（应用数学专业论文）banach空间中随机非线性算子的研究.pdf

abs t r a c t ab s t r a c t r a n d o m n o n l in e a r o p e r a t o r t h e o ry i s b e c o m i n g m o r e a n d m o r e i m p o rt a n t i n t e r g r a d i e n t o f r a n d o m n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s . i t h a s m u c h c l o s e d r e l a t i o n t o t h e o t h e r m a t h e m a t i c a l b r a n c h e s . e s p e c i a l l y , i t p l a y s a n e s s e n t i a l ro l e i n e s t a b l i s h i n g t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n s o f s e v e r a l k i n d s o f r a n d o m e q u a t i o n s . 加 t h i s t h e s i s , r a n d o m n o n l i n e a r o p e r a t o r s a n d r a n d o m o p e r a t o r e q u a t i o n s 加b a n a c h s p a c e a r e s t u d i e d b y a p p l y i n g t h e r a n d o m t o p o l o g i c a l d e g r e e , r a n d o m fi x e d p o i n t i n d e x m e t h o 氏p a r t i a l o r d e r a n d i t e r a t i v e m e t h o d s . t h e m a t e r i a l i n t h i s b o o k i s p r e s e n t e d i n t h r e e c h a p t e r s . 玩c h a p t e r o n e , t h e b a c k g r o u n d s a n d c u r r e n t s i t u a t i o n o f r a n d o m fi x e d - p o i n t t h e o r i e s o f n o n l i n e a r o p e r a t o r s a r e i n t r o d u ce d , a n d t h e p r e l i m i n a r i e s i n b a n a c h s p a c e s i s g i v e n , w h i c h i s n e e d e d t o s t u d y t h e r a n d o m fi x e d p o i n t s o f n o n l i n e a r o p e r a t o r s . i n c h a p t e r t w o , u t i l i z i n g t h e m e t h o d o f r a n d o m t o p o l o g i c a l d e g r e e a n d r a n d o m f i x e d - i n d e x , w e d i s c u s s t h e e x i s t e n ce o f r a n d o m fi x e d p o i n t s a n d r a n d o m s o l u t i o n s o n r a n d o m s e m i - c l o s e d 1 - s e t - c o n t r a ct i v e o p e r a t o r s , r a n d o m c o n s t a n t 1 - s e t - c o n t r a ct i v e o p e r a t o r s a n d r a n d o m o p e r a t o r e q u a t i o n s s u c h . a ( m , x ) - ,u x ( 1j x 1 ) u n d e r d i ff e r e n t b o u n d a ry c o n d i t i o n s . we a l s o o b t a i n s e v e r a l n e w r e s u l t s a n d e x t e n d a s e r i a l o f i m p o r t a n t t h e o r e m s . i n c h a p t e r t h r e e , b y a p p l y i n g p a r t i a l o r d e r a n d i t e r a t i v e m e t h s 奴w e f i r s t s t u d y t h e e x i s t e n ce , u n i q u e n e s s a n d c o n v e r g e n ce o f i t e r a t i v e s e r i e s o f t w o p o i n t e x t e nd m i x e d r a n d o m m o n o t o n e o p e r a t o r s a n d r a n d o m fi x e d p o i n t s o f r a n d o m n o m r r i x e d m o n o t o n e o p e r a t o r s i n t h e p a r t i a l o r d e r s p a c e s i n d u ce d b y c o n e s . s e c o n d l y , w e d i s cus s t h e p r o b l e m o n r a n d o m c o m m o n fi x e d p o i n t s o f r a n d o m n o n l i n e a r o p e r a t o r p a i r s . f i n a ll y , w e s t u d y t h e u n i q u e n e s s o f r a n d o m f i x e d p o i n t s o f r a n d o m m o n o t o n e a n d t h a t o f m i x e d m o n o to n e o p e r a t o r i n t h e p a r t i a l o r d e r s p a c e s i n d u c e d b y f u n c t i o n s . k e y w o r d s : r a n d o m f i x e d p o i n t i n d e x ; r a n d o m fi x e d p o i n t s ; n o r m a l c o n e ; p a r t i a l o r d e r , 讹r a t i o n 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导 师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果.据我所知，除了文中 特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含 其 他 人已 经 发 表或 撰 写 过的 研究 成 果， 也 不 包 含为 获 得 丛进遭一 或 其 他 教 育 机构的学位或证书而使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意. 学 位 论 文 作 者 签 名 : 辣，晰签 字 日 期 : 7-o 07 年 “ 站 日 学位论文版权使用授权书 本 学 位 论 文作 者 完 全了 解南昌大李 有关 保 留、 使 用 学 位 论文 的 规 定， 有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅. 本人授权 南昌大李 可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库 进行 检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文. ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学 位 论 文 作 者 签 “ -w 签 字 日 期 : ; 叼 年6 月2 s 日 、 签名:4 +t 签 字 日 期 :妙年 ” 0 学位论文作者毕业后去向: : 51 4-q t)t 协 脚 峥 偷 穴 昏 工作单位 通 讯地址 二杯 和 ，卜铸 阅 软 医 嗦 帕 大 通 j亏 将 电 话 :t3 g 7 0 5 s a v e s 邮 编 : 3 o o z z 第i 章引言 第1 章 引言 随机不动点理论是目 前正在迅速发展的 随机非线性泛函分析理论的重要组 成部分， 它与 近代数学的 许多分支有着紧密的 联系. 特别是在建 立各类随机方 程( 其中包括各类随机线性或随机非线性方程，确定或非确定的随机微分方程， 随机积分方程以及各类随机算子方程) 解的存在唯一性问题中起着重要的作 用. 研究随 机非线性算子的随机不动点 方法很多，特别值得注意的是其中的随 机拓扑度和随 机不动点指数方法以 及单调迭代和半序方法. 本章主要介绍随机 算子方程和随机不动点理论的 历史背 景、 现状以 及相关的 预备知识. 1 . 1历史背景与现状 随机算子方程和随机不动点 理论的 研究始于二十世纪五十年代， 以h a n s 和 s p a ce k 为首的捷克布拉格学派对随机不动点理论作了开创性的工作.由于 b a n a c h 压缩映照原理、s c h a u d e r不动点定理和 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理在确 定算子方 程中的重要作用，因此， 他们最早的工作就是把这些定理随机化，并 把所得结果应用于线性和非线性积分方程解的研究.在国内，王梓坤首先接触 到该 领域，张石生、 丁协平、 李国 祯、朱 传喜等都取得了丰富而有意义的 研究 成果. 众所周 知， 在实b a n a c h 空间上，非 线性算子的l e r a y - s c h a u d e r 拓扑 度和 不动点指数理论是研究非线性算 子方程定 性理论的基本方法之一 为此， 李国 祯于 1 9 9 3 年和 1 9 9 6 年分别提出了 随 机拓扑 度和随 机不动点指数概念，为 研究 随机非线性算子的 随机不动点定 理提供一 种基本方法. 利用随机拓扑度和随机 不动点 指数理 论，朱 传喜推广了许多著名的定 理， 如: r o t h e定理， p e t r y s h y n 定理， a l t m a n 定理以及l e g g e t t - w i l l i a m s 定 理等. 在介绍利用单调迭代技巧和半序方法证明随机不动点 存在唯一 性之前，先 介绍一下半序方法在非线性分析中的应用.自 二十世纪八十年代初以来， 郭大 钧和他的学生孙经先，杜一宏等利用半 序方法来研究缺乏紧性或缺乏连续性条 件的非线性问 题， 并获得一系列 新的结果，主要有:( 一) 在完全不考虑紧 性的 第1 章引言 条件下， 仅使用有关序的 某种不等式，获得了 增算子，减算子以 及混合单调算 子的不动点的存在唯一性以 及迭代序列的收敛性，并应用于无界区域上的非线 性积分方程.( 二) 在完全不 考虑连续性的条件下，仅使用弱紧性条件，获得了 增算子的若干新的不动点 定理， 并应用于右端有间断项的非线性微分方程. ( 三) 将半序方法系统地应用于 b a n a c h空间非线性积分一 微分方程 ( 包括脉冲型方 程) .另外，李福义、张 志涛、 梁展东、赵增勤、李国祯、许绍元等都对各种类 型单调算子的不动点存在性、 唯一性以及迭代序列的收敛性问题做了 较为深入 的研究. 近几年， 李国祯和他的学生段华贵等在实可分b a n a c h 空间中引入随机单调 算子和随机混 合单调算子的 概念，利用锥理论和单调 迭代技巧证明了不 动点的 存在性 和唯一性， 利用极限 定理和可测函数的复合定理证明了 函数的随机性. 并 将结果应用于随机 h a i口 口 e r s t e i n积分方程的求解中.这为随 机不动点理论的发 展开辟了一块新天地. 2预备知识 设( q ,e , u ) 表 示 一 完 全 概 率 测 度 空 间 ， 即 : q 是一 非 空 抽 象 集 合， 其 元 素m 称为基本事件: e 是q的 某些子集所成之。 一 代数; p 是b 上的一 个概率测度. 设 x 和y 均 表 示b a n a c h 空 间 ， b ( x - n为由 x 到y 的 有 界 线 性 算 子 的 全 体 所 成 的 b a n a c h 空间， b ( x ) 为由x 到x 的有界线性算子的全体所成的b a n a c h 空间. 设声 表x 中 开 子 集 所 产 生的b o re l -o 一 代 数， 详尹 ) 为 可 测 空 间: x 回 : q -x 称 为 可 测 向 量函 数随机 变量 ) ， 如 果 对 任意b e ,8 , x 一 ( b ) - w e q 卜 ( m ) e b ) e e . a 表示非紧性测度， a . s . ” 表示几乎处处. 定义 1 . 2 . 1 称可测的向 量值函 数x : q一x为广义随 机变量或x 一 值随机 变量或e 泊 。 超 b 空间值随机变量， 简称随 机变量. 设e 为 可 分的b a n a c h 空 间， 用v ( q ,e ) 表 示 定 义 于。 的e 一 值随 机 变 量 全 体 所 成 之 集， 则v ( q ,e ) 关 于 加 法 和 数 乘 是 封闭 的， 即 v ( q , e ) 是 一 线 性 空 间. 定 理1 . 2 . 1 ( 极 限 定 理 ) 设 . ( . ) ) s v ( q ,e ) ， 若 . ( ) 弱 几 乎 处 处 收 敛 于向 量 值函 数x ( m ) ， 则 x ( m ) e v ( q ,e ) . 由于 在 可分的 b a n a c h 空间中 ， x ( m ) 是强 随机 变量p x (m ) 是随 机 变量 .z ( o i) 是弱 随 机变 量 ， 因 此 只 要x 是 可 分 的 ， 则 我 们 即 可 直 接 说b a n a c h 空 间 第1 章引言 值随机变量或 x 一 值随机变量，而无需提及到底是在哪种意义下. 定义 1 . 2 . 2 设有映 照t : q x x -y， 满足，y x e x 取定，t ( w , x ) - y ( w ) 为 一y - 值 随 机 变 量， 则 称t ( 或t (w , x ) ) 为 一 随 机 算 子 . 如果 对 所有 的。 e q , t ( m ) 在、 处 连续 ， 则 称随 机 算 子t 佃) 在 x o e x 处 是 连 续 的 . 如 果y w e q ,t (w ) 均 为x 到y 的 连 续 算 子， 则 称t ( w ) 在x 上 连续 ， 或 称t ( m ) 为x 上的 连 续随 机 算 子 . 定 义1 . 2 . 3 若随 机 算 子t :q 一b ( x 一y)满 足: 存 在 一 非 负 实 值随 机变 it m ( w ) , 使 y x e x ， 有 iit ( - a s m ( w ) ilx ll . , . ， 则 称 t (w ) 为 有 界 线 性 随 机 算 子 ， 或随机有界线性算子. 定 义1 . 2 . 4 设 映 照t : q x x- + x为 一 随 机 算 子 ， 若映 照g : q 一x满 足: t ( w )o 侧 - 9 佃) a s .， 则 称氛 叻为 随 机 算 子t 间 的 广 义 不 动 点 . 另 外若 映 照 若 可 侧， 则称夸 为t 的随 机不动点. 定理1 . 2 . 2 4 ( 复合定理) 设x 是可分的b a n a c h 空间， b 是x 上的b o r e l 集 类，t ( w ) 是q到b ( x ) 的随机算子，x ( w ) 是 x - 值随机交it.若令 式 叻 - t ( w ) x ( c o ) ，则y ( w ) 是一x - 值随机变量. 事实上，当 x 为 p o l i s h空间 ( 可分度量空间)或可分的 b a n a c h空间时， 有下面的复合定理. 复 合定 理 设 t : q x x -x是 连 续 随 机 算 子， 戏 叻是x 一 值随 机变 纽. 若 令 y ( w ) - t ( w ) x (w ) ， 则y ( w ) 也 是x 一 值 随 机 变 量. 设双 劝为 其值在b (x一均的 随机 算子. 若v w e q ,t 间 均存在 逆算子 t ( w ) ， 则由b a n a c h 逆 算 子 定 理 ，t 间 必为 由y 到x 的 有 界 线 性算 子 . 我 们 即 称v( w ) 为 随 机算 子 t 恤) 的 逆 算 子. 当 t 回 几 乎 处 处 存 在 逆 算 子t ( w ) 时 ， 我们也称t 佃) 为随 机算子t 佃) 的逆算子. 定理1 . 2 . 3 ( 随 机逆算子定理) 设x 是一可分的b a n a c h 空间， y 是一b a n a c h 空间 . 若 t ( w ) 为 其 值 在b (x - + y ) 的 随 机 算 子 且v w e r , t ( w ) 为由x 到y 的 一 一 对 应， 则t ( w ) 也为( 其 值 在b ( x，均的) 随 机 算 子 . 定 理1 . 2 . 4 (u 设x 为b a n a c h 空 间 ， t e b ( x ) ,iit i卜 则 ( i ) i 一 t 有有界 逆算子: “ (i - t ，一 i t ,(t o ， ， (iii) ii(i 一 : )i i5 渐 第1 章引言 以 下均设e 是一个实b a n a c h 空间，d 是e 的子 集，于是d x dce x e . 定义 1 . 2 . 5 ( i ) 如果p 是e 中 某非空凸闭 集， 满足条件: ( a ) x e p , a 二 o = * . a x c p ; ( b ) x e p , xe p = o x = b ( b 表示e 中 的 零元) ， 则称p 是e 中一个锥. ( i i )设p 是e 中一个锥. 如果p 非空( p 表p 的内 部) ， 则称p 是一个体锥. ( i i i ) 给 定e 中 一 个 锥p 后 ， 则 可 对e 中 部 分 元素 x , y 引 入 序 关 系. . 如 下 : x s y ， 如 果y x e p . 并 称 此半 序“ . 为由 锥 p导 出的 半 序. 若x s y , x o y ， 则 记 x 0 ， 使当ll- d 卜 仁卜1 a e p , x 2 e p时，恒有 仁 + x 2 卜 ， 则 称 锥p 是 正 规 的 . 根据正规锥的定义， 可以 证明下面的等价条件. 锥p 正规的充分必要条 件有: ( i ) 存 在常 数n o ， 使 得当o s x s y 时 ， 恒 有ilx l卜n ily ll ( 此 性质 称 为 范 数 关于p 是半单调的，满足此式的最小的n 称为p 的正规常数) ; ( i i ) 任 何 区 间 (x 1 ,x 2 j = x 卜 二 、 都 是 有 界 的 ; ( i i i ) x , “. s y x , -x , y , -x = v . z , -x . 定义1 . 2 . 7 0 算子a : q x d - e称为随机单调增( 减) 算子， 若对任意给定 的x e d , 拟 ,x ) :q - + e 是 可 测 的， 而 对 任意 给 定 。 e q , a ( w ; ) : d . e 是 依 e 中 半 序. .对x是单调增( 减) 算子， 即若 ; y e d , x :z y = :, v w e q , a ( m ,x ) s a ( w , y x a ( w x ) 二 a ( a y ) ) . 定 义1 . 2 . 8 设 算 子a : q x d x d 一e , ( i ) 如果 对 任意 给 定( x , y ) e d x d ,a ( -, x , y ) : 9 一e 是 可 测的 ， 而 任 意 给 定 w e q , a (w , , ) : d x d -e 是混合单调的( 即xx 2 , y i . y 2 e d +x , as x v y , = y z = a a 俩x , +y , ) s a ( w . x 2 . y z ) ) ， 则 称a 是 随 机 混 合 单 调 的 : ( i i ) 如 果x ( w )+ y (w ) : q e 均 为e 一 值 可 测向 量 函 数， 使 x ( w ) 一 a ( w , x ( w ) , y ( w ) ) , y ( w ) 一 a ( w , y ( w ) , x ( w ) ) , 则 称(x ( w ), y ( w 是a 的 一 个 随 机 藕 合 不 动点 ; ( i i i ) 如 果( i i ) 中 x ( w ) - 烈 。 ) ， 则 称x (w ) 是a 的 一 个随 机 不 动 点 . 定义 1 . 2 . 9 “算 子 a ( w ) : q -l ( e ) 称 为 随 机自 同 态， 如 果 a ( m ) 是l (e ) 值 随 机 变 量， 其中 l ( e ) 为e 中 有 界 线 性 算 子 的 全 体 . 在实b a n a c h 空间上， 非线性算子的l e r a y - s c h a u d e r 拓扑 度和不 动点 指数 理论是研究非线性算子方程定性理论的基本方法之一显然将 l e r a y - s c h a u d e r 第1 章 引言 拓扑度和不动点指数概念和理论随机化，建立随机拓扑度和不动点指数理论， 必然为研究随机非线性算子的不 动点定理提供一 种基本方法. 为此， 李国 祯、 陈玉清 在 1 9 9 3 年文 4 3 引入了随机全连续场( 随机严格集压缩场，随 机凝聚 场) 的随机拓扑 度理论. 定义1 . 2 . 1 0 随机算子f : l 2 x 万- + e 称办 e - 值全连续随机 算子， 若对几 乎 所 有 。 e q , f 伽， .) 在6 上 全 连 续. f - l - f : q x f) 一e 称为 随 机 全 连 续 场， 若 f 随 机全 连续， i 为 e 上 恒同算子. 定 义1 . 2 . 1 1 设f : 。 二 万 - e 为 全 连续 随 机 算 子， - 1 - f , p e e f ( m , j d )满 足 ， 间- d (p , f ( m , b d 一 蕊ii f (m ,x ) - p 0 . 则 对 几 乎 所 有。 e r , l e r a y - s c h a u d e r 度d e g ls ( f ( w , -) , d , p ) 有 定 义， 则由 下 列 概 整 值函数定义随机全连续算子的随机拓扑度: d e g ( f 俩冰d , 对- d e g rs ( f (- , -) 从 , d ,p )., ( 1 .2 1 ) 其 中。 0 - m : f ( m ,-) 全 连续 ，p e e f ( m , 8d ) , u ( g o ) - i. f (w ,x ) lo . 表 f (d ,x ) 在a 。 上的限制.显然， 若随机全连续场f 8 满足，对几乎所有 w c- q , f ( m , x ) - 8 (- . 4则d e g ( f , d ,p ) - d e g ( g ,d , p ) . 因 此， d e 8 (f a p ) 是 随 机 全 连续场 等价类的 概整值函数， 具有拓扑度的基本性质. 如正规性， 可加性， 换底 性，随机可解性;此外切除性，边界值，连通区，缺方向性等性质也成立. 继文 4 3 之后， 1 9 9 6 年， 李国祯在 文 4 5 中建立了随机1 一 集 压缩算子的随 机不动点指数理论， 得到了 一些新的随机不动点定理，为研究各类随机积分方 程提供了一些存在性原理，给出了 在随机 h a mme r s t e i n积分方程的应用( 见 4 6 , 4 7 ) . 定义 1 . 2 . 1 2 随机连续有界算子a : l 2 x 万ye 称为 e - 值随 机半闭 1 一 集 压 缩 算 子， 若 对 几乎 所有。 e d , 减 。 ，.)是6 上半 闭1 一 集 压 缩算 子( a 是1 一 集 压 缩 算 子， 且i 一是 闭 算 子 ) ， 且 对 任 意 的x e 反a ( -,x ) : 9 - e 是e 一 值 随 机 算 子. 这 种算子是比 随机凝聚算子更广泛的 算子. 定 义 1 . 2 . 1 3 设 a 是拓扑 空 间 x的子 空 间， 如 果存 在 随 机连 续映 射 r : q x x -a，使当x e a时， 俩x ) - x . -，则 a称为 x的随机收缩 核.r : q x x一a叫做一 个随 机收缩映 射. 第1 章引言 定义 1 . 2 . 1 4 0 设x 是e 中 一个收缩核， u 是x 中有界 开集， a : q x 叮x 是 随 机 半闭1 一 集 压 缩 算 子 ， 且( w , x ) e q x a u ,a ( w , x ) o x , 二 . ， 我 们 定 义a 在u 上 关于x 的 随 机 不 动 点 指 数 i, (a , u , x ) 如 下 : 4 (a ,u , x ) - i( a 从 ,u , x )., ( 1 .2 .2 ) 其中0 0 - w : a ( w , ) 是 半 闭1 一 集 压 缩 算 子(w , x ) e 12 x a u ,a ( w , x ) p, x ) , u ( q 0 ) - 1 , a 从 表a 在 。 。 上 的 限 制 ， i ( a 从 , u , x ) 表 当 w e 1 2 。 时 ， a (w , -) 从 在u 上 关 于x 的不动点指数. 定 理1 . 2 . 5 ， ( 1 . 2 . 2 ) 式定 义 的 随 机 不 动 点 指 数i ( a , u , x ) 是 随 机 算子 等 价类的概整值函数，具有如下基本性质: ( 1 )正 规性 : 设成 w ,x ) - x r , (w , x ) e q 二 仄 ir(a ,u ,x )- 位 x0 e u ,x. 14 u . ( 2 )可加性: 若 u u : 是 u中互不相交的开集 ( 关于 x ) ，对几乎所有 w ( e q , x e u 以 u 矶) , a ( w , x ) o x ， 则 i r ( a , u , x ) - i r ( a , u , x ) + i , ( a , u 2 , x ) _ . ( 3 )同 伦 不 变性 : 设h: q x ( 0 , 1 x u ) 一x是 随 机 连 续 算 子 ， 对 几 乎 所 有 w e q 和任意固 定的 t , h 俩t ,-) : 万 x是半闭 1 一 集压缩算子; 对任给 ( w ,x ) e q 二 u , h ( m ,-,x ) : 0 ,1 - + x 对 任 何to e 0 , 1 连续 性 关 于x e u 是 一 致的 ， 且 ( m ,t ,x ) e 。 二 0 ,1 x a u时 ，h ( m , t ,x ) r x . , . ， 则 对 于 t e 0 , 1 ， i ( h , u , x 卜c o n s ta n t. . . ( 4 ) 随 机 可 解 性 : 若ix ( a , u , x ) o 0， 则a 至 少由 一 个u - m 随 机 不 动 点 . 保 持 性: 若y 是x 的 收 缩 核 且a ( m ,u ) c 犯 j . ， 则 i ,r ( a , u , x ) - i ( a , u n y , y ) . , . . ( 6 ) 切 除 性: 若v 是u 中 开 集 ， 且 对 每 个。 e q , x e u v 有a ( m ,x ) o x ， 则 i , ( a , u , x ) - i ( a , v , x ) . , . . 注: 在上述定义 和定理的叙述中， 不失一般性可省去“ 几乎处处a . s . 气 事 实 上， 否 则 我 们只 须 在q o c q 上 进 行 讨 论 ， 其中 风 线) - 1 . 所 得 结 果 在9 上 是 “ 几乎处处”成立. 第2 章 随机非线性算子和随机算子方程 第2 章 关于随机非线性算子和随机算子方程 在 实b a n a c h 空 间 上， 非 线 性算 子 的。 :r a y - s c h a u d e r 拓 扑 度 和 不动 点 指 数 理 论是研究非线性算子 方程定性理论的基本方法之一同样，随机 拓扑度和随 机 不动点指数理论也为 研究随机非 线性算子的随机算子方程和随机不动点定 理提 供一种基本方法. 2 . 1 随机算子不动点指数的几个新定理 设e 是实可分的b a n a c h 空间， p 是e 中一 个锥， d 是e 中 有界凸开集. 引 理2 . 1 . 1 设了 - i - a : 。 二 万e 为 随 机 全 连 续 场， 则了 是 随 机闭 映 射， 即 对v w e q ， 闭 集s c 万的 象f ( w .s ) 都 是闭 集， 而 对v x e d , f ( , x ) : q - e 是 随机算子. i ie na 对v w e q ， 设 ( - ) e f (w , s ) ,z . ( m ) -z o ( m ) e e ， 要 证z o ( w ) e f (w , s ) 由f - i - a 知 存 在 ( m ) e s ， 使 z . 间 . f (w , . ( w ) ) - x ( w ) - a ( m , x . (w ) ) 由a 随 机 全 连续 知 ， 存 在 子 列a 俩气( w ) y o ( m ) e e ， 从 而 ， 注 意 到s 闭 知， 、间- z,%间+ a (m ,x y ( w ) -z o ( w ) + y o (m ) -0 x o ( m ) e s , 再根据a 的随 机连续性， 得 z o ( w ) - x o ( w ) - a ( w , x o ( w ) ) - f ( w , x o ( - ) ) . 故z o w e f (w , s ) ， 即 对v w c- q , f ( w ,) 是闭 映 射 . 另 一方 面 ， 由a 为 随 机 全 连续 算子 ， 知 对 we b , a ( -, x ) : q - + e 为 随 机 算 子 .令 v (q , e ) 表 定 义于 q 的 e 值 随机 变 量的 全体 ，则对 v w e q , a (w , x ) e v ( 众 e ) . 由e 为 可 分 的b a n a c h 空 间 ， 可 知v (q , e ) 关 于 加 法 和 数乘运算封闭( 参见文献 4 ) ，从而有， ( m ,x ) - x - a ( w , x ) e v ( q , e ) ，即 f ( -,x ) : q e 是 随 机 算 子 . 综 上 ，了 是 随 机闭 映 射 . 引理2 . 1 . 2 w ( 随 机全连续 算子延 拓定理)设e , 和e , 是实 可分b a n a c h 空间， g 是e , 中 某闭 集 ， a : e x g 凡是 随 机 全 连 续 算 子， 且a ( q x g ) 是e z 中 列 紧 集 . 则 必存在随机算子a : c a x 式.凡随机全连续，使当x e g时，恒有 a ( w .x ) - a ( w , x ) . . ， 且a ( q x e ,) c c o ( a ( q x g ) ， 这 里 c o (a ( 0 x g ” 表a 的 值 第 z 章随机非线性算子和随机算子方程 域在e , 中的凸闭 包. 定理 2 . 1 . 1设a : q x ( p n f) ) - + p 是一个随机半闭 1 一 集压缩算子， b : q x ( p n a d ) - + p 是 一 个 随 机 全 连 续 算 子， 且b ( q x (p 门 8 d ” 列 紧 . 如 果 满 足 ( i ) in f ., en iib ( m ,x l 0 , ( i i ) v x e p n a d , x 二 o , t e 0 , 1 ， 有x 一 ( 1 - t ) a ( m , x ) r t a b ( ru , x ) a . s . ， 则 i, (a , p n d ,p ) - 0 . 证明 由 于p n a d 是e 中 有 界闭 集， b ( q x ( p n d d ”列 紧， 因 此 根 据引 理 2 . 1 . 2 可 将b 保 持 随 机 全 连续 性 延 拓 到。 x 伊门 功上 ， 延 拓 后 的 算子 仍 记为b . 记 p 一 m f . . , , r p ll8 ( m ,x i , m- 4 s u p . r n n 1 1 ， 一s u p , , 口 , p ia (- .x i . 取 、 一。 m + m )，令 h , ( m , x ) - ( 1 - t ) a ( a r , x ) + t v ( m , x ) , t e o , l i , ( w , x ) e q x ( p n d ) . 则 i )拭: q x ( p n ,5 ) - + p是 一 个随 机 半 闭1 一 集 压 缩算 子 . 事实上， a ( h , ( , d ) ) - a ( ( i - t ) a ( - , d ) + t l d b ( -, d ) ) s a ( ( 1 - t ) a ( , d ) ) + a ( t a. b ( , d ) ) - ( 1 - t ) a ( a ( -, d ) ) + t a ( d o b ( , d ) ) ( 1 - t ) a ( 功 + 0 0 .由 于 p 是锥， 故由(2 . 1 . 2 ) 式知r ( m x ) e p ，同 时 又有 llr(m ,x ) + t . ii a 警 ， 故 r(w ,x )e w 因 此 一 “ 尸 一 w 是 一 个 随 机 收 缩 映 射 因 为 r ( m , x ) 随 机 连 续， 且当 x e w时 ， 恒 有; (m ,x ) - x ) , ， 是p 的 随 机 收 缩 核 .由 于当x e =- p n 8 d时， 对v w r z g ， 有 1 1 a (w ,x )+ i adb (w ,x) + u,ll- ll-l 4 b (- ,x )l -1-1a (w ,x2 2 2 2 1 一im 1 己 份 2凡j 6 1 - 矛 月 ，m 8 3 m 七 - 8 第 2 章随机非线性算子和随机算子方程 因 此 告 a (w ,x)+ 告 .l o b ( w , 咖 , e w. 故 . 1，、1 r ( - a( w , x ) + - . z2a ,b (w ,x ) 一 告 a (w ,x ) 1 + 2凡 b ( w , x ) , v x e p 门 8 d . 从而根据随机不动点指数的同伦不变