（基础数学专业论文）亚纯函数的正规族及唯一性的几个问题.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文运用n c v a n l i n n a 值分布理论对亚纯函数的正规族和唯一性问题从几个方 面做了一些研究和探讨。在正规族方面，作者得到了一系列的正规定则，从而推 广了方明亮和庞学诚等人的结果；在唯一性方面，作者推广了杨乐，仪洪勋和方 明亮的结果，得到了一系列的唯一性定理。 关键词：亚纯函数，正规族，正规定则，唯一性 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t b yu s i n gt h en e v a n l i n n a sv a l u ed i s i r i b u f i o nt h e o r y , t h i st h e s i ss t u d i e st h e p r o b l e m so ft h en o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p l u cf u n c t i o 船i ns e v e r a l a s p e c t s w i t hr e g a r dt on o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s 1 h ea u t h o ro b t a i n sa s e r i e so fn o r m a lc r i t e r i a sw i t hi m p r o v e dt h er e s u l t so ff a n gm i n g l i a n ga n dp a n g x u e c h c n g ；w i t hr e g a r dt ot m i q u e n e s s ，t h ea u t h o ri m p r o v e dt h er e s u l t so fy a n gl e ，y i h o n g x u na n df a n gm i n g l i a n 舀a n do b t a i n sas e r i e so f u n i q u e n e s st h e o r i e s k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n o r m a lf a m i l y , n o r i n a lc r i t e r i a , u n i q u e n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：彳寸德闵i 签字日期：知7 年石月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名：7 寸稳御j 签字日期：聊7 年占月岁日 导师签名：m 乏 签字日期：1 年6 月f e t 签字日期：”7 年d 月f ) 重庆大学硕士学位论文1 基础知识及本文主要结果 1 基础知识及本文主要结果 1 1n e v a n l i n n a 理论概要 1 1 1 引言 1 9 2 5 年，r n o v a n l i n n a 创立了n e v a n l i n n a 理论，这个理论的建立，为值分布 论的发展做出了划时代的贡献，构建了值分布论的基本理论。8 0 年来，值分布论 在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发展。近年来，这一理论不断发展和完 善，一些历史遗留问题逐步获得解决；同时，它向复分析的其他分支，甚至是数 学的其他领域逐渐渗透。对亚纯函数的唯一性和正规族的研究，其主要工具就是 r n c v a n l i n n a 所创立的n o v a a l i n n a 值分布理论。因此有必要对n e v a r f l i n n a 值分布 理论做一下简要的介绍。下面我们就简要的介绍它的一些基本概念和性质，具体 请参阅文献【l 】、【2 】、 3 】、【4 】、【5 】。 1 1 2n e v a n l i n n a 理论的概念与性质 设f ( z )z l r ，( o r m ) 上的非常数亚纯函数，口为任一复数。 定义1 1n ( r ，力：厂( z ) 在h ，( o ， r 0 0 ) 内的极点个数，重级极点按其重数 计算； n ( r ，s o ：，( z ) 在h i s ( o ， r 0 0 ) 内的极点个数，重级极点只计算一次； 定义1 2n ( r ，j 1 ) ：f ( z ) 在i z i ，( o s r r o o ) 内的零点个数，重级零点按其重数 1 计算； 磊( ，与：f ( z ) ；芷- i z i ，( o ， r s 呦内的零点个数，重级零点只计算一次； ， 定义1 3 对于x 0 ，定义正对数如下： l o g + 善：j l o g 五坨1 ， 【0 ，0 x 0 ) 的集合e ，但每次出现时不一定完全相同。 定义1 1 2 特征函数基本性质：设工( z ) ( ，= 1 ，2 ，p ) 为p 个在h r ( m ) 内亚纯的 函数，则对于0 r r ，有： 丁( ，鱼工) s 艺r ( r ，工) 丁( r ，艺工) r ( ，工) + l o g p 定义1 1 3 设厂( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数如果厂( z ) 一a 的零点 2 重庆大学硕士学位论文1 基础知识及本文主要结果 也是g ( z ) 一a 的零点( 不计重级) ，则记为 厂；a j g = a 或g = a 乍f = a 如果f ( z ) 一a 的 ，( 捍) 重零点也是g ( z ) 一a 的至少“一) 重零点，则记为 f = a 专g = a 或g = a4 - - f = a 因此厂= a g = a 表示厂( z ) 一a 与的g ( 力一a 零点相同( 不计重级) ， f = 0 0 营g = o o 表示厂( z ) 与g ( z ) 的极点相同( 不计重级) ，厂= a h g = a 表示 f ( z ) - a 与g ( z ) - a 的零点相同，而且每个零点的重级也相同。f = 0 0 什g = m 表示 厂( z ) 与9 0 ) 的极点相同，而且每个极点的重级也相同。 定义1 1 4 设，( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数。 如果，= a h g = 4 ，则称a 为，( z ) 与g ( z ) 的c m 公共值， 如果，= a g = 口，则称a 为，( z ) 与g ( z ) 的1 m 公共值 定义1 1 5 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数( 或f ( z ) 的小函数) ，我们用 e ( a ，f ) s d 舔f ( z ) 一4 的零点集合( 计重数) ，用西( 口，) 表示厂( z ) 一4 的零点集合( 不 计重数) 。 1 1 3 一些重要定理 j e n s e n 等式 丁( ，力= h ，习+ l o g i c , j 其中，在原点附近的t a y l o r 展开为厂( z ) = c , z + e + 。z “1 + ( e 0 ) ； n e v a n l i n n a 第一基本定理 设函数f ( z ) 是h r 6o o ) 内的亚纯函数。若a 为任一有穷复数，则对于 0 ， 3 ) 个 判别的复数( 其中可以有一个复数等于无穷) ，有 ( q - 2 ) t ( ，力s 喜- ( r ，了圭i ) + s ( 力 m i l l o u x 不等式 上述n e v a n l i n n a 第二基本定理指出，亚纯函数的特征函数可被其计数函数所界 囿，而用亚纯函数及其导数的计数函数来界囿其特征函数的问题，这就是下面的 m i l l o u x ”1 不等式： 设函数0 ) 于h r ( o o ) 内亚纯。若( o ) 0 , o o ；f ( k ) ( o ) 1 ；f 仕“( o ) 0 ， 0 r r r ( ，力 丙( ，力+ ( ，争+ ( ，7 i 参 一( 7 去_ ) + s 【，d 对数导数引理 设函数厂( z ) 于h r 60 0 ) 内亚纯。若f ( o ) o ，0 0 ，则对于0 ， p r 有 研( ，弓与 c k l + l o g + l o g + 1 7 b “。g + 7 1 “。g + 未了“o g + p + 1 0 9 + r ( 。力) 其中g 是仅依赖于k 的常数。 此引理的形式由熊庆来m 1 给出。 b u r e a u 圳引理 设兀，) 是区间0 ， p 内的非负且非减的函数，又设a 和b 均为正数，使 b 2 a 且b 8 a 2 ，若不等式 r ( r ) a l o g + t ( r ) + a l o g 二一+ 6 于区间0 ， r p 成立，则不等式 t ( r ) 2 a l o g + 2 b 于区间0 ， r p 成立。 h a y m a n 2 习不等式 设函数f ( z ) 于h 月( m ) 内亚纯，不蜕化为多项式若k 为一正整数，且 ( o ) 0 ，；( 0 ) l ；厂“1 ( 0 ) 0 以及 + 1 ) 厂“2 ( o ) u ( 0 ) 一1 ) 一 + 2 ) f t k + 1 ) ( o ) 2 0 则对于0 ， 0 使得f = 0 营，”= b ( z ) 及当 ：豆r ( o ) 时，有- 0 k + 8 ， 贝h f ；g 或f g i a 2 ( z ) 定理5 ：设厂( z ) ，g ( z ) 是两个非常数亚纯函数，弗3 0 是一个正整数，若 广( ，一1 ) ，与g ”( g 一1 ) g 肼分担1 ，且 ( 。，厂) 南或。( ，g ) 南，则，5 9 定理6 ：设，( z ) 与g ( z ) 为超越亚纯函数，a j ( z ) ( j = l ，2 ，g ) 为g ( 4 ) 个互相判 别的多项式，k 为正整数，如果 * 甄爿甏 s + 而q ( q - i ) 则，舯( z ) = g ( z ) ，于是f ( z ) ；g ( 力+ p ( z ) ，其中p ( z ) 为次数不超过七一1 次的多 项 8 重庆大学硕士学位论文2z a l c m a n 引理及发展 2z a l c m a n 引理及发展 以往，在证明正规定则时所贯用的方法是先建立界囿定理，再消去原始值。 而z a i c m a n 开辟另外的途径，从m a r t y 正规定则出发建立了一族亚纯函数不正规 的一个充要条件，我们称之为z a l c m a n 定理。由于本文在证明中多次用到z a l c m a n 定理，故在此特别给出。 z a l c m a n 引理1 孔 2 7 1 ： 设吼为单位圆盘上的亚纯函数族，对任意的f e 婀，的所有零点重数， ，的所有极点重数歹。设口为任一实数满足一， a 0 使得f = 0 营f ”= 6 ( z ) 及当 1 0 重庆大学硕士学位论文 3 亚纯函数的正规族 z 弓( o ) 时，有o 0 ，存在： 1 ) 一个实数r ，0 r 1 ： 2 ) 一个点列乙，k l ，； 3 ) 一个函数列工，z 吼； 4 ) 正数列见寸o ， 使得岛( 孝) ：五! ! z ；金斗g ( o ，其中岛( 善) 按球面距离内闭一致收敛于g 偕) ，且 g ( f ) 是c 上有穷级非常数亚纯函数，满足矿( 孝) g 。( 0 ) = 1 ，且g 没有零点。 引理2 例吼是区域d 上的一族亚纯函数，对任意的厂吼，f 的零点重级至 少为k ，如果孵在点d 不正规，对任意的0 a 七则存在 1 ) 一正数0 ， 1 ； 2 ) 一点列毛岭z o ，且k i ， 3 ) 一函数列丘9 t 4 ) 一正数列成_ 0 使得历4 f a z + 成孝) = 晶( 善) 寸g ( 善) ，在d 上内闭一致收敛，其中g ( 善) 为d 上 非零亚纯函数，并且g ( 孝) 的零点重级至少为k 特别地，g ( 善) 的级至多为2 引理3 设厂为c _ h a f 常数亚纯函数，j | 为一正整数，q ( i = o ，1 ，2 ，k - 1 ) 为c 上的有穷复数，工= 厂”+ - 1 f “1 + + q ，+ a o ff 的微分多项式，则有 ( ， 爿 o 使得g ( 善) 在d 2 j = 留：悟一磊l 2 占 内解析。 所以捍当充分大时，g ：k g ) 在d 6 = g ：侈一磊i 艿 内解析，并且g 偕) 在见内一 致收敛于g ( 磊) 下面分两种情况： c a s e1 设存在f ( 0 占 国，无穷多疗使得在珥上有 g g ) 一a ( z 。+ 见善) = 一”( z 。+ 成善) 一a ( z 。+ 成善) 0 由于g ，( 善) 一a ( z + 成孝) 在见内一致收敛于g 耻( 掌) 一a ( z o ) ，则由h u r w i t z 定理可 知在见= 谚：眵一岛l 占j 上g 忙( 孝) 一a ( z o ) ；0 ，故 g 忙( 善) 一a ( z o ) i 0 vf c 所以g ( 国是一个k 次多项式，又由于有g ( 掌) 的零点重级至少为k + l ，所以我们可 得到矛盾 c a s e 2 假设存在无穷多行使得磊寸彘与”( 乙+ 以六) = a ( z 。+ 成六) ， 不失一般性我们假设 g ? ( 六) 一a ( z 。+ 以六) = 村( 乙+ 以磊) 一口乜。+ 以六) = 0vn n 由于”( z ) = a ( z ) 辛厶( z ) = 口( z ) 所以我们可得 五( z 。+ 岛乞) = a ( z 。+ 成六) 与 g 。( 善) = 所( z 。+ 以f ) = p a ( z 。+ 以六) 寸0 0( 栉一0 0 ) 这与h i n g 。( 靠) = g ( 磊) c o 相矛盾 故此定理得到了证明 3 3 3 定理3 的证明 证明：假设d = ，若孵在z o a 上不正规，则由引理2 知 存在z 吼，乙j z o e a ，见一o ，k i ， 1 使得岛( f ) = 五学寸g ) ， f n 且g ”( f ) g ”( o ) = 后( 例+ 1 ) + l ，其中d = m a ) 【静( z ) i ：h l ，g ( o 的零点重级至少 为k 。则 ( 1 ) g = 0 营g = b ( z o ) ；( 2 ) g “= b ( z o ) j g “1 = o 假设g ( 氛) = 0 ，则由h u r w i t z 定理可知， 存在点列彘，磊专磊使得对充分大的甩有 o = 岛( 彘) = 岛1 ( 乙+ 岛磊) = 0 故 工( 乙+ 岛六) = 0 ，由于，= 0 f ”= 6 ( z ) ， 贝岛( 六) = z q ( 乙+ 岛彘) = 6 ( 毛+ 成乞) 1 4 重庆大学硕士学位论文 3 亚纯函数的正规族 故g 耻( 彘) = 熙酵( 磊) = 6 ( ) ，则有瓦( o ) c 易。，( 6 q ) ) 。 假设g ”( 彘) = 6 ( z o ) ，贝u j g ( 考o ) ，进而g ( f ) 雾故气) ，否则，由t - g ( o 的零点 重级至少为i ，则g g ) 有重级为七的单零点螽，故g ( 善) = 璺掣( 善一磊) t ， 经过简单计算 r g 压 若除1 愀白) i 若蚓 k + 3 ，贝u f s g 或，。g 砷；1 1 9 9 7 年，仪洪勋又进一步证明了 定理1 4 9 1 ：设f , g 是两个非常数亚纯函数，厂”与g ( c m 分担l ，若 2 8 ( 0 ，力+ ( 七十4 ) o ( 0 0 ，力 k + 5 ， 2 8 ( 0 ，g ) + ( 后+ 4 ) o ( ，g ) 七+ 5 ，贝厂e g 或 ，g 1 定理11 5 0 l ：f ，g 是两个非常数距纯函数，壮) 与g c m 分担1 ，若 艿( o ，力+ ( | | + 2 ) o ( ，d + 艿( o ，g ) + ( 后+ 2 ) ( ，g ) 2 k + 5 ，则f 奢g 或，g e 1 一个很自然的问题是：如果厂忙与g ( ”c m 分担一个小函数，是否还会有上面 的结论成立? 如果不成立，又会有什么样的结论呢? 在本文中，我们将对此问题给予了证明，这就是定理： 1 6 重庆大学硕士学位论文4 亚纯函数的唯一性 定理4 ：设f ，g 是两个非常数亚纯函数，a ( z ) 是亚纯函数且口( z ) 0 ， i t ( r ，口) = s ( r ，d ，h ，口) = s ( r ，g ) ，如果) 与g c m 分担口( z ) ，且 万( 0 ，n + 2 0 ，力+ 艿( o g ) + ( 七+ 5 ) o ，g ) k + 8 ， ( 4 1 ) 则f 5 9 或g - - - a 2 ( z ) 2 0 0 1 年，方明亮和魏红证明了下述结果： 定理，j ：设f ( z ) 和g ( z ) 是两个超越整函数，开2 1 1 是一个整数如果 厂u - 1 ) f 和9 4 ( g d g c m 分担1 ，则f ( z ) = g ( z ) 2 0 0 2 年，方彩云和方明亮证明了下述结果： 定理k 2 1 ：设厂( z ) 和g ( z ) 是两个非常数的整函数，阼1 7 是一个整数。若 广( ，一1 ) f 和9 4 ( g - 1 ) g m 分担1 ，则，( z ) ；g ( z ) 下述例子显示当是两个亚纯函数时，定理彳、曰不成立。 艄= 黼舻矧高 则，”( 厂一1 ) 厂，与g ”( g 一1 ) g c m 分担1 ，但f g 一个很自然的问题是：当函数是亚纯函数时，在什么样的条件下，上述结论 能够成立? 本文给出了明确的答案，并进一步证明了下述结果 定理5 设，( z ) ，g ( z ) 是两个非常数亚纯函数，玎3 0 是一个正整数，若 厂”( 厂一1 ) 厂与g n ( g 一1 ) m 分担1 ，且0 ( o o , 厂) 南0 ( o o , g ) 南，则 l ；g 1 9 9 0 年，杨乐研究导函数的唯一性，建立了下述不等式，即我们所通常所说 的杨乐不等式： 定理三【”1 ：设f ( z ) 于开平面超越亚纯函数， a j ( j = 1 ，2 ，q ) 是g ( 4 ) 个互 相判别的有穷复数，k 为正整数，则 卜一而q - 再1 t ( r ) s + 丽q - i 则厂( z ) ；g ”( z ) 。于是f ( z ) ；g ( z ) + p ( z ) ，其中p ( z ) 为次数不超过k - 1 次的多 项式。 1 7 重庆大学硕士学位论文4 亚纯函数的唯一性 本文主要通过运用杨乐不等式的推广把常值推广为多项式的不等式，证明导 函数分担多项式的唯一性定理，即： 定理6 设，( z ) 与g ( z ) 为超越亚纯函数，a j ( z ) 0 = 1 ，2 ，) 为g q 4 ) 个互相判别 的多项式，k 为正整数，如果 外甄高甏 s + 而q ( q - 1 ) 2 ， 则，”( z ) = - g 仲( 力。于是f ( z ) = g ( z ) + p ( z ) ，其中p ( z ) 为次数不超过k 一1 次的多 项式 4 2 重要引理 引理1 嘲：若石，五是非常数亚纯函数，e l ，c 2 ，c 3 是非零常数，如果 c 1 五+ c 2 以= c 3 贝。丁( ，f d n ( r ，) + 丙( ，7 1 ) + n ( r ，石) + s ( r ，石) j 1 j 2 引理2 m 1 ：若z ，以是非常数亚纯函数，如果z ；1 ，且石，以丘是线 性无关的，则有丁( ，石) s m 一。i ，7 1i 一( n - 1 ) 砘，) + s ( r ，z ) i = 1 jfl-2 引理3 剐：f 是亚纯函数，k 是任意的正整数，若厂0 ，则 小剥玑) ) _ 毗力+ 小； 嘶，) 及小专) ) “砘厂) + 毗，) 吼， 屯， 可约有理函数，a k ( k = 0 ，l ，p ) ，q ( ，= o ，1 ，g ) 是常数且0 ，o ， 则t ( r ，工( 厂) ) = m a x p ，q r ( r ，厂) + s ( ，厂) 引理5 m 1 ：设，g 是两个非常数亚纯函数，若f ，g 删分担1 ，则有： r ( ，) + r ( g ) 2 2 ( ) + 2 ( ，手 + 2 ( ，g ) + 2 ( ，言 ) + s m ，击 厩( ，击肛( ，咖即翻 或，：( b + 芒1 ) g + a 1 - 一b - 1 ，口o ，口，6 是常数 引理6 t5 】：f 是亚纯函数，k 是任意的正整数，若厂0 ，则 重庆大学硕士学位论文4 亚纯函数的唯一性 小矧 n - 1 所以 = 与+ 鲁署疗5 令乞为f - 1 的一个重级为五的零点，则由( 4 3 ) 式知z 2 为g 的一个极点，令其重级 为也，则有： 五+ 五一l = ( 捍+ 2 ) 岛+ 1 即有五= 下( n + 2 ) k 2 + 2 詈+ 芸4 又刀5 故五5 令毛为，- 的一个重级为五的零点且不是，( 厂一1 ) 的零点，由( 4 3 ) 式知毛为g 的一 个极点，令其重级为毛 同理可知，的极点一定是g ( g 一1 ) g 的零点。， 我们用o ，专 表示厂的零点且不是厂( ，一1 ) 的零点，o ( 专 有相同的意义 由第二基本定理得： 哪) 飒帅丙+ 丙卜六 - o ( ，舟哪) 丙( ，瓦m ，舟丙( ，击) 一( ，舟s ( ，厂， 坼匀* 击) + 丙坼击卜( ，封一( ，步) 删卅一4 ， m 班丙( 三) + 丙( r ，剖+ 丙( ，舟甭( ，六 + o ( ， 舟o r ，爿嘶g ，( 4 s ) 由( 4 4 ) ，( 4 5 ) 式得： r ( ) + 丁( 懈) 丽( ，专 + 丽( r ，击) + 2 - ( ，爿+ 丽( ，击) + s ( 吖) + s ( 懈) s n ( ，守种击h ( r ，舟种击) 叫帅跗埘 詈丁( ，) + 詈r ( ，g ) + s ( ，厂) + s ( r ，g ) ( 4 6 ) 所以丁( ，) + r ( ，g ) s ( ，厂) + s ( ，g ) 矛盾 1 9 重壅盔堂堡主堂垡丝奎 ! 垩丝里墼盟堕二丝 _ ! l 【u - ，”【f 一1 j 奢”【g - 1 ) g 1 弓l 理得证 引理8 ： 设f , g 是两个非常数亚纯函数，弗3 0 是一个正整数，若 f = 广( ，一1 ) 厂，g = g ”( g 一1 ) g ，如果f 与gi m 分担1 ， 则，= ( b + 丽i ) g 石+ a 百- b 一- 1 ，( 爿。) ，彳，曰常数 证明：假设结论不成立，即f ( b + o g + a - b - z 由于f 与g m 分担1 ，则由引理5 可知下式成立，i i l j - i - 廿ua 一廿 r ( ，f ) + r ( ，g ) 2 2 ( ，) + 2 ( ，刍) + 2 ( g ) + 2 ( 吉计 牺仁( ，击) + 矾( 击) h 咿) 叫啪) ( 4 7 ) 又r ( r ，f ) = r ( ，s ( s - o s ) r ( r ，f ”( ，一1 ) ) + r ( ，厂) + d ( 1 ) ( 疗+ 1 ) r ( ，f ) + 2 t ( r ，厂) + s ( ，厂) = ( ”+ 3 ) r ( ，) + s ( ，f ) ( 4 8 ) 又 ( 万+ 1 ) r ( ，) = 丁( ，厂( 厂一1 ) ) + s ( ，f ) 叫咿) + f ( r 爿叫) r ( ，f ) + 2 t ( r ，厂) + s ( ，f ) 所以丁( ，f ) ( 一1 ) r ( ，厂) + s ( r ，厂) ( 4 9 ) i ：h ( 4 8 ) ( 4 9 ) 式得s ( ，厂) = s ( ，f ) ，同理可证s ( ，g ) = s ( r ，g ) 显然有m ( ，刍 = 丙( ，专) + 丙c ：( r ，专 面扑丙( 击h ，舟讯：( ，卦卟六扣( ，爿 丽小爿坼爿 蝴( ，厂) + ( 爿+ d ( ) ( 4 舯) 再由r ( ，尸一1 ) ) 一( ，f ”( 一1 ) ) = 口( r ，厂( 厂一1 ) ) 撕咖m ( ，爿 州妒) _ ( 卅州) + _ ( 吖) 一( ，爿叫) 得州) 叫妒) - ( 吖) 一( ，专 州) 重庆大学硕士学位论文 4 亚纯函数的唯一性 所蝴加( ，井和小( ，扑字( ，爿 如，f ) 毗，) + 导 ( r ，舟_ ( ，卅h ) s 4 n 厂- 3 r ( ，) + 撑f - - 6 d ( ，) + 踟厂) 再有 ( ，) 2 ( ，l + 2 ) ( ，) + ( ， ，) ( ”+ 3 ) ( ，f ) i v ( r ，g ) = ( 疗+ 2 ) ( ，g ) + - n ( r ，g ) ( 一+ 3 ) 万( ，g ) 所以有丙( ，f ) = - ( z ( ，f ) = 丙( ，厂) s 未了( ，f ) 孤g ) = _ ( ：( r ，g 1 ) = 孤g ) 历1 ( r ，g ) f l t ( 4 - 1 5 ) 式有2 ( ，f ) = 丙( r ，f ) + - ( ：( r ，f ) 去( ，f ) l ( ，g ) = ( g ) + ( z ( ，g ) i ( ，g ) 联立( 4 。) ( 4 t 2 ) ( 4 - s ) 式有2 ( ，专) 专专暑苦r ( r ，f ) 同理有2 ( 吉) 号专暑苦r ( ，g ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 矾( r ，击 丙( ，专) = ( ，专 + 丙( ，专) 一( ，专 s + _ ( 咿) + 丙( ，专) 一( r ，专) 2 ( ，舟丙( 咿) ( 4 加) 同理有矾( ，击) 2 ，a j g 地= 1 , 2 ，口) 为 百相鞠f 舄j i 的名币吉量蜘诈齄斯 g - 1 _ _ q ( q 2 - 伸1 ) j l r ( ) r ( ，g ) ， 下面分两种情况讨论： c a s e l 若 ；c ( 常数) 显然f 1 ，则由( 4 2 2 ) 坐一e g ( k ) 1 一c ( 4 2 3 ) 由引理1 ，引理3 可知 r 护) 小等卜卅 小别+ 卟爿+ 币訇嘶 丁( r ) 珊+ 小舟小吉) 撕( ，g ) + 砘咖毗咖s ( ，g ) 毗胚小舟小1 1 + 七( ，g ) + 砘厂) + 毗咖毗g ) 故 万( o ，力+ 艿( o ，g ) + 面 0 ，g ) + 0 ，厂) s k + 2 与( 4 1 ) 式矛盾。 c a s e 2 若 c ( 常数) ，由( 4 2 2 ) 式可知 坐一监+ j i ；1 4 1 令z = 坐a ，五= 一竽，五= 删喜纠 下面分两种情况讨论： c a s e 2 1 由于厂与g c m 分担4 ( 力，结合( 4 2 2 ) 式可知，h 的极点必是厂) 或口( 力的极点。所以我们有 丙( ， ) 丙( ，厂) + s o ，厂)( 4 2 5 ) 小竽 砘咖丙( r ) 珊，) 丙( ，厂) + 丙( ，g ) + s ( ，厂)( 4 2 6 ) 另一方面，若z ，以，六是线性无关的亚纯函数，由引理2 ，引理3 结合( 4 2 4 ) 式 丁护) 小譬b 重庆大学硕士学位论文4 亚纯函数的唯一性 ( ，爿+ m ( ，剖+ ( ，书一2 士坚a ) 一z 一舢 s 小别+ m ( ，去) + m ( ，割+ m ( ，丢) + 币竽 m 一枷 吐，方 + 2 项，爿+ ( ，方 + 2 文，1 + 项，h g 了( t ) 一 + 砖一十s o 卅 r ( ，”) 一丁( ，+ 吖，爿+ ( ，1 1 + ( 七+ 1 ) _ ( ，g ) + 4 小i ； j + 丙+ 一( ，而) + s + s 丁( ，厂) ( ，多 + ( ，爿+ + 1 ) 丙( ，g ) + 4 砘，g ( ”) + 2 ( ，卅+ + s ( ，+ s ( ，g ) 小舟z _ ( ，咖七吉 m + 5 ) 矾，g ) 珊珊，g ) 所以 艿( o ，3 + 2 ( o 。，力+ 艿( 0 ，g ) + ( 后+ 5 ) o ，g ) k + 8与( 4 1 ) 式矛盾 c a s e 2 2 若石，厶，以是线性相关的三个亚纯函数，即存在不全为零的三个常数 q ，c 2 ，c 3 满足c 1 z + c 2 以+ c 3 f 3 自0 显然q 0 ，否则，若c 1 = 0 ，则c 2 0 ，c 3 0 ，则由( 4 2 4 ) 式 可得p 坐咱) ：0 由于 c ( 常数) ，贝qg ( i ) ：翌 c 2 若c 2 = c 3 ，则g = a 故有f = a ，则与厂g 矛盾。 所以c 2 c 3 ，则g a 我们由第二基本定理可知 r 时) 卟专 + 丙时) + 卟赤 嘶，g ) s r r , g t t ) ) 一r + 小抄_ ( ，g ) + s 故 毗g ) 小舟砘g ) + m g ) 则 艿( 0 ，g ) + ( ，g ) 1与( 4 1 ) 式矛盾。 所以c 。0 ，则有( c 2 一q ) 鱼垒兰+ ( q 一白) 厅：q ( 4 2 7 ) 下面分两种情况讨论： c a s e 2 2 1 若c ，一c 0 。c 1 一c ，0 则由( 4 2 7 ) 式 重鏖盔堂堡主堂垡丝奎 ! 垩丝堕墼盟堡= 兰l ( c 2 - c ，) 等地叫渺副z ( 4 2 8 ) 若岛：。，则有q 厂”+ c 3 曲= 。瓦p 厂的+ 詈口f g ( ( 。k ) 一- 口a = 。 若詈2 l 则，”( g 一4 ) + 口( ，。一4 ) = o 所以我们有ea 2 若詈，则，气g 一口) + 詈口( ，忙) 一= 。整理得譬一詈声= 一詈ac t “ q ， q 嘶) ) 丙( ，等 + ( ，毒 + 丙( 寺 + s 以门 叫伊) 叫吖) + b ) + b ) 瓣( ，g ) 十一( ，叫吣) 州卅 故 r ( r ，) ( ，乡 + 丙( 厂) + ( 吉 + t 丙( r ，g ) + s ( r ，) + s ( ，g ) 则有a ( o , f ) + o ( o o ，f ) + 8 ( o , g ) + k o ( o o ，g ) _ j + 2 与( 4 1 ) 式矛盾。 c 2 0 ，则由引理3 可知 r 妒) 小方) + 卟丢) + 丙”) 珊，力 量r ( ，耻，) 一r ，) + 【r ，) + 丙+ - ( r ，) + s ，) + s 则m 肛小舟砘加砘g ) + 跗加毗g ) 于是艿( o ，f ) + o ( o o ，f ) + o ( o o ，g ) - 2 - - t ：j ( 4 1 ) 式矛盾。 c 砒2 2 若c 2 一c l _ o ，c - 一c 3 o ，则扣去瓠都滞剡瓶。 c a s e 2 2 3 若c 2 一c l 0 , c l c 3 = 0 则由( 4 2 8 ) 式可得a 一十 2 石- c 2 丽 丁川墨小等卜咖 可，声 + 项，专) + ，譬) + s o r ”。) 一r o ，咖小 1 + 丙+ - ( ，咖s d ，) + s 重庆大学硕士学位论文4 亚纯函数的唯一性 则丁( ，力一，多) + 丙( ，厂) + 丙( ，g ) + s ( r ，力+ s ( ，g ) 于是万( 0 ，f ) + 0 ( o o ，f ) + 0 ( o o ，g ) 2- l 亏( 4 1 ) 式矛盾 若c 2 - o 删尸们名_ o 所以我们有，g me a 2 由此我们可得，5g 或，g i a 2 若，；g ”，则我们可得，= g + p 其o p p 是次数至多为k - 1 次的多项式 若p 0 ，则有第二基本定理可得 嘶，) b + l 南 + _ “，) + 跗，) = ( ，多) + ( ，吉 + 丙( ，厂) + s ( ，) 所以我们有8 ( 0 ，f ) + o ( o o ，) + 艿( o ，g ) 2 与( 4 1 ) 式矛盾 故p ；0 ，因而f ；g 定理得证 4 3 2 定理5 的证明 证明：由定理4 的条件及引理8 知 f ：( b + i ) g + a - b - 1 口g + a b 所以t ( r ，f ) = 丁( ，g ) 下面分三种情况讨论： c a s e l b 0 , - 1 时，若a b 一1 = 0 ，则有式( 4 2 9 ) 可知 f1 丙i ，壶) 丑 于是由第二基本定理可得 嘶q 辄啪秣) 寸毒卜翩 = 丙( ，g ) + 丙( ，吉 + 丙( ，f ) + s ( ，g ) 由式( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 7 ) 得到 丙( ，g ) + 丙( ，吉 + 丙( ，f ) + s ( ，g ) 7 ；n 2