（工程力学专业论文）平面连续体结构拓扑优化ESO方法及其应用研究.pdf

摘要 摘要 结构拓扑优化设计是目前结构优化设计领域最富有挑战性的研究课题之一，近十几 年来，结构拓扑优化设计得到了迅速的发展。e s o 方法是通过一定的删除准则，将无效 或低效的材料逐步去掉，使结构逐渐趋于优化。本文以e s o 方法为基础，进行平面连续 体结构拓扑优化问题研究，主要工作如下： ( 1 ) 综述结构拓扑优化的发展，分析国内外连续体结构拓扑优化各种方法的优缺点， 阐述了连续体结构拓扑优化问题的必要性。 ( 2 ) 基于等效应力准则e s o 方法对重力坝断面进行拓扑优化，针对优化历程中出现的 不稳定现象进行修正，得出了较优的重力坝断面形状。 ( 3 ) 分别运用单一主应力删除准则和最大拉应变准则对压力占优的结构进行拓扑优 化，两种删除准则的拓扑结果有一些差别；在进一步研究基础上，本文提出基于主应力删 除准则和最大拉应变删除准则的交替组合准则法，对竖向集中力作用下的简支梁进行拓扑 优化，得到的拓扑优化结果接近于经典解答。为克服组合准则法迭代次数多、效率低下的 缺陷，本文又提出组合准则的改进算法，即同时使用两种准则对压力占优的结构进行拓扑 优化，最终得到拓扑优化结果接近于经典解答，从而证明程序合理有效。 ( 4 ) 将组合准则及其改进算法应用于可变荷载作用下压力占优的连续体结构，设计 一套对可变荷载自动辨析、自动加载的a p d l 语言程序。算例结果表明组合准则的改进算法 可以有效的消除单一删除准则中出现的问题，具有一定的可行性和实用性。 关键词：应力删除准则、应变删除准则、组合删除准则、重力坝拓扑优化、可变荷载结 构拓扑优化 河海大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t m c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g ni st h em o s tc h a l l e n g i n gr e s e a r c ht o p i ci nt h ef i e l d o fs t n j c t u r a l o p t i m i z a t i o na tp r e s e n t i nt l l e p a s t d e c a d eo fy e a r s ，s t m c 仙r a l t o p o l o g y o p t i m i z a t i o nd e s i g nh a sr e c e i v e dar 印i dd e v e l o p m e n t b a s e do ns p e c m cd e l e t i o nc r i t e r i o na 1 1 d d e l e t i n gt h ei n e 仃e c t i v eo rl o wi n e 恐c t i v em a t e r i a lo u to fs t m c t u r e ，t h ee s of o l l o w i n gd e l e t i o n c r i t e r i o n ，i g i l o r e st h ei n e 髓c t i v e o ri n e 伍c i e n tm a t e r i a la i l dm a k e st l l es t m c t u 】陀t e n dt o o p t i m i z a t i o n t h er e l a t e dp r o b l e m so ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fp l a j l ec o n t i n u u ms t m c t u r e s 踟 s t u d i e db a s e do ne s oi nt l l i sd i s s e n a t i o n t h em a i nc o m e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o nc a nb e s u n u n a r i z e da sf o u o w s ： ( 1 )o nt h eb a s i so fs u n u n a r i z i n gt h ed e v e l o p m e ma n dt h ec u n e n ts t u d ys t a t u so f s 劬c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，t h em e r i t sa i l dt h ed 锄e r i t so fe a c hm e t h o do ft h et o p o l o g y o p t i m i z a t i o no fc o n t i 肌u ms t n j c t u r e sa r ed i s c u s s e d m o r e o v e r ，t h en e c e s s i t ) ，o fm es t u d yo nt h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u ms t m c t u r e si sa l s oi l l u m i n a t e d ( 2 ) b a s e do nt h ee s 0m e t h o dw h i c hu s i n ge q u i v a l e n ts t r e s sd e l e t i o nc r i t e r i o n ，ag r a v i t y d a ms e c t i o no p t i m i z a t i o ni ss t u d i e d t h eu n s t a b l ep h e n o m e n o n sd 嘶n gt h eo p t i m i z a t i o nc o u r s e o fg r a v i t yd 锄s e c t i o no p t i m i z a t i o ni sm o d i f i e d ，a n db e t t e rg r a v i t yd 锄s e c t i o ns h a p ei s o b t a i n e d ( 3 ) t h ep r i n c i p a ls t i e s so p t i m i z a t i o nc r i t e r i o na n dt h em a x i m u mt e n s i l es t r a i nd e l e t i o n c r i t e r i o na r ea p p l i e do nt h es t m c t u r et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nr e s p e c t i v e l y ，a i l dt h ed i f r e r e n c e s b e t w e e nm er e s u l t so b t a i n e d b yu s i n gt h ea b o v em e t h o d sa r es t u d i e d o n ec o m b i n e d o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nm e t h o d 、) v _ h i c hc o m b i n i n gt h ep r i n c i p a ls t 】r e s so p t i m i z a t i o nc r i t e r i o na n d t h em a x i m u mt e n s i l es 协a i no p t i m i z a t i o nc r i t e r i o ni sa p p r o v e d t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o ns h a p e o fas u p p o i r t e db e 锄s u b je c t e dt oac o n c e n t r a t e dl o a di so b t a i n e d ，a n dt h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o n s h 印eo ft h es u p p o r t e db e 锄i ss i m i l a rt ot h ec l a s s i c a ls o l u t i o n s i no r d e rt oo v e r c o m ei t s s h o i r t c o m i n g so fi t e r a t i o n sl a g e rn u m b e r sa n dl o we 衢c i e n c y ，t h ei m p r o v e da l g o r i t h mi sd e r i v e d ， t h a ti st h e “oc r i t e r i o n sa r eu s e dt o w a r d st op r e s s u t e r e g n a l l ts t m c t u r e sa tt h es 锄et i m e e x 锄p l er e s u l t ss h o wt h a tt h ei m p r o v e da l g o r i t h mc a ne a e c t i v e l ye l i m i n a t et h ep r o b l e m s a p p e a r e di ns i n g l ed e l e t i o nc r i t 甜o n 1 i a b s t r a c t ( 4 ) n l ei m p m v e da l g o r i t h mi sa p p l i e di nt 1 1 ec o n t i n u u ms t m c t u r e sw 1 1 i c ha r ea l m o s ti n c o m p r e s s i o ns n e s s ，a i l da i la p d ll a n g u a g ep r o 伊a mw h i c h c a l lr e c o g n i z ea i l dl o a dt h ev a r i o u s p r e s s u r e si nt h ep r o c e s so ft h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o na r ea l s od e v e l o p e d e x 锄p l er e s u l t ss h o w t h ei m p r o v e da l g o r i t h ma 1 1 dt i l ea p d l l a n g u a g ep r o g r 锄c a i le 毹c t i v e l ye l i m i n a t et h ep r o b l e m s a p p e a r e di ns i n g l ed e l e t i o nc r i t e r i o n k q 刖o r d ：t h es t r a i no p t i m i z a t i o nc r i t e r i o n ：t h es t r e s so p t i m i z a t i o nc r i t e r i o n ；1 1 1 ec o m b i n e d o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nm e t h o d ；t o p o l o g y0 p t i m i z a t i o no f 伊a v 埘d 锄； s t m c t u r a lt o p o l o g y o p t i m i z a t i o no fv 撕a b l el o a d 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实，本人负 全部责任。 论文作者( 签名) ： 学位论文使用授权说明 渺g 年岁月比日 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文 全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：三釜枣；一渺留年f 月v 日 第一章绪论 第一章绪论 随着社会的发展、人类文明的进步，人们越来越认识到资源的有限性，从而衍生出一 系列的优化思想。这些思想指导人类尽可能有效的、合理的利用资源。同样对于结构而言， 优化设计的地位也越来越重要。 结构优化设计是优化设计领域重要的一部分。近代，随着计算机技术的高速发展，一 些经典的优化算法己融入到大型通用有限元分析软件中，如a n s y s 、m s c m a r c 、n a s t r a n 、 i d e a r s 等，并且广泛应用于工程实际中。对于试图产生超出设计者经验的有效的新型结 构来说，优化是一种很有价值的工具。结构优化设计被广泛应用于很多其他领域，例如建 筑、造船、化工、冶金、交通、机械制造、自动控制机械、土木等等。近年来，结构拓扑 优化设计正在成为结构优化研究领域的热点。如汽车行业以及飞机制造行业，已经开始应 用拓扑优化理论进行整体的布局优化。 1 1 研究背景及其意义 一千三百多年前，我国隋朝的李春设计并监造的赵州桥( 又名安济桥) 就体现了许多 “结构优化设计”的思想。从近代欧洲来说，应该从1 9 0 4 年米歇尔( m i c h e l l ) 发表材料 最省的桁架结构这篇文章算起，也有一百多年的历史了。但是，将结构优化思想与现代应 用数学的一个分支数学规划论相结合，采用结构分析中数值方法的新手段有限元 法，并广泛使用矩阵数学工具和电子计算机求解，这是上世纪五十年代末期才开始的研究 领域。 1 1 1 结构设计与结构优化设计 结构设计是指一个能满足所有需求条件，且符合设计者目标的系统工程。传统的结构 设计方法是设计人员根据经验和判断提出设计方案，随后用力学理论对给定的方案进行 分析、校核【l l 。若方案不满足约束限制，则需人工调整设计方案，重新进行分析、校核， 直到找到一个满足各种条件限制的可行方案。但传统的方法无论是分析还是设计，都是通 过经验和大量的简化，存在一定的误差，而且设计周期长、费用高、效率低。随着科学技 术的发展，工程结构复杂性的增加及其要求的提高，传统的设计方法已不能满足需要。 为了达到上述目的，研究人员提出了结构优化设计的思想。结构优化的目的是以最少 的材料，最低的造价，最简单的工艺，实现结构的最优性能，包括强度、刚度、稳定性等 河海大学硕士学位论文 目标。实践表明，将拓扑优化方法应用于设计，不仅可以大大地缩短设计周期，显著地提 高设计质量，而且还可以解决传统设计方法无法解决的复杂设计问题。现代结构优化，主 要指数值结构优化或计算机结构优化，其研究内容是把数学规划理论与力学分析方法结合 起来，以计算机为工具，建立一套科学的、系统的、可靠而又高效的方法和软件系统，自 动地改进和优化受各种条件限制的承载结构设计。 与传统的结构设计相比，最优设计按一定的数学模式将迭代过程紧密地联系在一起， 即将设计问题转化为严格的数学规划问题求解，可利用计算机连续快速地做出方案比较， 从数百个方案中，找到最优设计方案。 由于结构优化理论提出的问题具有一般性，所以在结构的设计过程中，优化设计已经 成为不可或缺的重要环节。随着计算机的发展，结构分析能力和手段的不断完善，数学寻 优技术的提高，在过去四十几年内，结构优化在理论、算法和应用方面都取得了长足的发 展，已成为计算力学中最活跃的分支之一。 1 1 2 结构优化设计的分类 结构优化设计是近二十多年发展起来的一门新技术。它的出现，使设计者能从被动的 分析、校核而进入主动的设计，这是结构设计上的一次飞跃。结构优化设计的目的在于寻 求既安全又经济的结构形式，而结构形式包括了关于尺寸、形状和拓扑等信息。优化的目 标通常是求解具有最小重量的结构，同时必须满足一定的约束条件，以获得最佳的静力或 动力等性态特征。 结构优化设计可以根据设计变量的类型分为三种不同的层次： ( 1 ) 尺寸优化( s i z i n go p t i m i z a t i o n ) 在给定结构的类型、材料、布局拓扑和外形几何的情况下，优化各个组成构件的截面 尺寸，使结构最轻或最经济，通常称为尺寸优化，它是结构优化设计中的最低层次。 结构尺寸优化设计是对一个外形已定义的结构，以其各部分之尺寸为设计变量，亦即 在优化设计过程中将结构的尺寸参数( 如桁架的横截面尺寸、板的厚度等) 作为设计变量。 运用这种方法，人们可以对结构进行优化，以达到目标函数最优的目的。然而，对经验丰 富的工程师所设计的结构，仅仅通过修改结构单元尺寸是很难对原设计进行较大的修改 的，更为重要的是，尺寸优化不能改变原结构的形状和拓扑，不能保证由这种方法得到的 设计是真正意义上的最优设计，更不用说去探讨新的结构形式。 2 第一章绪论 ( 2 ) 形状优化( s l k 唾 e0 忧i m i z a t i o n ) 如果让结构的几何也可以变化，例如，把桁架和刚架的节点位置或连续体边界形状的 几何参数作为设计变量，优化又进入了一个较高的层次，即所谓的结构形状优化。 结构形状优化比起尺寸优化更为有效。在优化过程中它既可以改变结构单元的尺寸， 又可以改变结构的形状。亦即结构形状优化的设计变量包含了尺寸参数和决定结构外型的 形状参数，所以结构优化设计除了可作结构尺寸优化，还可以作为结构外型最优化。因此 结构形状最优化除了需要结构分析工具及最优化方法，还包含建立几何模型，所以需要数 学模式定义结构的形状，使结构形状能以数学函数表示，进行结构形状最优化。 在结构形状优化设计的过程中，常常会遇到两类难题：一类是由于边界形状的改变导 致了结构分析有限元模型的改变，从而不能保证优化过程中有限元分析的精度；第二类是 形状优化依赖于好的有限元网格自动生成技术及好的结构灵敏度分析技术，而这两个过程 的工作量是较大的，代价较为昂贵。 与尺寸优化一样，形状优化也存在着不能变更结构拓扑的缺陷。在形状优化设计中， 结构的初始拓扑由设计者给定，并且在优化过程中保持不变。例如，假设初始设计域是一 个单连域，由形状优化产生的最优解与初始设计保持相同的拓扑，仍为单连域，而真正的 最优解可能在域内有孔洞。在这样的背景下，有人开始研究在优化过程中变更拓扑的优化 方法即结构拓扑优化。 ( 3 ) 拓扑优化( t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ) 结构拓扑优化【2 1 是在尺寸优化和形状优化的基础上，再允许对桁架节点联结关系或连 续体结构的布局进行优化，则优化达到更高的层次，即结构的拓扑优化。显然，随着结构 优化层次的提高，其难度也越来越大。 从上个世纪9 0 年代开始，有关拓扑优化理论方法的问题就已经开始在国内一些主流 杂志以及刊物上进行了探讨和研究，拓扑优化理论的发展方向正逐步从理论走向实践。拓 扑优化日益成为结构优化的一个重要分支。 结构优化设计的三个分类b e n d s o e 和s i g m 蚰d 【3 1 用图1 1 所示的结构进行了形象的表 示。 3 河海人学硕一卜学位论义 鋈耍歪歪至曩_ ：么丕亚三譬 皇熹? = = - ，一t 。 ( a ) 桁桨的尺寸优化 ( b ) 形状优化 ( = c ) 拓扑优化 图1 1 结构优化设计的三种分类示意图 1 1 3 论文研究的意义 拓扑优化是目前各类优化的热门讨论对象，但是当前的工作也仪仅只局限于结构拓扑 优化的理论研究阶段。结构拓扑优化可以在工程发计的初始阶段，为设计者提供一个概念 性的设计方案，能够使得结构获取最优的方案设计。与以前的截面优化和形状尺寸优化相 比，能够节省时间，能够取得更加有效的经济效益，因此也就更能被设计人员和工程人员 所接受。但拓扑优化相对形状优化和尺寸优化而言，是结构优化领域中更为复杂、更富挑 战性的课题。结构拓扑优化手要是在满足已知荷载工况和约束的情况下，改变结构的拓扑 以求最优。随着科学技术的进步发展，拓扑优化应用于实践当中的需求更加迫切，拓扑 优化相比与尺寸优化和形状优化就显得更为重要。 目前，连续体结构的拓扑优化设计是结构优化领域的主要发展方向之一。在结构优化 问题中，结构拓扑优化涵盖了所有尺寸优化和形状优化的特征。在优化设计过程中，就像 改变形状1 样去改变结构的布局使问题变得很复杂，这种改变布局的结构拓扑优化问题被 认为是拓扑技术领域巾最具有挑战性的问题之一。 连续体结构的拓扑优化本身发展比较缓慢，长期停留在理论研究阶段。在建筑领域中， 不但建筑物边界条件复杂，其相火的建筑材料( 如混凝土、钢材料等) 本身又都不是理想 的线性材料，所以很久以来，拓扑优化方法还未能在水利：1 ：程的优化设计中得至0 实际的运 用。如果可以对拓扑优化中的现有计算方法进行适当的简化，结构拓扑优化在水利工程中 的应用前景将会非常广阔。同时也将会使水利工程中的建筑物的结构优化设计达到一个更 新、更高的层次。 目前有关结构拓扑优化的r 程j 越用研究还很不成熟，尤其在国内尚属于起步阶段。优 化设计的目的足在其给定的没计区域内找到满足限制条件而目标函数为最小值的结构形 4 第一章绪论 状。形状优化过程中，设计域的形状可以发生变化，但初始拓扑形式一般固定不变，形状 优化时，在设计的初始阶段需大致确定出结构的最优拓扑形式，这在结构的最优拓扑未知 的情况下具有一定的盲目性。拓扑优化在结构的初始形式未知的情况下，寻求结构最优的 拓扑关系，因此事先无须给定结构形状，由最优化方法求得其最佳材料分布，可避免尺寸 优化设计与形状优化设计中人为因素所产生之错误，这点在整个产品的初始阶段具有重要 的意义。 1 2 结构优化设计研究现状 1 2 1 结构优化的求解方法 结构优化有三个基础，一是计算机技术；二是结构分析的方法；三是数学规划的理论。 其中结构结构分析方法相对较为成熟。计算机的技术经过几十年的发展，无论是硬件还是 软件水平都有很大提高，而且迅速发展，为结构分析与优化提供了越来越好的实现环境。 结构分析虽然起步比限元分析方法略晚，但两者几乎是同时发展的，有限元方法以其相当 完美的变分原理理论基础及其良好的数值性质使它很快地被工程界所接受，并成为结构力 学等领域主要的分析工具。有限元技术为结构优化提供了可靠、强大的分析手段，随着计 算机技术的高速发展，拓扑设计数值优化方法得到了迅猛发展。 结构优化方法虽然有许多，但大致可以分成解析方法和数值方法两类1 4 】。 ( 1 ) 解析方法 结构优化的解析方法可追溯到2 0 世纪初的相关桁架问题研究。1 9 0 4 年m i c h e u 用解 析分析方法研究了一个荷载作用下的应力约束结构，得到最优桁架所满足的条件，后称为 m i c h e l l 准则，并将符合该准则的桁架称为m i c h e l l 桁架，也称最小重量桁架。这一理论作 为解析方法具有重要意义，主要应用于验证其它方法得到的解答的正确性。但这一理论只 能用于单工况并依赖于选择适当的应变场，数学求解困难，不能应用于工程实际【5 1 。 ( 2 ) 数值分析方法 解析方法的结果虽然准确但求解困难，不便于应用。目前人们大多致力于研究数值求 解方法，数值方法分别针对杆系和连续体两种结构，虽然针对不同结构的数值方法有所不 同，但是数值方法最终要归结为数学求解问题，而数学优化方法却是一般结构所共有的。 数学优化方法主要有准则法，数学规划法以及人工智能等3 类算法。 准则法( o c ) 优化准则法是由p r a g e r 及其同伴于1 9 世纪6 0 年代分析创建的( p r a g e ra n ds h i e l d 1 9 6 8 ；p r a g e ra 1 1 dt a y l o r1 9 6 8 ) 。随后准则法就发展成为数值法并成为一种广泛使用的结构 5 河海大学硕士学位论文 优化方法【6 】。 准则法的基本出发点是，预先规定一些优化设计必须满足的准则，然后根据这些准则 建立达到优化设计的迭代公式。这些优化准则一般是根据已有的实践经验，通过一定的理 论分析、研究和判断而成的，而这些实践经验往往欠缺充分的理论依据。准则法收敛速度 快、容易实现，不过它得到的设计通常只是接近最优，不能保证收敛到最优解。目前，准 则法有向数学规划法发展的趋势。 数学规划法( m p ) 数学规划法是在上世纪5 0 年代( h e y m a i l ，1 9 5 1 ) 建立的一种应用非常普遍的优化技 术。在早期，数学规划只能适用于线弹性问题，即目标函数、限制条件均和设计变量是线 性关系。但是，自从上世纪6 0 年代以来，大量非线性规划方法出现了。同时，也有人开 始尝试用标准的线性方法去求解非线性问题。 在数学规划方法中，结构设计成为被一些应力、位移和频率等行为函数约束的多维设 计空间中的目标函数的极值问题，可采用线性和非线性规划得到极值解。数学规划理论和 有限元方法的结合发展，使人们有可能分析复杂结构。求解多种载荷情况下弹性结构的最 小重量设计问题，形成了全新的结构优化的基本思想。 数学规划为结构优化奠定了良好的数学基础【7 1 。以前由于计算机技术的限制，严格数 学规划方法能处理的变量和约束并不多，主要是不能解决变量多、约束多这样的工程设计 问题。目前，这些问题已经得到了很好的解决。如何把数学规划的理论应用于结构优化设 计，根据结构设计的特点提出通用性、效率及可靠性等均良好的方法正是三十几年来人们 追求的目标。 遗传算法( g a ) 遗传算法起源于1 9 世纪7 0 年代( h o l l a i l d ，1 9 7 5 ) 。遗传算法模拟了生物进化过程的 重建、交叉和变异过程。这种基于生物学的算法更适合寻求全局最优解，但是计算效率往 往很低，需要进一步提高。随着遗传算法在最化理论和实际应用方面的广泛开展，研究者 们陆续开发了多种在处理多目标最优化问题上行之有效的遗传算法f 8 】 【9 】。 1 2 2 结构拓扑优化方法 在形状优化过程中，初始的结构和最终的结构是同一拓扑结构。如原来有两个开孔的 板，经形状优化后，改变的只是开孔的边界形状，开孔数没有增加或减少。实际上可能存 在这样的情况，即在同样满足设计约束条件下，开孔数的改变比开孔形状的改变对提高板 的质量更有效，这就是拓扑优化研究的初衷。尽管利用有限元和边界元都可以自动划分网 6 第一章绪论 格，但对于一个拓扑结构变化的模型数据处理却尚未有研究，所以，在设计区域要自动产 生开孔是很困难的。为了突破这一局限，一种直觉的方法是考虑利用“固定 的有限元模 型，在此模型中较小应力的单元被人为地指定具有很软的材料以近似地产生开孔。 拓扑优化问题一般研究两类结构问题：一类被称为离散结构，早期的研究成果可以见 d o n ( 1 9 6 4 ) 等人以及d o b b s 和f e l t o n ( 1 9 6 9 ) 的论文；近期的研究成果是z h o u 和r d z v 锄y ( 1 9 9 1 ) 将其应用于大规模结构的优化设计【1o 】【l l 】。另一类是连续体结构，连续体结构的 拓扑优化的典型做法就是将结构适当得分成有限个单元，而且每个单元有结构的固有性 质。 研究离散结构的一种基本数值方法就是1 9 6 4 年d o m 等人提出的基结构法( g r o u i l d s t m c t u i ea p p r o a c h ) 。基结构法率先将数值方法引入拓扑领域，此后拓扑优化的研究重新 活跃起来，陆续有一些解析和数值方面的理论被提出来。 所谓基结构就是一个由众多构件连结而成的，包括所有的荷载作用点，支承点在内的 结构。该方法的基本思路是：从基结构的模型出发，应用优化算法( 数学规划法或准则法) ， 按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基结构中删除，例如截面积达到零或下限的 杆件将被删掉，并认为最终剩下的杆件决定了结构的最优拓扑。因此应用基结构，可以将 桁架拓扑优化当作杆件截面优化来处理。 连续体结构优化的主要研究思想是由设计者指定一个结构区域，定义其边界条件、限 制条件与结构荷载，按照一定的算法进行离散，构成有限元模型进行分析。对那些低应力 区域的单元人为地指定为“很软”的单元。在优化过程结束后，那些“很软 的单元被认 为是孔洞，将这部分材料从设计区域中“移去”保留剩余部分，形成带孔的连续体，最终 得到连续体的最优拓扑。 连续体结构拓扑优化目前的方法都是在基结构基础上的描述方法，包括几何( 尺寸) 描述方式和材料( 物理) 描述方式，而基结构定义了拓扑优化的设计区域，至于拓扑优化 的本质描述方法，还未见有人提出。连续体结构拓扑优化方法主要有均匀化法、两相法、 内力法、变厚度法、变密度法、泡泡法、人工材料、渐进结构优化法及线性规划法等。 ( 1 ) 均匀化方法( h o m o g e i l i z a t i o nm e t h o d ) 均匀化方法是由b e n d s o e 和飚k u c h i ( 1 9 8 8 ) 在1 9 8 8 年提出来的，使结构优化设 计发展到拓扑优化设计【1 3 】【1 4 1 。均匀化方法基于起源于1 9 世纪7 0 年代的均匀化数学理论 ( b a b u s k a ，1 9 7 6 ，c i o r a l l e s c ua 1 1 dp a u l i n1 9 7 9 ) 。均匀化方法面世后，许多学者利用微结 构来求解优化问题。 7 河海大学硕士学位论文 均匀化方法是连续体结构拓扑优化中应用最广的方法，此法假定连续体结构可以用均 质的宏观材料和非均质的具有周期性分布的细观结构描述，细观结构是由微结构在细观尺 度上周期性重复而形成的，这种周期性的重复导致了材料的高度异质性。在具体过程中， 则是在拓扑结构的材料中引入微结构( 单胞) ，微结构的形式和尺寸参数，决定了宏观材 料在此点处的弹性性质和密度。优化过程中以微结构的单胞尺寸为拓扑设计变量，以单胞 尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间尺寸单胞构成的复合材料，以拓展设计空间， 实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化。 b e n s o u s s a l l 等人已经发展了一套基于摄动理论的关于周期性结构分析方法，来建立 材料微结构尺寸与材料宏观弹性性质之间的关系，具有较严格的数学基础，成为连续体结 构拓扑优化研究中的主要方法。目前这一方法己用于处理多工况的二维、三维连续体结构 拓扑优化，热弹性结构拓扑优化，考虑结构振动的拓扑优化，并被用于复合材料的设计中。 均匀化方法便是用这种摄动技术将原问题的力学量转化为互不耦合的细观问题和宏观问 题，它以细观和宏观两种尺度之比作为一种小参数，它不详尽表示域中各点的材料属性而 以一种近似的方法求解材料的弹性模量。但目前均匀化方法可求解的问题类型有限，设计 变量多，灵敏度计算复杂，优化后的结构常常含有多孔质材料。 ( 2 ) 变密度方法 变密度法【l5 】是结构优化设计中另一种较为有效的物理描述方法，它是在均匀化方法的 基础上发展而成的。变密度法是由m l e n e k 和s c h i r m a c h e r ( 1 9 9 3 ) 所提出，其目的是为 改善均匀法设计变数繁多，面对复杂结构设计时，计算过于复杂且费时的缺点。 变密度方法的基本思想是人为地引入一种假想的密度可变的材料，人为假定相对密度 和材料弹性模量之间的某种对应关系。优化时以材料密度为拓扑设计变量，这样结构拓扑 优化问题被转换为材料的最优分布问题。整个结构进行优化后，各个单元各有不同的密度 值，最后根据每个单元密度值的大小，来决定该单元的存在与否。变密度方法基于各向同 性材料，不需引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量， 程序实现简单，计算效率高。变密度法中常见的插值模型：固体各向同性惩罚微结构模型 ( s o l i di s o t r o p i cm i c r o s t m c t u i e s 嘶t hp e n a l i z a t i o n ，s i m p ) 、材料属性的合理近似模型 ( r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no f m a t e r i a lp r o p e r t i e s ，凡m p ) 。s i m p 或r a m p 通过引入惩罚因 子对中问密度值进行惩罚，使中间密度值向o 1 两端聚集，使连续变量的拓扑优化模型。 变密度法对中间密度材料无法解释，另外受均匀化方法的影响，目前变密度法模型中 普遍采用结构柔顺度作为目标函数影响了实际工程的应用。 8 第一章绪论 ( 3 ) 渐进结构优化法( e v o l 而o n a r ys t m c t u 】旧o p t i m i z a t i o n ) 渐进结构优化( e s o ) 最早是由澳大利亚华裔学者谢忆民于1 9 9 3 年提出来的。随后 该方法得到了荣见华等人的发展，成功应用于包含应力、位移( 刚度) 、临界应力和动力 学约束的众多结构拓扑优化领域。与均匀化方法、变密度法不同的是，e s o 方法属于准 则法而后者属于数学规划法。e s o 方法的基本概念简单，即通过将无效或低效的材料一 步步去掉，结构也将逐步趋于优化。在优化迭代中，该方法采用固定的有限元网络，对存 在的材料单元，其材料编号为非零的数，而对不存在的材料单元，其材料编号为零，当计 算结构刚度矩阵等特性时。不计材料数编号为零的单元特性( 通过数据映射转换，建立固 定有限元网格数据信息和计算结构刚度矩阵等特性所需的有限元网格数据信息关系) 。通 过这种零和非零模式实现结构拓扑优化。特别是，该方法可以采用已用的通用有限元软件， 通过迭代过程在计算机上实现，算法通用性好，不仅可解决尺寸优化，还可同时实现形状 与拓扑优化( 主要包括应力、位移、刚度或临界应力约束问题的优化) 。尽管该方法在收 敛性的证明方面有所欠缺，但许多算例已经证明该方法在解决实际问题时是非常成功的。 e s o 法的另一个突破是双方向进化方法( b i d i r e c t i o i l a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ) 。传统的e s o 法允许删除单元，在某些迭代步，由于错误地删除一些单元， 而后又不能恢复，相对来说影响了方法的可靠性，其进化方式限制了它的应用。对于基于 应力的双方向法q u 嘶n 进行了详细的研究，双方向法的基本原理是：在高应力单元周围 增加单元和删除低应力单元。该方法采用类似于单元删除率和单元进化率类似的单元增加 率( 较大的值) 和相应的单元进化率( 负值) 以及震荡数，以进化方式增加单元。在该算 法中，主要存在多次震荡和过多的迭代步和计算时间等问题，甚至在某些迭代步，存在刚 度矩阵条件差的构形，导致求解的困难。且该方法较适合于获得具有一定材料的最佳拓扑。 渐进结构优化法与传统均匀化方法相比，最大的优点就是不存在传统结构优化法中常 会遇到的算法困难问题；另外有效的利用有限元分析软件，并通过迭代来实现优化目的。 各类结构的尺寸优化可以用此方法解决，形状和拓扑优化也可同时实现。其缺点是初始的 设计区域中必须足够大，且计算非常耗时。 总体而言，渐进优化方法尚属一种正在发展中的方法，在解决结构优化问题上虽然具 有其他方法不具备的优势，但还存在计算效率低下等诸多缺点。 ( 4 ) 拓扑描述函数优化法( t o p o l o g yd e s c r i p t i o n 缸l c t i o n ，简称t d f ) 拓扑描述函数也可以称之为水平集函数，是由s e t h i a i l 和w i e g n l 锄于2 0 0 0 年首先引 入结构优化领域的。是指定义在初始设计区域中的一个函数，结构中实体以及孔洞区域分 9 河海大学硕士学位论文 别用此函数值大于和小于零的部分来表示，结构的边界则用其零水平集表示。要改变结构 拓扑，只需改变拓扑描述函数即可。在数值实现上，采用有限元法来离散拓扑描述函数， 并利用数学规划法求解作为设计变量的t d f 节点值。这样，避免了求解复杂的h a m i l t o n j a c o b i 双曲守恒方程，彻底摆脱了限制计算效率的c f l 条件，并进一步提高了该算法 的计算效率【1 6 1 。 传统变密度法是对材料密度进行单元分片常数插值，而连续体结构拓扑优化法是对拓 扑描述函数进行节点插值，在有限元计算中，单元刚度值利用平均化技术获得。所以，此 拓扑优化算法蕴含了一种非局部效应，从而避免了棋盘格式等数值不稳定现象的出现。另 外，传统算法处理此类优化问题时易引发的边界扩散效应问题，也得到了有效控制。因此， 对于大规模拓扑优化问题的求解更适用于该方法【1 7 1 。 ( 5 ) 全应力设计方法( f u l l ys 仃e s s e dd e s i g i l ，简称f s d ) h i n t o n 和s i e n z 等学者于1 9 9 5 年提出全应力设计方法。此法是根据结构各元素所承 受的应力，即可决定该元素的存在与否，使得在改变结构的过程中，分析不同设计结构的 执行次数减少许多，减少了拓扑结构的复杂性，而对于网络格较细、元素较多的结构，效 果则相当显著。而该方法的缺点就是并没有考虑到应力灵敏度。 ( 6 ) 泡泡法( b u b b l em e t h o d ) 泡泡法是19 9 4 年由e s c h e n a u a r 等人提出来的，这种方法实际上是连续体形状优化 中边界变分法的推广，同时考虑了拓扑形式，是在连续体内和边界上形成孔洞( 泡泡) ， 通过一些特征函数来实现孔洞及其他边界的形状优化，决定孔洞在结构的最优位置，从而 达到连续体的拓扑优化的目的。优化过程包括新孔的引入、定位，孔及其它边界的形状优 化。最初这些方法一般是针对应力约束问题提出的，但目前都可以处理位移约束或刚度约 束，也可以处理多工况及三维问题。 ( 7 ) 软杀法( s o r 飚uo p t i o n ，简称s k o ) 和硬杀法( h a r d l l ，简称h k ) 硬杀法的基本概念一般是将设计区域划分为若干规则的矩形或三角形区域作为有限 元，通过结构分析，计算出单元中心处的应力，据此改变单元材料的厚度、密度或弹性模 量等参数，再重新进行结构分析，如此反复迭代。在改变材料参数时，为避免过小值可能 导致的刚度奇异，可以删除这些单元。这种方法在设计过程中由于同一单元采用同厚度， 被删掉单元附近的厚度及边界剧烈变化，很容易产生应力集中。其被删除单元相邻的单元 应力会明显升高，而不宜再被删掉，从而导致单元相间删除，使拓扑结果难以应用于工程 实际。 1 0 第一章绪论 软杀法( s k o ) 是于1 9 9 2 年由b a u m g a r t n e r 等人基于仿生学提出来的一种拓扑优化 方法【1 8 1 。由卡尔斯鲁尔核研究中心开发的计算机辅助优化方法( c o m p u t e ra i d e d 0 i p t i m i z a t i o n ，c a o ) 模拟一种凭借经验确定的生物学增长规律，即生物体在生长过程中 为会避免应力集中，生物增长载体始终借助于形状的变异来降低应力峰值，或使应力分 布均匀化( f s d ) 。这正是设计师力图实现的结果。该规律可表述为：向高荷载区域贮存 材料，并从低荷载区域去除材料。基于c a o 方法的软杀法就是模拟一种凭借经验确定的 生物学增长规律。这种方法的缺点在于，它只能应用于某个特定问题，这里针对的是应力 问题。然而，这种方法也因此而具有它的优越性，即设计空间不受限制，而且用户也不必 担心会由于在对形状变异的描述上作了一个不恰当的选择而得到远离优化解的结果，软杀 法可作为均匀化方法的替代方法。 1 3 主要研究内容 本文针对拓扑可变荷载作用下的连续体拓扑优化问题，研究分析传统e s 0 方法在进 行上述优化问题时存在的问题，并针对这些问题基于组合准则法，对多个模型实现拓扑可 变荷载作用下的连续体拓扑优化工作。主要研究内容： ( 1 ) 综述结构拓扑优化的发展及研究现状，分析国内外连续体结构拓扑优化各种方 法的优缺点，阐述了连续体结构拓扑优化问题的必要性。 ( 2 ) 基于等效应力准则e s o 方法对重力坝断面进行拓扑优化，针对优化历程中出现的 不稳定现象进行修正，得出了较优的重力坝断面形状。 ( 3 ) 分别运用单一主应力删除准则和最大拉应变准则对压力占优的结构进行拓扑优 化，两种删除准则的拓扑结果相差很大，本文提出基于主应力删除准则和最大拉应变删除 准则的交替组合准则法，基于组合准则对竖向集中力作用下的简支梁进行拓扑优化，得到 的拓扑优化结果接近于经典解答。进一步对组合准则法进行分析研究，克服组合准则法迭 代次数多、效率低下的缺陷，本文又提出组合准则的改进算法，即同时使用两种准则对压 力占优的结构进行拓扑优化，最终得到拓扑优化结果接近于经典解答，从而证明方法合理 有效。 ( 4 ) 将组合准则及其改进算法应用于可变荷载作用下压力占优的连续体结构，设计 套对可变荷载自动辨析、自动加载的a p d l 语言程序。算例结果表明组合准则的改进算 法可以有效的消除单一删除准则中出现的问题，具有一定的可行性和实用性。 河海大学硕士学位论文 第二章基于e s o 法连续体的拓扑优化 结构拓扑优化可以提供给人们意想不到的设计方案，这也是结构优化最具有吸引力的 研究领域。结构拓扑优化是当前结构优化领域内最具有挑战性的课题之一，同时也是结构 优化设计领域的研究热点之一，但