《概率论与数理统计》复习题及答案.doc

概率论与数理统计复习题1、 填空题1. 已知，则的关系是 独立 。2已知互相对立，则的关系是 互相对立 。3.为随机事件，则 0.3 。4. 已知，则 0.7 。5.为随机事件，则_。6已知 ，则 2 / 7 。7将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为_。9. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为_。10. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为，则此密码被译出的概率为_。11每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3次成功的概率为_。 12. 已知3次独立重复试验中事件至少成功一次的概率为，则一次试验中事件成功的概率_。13随机变量能取，取这些值的概率为，则常数_。14随机变量分布律为，则_0.4_。15.是的分布函数，则分布律为_。16随机变量的分布函数为，则_。17. 随机变量，_0.025 。18. 设，若, 则_3_。（注：）19设，其分布函数为，则有 1 。20已知随机变量的分布律为，则随机变量函数的分布律为_。21. 若服从的分布是，则服从的分布是 。22总体的密度函数,则样本的联合密度函数为： _。23设，且相互独立，则_。24若，独立，则服从的分布是 。25.，独立，则服从的分布是 。26. 随机变量，则_5_，_3.2_，_，。27. 随机变量，则_-4_，_。28. 设随机变量相互独立，其中在上服从均匀分布，服从正态分布服从参数为的泊松分布，记,则_12_。29总体以等概率取值，则未知参数的矩估计量为_。30设为的样本，则关于的矩估计量是 。二、选择题1设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ A ）。(A) （B） (C) (D) 2事件满足：（ A ）。（A）0.7 （B）0.3 （C）0.6 （D）0.84设事件独立，且与互斥，则下列式子一定成立的是（ D ）。(A) （B）(C) (D) 或6.连续型随机变量分布函数，其中常数值为（ C ）。（A） （B） （C） （D）7若可以成为某随机变量的概率密度函数，则随机变量的可能值充满区间( B ),（A） （B） （C） （D）8. 当随机变量的可能值充满区间( A ),则可以成为某随机变量的密度函数。（A） （B） （C） （D）9. 随机变量服从参数的指数分布，则（ D ）。（A） （B） （C） （D）10. 随机变量服从，若增大，则（ D ）。（B） 单调增大 （B）单调减小 （C）增减不定 （D）保持不变11. 随机变量的概率密度，则的概率密度是（ B ）。（A） （B） （C） （D）12. 关于联合分布与边缘分布的关系，以下结论错误的是（ C ）。（A）二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布（B）二维均匀分布的两个边缘分布未必是均匀分布（C）边缘分布可以唯一的确定联合分布（D）联合分布可以唯一的确定边缘分布13. 设（）的联合分布函数为，则其边缘分布函数（ B ）。（A） （B） （C） （D）14. 随机变量相互独立，且，则必有（ C ）。（A） （B） （C） （D）。15. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数的值为（ B ）。（A） （B） （C） （D）16已知随机变量离散型随机变量的可能取值为，且，则对应于的概率为（ A ）。（A）（B）（C）（D）17.设随机变量，则下列计算正确的是（ C ）。（A） （B） （C） （D）18设随机变量密度函数为，已知，若，则下列计算正确的是（ D ）。（A） （B） （C） （D）19. 已知总体服从参数的泊松分布（未知），为的样本，则（ C ）。（A）是一个统计量 （B）是一个统计量（C）是一个统计量 （D）是一个统计量20. 设总体，其中已知，未知。是取自总体的一个样本，则非统计量是（ D ）。（A） （B）（C） （D）。21. 人的体重为随机变量，10个人的平均体重记为，则（ A ）。(A) （B）(C) (D) 22设服从正态分布，为取自总体的一个样本，则（ B ）。（A） （B） （C） （D）。23设服从正态分布，则服从（ A ）。（A） （B） （C） （D）24. 从总体中抽取样本，以下结论错误的是（ B ）。（A）服从正态分布 （B）服从 （C） （D）25. 设是总体的方差存在，为的样本，以下关于无偏估计量的是（ D ）。（A） （B） （C） （D）26. 若()为取自总体X的样本,且EX = p ,则关于p的无偏估计为( C ）。（A）（B）（C）（D）27. 若()为取自总体X的样本, 且EX = p ,则关于p的最优估计为( D ）。（A）（B）（C）（D）28. 设是总体的方差，为的样本，则样本方差为总体方差的（ C ）。（A）矩估计量（B）最大似然估计量（C）无偏估计量（D）有偏估计量29. 设是参数置信度为的置信区间，则以下结论正确的是（ C ）。（A） 参数落在区间之内的概率为（B） 参数落在区间之外的概率为（C） 区间包含参数的概率为（D） 对不同的样本观察值，区间的长度相同30. 设为总体的未知参数，为样本统计量，随机区间是的置信度为的置信区间，则有（ B ）。（A） （B）（C） （D）31在假设检验中，表示原假设，表示对立假设，则称为犯第一类错误的是（ A ）。(A) 不真，接受 (B) 不真，接受(C) 不真，接受 (D) 不真，接受32总体，样本，假设检验，则的拒绝域为（ D ）。（A） （B） （C） （D）三、计算题3某厂生产的100个产品中，有95个优质品，采用不放回抽样，每次从中任取一个，求：（1）第一次抽到优质品；（2）第一次、第二次都抽到优质品；（3）第一次、第二次都抽到优质品、第三次抽到非优质品的概率。解：设：第次取到优质品， （1）； （2）；（3）。4玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中含0，1只残次品的概率分别为0.8和0.2，一个顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时顾客开箱验货，顾客随机的察看了4只，若无残次品则购买下该箱玻璃杯，否则退回。试问：顾客购买该箱玻璃的概率。解：设且已知：5. 有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选中的盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。解：取到白球，：取到黑球；：甲盒；：乙盒；：丙盒（1） 取到白球的概率 。 （2）取到白球是从甲盒中取出的概率。6. 设一盒中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用表示取出的3个纪念章上的最大号码，求：（1）随机变量的分布律；（2）分布函数；（3），。解：设为取出的3个纪念章上的最大号码，则的可能取值为；于是的分布律为； ；，。7某型号电子管，其寿命（以小时计）为一随机变量，概率密度函数（1）试求一个电子管使用150小时不用更换的概率；（2）某一电子设备中配有10个这样的电子管，电子管能否正常工作相互独立，设随机变量表示10个电子管中使用150小时不用更换的个数，求的分布律；（3）求。解：（1）设电子管的寿命为随机变量，（2）设10个电子管中使用150小时不用更换的个数为随机变量，则依题意，。（3）。8. 某人有9把钥匙，其中只有一把能打开一门。今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需要试开次数（记为随机变量）的数学期望和方差。解：设打开门的次数，可能取值为。所以，于是，。9. 设随机变量的概率密度为，；试求：（1）常数；（2）；（3）设，求。解：（1）； ； 于是，。 （2）， 。 （3）。10某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。附表：00.51.01.52.02.53.00.5000.6290.8410.9330.9770.9940.999解：设考生外语成绩,。12. 口袋里有2个白球，3个黑球。现不放回地依次摸出2球，并设随机变量， 。 试求：（1）的联合分布律； （2）和的边缘分布律；（3）问是否独立？ （4）。解：（1）联合分布为： 0101（2），（3），所以与不独立。（4）。 13设随机变量相互独立，且等可能的取1，2，3为值，定义随机变量，试求：（1）的联合分布律；(2)是否相互独立？解：（1）因为独立，依题意的联合分布为X Y12311/91/91/921/91/91/931/91/91/9又因为，则U V12311/90022/91/9032/92/91/9这里其余同理可得。（2）。14，设二维随机变量的联合分布为:X Y 01201/41/12a101/61/421/1201/6求（1）a； （2）Z = maxX,Y 的概率分布；（3）E(maxX,Y) ；D(maxX,Y)。解：（1）a = 1-(1/4 + 1/12 + 1/6 + 1/4 + 1/12 + 1/6) = 0 （2）Z012P0.250.250.5（3）EZ = 1.25；DZ = 0.6875 15. 设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次，用表示两次中硬币出现的正面次数，用表示两次骰子点数不超过4的次数。（1）求的联合分布。（2）求的和分布。（3）解：设可能取值为0，1，2；可能取值为0，1，2.于是， . 由于与相互独立，所以联合分布为 Y X012012和分布为：，。16. 设随机变量的概率密度为，试求：（1）的边缘概率密度；（2）。解：（1） （2）。17. 设随机变量在区域上服从均匀分布，试求：（1）随机变量的概率密度函数；（2）。解：（1）因为服从均匀分布，所以其联合密度函数为 。（2）。18. 设二维随机变量的概率为（1）求的两个边缘密度；（2）判断是否相互独立；（3）求； （4）求的分布函数。解：（1）（2），不独立；（3）（4）。19. 设二维随机变量具有概率密度（1） 求常数A；（2）求联合分布函数；（3）求边缘密度；并问是否独立？（4）求。解：（1）由于，得。（2）当或时，因为，所以，。当时，；所以，。（3）边缘密度函数为：； 由于，所以独立。（4） 。或。20设随机变量相互独立，服从（0，1）均匀分布，服从参数为1的指数分布，试求：（1）随机变量的分布的密度函数；（2）。解：（1）因为，又因为又因为，则（2）因为因为服从均匀分布，所以因为服从指数分布，所以故。21. 设随机变量具有概率密度求：（1）（2）解：（1）；（2）22. 设和分别为取自总体的容量为和的两个样本的样本均值。求证：对任意实数，估计量是的无偏估计，并求使所得估计量最有效。证：，在条件下，时有最小值。23. 设总体的概率密度列其中是未知参数，得到总体的样本值：1，3，0，2，3，3，1，3，（1）求参数的矩估计值；（2）求参数的最大似然估计值 。解：（1）；为矩估计量，得为矩估计值。（2）；，； ，因为，所以舍去，所以。24. 设总体的概率密度为，其中的未知参数，是来自总体的一个样本，（1）求参数的矩估计量；（2）求参数的最大似然估计量 。解：（1），于是未知参数的矩估计量为。（2） 构造似然函数；取对数：；令，即未知参数的最大似然估计值为。25设总体服从正态分布，为其样本，试求：（1）的矩估计量；（2）若，多大时方能使的90%的置信区间的长度不超过1？()解：（1）由矩估计法知（2）记关于的置信区间长度为L当时，。26某大学数学测验，抽得20个学生的平均分数为，样本方差， 假设分数服从正态分布，求的置信度为98%的置信区间。（保留到小数后四位）（附：）解：由题意，的置信度为98%的置信区间为：。27. 要求一种元件的使用寿命为1000小时。今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差小时的正态分布，试在显著性水平下确定这批元件是否合格？ （附：） 解：假设：，：； 统计量：，, 所以，拒绝，即认为这批元件不合格。28. 正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分，标准差为5.929。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。(1) 取a =0.05，是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。(2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。（附：）解：（1）假设；;末知， ， ，所以，故拒绝假设，即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。（2），；末知 对于给定置信度，的置信区间为：=（63.16 , 71.64)，所以,置信度0.95的置信区间为（63.16 , 71.64)。29. 某仪器的测量误差服从分布，（1）试求关于的极大似然估计量；（2）由于长期的使用，使用