2 “x ( f ，f ，) t ，且出m f = 出m + 2 r m = n 一2 一6 故存在不可分解元 g 。= l p ( 2 m ，m ) 】靠6 ( i i ) 当m = 2 且r 1 = 3 ，也= 2 时，即竹= 2 + 2 3 + 2 2 = 2 + 1 2 时 ( 口) 当七5 时，令z 。= 【兄p ( 1 5 ，1 5 ；2 一1 7 ) ，因为 ( 2 之1 1 ) + ( 2 二1 1 ) + c z 女一z 一。，( 2 言1 1 ) 由引理2 1 知是不可分解的 在r p ( 1 5 ) 上定义( 磊) 2 作用m ，乃) 如下： n 【z l ，z 1 6 】= 【一。1 ，一z 8 ，石9 ，茹1 6 】 乃陋i ，茹1 6 = 【一茁1 ，一茁4 ，z 5 ，。8 ，一z 9 ，一茁1 2 ，卫1 3 ，z 1 6 丑，乃可交换，其不动点集为4 个r p ( 3 ) 的不交并，设( 局) o 平凡作用在其它因 子上，且有2 2 + 2 2 + ( 2 一1 9 ) 2 0 = 2 一1 l 2 所以由引理2 4 知且p ( 1 5 ，1 5 ；2 一1 7 ) 上的( 而) 作用的不动点集的维数为3 + 3 + ( 2 一1 7 2 ) o = 6 故存在不可分 解元。= 兄p ( 1 5 ，1 5 ；2 。一1 7 ) 】蓐嚣 ( 6 ) 当南= 4 时，令z 。= 陋p ( 1 7 ，1 ；1 1 ) 】， ( 2 4 ：1 1 ) + ( 2 4 ：1 1 ) + c - ，一z ，( 2 4 言1 1 ) 三( 2 4 + i ：+ 1 ) + + ， 由引理2 1 知。是不可分解的由【2 6 ；2 5 】，此时f _ 1 l ，m = 5 ，七= 4 ，z + 3 = 1 4 r l 3 ( i ) 若r 1 4 ，令$ 。= 陋p ( 2 n 一2 + 1 1 3 ，l ，1 ；2 + 1 一n + 1 2 ) 】，由 2 7 ；2 3 】此时 f = 2 + 1 n + 1 2 ，m = 扎一2 南一7 ，p = o ，且z + 2 = 2 七+ 1 2 一2 n + 1 4 = 2 七一2 7 1 + 1 4 2 七， 立型旦! 坠堂塑堡塞皇茎垒丝塞9 所以z 。j 器卅1 = 露6 下面验证是不可分解的 n 一1 = 2 + 2 1 1 + + 1 2 n 一2 + 1 1 3 = 2 + 1 + 2 九+ l 一2 七十i 一1 3 = 2 l + l 一1 3 = 2 1 + 1 2 3 2 2 1 = 2 “+ + 1 2 3 2 2 = 2 7 1 + 。+ 2 4 + 2 + 1 考虑2 扎一2 一1 3 的二进制分解式中2 r z 这一项在n l 的分解式中未出现， 所以 k 奠。) 三d z 而且 ( n j1 ) 三，删z c z k + 1 一n + - 。一。，( n ：1 ) 三- m 。d z 所以 ( 。n 一乏二j 一。) + ( 托i 1 ) + ( 行：1 ) + c 。 + l n + z s ，( n ：1 ) 所以由引理2 1 知z 。是不可分解的故存在不可分解元z 。： 冗p ( 2 n 一2 一 1 3 ，1 ，1 ；2 + 1 一亿+ 1 2 ) 】露6 ( i i ) 若r l = 3 ，此时礼= 2 + 8 ，七4 ( 口) 当后5 时，令。= 【r p ( 1 7 ；2 一8 ) 】，在兄p ( 1 7 ) 上定义( 磊) 3 作用 n 茁l ，。2 ， 易陋1 ，岱2 ， z 。，z l o ，z 1 8 】 = 卜z 1 ，一z 2 ，一z 3 ，z 4 ，z 5 ，z 6 ，z 7 ，茗8 ，z 9 ，一z l o ，一茹1 1 ，一$ 1 2 ，七1 3 ，。1 4 ，z 1 5 ，茁1 6 ，z 1 7 ，。1 8 l 码【z l ，9 2 ，- i z l 8 】 = 【z 1 ，z 2 ，茹3 ，一。4 ，一$ 5 ，z 6 ，9 7 ，茁8 ，。9 ，g l o ，z 1 1 ，茹1 2 ，一z 1 3 ，z 1 4 ，一。1 5 ，1 6 ，。1 7 ，z 1 8 】 l 茹 = 埔 璩 o o 塑j ! 塑堇盘堂塑主堡塞圭堂垒熊圭 1 0 其不动点集为6 个r p ( 2 ) 之不交并设( 易) o 平凡作用在其它因子上，且2 3 + ( 2 一9 ) 2 0 = 2 一1 2 ，由引理2 4 知茁。= r p ( 1 7 ；2 一8 ) 露6 下面验证茁。是不可分解的 由于5 ，1 7 的二项式分解式中2 4 这一项在2 。+ 7 的分解式中未出现，所以 ( 2 7 7 ) 枷 而且 渺叫( 2 j7 ) 砒 所以 ( 2 77 ) + c 。一。，( 2 j7 ) 兰。+ t 三t m 。dj 由引理2 1 知z 。不可分解故存在不可分解元z 。= 【即( 1 7 ；2 一8 ) 】露6 ( 6 ) 当七= 4 时，令。= 【艘( 2 0 ；5 ) 】，在r p ( 2 0 ) 上定义沥) 3 作用，乃，码) ： 孔k 1 ，。2 ，一，z 2 1 】= 【一z l ，一z 2 ，一z 3 ，z 4 ，。5 ，z 6 ，一卫7 ，一茁8 ，一茁9 ，z l o ，z 1 1 ，z 1 2 ， 一z 1 3 ，一岱1 4 ，一。1 5 ，。1 6 ，。1 7 ，1 8 ，一$ 1 9 ，一茁2 0 ，一。2 l 】 死【。l ，$ 2 ，口2 1 】= 一茹1 ，一茁2 ，一茁3 ，一。4 ，一9 5 ，一$ 6 ，z 7 ，石8 ，$ 9 ，z l o ，茁1 1 ，。1 2 ， 一$ 1 3 ，一$ 1 4 ，一岱1 5 ，一。1 6 ，一石1 7 ，一茹1 8 ，茹1 9 ，茹2 0 ，茁2 l 】 乃k l ，。2 ，- 一，z 2 l 】= 【一石1 ，一9 2 ，一z 3 ，一z 4 ，一z 5 ，一。6 ，一z 7 ，一。8 ，一贯9 ，一。l o ，一z l l ，一茁1 2 ， z 1 3 ，z 1 4 ，z 1 5 ，z 1 6 ，z 1 7 ，z 1 8 ，。1 9 ，z 2 0 ，茹2 l 】 其不动点集为7 个r p ( 2 ) 之不交并设( 历) o 平凡作用在其它因子上，且2 3 + ( 5 1 ) 2 0 = 1 2 2 ，由引理2 4 知z 。= 【r p ( 2 0 ；5 ) 矗6 而且 ( ：) + a ( 苫) 三一+ 。三，m 。d z 河北师范大学硕士研究生学位论文 由引理2 1 知。不可分解故存在不可分解元z 。= f r p ( 2 0 ；5 ) 】以6 证毕 引理3 3 对忌3 ，2 川礼 2 枷，n 1 6 ，且扎为偶数，存在不可分解元 。以6 证明考虑以下几种情况 ( 1 ) 2 + 1 n 2 + 1 + 2 ，后4 ，礼为偶数 令口。= 【r p ( 2 。+ 1 ，1 ，n 一2 一2 一1 6 ；2 一1 十5 ) ，由【2 7 ；2 3 】此时2 = 2 k 一1 + 5 ， m = 2 肛1 ，p = o ，且f + 2 = 2 一1 + 5 + 2 = 2 2 1 + 7 2 ，所以z 。联舛。“= 靠6 下面验证z 。是不可分解的 ( i ) 当礼= 2 + 1 时， 礼一1 = 2 + 1 1 = 2 。+ + 1 当5 时，礼一2 。一2 一1 6 = 2 一1 6 = 2 女一2 + + 2 3 + 2 ， 当七= 4 时，n 一2 一2 一1 6 = 2 一1 6 = 2 ， 所以 ( ：) 三一( 一墨一6 ) 砒 又因为 ( n ：1 ) 三一”。d 。，c 。t 一1 + s s ，( n ：1 ) 兰。”。d 。 所以 ( 引+ ( n ：1 ) + ( 薯一。) 坤( 礼：1 ) 所以由引理2 1 知z 。不可分解 ( i i ) 当2 七+ 1 r 2 o ，m 1 刖：时n l = 2 + 1 + 2 r + + 2 r m t + 2 r m 一1 + + l ，因为七 r 1 ，2 在扎一1 的二进制分解中未出现，所以 ( 姜：) _ 。删2 1 1 河北师范太学硕士研究生学位论文 应用公式( 扎二m ) = ( 二) 又因为 同样考虑2 可知 ( 。= 一。) = ( 。啪三0 。+ 。) 三。 ，住一1 、 ll 三1 m d d2 1 c z k l + s 一。，( 扎：1 ) 兰。”- 。d z 所以 ( 引+ ( 礼汁( 墨一。) 伸( n j1 ) 所以由引理2 1 知$ 。不可分解 ( i i i ) 当n = 2 + 2 时 考虑2 可得 应用公式 又因为 所以 礼一1 = 2 七十1 + 2 一1 = 2 + 1 + 2 七一1 + + 1 ，托一1 l。i 三om d d 2 2 8 + 1 n 二m ) = ( 爿 同样考虑2 可知 ( 嚣) = ( 。m 三，) 兰d z ，站一l il 三1 m o d2 1 渺s - 。，( 佗：1 ) 三d 。 ( 引+ ) + ( 0 一。) 坤( n ：1 ) 1 2 河北师范大学硕士研究生学位论文 三0 + l + 0 + 0 三lm o d2 所以由引理2 1 知g 。不可分解 ( 2 ) 2 + 1 n 2 + 1 + 2 ，七= 3 ，n 为偶数，丑p 礼= 1 8 ，2 0 ，2 2 ，2 4 ( i ) 若 = 2 0 或2 4 ，令z 。= 【r 尸( 17 i n 一1 9 ，o ) 】，因为当n = 2 0 或2 4 时都有 ( 竹二1 ) + ( ：二三) + ( 扎：1 ) 三一+ + ，三一m 。d z 所以由引理2 1 知z 。不可分解由f 2 6 ；2 5 】此时f _ 3 ，m = 5 且2 + 3 = 6 2 3 ，因 此石。露鬻“+ 1 = 矗冬= 露6 故存在不可分解元茁。= 冗p ( 1 7 ，竹一1 9 ，o ) 露6 ( i i ) 若n = 2 2 ，令卫。= 【r p ( 9 ，9 ，o ，o ，o ) j ，因为 ( n i1 ) + ( n ：1 ) + ( n ：1 ) + ( 佗：1 ) + ( 礼：1 ) 所以由引理2 1 知z 。不可分解由 2 7 ；2 3 】此时f = 5 ，m = 4 ，p = 4 且f + 2 = 7 2 ， 因此茹。j ：r 州+ 1 = 以冬= 舞6 故存在不可分解元z 。= 皿p ( 9 ，9 ，o ，o ，o ) 】 露6 ( i i i ) 若n = 1 8 ，令g 。= 【冗p ( 1 1 ，5 ，o ) 】，因为 ( n 二1 ) + ( 扎：1 ) + c z 一，一。，( 礼：1 ) 由引理2 1 知。是不可分解的 在r p ( 1 1 ) 上定义( 邑) 2 作用，乃) 如下： 噩 茁1 ，z 1 2 】= 【一$ l ，一正6 ，茹7 ，z 1 2 】 正【z l ，。1 2 j = f z 1 ，一茹3 ，z 4 ，。6 ，一z 7 ，一茁9 ，。1 0 ，z 1 2 】 丑，疋可交换，其不动点集为4 个咒p ( 2 ) 的不交并 在r p ( 5 ) 上定义( 磊) 1 作用t 如下： t 【。l ，z 6 】= 【一岔1 ，一z 3 ，z 4 ，$ 6 塑! ! 堑堇盎堂塑主堑塞生堂堡堕塞一1 4 其不动点集为2 个冗p ( 2 ) 的不交并设( 汤) o 平凡作用在其它因子上且有 2 2 + 2 1 + 2 0 ：7 2 3 所以由引理2 4 知【兄p ( 1 1 ，5 ，o ) 】上的( 历) 作用的不动点集 的维数为4 因此瑶。 6 故存在不可分解元z 。= 【冗p ( 1 1 ，5 ，o ) 】露6 ( 3 ) 2 k + 1 + 2 r m 1 ，m 2 记m = 倒若咒的二进制分解式中存在i ，使得如 以+ t + 1 ( i ) 若m p ，设km i n m 令p = 2 r 【+ - + 2 z + + 2 “ ( n ) 当p28 时，必有七5 ，”l + 1 3 ，n 5 取 z 。= 【r p ( 2 p + 1 ，1 ，礼一2 七一p 一6 ；2 七一p + 5 ) 】 由【2 7 ；2 3 】此时f = 缈一p + 5 ，m = p ，p = o 且i + 2 = 密+ 7 一p r m 1 ， = 1 ，m 一1 ，有n = 7 件l + 1 ，m 2 取 茁n = 【r p ( 2 + 1 + 1 2 7 m + 2 62 m + 2 6 2 2 礼一2 。“一2 7 m + 2 ，o ，o ) 由f 2 6 ；2 4 】此时z = 6 ，m = 2 。且f + 1 = 7 2 。，所以哪= 露6 下证。不可分解 所以 又由 n 一1 = 2 女+ 1 + 2 7 1 + + 2 m 一1 + 2 m 一1 + + 1 ， n 一1、 - + ，j 纠仇0 抛 n 一2 + 1 2 m + 2 = n 一2 + 1 2 m 一2 = 2 7 1 十+ 2 m 一3 + 2 m 一1 + 2 m 考虑2 r m 所以 又因为 所以 ， 一1 i ”一。一+ ，一z m + 。j 三o m 。d2 z ( 莩) 砒 ，n l 、 2i i 兰om d d 2 k o ( 。三一，) + z ( 莩) + ( 三o ) + 。( n ：1 ) 塑! ! 堑垫盘堂塑塑墨兰堂堡垒皇 1 8 三l + u + o + u 兰lm o d2 所以由引理2 1 知。不可分解证毕 引理3 4 对扎= l o ，i i ，1 2 ，露墨中无不可分解元 证明由引理2 3 直接验证可得。 引理3 5 对= 2 ，1 4 礼3 0 ，且礼为偶数，存在不可分解元露6 证明令巍= f 即( 学，学；1 5 ) 】，由引理2 6 知名。以因为 。( 军) 州s 叫( n ：1 ) 所以由引理2 1 知z n 是不可分解的故存在不可分解元。专【r p ( 学，学；1 5 ) 】 靠6 引理3 6 对= 2 ，1 3 o 令茹。= 【r 尸( 2 p ，n 一妒一1 4 ；1 5 ) 1 ，由 引理2 6 知z 。矗墨 下面证明不可分解 因为 所以 扎一1 = 2 9 ( 2 9 + 1 ) 一1 1 = 2 9 + 1 9 十铲一1 + + 2 ，札1 il 兰om d d2 汐 因为扎一1 是偶数，而行一炉一1 4 是奇数，所以 又因为 ， n 一1 、 li 兰om 甜2 n 一2 p 一1 4 叫( n i1 ) 兰z 删z 河北师范大学硕士研究生学位论文 所以 ( ”斗( n 二州s 叫( 扎i1 ) 兰o + o + 1 兰1 钉口o d2 ， 所以由引理2 1 知。是不可分解的证毕 引理3 7 对n = 8 ，9 ，1 0 ，罐。中无不可分解元 证明对札= 8 ，9 ，由引理2 3 直接验证可得对n = 1 0 ，由 2 8 l 可得 引理3 8 对七= 2 ，1 i 竹3 0 ，且扎2 ”一l ，n 1 2 ，存在不可分解元 z n 罐2 证明考虑以下几种情况 ( 1 ) 当n = 1 1 时， 由【1 9 】，可取不可分解元x 哦设m 为x 的代表元，使得在m 上有 ( 邑) 作用，其不动点集为f ，则d t m f ，_ 5 4 = 1 设z ，江1 ，2 ，七为m 上 的涵) 。作用 令= f p ( 1 ，肼) 】，由于嬲是不可分解元x 的代表元且 ( 1 ) = ( 删z 由引理2 2 知z 。不可分解在s ，m m 上定义可换对合丑，正如下： a ( u ，正，可) = ( u ，q ( z ) ，列( ) ) 噩( u ，茹，掣) = ( u ，z ( $ ) ，z ( 9 ) ) 这些对合都与t 可交换，因而在尸( 1 ，m ) 上导出相应的对合，其不动点集为 f = s 1 f ，f 7 t ，且威m f = 1 + 1 + 1 = 3 故存在不可分解元z 。= 【p ( 1 ，m ) 】碟 2 ( 2 ) 当礼= 1 6 时， 取$ 。= ( r p ( 1 1 ，2 ，1 ) j 由 2 6 ；2 4 j 此时f = 3 ，m = 5 且f + 1 = 3 + l = 4 2 ，所 以联= 碍一 下证z 。不可分解 1 9 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 l = 2 3 + 2 + 1 ( n 三1 ) + ( n ：1 ) + ( n i1 ) 三+ + ，三一m 。d 。 所以由引理2 1 知不可分解 ( 3 ) 当似= 2 7 时， 取石。= 【r p ( 1 0 ，6 ；1 2 ) 】，由引理2 7 知z 。嘏1 2 下证z 。不可分解 所以 礼一1 = 2 6 = 2 4 + 2 3 + 2 1 0 = 2 3 + 2 6 = 2 2 + 2 ( n ：1 ) + ( 竹：1 ) + c 。一。，( n ：1 ) 三+ 。+ 。兰研d z 所以由引理2 1 知z 。不可分解 ( 4 ) 当n = 2 8 时， 取g 。= 陋p ( 1 0 ，7 ；1 2 ) 】，由引理2 7 知$ 。嘏2 下证。不可分解 所以 n 一1 = 2 7 = 2 4 + 2 3 + 2 + 1 1 0 = 2 3 + 2 7 = 2 2 + 2 + 1 ( 竹二1 ) + ( 住；1 ) + c z 一。，( 扎i1 ) 三一+ 。+ 。三，m 。d 。 河北师范大学硕士研究生学位论文 所以由引理2 1 知z 。不可分解 ( 5 ) 当1 3 扎3 0 ，n 1 6 ，2 7 ，2 8 且n 2 “一1 时， 取z 。= f r p ( n 1 1 ；1 2 ) ，由弓l 理2 7 知茁。嘏。 下证z 。不可分解 应用公式 f 竹1 ： n m m ( ：二土) = ( n 二1 ) = ( 二：) 因为当1 3s 札3 0 ，n 1 6 ，2 7 ，2 8 且n 掣一1 时，n 一1 的二项式分解式中2 3 和2 至少有一个未出现，所以 ( ：二三户删。 因此 ( ：二三) + c ，。一，( n ：1 ) 三。+ 三m 。d ； 所以由引理2 1 知士。不可分解证毕 命题3 9 设七4 ，对礼2 + 7 ，且n 不具有形式2 u 1 ，存在不可分解元 发6 。 证明当竹为奇数时，取如引理3 1 ；当n 为偶数且2 + 7 钆 2 啪时， 取z 。如引理3 2 ，引理3 3 ；当n 为偶数且扎2 脚时，取茹。如【2 6 ；3 1 】证毕 命题3 1 0 设七= 3 ，对n 芝1 7 ，且竹不具有形式2 u 一1 ，存在不可分解元 石。靠6 证明当n 为奇数时，取g 。如引理3 1 ；当n 为偶数且2 + 9 礼 2 m 时， 取$ 。如引理3 2 ，引理3 3 ；当n 为偶数且n 2 妣时，取茹。如【2 6 ；3 1 1 证毕 命题3 1 1 设七= 2 ，对礼“，且礼不具有形式2 “一1 ，存在不可分解元 z 。矗6 证明当n 为奇数且1 4 n 3 0 时，取z 。如引理3 6 ；当n 为偶数且 1 4 礼s3 0 时，取z 。如引理3 5 ；当n 3 2 时，取$ 。如 2 6 ；3 1 1 证毕 河北师范大学硕士研究生学位论文 命题3 1 2 设南= 2 ，对行1 1 ，n 1 2 ，且竹不具有形式2 ”一1 ，存在不可分 解元z 。露 证明当1 l ns3 0 且扎1 2 时，取z 。如引理3 8 ；当仃兰3 2 时，取z 。如 f 2 6 ；3 1 】证毕 ， 4 定理的证明 下面我们给出 定理1 的证明 ( n ) 设。2 = 【r p ( 2 ) 】，贝0 ) ( ( 2 ) = 1 ，x ( z ；) = 1 由【1 8 ；5 1 】得z 2 戈女 ( 6 ) 对扎= 4 ，5 ，6 ，选取不可分解的上协边类卫。满足x ) = o ( 否则用嚣。+ $ 孑 代替茁。) 当2 r m 锄( 2 一1 ) 时，由【1 8 ；5 1 得z 。最当n = 5 ，6 时，由 【1 9 】得。矗2 ( c ) 对6 4 ，i l + t 2 + + 。一1 4